第六章电磁场的边值问题
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电磁场与电磁波6静态场边值问题的求解
n 1
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
( An ' cos K n x Bn ' sin K n x)(Cn ' chKn y Dn ' shKn y )
n 1
4）利用给定边界条件确定积分常数，最终得到电位函数的解。 a ) y轴 x 0 0 y a 0
b ) x轴 y 0 0 x a 0 0 C0 0 Cn 0 Cn c) x a 0 y a 0 B0 0 Bn 0
400
1 n n sin xsh y n1 nshn a a
接地金属槽内的等位线分布
(n 1, 3, 5 )
三、分离变量法：柱坐标系中
电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为
1 1 2 2 2 0 r 2 2 r r r r z
( ) A sin m B cosm
考虑到 k m，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为
1 d dR m 2 1 d 2 Z 0 r 2 2 Rr dr dr r Z dz
三、分离变量法：柱坐标系中
上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因
(6 )
(7 )
1 d 21 2 K n 1 dx2
1 d 2 2 2 K n 2 dy2
Kn 2 0
(8)
3）解常微分方程，将各特解线性叠加得通解。
1 ( x) 2 ( y) ( A0 B0 x)(C0 D0 y)
( An chKn x Bn shKn x)(Cn cos K n y Dn sin K n y )
1 d 2 2 k d 2
电磁场数值计算边值问题分解课件
发展新型的边值问题分解方法和算法是当前研究的热点和趋势，为解决复杂电磁场 问题提供新的思路和方法。
电磁场基本理论
02
麦克斯韦方程组
微分形式
描述电磁场在空间中的变化和传播。
积分形式
描述电荷和电流在空间中的分布。
电磁场的边界条件
电场和磁场在边界处的连续性
在两种不同媒质的交界处，电场强度和磁场强度保持连续。
迭代法
定义
应用
迭代法是一种通过不断迭代来逼近问题解 的方法，通常从初始猜测开始，通过逐步 修正猜测来得到最终的解。
在电磁场数值计算中，迭代法可以用于求 解边值问题，例如从初始猜测开始，通过 逐步修正猜测来得到最终的解。
优点
缺点
迭代法可以自动寻找问题的解，不需要人 工干预。
迭代法的收敛速度较慢，需要更多的计算 资源。
特点
有限差分法简单易行，适用于规则的问题域，但难以处理复杂的问题域。
03
应用场景
有限差分法广泛应用于偏微分方程的数值计算中，如热传导方程、波动
方程等。
有限元法
01
定义
有限元法是一种基于变分原理的数值计算方法，通过将 连续的空间离散为有限个单元，用单元的组合来逼近原 函数，从而可以进行数值计算。
02
使结果更接近真实情况。
适用性
扩大数值计算方法的应用范围， 使其能够解决更多种类的电磁
场问题。
高效性
优化算法，提高计算效率，减 少计算时间和资源消耗。
自动化
提高数值计算的自动化程度， 减少人工干预，提高计算过程
的可靠性。
研究挑 战
复杂性问题 高维度问题 不确定性量化 计算资源需求
对于具有复杂形状和结构的电磁场问题，如何设计有效的数值 计算方法是当前面临的一个挑战。
电磁场基本理论
02
麦克斯韦方程组
微分形式
描述电磁场在空间中的变化和传播。
积分形式
描述电荷和电流在空间中的分布。
电磁场的边界条件
电场和磁场在边界处的连续性
在两种不同媒质的交界处，电场强度和磁场强度保持连续。
迭代法
定义
应用
迭代法是一种通过不断迭代来逼近问题解 的方法，通常从初始猜测开始，通过逐步 修正猜测来得到最终的解。
在电磁场数值计算中，迭代法可以用于求 解边值问题，例如从初始猜测开始，通过 逐步修正猜测来得到最终的解。
优点
缺点
迭代法可以自动寻找问题的解，不需要人 工干预。
迭代法的收敛速度较慢，需要更多的计算 资源。
特点
有限差分法简单易行，适用于规则的问题域，但难以处理复杂的问题域。
03
应用场景
有限差分法广泛应用于偏微分方程的数值计算中，如热传导方程、波动
方程等。
有限元法
01
定义
有限元法是一种基于变分原理的数值计算方法，通过将 连续的空间离散为有限个单元，用单元的组合来逼近原 函数，从而可以进行数值计算。
02
使结果更接近真实情况。
适用性
扩大数值计算方法的应用范围， 使其能够解决更多种类的电磁
场问题。
高效性
优化算法，提高计算效率，减 少计算时间和资源消耗。
自动化
提高数值计算的自动化程度， 减少人工干预，提高计算过程
的可靠性。
研究挑 战
复杂性问题 高维度问题 不确定性量化 计算资源需求
对于具有复杂形状和结构的电磁场问题，如何设计有效的数值 计算方法是当前面临的一个挑战。
§1-6电磁场的边值关系
1 2
§1-7
光在两个介质面上的 反射和折射
光在两个介质面上的反射和折射本质上是 光波的电磁场与物质相互作用的问题，问 题的严格处理是比较复杂的。 我们将采取比较简单的方法： 不考虑个别分子、原子的性质，用介质的 介电常数，磁导率表示大量分子的平均作 用，根据麦克斯韦方程组和电磁场的边值 关系来研究平面光波在两介质分界面上的 反射和折射问题。
