五年级奥数.计算综合.循环小数与分数分拆
小学奥数之循环小数的计算(完整版)
【例 19】将循环小数 与 相乘，小数点后第 位是。
【考点】循环小数计算【难度】3星【题型】计算
【关键词】走美杯，6年级，决赛
【解析】 ， ，所以乘积为 ，
，所以第 位是 。
【答案】
【考点】循环小数计算【难度】4星【题型】计算
【解析】由于 ， ，
所以 ，
而 ，
所以，
【答案】
【例 14】某学生将 乘以一个数 时，把 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是多少?
【考点】循环小数计算【难度】3星【题型】计算
【解析】由题意得： ，即： ，所以有： ．解得 ，
所以
【答案】
【考点】循环小数的认识【难度】2星【题型】填空
【关键词】希望杯，1试
【解析】因为要得到最小的循环小数，首先找出小数部分最小的数为0，再看0后面一位上的数字，有05、02、00、07，00最小，所以得到的最小循环小数为
【答案】
【巩固】给下列不等式中的循环小数添加循环点：0.1998 0.1998 0.1998 0.1998
【答案】
【巩固】真分数 化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是 ，则 是多少？
【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算
【解析】我们知道形如 的真分数转化成循环小数后，循环节都是由1、2、4、5、7、8这6个数字组
成，只是各个数字的位置不同而已，那么 就应该由若干个完整的 和一个不完整 组成。 ，而 ，所以最后一个循环节中所缺的数字之和为6，经检验只有最后两位为4，2时才符合要求，显然，这种情况下完整的循环节为“ ”，因此这个分数应该为 ，所以 。
【考点】循环小数的认识【难度】3星【题型】计算
【解析】 …… 个数一循环， ……5，是4
五年级高斯奥数之分数与循环小数含答案
第8讲 分数与循环小数内容概述掌握分数与小数互相转化酌方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数酌形式判断相应酌小数类型；注意利用圄期性分析循环小数的小数部分．典型问题兴趣篇1．把下列分数化为小数：;334,113,92)2(;2513,813,43)1(⋅374,133,72)4(;907,225,65)3(2．把下列循环小数转化为分数：.83.0,80.0)3(;53.0,10.0)2(;4.0,1.0)1(3．把下列循环小数转化为分数：321.0,321.0,21.0,7.04．计算：;7.05.03.0)3(;4.03.02.0)2(;3.02.01.0)1( ++++++ .32.021.0)5(;312.021.01.0)4( +++5．.41235.035124.024513.013452.052341.0 ++++6．计算下列各式，并用小数表示计算结果：.815.083.0)2(;153.068.1)1( ÷⨯7．将算式6.03.06.03.06.03.0 ÷+⨯-+的计算结果用循环小数表示是多少？8．将算式12111110191+++的计算结果用循环小数表示是多少？9．冬冬将32.1 乘以一个数口时，把32.1 误看成1. 23，使乘积比正确结果减少0. 3．则正确结果应该是多少？10．真分数7a化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数字之和是2000．a 应该是多少？拓展篇1．将下列分数化为小数：⋅1310,72,944,65,832．把下列循环小数转化为分数：.13846536.6,3071.3,3351.0,84.0 3．(1)把下面这些分数化为小数后，哪些是有限小数，哪些是纯循环小数，哪些是混循环小数：;111111,625135,30884,19218,15017,7715,172,5031,43 (2)把下列分数化成循环小数：⋅14312,3714,3534．计算：;4312.021.01.0)2(;54.013.020.0)1( ++++ .011021.0212.076.0)4(;96.035.021.0.)3( ++++5．计算：;98.087.043.032.021.010.0)1( ++++++.98.087.043.032.021.010.0)2( +++++6．计算：;50.2)84.02.4)(1( ÷-).513.0531.0(231.0)2( +⨯7．计算：.1980.2)81.09162.1( ÷+（将结果表示为分数和小数两种形式）8．计算：⋅+++++111917151311（结果用循环小数表示）9．将最简真分数7a化成小数后，从小数点后第一位开始的连续n 位数之和为9006，a 与n 分别为多少？10．冬冬写了一个错误的不等式：.2008.02008.02008.02008.0>>>请给式子中每个小数都添加循环点，使不等号成立．请问：添加循环点后这四个数中最大数与最小数的和等于多少？11．(1)1018810113和化成小数后，两个循环小数的小数点后第2008位数字的和是多少？ (2)把200868320081325和化成小数后，两个循环小数的小数点后第2008位数字的和是多少？12．冬冬将123.0 乘以一个数a 时，看丢了一个循环点，使得乘积比正确结果减少了30.0 正确结果应该是多少？超越篇1．将循环小数720.0 与279671.0 相乘，取近似值，要求保留一百位小数．该近似值的最后一位小数是多少？2．有一个算式37.111□5 □2 □≈++，算式左边的方格中都是整数，右边的结果为四舍五入到百分位后的近似值，那么方格中填人的三个数分别是多少？3．划去0.5738367981的小数点后的六个数字，再添上表示循环节的两个圆点，可以得到一个循环小数．这样的小数中最大的数为多少？最小的数为多少？4．给小数0.2138045976添加表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数，要使得这个循环小数的小数点后第100位数字是7，应该怎么添加？5．有两个循环小数a 和b ，a 的循环节有3位，b 的循环节有6位．这两个数之和的循环节最多有多少位？最少有多少位？6．只用数字1、2、3各一次可以组成很多不含重复数字的循环小数（循环点和小数点可以任意添加，例如23.1 ，3.12 ，21.3 ）．这些小数的总和是多少？7．写出一个最简真分数，它的分子是2，并且化成小数后是一个混循环小数，不循环部分为2位，循环带为3位，那么这个分数最大是多少？8．我们把由数字0和7组成的小数叫做“特殊数”，例如70.7 、77.007都是“特殊数”，如果我们将l 写成若干个“特殊数”的和，最少要写成多少个？第5讲 分数与循环小数内容概述掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性性分析循环小数的小数部分。
