第六节 三角函数的图像和性质(二)

第6课 三角函数的图像和性质（二）

【考点导读】

1.理解三角函数sin y x =，cos y x =，tan y x =的性质，进一步学会研究形如函数sin()y A x ωϕ=+的性质；

2.在解题中体现化归的数学思想方法，利用三角恒等变形转化为一个角的三角函数来研究． 【基础练习】

1.写出下列函数的定义域： （1

）y =

的定义域是______________________________

； （2）sin 2cos x

y x

=的定义域是____________________

． 2．函数f (x ) = | sin x +cos x |的最小正周期是____________．

3．函数 22

sin sin 4

4

f x x x ππ=+--（）（）（）的最小正周期是_______

． 4. 函数y =sin(2x +

3

π)的图象关于点_______________对称． 5. 已知函数tan y x ω= 在（－2

π

，

2

π

）内是减函数，则ω的取值范围是______________

． 6.关于x 的函数)sin()(φ+=x x f 有以下命题：

（1）对任意的)(,x f φ都是非奇非偶函数； （2）不存在,φ使)(x f 既是奇函数，又是偶函数； （3）存在,φ使)(x f 是奇函数； （4）对任意的,φ)(x f 都不是偶函数．

其中一个假命题的序号是 ．因为当φ= 时，该命题的结论不成立． 解析：（1），)(Z ∈k k π；（1），)(2

Z ∈+k k ππ；（4），)(2

Z ∈+k k ππ

等．（两个空格全填对时才能得分．其

中k 也可以写成任何整数） 【范例解析】

例1.求下列函数的定义域： （1

）sin tan x y x

=

+

（2

）y =

{663,}x k x k k Z πππ≤≤+∈ {,}2x x k k Z π

π≠+∈ π π （3

π

，0）

10ω-≤<

解：（1）,2tan 0,2sin 10.x k x x ππ⎧≠+⎪⎪≠⎨⎪+≥⎪⎩即,2,722.

66x k x k k x k πππππππ⎧

≠+⎪⎪

≠⎨⎪⎪-≤≤+⎩

，

故函数的定义域为7{226

6

x k x k π

πππ-

≤≤+

且,x k π≠,}2

x k k Z π

π≠+

∈

（2）122log 0,tan 0.x x +≥⎧⎪

⎨⎪≥⎩即04,

.2

x k x k πππ<≤⎧⎪⎨≤<+⎪⎩

故函数的定义域为(0,

)[,4]2

π

π⋃．

点评：由几个函数的和构成的函数，其定义域是每一个函数定义域的交集；第（2）问可用数轴取交集． 例2．求下列函数的单调减区间： （1）sin(

2)3

y x π

=-； （2）2cos sin(

)

4

2

x y x π

=

-

；

解：（1）因为2222

3

2

k x k π

π

π

ππ-

≤

-≤+

，故原函数的单调减区间为5[,]()12

12

k k k Z π

πππ-

+

∈．

（2）由sin()04

2

x π

-≠，得{2,}2

x x k k Z π

π≠+

∈，

又2cos 4sin()2

4

sin(

)

4

2

x x y x π

π

=

=+

-

，

所以该函数递减区间为3222

2

4

2

x k k π

π

πππ+

<

+

<+

，即5(4,4)()2

2

k k k Z π

πππ+

+

∈．

点评：利用复合函数求单调区间应注意定义域的限制． 例3．求下列函数的最小正周期： （1）5tan(21)y x =+；（2）sin sin 32y x x ππ⎛

⎫

⎛

⎫=+

+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭

． 解：（1）由函数5tan(21)y x =+的最小正周期为π2

，得5tan(21)y x =+的周期2

T π

=

．

（2）sin()sin()(sin cos

cos sin

)cos 3

2

3

3

y x x x x x π

π

π

π

=+

+

=+

2

111cos 2sin cos sin 22

2

4

22

x

x x x x +=+

=

+