n ( D1 D2 ) 0或 D1n D2 n
即：在分界面上没有自由电荷的情况下，电感 强度的法向分量 也是连续的。
§1－6电磁场的边值关系
四、电磁场切向分量的关系： 把小圆柱换成一个矩形面积ABCD如图1－ δl 19所示：由于 A t1 B
ε2μ2 D B E dl t d dl 取ABCD切线方向，则 E dl (
§1-7
光在两个介质面上的 反射和折射
n A1 exp i (k r 1t ) n A1 ' exp i (k1 'r 1 ' t ) n A2 exp i（k 2 r 2 t )
§1－6电磁场的边值关系
B E dl t d D d Q
两种形式的麦克斯韦方程组：
E
B t
D
B d 0
D t d
B 0
H j D t
§1－6电磁场的边值关系
由上式还可看出：
E1-E2垂直于界面或者说平行于界面法线， 故上式又可写为 ： n ( E1 E2 ) 0
§1-7
光在两个介质面上的 反射和折射
光在两个介质面上的反射和折射本质上是 光波的电磁场与物质相互作用的问题，问 题的严格处理是比较复杂的。 我们将采取比较简单的方法： 不考虑个别分子、原子的性质，用介质的 介电常数，磁导率表示大量分子的平均作 用，根据麦克斯韦方程组和电磁场的边值 关系来研究平面光波在两介质分界面上的 反射和折射问题。
n ( D1 D2 ) 0或 D1n D2 n
即：在分界面上没有自由电荷的情况下，电感 强度的法向分量 也是连续的。
§1－6电磁场的边值关系
四、电磁场切向分量的关系： 把小圆柱换成一个矩形面积ABCD如图1－ δl 19所示：由于 A t1 B
ε2μ2 D B E dl t d dl 取ABCD切线方向，则 E dl (
§1-7
光在两个介质面上的 反射和折射
n A1 exp i (k r 1t ) n A1 ' exp i (k1 'r 1 ' t ) n A2 exp i（k 2 r 2 t )
§1－6电磁场的边值关系
B E dl t d D d Q
两种形式的麦克斯韦方程组：
E
B t
D
B d 0
D t d
B 0
H j D t
§1－6电磁场的边值关系
由上式还可看出：
E1-E2垂直于界面或者说平行于界面法线， 故上式又可写为 ： n ( E1 E2 ) 0
工程电磁场第6章电磁场边值问题的解析方法
h
h
为零， q 和 q 使半球面电位为零。四个电荷共同作
用下，半球面的电位为零。
50
四个电荷共同产生的电场，其电位 在无限大平面和半球面上为零，满足边 界条件。镜象电荷得以确定。
51
52
直流线路产生电场的镜像法
1. 输电线路电场计算模型
实际输电线路的每条相导线(对应于 交流输电线路)或极导线(对应于直流输电 线路)一般采用分裂导线结构，即每条相 导线或极导线一般是指一个导线束。导 线束中的每条导线称为子导线，每条相 导线或极导线中子导线的个数称为此条 相导线或极导线的分裂数，每条相导线 或极导线中相距最近的两条子导线之间 的距离称为此条相导线或极导线的分裂 间距。
得方程组
q q q
1
2
解上述方程组，得
q q q
q 1 2 q ； q 2 2 q
1 2
1 2
44
确定了镜象电荷的位置和电荷量。 由 q 和 q 计算上半空间的电场，由 q 可计算下半空间的 电场。
45
例 6-3-1 计算无限大导体平面上方点电荷 q 在导体平面
当位函数u 在坐标系中只随一个坐标变化时， 问题可以用一维模型表示。 当右端项 f 函数表达式 不复杂时，一维泊松方程一般可以用解析积分方法 求解。根据问题的性质，选择合适的坐标系。
2
直角坐标系
如图6-1-1, 在直角坐标系中， 若u 只与坐标x 有关，不随 y 、z 变化，则一维泊松方 程为
两边积分一次
q 和距离 b 。
31
P
q 4r
q 4r
根据前面要求的条件， P 0 ，有
q q ； 4r 4r
电磁场数值计算边值问题
电磁场数值计算
在均匀媒质中， 0 。因此
2 0
上式为导电媒质中恒定电流场的基本方程。 在两种导电媒质的分界面上，对应于场矢量的
分界面衔接条件 E2t E1t 和 J2n J1n 。
电位的分界面衔接条件为
2 1，
2
2 n
1
1 n
2021/7/27
电磁场数值计算
2、边值问题及其外部边界条件 恒定电流场的基本方程为拉普拉斯方程
在平行平面场和轴对称场中，内部衔接条件和外部边 界条件设置在材料的分界线和外部边界线上。
2021/7/27
电磁场数值计算
在三维坐标系（直角坐标系、圆柱坐标系 和球坐标系）中，如果场源、材料和边界条件 沿两个坐标方向都不变化，则静电场可进一步 简化为一维场。
2021/7/27
电磁场数值计算
2.2 恒定电流场的边值问题
设置。
2021/7/27
电磁场数值计算
2.3 恒定磁场的边值问题
1、矢量磁位的基本方程和内部分界面衔接条件 根据恒定磁场基本方程微分形式和辅助方程，得
H
1
B
J
将矢量磁位与磁感应强度的关系 B A代入，得
1
A
1
A
A
1
J
2021/7/27
电磁场数值计算
在均匀磁媒质中， 1 0 ,
第三类边值问题表述为
2
n
0 0
第三类边值问题包含第二类边值问题，或第二
类边值问题是第三类边值问题的特例。 0 ?