小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题(含答案)
小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题（含答案）一、小数的基本知识小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。
1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。
2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。
3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。
4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。
纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。
5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。
混循环小数的判定： 分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。
二、循环小数与分数的转化1．错位相减法与循环小数转化为分数 ⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19a 。
==1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999⑵以0.1234为例，推导==1234-126110.123499004950。
设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34；再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34；两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950。
2．方法归纳⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。
⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。
3．常用的分数与循环小数转化=10.1428577，=20.2857147，=30.4285717， =40.5714287，=50.7142857，=60.8571427；三、小试牛刀【例1】(2008年希望杯第六届五年级一试第3题，6分)在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 (注：公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。
5奥 第14讲 循环小数与分数的互化
第二十六讲 分数与小数的互化任何一个分数都可以化成小数。
即一个最简分数，如果分母除了2和5以外，不含有其他的质因数，这个分数一定能化成有限小数，而且有限小数中小数部分的位数等于分母中质因数2、5个数最大的那个数。
那么什么样的分数能化成纯循环小数，混循环小数。
循环小数又怎样化成分数呢？下面我们就来研究这一问题。
例题剖析： 例1. 将分数27843,,1,,31127337化成小数。
例2. 将分数5731323,,,,61256222165化成小数。
例3. 将0.123 0.413∙∙∙∙和 化成分数。
例4.把下列循环小数化成分数。
10.32122.1233541.30215234567890∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙（）； （）； （）3.64；（） （）0.1例5.计算：0.010.120.23∙∙∙∙∙∙∙＋＋＋＋0.89。
练习：1. 写出所有分母是两位数，分子是1而能化成有限小数的分数。
2. 把下列循环小数化成分数。
0.0012151801234505433296∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙， .， .， .， .3. 请将0.10.010.001∙∙∙++的结果写成最简分数形式。
4. 请在小数1.10010203的某位数字上加上循环点，使新产生的循环小数尽可能小。
第三讲 循环小数与分数的互化例题剖析 例1. (1) 13= 23= 19=17= 27= 37= 47= 57= 67= (2) 14= 15= 18= 110= 120= 125= 150=例2. （1）把73,278,337,32化成小数.（2）把22239,15011,16523,61化成小数.例3. （1）把下列纯循环小数化成分数：381.0,74.0,7.0(2) 把下列混循环小数化成分数：324.0,342.0,31.0例4. 请将算式100.010.01.0 ++的结果写成最简分数.例5. 如右图，圆周上的十个数，按顺时针次序可以组成许多整数部分是一位的循环小数，例如1.892915929，问在所有这种数中最大的是几？例6. (1)真分数7A化为小数后,如从小数点后第一位数字开始连续若干数字之和是1992,那么A=?(2)已知742851.071 =,问:最少从小数点右第几位开始,到第几位为止的数字之和等于1993?例7. (1)给小数0.708201690453添上表示循环节的两个点,使其变成循环小数,已知小数点后第100位上的数字是0.求这个循环小数.(2)循环小数67219.0,6837542.0 在小数点后第几位时,首次在该位的数字都是6?例8. 已知下式中不同字母代表0----9中的不同数码,求出它们所代表的值。
小学五年级奥数练习(分数的综合运算技巧详解 )
小学五年级奥数练习——分数地综合运算技巧详解（分数地复杂运算、分数地混合运算）一、知识点1．混合运算技巧在分数、小数地四则混合运算中，到底是把分数化作小数，还是把小数化作分数，这影响到运算过程地繁琐与简便程度，也影响到运算结果地精确度。
