非寿险定价模型

21
小结
仅仅讨论了非寿险定价模型的一小部分。不同保险产品的定价模型有较大差异。 非寿险定价模型主要是统计模型： 单项分析法 ----- 边际总和法 ----- GLM 信度模型 ---- 线性混合模型 ----- 广义线性混合模型 模型越来越复杂，边际效果会递减。 需要关注费用附加、风险附加和利润附加
i
2 i
var(yi )= V ( i )
逆高斯： Tweedie：
3 i
p i ,
1
p
2
7
均值相等，方差相等条件下 IG 与 GA 的比较
8
Tweedie 的密度函数： power=1.5; mu=200;
var(y)=phi*mu^power
9
分类费率：广义线性模型及其推广
索赔频率：泊松、负二项（泊松-伽马） 、泊松-逆高斯、泊松-对数正态，零膨胀、hurdle 零膨胀：
应用：以车险为例
2
保费构成：
保费 = 纯保费 + 费用附加 + 安全附加和利润附加 核心：纯保费
主要的定价方法：
分类费率（先验费率） ： 传统方法：单项分析法、最小偏差法（如：边际总和法） 流行方法： GLM 探索中的方法：GAM、GAMLSS、...... 经验费率（后验费率） ：信度模型，奖惩系统（BMS） 。 分类费率与经验费率的结合：GLM+CM，GLM+BMS，GLMM，GAMLSS 目的：体现公平，防止逆选择
yit
0i 0i 00 it
u0i
00
信度模型： yit
u0i
it
14
分类费率与经验费率的结合：广义线性混合模型
分类费率：广义线性模型 经验费率：信度模型（线性混合模型） 分类费率与经验费率的结合：广义线性混合模型（变截距）
yit ~D( g(
0i it ) 00 it ,
)
0i 1x1it 2x 2it
22
参考文献：
[1] Yan J. Enjoy the Joy of Copulas: With a Package copula[J]. Journal of Statistical Software. 2007, 21(4): 1-21. [2] Kramer N., Silvestrini D. Bivariate Copula Based Regression Models. ; 2012. [3] Ohlsson E. Combining generalized linear models and credibility models in practice[J]. Scandinavian Actuarial Journal. 2008, 2008(4): 301-314. [4] Rigby R. A., Stasinopoulos D. M. Generalized additive models for location, scale and shape[J]. Applied Statistics. 2005, 54(3): 507-554. [5] Ohlsson E., Johansson B. Non-life insurance pricing with generalized linear models[M]. Heidelberg: Springer. 2010.
23
谢谢！
24
在北京大学数学学院的报告
非寿险定价模型：理论与应用
孟生旺
中国人民大学统计学院 /mengshw
2013.4.22
1
主要内容
定价模型的分类 1：时间顺序
传统模型 当前行的模型 探索过程中的模型
定价模型的分类 2：模型性质
分类费率 经验费率 分类费率与经验费率的结合
i
从观察者中剔除 u j ，重新应用 GLM 估计 ......
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GLM 的推广：广义可加模型（GAM）
g( i )
0
f1(x1i )
f2 (x2i )
...
进一步推广：GAMLSS
GAMLSS: 关于位置参数、尺度参数和形状参数的广义可加模型[4]
gk (θk ) Xk βk Zk γ k， k 1, 2, 3, 4
p0 = (1 - )q 0 k 1, 2, ... pk =(1 - )qk ,
p0
例：q ~ 泊松
Hurdle：
pk
(1 - )
qk 1 - q0
,
k
1,2,...
