2011年高考理科数学全国卷(及答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷)

数学试题卷

本试卷共4页，三大题21小题。满分150分，考试时间120分钟。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i

2. 函数()20y x x =≥的反函数为

(A)()24x y x R =∈ (B) ()2

04

x y x =≥

(C)()24y x x R =∈ (D) ()240y x x =≥ 3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是

(A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33

a b >

4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 5

5.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π

个单位长度后，所得的图

像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)

1

3

(B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若

2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于

(A)

22 (B) 33 (C) 63

(D) 1 7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有

(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种 8.曲线21x

y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为

(A)

13 (B) 12 (C) 2

3

(D) 1

9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫

-= ⎪⎝⎭

(A) 12-

(B) 14- (C) 14 (D) 12

10.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos AFB ∠= (A)

45 (B) 35 (C) 35- (D) 45

- 11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60

二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为

(A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π

12. 设向量,,a b c 满足11,,,602

a b a b a c b c ===---=

，则c 的最大值等于 (A) 2 (B)

3 (C) 2 (D) 1

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()

20

1x

-的二项展开式中，x 的系数与9

x 的系数之差为 .

14. 已知,2παπ⎛⎫

∈

⎪⎝⎭

，5sin 5α=，则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22

:1927

x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则 2AF = .

16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上，且12B E EB =,

12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .

三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.（本小题满分10分）

ABC ∆的内角A 、B 、C 的对边分别为,,a b c 。已知90,2A C a c b -=+= ，求C

18.（本小题满分12分）

根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立。

（Ⅰ）求该地1为车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；

（Ⅱ）X 表示该地的100为车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X 的期望。

19.（本小题满分12分）

如图，四棱锥S-ABCD 中，//,AB CD BC CD ⊥,侧面SAB 为等边三角形，

AB=BC=2，CD=SD=1.

（Ⅰ）证明：SD SAB ⊥平面;

（Ⅱ）求AB 与平面SBC 所成的角的大小。

20.（本小题满分12分）

设数列{}n a 满足1111

0,

111n n

a a a +=-=--

（Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设1

1n n a b n

+-=

，记1

n

n k

k S b

==

∑，证明：1n S <。

21.（本小题满分12分）

已知O 为坐标原点，F 为椭圆2

2

:12

y C x +=在y 轴正半轴上的焦点，过F 且斜率为2-

的直线l 与C 交于A 、B 两点，点P 满足0.OA OB OP ++=

（Ⅰ）证明：点P 在C 上；

（Ⅱ）设点P 关于点O 的对称点为Q ，证明：A 、P 、B 、Q 四点在同一个圆上。

22.（本小题满分12分）

（Ⅰ）设函数()()2ln 12

x

f x x x =+-

+，证明：当0x >时，()0f x > （Ⅱ）从编号1到100的100张卡片中每次随机抽取一张，然后放回，用这种方式连续

抽取20次，设抽到的20个号码互不相同的概率为p ，证明：19

29110p e ⎛⎫

<< ⎪⎝⎭