小数化成分数，或分数化成小数’，有如下几种技巧。
（1）在加减法中，有时遇到分数只能化成循环小数时’，不能把分数化成小数，此时要将包括循环小数在内地所有小数都化为分数；（2）在乘除法中，一般情况下，小数化成分数计算则比较简便；（3）一般情况下，在加减法中，分数化成小数比较方便；（4）在运算中，使用假分数还是带分数，需视情况而定；（5）在计算中经常用到除法’、比、分数、小数、百分数互相之间地变换，把这些常用地数互化成数表对学习非常重要。
2．复杂分数地运算注意点先找出分数线，确定分子部分和分母部分，然后这两部分分别进行计算，每部分地计算结果需要约分地要先约分，再改成“分子部分÷分母部分”地形式，最后求出结果。
3．比和比例地技巧化简比地方法：比地前项和后项同时乘以或除以相同地数（0除外’），最后地比值应写成最简整数比。
具体如下：（1）分数比：可以前项除以后项，在根据比值写出最’简单地整数比。
（2）小数比：可以先利用商不’变地性质将其转化为整数比，然后再化简；（3）整数比：可以根据商不变地性质或像分数约分（前后项同时除以它们’地最大公因数）那样进行化简；4．分数拆分从分母M 地约数中’任意找出两个m 和n ，有)()()()(11n m M n n m M m n m M n m M +++=++=B A 11+=；如10地约’数有：1，10，2，5。
如选1和2，有：)21(102)21(101)21(10)21(1101+++=++=151301+=；另外，a ，b ，c 为M 地约数：)()()()()(11c b a M c c b a M b c b a M a c b a M c b a M ++++++++=++++=5．循环小数循环小数与分数地互化，循环小数之间’简单地加、减法运算，涉及循环小数与分数地’运算主要利用运算定律进行简算。
小学奥数之各种循环小数化成分数的方法归纳
各种循环小数化成分数的方法归纳一、纯循环小数化分数从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化为分数呢？看下面例题。
例1把纯循环小数化分数：从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。
9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
二、混循环小数化分数不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。
例2 把混循环小数化分数。
（2）先看小数部分0.353由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差。
分母的头几位数是9，末几位是0。
9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
三、循环小数的四则运算循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
例3 计算下面各题：解：先把循环小数化成分数后再计算。
例4 计算下面各题。
分析与解：（1）把循环小数化成分数，再按分数计算。
（2）可根据乘法分配律把1.25提出，再计算。
（3）把循环小数化成分数，根据乘法分配律和等差数列求和公式计算。
大家都来到荷塘，挖莲藕抓鱼虾，捉泥鳅捡螃蟹，人声鼎沸，笑语欢声，相互谈说着要如何弄出一顿顿可口的美味。
光是莲藕的吃法就有很多：熬汤炖肉八宝酿、清炒生吃蜜饯糖，还可以磨成藕粉，加入砂糖或蜂蜜，在温水里一泡，就是一杯清凉清甜的解暑饮料。
用鲜莲叶来熬粥，蒸饭蒸鸡，或蒸其它肉类味道都是极鲜美的，做出来的食物均带着一股淡淡的莲叶清香。
人们那么喜欢荷花，不单单是因为它的芳香美丽洁净高雅，更因为它全身是宝，每一处都可食可药可用。
我最喜欢的是生鲜莲子羹。
把剥好的莲子对半打开去芯，莲子芯很苦，可以药用，没有芯的莲子是甜的，正好用它熬糖水。
高斯小学奥数五年级上册含答案_第11讲_分数与循环小数
第^一讲分数与循环小数同学们在计算分数的时候一定碰到过除不尽的情况•比如计算 1 3，我们会发现商在0和小数点之后一直出现 3,怎么也计算不完；再比如在计算 3 7的时候，我们会发现商在 0 和小数点之后不停的出现 428571 .像这样，从某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现的小数， 叫做循环小数•例如0.333…、0.428571428571…和1.2357357357…都是循环小数.通常我们把0.333…简写成0.&,把0.428571428571…简写成0.42857&,把 1.2357357357…简写成1.2&5&. —个循环小数的小数部分里，依次不断重复出现的一段数 字，叫做这个循环小数的 循环节.上面三个循环小数的循环节分别为3、428571和357.循环节从小数点后第一位开始的循环小数，叫做纯循环小数，例如0.&和 0.42857&•不是从第一位开始的循环小数，叫做混循环小数，例如1.2&5&.F 面我们来学习一下分数与小数之间的互化.把分数化为小数非常简单，直接用分子除「分析」要把分数化小数，可以列除法竖式计算.对于除不尽的情况，注意寻找循环节.以分母即可•例如 -50.4,_8158 15 0.5&. 将下列分数化为小数:44 1013将下列分数化为小数:171422 5 7,20253711对于任意一个分数， 我们一定可以把它化成有限小数或循环小数.反过来，我们怎么把一个小数化成分数呢？有限小数化分数很简单， 例如0.12丄23, 3.749 3 749 ,每个100 25 1000有限小数都可以化成分母是 10、100、1000、……的分数•那么循环小数呢？循环小数化分数有以下的规律.(1) 纯循环小数化分数：我们从分子和分母两方面来考虑.分子是由循环节所组成的多位数；而分母则由若干个 9组成，且9的个数恰好等于循环节的位数.比如 0於 5 , 1.7& 170 , 5.&194& 51949 •9 99 99999(2) 混循环小数化成分数：我们同样从分子与分母两方面来考虑.分子是两数相减所得的差，其中被减数是从小数点后第一位到第一个循环节末位所组成 的多位数，而减数则是小数点后不循环的数字组成的多位数；分母由若干个 9和若干个0组成，9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数点后不循环部分的位数.