2011年高考理科数学全国卷(及答案)

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2011年高考数学试卷(含答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试数学(理科)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中．只有一项是符合题目要求的． (1) 复数212i i+-的共轭复数是(A) 35i -(B)35i (C) i - (D) i(2) 下列函数中，既是偶函数又在（0，+∞）单调递增的函数是(A)y=x 2(B)y=|x|+1 (C)y=-x 2+1 (D)y=2-|x|(3) 执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是 (A ） 120 (B) 720 (C) 1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13(B)12(C)23（D ）34(5) 已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半周重合，始边在直线y=2x 上，则cos2θ= （A ）45-(B) 35-(C)35（D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为（A ）（B ）（C ）（D ）（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于为C 的实轴长的2倍，则C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A ）（C ）（B ） 2 （D ）3（8）51()(2)a x x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （C ） -20 （B ） 20 （D ）40（9）由曲线y =y=x-2及y 轴所围成的图形的面积为（A ）310（B ）4 （C ）163（D ）6（10）已知a与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题 12:||10,3p a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:||1,3p a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:||10,3p a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭4:||1,3p a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,p p （B ）13,p p （C ）23,p p （D ）24,p p （11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π,且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在(0,)2π单调递减（B ）()f x 在3(,)44ππ单调递减（C ）()f x 在(0,)2π单调递增（D ）()f x 在3(,)44ππ单调递增（12）函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图象所有交点的横坐标之和等于(A) 2 (B)4 (C)6 (D)8第Ⅱ卷包括必考题和选考题两部分.第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答，第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

2011年高考新课标全国卷理科数学试题(附答案)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）复数212ii +=- （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i （2）下列函数中，既是偶函数又在(0,)+∞单调递增的函数是（A ）3y x = （B ）||1y x =+ （C ）21y x =-+ （D ）||2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120 （B ） 720 （C ） 1440 （D ） 5040 （4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ） 12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ= （A ） 45-（B ）35- （C ） 35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图与俯视图如右图所示，则相应的侧视图可以为俯视图正视图DCB A（7）已知直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的对称轴垂直，l 与C 交于A ，B 两点，||AB 为C 的实轴长的2倍，C 的离心率为（A （B （C ） 2 （D ） 3（8）51()(2)ax x x x+-的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）—40 （B ）—20 （C ）20 （D ）40（9）曲线y =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为（A ）103 （B ）4 （C ） 163（D ） 6 （10）已知a ，b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题1:||1p +>a b ⇔2[0,)3πθ∈ 2:p ||+a b 1>⇔θ∈2(,]3ππ 3:||1p ->a b ⇔θ∈[0,)3π 4:||1p ->a b ⇔θ∈(,]3ππ其中真命题是（A ） 14,p p （B ） 13,p p （C ） 23,p p （D ） 24,p p （11）设函数()sin()cos()f x x x ωϕωϕ=+++(0,||)2πωϕ><的最小正周期为π，且()()f x f x -=则（A ）()y f x =在(0,)2π单调递减（B ）()y f x =在3(,)44ππ单调递减（C ）()y f x =在(0,)2π单调递增（D ）()y f x =在3(,)44ππ单调递增（12）函数11y x=-的图象与函数2sin (24)y x x π=-剟的图象所有交点的橫坐标之和等于（A ）2 （B ）4 （C ）6 （D ）8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．（13）若变量x ，y 满足约束条件32969x y x y ≤+≤⎧⎨≤-≤⎩，则2z x y =+的最小值是_________．（14）在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在x 轴上，离心率为．过点1F 的直线l 交C 于A ，B 两点，且2ABF ∆的周长为16，那么C 的方程为_________．（15）已知矩形ABCD 的顶点都在半径为4的球O 的球面上，且AB =6，BC =锥O ABCD -的体积为_____________．（16）ABC ∆中，60,B AC =︒=，则AB +2BC 的最大值为_________．三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．（17）（本小题满分12分）已知等比数列{}n a 的各项均为正数，且212326231,9a a a a a +==．（I ）求数列{}n a 的通项公式．（II ）设31323log log log n n b a a a =+++ ，求数列1{}nb 的前n 项和．（18）（本小题满分12分）如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=︒，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD（I ）证明：PA BD ⊥；（II ）若PD AD =，求二面角A PB C --的余弦值．（19）（本小题满分12分）某种产品的质量以其质量指标值衡量，质量指标越大表明质量越好，且质量指标值大于或等于102的产品为优质品．现用两种新配方（分别称为A 配方和B 配方）做试验，各生产了100件这种产品，并测量了每产品的质量指标值，得到时下面试验结果：A 配方的频数分布表B 配方的频数分布表（II ）已知用B 配方生产的一种产品利润y （单位：元）与其质量指标值t 的关系式为2,942,941024,102t y t t -<⎧⎪=≤<⎨⎪≥⎩从用B 配方生产的产品中任取一件，其利润记为X （单位：元）．求X 的分布列及数学期望．（以试验结果中质量指标值落入各组的频率作为一件产品的质量指标值落入相应组的概率）．（20）（本小题满分12分）在平面直角坐标系xOy 中，已知点(0,1)A -，B 点在直线3y =-上，M 点满足//MB OA ，MA AB MB BA =，M 点的轨迹为曲线C ．（I ）求C 的方程；（II ）P 为C 上动点，l 为C 在点P 处的切线，求O 点到l 距离的最小值．（21）（本小题满分12分）已知函数ln ()1a x bf x x x=++，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为 230x y +-=．（I ）求,a b 的值；（II ）如果当0x >，且1x ≠时，ln ()1x kf x x x>+-，求k 的取值范围．请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．做答时用2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．（22）（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，D ，E 分别为ABC ∆的边AB ，AC 上的点，且不与ABC ∆的顶点重合．已知AE 的长为m ，AC 的长为n ，AD ，AB 的长是关于x 的方程2140x x mn -+=的两个根．（I ）证明：,,,C B D E 四点共圆；（II ）若90A ∠=︒，且4,6,m n ==求,,,C B D E 所在圆的半径．（23）（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为2cos (22sin x y ααα=⎧⎨=+⎩为参数），M 为1C 上的动点，P 点满足2OP OM =，点P 的轨迹为曲线2C ．（I ）求2C 的方程；（II ）在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线3πθ=与1C 的异于极点的交点为A ，与2C 的异于极点的交点为B ，求||AB .（24）（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲设函数()||3f x x a x =-+，其中0a >．（I ）当1a =时，求不等式()32f x x ≥+的解集．（II ）若不等式()0f x ≤的解集为｛x|1}x ≤-，求a 的值．2011年普通高等学校招生全国统一考试（新课标全国卷）理科数学答案（1）C 【解析】212i i+-=(2)(12),5i i i ++=共轭复数为C ．（2）B 【解析】3y x =为奇函数，21y x =-+在(0,)+∞上为减函数，||2x y -=在(0,)+∞上为减函数，故选B ．（3）B 【解析】框图表示1n n a n a -=⋅，且11a =所求6a =720，选B ．（4）A 【解析】每个同学参加的情形都有3种，故两个同学参加一组的情形有9种，而参加同一组的情形只有3种，所求的概率为P =3193=，选A ．（5）B 【解析】由题知tan 2θ=,222222cos sin 1tan 3cos2cos sin 1tan 5θθθθθθθ--===-++，选B ．（6）D 【解析】条件对应的几何体是由底面棱长为r 的正四棱锥沿底面对角线截出的部分与底面为半径为r 的圆锥沿对称轴截出的部分构成的。

2011年安徽高考理科数学试题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷第1至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页。

全卷满分150分，考试时间120分钟。

考生注意事项：1．答题前，务必在试题卷、答题卡规定填写自己的姓名、座位号，并认真核对答题卡上所粘贴的条形码中姓名、座位号与本人姓名、座位号是否一致。

务必在答题卡背面规定的地方填写姓名和座位号后两位。

2．答第Ⅰ卷时，每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

3．答第Ⅱ卷时，必须使用0.5毫米的黑色墨水签字笔在答题卡上．．．．书写，要求字体工整、笔迹清晰。

作图题可先用铅笔在答题卡．．．规定的位置绘出，确认后再用0.5毫米的黑色墨水签字笔描清楚。

必须在题号所指示的答题区域作答，超出书写的答案无效．．．．．．．．．，在试题卷．．．．、草稿纸．．．上答题无效．．．．．。

4．考试结束后，务必将试题卷和答题卡一并上交。

参考公式：如果事件A 与B 互斥，椎体体积13V Sh =，其中S 为椎体的底面积，那么()()()P A B P A P B +=+ h 为椎体的高. 如果事件A 与B 相互独立，那么()()()P AB P A P B =第Ⅰ卷(选择题共50分)一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1) 设i 是虚数单位，复数12aii+-为纯虚数，则实数a 为（A ） 2 （B ） -2 （C ） -12 （D ） 12（2）双曲线2228x y -=的实轴长是（A ）2 (B) （3）设()f x 是定义在R 上的奇函数，当0x ≤时，2()2f x x x =-, (1)f =（A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１（Ｄ）３（４）设变量x ，y 满足||||1x y +≤，则2x y +的最大值和最小值分别为（Ａ）１，－１（Ｂ）２，－２（Ｃ）１，－２（Ｄ）２，－１ (5) 在极坐标系中，点 (2,)3π到圆2cos ρθ= 的圆心的距离为（A ）（（6）一个空间几何体得三视图如图所示，则该几何体的表面积为（A ） 48 (B)32+48+(7)命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是（A ）所有不能被2整除的数都是偶数（B ）所有能被2整除的数都不是偶数（C ）存在一个不能被2整除的数都是偶数（D ）存在一个不能被2整除的数都不是偶数（8）设集合{1,2,3,4,5,6},{4,5,6,7}A B ==，则满足S A ⊆且S B ≠∅的集合S 为（A ）57 （B ）56 （C ）49 （D ）8（9）已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若()()6f x f π≤对x R ∈恒成立，且()()2f f ππ>，则()f x 的单调递增区间是（A ）, ()36k k k z ππππ⎧⎫-+∈⎨⎬⎩⎭ （B ）, ()2k k k z πππ⎧⎫+∈⎨⎬⎩⎭ （C ）2, ()63k k k z ππππ⎧⎫++∈⎨⎬⎩⎭ （D ）, ()2k k k z πππ⎧⎫-∈⎨⎬⎩⎭（10）函数()(1)m n f x nx x =- 在区间上的图像如图所示，则m,n 的值可能是（A ）m=1, n=1 （B ）m=1, n=2 （C ）m=2, n=1 （D ）m=3, n=1第II 卷（非选择题共100分）考生注意事项：请用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．．．．．．．．．．．．．．．．．.二．填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. （11）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .（12）设2122101221(1)x a a x a x a x -=++++，则1011a a +=_________ .（13）已知向量a ,b 满足(2)()6+-=-a b a b ,1|a |=,2|b |=，则a 与b 的夹角为________.（14）已知ABC ∆ 的一个内角为120o，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC ∆的面积为_______________（15）在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是_____________（写出所有正确命题的编号）. ①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点 ②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线三．解答题：本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的制定区域内. （16）(本小题满分12分)设2()1xe f x ax=+，其中a 为正实数（Ⅰ）当43a =a 43=时，求()f x 的极值点；（Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围。

2011年山东高考数学理科试卷(带详解)

