第六章电磁场的边值问题

4、解的稳定性问题
如果定解条件的微小变化只引起方程的解在整个定义域中的微小变化，称其解是稳 定的。反之称为不稳定解。
5
三、电磁场中的定解问题 定解问题 = 泛定方程+定解条件（初始条件+边界条件） 下面先介绍各种场的泛定方程，然后介绍各类边界条件。 3.1静态、稳态电磁场中的泛定方程 静态、稳态电磁场中的泛定方程
边值 问题
边界 条件
分界面衔 接条件
1＝ 2
1
1 n 2 2 n
初始 条件
自然边界条件 lim r 有限值
r
强制边界条件 lim 有限值
r 0
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场域边界条件
1）第一类边界条件（狄里赫利条件，Dirichlet) 已知边界上的电位
|s f1 ( s )
材料是各向异性：材料参数用张量形式表示 ， ， 材 料 为 非 线 性 ： 材 料 参 数 是 未 知 函 数 的 函 数 E ， B ， E

dD dE

dB dH

dJ dE
（ 1 -7 ）
4、 直 接 求 解 矢 量 偏 微 分 方 程 不 易 ： 一 般 矢 量 方 程 要 转 化 为 标 量 方 程 才 能 求 解 ， 另 外 ，在 边 界 上 不 易 写 出 场 量 边 界 条 件 ，因 此 ，常 化 为 位 函 数 的 定 解 问 题（ 位 函 数容易确定边界条件） 通过位函数与场量的关系 ， E 得到场量。 B A H m E A t （ 1 -8 ）
2）第二类边界条件（聂以曼条件 Neumann)
第六章
电磁场的边值问题
1
一、麦克斯韦方程组
（ 一 ） m ax w ell 方 程 微分形式 全电流定律 Η J D t B t 积分形式

H dl
L
D J ds S t B S t d s
B 、 H 、 E 、 D 、 J、
），因此，
方程数少于未知量，是非定解方式，必须加本构方程才为定解形式， 对于简单媒质，本构方程为
D E
B H
J E
(1-6)
3
3、 材 料 性 质 材料是均匀的 材料是非均匀：
co n st ， co n st ， co n st x, y, z ， x, y, z ， x, y, z
（ 1 -1 ）
电磁感应定律
E

E dl
（ 1 -2 ）
L
高斯定律 磁通连续性原理 电流连续性方程
D
B 0
D d s
S
dv
（ 1 -3 ） (1 -4 )
V
B d s 0
S
J
t
J d s
1、 静 电 场 方 程 静电场的基本方程 泊松方程 D , x x y y z z E 0
三维方程
若ε 是均匀、各向同性介质，上式为
2

8
4、交变电磁场中的泛定方程
时变场中 t （ 0， 下面分段没有绝对的分界线） ( f < 10 K H z ) 准静态场 B t , D 0 快速变化 电磁波
H J E B t D t , B 0
缓慢变化
准静态场 M QS： H J , B 0 , E EQS： H J D t
K ( r ) e R R
dS
A
μJ (r)
V
4π r
dV
②边值问题 已知空间介质分布，电极形状、位置和电位， 场域边界上的电位或场强，这类问题归结为求解给 定边界条件的电位微分方程的解。 18
静电场的边值问题（Boundary Problem) 微分 方程 泊松方程 2＝－ / 拉普拉斯方程 2＝0 场域边界条件
A
j r J (r )e V
4 r
dV

V
(r )e jr 4r
dV
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静电场中元电荷产生的电场
dE dq 4 π 0 R
2
eR
dq dV dS ， dl ，
体电荷的电场
E (r )
1 4π0
[
N
qk Rk 1
1
— 强加边界条件
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例 1
铁磁体的磁场和电容器的电场（二维）
图 1 -1 第 一 类 边 界 条 件
（ a ） 磁 场 问 题 ； b） 静 电 问 题 （
在距离磁体足够 远的地 方，设磁 力线平 行于边 界，因此可以假 设 A 0 。在距 离 电容器足 够远的 地方，设等位线 平行于 边界， 可以假设 0 。关键 问题是 第 一 类边界条件取得多远，才能保证计算精度。
2
ek 1
k 11
V