比如&& 618 6612 34& 1358 1351223&& 2094 20 1037 0.6&&, 0.0135&, 0.20&& -990 990 55 9000090000 9900 4950请同学们务必牢记以上方法，熟练使用.把下列循环小数转化为分数：0.&, 0.2：&, 0.&8&, 0.5&, 6.36&3&.「分析」把循环小数化成分数，我们可以直接使用上面所学的方法， 最后一定要注意将结果约分成最简分数.把下列循环小数转化为分数： 0.& 0.&&, 0.&2&, 0.12&.在把分数化成循环小数时，除了直接除，还可以通过扩分把分母变成 9、99、999等特殊形式来转化.把下列分数化成循环小数：2 , 14 ,丝,11 ,色.1137 101 45 35「分析」除了直接除，还可以先把分母变成特殊数后再转化.可以扩成多少呢？ 45和35呢？71 90 3 11 33 ' 27 ' 1001 ' 14 ' 3611可以扩成 99, 那 37、101把下列分数化成循环小数:可以发现，分数转化成的小数的类型和分母中含有质因数分数的分母的质因数只有 2和5,会化成有限小数；如果最简分数的分母的质因数中没有 2或5,会化成纯循环小数；如果最简分数的分母的质因数中既有 2或5,也有其他质数，会化成混循环小数.对于循环小数的加减法，我们既可以先化成分数再计算，也可以直接列竖式计算. 但在列竖式时，同学们一定要把数位对齐.要计算出正确结果，我们应该多写出几位再 加减，然后看最后的和或差的数字规律，尤其在加数循环节位数不一样时，更要多加小心， 再多写几位.0.1& 0.&3& 0.365547在计算时同学们要多注意进位问题，我们必须牢牢记住省略号表示后面还有无穷多位数 字，它们在计算时仍然可能出现进位的情况.计算：(1) 0•磁 0.&&; (2) 0.6& 0.5!&; ( 3) 0.&& 0.43& (4) 0.&& 0.&3&; (5) 0.7& 0.&; (6) 0.34& 0.1&&.「分析」对于一般小数的加法，我们都可以列竖式计算•那么循环小数的加法， 是不是也一样呢？在竖式中的循环节又应该怎么处理呢？另外，我们已经学过了循环小数如何化为分数，那么我们能不能利用分数来计算呢？计算：(1) 0.&& 0.&7&; (2) 0.1&& 0.&5& (3) 0.&& 0.&5&.2和5的个数有关.如果最简1 10. 11 1 3 11 11311113 11 1 1 11 1 +0 . 2 3 42 3 4 1 21 1113 65547 1 13循环节有2位 循环节有3位循环节有6位由于循环节的存在，循环小数小数点后数字排列具有周期性.比如 位，小数部分以4、8为一个周期.利用周期性，我们就可以知道小数点后若干位的数字是 多少.把真分数a 化成小数后，小数点后第 2013位上的数字是1. a 是多少？7「分析」a 是一个真分数，所以 a 必须小于7,只能是1、2、3、4、5、6中的一个.请同7学们，自己试着计算一下分母是7的各个分数，发现什么规律了吗？将最简真分数a 化成小数后，从小数点后第一位开始的连续n 位数之和为9006, a 与n 分7别为多少？「分析」a 是1、2、3、4、5、6中的一个.试着计算一下 -、-、77数点后连续1000位之和.发现什么规律了吗？0.4&的循环节有两 -化成小数后，小7神奇的0.&“ 0.&和1谁更大？”数学课上，老师请同学们做这样的比较.“肯定是1大”，同学们异口同声地回答.“等会儿大家自己算吧”老师神秘地笑了笑.为了验证这个答案，老师讲循环小数化分数的时候，同学们听得特别认真.老师一讲完，他们就迫不及待的开始验证了：由循环小数化分数的公式：0.&的循环节有一位，所以它化为分数之后，分母为9,分子也是9.因此，0.& 9 1 .9“咦，0.&和1怎么是一样的？”“ 0.&竟然是个假冒的循环小数！”这下，同学们你看看我，我看看你，都傻眼了.“对啊，0.&就等于1.大家现在不但能把循环小数化为分数，还查出了冒牌货！”老师笑着鼓励大家.0 9999999删狮腮作业1.将下列分数化为小数：33， 2 5—? —5，—.4 3 76作业2.把下列循环小数转化为分数：0.&&，0.&4 @作业3.把下列循环小数转化为分数：0.1&，0.2&&作业4.计算：(1) 0.0& 0.2& 0.6&，(2) 0.&& 0.7&.作业5. (1 )把6化成小数后，小数点后第2013位上的数字是多少？7(2)把真分数a化成小数后，小数点后第2013位上的数字是1. a是多少?7第^一讲分数与循环小数例题1.答案：0.375, 0.8& 4念,0.285714&, 0.769230&. 例题2.答案：4 85 17 n 811693327302220例题3.答案： 0.&&, 0.37& 0.217& 0.2尿,0.0857142& .例题4. (1) 0.4&; (2) 1.26&; (3) 0.55&; (4) 0.555646&; (5) 0.31&; (6)0.2332241&.例题5.答案：4详解：分母为7的真分数化为小数后，循环节都是六位的，且六 个数字都是1、4、2、8、5、7 （顺序不同）.2013除以6余3, 说明循环节第三位是1,所以是571428循环，这个真分数是上.7详解：分母为7的真分数化为小数后，每个循环节的六个数字之 和都是1 4 2 8 5 7 27 . 9006 27333L L 15，说明在小数点后的n个数字中，有333个循环节，之后剩余的数字之和是15,可能是1 42 8，对应的分数是1 , a 1 , n 6 3334 2002 .也有可能是7 2 2 8 5，对应的分数是 7 , a 2 , n 6 333 3 2001 .例题6.答案:2002或者a2 2001练习 1.答案：0.85, 0.56，7.&，0.714285&，0.63^.练习2.答案：9，火，蟲，誥练习3.答案：0.2&，0.037&，0.089910&，0.21&12857&，0.30$.练习 4.答案：(1 ) 1.44253多；(2) 0.5796887&； ( 3) 0.373919&.作业1.答案：(1) 8.25; (2) 0.&; ( 3) 0.&1428& ； ( 4) 0.8&.作业2.答案：2 ；上11 27简答：提示，37是999的约数.作业3.答案：-;业6 165简答：提示，牢记循环小数化分数的方法，并注意约分.作业4. 答案：0.8& ( 89)； 1.& ( 11)99 9简答：列竖式或将循环小数化为分数均可.作业5.答案：(1) 7; (2) 4简答：(1) 6 0.85714&，利用周期问题的解决方法：2013 6 335L L 3，所求位上的数字是7. (2)因为不管是7分之几，一定是6位循环节的纯循环小数，由于2013 6 335L L 3，根据题意，说明循环节的第3位上是1，可知是4.7。