2021/7/27
电磁场数值计算
更为一般的，已知求解区域内部的自由电荷分布，
给定求解区域部分边界 1 上电位和另一部分边界 2
电磁场边值关系的简单推导
s B dS 0 H dl I 0 0 l
以及
B H (各向同性的磁介质)
选择与计算电场边值条件同样的积分路径和积分面， 设两介质的 磁导率分别为 1, 2 ，在接触面法线和切线方向的分量表达同上。则可 以得到如下的关系：
B2 n B1n 0 H 2t H1t 0
s
D dS 0
不显示在积 D 的切线方向分量与 dS 方向垂直， 分式中，而积分面为无限窄圆柱，所以上式可化为
D1n D2 n 0
即电位移矢量在法线方向上是连续的。结合上俩式为
D2 n D1n 0 E2t E2t 0
下面来说明 E 在法向方向是突变的，而 D 在切线方向是突变的。
由(*)式变形为
j0 dS q ( 0 dV ) 0 0 t t
即
j2 n j1n 0
而麦克斯韦方程组得到的结果与前两节讨论的结果相同。所以， 可以得到电磁波的边值条件为：
D2 n D1n 0 E E 0 2t 1t B2 n B1n 0 H H 0 1t 2t j2 n j1n 0
tan 1 1 tan 2 2
综上，电场强度和电位移可以形象地用图(3)的(a),(b)图表示。
下面简单分析一下电场强度出现突变的原因， 在两种介质的接触 处，由于电场的作用，导致介质极化，在接触面出现极化电荷，由于 两介质的介电常数不同，则两个表面的电荷密度不同，所以法线方向 激发的电场大小不同，对原电场的影响就不同，而对切线方向没有影 响。所以，电场就会出现法线突变而切线方向连续的事实。 二、稳恒磁场的边值条件 有了电场的计算基础，磁感应强度 B 和磁场强度 H 的边值条件 及大小的比较就很简单了。它们遵循的规律如下：
以及
B H (各向同性的磁介质)
选择与计算电场边值条件同样的积分路径和积分面， 设两介质的 磁导率分别为 1, 2 ，在接触面法线和切线方向的分量表达同上。则可 以得到如下的关系：
B2 n B1n 0 H 2t H1t 0
s
D dS 0
不显示在积 D 的切线方向分量与 dS 方向垂直， 分式中，而积分面为无限窄圆柱，所以上式可化为
D1n D2 n 0
即电位移矢量在法线方向上是连续的。结合上俩式为
D2 n D1n 0 E2t E2t 0
下面来说明 E 在法向方向是突变的，而 D 在切线方向是突变的。
由(*)式变形为
j0 dS q ( 0 dV ) 0 0 t t
即
j2 n j1n 0
而麦克斯韦方程组得到的结果与前两节讨论的结果相同。所以， 可以得到电磁波的边值条件为：
D2 n D1n 0 E E 0 2t 1t B2 n B1n 0 H H 0 1t 2t j2 n j1n 0
tan 1 1 tan 2 2
综上，电场强度和电位移可以形象地用图(3)的(a),(b)图表示。
下面简单分析一下电场强度出现突变的原因， 在两种介质的接触 处，由于电场的作用，导致介质极化，在接触面出现极化电荷，由于 两介质的介电常数不同，则两个表面的电荷密度不同，所以法线方向 激发的电场大小不同，对原电场的影响就不同，而对切线方向没有影 响。所以，电场就会出现法线突变而切线方向连续的事实。 二、稳恒磁场的边值条件 有了电场的计算基础，磁感应强度 B 和磁场强度 H 的边值条件 及大小的比较就很简单了。它们遵循的规律如下：
电磁场边值关系
S
t (E2 E1) 0
E1//
E2
n21
t
E2 //
2
1
或者
t (E2// E1// ) 0
E1
17
由于 t 是分界面上的任意一个
单位矢量，因此
E2 // E1//
——在界面处电场的切向分 量是连续的；
E1//
上式也可以写成
n21
D2 D1
f
n
由高斯定理可得，交界面上自由 电荷量的面密度为
f D2n D1n
（注：由于此处 n 法向矢量定 义成是从介质1指向介质2的）
2 E2n 1E1n
28
14
2010-9-9
f 2 E2n 1E1n
又根据欧姆定律：
n21
D2
2
1
D1
7
假设：交界面上的有自由电荷面分布
D S
dS
Qf
Qf f S
Q f D2 n21S D1 n21S
D dS S侧
根据 D dS 0 ，得到 S侧
D2
n21
D1
n21
f
——（5.5）
④ 电场法向和磁感应强度的切 向在边界上一般会有跃变。
25
H
Jf
D t
H
L
dl
If
d dt
D dS
S
工程电磁场导论准静态电磁场和边值问题知识点
工程电磁场导论准静态电磁场和边值问题知识点一、知识概述准静态电磁场和边值问题①基本定义：- 准静态电磁场呢，简单说就是一种近似的电磁场情况。
在一些情况下，电磁场变化不是那么快，就可以把它当作准静态的。