2011年普通高等学校全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的.1．设集合2{60}M x x x =+-<，{13}N x x =≤≤，则M N = （）A.[1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3] 【测量目标】集合的基本运算.【考查方式】给出两集合（描述法），求解两集合的交集. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】{32}M x x =-<<，[1,2)M N = ，答案应选A. 2．复数2i(i 2iz -=+为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【测量目标】复平面.【考查方式】给出复数的分数形式，通过化简判断复数对应的点在第几象限. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】22i (2i)34i2i 55z ---===+对应的点为34(,)55-在第四象限，答案应选D.3．若点(,9)a 在函数3xy =的图象上，则πtan6a 的值为 ( )A.0B.3C. 1D. 【测量目标】任意角的三角函数值.【考查方式】给出函数图象上的点，判断出a 的值，求π3的正切值. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】2393a ==，2a =，ππtantan 63a == D. 4．不等式5310x x -++≥的解集是 ( ) A.[5,7]- B. [4,6] C. (,5][7,)-∞-+∞ D. (,4][6,)-∞-+∞ 【测量目标】绝对值不等式.【考查方式】直接求解绝对值不等式. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】当5x >时，原不等式可化为2210x -≥，解得6x ≥；（步骤1）当35x -≤≤时，原不等式可化为810≥，不成立；（步骤2）当3x <-时，原不等式可化为2210x -+≥，解得4x -≤.综上可知6x ≥，或4x -≤，答案应选D.（步骤3）另解1：可以作出函数53y x x =-++的图象，（步骤1）令5310x x -++=可得4x -=或6x =，（步骤2）观察图象可得6x ≥，或4x -≤可使5310x x -++≥成立，答案应选D.（步骤3）另解2：利用绝对值的几何意义，53x x -++表示实数轴上的点x 到点3x =-与5x =的距离之和，要使点x 到点3x =-与5x =的距离之和等于10，只需4x -=或6x =，于是当6x ≥，或4x -≤可使5310x x -++≥成立，答案应选D.5．对于函数()y f x =，x ∈R ，“()y f x =的图象关于y 轴对称”是“()y f x =是奇函数”的 ( ) A 充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.即不充分也不必要条件【测量目标】充分、必要条件.【考查方式】判断已知两个命题的关系. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】若()y f x =是奇函数，则()y f x =的图象关于y 轴对称；反之不成立，比如偶函数()y f x =，满足()y f x =的图象关于y 轴对称，但不一定是奇函数，答案应选B.6．若函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π[0,]3上单调递增，在区间ππ[,]32上单调递减，则ω= ( ) A.3 B. 2 C.32 D. 23【测量目标】三角函数的单调性.【考查方式】给出含参量的三角函数的单调区间，求解未知参量. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】函数()sin (0)f x x ωω=>在区间π[0,]2ω上单调递增，在区间π3π[,]22ωω上单调递减，则ππ23ω=，即32ω=，答案应选C. 另解1：令ππ[2π,2π]()22x k k k ω∈-+∈Z 得函数()f x 在2ππ2ππ[,]22k k x ωωωω∈-+为增函数，同理可得函数()f x 在2ππ2π3π[,]22k k x ωωωω∈++为减函数，则当ππ0,23k ω==时符合题意，即32ω=，答案应选C.另解2：由题意可知当π3x =时，函数()sin (0)f x x ωω=>取得极大值，则π()03f '=，即πco s 03ωω=，即πππ()32k k ω=+∈Z ，结合选择项即可得答案应选C. 另解3：由题意可知当π3x =时，函数()sin (0)f x x ωω=>取得最大值，则ππ2π()32k k ω=+∈Z ，36()2k k ω=+∈Z ，结合选择项即可得答案应选C.7．某产品的广告费用与销售额y 的统计数据如下表：根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元是销售额为( ) A.63.6万元 B. 65.5万元 C. 67.7万元 D. 72.0万元【测量目标】线性回归方程.【考查方式】给出实际应用中的数学模型数据，建立线性回归方程，求对应的函数值. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】由题意可知 3.5,42x y ==，则 429.4 3.5,9.1,a a =⨯+= 9.469.165.5y =⨯+=，答案应选B.8．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的两条渐近线均和圆22:650C x y x +-+=相切，且双曲线的右焦点为圆C 的圆心，则该双曲线的方程为 ( )A.22154x y -= B. 22145x y -= C. 22136x y -= D. 22163x y -= 【测量目标】双曲线的标准方程.【考查方式】给出双曲线的两条渐近线与圆的位置关系，判断双曲线的标准方程. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】圆22:(3)4C x y -+=，3,c =而32bc=，则22,5b a ==，答案应选A. 9．函数2sin 2xy x =-的图象大致是 ( )A B C D 【测量目标】三角函数的图象.【考查方式】给出三角函数解析式判断其图象.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】函数2sin 2x y x =-为奇函数，且12cos 2y x '=-，令0y '=得1cos 4x =，（步骤1）由于函数cos y x =为周期函数，而当2πx >时，2sin 02x y x =->，当2πx <-时，2sin 02xy x =-<，则答案应选C.（步骤2）10.已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x <≤时，3()f x x x =-，则函数()f x 的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9【测量目标】函数的零点.【考查方式】给出函数一个区间内的函数解析式及函数周期，判断函数在某个区间段内函数图象与x 轴的交点.【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】当02x <≤时32()(1)f x x x x x =-=-，则(0)(1)0f f ==，（步骤1）而()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，则(2)(4)(6)(0)0f f f f ====，(3)(5)(1)0f f f ===，答案应选B.（步骤2）11．如图是长和宽分别相等的两个矩形.给定三个命题： ①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如图； ②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如图； ③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如图.其中真，命题的个数是 ( )第11题图A.3B.2C.1D.0 【测量目标】平面图形的直观图与三视图.【考查方式】给出正（主）视图、俯视图，判断可能的几何体图形. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】①②③均是正确的，只需①底面是等腰直角三角形的直四棱柱，让其直角三角形直角边对应的一个侧面平卧；②直四棱柱的两个侧面是正方形或一正四棱柱平躺；③圆柱平躺即可使得三个命题为真，答案选A.12．设1234,,,A A A A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312()A A A A λλ=∈R,1412()A A A A μμ=∈R ,且112λμ+=，则称34,A A 调和分割12,A A ，已知平面上的点(,0),(,0),(,C c D d c d ∈R 调和分割点(0,0),A B ，则下面说法正确的是( )A. C 可能是线段AB 的中点B. D 可能是线段AB 的中点C. C 、D 可能同时在线段AB 上D. C 、D 不可能同时在线段AB 的延长线上【测量目标】向量的线性运算.【考查方式】给出平面向量的数量关系，判断平面中线段的数量关系. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】根据题意可知112c d +=，若C 或D 是线段AB 的中点，则12c =，或12d =，矛盾；（步骤1）若C,D 可能同时在线段AB 上，则01,01,c d <<<<则112c d +>矛盾，（步骤2）若C,D 同时在线段AB 的延长线上，则1,1c d >>，1102c d<+<，故C,D 不可能同时在线段AB 的延长线上，答案选D.（步骤3）二、填空题：本大题共4小题·，每小题4分，共16分. 13．执行如图所示的程序框图，输入2,3,5l m n ===，则输出的y 的值是 .第13题图【测量目标】循环结构程序框图.【考查方式】给出程序框图输入值，判断输出值. 【难易程度】容易【参考答案】68【试题解析】1406375278,y =++=（步骤1）278105173,17310568y y =-==-=.（步骤2）答案应填：68.14．若6(x 展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .【测量目标】二项式定理【考查方式】给出二项式常数项的值，判断二项式中未知参量的值. 【难易程度】中等【参考答案】4【试题解析】6(x 的展开式616C (k kk k T x -+=636C (kk k x -=，（步骤1）令630,2,k k -==226C (1560,4a a ===，答案应填：4.（步骤2）15．设函数()(0)2xf x x x =>+，观察： 1()()2x f x f x x ==+，21()(())34x f x f f x x ==+，32()(())78x f x f f x x ==+， 43()(())1516xf x f f x x ==+，……根据上述事实，由归纳推理可得：当*n ∈N ，且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== . 【测量目标】已知递推关系求通项.【考查方式】给出()f x 函数解析式，利用递推关系判断()n f x 的函数关系式. 【难易程度】较难【参考答案】(21)2n nxx -+【试题解析】2122()(())(21)2x f x f f x x ==-+，3233()(())(21)2xf x f f x x ==-+， 4344()(())(21)2x f x f f x x ==-+，以此类推可得1()(())(21)2n n n nxf x f f x x -==-+. 答案应填：(21)2n nxx -+. 16.已知函数()log (0,a f x x x b a =+->且1)a ≠.当234a b <<<<时函数()f x 的零点为*0(,1)()x n n n ∈+∈N ，则n = .【测量目标】对数函数的图象与性质.【考查方式】给出含参量的对数函数关系式，通过对参量的范围讨论，判断函数零点的取值范围. 【难易程度】较难【参考答案】2【试题解析】根据(2)log 22log 230a a f b a =+-<+-=，(3)log 32log 340a a f b a =+->+-=，(步骤1)而函数()f x 在(0,)+∞上连续，单调递增，故函数()f x 的零点在区间(2,3)内，故2n =.答案应填：2.（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，共74分. 17.（本小题满分12分）在ABC △中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知cos 2cos 2cos A C c aB b--=，（Ⅰ）求sin sin C A 的值；（Ⅱ）若1cos ,24B b ==，求ABC △的面积S . 【测量目标】正弦定理，两角和的正弦，余弦定理.【考查方式】给出一个三角形内角边的三角函数关系式，通过三角函数变换，求解两个角的正弦比值及三角形面积.【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）在ABC △中，由cos 2cos 2cos A C c aB b--=及正弦定理可得cos 2cos 2sin sin cos sin A C C AB B--=，（步骤1）即cos sin 2cos sin 2sin cos sin cos A B C B C B A B -=-则cos sin sin cos 2sin cos 2cos sin A B A B C B C B +=+(步骤2)sin()2sin()A B C B +=+，而πA B C ++=，则sin 2sin C A =，即sin 2sin CA=.（步骤3）另解1：在ABC △中，由cos 2cos 2cos A C c aB b--=可得cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=-（步骤1）由余弦定理可得22222222222222b c a a b c a c b a c b c a a c +-+-+-+--=-，整理可得2c a =，由正弦定理可得sin 2sin C cA a==.（步骤2）另解2：利用教材习题结论解题，在ABC △中有结论cos cos ,cos cos ,cos cos a b C c B b c A a C c a B b A =+=+=+.（步骤1）由cos 2cos 2cos A C c aB b--=可得cos 2cos 2cos cos b A b C c B a B -=-（步骤2）即cos cos 2cos 2cos b A a B c B b C +=+，则2c a =，由正弦定理可得sin 2sin C cA a==.（步骤3）（Ⅱ）由2c a =及1cos ,24B b ==可得22222242cos 44,c a ac B a a a a =+-=+-=则1a =，2c =，（步骤4）S 11sin 1222ac B ==⨯⨯=，即S =（步骤5）18．（本题满分12分）红队队员甲、乙、丙与蓝队队员A 、B 、C 进行围棋比赛，甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘.已知甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 的概率分别为0.6,0.5,0.5.假设各盘比赛结果相互独立.（Ⅰ）求红队至少两名队员获胜的概率；（Ⅱ）用ξ表示红队队员获胜的总盘数，求ξ的分布列和数学期望E ξ. 【测量目标】离散型随机变量的分布列，期望和方差.【考查方式】给出数学模型，列出随机变量的分布列并求数学期望. 【难易程度】中等【试题解析】（Ⅰ）记甲对A 、乙对B 、丙对C 各一盘中甲胜A 、乙胜B 、丙胜C 分别为事件,,D E F ,则甲不胜A 、乙不胜B 、丙不胜C 分别为事件,,D E F ，（步骤1）根据各盘比赛结果相互独立可得故红队至少两名队员获胜的概率为()()()()P P DEF P DEF P DEF P DEF =+++()()()()()()()()()()()()P D P E P F P D P E P F P D P E P F P D P E P F =+++0.60.5(10.5)0.6(10.5)0.5(10.6)0.50.50.60.50.5=⨯⨯-+⨯-⨯+-⨯⨯+⨯⨯0.55=.（步骤2）（Ⅱ）依题意可知0,1,2,3ξ=，(0)()()()()(10.6)(10.5)(10.5)0.1P P DEF P D P E P F ξ====-⨯-⨯-=； (1)()()()P P DEF P DEF P DEF ξ==++0.6(10.5)(10.5)(10.6)0.5(10.5)(10.6)(10.5)0.50.35=⨯-⨯-+-⨯⨯-+-⨯-⨯=;(2)()()()P P DEF P DEF P DEF ξ==++0.60.5(10.5)(10.6)0.50.50.6(10.5)0.50.4=⨯⨯-+-⨯⨯+⨯-⨯=; (3)()0.60.50.50.15P P DEF ξ===⨯⨯=.故ξ的分布列为（步骤3）故00.110.3520.430.15 1.6E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.（步骤4） 19. （本小题满分12分）在如图所示的几何体中，四边形ABCD 为平行四边形，90ACB ∠= ，EA ⊥平面ABCD ，//EF AB ， //FG BC ，//EG AC ，2AB EF =．（I ）若M 是线段AD 的中点，求证：//GM 平面ABFE ；（II ）若2AC BC AE ==，求二面角A BF C --的大小第19题图【测量目标】空间立体几何线面平行，二面角.【考查方式】给出空间几何体线面垂直，线线平行及线段之间的长度关系，判断线面平行及二面角大小. 【难易程度】中等【试题解析】几何法：证明：（Ⅰ）//EF AB ，2AB EF =可知延长BF 交AE 于点P ，而//FG BC ，//EG AC ，则P BF ∈⊂平面,BFGC P AE ∈⊂平面AEGC ，即P ∈平面BFGC 平面AEGC GC =，（步骤1）于是,,BF CG AE 三线共点，1//2FG BC ，若M 是线段AD 的中点，而//AD BC , 则//FG AM ，（步骤2）四边形AMGF 为平行四边形，则//GM AF ，又GM ⊄平面ABFE ，所以//GM 平面ABFE ；（步骤3）（Ⅱ）由EA ⊥平面ABCD ，作C H A B ⊥，则CH ⊥平面ABFE ，作H T B F ⊥，连接CT ，则CT B F ⊥，于是CTH ∠为二面角A BF C --的平面角.（步骤4）若2AC BC AE ==，设1AE =，则2A C B C==，AB CH ==，H 为AB 的中点，2t a n2AE AE FBA AB EF AB ∠====-，sin FBA ∠=（步骤5）sin HT BH ABF =∠==Rt CHT △中tan CH CTH HT ∠==则60CTH ∠=，即二面角A BF C --的大小为60.（步骤6）坐标法：（Ⅰ）证明：由四边形ABCD 为平行四边形， 090ACB ∠=，EA ⊥平面ABCD ，可得以点A 为坐标原点，,,AC AD AE 所在直线分别为,,x y z 建立直角坐标系，（步骤1）设=,,AC a AD b AE c ==，则(0,0,0)A ,1(,0,0),(0,,0),(0,,0),(,,0)2C aD b M b B a b -.（步骤2）由//EG AC 可得()EG AC λλ=∈R ，1(,,)2GM GE EA AM a b c λ=++=-- （步骤3）由//FG BC 可得()FG BC AD μμμ==∈R,1122GM GF FA AM AD BA EA AD μ=++=-+++1(,(1),)2a b c μ=---，则12λμ==，12GM BA EA =+，而GM ⊄平面ABFE ，所以//GM 平面ABFE ；（步骤4）（Ⅱ）若2AC BC AE ==，设1AE =，则2AC BC ==，(2,0,0),(0,0,1),(2,2,0),(1,1,1)C E B F --,则(0,2,0)BC AD == ,(1,1,1)BF =-,（步骤5） (2,2,0)AB =-,设11112222(,,),(,,)x y z x y z =n =n 分别为平面ABF 与平面CBF 的法向量.则11111220x y x y z -=⎧⎨-++=⎩，令11x =，则111,0y z ==，1(1,1,0)n =；2222200y x y z =⎧⎨-++=⎩，令21x =，则220,1y z ==，2(1,0,1)=n .（步骤6）于是1212121cos 2<>== n n n ,n n n ，则1260<>= n ,n ，即二面角A BF C --的大小为60.（步骤7）20. （本小题满分12分）等比数列{}n a 中，123,,a a a 分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且123,,a a a 中的任何两个数不在下表的同一列．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若数列{}n b 满足：()1ln nn n n b a a =+-，求数列{}n b 的前n 项和n S ．【测量目标】数列的通项及前n 项和.【考查方式】给出等比数列前三项求数列的通项，并求组合数列{}n b 的前n 项和. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由题意可知1232,6,18a a a ===，公比32123a a q a a ===，通项公式为123n n a -= ；（步骤1）（Ⅱ）()1111ln 23(1)ln 2323(1)[ln 2(1)ln 3]nn n n n n n n n b a a n ---=+-=+-=+-+-当*2()n k k =∈N 时，122n k S b b b =+++212(133)[1(23)((22)(21))]ln3k k k -=+++++-+++--+- 2132ln 331ln 3132k n nk -=+=-+-（步骤2）当*21()n k k =-∈N 时1221n k S b b b -=+++222(133)[(12)((23)(22))]ln3ln 2k k k -=++++-++----21132(1)ln 3ln 213k k --=----(1)31ln 3ln 22n n -=---（步骤3）故31ln 3,2(1)31ln 3ln 22nn n n n S n n ⎧-+⎪⎪=⎨-⎪---⎪⎩为偶数；，为奇数.（步骤4）另解：令11(1)ln 23nnn n T -=-⋅∑，即11(1)ln 2(1)(1)ln 3nnnn n T n =-+--∑∑（步骤1）223[1(1)(1)]ln 2[(1)1(1)2(1)(1)]ln3n n n T n =-+-++-+-+-++-- 231341[(1)(1)(1)]ln 2[(1)1(1)2(1)(1)]ln3n n n T n ++-=-+-++-+-+-++--则12312[1(1)]ln 2[(1)(1)(1)(1)(1)]ln3n n n n T n ++=---+-+-++----211111(1)(1)[1(1)]ln 2[(1)(1)]ln 3222n n n n T n +++---=---+---12111[1(1)]ln 2[(1)(1)(21)]ln 324n n n T n ++=---+----（步骤2）故1122(133)n n n n S b b b T -=+++=++++1211131[1(1)]ln 2[(1)(1)(21)]ln 324n n n n ++=-+---+----.（步骤3）21. （本小题满分12分）某企业拟建造如图所示的容器（不计厚度，长度单位：米），其中容器的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，按照设计要求容器的容积为80π3立方米，且2l r …．假设该容器的建造费用仅与其表面积有关．已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c （3c >）千元．设该容器的建造费用为y 千元．（Ⅰ）写出y 关于r 的函数表达式，并求该函数的定义域；（Ⅱ）求该容器的建造费用最小时的r ．第21题图【测量目标】函数单调性的综合应用.【考查方式】给出实际问题，建立函数模型运用导数解决实际问题. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）由题意可知2324π80ππ()33r l r l r +=…，即2804233l r r r =-≥，则02r <≤.（步骤1）容器的建造费用为2228042π34π6π()4π33y rl r c r r r c r =⨯+⨯=-+，即22160π8π4πy r r c r=-+，定义域为{02}r r <≤.（步骤2）（Ⅱ）2160π16π8πy r rc r '=--+，令0y '=，得r =令2,r ==即 4.5c =，（步骤3）（1）当34.5c <≤2,当02r <≤，0y '<，函数y 为减函数，当2r =时y 有最小值；（步骤4）（2）当 4.5c >2,<当0r <<0y '<；当r >0y '>，此时当r =y 有最小值.（步骤5） 22. （本小题满分12分）已知动直线l 与椭圆C ：22132x y +=交于()()1122,,,P x y Q x y 两不同点，且OPQ △的面积2OPQ S =△O 为坐标原点．（Ⅰ）证明：2212x x +和2212y y +均为定值；（Ⅱ）设线段PQ 的中点为M ，求OM PQ 的最大值；（Ⅲ）椭圆C 上是否存在三点,,D E G ，使得ODE ODG OEG S S S ===△△△？若存在，判断DEG △的形状；若不存在，请说明理由．【测量目标】椭圆的简单几何性质.【考查方式】给出直线与椭圆的位置关系，根据椭圆的几何性质，讨论坐标的定值及线段积的最值等综合问题.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）当直线l 的斜率不存在时，,P Q 两点关于x 轴对称，则1212,x x y y ==-，（步骤1）由()11,P x y 在椭圆上，则2211132x y +=，而11OPQ S x y ==△，则111x y == 于是22123x x +=，22122y y +=.（步骤2）当直线l 的斜率存在，设直线l 为y kx m =+，代入22132x y +=可得（步骤3） 2223()6x kx m ++=，即222(23)6360k x km m +++-=，0>△，即2232k m +>2121222636,2323km m x x x x k k -+=-=++（步骤4）12PQ x =-==d =1122POQS d PQ === △（步骤5）则22322k m +=，满足0>△222221212122263(2)()2()232323km m x x x x x x k k -+=+-=--⨯=++，222222*********(3)(3)4()2333y y x x x x +=-+-=-+=，综上可知22123x x +=，22122y y +=.（步骤6）（Ⅱ））当直线l的斜率不存在时，由（Ⅰ）知12OM x PQ === （步骤7）当直线l 的斜率存在时，由（Ⅰ）知12322x x km+=-， 2121231()222y y x x k k m m m m ++=+=-+=，（步骤8） 222212122229111()()(3)2242x x y y k OM m m m++=+=+=- 22222222224(32)2(21)1(1)2(2)(23)k m m PQ k k m m +-+=+==++（步骤9）22221125(3)(2)4OMPQ m m =-+≤，当且仅当221132m m -=+，即m =时等号成立，综上可知OM PQ 的最大值为52.（步骤10）（Ⅲ）假设椭圆上存在三点,,D E G ，使得2ODE ODG OEG S S S ===△△△，由（Ⅰ）知2222223,3,3D E E G G D x x x x x x +=+=+=，2222222,2,2D E E G G D y y y y y y +=+=+=.解得22232D E G x x x ===,2221D E G y y y ===，（步骤11）因此,,D E G x x x 只能从,,D E G y y y 只能从1±中选取，因此,,D E G 只能从(,1)±中选取三个不同点，而这三点的两两连线必有一个过原点，这与2O D E O D G O E GS S S ===△△△相矛盾，故椭圆上不存在三点,,D E G ，使得2ODE ODG OEG S S S ===△△△.（步骤12）。

2011年全国高考2卷理科数学试题及答案

2011年全国高考2卷理科数学试题及答案2011年普通高等学校招生全国统一考试(全国卷II)数学本试卷共4页，共三大题21小题，总分150分，考试时间120分钟。

考生答题前需在试题卷和答题卡上填写姓名和准考证号，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

选择题需用2B铅笔将答案标号涂黑，如需更改，需用橡皮擦干净后重新涂写。

填空题和解答题需使用0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上的对应区域内回答，试题卷上的回答无效。

考试结束时，请一并上交试题卷和答题卡。

一、选择题本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知复数z=1+i，z为其共轭复数，则zz-z-1=A)-2i(B)-i(C)i(D)2i2.函数y=2x(x≥0)的反函数为A)y=(x∈R)B)y=(x≥0)C)y=4x2(x∈R)D)y=4x2(x≥0)3.以下四个条件中，使a>b成立的充分必要条件是A)a>b+1B)a>b-1C)a>bD)以上条件都是4.设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1=1，公差d=2，且Sk+2-Sk=24，则k=A)8(B)7(C)6(D)55.已知函数f(x)=cosωx(ω>0)，将y=f(x)的图像向右平移2π/3个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于A)1/3B)3C)6D)96.已知直二面角α-ℓ-β，点A∈α，AC⊥ℓ，C为垂足，B∈β，BD⊥ℓ，D为垂足，且AB=2，AC=BD=1，则D到平面ABC的距离等于A)2√3/3B)√2C)1D)2√3/37.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4位朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有A)4种B)10种C)18种D)20种8.曲线y=e2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=-x和y=x围成的三角形的面积为A)1/12B)1/2C)1/3D)1/329.设f(x)是周期为2的奇函数，当-1≤x≤1时，f(x)=2x(1-x)，则f(-5/4)=A)-11/16B)-1/4C)1/4D)11/16210.已知抛物线C：y=4x的焦点为F，直线y=2x-4与C交于A、B两点，则cos∠AFB=(A)解析：首先，求出抛物线C的准线方程为y=-4x，焦点为F(0,1)。