小学奥数讲义5年级-1-循环小数与分数-难版
在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数，或者把小数化成分数。
所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。
从本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数的另一种表示形式，所以分数和小数可以互化。
1.17的“秘密” 10.1428577∙∙=，20.2857147∙∙=，30.4285717∙∙=,…, 60.8571427∙∙= 2.推导以下算式 ⑴10.19=；1240.129933==； ⑵121110.129090-==；12312370.123900300-==； 以0.1234为例，推导1234126110.123499004950-==． 设0.1234A =，将等式两边都乘以100，得：10012.34A =；再将原等式两边都乘以10000，得：100001234.34A =，两式相减得：10000100123412A A -=-，所以12341261199004950A -==． 3.循环小数化分数结论知识梳理0.9a =； 0.99ab =； 0.09910990ab =⨯=； 0.990abc =，……【例1】★把纯循环小数化分数： (1)0.6 (2)3.10210.610 6.66660.6=0.66660.69 662 0.6=93⨯=⨯==解：（）两式相减得所以 23.1020.1020.1021000102.102.1020.1020.102.102 0.10299910210234 0.102999333102 3.1023999⨯==⨯=====解：（）先看小数部分…… ?…两式相减得所以343333【例2】★计算下面各题：12.45+3.13 22.6091.32(3)4.3 2.4 (4)1.240.3⨯÷（）（）-【解析】先把循环小数化成分数后计算。
五年级奥数___分数的拆分
分数的拆分专题分析：在英国伦敦的博物馆中，陈列着十九世纪苏格兰考古学家兰特在埃及发现的纸草书，后人称之为兰特纸草书。
在兰特纸草书上，人们发现了独特的埃及分数，这些分子为1的分数用不同的象形文字记载着很多历史古题。
比如7／8＝1／2＋1／4＋1／8，有人按兰特纸草书的记载这样解释：把7个面包平均分给8个人，不但每个人分的数量一样多，而且每人分的块数也一样多。
可以这样分，把其中四个面包每个切成两等份，把另两个面包每个切成四等份，最后一个切成八等份，每人拿大、中、小面包各一份。
这有多妙啊！下面我们就研究一些类似的问题。
例1：把11根糖棒平均分给12个人，每根糖棒同样长，分时一次只能切一根，且要平均分。
问：最少要切几刀？例2：在1/6=1/（）＋1/（）的括号中填入不同的整数使等式成立。
例3：将2/3拆分成两个不同单位分数之和的形式。
例4：在1/（）＋1/（）＋1/（）＋1/（）＋1/（）＋1/（）=1的括号中填入互不相同的自然数，使等式成立。
例5：计算111111... 1223344519202021 ++++++⨯⨯⨯⨯⨯⨯。
例6：计算11111 144771********* ++++⨯⨯⨯⨯⨯。
例7：计算234100...1(12)(12)(123)(123)(1234)(12...99)(12...100)++++⨯++⨯++++⨯++++++⨯+++例8：计算：1111...12123123 (10)+++++++++++。
练习：1、求出下列各分数所有形如11a b+的表达式，其中a 、b 为不等的整数： 15 111 14 1162、求出17、110、112所有形如11a b -的表达式，其中a 、b 为不等的整数。
3、计算3276912920730341754942870130208304418550+++++++。
4、计算2×4＋4×6＋6×8＋…＋18×20＋20×22＋22×24。
五年级第一讲 循环小数与分散
C、15/128
D、3/14
4、在 5/7,3/8,9/15,11/24 这四个分数中，能化成有限小数的共有（
A、1
B、2
C、3
D、4
）个。
例 3：在 0.2468 上面加上表示循环的小圆点，得到一个循环小数，使得它的小数点后
面第 2009 位数字是 6，这个循环小数是
。（2009 成都嘉祥 6 年级衔接）
年级第 2 试）
成功在这里起步
3
梦想在这里放飞
望子成龙学校
小学五年级系列专题
奥数金牌名师马老师座右铭：成功=勤学+善思+方法+苦练
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
ii
3、计算: 0.11+ 0.21+ 0.31+ 0.41+ 0.51+ 0.61+ 0.71+ 0.81+ 0.91
4、计算： 0.01̇ + 0.12̇ + 0.23̇ + 0.34̇ + 0.78̇ + 0.89̇
（4） 0.12̇ + 0.23̇ + 0.34̇ + 0.45̇ + 0.56̇ + 0.67̇ + 0.78̇ + 0.89̇
例 2：下面 4 个分数中，不能化成有限小数的是（
）。 （实外 2003 小升初）
14 A、2
25
43 B、
50
15 C、
128
3 D、
14
思路点拨先看每个分数是不是最简分数。再看分母分解质因数之后的质因数的构 成情况。
4、对于小数 0.0123456，要使它成为循环小数且小数部分左起第 100 位上数字是 4， 那么两个循环点应分别加在 和 这两个数字上。
五年级上奥数第16讲 分数与循环小数
五秋第16讲 分数与循环小数一、教学目标1．分数化为小数任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。
基本方法：分子除以分母。
2．循环小数化为分数（1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。
（2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。