比如说电场或者磁场的变化率相对比较小的时候，就像是大家走路的时候一步一步慢慢走，而不是跑来跑去那种很剧烈的变化。
电场准静态的时候，可以近似用静电场的一些方法去分析，磁场准静态的时候也类似能用上一些静磁场的办法。
边值问题呢，就是在给定的边界条件下，去求解电磁场的问题。
就好比你要在一个限定的区域里，根据这个区域四周的情况来确定里面电磁场是啥样的，这个区域周围的情况就是边界条件。
②重要程度：- 在工程电磁场导论这个学科里，这可是很重要的一部分呢。
因为实际工程中很多电磁场的情况都可以用准静态的概念简化分析，让复杂的问题变得好理解一些。
边值问题相当于把电磁场的理论和实际应用连接起来的一座桥，如果搞不定边值问题，很多实际工程中的电磁场就没法准确计算和设计。
③前置知识：- 得先掌握静电场、静磁场的基本概念和计算方法。
比如说库仑定律得知道吧，安培定律这些也得有个印象。
就像你要学烧复杂的菜，那得先把切菜洗菜、基本的煎炒烹炸先学会。
④应用价值：- 在电气设备的设计里经常用到。
比如电机的电磁场分析，就可以用准静态电磁场的概念简化计算。
还有像变压器的设计，要考虑铁芯周围的磁场分布，这时候就会涉及到边值问题。
如果这些搞不清楚，电机可能性能就不好，变压器效率也上不去。
二、知识体系①知识图谱：- 准静态电磁场和边值问题在工程电磁场导论这个学科里就像是大树的树干分出来的一个大树枝。
它跟之前学的静电场、静磁场有联系，又为后面学习更复杂的时变电磁场打基础。
②关联知识：- 和麦克斯韦方程组里的各个方程关系密切。
像准静态电磁场很多时候就是在麦克斯韦方程组在特殊情况下的一种反映。
和电磁感应原理也有关联，因为磁场变化产生感应电场之类的。
③重难点分析：- 重点是确定不同情况下的准静态电磁场的近似条件，还有就是高效准确地根据边界条件求解边值问题。
电磁场边值关系
D E
2 E2n 1E1n f 如果 f 0
2 E2n 1E1n P 0 ( E2n E1n )
P P1n P2n
磁感应强度和磁场强度的边值关系。
SB dS 0
en (B2 B1 ) 0
荷：
DE
en (D2 D1 ) f
f f
E2
2
E1
1
(D2n D1n ) f
下板与介质1： 上板与介质2：
D1 f D2 f
讲时斟酌：考虑面电荷密度 的正负问题
E1
D1
1
f 1
,
E2
D2
2
f 2
由总电场的麦克斯韦方程(5.2)式得：
场线的性质均体现在电磁场的基本规律当中：高斯定理、环路定理，此处 又以边值条件的形式体现出来，殊途同归！
2．切向分量的跃变
沿介质表面流动的电流可以有两种处理方法： 1)有一定厚度的薄层(按体电流处理)； 2)没有厚度的几何面(按面电流处理)。
上述1)的情况，厚度趋于零，沿电流方向变 成了横截线(与2相同)，故引入电流线密度。
D dS
S
LE
dl
d dt
SB dS
D dS S
Qf
B dl
L
0 I f
0 0
d dt
E dS
S
M dl L
0
J M dS
电磁场的边值关系
dS
d dt
dV n
V
J2 J1
t
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边值关系一般表达式
nˆ
(D2
D1 )
nˆ
(B2
B1 )
0
nˆ nˆ
E2 H2
E1 H1
0
理想介质边值关系表达式
nˆ
( D2
D1 )
0
nˆ
(
B2
B1 )
0
nˆ nˆ
E2 E1 0 H2 H1 0
f 0， p 0 总不连续
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对均匀各项同性线性介质 D E
2E2n 1E1n f
n
D2 D1
f
f 0
1E1n 2E2n
p 0 E2n E1n
n
E2 E1
f p 0
p P1n P2n
P
n
(P2
P1)
2、B 、H 的法向分量边值关系
2、在不同介质分界面处，由于可能存在电荷电 流分布等情况，使电磁场量产生突变。微分方程 不能适用，但可用积分方程。从积分方程出发， 可以得到在分界面上场量间关系，这称为边值关 系。它是方程积分形式在界面上的具体化。只有 知道了边值关系，才能求解多介质情况下场方程 的解。
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sB ds 0
n B2 B1 0, B1n B2n
对于均匀各项同向介质 1H1n 2H2n , 不连续
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二、切向分量边值关系
1、H
的 边值关系D
L H dl s(J t ) dS
H2
H1
t
《电磁场》课件—第六章 边值问题2(差分法和模拟电荷方法)
a2n xn a3n xn
= =