2011年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（辽宁卷）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1.a 为正实数，i 为虚数单位，i2ia +=，则=a ( )A.2D.1【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的除法形式，求解等式得出未知数. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】∵i i1i,1i 2i ia a a a ++=-∴=-==,23a a ∴=⇒=.故选B2.已知M ，N 为集合I 的非空真子集，且M ，N 不相等，若IN M =∅，则=N M( )A.MB.NC.ID.∅【测量目标】集合的基本运算（交集，并集，补集）.【考查方式】给出集合并集的结果求交集的结果. 【难易程度】容易【参考答案】A 【试题解析】INM =∅即是N 是M 的真子集，M N M ∴=.3.已知F 是抛物线2y x =的焦点，A ，B 是该抛物线上的两点，=3AF BF +，则线段AB 的中点到y 轴的距离为 ( )A.34B.1C.54D.74【测量目标】抛物线的简单几何性质.【考查方式】给出抛物线上两点与焦点线段之和，利用准线求线段中点到y 轴的距离. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】∵F 是抛物线2y x =的焦点F （1,04）准线方程14x =-(步骤1) 设A 11(,)x y ,B 22(,)x y ∴|AF |+|BF |=121144x x +++=3 解得1252x x +=（步骤2） ∴线段AB 的中点横坐标为54∴线段AB 的中点到y 轴的距离为54.（步骤3）4.△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，a sin A sin B +b cos 2A =a 2，则=ab( )A ．B ．CD【测量目标】正弦定理，余弦定理.【考查方式】给出三角形角与边满足的关系式，求两边的比值. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】∵2sin sin cos a A B b A +∴由正弦定理可知22sin sin sin cos A B B A +A （步骤1）∴22sin sin cos sin BA AB +=（）A∴sin sin B bA a==（步骤2） 5.从1，2，3，4，5中任取2各不同的数，事件A =“取到的2个数之和为偶数”，事件B =“取到的2个数均为偶数”，则P （B ︱A ）=( )A.18B.14C.25D.12【测量目标】随机事件与概率.【考查方式】给出两事件，通过求出两事件概率去求(|)P B A .【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】事件A =“取到的2个数之和为偶数”所包含的基本事件有：（1，3）、（1，5）、（3，5）、（2，4），∴()P A =25.（步骤1）事件B =“取到的2个数均为偶数”所包含的基本事件有（2，4），∴()P AB =110（步骤2） ∴(|)P B A =()1()4P AB P A =．（步骤3） 6.执行右面的程序框图，如果输入的n 是4，则输出的p 是( )A.8B.5C.3D.2第6题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出流程图，将数值带入算法求解.【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】k=1，满足条件k＜4，则执行循环体，p=0+1=1，s=1，t=1（步骤1）k=2，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+1=2，s=1，t=2（步骤2）k=3，满足条件k＜4，则执行循环体，p=1+2=3，s=2，t=3（步骤3）k=4，不满足条件k＜4，则退出执行循环体，此时p=3.（步骤4）7.设sin π1 += 43θ（），则sin2θ=( )A.79- B.19- C.19D.79【测量目标】三角函数的诱导公式.【考查方式】给出三角函数的等式，求解sin2θ的值. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】由sin（π4θ+）=sinπ4cosθ+cosπ4sinθ=22（sinθ+cosθ）=13，（步骤1）两边平方得：1+2sinθcosθ=29，即2sinθcosθ=79-，则sin2θ=2sinθcosθ=79-．故选A. （步骤2）8.如图，四棱锥S—ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确．．．的是( )A.AC ⊥SBB.AB 平面SCDC.SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角D.AB 与SC 所成的角等于DC 与SA 所成的角第8题图【测量目标】两条直线的位置关系，线面角，线面平行的判定. 【考查方式】给出四棱锥图示，验证选项结论. 【难易程度】中等【参考答案】D【试题解析】∵SD ⊥底面ABCD ，底面ABCD 为正方形，∴连接BD ，AC ,则BD ⊥AC ，根据三垂线定理，可得AC ⊥SB ，故A 正确；（步骤1） ∵AB CD ，AB ⊄平面SCD ，CD ⊂平面SCD ， ∴AB平面SCD ，故B 正确；（步骤2）∵SD ⊥底面ABCD ，ASO ∠是SA 与平面SBD 所成角，CSO ∠是SC 与平面SBD 所成的角，而△SAO ≌△CSO ，∴∠ASO =∠CSO ，即SA 与平面SBD 所成的角等于SC 与平面SBD 所成的角，故C 正确；（步骤3） ∵ABCD ，∴AB 与SC 所成的角是∠SCD ，DC 与SA 所成的角是∠SAB ，而这两个角显然不相等，故D 不正确；（步骤4）9.设函数122,1()1log ,1x x f x x x -⎧=⎨->⎩，则满足()2f x 的x 的取值范围是( )A.1[-，2]B.[0，2]C.[1，+∞]D.[0，+∞]【测量目标】指数函数与对数函数化简.【考查方式】给出分段函数模型，求满足不等式未知数的取值范围. 【难易程度】中等【参考答案】D 【试题解析】当1x时，122x-的可变形为11,0x x -，01x ∴．（步骤1）当x ＞1时，21log 2x-的可变形为12x， ∴x ＞1，故x 的取值范围[0，+∞）．（步骤2）10.若a ，b ，c 均为单位向量，且0=a b ，()()0--a c b c ，则||+-a b c 的最大值为 ( )A.12-B.1C.2D.2【测量目标】向量的基本运算.【考查方式】给出向量满足的关系式，求某向量关系的最大值. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】∵2()()0()0--⇒-++a c b c a b c a b c又∵,,a b c 为单位向量，且a b =0，∴()1+c a b ，（步骤1）而222222()+-=+++-+a b c a b c a b c a b =32()321-+-=c a b .∴+-a b c 的最大值为1．（步骤2）11.函数)(x f 的定义域为R ，2)1(=-f ，对任意x ∈R ，2)(>'x f ，则42)(+>x x f 的解集为( ) A.（1-，1） B ．（1-，+∞） C ．（∞-，1-）D ．（∞-，+∞）【测量目标】利用导数求函数的单调区间.【考查方式】给出函数满足的等式，求不等式解集. 【难易程度】较难【参考答案】B【试题解析】设()()(24),(1)(1)(24)0F x f x x F f =-+-=---+=则又对任意,()2,()()20x f x F x f x '''∈>∴=->R ，即()F x 在R 上单调递增，则()0F x >的解集为（-1，+∞），即()24f x x >+的解集为（-1，+∞）．故选B12.已知球的直径SC =4，A ，B 是该球球面上的两点，AB =3， 30=∠=∠BSC ASC ，则棱锥S —ABC的体积为 ( )A ．33B ．32C ．3D ．1【测量目标】圆的性质的应用，棱锥的体积.【考查方式】给出球直径，及内接三棱锥的部分棱长与角度，求三棱锥的体积. 【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】设球心为点O ，作AB 中点D ，连接SD ，CD ,因为线段SC 是球的直径，所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC =∠SBC =90,所以在Rt △SAC 中，SC =4，∠ASC =30，得：AC =2，SA =1）又在Rt △SBC 中，SC =4，∠BSC =30 ，得：BC =2，SB 则SA =SB ，AC =BC （步骤2）因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD2==,在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD2==3）又SD交CD于点D ，所以AB⊥平面SCD ,即棱锥S-ABC的体积：V=13SCDAB S△.（步骤4）因为SD=2，CD=2，SC=4,由余弦定理得：cos∠SDC=2221()2SD CD SCSD CD+-=4513(16)44+-=则sin∠SDC=5）由三角形面积公式得△SCD的面积S=12SD CD sin∠SDC=3（步骤6）所以棱锥S-ABC的体积：V=13AB S△SCD=133=（步骤7）第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第13题-第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题-第24题为选考题，考生根据要求做答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13.已知点（2，3）在双曲线C：22221(0,0)x ya ba b-=>>上，C的焦距为4，则它的离心率为．【测量目标】双曲线简单几何性质.【考查方式】定点在双曲线上，给出焦距，求双曲线离心率. 【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】∵22221x ya b-=，C的焦距为4，∴F1（-2，0），F2（2，0），∵点（2，3）在双曲线C上，∴2a32=，∴a=1，∴e=ca=2．14.调查了某地若干户家庭的年收入x（单位：万元）和年饮食支出y（单位：万元），调查显示年收入x 与年饮食支出y 具有线性相关关系，并由调查数据得到y 对x 的回归直线方程：321.0254.0ˆ+=x y．由回归直线方程可知，家庭年收入每增加1万元，年饮食支出平均增加____________万元．【测量目标】线性回归方程.【考查方式】给出线性回归方程式，x 的增加一定值求y 增加的值. 【难易程度】容易【参考答案】0.254【试题解析】∵对x 的回归直线方程．∴1ˆy=0.254（x +1）+0.321， ∴12ˆˆyy -=0.254（x +1）+0.321-0.254x -0.321=0.254. 15．一个正三棱柱的侧棱长和底面边长相等，体积为32，它的三视图中的俯视图如右图所示，左视图是一个矩形，则这个矩形的面积是．第15题图【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】给出三棱锥的体积，及俯视图，求三棱锥左视图的面积. 【难易程度】容易【参考答案】23【试题解析】设正三棱柱的侧棱长为a ，由题意可知3323a =,所以a =2，底面三角形的高为3，所以左视图矩形的面积为2×3=23． 16.已知函数)(x f =A tan （ωx +ϕ）（π0,||2ωϕ><），y =)(x f 的部分图象如下图，则π()24f = ．第16题图【测量目标】()tan()f x A x ωϕ=+的图象与性质.【考查方式】结合正切函数图象，在给定范围内求出周期，进而得出解析式和函数值. 【难易程度】中等【试题解析】由题意可知A =1，T =π2，所以ω=2，函数的解析式为：()tan(2)f x x ϕ=+ 因为函数过（0，1），所以，1=tan ϕ，所以ϕ=π4，所以π()tan(2)4f x x =+则f π()24=tan （ππ124+）三、解答题：解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．17.（本小题满分12分）已知等差数列{a n }满足a 2=0，a 6+a 8=-10 （I ）求数列{a n }的通项公式；（II ）求数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧-12n n a 的前n 项和．【测量目标】等差数列的通项，数列的通项公式{}n a 与前n 项和n S 的关系. 【考查方式】已知递推关系求通项，再结合给出的关系式，求数列的前n 项和. 【难易程度】容易【试题解析】（I ）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知条件可得110,21210,a d a d +=⎧⎨+=-⎩解得11,1.a d =⎧⎨=-⎩故数列{}n a 的通项公式为2.n a n =-（步骤1）（II ）设数列1{}2n n a -的前n 项和为n S ，即211,22nn n a a S a -=+++故11S =（步骤2） 12.2242n nn S a a a =+++所以，当1n >时， 1211111222211121()2422121(1)22n n n n n n nn n n nS a a a a aS a n n-------=+++--=-+++--=---=.2nn（步骤3）所以1.2n n nS -=综上，数列11{}.22n n n n a n n S --=的前项和（步骤4） 18．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD 为正方形，PD ⊥平面ABCD ，PD QA ，QA =AB =12PD ．（I ）证明：平面PQC ⊥平面DCQ ；（II ）求二面角Q —BP —C 的余弦值．第18题图【测量目标】面面平行的判定，二面角.【考查方式】给出空间线线、线面的关系，利用空间直角坐标系求解. 【难易程度】中等【试题解析】如图，以D 为坐标原点，线段DA 的长为单位长，射线DA 为x 轴的正半轴建立空间直角坐标系D —xyz .第18题（I ）图（I ）依题意有Q （1，1，0），C （0，0，1），P （0，2，0）.则(1,1,0),(0,0,1),(1,1,0).DQ DC PQ ===- 所以0,0.PQ DQ PQ DC ==（步骤1）即PQ ⊥DQ ，PQ ⊥DC .故PQ ⊥平面DCQ . （步骤2）又PQ ⊂平面PQC ，所以平面PQC ⊥平面DCQ . （步骤3）（II ）依题意有B （1，0，1），(1,0,0),(1,2,1).CB BP ==--设(,,)x y z =n 是平面PBC 的法向量，则0,0,20.0,CB x x y z BP ⎧==⎧⎪⎨⎨-+-==⎩⎪⎩即n n因此可取(0,1,2).=--n （步骤4）设m 是平面PBQ 的法向量，则0,0.BP PQ ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m可取(1,1,1).cos ,5=<>=-所以m m n 故二面角Q —BP —C的余弦值为5-（步骤5） 19.（本小题满分12分）某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种（分别称为品种家和品种乙）进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n 小块地，在总共2n 小块地中，随机选n 小块地种植品种甲，另外n 小块地种植品种乙．（I ）假设n =4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X ，求X 的分布列和数学期望；（II ）试验时每大块地分成8小块，即n =8，试验结束后得到品种甲和品种乙在个小块地上的每2分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？附：样本数据n x x x ,,,21⋅⋅⋅的的样本方差])()()[(1222212x x x x x x ns n -+⋅⋅⋅+-+-=，其中x 为样本平均数．【测量目标】用样本数字特征估计总体数字特征.【考查方式】给出种植方式求分布列与数学期望，再根据样本方差与样本平均数判断应选品种. 【难易程度】中等【试题解析】（I ）X 可能的取值为0，1，2，3，4，且481344482244483144484811(0),C 70C C 8(1),C 35C C 18(2),C 35C C 8(3),C 3511(4).C 70P X P X P X P X P X=============== （步骤1）X 的数学期望为181881()01234 2.7035353570E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯= （步骤2）（II ）品种甲的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(403397390404388400412406)400,81(3(3)(10)4(12)0126)57.25.8x S =+++++++==+-+-++-+++=甲甲（步骤3）品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差分别为：2222222221(419403412418408423400413)412,81(7(9)06(4)11(12)1)56.8x S =+++++++==+-+++-++-+=乙乙（步骤4）由以上结果可以看出，品种乙的样本平均数大于品种甲的样本平均数，且两品种的样本方差差异不大，故应该选择种植品种乙.20.（本小题满分12分）如图，已知椭圆C 1的中心在原点O ，长轴左、右端点M ，N 在x 轴上，椭圆C 2的短轴为MN ，且C 1，C 2的离心率都为e ，直线l ⊥MN ，l 与C 1交于两点，与C 2交于两点，这四点按纵坐标从大到小依次为A ，B ，C ，D ．（I ）设12e =，求BC 与AD 的比值；（II ）当e 变化时，是否存在直线l ，使得BOAN ，并说明理由．第20题图【测量目标】椭圆的简单几何性质，直线与椭圆的位置关系.【考查方式】给出离心率求线段比值，判断在离心率变化时，是否存在直线使已知两直线平行.【难易程度】较难【试题解析】（I ）因为C 1，C 2的离心率相同，故依题意可设22222122242:1,:1,(0)x y b y x C C a b a b a a+=+=>>(步骤1) 设直线:(||)l x t t a =<，分别与1C ，2C 的方程联立，求得2222((a b A t a t B t a t b a-- (步骤2)当1,,,22A B e b a y y ==时分别用表示,A B 的纵坐标，可知 222||3||:||.2||4B A y b BC AD y a === (步骤3) （II ）t =0时的l 不符合题意.0t ≠时，BO //AN 当且仅当BO 的斜率BO k 与AN 的斜率AN k 相等，即,a b t t a=- 解得222221.ab e t a a b e-=-=--(步骤4)因为221||,01,11, 1.2e t a e e e -<<<-<<<<又所以解得(步骤5) 所以当202e <时，不存在直线l ，使得BO AN ；当12e <<时，存在直线l 使得BO AN . (步骤6) 21.（本小题满分12分）已知函数x a ax x x f )2(ln )(2-+-=．（I ）讨论)(x f 的单调性；（II ）设0>a ，证明：当a x 10<<时，)1()1(x af x a f ->+；（III ）若函数)(x f y =的图象与x 轴交于A ，B 两点，线段AB 中点的横坐标为x 0，证明：f '（x 0）＜0．【测量目标】利用导数判断函数的单调性，利用导数解决不等式问题.【考查方式】给出含参的函数式，利用导数判断函数的单调性，通过限定参数范围，证明不等式.【难易程度】较难【试题解析】（I ）()f x 的定义域为(0,),+∞ 1(21)(1)()2(2).x ax f x ax a x x +-'=-+-=- （i ）若0,a 则()0,f x '>所以()f x 在(0,)+∞单调增加.（ii ）若0,a >则由()0f x '=得1,x a= 且当1(0,)x a ∈时,()0,f x '>当1x a>时,()0.f x '<(步骤1)所以1()(0,)f xa在单调增加，在1(,)a+∞单调减少. (步骤2)（II）设函数11()()(),g x f x f xa a=+--则3222()ln(1)ln(1)2,2()2.111g x ax ax axa a a xg x aax ax a x=+---'=+-=+--(步骤3)当10xa<<时,()0,g x'>而(0)0,()0g g x=∴>.故当10xa<<时，11()().f x f xa a+>-(步骤4)（III）由（I）可得，当0a时,函数()y f x=的图象与x轴至多有一个交点，故0a>，从而()f x的最大值为11(),()0.f fa a>且(步骤5)不妨设1212(,0),(,0),0,A xB x x x<<则1210.x xa<<<由（II）得1112211()()()()0.f x f x f x f xa a a-=+->==又()f x在1(,)a+∞单调递减，从而212,x xa>-于是121.2x xxa+=>(步骤6)由（I）知，()0.f x'<(步骤7)请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．做答是用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应题号下方的方框涂黑．22.（本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲如图，A，B，C，D四点在同一圆上，AD的延长线与BC的延长线交于E点，且EC=ED．（I）证明：CD//AB；（II）延长CD到F，延长DC到G，使得EF=EG，证明：A，B，G，F四点共圆．第22题图【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】根据圆的性质和直线的位置关系证明出线段的平行，结合圆和三角形中的角度关系证明圆上各点对应关系.【难易程度】容易【试题解析】（I ）因为EC =ED ，所以∠EDC =∠ECD . （步骤1）因为,,,A B C D 四点在同一圆上，所以∠EDC =∠EBA . 故∠ECD =∠EBA ，所以CD //AB . （步骤2）（II ）由（I ）知，AE =BE ，因为EF =EG ，故∠EFD =∠EGC从而∠FED =∠GEC . （步骤3）连结AF ，BG ，则△EF A ≌△EGB ，故∠F AE =∠GBE ，（步骤4）又CD AB ，∠EDC =∠ECD ，所以∠F AB =∠GBA . （步骤5）所以∠AFG +∠GBA =180.故,,,A B G F 四点共圆.（步骤6）23.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系统与参数方程在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 1的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos y x （ϕ为参数），曲线C 2的参数方程为⎩⎨⎧==ϕϕsin cos b y a x （0>>b a ，ϕ为参数），在以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线l ：θ=α与C 1，C 2各有一个交点．当α=0时，这两个交点间的距离为2，当α=π2时，这两个交点重合．（I ）分别说明C 1，C 2是什么曲线，并求出a 与b 的值；（II ）设当α=π4时，l 与C 1，C 2的交点分别为A 1，B 1，当α=π4-时，l 与C 1，C 2的交点为A 2，B 2，求四边形A 1A 2B 2B 1的面积．【测量目标】极坐标与参数方程.【考查方式】根据圆和椭圆的位置关系求出参数方程中各参数.【难易程度】中等【试题解析】（I ）1C 是圆，2C 是椭圆.当0α=时，射线l 与12,C C 交点的直角坐标分别为（1，0），（a ，0），因为这两点间的距离为2，所以a =3.当π2α=时，射线l 与12,C C 交点的直角坐标分别为（0，1），（0，b ），因为这两点重合，所以b =1. （步骤1）（II ）12,C C 的普通方程分别为22221 1.9x x y y +=+=和（步骤2）当π4α=时，射线l 与1C 交点1A 的横坐标为x =，与2C 交点1B 的横坐标为10x '= 当π4α=-时，射线l 与12,C C 的两个交点22,A B 分别与11,A B 关于x 轴对称，因此，四边形1221A A B B 为梯形. （步骤3）故四边形1221A A B B 的面积为(22)()2.25x x x x ''+-=（步骤4） 24．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数)(x f =|x -2||-x -5|．（I ）证明：3-)(x f 3；（II ）求不等式)(x f x 28-x +15的解集．【测量目标】不等式的证明，分段函数.【考查方式】对绝对值函数的分段讨论，进而得出不等式的解集.【难易程度】中等【试题解析】（I ）3,2,()|2||5|27,25,3, 5.x f x x x x x x -⎧⎪=---=-<<⎨⎪⎩（步骤1）当25,327 3.x x <<-<-<时所以3() 3.f x - （步骤2）（II ）由（I ）可知，当22,()815x f x x x -+时的解集为空集；当225,()815{|535}x f x x x x x <<-+-<时的解集为；当25,()815{|56}x f x x x x x -+时的解集为.（步骤3）综上，不等式2()815{|536}.f x x x x x -+-的解集为（步骤4）。