二、例题精选【例1】 （1）把下列分数化为小数： ______254=； ______91= ；______71= （2）把下列小数化为分数：0.2=________; 0.25=_______; 0.125=_________【巩固1】把下列分数化为小数：______2017=； ______322= ；_______73= 【例2】 把下列纯循环小数转化为分数：_____4.0=•;_____42.0=••;_____581.0=••【巩固2】把下列纯循环小数化为分数：_____3.0=•;_____45.0=••;_____603.0=••【例3】 把下列混循环小数化为分数：_____65.0=•;_____13536.0=••;【巩固3】把下列混循环小数化为分数：_____540.0=•;_____156.0=••;【例4】 把7a 化为小数后，小数点后第2013位上的数字是1，那么a 是多少？【巩固4】把72化为循环小数后，小数点后第2018位上的数字是几？前2018位的数字之和是多少？【例5】 把分数7a 化成分数后，在小数点后前1994个数位上的数字和为8972，求a 为多少？【例6】 *设a 为一个自然数，A 是1至9的一个数字，若111a =••950A .,则a=四、回家作业【作业1】把下列各分数化为循环小数。
小学奥数之各种循环小数化成分数的方法归纳
一、纯循环小数化分数
从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。
怎样把它化为分数呢？看下面例题。
例1把纯循环小数化分数：
从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9。
9的个数与循环节的位数相同。
能约分的要约分。
二、混循环小数化分数
不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。
怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。
例2 把混循环小数化分数。
（2）先看小数部分
由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成
的数的差。
分母的头几位数是9，末几位是0。
9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
三、循环小数的四则运算
循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
例3 计算下面各题：
解：先把循环小数化成分数后再计算。
例4 计算下面各题。
分析与解：（1）把循环小数化成分数，再按分数计算。
（2）可根据乘法分配律把提出，再计算。
（3）把循环小数化成分数，根据乘法分配律和等差数列求和公式计算。
小学奥数小数与分数知识点详解，真是太详细了！
⼩学奥数⼩数与分数知识点详解，真是太详细了！循环⼩数任何分数化为⼩数只有两种结果，或者是有限⼩数，或者是循环⼩数，⽽循环⼩数⼜分为纯循环⼩数和混循环⼩数两类。
纯循环⼩数化成分数的⽅法分数的分⼦是⼀个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。
混循环⼩数化成分数的⽅法分数的分⼦是⼩数点后⾯第⼀个数字到第⼀个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头⼏位数字是9，末⼏位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
⼀个最简分数化为⼩数有三种情况（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数⼀定能化成有限⼩数，并且⼩数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；⽐如：（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数⼀定能化成纯循环⼩数；⽐如：（3）如果分母中既含有质因数2或5，⼜含有2与5以外的质因数，那么这个分数⼀定能化成混循环⼩数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
⽐如分数⽐较⼤⼩同学们从⼀开始接触数学，就有⽐较数的⼤⼩问题。
⽐较整数、⼩数的⼤⼩的⽅法⽐较简单，⽽⽐较分数的⼤⼩就不那么简单了，因此也就产⽣了多种多样的⽅法。
对于两个不同的分数，有分母相同，分⼦相同以及分⼦、分母都不相同三种情况，其中前两种情况判别⼤⼩的⽅法是：分母相同的两个分数，分⼦⼤的那个分数⽐较⼤；分⼦相同的两个分数，分母⼤的那个分数⽐较⼩；分⼦、分母都不同的两个分数，通常是采⽤通分的⽅法，使它们的分母相同，化为第⼀种情况，再⽐较⼤⼩。
由于要⽐较的分数千差万别，所以通分的⽅法不⼀定是最简捷的。
⼤⼩⽐较⽅法：1.“通分⼦”。
当两个已知分数的分母的最⼩公倍数⽐较⼤，⽽分⼦的最⼩公倍数⽐较⼩时，可以把它们化成同分⼦的分数，再⽐较⼤⼩，这种⽅法⽐通分的⽅法简便。
2.化为⼩数。
3.先约分，后⽐较。
4.根据倒数⽐较⼤⼩。
小学五年级奥数 循环小数
循环小数本讲主线1. 分数、小数互化2. 分数、小数四则3. 一个神秘“组织”3. 纯循环小数化分数：(1) 分母9的个数＝循环节个数.(2) 分子就是循环节.0.3____ 0.123____1. 数由整数和小数构成,其中：有限小数：0.2 , 0.25，0.125小数无限不循环小数：3.1415926……纯循环小数：2.142, 0.3, 0.16混循环小数：2.132, 0.19342无限小数循环小数2. 常见循环小数：1 1 0.16 1 0.10.33 6 9 4. 混循环小数化分数：(1) 分母9的个数＝循环节个数；0的个数＝非循环个数.(2) 分子就是全部小数－非循环部分.0.1230.212【课前小练习】(★★)1. 把下面的分数化成小数，小数化成分数：(1) 0.1____ (2) 0.35=____(3) 0.375____(4) 1(5) 1(6) 12342. 把下面的分数化成小数：板块一:分数、小数互化【例1】(★★)将下列循环小数化分数：⑴0.6___ 0.813.42____⑵0.215____ 6.353____(1) 1____2(5) 1____6(9) 1____201(3) 1____ (4) 1____(2) =____345(6) 1____ (7) 1____ (8) 1____81015(10) 1____100有限小数:分母中只含有因数或者.思考题为什么循环小数化分数要找“9”呢？