b2 b3
an1x1 + an2 x2 + an3x3 + ann xn = bn
a11 a21
a12 a22
a13 a23
a1n a2nLeabharlann x1 x2b1 b2
a31
a32
a33
a3n
x3
=
b3
an1
an2
an3
a
nn
xn
bn
= ∆ϕ
=
∂ 2ϕ
∂x 2
+
∂ 2ϕ
∂y 2
=
F
ϕ1 + ϕ 2 + ϕ3 + ϕ 4 − 4ϕ0 = h2 F
拉普拉斯方程的差分格式
j
ϕi,j+1
ϕi-1,j
h
h
h
ϕi,j h
ϕi+1,j
ϕi,j-1
i
(x0，y0)场点周围的四个节点
∇ 2ϕ
=
∆ϕ
=
∂ 2ϕ
∂x 2
∑ ∑ xi(k +1)
=
1 aii
−
i −1
aij
x
(k
j
)
j =1
−
n
aij
x
(k
j
)
j =i +1
+ bi
• 对变量赋初值， 然后反复迭代直至 满足精度要求
• 对现在的问题， 肯定是收敛的 （对称正定矩阵）
• 雅可比迭代
∑ ∑ xi(k+1)
=
1 aii
−
i −1 j =1
电磁场的边值关系
电磁场的边值关系
电磁场的边值关系（Boundary Conditions of Electromagnetic Fields）指的是电磁场在介质的边界上的特定关系，它是电磁波在传播过程中的必要条件。
电磁场的边值关系分为两类，一类是对于电场E的边值关系，另一类是对于磁场H的边值关系。
在介质中，这两种边值关系是紧密联系的。
当电场E穿过介质的边界面时，它的法向分量和切向分量都必须满足特定的关系。
（1）法向分量的边值关系
介质的边界面上，电场E的法向分量在两侧必须相等，即：
E1n=E2n(E1n和E2n分别指介质1和介质2中的法向分量)
切向分量的边值关系表明当同一方向的介质具有不同的电介质常数时，电场的切向分量必须改变。
对于切向分量，边值条件给出：
其中t是电场的切向分量。
3、感性负载边值关系
Ht=0(Et指介质中的电场，Ht指磁场的切向分量)
4、电荷面边值关系
在电荷面（surface charge）处，边值条件根据垂直于表面和平行于表面的分量分别给出：
D1n-D2n=σ（Dn指电通量密度的垂直分量，σ指表面电荷密度）
总结：
电磁场在介质中的边值条件是电场和磁场的法向分量必须连续而且相等，切向分量必须满足介质电介质常数的改变，而感性负载和电荷面的情况则有不同的边值条件。
这些边值条件对于电磁波在导体中的散射以及无线电波的传输等问题都起到了至关重要的作用。
电磁场边值关系
第五节
电磁场边值关系
★ 要解决电磁场问题，还需要边界条件；
第五节
电磁场边值关系
★ 要解决电磁场问题，还需要边界条件； ★ 在外场作用下，介质界面会出现面束缚电荷和电流分布；
第五节
电磁场边值关系
★ 要解决电磁场问题，还需要边界条件； ★ 在外场作用下，介质界面会出现面束缚电荷和电流分布； ★ 束缚电荷、电流的存在使得界面两侧场量发生跃变；
问 密
这
§
5.2
法向分量的跃变
D · dS = Qf =
S V
ρf dV
D2 · dS2 + D1 · dS1 + (D1 · δS1 ) + (D2 · δS2 ) = ρf δh ∆S ★ 由于D有限 ，且δS1 ∝ δh → 0故此： 有 (D1 · δS1 ) + (D2 · δS2 ) → 0 (D2 − D1 ) · n ∆S = ρf δh ∆S = σf ∆S ★ 由S选取的任意性可知： n · (D2 − D1 ) = σf
★ 由于dl为平行于边界面的任一二维向量，故此f n，即： n × f = n × [(H2 − H1 ) − αf × n] = 0 n × (H2 − H1 ) = n × (αf × n) = αf − (αf · n) n = αf
★ 由于dl为平行于边界面的任一二维向量，故此f n，即： n × f = n × [(H2 − H1 ) − αf × n] = 0 n × (H2 − H1 ) = n × (αf × n) = αf − (αf · n) n = αf ★ 故此 n × (H2 − H1 ) = αf
§
5.3
切向分量的跃变
d dt
电磁场边值关系
★ 要解决电磁场问题，还需要边界条件；
第五节
电磁场边值关系
★ 要解决电磁场问题，还需要边界条件； ★ 在外场作用下，介质界面会出现面束缚电荷和电流分布；
第五节
电磁场边值关系
★ 要解决电磁场问题，还需要边界条件； ★ 在外场作用下，介质界面会出现面束缚电荷和电流分布； ★ 束缚电荷、电流的存在使得界面两侧场量发生跃变；
问 密
这
§
5.2
法向分量的跃变
D · dS = Qf =
S V
ρf dV