2011年高考试题数学圆锥曲线(理科)

2011年高考试题数学圆锥曲线（理科）解析数学一、选择题:1. (2011年高考山东卷理科8)已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为(A)22154x y -= (B) 22145x y -= (C) 22136x y -= (D) 22163x y -=3. (2011年高考全国新课标卷理科7)设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A （B （C ）2 （D ）3 答案：B解析：由题意知，AB 为双曲线的通径，所以，AB a a b 422==，222=∴ab又3122=+=ab e ，故选B.点评：本题考查双曲线标准方程和简单几何性质，通过通经与长轴的4倍的关系可以计算出离心率的关键22ab 的值，从而的离心率。

4.(2011年高考浙江卷理科8)已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=＞＞与双曲线222:14y C x -=有公共的焦点，2C 的一条渐近线与以1C 的长轴为直径的圆相交于,A B 两点，若1C 恰好将线段AB 三等分，则（A ）2132a =（B ）213a = （C ）212b = （D ）22b = 【答案】 C【解析】由1C 恰好将线段AB 三等分得133A A x x x x =⇒=，由222A y x x x y=⎧⇒=⎨+⎩,x ∴=y=) 在椭圆上,1=2211a b ⇒=又225,a b -=212b ∴=，故选C 5.(2011年高考安徽卷理科2)双曲线x y 222-=8的实轴长是（A ）2 (B)【答案】A【命题意图】本题考查双曲线的标准方程，考查双曲线的性质.属容易题.【解析】x y 222-=8可变形为22148x y -=，则24a =，2a =，24a =.故选C.6. (2011年高考湖南卷理科5)设双曲线()019222>=-a y ax 的渐近线方程为023=±y x ，则a 的值为A.4B. 3C. 2D. 18.(2011年高考陕西卷理科2)设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x = 【答案】B【解析】：设抛物线方程为2y ax =，则准线方程为4a x =-于是24a-=-8a ⇒= 9. (2011年高考四川卷理科10)在抛物线25(0)y x ax a ==-≠上取横坐标为14x =-，22x =的两点，过这两点引一条割线，有平行于该割线的一条直线同时与抛物线和圆225536x y +=相切，则抛物线顶点的坐标为( )（A ）(2,9)-- （B ）(0,5)- （C ）(2,9)- （D ）(1,6)-10. (2011年高考全国卷理科10)已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A ，B 两点．则cos AFB ∠= (A)45 (B)35 (C)35- (D)45- 【答案】D【解析】：24(1,0)y x F = 得，准线方程为1x =-，由24(1,2),(4,4)24y xA B y x ⎧=-⎨=-⎩得=，由抛物线的定义得2,5AF BF ==由余弦定理得4cos 5AFB ∠==- 故选D11．(2011年高考福建卷理科7)设圆锥曲线r 的两个焦点分别为F 1，F 2，若曲线r 上存在点P 满足1122::PF F F PF =4:3:2，则曲线r 的离心率等于A ．1322或B ．23或2C ．12或2D ．2332或【答案】A二、填空题:1.(2011年高考辽宁卷理科13)已知点（2,3）在双曲线C ：1by -a x 2222=（a ＞0，b ＞0）上，C 的焦距为4，则它的离心率为_____________.3. (2011年高考江西卷理科14)若椭圆22221x y a b +=的焦点在x 轴上，过点（1，12）作圆22+=1x y 的切线，切点分别为A,B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是【答案】22154x y +=【解析】因为一条切线为x=1,且直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，所以椭圆的右焦点为(1,0),即1c =,设点P （1，12）,连结OP,则OP ⊥AB,因为12OP k =,所以2AB k =-,又因为直线AB 过点(1,0),所以直线AB 的方程为220x y +-=,因为点(0,)b 在直线AB 上,所以2b =,又因为1c =,所以25a =,故椭圆方程是22154x y +=.4. (2011年高考全国新课标卷理科14) 在平面直角坐标系xOy 中，椭圆C 的中心为原点，焦点12,F F 在 x 轴上，。

2011年安徽高考数学理科试卷(带详解)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数学（理科）第Ⅰ卷（选择题共50分)一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设i 是虚数单位,复数a 1+2-ii为纯虚数,则实数a 为 ( )A.2B.-2C.1-2D.12【测量目标】复数的基本概念及代数形式的四则运算.【考查方式】给出一个含未知数的复数,令其为纯虚数,运用公式求解. 【难易程度】容易【参考答案】A 【试题解析】法一：()()()()()a a a a 1+2+1+2-+2+1==2-2-2+5i i i ii i i 为纯虚数,所以,a a 2-=0=2；法二：设a b 1+=2-ii i得a b b 1+=+2i i ,所以,b a =1=2；法三：()a a -1+=2-2-i i i i i为纯虚数,所以a =2； 2.双曲线x y 222-=8的实轴长是( )A.2B.C. 4 【测量目标】双曲线的标准方程.【考查方式】给出一个双曲线方程,求出实轴长. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】双曲线方程可变为x y 22-=148,所以,a a 2=4=2,实轴长a 2=4. 3.设()f x 是定义在R 上的奇函数,当x 0…时,()f x x x 2=2-,则()f 1=( )A.-3B.-1C.1D.3 【测量目标】函数的奇偶性的综合运用.【考查方式】给出在某一区间上一个函数方程，已知函数是奇函数,求解函数值. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】法一:()f x 是定义在R 上的奇函数,且x 0…时, ()f x x x 2=2-()()()()2112113f f ∴=--=--+-=-,故选A.法二:设0x >,则0x -<,()f x 是定义在R 上的奇函数,且x 0…时,()f x x x 2=2-,()()()2222f x x x x x ∴-=---=+,(步骤1)又()()f x f x -=-,()22f x x x ∴=--,()212113f ∴=-⨯-=-,故选A. (步骤2) ４.设变量,x y 满足1,x y +…则2x y +的最大值和最小值分别为( )Ａ.1，－1 Ｂ.2，－2 Ｃ.1，－2 Ｄ.2，－1 【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值.【考查方式】给出一个二元不等式，求目标函数的最值. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】法一：特值验证：当0,1x y ==时，22x y +=,故排除A ，C ；当0,1x y ==-时，22x y +=-,故排除D ，答案为B.法二:画出不等式1,x y +…表示的平面区域，平移目标函数线，易知当直线2x y u +=经过点B ，D 时分别对应u 的最大值和最小值，所以max min 2,2u u ==-.第4题图法三：已知条件是含绝对值的不等式，所以目标函数的最大值和最小值一定互为相反数，易知0,1x y ==时，22x y +=，故选B法四：绝对值不等式表示的区域是以(0,1),(1,0),(0,1),(1,0)--为顶点的正方形，线性规划一定在顶点处取得最优解，带入目标函数计算可得最大值、最小值分别为2,2-. 5.在极坐标系中，点(,)π23到圆2cos ρθ=的圆心的距离为( )A.2 【测量目标】极坐标与参数方程及点到圆心的距离.【考查方式】给出一个点坐标和参数方程，求出点到圆心之间的距离. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】极坐标(,)π23化为直角坐标：cos cos sin sin x y ρθρθπ⎧==2=1⎪⎪3⎨π⎪==2=⎪3⎩，即圆2cos ρθ=的方程为222x y x +=即22(1)0x y -+=，圆心到点(1故选D. 6.一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积（）第6题图A.48B.32+C.48+D.80 【测量目标】由三视图求几何体的表面积.【考查方式】给出三视图及其各边边长，求出其表面积. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】几何体是以侧视图等腰梯形为底面的直四棱柱,所以该几何体的表面积为12(24)44421642S =⨯⨯+⨯+⨯+⨯+⨯487=+故选C. 7命题“所有能被2整除的数都是偶数”的否定．．是 ( )A.所有不能被2整除的数都是偶数B.所有能被2整除的数都不是偶数C.存在一个不能被2整除的数都是偶数D.存在一个能被2整除的数不是偶数【测量目标】含有一个量词的命题的否定.【考查方式】给出含有一个量词的命题，求出其特称命题. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】全称命题的否定是特称命题，“所有”对于“存在一个”，同时否定结论，答案为D. 8.设集合{}1,2,3,4,5,6,A ={}4,5,6,7,8,B =则满足S A ⊆且S B ≠∅ 的集合S 的个数为( ) A.57 B.56 C.49 D.8 【测量目标】集合间的关系及基本运算.【考查方式】给出两个集合与他们之间的集合关系，求出其中一个集合的个数. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】法一：集合A 的子集有6264=个，满足S B =∅ 的子集就是集合{1,2,3}的所有子集，一共有328=个，所以集合S 的个数为632264856-=-=.法二：集合S 是集合A 的子集且至少含有集合{4,5,6}的一个元素，所以将S 看作集合{4,5,6}的非空子集与集合{1,2,3}的子集的并集，因此一共有33(21)256-⨯=个.9.已知函数()sin(2)f x x ϕ=+，其中ϕ为实数，若π()()6f x f …对x ∈R 恒成立，且π()(π)2f f >，则()f x 的单调递增区间是( )A.ππ[π,π]()36k k k -+∈Z B.π[π,π]()2k k k +∈Z C.π2π[π,π]()63k k k ++∈Z D.π[π,π]()2k k k -∈Z 【测量目标】三角函数的单调性、最值.【考查方式】给出一个三角函数及其最值，求出其单调递增区间. 【难易程度】较难【参考答案】C【试题解析】对x ∈R 时，π()()6f x f …恒成立，所以ππ()sin()163f ϕ=+=±，可得π5π2π2π66k k ϕϕ=+=-或，（步骤1）因为π()sin(π)sin (π)sin(2π)sin 2f f ϕϕϕϕ=+=->=+=，故sin 0ϕ<，所以5π2π6k ϕ=-，所以5π()sin 26f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，（步骤2）函数单调递增区间为π5ππ2π22π262k x k -+-+剟，所以π2π[π,π]()63x k k k ∈++∈Z ,答案为C. （步骤3） 10.函数()(1)mnf x ax x =-在区间[0,1]上的图象如图所示，则,m n 的值可能是 ( ) A.1,1m n == B.1,2m n == C.2,1m n == D.3,1m n ==第10题图【测量目标】函数图象的应用.【考查方式】给出一个含未知量的复合函数在某一区间的图象，求出未知量. 【难易程度】较难【参考答案】B【试题解析】由图得，原函数的极大值点小于0.5，当1,1m n ==时,()21(1)(),24a f x ax x a x =-=--+在12x =处有最值,所以A 不可能；(步骤1) 当1,2m n ==时,232()(1)(2),f x ax x a x x x =-=-+()(31)(1)f x a x x '∴=--，令()100,,3f x x x '=⇒==即函数在13x =处有最值所以B 可能；(步骤2) 当2,1m n ==时,223()(1)(),f x ax x a x x =-=-有2()(32)(23),f x a x x ax x '=-+=- 令()200,,3f x x x '=⇒==即函数在23x =处有最值,所以C 不可能；(步骤3) 当3,1m n ==时，343()(1)()f x ax x a x x =-=-+,有2()(43)f x ax x '=-+，令()300,,4f x x x '=⇒==即函数在34x =处有最值,所以D 不可能. (步骤4) 第II 卷（非选择题共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案填在答题卡的相应位置. 11.如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是 .第11题图【测量目标】循环结构的程序框图.【考查方式】给出程序框图，阅读并运行程序，得出结果. 【难易程度】中等【参考答案】15【试题解析】第1次进入循环体有：00T =+，第2次有：01T =+，第3次有：012T =++，……第n 次有：012(1)T n =++++- ,（步骤1）令(1)1052n n T -=>，解得15n >（负值舍去），（步骤2）故16,n =此时输出15k =.（步骤3） 12.设()x a a x a x a x 2122101221-1=+++L ，则a a 1011+= .【测量目标】二项式定理.【考查方式】给出一个二项式，通过公式展开二项式，求出其中两项系数的和. 【难易程度】容易【参考答案】0【试题解析】,a a 1011分别是含x 10和x 11项的系数，所以C ,a 111021=-C a 101121=，所以a a 1011+=C C 10112121-=0.13.已知向量,a b 满足()()+2-=-6g a b a b ，且1=a ，2=b ，则a 与b 的夹角为 . 【测量目标】平面向量的夹角问题.【考查方式】给出两个向量之间的关系等式及各自的模长，求出它们之间的夹角. 【难易程度】中等【参考答案】π3【试题解析】设a 与b 的夹角为θ，依题意有：22(2)()272cos 6θ+-=+-=-+=- a b a b a a b b ，（步骤1）所以1cos =2θ，（步骤2）因为0πθ剟，故π=3θ.（步骤3） 14.已知ABC △的一个内角为120，并且三边长构成公差为4的等差数列，则ABC △的面积为 .【测量目标】余弦定理及三角形面积.【考查方式】给出一个三角形的内角度数及三边关系，求出三角形的面积. 【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】不妨设角120,A c b =<，则4,4a b c b =+=-，于是222(4)(4)1cos1202(4)2b b b b b +--+==--，解得=10b ，所以1=sin1202S bc = .15.在平面直角坐标系中，如果x 与y 都是整数，就称点(,)x y 为整点，下列命题中正确的是 .（写出所有正确命题的编号）.①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点②如果k 与b 都是无理数，则直线y kx b =+不经过任何整点 ③直线l 经过无穷多个整点，当且仅当l 经过两个不同的整点④直线y kx b =+经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与b 都是有理数 ⑤存在恰经过一个整点的直线【测量目标】新定义，直线的性质，命题的判定.【考查方式】给出一个新定义，根据新定义判断给出五个命题的正确性. 【难易程度】较难【参考答案】①③⑤【试题解析】①正确，如直线12y =+，不经过任何整点（10,2x y ==；0x ≠，y 是无理数）(步骤1)②错误，直线y =k 与b 都是无理数，但直线经过整点（1,0）；(步骤2) ③正确，当直线经过两个整点时，它经过无数多个整点；(步骤3) ④错误，当10,2k b ==时，直线12y =不通过任何整点；(步骤4)⑤正确，比如直线y =只经过一个整点(0,0).(步骤5)三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.解答写在答题卡的指定区域内.16.（本小题满分12分）设2e ()1xf x ax =+，其中a 为正实数.（Ⅰ）当34=a 时，求)(x f 的极值点；（Ⅱ）若)(x f 为R 上的单调函数，求a 的取值范围【测量目标】导数的运算,利用导数求函数的极值，利用函数的单调性求参数范围. 【考查方式】给出一个含参数函数，（Ⅰ）给出参数的值求极值点，（Ⅱ）给出其单调性，求参数的取值范围.【难易程度】中等【试题解析】对)(x f 求导得22212()e (1)xax axf x ax +-'=+①（步骤1）（Ⅰ）当34=a 时，若0)(='x f ，则03842=+-x x ，解得21,2321==x x （步骤2）结合①，可知所以，21=x 是极小值点，22=x 是极大值点. （步骤3）（Ⅱ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件0a >，知2210ax ax -+…（步骤4）在R 上恒成立，因此2444(1)0a a a a ∆=-=-…，由此并结合0a >，知01a <….（步骤5） 17.（本小题满分12分）如图，ABEDFC 为多面体，平面ABED 与平面ACFD 垂直，点O 在线段AD 上，1,2OA OD ==，,,,OAB OAC ODE ODF △△△△都是正三角形.（Ⅰ）证明直线BC EF ; （Ⅱ）求棱锥F OBED -的体积.第17题图【测量目标】线线平行的判定，棱锥的体积，空间向量及其运算.【考查方式】给出一个多面体，其中两个面互相垂直，有4个正三角形，证明两条直线平行和求解棱锥的体积.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）（综合法）证明：设G 是线段DA 与线段EB 延长线的交点，由于OAB △与ODE△都是正三角形，所以1,2OB DE=2OG OD =，（步骤1）同理，设G '是线段DA 与线段FC 延长线的交点，有2OG OD '==，又由于G 和G '都在线段DA 的延长线上，所以G 与G '重合. （步骤2）在GED △和GFD △中，由12OB DE 和12OC DF , 12OC DF =,12OB DE =可知,B C 分别是GE 和GF 的中点，所以BC 是GEF △的中位线，故BC EF .（步骤3）（向量法）过点F 作FQ AD ⊥,交AD 于点Q ，连QE ，由平面ABED ⊥平面ADFC ，知FQ ⊥平面ABED ,以Q 为坐标原点，QE 为x 轴正向，QD 为y 轴正向，QF 为z 轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.由条件知E )，F （，B （3,022-），C （30,,22-）. （步骤1）则有)23,0,23(-=，)3,0,3(-=EF .（步骤2）所以2=，即得BC EF .（步骤3）第17题（Ⅰ）图（Ⅱ）由1,2,60OB OE EOB ==∠= ，知EOB S =（步骤4）而ODE △是边长为2的正三角形，故OED S =所以OBED EOB ODE S S S =+=233.（步骤5）过点F 作FQ AD ⊥，交AD 于点Q ，由平面ABED ⊥平面ACFD 知，FQ 就是四棱锥F OBED -的高，且FQ =，所以13.32F OBED OBED V FQ S -== （步骤6） 18.（本小题满分13分）在数1和100之间插入n 个实数，使得这2n +个数构成递增的等比数列，将这2n +个数的乘积记作n T ，再令n n T a lg =，1n …. （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设1tan tan n n n b a a += ，求数列{}n b 的前n 项和n S .【测量目标】对数和指数的运算，两角差的正切公式，等比和等差数列及其前n 项和. 【考查方式】考查灵活运用基本知识解决问题的能力，创新思维能力和运算求解能力. 【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）设221,,,+n t t t 构成等比数列，其中100,121==+n t t ，则1212n n n T t t t t ++=①（步骤1）2121n n n T t t t t +⋅+= ②（步骤2）①×②并利用231210,(12)i n i n t t t t in +-+==+ 剟，得)2(2210+=n n T ，lg 2, 1.n n a T n n ∴==+…（步骤3）（Ⅱ）由题意和（Ⅰ）中计算结果，知tan(2)tan(3),1n b n n n =++ …（步骤4）另一方面，利用tan(1)tan tan1tan((1))1tan(1)tan k kk k k k+-=+-=-+得tan(1)tan tan(1)tan 1tan1k kk k +-+=- （步骤5）所以22133tan(1)tan tan(3)tan 3tan(1)tan (1)tan1tan1nn n n i i i i k k n S b k k n ++===+-+-==+=-=-∑∑∑ （步骤6）19.（本小题满分12分）（Ⅰ）设1,1,x y厖证明111x y xy xy x y++++…；（Ⅱ）设1,a bc <剟证明log log log log log log a b c b c a b c a a b c ++++….【测量目标】基本不等式证明不等式.【考查方式】考查对数函数的性质和对数换底公式, 不等式的性质等基本知识，考查代数式的恒等变形和推理论证能力. 【难易程度】中等【试题解析】证明：（Ⅰ）由于1,1,x y 厖所以111x y xy xy x y++++…（步骤1） 2()1()xy x y y x xy ⇔++++…（步骤2）将上式中的右式减左式，得22(())(()1)(()1)(()())y x xy xy x y xy xy x y x y ++-++=--+-+(1)(1)()(1)(1)(1)(1)(1)(1)xy xy x y xy xy xy x y xy x y =+--+-=---+=--- 既然1,1,x y 厖所以(1)(1)(1)0xy x y ---…，从而所要证明的不等式成立. （步骤3）（Ⅱ）设y c x b b a ==log ,log ，由对数的换底公式得xy c yb x a xy a ac b c ====log ,1log ,1log ,1log （步骤4）于是，所要证明的不等式即为111x y xy xy x y++++…（步骤5）其中log 1,log 1a b x b y c==厖，故由（Ⅰ）立知所要证明的不等式成立. （步骤6）20.（本小题满分13分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟.如果前一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人，现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别为123,,P P P ，假设123,,P P P 互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立.（Ⅰ）如果按甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率.若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（Ⅱ）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为321,,q q q ，其中321,,q q q 是123,,P P P 的一个排列，求所需派出人员数目X 的分布列和均值（数学期望）EX ；（Ⅲ）假定1231P P P >>>，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小.【测量目标】随机事件与概率，离散型随机变量的期望.【考查方式】考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识.【难易程度】较难【试题解析】（Ⅰ）无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是123(1)(1)(1)P P P ---，（步骤1）所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于1231231213231231(1)(1)(1)P P P P P P PP PP P P PP P ----=++---+（步骤2）（Ⅱ）当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为321,,q q q 时，随机变量X 的分布列为所需派出的人员数目的均值（数学期望）EX 是EX =1q +21)1(q q -+)1)(1(21q q --=212123q q q q +--（步骤3）（Ⅲ）（方法一）由（Ⅱ）的结论知，当甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时，EX =212123q q q q +--根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值.下面证明：对于123,,P P P 的任意排列321,,q q q ，都有121212123232q q q q P P PP --+--+…（＊）（步骤4）事实上， 12121212(32)(32)q q q q P P PP ∆=--+---+（步骤5）112212122()()P q P q PP q q =-+--+1122112122211122112122()()()()(2)()(1)()(1)[()()]0P q P q P q P q P q P P q q P q q P P q q =-+-----=--+---+-+……即（＊）成立. （步骤6）（方法二）（ⅰ）可将（Ⅱ）中所求的EX 改写为12121)(3q q q q q -++-，若交换前两人的派出顺序，则变为22121)(3q q q q q -++-.由此可见，当12q q >时，交换前两人的派出顺序可减少均值. （步骤4）（ⅱ）也可将（Ⅱ）中所求的EX 改写为211)1(23q q q ---，若交换后两人的派出顺序，则变为111)1(23q q q ---.由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当12q q <时，交换后两人的派出顺序也可减少均值. （步骤5）综合（ⅰ）（ⅱ）可知，当123(,,)P P P =),,(321q q q 时，EX 达到最小.即完成任务概率大的人优先派出，可减少所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的. （步骤6）21.（本小题满分13分）设0>λ，点A 的坐标为（1,1），点B 在抛物线2x y =上运动，点Q 满足λ=，经过点Q 与x 轴垂直的直线交抛物线于点M ，点P 满足λ=，求点P 的轨迹方程.第21题图【测量目标】直线与抛物线的位置关系，圆锥曲线中的轨迹问题.【考查方式】考查直线和抛物线的方程，平面向量的概念，性质与运算，动点的轨迹方程等基本知识，考查灵活运用知识探究问题和解决问题的能力.【难易程度】较难【试题解析】由λ=知,,Q M P 三点在同一条垂直于x 轴的直线上，故可设(),,P x y ()0,,Q x y （步骤1）()2,,M x x 则)(202x y y x -=-λ,即y x y λλ-+=20)1( ①（步骤2）再设),(11y x B ，由QA BQ λ=，即)1,1(),(0101y x y y x x --=--λ，解得110(1),(1)x x y y λλλλ=+-⎧⎨=+-⎩ ②（步骤3）将①式代入②式，消去0y ，得1221(1),(1)(1)x x y x y λλλλλλ=+-⎧⎨=+-+-⎩ ③（步骤4）又点B 在抛物线2x y =上，所以211x y =，再将③式代入211x y =，得,))1(()1()1(222λλλλλλ-+=-+-+x y x （步骤5）整理得0)1()1()1(2=+-+-+λλλλλλy x 因0>λ，两边同除以)1(λλ+，得 012=--y x故所求点P 的轨迹方程为12-=x y .（步骤6）。