索赔强度：伽马、逆高斯、对数正态、帕累托、GB2 纯保费：Tweedie、零调整逆高斯 零调整逆高斯：
f (0) f (y ) (1 - )h(y ), h(y )~IG
A 商 B 商
车年数 1 1 1 k
1000 k
B 私 B 商
2000 1800 k
900
私家车 : 1000 商用车 : 1000
A 私 A 商
1000 1000
1000 k 2000
900 1800 k
2/ 1 =
k > 0，收敛到真实值：区域 B 的费率因子
2/ 1 =
0.9，商用车的费率因子
2
6
分类费率（传统模型：线性回归） 分类费率：广义线性模型
数据： Ei , N i , li1,...,liNi , x i1,...,x im ,
yi ~D( i , ), g( i )=xi
Ei , N i , Li =
Ni j =1
lij , x i1,...,x im
D：指数分布族， E(yi )= i , 常用分布的方差函数: 泊松： 伽马：
u0i
15
GLM 与信度模型的结合应用[3] ：多水平因子
E(Yij |u j )=
i
iu j
表示第 i 个风险类别的所有普通费率因子的乘积；
u j 表示多水平费率因子的第 j 个水平， E (u j )=1 。
迭代： 假设 u j =1，应用 GLM 估计 从观察值中剔除
i
i
，应用信度模型估计 u j
不同方法估计的品牌因子
18
GLM 与 GLMM 估计的品牌因子估计值之比与车年数的关系 数据:2：普通因子+品牌+车型
是否考虑多水平因子对普通费率因子的估计值有影响吗？
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定价中的几个实际问题
平衡调整： 泊松回归是平衡的。 伽马回归在对数连接下不平衡： 数据 2： 拟合值之和为 875406896， 实际赔款金额之和为 875790967， 低估了 0.044%。 [5] Offset 的应用 ： 等价的泊松回归（对数连接） ： （1） y=索赔次数，offset=log(车年数) （2） y=索赔频率，weight=车年数 等价的伽马回归（对数连接） ： （1） y=案均赔款，weight=索赔次数，offset=log（已知因子值） （2） y=扣除已知因子值的案均赔款。weight=索赔次数 等价的 Tweedie： （1）y，weight，offset=log(u) (2) y/u，weight*u^(2-p)
4
5
分类费率：传统模型（最小偏差法：边际总和法）
风险类别（i, j）的纯保费： 行驶区域 A B 区域的边际总和： 用途的边际总和：
1000
ij
i j
汽车用途 私家车 商用车 私家车 商用车
A : 1000 B : 1000
A 私 B 私
每个车年的损失 1000 2000 900 1800
1000 1000
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经验费率：信度模型
yit
ui
it
， ˆi
Z yi
(1 - Z )
,
Z
n
n v /a
12
13
经验费率：信度模型与线性混合模型
普通线性模型： yi
0 1x1 i
1i x1it 01w1i 11w1i
yit
0i 00 10
it
2 水平线性混合模型：
0i 1i
u0i u1i
化简：无解释变量，只保留截距项
分布假设：可计算 f (y)和f (y) 的所有分布 特例：GLM，DGLM，GAM，GLMM 例：对风险附加的计算更加合理，以标准差原理为例： 保单 A：均值 1000，标准差 1000 保单 B：均值 1000，标准差 500
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中国车险数据分析：多水平因子的估计
数据 1：普通因子+品牌
不同方法估计的品牌因子
3
分类费率：传统模型（单项分析法）
行驶区域 A B 汽车用途 私家车 商用车 私家车 商用车 每个车年的损失 1000 2000 900 1800 车年数 1 1 1 1
基准类别：行驶区域 A、私家车。保费 = 1000 费率因子： 区域 B = [(900 + 1800)/2] / [(1000 + 2000)/2] = 0.9 商用车 = [(2000 + 1800)/2] / [(1000 + 900)/2] = 2 缺陷：如果车年数的分布不均衡？如：上表中最后一个车年数为 k（参见下图）
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多重共线性：
车龄 投保类型 新投保 续保 1 年 续保 2 年 续保 3 年及以上 转入 1 4523 0 0 0 0 2 0 8996 0 0 11843 3 0 7593 6144 0 9634 4 0 5873 4965 3898 8319 5 0 5274 3850 4145 7367 6 0 4520 3214 3599 6371 7 0 3847 2677 3068 5436 8 0 2961 2135 2396 4387 9 0 2159 1592 1919 3382 10 0 1422 966 1239 1965
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分别建模还是一次性建模？ （1）索赔频率与索赔强度的影响因素不同 （2）索赔频率与索赔强度的相依性 S X1 X2 XN , E(S ) E(Xi )E(N ), 如果Xi 是iid且与N 相互独立
（3）分别建模，用 copula 反映相依性：R 程序包（copula[1]，CopulaRegression[2]）