D2 · dS2 + D1 · dS1 + (D1 · δS1 ) + (D2 · δS2 ) = ρf δh ∆S ★ 由于D有限 ，且δS1 ∝ δh → 0故此： 有 (D1 · δS1 ) + (D2 · δS2 ) → 0 (D2 − D1 ) · n ∆S = ρf δh ∆S = σf ∆S ★ 由S选取的任意性可知： n · (D2 − D1 ) = σf
★ 由于dl为平行于边界面的任一二维向量，故此f n，即： n × f = n × [(H2 − H1 ) − αf × n] = 0 n × (H2 − H1 ) = n × (αf × n) = αf − (αf · n) n = αf
★ 由于dl为平行于边界面的任一二维向量，故此f n，即： n × f = n × [(H2 − H1 ) − αf × n] = 0 n × (H2 − H1 ) = n × (αf × n) = αf − (αf · n) n = αf ★ 故此 n × (H2 − H1 ) = αf
§
5.3
切向分量的跃变
d dt
电磁场的边值关系
电磁场的边值关系电磁场是电磁学里一种由带电物体产生的一种物理场。
处于电磁场的带电物体会感受到电磁场的作用力。
电磁场与带电物体（电荷或电流）之间的相互作用可以用麦克斯韦方程和洛伦兹力定律来描述。
随时间变化着的电磁场。
时变电磁场与静态的电场和磁场有显著的差别，出现一些由于时变而产生的效应。
这些效应有重要的应用，并推动了电工技术的发展。
电磁波是电磁场的一种运动形态。
然而，在高频率的电振荡中，磁电互变甚快，能量不可能全部反回原振荡电路，于是电能、磁能随着电场与磁场的周期变化以电磁波的形式向空间传播出去。
电磁波为横波。
电磁波的磁场、电场及其行进方向三者互相垂直。
电磁波的传播有沿地面传播的地面波，还有从空中传播的空中波。
波长越长的地面波，其衰减也越少。
电磁波的波长越长也越容易绕过障碍物继续传播。
发展历史：人们很早就接触到电和磁的现象，并知道磁棒有南北两极。
在18世纪，发现电荷有两种：正电荷和负电荷。
不论是电荷还是磁极都是同性相斥，异性相吸，作用力的方向在电荷之间或磁极之间的连接线上，力的大小和它们之间的距离的平方成反比。
在这两点上和万有引力很相似。
18世纪末发现电荷能够流动，这就是电流。
但长期以来，人们只是发现了电和磁的现象，并没有发现电和磁之间的联系。
19世纪前期，奥斯特发现电流可以使小磁针偏转。
而后安培发现作用力的方向和电流的方向，以及磁针到通过电流的导线的垂直线方向相互垂直。
不久之后，法拉第又发现，当磁棒插入导线圈时，导线圈中就产生电流。
这些实验表明，在电和磁之间存在着密切的联系。
在电和磁之间的联系被发现以后，人们认识到电磁力的性质在一些方面同万有引力相似，另一些方面却又有差别。
为此法拉第引进了力线的概念，认为电流产生围绕着导线的磁力线，电荷向各个方向产生电力线，并在此基础上产生了电磁场的概念。
§1-6电磁场的边值关系
§1－6电磁场的边值关系
由于界面两侧的电磁场在介面上并不连续， 因此不能从麦克斯韦方程的微分形式出发来 推导，而应从积分形式出发来讨论： 积分形式的麦克斯韦方程 ： ∫∫ D dσ = Q ∫∫ B dσ = 0
B d σ t D H l = I + ∫∫ d d σ ∫ t
∫ E dl = ∫∫
[C (r vt) +C (r + vt)]
1 2
§1－6电磁场的边值关系
三种基本形式的简谐表达： 三种基本形式的简谐表达： π 2 E = Acos (z vt) 平面波简谐表达： λ
E = Aex i(k r ωt) p
[
]
球面波简谐表达： 柱面波简谐表达：
A(r, t) =
A cos[kr ωt + ]
1
r
0
A E = 1 exp i(kr ωt) + r
[
]
0
A A(r, t) = cos[kr ωt +0 ] r
A E= exp i(kr ωt) + r
[
]
0
§1－6电磁场的边值关系
（3）从表达式中可以获得的信息： 介质折射率： 传播速度与方向： 偏振方向： 周期、频率、角频率： 空间周期、空间频率、空间角频率： 平面电磁波的性质：
§1－6电磁场的边值关系
1.前面内容回顾： 1.前面内容回顾： 2.分界面上电磁场法向分量的关系： 2.分界面上电磁场法向分量的关系： 3.分界面上电磁场切向分量的关系： 3.分界面上电磁场切向分量的关系：
§1－6电磁场的边值关系
一、内容回顾： 1.对已讲内容的要求： 1.对已讲内容的要求： （1）.了解光的电磁理论、电磁场的波动性； （2）.彻底掌握光波在介质中的传播速率、介 质折射率的物理意义及其表达式； （3）.深入理解平面、球面、柱面简谐光波场 的时间、空间特性，以及描述平面、球面、 柱面简谐光波的数学表达式中各项参数的物 理意义；
工程电磁场 第六章电磁场的边值问题
k
2 1
ek
1
?