2011年辽宁高考数学理科试卷(带详解)

【难易程度】容易
【参考答案】A
【试题解析】 N ðI M 即是 N 是 M 的真子集， M N M .
3.已知 F 是抛物线 y2 x 的焦点，A，B 是该抛物线上的两点， AF BF =3 ，则线段 AB 的中点
到 y 轴的距离为
3
5
A.
B.1
C.
4
4
【测量目标】抛物线的简单几何性质.
4
4
4
2
3
两边平方得：1+2sin cos = 2 ，即 2sin cos = 7 ，
9
9
则 sin2 =2sin cos = 7 ．故选 A. （步骤 2） 9
8.如图，四棱锥 S—ABCD 的底面为正方形，SD 底面 ABCD，
则下列结论中不正确的是
()
A.AC⊥SB
B.AB 平面 SCD
∵AB CD，∴AB 与 SC 所成的角是∠SCD，DC 与 SA 所成的角是∠SAB，
而这两个角显然不相等，故 D 不正确；（步骤 4）
9.设函数
f
(x)
21x , x „
1
log
2
1 x, x
，则满足
1
f
(x)
„
2 的 x 的取值范围是
()
A.[1 ，2]
B.[0，2]
C.[1，+ ]
D.[0，+ ]
∵AB CD，AB 平面 SCD，CD 平面 SCD，
∴AB 平面 SCD，故 B 正确；（步骤 2）
∵SD⊥底面 ABCD，
ASO 是 SA 与平面 SBD 所成角， CSO 是 SC 与平面 SBD 所成的角，
而△SAO≌△CSO， ∴∠ASO=∠CSO，即 SA 与平面 SBD 所成的角等于 SC 与平面 SBD 所成的角，故 C 正确；（步骤 3）

2011年高考数学(理科)试卷(及答案)_全国卷

2011年高考全国卷数学（理工）本试卷共4页，三大题21小题。

满分150分，考试时间120分钟。

★祝考试顺利★注意事项：1. 答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上指定位置。

2. 选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试题卷上无效。

3. 填空题和解答题用0.5毫米黑色墨水签字笔答在答题卡上每题对应的答题区域内，答在试题卷上无效。

4. 考试结束，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的。

1.复数1z i =+，z 为z 的共轭复数，则1zz z --= (A) -2i (B) -i (C) i (D) 2i2. 函数()20y x x =≥的反函数为(A)()24x y x R =∈ (B) ()204x y x =≥(C)()24y xx R =∈ (D) ()240y x x =≥3.下面四个条件中，使a b >成立的充分而不必要的条件是 (A) 1a b >+ (B) 1a b >- (C)22a b > (D) 33a b >4.设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若11a =，公差22,24k k d S S +=-=，则k= (A) 8 (B) 7 (C) 6 (D) 55.设函数()()cos 0f x x ωω=>，将()y f x =的图像向右平移3π个单位长度后，所得的图像与原图像重合，则ω的最小值等于 (A)13(B) 3 (C) 6 (D) 9 6.已知直二面角l αβ--，点,,A AC l C α∈⊥为垂足，,,B BD l D β∈⊥为垂足，若2,1AB AC BD ===，则D 到平面ABC 的距离等于(A)22 (B) 33 (C) 63(D) 1 7.某同学有同样的画册2本，同样的集邮册3本，从中取出4本赠送给4为朋友，每位朋友1本，则不同的赠送方法共有(A) 4种 (B) 10种 (C) 18种 (D) 20种8.曲线21x y e =+在点()0,2处的切线与直线0y =和y x =围成的三角形的面积为 (A)13 (B) 12 (C) 23(D) 1 9.设()f x 是周期为2的奇函数，当01x ≤≤时，()()21f x x x =-，则52f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭(A) 12-(B) 14- (C) 14 (D) 1210.已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，直线24y x =-与C 交于A 、B 两点，则cos AFB ∠= (A)45 (B) 35 (C) 35- (D) 45- 11.已知平面α截一球面得圆M ，过圆心M 且与α成60二面角的平面β截该球面得圆N ，若该球面的半径为4.圆M 的面积为4π，则圆N 的面积为(A) 7π (B) 9π (C) 11π (D) 13π12. 设向量,,a b c 满足11,,,602a b a b a c b c ===---=，则c 的最大值等于(A) 2 (B)3 (C) 2 (D) 1二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.请将答案填在答题卡对应题号的位置上,一题两空的题,其答案按先后次序填写. 13. ()201x-的二项展开式中，x 的系数与9x 的系数之差为 .14. 已知,2παπ⎛⎫∈⎪⎝⎭，5sin 5α=，则tan 2α= . 15. 已知12F F 、分别为双曲线22:1927x y C -=的左、右焦点，点A C ∈，点M 的坐标为()2,0，AM 为12F AF ∠的角平分线，则 2AF = .16. 已知点E 、F 分别在正方体1111ABCD A B C D - 的棱11BB CC 、上，且12B E EB =,12CF FC =,则面AEF 与面ABC 所成的二面角的正切值等于 .三、解答题：本大题共6小题，共70分。

2011年全国高考理科数学试题及答案-湖北

A． B．
C． D．
4．将两个顶点在抛物线上，另一个顶点是此抛物线焦点的正三角形个数记为n，则
A．n=0 B．n=1 C． n=2 D．n 3
5．已知随机变量服从正态分布，且Ｐ（＜4）＝，则Ｐ（0＜＜2）＝
Ａ．0．6 B．0．4 C．0．3 D．0．2
18．本小题主要考查空间直线与平面的位置关系和二面角等基础知识，同时考查空间想象能力、推理论证能力和运算求解能力。（满分12分）
解法1：过E作于N，连结EF。
（I）如图1，连结NF、AC1，由直棱柱的性质知，
底面ABC侧面A1C。
又度面侧面A，C=AC，且底面ABC，
11．17 12． 13． 14．（2，2）， 15．21，43
三、解答题：本大题共6小题，共75分。
16．本小题主要考查三角函数的基本公式和解斜三角形的基础知识，同时考查基本运算能力。（满分10分）
解：（Ⅰ）
的周长为
（Ⅱ）
，故A为锐角，
17．本小题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力。（满分12分）
11．的展开式中含的项的系数为（结果用数值表示）
12．在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期。从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到一瓶已过保质期饮料的概率为。（结果用最简分数表示）
13．《九章算术》"竹九节"问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共为3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为升。
（Ⅰ）求的周长
（Ⅱ）求的值
17．（本小题满分12分）
提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况。在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数。当桥上的的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明；当时，车流速度v是车流密度x的一次函数．