例：0.1231239991【例2】(★★★)将下面的分数化成小数：12____ 3____⑴____888121___237____⑵____9999990 【例4】(★★★★★)将循环小数0.027与0.179672相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少？板块二:分数、小数四则【例3】(★★★)(1) 0.01＋0.12＋0.23＋0.34＋0.78＋0.89____ (结果保留三位小数)【例3】(★★★) (2008年台湾小学数学竞赛选拔赛初赛)(80.80.08)(2) ＝_________.71113 【例5】(★★★★)冬冬将. 乘以一个数a时，看丢了一个循环点，使得乘积比正确0321结果减少了. ，正确结果应该是多少？003板块三:一个”神秘组织”【超常大挑战】(★★★★★)a真分数化为小数后，如果从小数点后第一位7的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a是多少？知识大总结1. 纯循环小数和混循环小数化分数技巧.2. 循环小数、分数混合四则：(1) 乘除法，先转成分数，然后约分.，，.3. 神秘组织：1428574. 常见分数转小数【今日讲题】例1，例3，超常大挑战【讲题心得】______________________________________________________________。
五年级数学循环小数与分数拆分
循环小数与分数拆分例题精讲（1） 掌握循环小数化分数的基本方法与规律；（2） 在计算中能灵活运用循环小数化分数的方法进行简便运算。
知识框架【基本概念】纯小数——整数部分是零的小数。
循环小数——从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数。
循环小数有以下两类类：混循环小数、纯循环小数。
混循环小数——循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数。
纯循环小数——循环节从小数部分第一位开始的循环小数。
【基本方法】（1） 纯循环小数化分数：这个分数的分子等于一个循环节所组成的数，分母由9构成，9的个数等于一个循环节中的位数。
（2） 混循环小数化分数：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差；分母的头几位数是9，末几位是0，9的个数与一个循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
重难点重点：循环小数化分数的基本方法与规律；难点：灵活运用循环小数化分数的规律进行运算。
例题精讲一、 分数拆分【例1】110=()()11--()1=()()()111++ 【考点】分数拆分 【难度】☆ 【题型】填空 【解析】()()()()()()11111111041020804016=--=++ 注：这里要先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式5-2-1和连加式5+2+1. 【答案】()()()()()()11111111041020804016=--=++。
【巩固】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．()()()()()()111111110=--=++【考点】分数拆分 【难度】☆ 【题型】填空【解析】先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式521--和连加式521++． 则：()()()()()()11111111041020804016=--=++ 如果选10、5、2，那么有：1111111103615173485=--=++．另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了．比如，要得到()()()111110=++，根据前面的拆分随意选取一组，比如111101260=+，再选择其中的一个分数进行拆分，比如1111213156=+，所以1111101360156=++ 【答案】()()()()()()11111111041020804016=--=++。
五年级奥数.计算综合.循环小数与分数分拆(ABC级).教师版
（1） 掌握循环小数化分数的基本方法与规律；（2） 在计算中能灵活运用循环小数化分数的方法进行简便运算。
【基本概念】纯小数——整数部分是零的小数。
循环小数——从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数。
循环小数有以下两类类：混循环小数、纯循环小数。
混循环小数——循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数。
纯循环小数——循环节从小数部分第一位开始的循环小数。
【基本方法】（1） 纯循环小数化分数：这个分数的分子等于一个循环节所组成的数，分母由9构成，9的个数等于一个循环节中的位数。
（2） 混循环小数化分数：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差；分母的头几位数是9，末几位是0，9的个数与一个循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
重点：循环小数化分数的基本方法与规律；难点：灵活运用循环小数化分数的规律进行运算。
一、 分数拆分【例1】 110=()()11--()1=()()()111++例题精讲例题精讲重难点知识框架循环小数与分数拆分【考点】分数拆分 【难度】☆ 【题型】填空 【解析】()()()()()()11111111041020804016=--=++ 注：这里要先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式5-2-1和连加式5+2+1. 【答案】()()()()()()11111111041020804016=--=++。
【巩固】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．()()()()()()111111110=--=++ 【考点】分数拆分 【难度】☆ 【题型】填空【解析】先选10的三个约数，比如5、2和1，表示成连减式521--和连加式521++． 则：()()()()()()11111111041020804016=--=++ 如果选10、5、2，那么有：1111111103615173485=--=++．另外，对于这类题还有个方法，就是先将单位分数拆分，拆成两个单位分数的和或差，再将其中的一个单位分数拆成两个单位分数的和或差，这样就将原来的单位分数拆成了3个单位分数的和或差了．比如，要得到()()()111110=++，根据前面的拆分随意选取一组，比如111101260=+，再选择其中的一个分数进行拆分，比如1111213156=+，所以1111101360156=++ 【答案】()()()()()()11111111041020804016=--=++。