V?
? dV
Rk2
? ek
2
? ? ?
V
?
?
dS Rk3
? ek
3
?
V
? dl
? Rk4
? ek
4
]
? φ ? ρ(r?) dV ? V ? 4πεr
矢量的积分
17
静磁场中元电流产生的电场
体电流 面电流
B
?
?0 4?
J
?V ?
( r ?) ? R2
eR
dV
?
B
?
?0 4?
?S ?
K
4、解的稳定性问题 如果定解条件的微小变化只引起方程的解在整个定义域中的微小变化，称其解是稳定 的。反之称为不稳定解。
5
三、电磁场中的定解问题
定解问题 = 泛定方程+定解条件（初始条件+边界条件）
下面先介绍各种场的泛定方程，然后介绍各类边界条件。
3.静1 静态、态稳、态电稳磁态场电中的磁泛场定中方程的泛定方程
已知边界上的电位
?
|
s
?
f1(s)
2）第二类边界条件（聂以曼条件 Neumann )
??
?n S
?
f2 (s)
3）第三类边界条件
已知边界上电位及电位法向导数的线性组合
（? ＋?
??
) ?n S
?
f3(s)
20
实测法
实验法
模拟法
积分法
电
分离变量法
磁
解析法
镜像法、电轴法
问
微分方程法
题
保角变换法
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边值 问题
边界 条件
分界面衔 接条件
1＝ 2
1
1 n 2 2 n
初始 条件
自然边界条件 lim r 有限值
r
强制边界条件 lim 有限值
r 0
上 页
19
下 页
场域边界条件
1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet) 已知边界上的电位ห้องสมุดไป่ตู้
|s f1 ( s )
2
8
4、交变电磁场中的泛定方程
时变场中 t （ 0， 下面分段没有绝对的分界线） ( f < 10 K H z ) 准静态场 B t , D 0 快速变化 电磁波
H J E B t D t , B 0
缓慢变化
准静态场 M QS： H J , B 0 , E EQS： H J D t
材料是各向异性：材料参数用张量形式表示 ， ， 材 料 为 非 线 性 ： 材 料 参 数 是 未 知 函 数 的 函 数 E ， B ， E
dD dE
dB dH
dJ dE
（ 1 -7 ）
4、 直 接 求 解 矢 量 偏 微 分 方 程 不 易 ： 一 般 矢 量 方 程 要 转 化 为 标 量 方 程 才 能 求 解 ， 另 外 ，在 边 界 上 不 易 写 出 场 量 边 界 条 件 ，因 此 ，常 化 为 位 函 数 的 定 解 问 题（ 位 函 数容易确定边界条件） 通过位函数与场量的关系 ， E 得到场量。 B A H m E A t （ 1 -8 ）
（ 1 -1 ）
电磁感应定律
E
E dl
（ 1 -2 ）
L
高斯定律 磁通连续性原理 电流连续性方程
D
B 0
D d s
S
dv
（ 1 -3 ） (1 -4 )
V
B d s 0
S
J
t
J d s
A J
取 库 伦 规 范 A 0 ， 及 矢 量 恒 等 式 A A A ， 得 1 A J 1 A 1 A x x y y 若为线性、均匀媒质 A J
4
二、定解问题
1、初值问题 只有初始条件，没有边界条件的定解问题。如电路中的过渡过程问题、无界空间电
磁波传播问题等。
2、边值问题 只有边界条件，没有初始条件的定解问题。如静电场、恒定电场、恒定磁场等问题。
3、混合问题
既有边界条件，又有初始条件的定解问题，又称定解问题。如电气设备中的瞬态电 磁场问题等。
13
例 2
电机的磁场 图 1 -2（ a） （ b ） 需 要 考 虑 定 子 外 的 漏 磁 ， 因 此 ， 第 一 类 边 界 条 件 取 在 大 于 、 ：
定 子 外 径 20% 之 处 ， 磁 力 线 于 边 界 平 行 ， 可 以 设 A =0。 图 1 -2（ c） （ d ） 如 果 定 子 深 度 饱 和 ， 漏 磁 很 小 ， 可 以 忽 略 ， 可 将 第 一 类 边 、 ： 界条件取在定子外径，减少计算量。 图 1 -2（ e） （ f） 如 果 要 分 析 远 场 ， 第 一 类 边 界 条 件 可 以 取 在 大 于 定 子 外 径 、 ： 5 ～ 6 倍 之 处 ， 如 图 （ e） 所 示 。 或 者 用 开 于 边 界 条 件 ， 如 K elv in-tran sfo rm atio n 边 界 （ 后 面 介 绍 ） 边 界 可 以 小 一 些 ， 如 图 （ f） 所 示 。 ，
4、解的稳定性问题