2011年江西高考数学理科试卷(带详解)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（江西卷）理科数学参考公式：样本数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y 的线性相关系数∑∑∑===----=ni in i ini iiy y x x y y x x r 12121)()())((，其中12n x x x x n ++⋅⋅⋅+=，12ny y y y n++⋅⋅⋅+=.锥体的体积公式13V Sh =，其中S 为底面积，h 为高. 第Ⅰ卷一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.若1+2iiz =,则复数z = ( )A.2i --B. 2i -+C. 2i -D.2i + 【测量目标】复数代数形式的四则运算. 【考查方式】给出复数，求其共轭复数. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】221+2i i+2i i 22i i i 1z -====--，2i z =+. 2.若集合2{|1213},{|0}x A x x B x x-=-+=,则A B =( )A.{|10}x x -< B.{|01}x x < C.{|02}x xD.{|01}x x【测量目标】集合的基本运算. 【考查方式】给出两集合，求其交集. 【难易程度】容易【参考答案】B 【试题解析】{}{}11,02,A x x B x x=-=<{}01A B x x ∴=<.3.若()f x =,则)(x f 的定义域为( )A.1,02⎛⎫- ⎪⎝⎭B.1,02⎛⎤- ⎥⎝⎦C.1,2⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭ D.(0,)+∞ 【测量目标】函数的定义域.【考查方式】给出函数解析式，求其定义域. 【难易程度】容易【参考答案】A 【试题解析】()12log 210,0211,x x +>∴<+<1,02x ⎛⎫∴∈- ⎪⎝⎭.4.若2()24ln f x x x x =--,则()0f x '>的解集为( )A. (0,∞+)B. (-1,0)(2,∞+)C. (2,∞+)D. (-1,0) 【测量目标】利用导数解决不等式问题.【考查方式】给出函数，求出函数导数的不等式的解集. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】()242220,0,x x f x x x x--'=-->>（步骤1） ()()0,210,2x x x x >∴-+>∴>.（步骤2）5.已知数列}{n a 的前n 项和n S 满足:m n m n S S S +=+,且11=a ,那么=10a( )A.1B.9C.10D.55 【测量目标】数列的前n 项和，由递推关系求数列的通项公式. 【考查方式】给出递推关系，求出数列的项. 【难易程度】容易【参考答案】A 【试题解析】221122,1S a a S a =+=∴=(步骤1)31233,1S S S a =+=∴=（步骤2）41344,1S S S a =+=∴=，101a ∴=.（步骤3）6.变量X 与Y 相对应的一组数据为(10,1),(11.3,2),(11.8,3),(12.5,4),(13,5);变量U 与V 相对应的一组数据为(10,5)，(11.3,4）,（11.8,3），（12.5,2），（13,1).1r 表示变量Y 与X 之间的线性相关系数,2r 表示变量V 与U 之间的线性相关系数,则( )A.012<<r rB. 120r r <<C.120r r <<D.12r r = 【测量目标】变量的相关系数的判断. 【考查方式】由数据得出相关系数之间的关系. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】()()()()∑∑∑===----=ni ini ini iiy y x x yyx x r 12121，第一组变量正相关，第二组变量负相关.7.观察下列各式: 56753125,515625,578125,,===⋅⋅⋅则20115的末四位数字为( )A.3125B. 5625C. 0625D.8125 【测量目标】合情推理.【考查方式】给出前几项指数幂的末尾数，找规律. 【难易程度】中等【参考答案】D 【试题解析】()()()5,4625,53125x f x f f ===,（步骤1）()()()615625,778125,8390625f f f ===，（步骤2） ()2011420081,20118125f -=-∴=⋅⋅⋅.（步骤3）8.已知123,,a a a 是三个相互平行的平面,平面12,a a 之间的距离为1d ,平面23,a a 之间的距离为2d .直线l 与123,,a a a 分别交于321,,P P P .那么”“3221P P P P =是”“21d d =的 ( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件【测量目标】充分必要条件、平面与平面间的距离.【考查方式】给出两个条件，判断它们之间的关系. 【难易程度】中等【参考答案】C【试题解析】平面123,,a a a 平行，由图可以得知：如果平面距离相等，根据两个三角形全等可知3221P P P P =，（步骤1）如果3221P P P P =，同样是根据两个三角形全等可知21d d =.（步骤2）第8题图9.若曲线02221=-+x y x C ：与曲线0)(2=--m mx y y C ：有四个不同的交点,则实数m 的取值范围是 ( ) A.)33,33(-B.33((0,)C.]33,33[-D.33(,(,)33-∞-+∞ 【测量目标】直线与圆的位置关系.【考查方式】给出直线与圆的交点个数，判断直线与圆的位置关系，求出直线方程中实数m 的取值范围. 【难易程度】较难【参考答案】B【试题解析】曲线0222=-+x y x 表示以()0,1为圆心，以1为半径的圆，（步骤1）曲线()0=--m mx y y 表示0y =，或0y mx m --=，（步骤2）过定点()0,1-，0=y 与圆有两个交点，故0=--m mx y 也应该与圆有两个交点，（步骤3）由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得，两种相切分别对应3333=-=m m 和，由图可知，m 的取值范围应是33,00,33⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.（步骤4）第9题图10.如图，一个直径为1的小圆沿着直径为2的大圆内壁的逆时针方向滚动，M 和N 是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周，点,M N 在大圆内所绘出的图形大致是( )第10题图A B C D 【测量目标】圆与圆的位置关系.【考查方式】给出大圆与小圆的位置关系，求小圆上的点,M N 的运动轨迹. 【难易程度】中等【参考答案】A【试题解析】根据小圆与大圆半径1：2的关系，找上下左右四个点，根据这四个点的位置，小圆转半圈，刚好是大圆的四分之一，因此M 点的轨迹是个大圆，而N 点的轨迹是四条线，刚好是M 产生的大圆的半径.第10题图第II 卷二.填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.11.已知2==a b ，()()22+-=-a b a b ，则a 与b 的夹角为 . 【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】给出向量的模及等式，利用平面向量的数量积运算求值. 【难易程度】容易【参考答案】60或π3【试题解析】根据已知条件(2)()2+-=-a b a b ，（步骤1）2422cos 242θ+-=+⨯⨯-⨯=-a a b b 1cos ,602θθ⇒==（步骤2）12.小波通过做游戏的方式来确定周末活动，他随机地往单位圆内投掷一点，若此点到圆心的距离大于21，则周末去看电影；若此点到圆心的距离小于41，则去打篮球；否则，在家看书.则小波周末不在家看书的概率为 . 【测量目标】几何概型.【考查方式】将所求概率转化为几何概型，利用面积求解概率. 【难易程度】容易【参考答案】1613 【试题解析】方法一：不在家看书的概率=2211π×ππ1342π16⎛⎫⎛⎫+-⨯ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭==看电影打篮球所有情况.方法二：不在家看书的概率=1-在家看书的概率=1-2211ππ1324π16⎛⎫⎛⎫⨯-⨯ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=.13.下图是某算法程序框图，则程序运行后输出的结果是__________.第13题图【测量目标】循环结构程序框图.【考查方式】执行程序框图中的语句，求值. 【难易程度】容易【参考答案】10【试题解析】0,1s n ==;代入到解析式当中,()01102s n =+-+==，；0123s =++=,3n =;() 3135s =+-+=, 4n =;51410s =++=,（步骤1）此时9s >,输出.（步骤2）14.若椭圆12222=+b y a x 的焦点在x 轴上，过点)21,1(作圆122=+y x 的切线，切点分别为A ，B ，直线AB 恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆方程是 . 【测量目标】椭圆的标准方程及简单几何性质.【考查方式】结合直线方程及与椭圆的位置关系，利用椭圆的性质求椭圆方程. 【难易程度】较难【参考答案】14522=+y x 【试题解析】设过点（1，21）的直线方程为：当斜率存在时，21)1(+-=x k y ，根据直线与圆相切，圆心（0,0）到直线的距离等于半径1可以得到k=43-,直线与圆方程的联立可以得到切点的坐标（54,53），（步骤1）当斜率不存在时，直线方程为：x =1，根据两点A ：（1,0），B ：（54,53）可以得到直线：220x y +-=,则与y 轴的交点即为上顶点坐标（2,0）2=⇒b ，与x 轴的交点即为焦点1=⇒c ，根据公式5,5222=⇒=+=a c b a ，即椭圆方程为：14522=+y x .（步骤2）三.选做题：请考生在下列两题中任选一题作答.若两题都做，则按做的第一题评阅计分.本题共5分.15（1）.（坐标系与参数方程选做题）若曲线的极坐标方程为θθρcos 4sin 2+=，以极点为原点，极轴为x 轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 . 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】将坐标方程与参数方程联立即可. 【难易程度】容易【参考答案】02422=--+y x y x 【试题解析】222cos ,sin ,,x y x y ρθρθρ==⎧⎨=+⎩（步骤1）根据已知θθρcos 4sin 2+==24,yxρρ+（步骤2）化简可得：22224,y x x y ρ=+=+（步骤3）所以解析式为：02422=--+y x y x .（步骤4） 15(2).(不等式选讲）对于实数x y ，，若11x -，21y -，则12+-y x 的最大值为 .【测量目标】解对值不等式.【考查方式】利用绝对值不等式直接求解. 【难易程度】容易【参考答案】5 【试题解析】11x -02x ⇒，又21y -13y ⇒，综上：[](21)5,1x y -+∈-，因为取绝对值最大，即为5.四.本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.（本小题满分12分）某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共8杯，其颜色完全相同，并且其中4杯为A 饮料，另外4杯为B 饮料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出4杯A 饮料.若4杯都选对，则月工资定为3500元；若4杯选对3杯，则月工资定为2800元；否则月工资定为2100元.令X 表示此人选对A 饮料的杯数.假设次人对A 和B 两种饮料没有鉴别能力. （1）求X 的分布列；（2）求此员工月工资的期望.【测量目标】离散型随机变量的分布列及期望. 【考查方式】利用古典概型计算概率，进而求解概率. 【难易程度】中等【试题解析】（1）选对A 饮料的杯数分别为0X =，1X =，2X =，3X =，4X =，其概率分布分别为：()044448C C 10C 70P X ===，()134448C C 161C 70P X ===，()224448C C 362C 70P X ===，()314448C C 163C 70P X ===，044448C C 1(4)C 70P X ===.(步骤1)（2）()1163616135002800210022807070707070E ξ⎛⎫=⨯+⨯+++⨯= ⎪⎝⎭.(步骤2) 17.（本小题满分12分）在△ABC 中，角C B A ,,的对边分别是c b a ,,，已知2sin 1cos sin CC C -=+. （1）求C sin 的值；（2）若8)(422-+=+b a b a ，求边c 的值.【测量目标】同角三角函数的基本关系，余弦定理，二倍角公式. 【考查方式】对等式进行化简，直接求出角度，利用余弦定理求出边长. 【难易程度】中等【试题解析】（1）已知2sin 1cos sin C C C -=+ 2sin 2sin 2cos 2sin 2cos 2cos 2sin22222CC C C C C C -+=-+∴（步骤1）整理即有：012sin 22cos 22sin 02sin 2sin 22cos 2sin22=⎪⎭⎫⎝⎛+-⇒=+-C C C C C C C又C 为ABC △中的角，02sin≠∴C412sin 2cos 2cos 2sin 2412cos 2sin 212cos 2sin 222=++-⇒=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⇒=-∴C C C C C CC C 43sin 432cos 2sin2=⇒=∴C C C （步骤2）（2）()8422-+=+b a b a()()2,2022044442222==⇒=-+-⇒=++--+∴b a b a b a b a （步骤3）又47sin 1cos 2=-=C C ，17cos 222-=-+=∴C ab b a c .（步骤4） 19.（本小题满分12分）设.22131)(23ax x x x f ++-= （1）若)(x f 在),32(+∞上存在单调递增区间，求a 的取值范围；（2）当20<<a 时，)(x f 在[]4,1上的最小值为316-，求)(x f 在该区间上的最大值.【测量目标】利用导数求函数的单调区间，利用导数求函数最值. 【考查方式】利用导数求解函数的单调区间和最值. 【难易程度】较难【试题解析】（1）已知()ax x x x f 2213123++-=，()22f x x x a '∴=-++，函数()x f 在⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞,32上存在单调递增区间，即导函数在⎪⎭⎫⎝⎛+∞,32上存在函数值大于零的部分， 2()2f x x x a '=-++的对称轴为12x =2()2f x x x a '∴=-++在1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭递减， 22()()20,39f x f a ''∴<=+>19a ∴>-.(步骤1)（2）已知0<a<2, ()x f 在[]4,1上取到最小值316-，而()22f x x x a '=-++的图象开口向下，且对称轴21=x ，(步骤2) ()111220,f a a '∴=-++=>()416422120,f a a '=-++=-<则必有一点[],4,10∈x 使得()00,f x '=此时函数()x f 在[]0,1x 上单调递增，在(]0,4x 单调递减，()0261221311>+=++-=a a f ， ()11404641688(1)323f a a f ∴=-⨯+⨯+=-+<()131683404=⇒-=+-=∴a a f (步骤3)此时，由()20000202f x x x x '=-++=⇒=或1-（舍去），所以函数()()3102max ==f x f .(步骤4) 20.（本小题满分13分）))(,(000a x y x P ±≠是双曲线E ：)0,0(12222>>=-b a by a x 上一点，N M ,分别是双曲线E 的左、右顶点，直线PN PM ,的斜率之积为51. （1）求双曲线的离心率；（2）过双曲线E 的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于B A ,两点，O 为坐标原点，C 为双曲线上的一点，满足OC OA OB λ=+，求λ的值.【测量目标】双曲线的简单几何性质，直线与双曲线的位置关系.【考查方式】利用斜率关系求解双曲线方程，将直线方程与双曲线方程联立求解即可. 【难易程度】较难【试题解析】（1）已知双曲线E ：()0,012222>>=-b a by a x ，()00,y x P 在双曲线上，M ，N分别为双曲线E 的左右顶点，所以()0,a M -，()0,a N ，直线PM ，PN 斜率之积为2220000022220001515PM PNy y y x y K K x a x a x a a a===⇒-=+--.(步骤1) 而1220220=-b y a x ，比较得5305651222222==⇒=+=⇒=a c e a b a c a b .(步骤2) （2）设过右焦点且斜率为1的直线L ：c x y -=，交双曲线E 于A ，B 两点，则不妨设()()2211,,,y x B y x A ，又()2121,y y x x ++=+=λλλ，点C 在双曲线E 上：()()()()222222121212122221221510255a y x y y x x y x a y y x x =-+-+-⇒=+-+λλλλλ①又联立直线L 和双曲线E 方程消去y 得：05104222=++-a c cx x (步骤3)由韦达定理得：452221a c x x +=，()222222121212545c c a c c x x c x x y y +-+=++-=代入①式得：22222271022a a a a a λλλλ+-+=⇒=，或 4.λ=-(步骤4) 21.（本小题满分14分）（1）如图，对于任一给定的四面体4321A A A A ，找出依次排列的四个相互平行的平面4321,,,αααα，使得i i A α∈（i =1,2,3,4），且其中每相邻两个平面间的距离都相等；（2）给定依次排列的四个相互平行的平面4321,,,αααα，其中每相邻两个平面间的距离为1，若一个正四面体4321A A A A 的四个顶点满足：i i A α∈（i =1,2,3,4），求该正四面体4321A A A A 的体积.第21题图【测量目标】三棱锥的体积，面面平行的判定. 【考查方式】由直线三等分点的性质求解. 【难易程度】较难【试题解析】（1）将直线41A A 三等分，其中另两个分点依次为32,A A '',连接3322,A A A A '',作平行于3322,A A A A ''的平面，分别过3322,A A A A ''，即为32,αα.同理，过点41,A A 作平面41,αα即可得出结论. (步骤1)（2）现设正方体的棱长为a ,若则有,11==MN M A ，211aM A =，(步骤2) a E A D A E D 2521121111=+=，由于,1111111E D M A E A D A ⨯=⨯得，5=a ，(步骤3) 那么，正四面体的棱长为102==a d ，其体积为355313==a V （即一个棱长为a 的正方体割去四个直角三棱锥后的体积）. (步骤4)第21题（2）图。