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循环小数与分数拆分
考试要求
（1）掌握循环小数化分数的基本方法与规律；
（2）在计算中能灵活运用循环小数化分数的方法进行简便运算。
知识框架
【基本概念】
纯小数——整数部分是零的小数。
循环小数——从小数点后某一位开始不断地重复出现前一个或一节数字的十进制无限小数。
循环小数有以下两类类：混循环小数、纯循环小数。
混循环小数——循环节不是从小数部分第一位开始的循环小数。
纯循环小数——循环节从小数部分第一位开始的循环小数。
【基本方法】
（1）纯循环小数化分数：这个分数的分子等于一个循环节所组成的数，分母由9构成，9的个数等于一个循环节中的位数。
（2）混循环小数化分数：这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差；分母的头几位数是9，末几位是0，9的个数与一个循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
重难点
重点：循环小数化分数的基本方法与规律；
难点：灵活运用循环小数化分数的规律进行运算。
例题精讲
一、分数拆分
【例1】
110=()()11--()1=()()()
111++
【巩固】在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
()()()()()()111111110=--=++
【例2】 如果
1112009A B
=-，A B ，均为正整数，则B 最大是多少？
【巩固】若
1112004a b =+，其中a 、b 都是四位数，且a<b ，那么满足上述条件的所有数对（a,b ）是哪些？
二、纯循环小数化分数
【例3】 把纯循环小数化分数： （1）6.0& （2）201.3&&
【巩固】把纯循环小数化成分数
（1）612.0&&（2）3
21.4&&
三、混循环小数化分数
【例4】 把混循环小数化分数。
（1）5
12.0&&（2）335.6&
【巩固】把混循环小数化成分数。
（1）6
27.0&（2）24.7&
四、循环小数的四则运算与周期运算
循环小数化成分数后，循环小数的四则运算就可以按分数四则运算法则进行。
从这种意义上来讲，循环小数的四则运算和有限小数四则运算一样，也是分数的四则运算。
【例5】 计算下面各题：
.（1）31.354.2&&&+ （2）23.1960.2&&&- （3）4.23.4&&⨯ （4）3.042.1&&&÷
【巩固】⑴ 0.54
0.36+=&&& ；
⑵ (2006年第四届“希望杯”六年级第1试) 191.21.2427•••⨯+= 。
【例6】 计算下面各题。
（1）6.016.01
6.01
6.0&&&&+++ （2）6.025.13
125.13.025.1&&⨯+⨯+⨯
（3）85.074.063.052.041.0&&&&&++++
【巩固】⑴ ····110.150.2180.3111⎛⎫+⨯⨯ ⎪⎝⎭； ⑵ ()
2.2340.9811-÷&&&& (结果表示成循环小数)。
【例7】 将循环小数0.027
&&与0.179672&&相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少?
【巩固】计算200920091199900999909901⎛⎫-⨯ ⎪⎝⎭
(结果表示为循环小数) 。
【例8】 真分数
7
a 化为小数后，如果从小数点后第一位的数字开始连续若干个数字之和是1992，那么a 是多少?
【巩固】
20022009和1287化成循环小数后第100位上的数字之和是_____________。
【例9】 某学生将1.23&乘以一个数a 时，把1.23&误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3.则正确结果该是
多少?
【例10】
设a,b,c 是0～9的数字（允许相同），将循环小数c
b a &&.0化成最简分数后，分子有多少种不同情况？
【巩固】分母为1996的所有最简分数之和是_________。
【例11】 将纯循环小数ab .0化为最简单分数时,分子与分母之和为19,求a 和b （a 和b 上面都带小数
点的）。
【巩固】纯循环小数0.abc &&写成最简分数时,分子和分母的和是58,则三位数_________abc =。
1、 ()()()()()()()()()()
1111111111145=+=-=++=-- 课堂检测
2、 计算 （1）0.2910.1920.3750.526-++&&&&&&&& （2）0.3300.186
⨯&&&&
3、 有8个数，0.51&&，23,59,0.51&,2413,4725
是其中6个，如果按从小到大的顺序排列时，第4个数是0.51&，那么按从大到小排列时，第4个数是哪一个数?
4、 计算：0.01
0.120.230.340.780.89+++++&&&&&&
5、 真分数
a 27
化成小数后，如果小数点后连续2004个数字之和是8684，那么a 可能等于多少？
1、 在下面的括号里填上不同的自然数，使等式成立．
（1）()()()()()()()()
11111111111102020=+=+=+=+=+； 家庭作业
（2）
()()11110=-
2、 计算：61.03.0125.01.0&&&+++（结果保留三位小数）。
3、 计算：98.087.043.032.021.010.0&Λ&Λ&&&&+++++++
4、 算式+
++++++++11111111112345678910的计算结果，小数点后第2008位是数字几？
5、 真分数
7
a 化成循环小数之后，从小数点后第1位起若干位数字之和是9039，则a 是多少？
6、 所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是__________。
教学反馈
学生对本次课的评价
○特别满意○满意○一般
家长意见及建议
家长签字：。