如果定解条件的微小变化只引起方程的解在整个定义域中的微小变化，称其解是稳 定的。反之称为不稳定解。
5
三、电磁场中的定解问题 定解问题 = 泛定方程+定解条件（初始条件+边界条件） 下面先介绍各种场的泛定方程，然后介绍各类边界条件。 3.1静态、稳态电磁场中的泛定方程 静态、稳态电磁场中的泛定方程
A
j r J (r )e V
4 r
dV
V
(r )e jr 4r
dV
16
静电场中元电荷产生的电场
dE dq 4 π 0 R
2
eR
dq dV dS ， dl ，
体电荷的电场
E (r )
1 4π0
[
N
qk Rk 1
2
—椭圆型方程 0
若 是均匀、线性、各向同性介质，上式为
产生该电流场的源往往需要借助边界条件引入。
3、稳态磁场 2、 稳 态 磁 场
稳态（直流）电流产生的磁场满足的基本方程 H J , B 0, B H
7
（ 1） 矢 量 磁 位 的 泊 松 方 程 根据 H J , B 0 , B A ，有双旋度方程 1
K ( r ) e R R
dS
A
μJ (r)
V
4π r
dV
②边值问题 已知空间介质分布，电极形状、位置和电位， 场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给 定边界条件的电位微分方程的解。 18
静电场的边值问题（Boundary Problem) 微分 方程 泊松方程 2＝－ / 拉普拉斯方程 2＝0 场域边界条件
第六章
电磁场的边值问题
1
一、麦克斯韦方程组
（ 一 ） m ax w ell 方 程 微分形式 全电流定律 Η J D t B t 积分形式
H dl
L
D J ds S t B S t d s
(a )
(b )
14
(c )
(d )
(e )
图 1 -2 电 机 的 磁 场 计 算 （ 第 一 类 边 界 条 件 ）
(f)
15
电磁场数值计算
当计算场域的边界几何形状复杂时，应用解析 法分析较困难，这时可以采用数值计算（科学计算） 的方法。 1. 电磁问题的划分 ① 场源问题 已知计算场域中电荷、电流的分布，求场分布。 直接求积分方程。
H J , B 0, E B t , D 0
由此得到的扩散方程为（对第一式再取旋度） 非线性介质
1 A A J t
，
A t J
t
0
2）第二类边界条件（聂以曼条件 Neumann)
1、 静 电 场 方 程 静电场的基本方程 泊松方程 D , x x y y z z E 0
三维方程
若ε 是均匀、各向同性介质，上式为
1
— 强加边界条件
12
例 1
铁磁体的磁场和电容器的电场（二维）
图 1 -1 第 一 类 边 界 条 件
（ a ） 磁 场 问 题 ； b） 静 电 问 题 （
在距离磁体足够 远的地 方，设磁 力线平 行于边 界，因此可以假 设 A 0 。在距 离 电容器足 够远的 地方，设等位线 平行于 边界， 可以假设 0 。关键 问题是 第 一 类边界条件取得多远，才能保证计算精度。
2
线性介质
A
2
t
0
若为正弦交变场，扩散方程为
2 A j A J
j 0
2
涡流损耗是引起导体发热的主要原因。
10
（2）波动方程（双曲型方程） 1、 波 动 方 程 （ 双 曲 型 方 程 ）
一 般 不 考 虑 非 线 性 问 题 ，因 为 如 果 在 铁 磁 材 料 中 传 播 电 磁 波 ，高 频 下 的 涡 流 损 耗 及 磁 滞 损 耗 很 大 ， 电 磁 波 很 快 衰 减 ， 能 量 不 可 能 传 递 很 远 。因 此 ，场 量 的 波 动方程 H
S
t
dv
（ 1 -5 ）
V
2
1、①四个方程的物理意义，电生磁，磁生电，预言电磁波；②积
分形式（环量与旋度，通量与散度之间的关系）、复数形式（可作 为稳态场计算）；③梯度、散度、旋度的概念（描述“点”上电磁
场的性质）。
2、方程（1-1）、（1-2）、（1-5）是一组独立方程，其它两个方 程可以由此推出。但独立方程有6个变量（
2
—矢量泊松方程
1 A J z z
若 存 在 铁 磁 质 ，可 将 其 作 用 等 效 为 磁 化 电 流 的 作 用 ，它 与 磁 化 强 度 的 关 系 为 M Jm 磁矢位 A 的方程可以写为真空中的泊松方程 A 0 J J m
2
H t E t
H
2
t
2
2
0
E
2
E t
2
0
取洛伦兹规范 A
t
2
，则位函数满足的波动方程 A t t A
2
A
t
2
2
J
2
t
2
11
0
t
u x, y, z, t
t t0
f 2 x, y, z, t0
如：初始的速度、电流、电压等。
2、边界条件 边界条件