2011年广东高考数学理科试卷(带详解)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足(1i)2z +=，其中i 为虚数单位，则z = （） A ． 1i + B ． 1i - C ． 22i + D ． 22i - 【测量目标】复数代数形式的四则运算.【考查方式】给出复数的等式形式，变形为分数形式再通分化简即可求其代数形式. 【难易程度】容易【参考答案】B【试题解析】∵(1i)2z +=，∴22(1i)1i 1i (1i)(1i)z -===-++-． 2．已知集合{(,)|,A x y x y =为实数，且221}x y +=，{(,)|,B x y x y =为实数，且}y x =，则A B 的元素个数为（）A ． 0B ． 1C ． 2D ． 3 【测量目标】集合的交集运算（描述法）.【考查方式】给出一个一元二次方程和一个二元二次方程，联立求出解，进而得出交集元素. 【难易程度】容易【参考答案】C【试题解析】联立两集合的函数解析式得：221x y y x⎧+=⎨=⎩⇒221x =，解得22x =±，分别把22x =±代入y x =，解得22y =±，所以两函数的交点有两个，坐标分别为22(,)22和22(,)22--，则A B 的元素个数为2个. 3．若向量,a b,c 满足a b ∥且⊥a c ，则(2)c a +b= （） A ． 4 B ． 3 C ． 2 D ． 0 【测量目标】平面向量的数量积运算.【考查方式】给出向量间垂直或平行的关系，进而求出向量积. 【难易程度】容易【参考答案】D【试题解析】∵a b ∥且⊥a c ，∴(2)20=c a +b c a +c b =． 4．设函数()f x 和()g x 分别是R 上的奇函数和偶函数，则下列结论成立的是（）A ． ()()f x g x +是偶函数B ． ()()f x g x -是奇函数C ． ()()f x g x +是偶函数D ． ()()f x g x -是奇函数【测量目标】函数奇偶性的判断.【考查方式】由奇函数和偶函数的特性，考查加上绝对值符号后奇偶性的变化关系. 【难易程度】容易【参考答案】A【试题解析】∵()g x 是R 上的奇函数，∴ )(x g 是R 上的偶函数,从而()()f x g x +是偶函数,故选A.5．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y⎧⎪⎨⎪⎩剟……给定，若(),M x y 为D 上的动点，点A 的坐标为(2,1)，则z OM OA =的最大值为（）A ．3B ．4C ．32D ．42【测量目标】二元线性规划求目标函数的最值，向量的数量积运算.【考查方式】利用向量积构造出目标函数，由不等式组画出可行域，进而求出其最值. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】作出可行域如图所示（步骤1）∵2z OM OA x y ==+，∴当直线02=+y x 平移到)2,2(M 时，z 取到最大值4．（步骤2）6．甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为（）第5题图A ．12 B ．35 C ．23 D ．34【测量目标】随机事件与概率.【考查方式】给出两人获胜概率相等的条件，根据条件求出其中某人获胜的概率. 【难易程度】容易【参考答案】D 【试题解析】43212121=⨯+=P ． 7．如图，某几何体的正视图（主视图）是平行四边形，侧视图（左视图）和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为（）A ．63B ．93C ．123D ．183 【测量目标】由三视图求几何体（棱柱）的体积.【考查方式】给出几何体的三视图，推测出几何体的形状，进而由线段关系得出体积. 【难易程度】中等【参考答案】B【试题解析】由三视图可推测该几何体为四棱柱.(步骤1)高为31222=-=h ，底面面积为933=⨯=s ，∴39==sh V ．(步骤2)8．设S 是整数集Z 的非空子集，如果,a b S ∀∈，有a b S ∈，则称S 关于数的乘法是封闭的．若,T V 是Z 的两个不相交的非空子集, T V =Z ，且,,a b c T ∀∈，有abc T ∈；,,x y z V ∀∈，有xyz V ∈，则下列结论恒成立的是（）第7题图A ．,T V 中至少有一个关于乘法是封闭的B ． ,T V 中至多有一个关于乘法是封闭的C ． ,T V 中有且只有一个关于乘法是封闭的D ． ,T V 中每一个关于乘法都是封闭的【测量目标】集合间的关系.【考查方式】给出集合的特殊关系，利用特殊值法或假设法判断对应的选项. 【难易程度】较难【参考答案】A【试题解析】当{=T 奇数},V {=偶数}，T ，V 关于乘法都是封闭的，故B,C 错误；（步骤1） ∵T V =Z ，∴整数1一定在T ,V 两个集合中的一个中，不妨设T ∈1，则T b a ∈,，（步骤2）∵T b a ∈1,,，∴ 1a b T ∈，即 a b T ∈ ,∴T 对乘法封闭，即V T ,中至少有一个关于乘法是封闭的；（步骤3）当{=T 非负整数},V {=负整数}，T 关于乘法封闭，而V 关于乘法不封闭，故D 错误．（步骤4）二、填空题：本大题共7小题．考生作答6小题．每小题5分，满分30分．（一）必做题（9～13题）9．不等式130x x +--…的解集是．【测量目标】解绝对值不等式.【考查方式】给出绝对值不等式，利用平方去绝对值符号，再进行求解. 【难易程度】容易【参考答案】),1[+∞【试题解析】∵13x x +-…，∴22(1)(3)x x +-…，解得1x …． 10．7)2(xx x -的展开式中4x 的系数是（用数字作答）．【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项式展开式的通项公式得出所求系数的通项，再根据所给乘积关系求出所满足项的系数. 【难易程度】中等【参考答案】84【试题解析】所求的4x 的系数就是7)2(xx -展开式中3x 的系数，（步骤1） ∵7)2(xx -的通项为772177C (2)(2)C r r r r r r r r T x x x ---+=-=-，（步骤2） ∴令327=-r ，解得2=r ． ∴令4x 的系数是227(2)C 84-=．（步骤3）11．等差数列{}n a 的前9项和等于前4项和，若0,141=+=a a a k ，则=k ．【测量目标】等差数列的通项.【考查方式】给出等差数列的通项所满足的关系和首项的值，由此求出等式中的对应参数. 【难易程度】中等【参考答案】10【试题解析】∵}{n a 的前9项和等于前4项和，且11=a ，∴d d 23442899⨯+=⨯+，解得61-=d ．（步骤1）∴06223)1(114=+-=++-+=+k d a d k a a a k ，解得10=k ．（步骤2） 12．函数13)(23+-=x x x f 在=x 处取得极小值．【测量目标】利用导数求函数的极值.【考查方式】给出函数的解析式，利用导数求出单调区间和极值点，进而判断得出极小值. 【难易程度】容易【参考答案】2【试题解析】∵()f x ')2(3632-=-=x x x x ，（步骤1）∴)2,0(∈x 时，()0f x '<；),2(+∞∈x 时，()0f x '>；（步骤2） ∴13)(23+-=x x x f 在2=x 处取得极小值．（步骤3）13．某数学老师身高176cm ，他爷爷，父亲，儿子的身高分别是173cm,170cm 和182cm ，因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高是 cm ．【测量目标】线性回归方程.【考查方式】由所给数据求出直线回归方程，进而求出对应的数值. 【难易程度】中等【参考答案】185【试题解析】根据题中所提供的信息，可知父亲和儿子的对应数据可列表如下：∵176,173==y x ，∴3132221()()361(3)3()iii ii x x y y b x x ==--⨯===-+-∑∑，父亲的身高(x ) 173 170 176 儿子的身高(y )1701761821761733a y bx =-=-=， ∴回归直线方程为3+=x y ，（步骤1） ∴预测他孙子的身高是182+3＝185cm ．（步骤2）（二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题）14．（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为5cos (0π)sin x y θθθ⎧=⎪<⎨=⎪⎩…和⎪⎩⎪⎨⎧==ty t x 245()t ∈R ，它们的交点坐标为．【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】给出曲线的参数方程形式，转化为普通方程，联立求出交点坐标. 【难易程度】中等【参考答案】)552,1( 【试题解析】两曲线的方程分别为1522=+y x 和x y 542=，（步骤1）由05454152222=-+⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+x x x y y x ，∴1=x 或5-=x （舍去），∴⎪⎩⎪⎨⎧±==5521y x ．（步骤2） ∵sin (0π)y θθ=<…，∴]1,0[∈y ，∴⎪⎩⎪⎨⎧==5521y x （步骤3）.15．（几何证明选讲选做题）如图，过圆O 外一点P 分别做圆的切线和割线交圆于A 、B 两点，且7=PB ，C 是圆上一点使得5=BC ，APB BAC ∠=∠，则=AB ．第15题图【测量目标】圆的性质与应用.【考查方式】结合三角形和圆的位置关系，利用三角形相似得出比例关系，进而求出对应线段长度. 【难易程度】中等【参考答案】35【试题解析】∵APB BAC ∠=∠,BCA PAB ∠=∠，∴BAP △∽BCA △，（步骤1）∴ABBCPB AB =，∴35AB PB BC == ．（步骤2）三、解答题：本大题共6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．（本小题满分12分）已知函数1π()2sin(),36f x x x =-∈R ．（1）求5π()4f 的值；（2）设π,[0,]2αβ∈，π10(3)213f α+=，6(32π)5f β+=，求cos()αβ+的值．【测量目标】三角函数的图象及其变换，同角三角函数的基本关系，两角和的余弦.【考查方式】给出三角函数的解析式，直接求其对应未知数的函数值；由解析式满足的关系，利用诱导公式和同角三角函数的基本关系变形化简得出余弦值和正弦值，再求出对应的三角函数值. 【难易程度】中等【试题解析】（1）5π15πππ()2sin()2sin 243464f =⨯-==．（2）∵π1ππ10(3)2sin[(3)]2sin 232613f ααα+=⨯+-==，∴5sin 13α=．（步骤1）∵π6(32π)2sin()2cos 25f βββ+=+==，∴3cos 5β=．（步骤2）∵π,[0,]2αβ∈，∴124cos ,sin 135αβ==．（步骤3）∴16cos()cos cos sin sin 65αβαβαβ+=-=．（步骤4）17．（本小题满分13分）为了解甲，乙两厂的产品质量，采取分层抽样的方法从甲，乙两厂的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素y x ,的含量（单位：毫克）．下表是乙厂的5件产品的测量数据：编号1 2 3 4 5 x169 178 166 175 180 y7580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中微量元素y x ,满足175x …且75y …时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽出的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）．【测量目标】分层抽样，分布列与期望.【考查方式】利用样本和总体的比例关系求出某层的样本容量；由给定条件得出概率进而求出满足的样本容量；直接利用给定条件画出分布列得出离散型随机变量的期望. 【难易程度】中等【试题解析】（1）设乙厂生产的产品数量为m 件，则14985m=，解得35=m ．答：乙厂生产的产品数量为35件．（步骤1）（2）∵产品中微量元素y x ,满足175x …且75y …时的概率为52，（步骤2） ∴用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量为143552=⨯．（步骤3）（3）∵ξ的可能值为0，1，2，则 2223()C ()()55iiiP i ξ-==， 0,1,2i =．（步骤4）ξ的分布列为∴ξ的数学期望为54522)(=⨯=ξE ．（步骤5） 18．（本小题满分13分）如图，在锥体P ABCD -中，A B C D 是边长为1的菱形，且60DAB ∠= ，2PA PD ==，2PB E F =，，分别是BC PC ，的中点．(1) 证明：AD ⊥平面DEF ； (2) 求二面角B AD P --的平面角．第18题图【测量目标】线面垂直和线面平行的判定与线面角的求法. 【考查方式】线线垂直⇒线面垂直，由对应线段关系利用余弦定理求出线面角. 【难易程度】较难【试题解析】（1）设AD 中点为H ，连接BH PH ,，X 012P9251225425,,PA PD PH AD =∴⊥ 1,1,60,2AH AB DAB ==∠= 可得出3,2BH =（步骤1）从而222,,AH BH AB AH HB +=∴⊥即,AD HB ⊥AD ∴⊥平面,PHB （步骤2）又,E F 分别是,BC PC 的中点，,EF PB EF ∴∴∥∥平面,PHB 又显然,BH DE DE ∴∥∥平面,PHB 又,DE EF ⊂平面,,DEF DE EF E = ∴平面DEF ∥平面,PHB （步骤3） AD ⊥ 平面,PHB AD ∴⊥平面.DEF （步骤4）（2）由（1）知，,,PH AD BH AD ⊥⊥且PH ⊂平面,PAD BH ⊂平面,BAD PHB ∴∠就是二面角P AD B --的平面角，（步骤5）22173(2)(),,2,222PH BH PB =-===（步骤6）2227334321442cos ,277321212222PH BH PB PHB PH BH +--+-∴∠====-=-⨯⨯即二面角P AD B --的余弦值为21.7-（步骤7）第18题图19．（本小题满分14分）设圆C 与两圆22(5)4x y ++=，22(5)4x y -+=中的一个内切，另一个外切．（1）求圆C 的圆心轨迹L 的方程；（2）已知点M （553，554），)0,5(F ，且P 为L 上的动点，求FP MP -的最大值及此时点P 的坐标．【测量目标】圆与圆的位置关系，双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系和圆锥曲线的综合应用. 【考查方式】给出曲线与两圆之间的位置关系，利用圆心距求出曲线的轨迹方程；根据双曲线上动点与定点的线段关系，联立直线方程与曲线方程求出交点，进而得出取最值时的点坐标. 【难易程度】较难【试题解析】（1）设两圆22(5)4x y ++=，22(5)4x y -+=的圆心分别为21,O O ,半径为r ，则r CO CO 221=-， ∴点C 轨迹L 为双曲线，其中1,2,5===b a c ，（步骤1）∴圆C 的圆心轨迹L 的方程为1422=-y x ．（步骤2）（2）直线MF 的方程为)5(2)5(5553554--=--=x x y ，（步骤3）由⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⇒⎪⎩⎪⎨⎧--==-155215514)5(21422y x x y y x 或⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-==552556y x ．设)552,556(),1552,15514(-Q E , ∴当点P 在点Q处时，满足2MP FPMF -==．（步骤4）20．（本小题满分14分）设0>b ，数列}{n a 满足b a =1,11(2)22n n n nba a n a n --=+-…．(1)求数列}{n a 的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n ,1112n n n ba +++…．【测量目标】已知递推关系求通项，不等式恒成立问题.【考查方式】由递推关系化简变形求出最简式，再利用配凑法或书数学归纳法求出其通项；利用并项求合法、放缩法以及均值不等式得出不等式恒成立的关系. 【难易程度】较难【试题解析】(1)由1122n n n nba a a n --=+-得1211n n n n a b a b--=+ ,当2b =时, 1112n n n n a a ---=, 所以{}n n a 是以首项为1112a =,公差为12的等差数列,所以11(1)222n n nn a =+-= ,从而2n a =.（步骤1）当2b ≠时, 11211()22n n n n a b b a b --+=+--,所以1{}2n n a b +-是首项为11122(2)a b b b +=--,公比为2b 的等比数列,所以11222()2(2)(2)nn n n n a b b b b b b -+==--- ,从而(2)2n n n n nb b a b -=-. 综上所述,数列{}n a 的通项公式为2,2(2),22n n n n b a nb b b b=⎧⎪=⎨-≠⎪-⎩（步骤2）（Ⅱ）当2b =时,不等式显然成立;当2b ≠时,要证1112n n n b a +++…,只需证11(2)122n n n n n nb b b b ++-+-…,即证11122(2)2n n n n n n b n b b b +++-+- …(*) 因为1111122312(2)(2)(222)2n nn n n n n n n n b b b b b b b ++++-----+=+++++- （步骤3） 1122222111(222)(22)n n n n n n n n n b b b b b +-+---+=+++++++ 1112121222[()()]222n n n n nn n n b b b b b b b --++=+++++++ 21122311222[()()()]222n nn n n n b b b b b b b -++=++++++ 2111122311222(222)2(111)2222n nn nn n n n n n b b b b b n b b b b -+++++++=+++= …（步骤4）所以不等式（*）成立，从而原不等式成立；综上所述，当0b >时，对于一切正整数n ,11 1.2n n n b a +++…（步骤5） 21．（本小题满分14分）在平面直角坐标系xOy 上，给定抛物线21:4L y x =，实数,p q 满足240p q -…，12,x x 是方程20x px q -+=的两根，记12(,)max{||,||}p q x x ϕ=．（1）过点20001(,)(0)4A p p p ≠作L 的切线交y 轴于点B ．证明：对线段AB 上的任一点(,)Q p q ，有0||(,)2p p q ϕ=；（2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240,0a b a ->≠．过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),(,)44E p p E p p '，12,l l 与y 轴分别交于,F F '．线段EF 上异于两端点的点集记为X ，证明：112||(,)||||(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）设215{(,)|1,(1)}44D x y y x y x =-+-剠，当点(,)p q 取遍D 时，求(,)p q ϕ的最小值（记为min ϕ）和最大值（记为max ϕ）．【测量目标】抛物线与直线的位置关系，导数在实际问题中的应用，不等式的大小比较.【考查方式】应用导数建立直线方程，求出抛物线上点与线段的对应关系，得出证明；利用切线方程的关系，得出不等式的推导关系；在所给范围内代入函数解析式求出对应的最值.【难易程度】较难【试题解析】（１）00011|()|22AB x p x p k y x p =='===，直线AB 的方程为200011()42y p p x p -=-，即2001124y p x p =-，（步骤1） 2001124q p p p ∴=-，方程20x px q -+=的判别式2204()p q p p ∆=-=-，两根001,2||22p p p p x ±-==或02p p -，（步骤2） 00p p …，00||||||||22p p p p ∴-=-，又00||||p p 剟， 000||||||||222p p p p ∴--剟，得000||||||||||222p p p p p ∴-=-…，（步骤3） 0(,)||2p p q ϕ∴=．（步骤4）（２）由240a b ->知点(,)M a b 在抛物线L 的下方，（步骤5）①当0,0a b >…时，作图可知，若(,)M a b X ∈，则120p p >…，得12||||p p >；若12||||p p >，显然有点(,)M a b X ∈； (,)M a b X ∴∈12||||p p ⇔>．（步骤6） ②当0,0a b ><时，点(,)M a b 在第二象限，作图可知，若(,)M a b X ∈，则120p p >>，且12||||p p >；若12||||p p >，显然有点(,)M a b X ∈；(,)M a b X ∴∈12||||p p ⇔>．（步骤7）根据曲线的对称性可知，当0a <时，(,)M a b X ∈12||||p p ⇔>，综上所述，(,)M a b X ∈12||||p p ⇔>（*）；（步骤8）由（１）知点M 在直线EF 上，方程20x ax b -+=的两根11,22p x =或12p a -，同理点M 在直线E F ''上，方程20x ax b -+=的两根21,22p x =或22p a -，（步骤9）若1(,)||2p a b ϕ=，则1||2p 不比1||2p a -、2||2p 、2||2p a -小， 12||||p p ∴>，又12||||p p >(,)M a b X ⇒∈， 1(,)||2p a b ϕ∴=⇒(,)M a b X ∈；又由（１）知，(,)M a b X ∈1(,)||2p a b ϕ⇒=； 1(,)||2p a b ϕ∴=⇔(,)M a b X ∈，综合（*）式，得证．（步骤10）（３）联立1y x =-，215(1)44y x =+-得交点(0,1),(2,1)-，可知02p 剟，（步骤11）过点(,)p q 作抛物线L 的切线，设切点为2001(,)4x x ，则20001142x q x x p -=-，得200240x px q -+=，解得204x p p q =+-，（步骤12）又215(1)44q p +-…，即2442p q p --…， 042x p p ∴+-…，设42p t -=，20122x t t ∴-++…215(1)22t =--+，（步骤13） 0max max ||2x ϕ= ，又052x …，max 54ϕ∴=；（步骤14） 1q p - …，2044|2|2x p p p p p ∴+-+=+-=…， 0min min ||12x ϕ∴==．（步骤15）。

2011年浙江高考数学理科试卷(带详解)

2011年普通高等学校招生全国统一考试（浙江
卷）
理科数学
一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）在每小题给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设函数,则实数=
（）
A.4或2
B.4或2
C.2或4
D.2或2
【测量目标】分段函数.
【考查方式】已知分段函数的解析式，给出定值求出此时自变量的值.
非选择题部分（共100分）
二、填空题：（本大题共7小题，每小题4分，共28分）. 11.若函数为偶函数，则实数 . 【测量目标】偶函数. 【考查方式】给出函数的解析式，利用偶函数的性质，求参数. 【难易程度】容易【参考答案】0 【试题解析】∵为偶函数，∴，即∴. 12.若某程序图如图所示，则该程序运行后输出的k的值是 .
又∵，∴. 15.某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人
简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙丙公司面试的概
率为，且三个公司是否让其面试是相互独立的.记X为该毕业生得到面试
得公司个数.若，则随机变量X的数学期望 .
【测量目标】离散型随机变量的期望.
【考查方式】题目给出已知条件，求出随机变量的数学期望.
第12题图
【测量目标】循环结构的程序框图. 【考查方式】已知程序框图，运行得出结果. 【难易程度】容易【参考答案】5 【试题解析】时，＝64，＝81，；（步骤1）时，＝256，＝256，；（步骤2）时，＝256，＝625，.（步骤3） 13.设二项式的展开式中的系数为A,常数项为B，若B=4A，则a的值是. 【测量目标】二项式定理. 【考查方式】给出二项式，通过二项式定理和某项系数与常数项的关系，求出参数. 【难易程度】中等

2011年山东高考理科数学试题及答案

2011年普通高等学校招生全国统一考试（山东卷）理科数学第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共l0小题．每小题5分，共50分在每小题给出的四个选项中，只有一项是满足题目要求的． 1．设集合 M ={x|260x x +-<}，N ={x|1≤x ≤3},则M ∩N =A ．[1,2）B ．[1,2]C ．[2,3]D ．[2,3]2．复数z=22ii-+（i 为虚数单位）在复平面内对应的点所在象限为A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．若点（a,9）在函数3x y =的图象上，则tan=6a π的值为A ．0BC ．1D 4．不等式|5||3|10x x -++≥的解集是A ．[-5，7]B ．[-4，6]C ．(][),57,-∞-+∞D ．(][),46,-∞-+∞5．对于函数(),y f x x R =∈,“|()|y f x =的图象关于y 轴对称”是“y =()f x 是奇函数”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要6．若函数()sin f x x ω= (ω>0)在区间0,3π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增，在区间,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，则ω= A ．3B ．2C ．32D ．237．某产品的广告费用x 与销售额y 的统计数据如下表广告费用x （万元） 42 3 5销售额y （万元）49 26 3954根据上表可得回归方程ˆˆˆybx a =+中的ˆb 为9．4，据此模型预报广告费用为6万元时销售额为A ．63．6万元B ．65．5万元C ．67．7万元D ．72．0万元8．已知双曲线22221(0b 0)x y a a b-=＞，＞的两条渐近线均和圆C:22650x y x +-+=相切,且双曲线的右焦点为圆C 的圆心,则该双曲线的方程为A ．22154x y -= B ．22145x y -= C ．22136x y -= D ．22163x y -= 9．函数2sin 2xy x =-的图象大致是10．已知()f x 是R 上最小正周期为2的周期函数，且当02x ≤<时,3()f x x x =-,则函数()y f x =的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为A ．6B ．7C ．8D ．911．右图是长和宽分别相等的两个矩形．给定下列三个命题：①存在三棱柱，其正（主）视图、俯视图如下图；②存在四棱柱，其正（主）视图、俯视图如右图；③存在圆柱，其正（主）视图、俯视图如右图．其中真命题的个数是 A ．3 B ．2 C ．1 D ．012．设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= （λ∈R ），1412A A A A μ=（μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D调和分割点A ，B 则下面说法正确的是 A ．C 可能是线段AB 的中点 B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上第II 卷（共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13．执行右图所示的程序框图，输入l=2，m=3，n=5，则输出的y 的值是14．若6(x 展开式的常数项为60，则常数a 的值为 .15．设函数()(0)2xf x x x =>+,观察: 1()(),2xf x f x x ==+21()(()),34xf x f f x x ==+32()(()),78xf x f f x x ==+43()(()),1516xf x f f x x ==+根据以上事实，由归纳推理可得：当n N +∈且2n ≥时，1()(())n n f x f f x -== .16．已知函数f x （）=log (0a 1).a x x b a +-≠＞，且当2＜a ＜3＜b ＜4时，函数f x （）的零点*0(,1),,n=x n n n N ∈+∈则 .三、解答题：本大题共6小题，共74分． 17．（本小题满分12分）在∆ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知cos A-2cos C 2c-a=cos B b．（I ）求sin sin CA的值；（II ）若cosB=14，b=2，ABC ∆的面积S 。

2011年广东省高考数学试卷(理科)含详解

xy 12-1-2-312-1-2-3-4-5-6-7-8-9-10-11-12O A B C试卷类型：A2011年普通高等学校招生全国统一考试(广东卷)数学(理科)一、选择题：本大题共8小题，每小题5分。

满分40分．在每小题给出的四个选项中。

只有一项是符合题目要求的．1．设复数z 满足(1+i)z=2，其中i 为虚数单位，则Z=A ．1+iB ．1-iC ．2+2iD ．2-2i .,1)1()1()12(12z :B i i i i i 故选解析-=-+-=+=2．已知集合A={ (x ，y)|x ，y 为实数，且122=+y x }，B={(x ，y) |x ，y 为实数，且y=x}，则A ∩ B 的元素个数为A ．0B ．1C ．2D ．3C.,O(0,0),,x y ;1A :22故选故直线与圆有两个交点由于直线经过圆内的点组成的集体上的所有点表示直线集合上的所有点组成的集合表示由圆集合解析==+B y x3．若向量=+⋅⊥)2(,c ,b //,,b a c a a c b a 则且满足 A ．4 B ．3 C ．2 D ．0.,00022)2(:D b c a c b c a c b a c 故选解析=+=⋅+⋅=⋅+⋅=+⋅4．设函数()f x 和g(x )分别是R 上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 A ．()f x +|g(x)|是偶函数 B ．()f x -|g(x)|是奇函数 C ．|()f x | +g(x)是偶函数 D ．|()f x |- g(x)是奇函数解析:因为 g(x )是R 上的奇函数,所以|g(x)|是R 上的偶函数,从而()f x +|g(x)|是偶函数,故选A.5.已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组0222x y x y ⎧≤≤⎪≤⎨⎪≤⎩给定.若M(x ，y)为D 上动点，点A 的坐标为(2，1)．则z OM OA =⋅u u u u r u u u r的最大值为A.42B.32C.4D.3 解:如图,区域D 为四边形OABC 及其内部区域,.,42)2(z,z,)2,2(2y,2yz,2)1,2(),(2maxCBzxzxyxyxz故选从而取到最大值时经过点显然当直线的纵截距为直线则即=+=+-=+-=+=⋅=6甲、乙两队进行排球决赛．现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军.若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A.12B.35C.23D.34.,43212121)()A()(,AB,B;i,1,2)i(A:211211iDAAPPBPAA故选则事件表示甲队获得冠军局获胜甲在第表示继续比赛时设解析=⨯+=+=∴+==7如图l—3．某几何体的正视图(主视图)是平行四边形，侧视图(左视图)和俯视图都是矩形，则该几何体的体积为A.63B.93C.123D.183解析:由该几何体的三视图可各该几何体是一个平行六面体,底面是以3为边长的正方形,该六面体的高.,3933,31222B故选该几何体的体积为=⨯∴=-闭中每一个关于乘法是封法是封闭中有且只有一个关于乘是封闭中至多有一个关于乘法是封闭中至少有一个关于乘法则下列结论恒成立的是有有且集的两个不相交的非空子是若关于数的乘法是封闭的则称有如果的非空子集是整数集设VD.T,VT,C.VB.T,VT,A.:.,,,,,,,.,,.,,,,.8VxyzVzyxTabcTcbaZVTZVTSSabSbaZS∈∈∀∈∈∀=∈∈∀YA..CB,,VT,,}{V},{T;D,V,T,}{V},{T,;T,,1,1,,,,T,1,VT,1Z,VT:从而本题就选不对故的显然关于乘法都是封闭时偶数奇数当不对故关于乘法不封闭关于乘法封闭时负整数非负整数当另一方面对乘法封闭从而即则由于则不妨设两个集合中的一个中一定在故整数由于解析====∈∈⋅⋅∈∈∀∈=TabTbaTbaTbaY二、填空题：本大题共7小题，考生作答6小题．每小题5分．满分30分.(一)必做题(9—13题)9.不等式130x x+--≥的解集是______.22:130(1)(3),[1,).x x x x+--≥⇔+≥-∴+∞解析原不等式的解集为10.72()x xx-的展开式中，4x的系数是______ (用数字作答).47377172422177722:()()(2)(2),7232,(2)84.r r r r r r r x x x x x xT C x x C x r r x C ---+--=-=--==∴-=解析所求的系数即展开式中项的系数,展开式的通项为由得的系数是 11.等差数列{}n a 前9项的和等于前4项的和.若141,0k a a a =+=，则k = ..10,02,0,0,:10.k :0)61(31)1(611,61d 3d),2(24d)9(1),(29,24)(29)(,:710479876549415419149=∴==+=∴=++++∴===-⋅++---=∴+=++=∴+=+=k a a a a a a a a a S S k a a a a a a a S S 从而解法二得由即即解法一 12.函数32()31f x x x =-+在x = 处取得极小值..2)(),2,0(),,2(),0,(:)(),2(363x (x)':2处取得极小值在递减区间为的单调递增区间为解析=∴+∞-∞∴-=-=x x f x f x x x f13.某数学老师身高176cm ，他爷爷、父亲和儿子的身高分别是173cm 、170cm 、和182cm.因儿子的身高与父亲的身高有关，该老师用线性回归分析的方法预测他孙子的身高为 cm. :,:数据可列表如下可知父亲与儿子的对应根据题中所提供的信息解析185(cm).31823,y ,1173176,13)3(63)())((,176,1732231231=++=∴=-=-==+-⨯=---=∴==∑∑==身高为从而可预测也他孙子的所以回归直线方程为x x b y a x x y y x xb y x i i i i i（二）选做题（14—15题，考生只能从中选做一题）14.（坐标系与参数方程选做题）已知两曲线参数方程分别为(0)sin x y θθπθ⎧=⎪⎨=⎪⎩≤＜和25()4x t t R y t⎧=⎪∈⎨⎪=⎩，它们的交点坐标为. 2224222(0):1(01,5sin 554,10,,0),41655541,(1,4455x x y y x y x t y t t t t t y t x t θθπθ⎧=⎪+=≤≤≠⎨=⎪⎩==+-==∴==≥==⋅=∴Q 解析:将≤＜化为普通方程得将代入得:解得交点坐标为15.（几何证明选讲选做题）如图4，过圆O 外一点P 分别作圆的切线和割线交圆于,A B ,且7PB =，C 是圆上一点使得5BC =，则AB = .2:,,,,,7535,35.PA BAP BCA BAC APB AB PBBAP BCA CB ABAB PB CB AB ∴∠=∠∠=∠∴∆∆=∴=⋅=⨯=∴=解析是圆的切线又与相似从而三、解答题：本大题共6小题，满分80分，解答必须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.（本小题满分12分）1()2sin(),36f x x x R π=-∈已知函数5(1)()4f π求的值;106(2),0,,(3),(32),cos()22135f f ππαβαβπαβ⎡⎤∈+=+=+⎢⎥⎣⎦设求的值..651654135531312sin sin cos cos )cos(.54sin ],2[0,,53cos ,56cos 2)2sin(2)23(;1312cos ],2[0,,135sin ,1310sin 2)23()2(.24sin 2)6125sin(2)45()1(:=⋅-⋅=-=+∴=∴∈=∴==+=+=∴∈=∴==+==-=βαβαβαβπβββπβπβαπαααπαππππΘΘf f f 解17.（本小题满分13分）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，测量产品中微量元素x ，y 的含量（单位：毫克）.下表是乙厂的5件产品的测量数据：（1）已知甲厂生产的产品共98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素x ，y 满足x ≥175且y ≥75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随即抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数ξ的分布列及其均值（即数学期望）.编号 1 2 3 4 5x 169 178 166 175 180y 75 80 77 70 81H:,101)2P(,106)1P(,103)0P(, 0,1,2:)3(;143552:,2,5,5)2(;3551498:)1(:25222513122523其分布列为故可以取值优等品的数量为故可估计出乙厂生产的的产品是优等品编号为件产品中从乙厂抽取的乙厂的产品数量为解ξξξξξ==========⨯=⨯C C C C C C C ξ0 1 2P103 106 101.5102101100)E(=⨯+⨯+⨯=∴ξξ的数学期望为18. （本小题满分13分）如图5，在椎体P ABCD -中，ABCD 是边长为1的棱形，且060DAB ∠=,2PA PD ==2,PB =,E F 分别是,BC PC 的中点，（1）证明：AD DEF ⊥平面; （2）求二面角P AD B --的余弦值..,,//,,,,//,//,//,//,,,,,,,,23,60,1,21,,,,,:)1(:2220DEF AD PHB AD PHB DEF E EF DE DEF EF DE PHB DE DE BH PHB EF PB EF BC BC F E PHB AD HB AD HB AH AB BH AH BH DAB AB AH AD PH PD PA BH PH H AD 平面平面平面平面平面又平面又显然平面的中点分别是又平面即从而可得出连接中点为设证明解⊥∴⊥∴=⊂∴∴∴⊥∴⊥⊥∴=+==∠==⊥∴=ΘI Θ.721,7212132212323272443472cos ,2,23,27)21()2(,,,,,,)1()2(22222----=-=-=⨯⨯-+=⋅-+=∠∴===-=--∠∴⊂⊂⊥⊥的余弦值为即二面角的平面角就是二面角面面且知由B AD P BH PH PB BH PH PHB PB BH PH B AD P PHB BAD BH PAD PH AD BH AD PH注: 本题也可以5,,,=PC AP AB AD 先算出为一组向量,继而可证明第(1)问,并可进一步得到AD,DE,DF 两两垂直,从而建立空间直角坐标系,再解决第(2)问.总的说来,本题用传统方法,还更简单.19. （本小题满分14分）设圆C 与两圆222254,54x y x y +=-+=（+）（）中的一个内切，另一个外切. （1）求C 的圆心轨迹L 的方程. （2）已知点35455M F ，，（，0），且P 为L 上动点，求MP FP -的最大值及此时点P 的坐标..14x :1,b ,5,2,,',524,4|)2()2(|||||'||r,),0,5(),0,5(')1(:22=-∴===∴<=--+=--y L C c a F F C r r CF CF C F F 的方程为的圆心轨迹从而且为焦点的双曲线的圆心轨迹是以又则的半径为并设圆设解).56,52(2,||||||,,552,55656,5314531856,5314,0)65)(145(3 :,052y 2x :MF ,MF P ,2|||||||,)2(21---=∴>====--=-+=≤-的坐标为此时点的最大值为综上所述代入得其纵坐标为点的横坐标应取方程中并整理得将直线方程代入双曲线的方程为直线处取得的延长线上的那个交点位于线段与双曲线的为直线等号当且仅当如图P FP MP P x x x x MF MF FP MPxy 1234-1-2-3-412345-1-2-3-4-5-6-7-8-9O MFPP20.（本小题满分12分）设0,b >数列{}n a 满足111=,(2)22n n n nba a b a n a n --=≥+-, (1)求数列{}n a 的通项公式；(2)证明：对于一切正整数n,1112n n n b a ++≤+.1111111211,22111112,,{},,, 2.222212112(),2211122{},,22(2)12n n n n n n n n n n n n n n nba n n a a n a b a bn n n n n b a a a a a a n n b a b b a bn a b a b b b bn a b ------==⋅++--==+=∴==-≠+=+--++=---∴+-解:(1)由可得当时则数列是以为首项为公差的等差数列从而当时,则数列是以为首项为公比的等比数列12212(2)()(),,(2)222,(2).(2)(0,2)2n n n n n n nn n n nb b a b b b b b b b a nb b b b b--=⋅=⋅∴=---=⎧⎪=⎨->≠⎪-⎩ 综上1111111111232211123122,2,22(2)(2),,22222,22222222n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n nn n n n n n b b a a b nb b b n b b a b b bn b b b b b b b b b +++++++++-----+-----==∴=--≠≤≤≤--≤+++++≤++++L L (2)当b=2时,+1+1,从而原不等式成立;1当b 2时,要证+1,只需证+1即证+1即证+即证n 21223112121123221,22222221)()()()2222,,.n n n n n n n n n n n n b b b b b b b b b bb b b b n-+---+-++++++++++++++≥+=∴≠L L L 而上式左边=(当b 2时原不等式也成立从而原不等式成立;2||),(),,Q(AB :B.y )0)(41,()1(|}.||,max{|),(,0,0,4,.41:L ,)14.(21002002122122p q p q p L p p p A x x q p q px x x x q p q p x y xOy =≠==+-≥-=ϕϕ有上的作一点对线段证明轴于点的切线交作过点记的两根是方程满足实数给定抛物线上在平面直角坐标系分本小题满分（2）设(,)M a b 是定点，其中,a b 满足240a b a -＞0，≠.过(,)M a b 作L 的两条切线12,l l ，切点分别为22112211(,),'(,)44E p p E P P ，12,l l 与y 分别交于,'F F .线段EF上异于两端点的点集记为X .证明：112||(,)(,)2P M a b X P P a b φ∈⇔>⇔=； 2min max 15(,)1,(1),,44,).D x y y x y x p q p q ϕϕϕ⎧⎫=≤-≥+-⎨⎬⎩⎭(3)设当点（）取遍D 时，求（）的最小值(记为)和最大值(记为 ;2||22|}||,max{|q)(p,,p 0,0,2||,)(4,4121q ,AB q)Q(p,,240,04).0(4121y AB ,0);0(4121y AB ,0,4121y ),(2141:,21,21y',)41,()1(:000210002,1202200222020000200020000200200p p p p p x x p p p p p x p p q p p p p qp p q px x q p x p p x p p p x p x p p p x p p x p p y L A p x L p p A ==-+==≤≤>-±=∴-=--=-±=+-≥-≤≤-=<≤≤-=>-=-=-∴=ϕ则时当从而则上在线段若的两根为则方程又若的方程为则线段若的方程为则线段若即的切线方程为的抛物线过点故切线斜率为上在抛物线显然解.2|||}||,max{|q)(p,q),p,(.2||2|)(|2|||||}||,max{|q)(p,,0p ,00210002100p x x Q AB p p p p p p p x x p p ===--=--==≤≤<ϕϕ上的任一点故对线段则时当（2）由（1）知抛物线L 在2001(,)4p p 处的切线方程为2001124y p x p =-，即200240p p x y -+= ∵切线恒过点(,)M a b ，则200240p ap b -+=，∴21,24p a a b =±-① 当0a >时，(,)M a b X ∈⇔10a p <<⇔214p a a b =-，224p a a b =-⇔12p p >② 当0a <时，(,)M a b X ∈⇔10p a <<⇔214p a a b =-，224p a a b =-⇔12p p >综合①②可得(,)M a b X ∈⇔12p p >∵由（1）可知，若2111(,)4E p p ，点(,)M a b 在线段EF 上，有1(,)2p a b ϕ= ∴(,)M a b X ∈⇒1(,)2p a b ϕ= ③由（1）可知，方程20x ax b -+=的两根11,22p x =或12p a -，21,22p x =或22p a - 若1(,)2p a b ϕ=，即112max{,}2p x x = 则1122p a p -≥、 2122p p ≥、 2122p a p -≥ ∴12p p > ∴1(,)2p a b ϕ=⇒12||||p p >⇒(,)M a b X ∈ ④ 综合③④可得(,)M a b X ∈⇔1(,)2p a b ϕ=综上所述112(,)(,)2p M a b X p p a b ϕ∈⇔>⇔=；（3）由2115(1)44y x y x =-⎧⎪⎨=+-⎪⎩，求得两个交点(0,1),(2,1)- 则02p ≤≤，过点(,)G p q 作抛物线L 的切线，设切点为N 2001(,)4x x ，切线与y 轴的交点为H 由（2）知200240x px q -+=，解得204x p p q =-① 若204x p p q =+-(,)G p q 在线段NH 上由1y x ≤-，得1q p ≤-，∴022x p p p p =+≥=+-=，∴0m min in )12(x ϕ==．由215(1)44y x ≥+-，得221511(1)14442q p p p ≥+-=+-∴2442p q p -≤-，∴0x p p =+≤+t =，则2122p t =-+，02t ≤≤ ∴22011552(1)2222x t t t ≤-++=--+≤ ∴0max max 5)24(x ϕ==② 若0x p =(,)G p q 在线段NH 的延长线上方程20x px q -+=的两根为012p p x x --=，022p p x x +-=即01,22x x =或02x p - ∵0x p ≤∴00012(,)max{,}max{,}222x x xp q x x p p ϕ==-=-p ==51(,)4p q ϕ≤≤ 综上所述min 1ϕ=，max 54ϕ=。

2011年高考试题——数学理(山东卷)解析版

2011年普通高等学校全国统一考试（山东卷）理科数学一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的的四个选项中，只有一个项是符合题目要求的。

（1）设集合2{60}M x x x =+-<，{13}N x x =≤≤，则M N =A.[1,2)B. [1,2]C. (2,3]D. [2,3] 解析：{32}M x x =-<<，[1,2)M N = ，答案应选A 。

（2）复数2(2iz i i-=+为虚数单位）在复平面内对应的点所在的象限为 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限解析：22(2)34255i i iz i ---===+对应的点为34(,)55-在第四象限，答案应选D.（3）若点(,9)a 在函数3xy =的图象上，则tan6a π的值为A.0B.3C. 1D.解析：2393a ==，2a =，tantan 63a ππ== D. （4）不等式5310x x -++≥的解集是A.[5,7]-B. [4,6]C. (,5][7,)-∞-+∞D. (,4][6,)-∞-+∞ 解析：当5x >时，原不等式可化为2210x -≥，解得6x ≥；当35x -≤≤时，原不等式可化为810≥，不成立；当3x <-时，原不等式可化为2210x -+≥，解得4x -≤.综上可知6x ≥，或4x -≤，答案应选D 。

另解1：可以作出函数53y x x =-++的图象，令5310x x -++=可得4x -=或6x =，观察图像可得6x ≥，或4x -≤可使5310x x -++≥成立，答案应选D 。

另解2：利用绝对值的几何意义，53x x -++表示实数轴上的点x 到点3x =-与5x =的距离之和，要使点x 到点3x =-与5x =的距离之和等于10，只需4x -=或6x =，于是当6x ≥，或4x -≤可使5310x x -++≥成立，答案应选D 。

2011年高考试题(陕西卷理科数学)含答案

第 1 页共 10 页2011年普通高等学校招生全国统一考试（陕西卷）数学（理工农医类）一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1. 设,a b 是向量，命题“若a b ≠-，则∣a ∣= ∣b ∣”的逆命题是（）（A ）若a b ≠-，则∣a ∣≠∣b ∣ （B ）若a =—b ，则∣a ∣≠∣b ∣ （C ）若∣a ∣≠∣b ∣，则a ≠—b （D ）若∣a ∣=∣b ∣，则a = -b2.设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是（）（A ）28y x =- （B ）28y x = (C) 24y x =- (D) 24y x =3.设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+=,则()y f x =的图像可能是（B ）4.（x ∈R 展开式中的常数项是（）（A ）-20 （B ）-15 （C ）15 （D ）205. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（） (A) 8—2π/3 (B) 8—π/3 (C) 8—2π (D) 2π/36. 函数x cosx 在[0，+∞）内（）第 2 页共 10 页（A ）没有零点（B ）有且仅有一个零点（C ）有且仅有两个零点（D ）有无穷多个零点 7. 设集合M={y |2cos x —2sin x |,x ∈R},N={x ||x —1i 2,i 为虚数单位，x ∈R},则M ∩N 为（）(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1] 8.右图中，1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分。

当1x =6，2x =9，p=8.5时，3x 等于（）(A)11 (B)10 (C)8 (D)79.设（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是【D 】（A ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率（B ）x 和y 的相关系数在0到1之间（C ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同第 3 页共 10 页（D ）直线l 过点10.甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是【D 】（A ）136 （B ）19 （C ）536（D ）16二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11.设若((1))1f f =，则a = 112.设n N +∈,一元二次方程240x x n -+=有正数根的充要条件是n = 3或4 13.观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 2(1)(2)...(32)(21)n n n n n ++++++-=-。