dV
Rk2 ek 4 ]
ek 2
V

dS
Rk3
ek 3
V

dl
Rk4
φ
ρ(r )
V
4πεr
dV
矢量的积分
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静磁场中元电流产生的电场
体电流 面电流
B
B
4
4
0
S
0
J ( r ) e R R
2
V
2
dV
(a )
(b )
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(c )
(d )
(e )
图 1 -2 电 机 的 磁 场 计 算 （ 第 一 类 边 界 条 件 ）
(f)
15
电磁场数值计算
当计算场域的边界几何形状复杂时，应用解析 法分析较困难，这时可以采用数值计算（科学计算） 的方法。 1. 电磁问题的划分 ① 场源问题 已知计算场域中电荷、电流的分布，求场分布。 直接求积分方程。
, B 0, E 0, D 0
, D 0
M Q S 场 求 解 时 ，磁 场 可 以 用 稳 态 磁 场 的 方 法 求 解 ，然 后 用 上 述 公 式 求 电 场 ；E Q S 场求解时，电场可以用静电场的方法求解，然后用上述公式求磁场。
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（1）扩散方程（抛物型方程） 忽略位移电流，MQS场的方程为
0

t
u x, y, z, t
t t0
f 2 x, y, z, t0

如：初始的速度、电流、电压等。
2、边界条件 边界条件
（ 1 ） 第 一 类 边 界 条 件 （ D irich let 狄 利 赫 里 条 件 ） u x , y , z ,t g 1 x , y , z ,t
2
线性介质
A
2
t
0
若为正弦交变场，扩散方程为
2 A j A J
j 0
2
涡流损耗是引起导体发热的主要原因。
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（2）波动方程（双曲型方程） 1、 波 动 方 程 （ 双 曲 型 方 程 ）
一 般 不 考 虑 非 线 性 问 题 ，因 为 如 果 在 铁 磁 材 料 中 传 播 电 磁 波 ，高 频 下 的 涡 流 损 耗 及 磁 滞 损 耗 很 大 ， 电 磁 波 很 快 衰 减 ， 能 量 不 可 能 传 递 很 远 。因 此 ，场 量 的 波 动方程 H
H J , B 0, E B t , D 0
由此得到的扩散方程为（对第一式再取旋度） 非线性介质
1 A A J t
，

A t J
t
0

2
—矢量泊松方程
1 A J z z
若 存 在 铁 磁 质 ，可 将 其 作 用 等 效 为 磁 化 电 流 的 作 用 ，它 与 磁 化 强 度 的 关 系 为 M Jm 磁矢位 A 的方程可以写为真空中的泊松方程 A 0 J J m
2
H t E t

H
2
t
2
2
0
E
2

E t
2
0
取洛伦兹规范 A
t
2
，则位函数满足的波动方程 A t t A
2
A

t
2
2
J

2

t
2


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A J
取 库 伦 规 范 A 0 ， 及 矢 量 恒 等 式 A A A ， 得 1 A J 1 A 1 A x x y y 若为线性、均匀媒质 A J
S


t
dv
（ 1 -5 ）
V
2
1、①四个方程的物理意义，电生磁，磁生电，预言电磁波；②积
分形式（环量与旋度，通量与散度之间的关系）、复数形式（可作 为稳态场计算）；③梯度、散度、旋度的概念（描述“点”上电磁
场的性质）。
2、方程（1-1）、（1-2）、（1-5）是一组独立方程，其它两个方 程可以由此推出。但独立方程有6个变量（
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例 2
电机的磁场 图 1 -2（ a） （ b ） 需 要 考 虑 定 子 外 的 漏 磁 ， 因 此 ， 第 一 类 边 界 条 件 取 在 大 于 、 ：
定 子 外 径 20% 之 处 ， 磁 力 线 于 边 界 平 行 ， 可 以 设 A =0。 图 1 -2（ c） （ d ） 如 果 定 子 深 度 饱 和 ， 漏 磁 很 小 ， 可 以 忽 略 ， 可 将 第 一 类 边 、 ： 界条件取在定子外径，减少计算量。 图 1 -2（ e） （ f） 如 果 要 分 析 远 场 ， 第 一 类 边 界 条 件 可 以 取 在 大 于 定 子 外 径 、 ： 5 ～ 6 倍 之 处 ， 如 图 （ e） 所 示 。 或 者 用 开 于 边 界 条 件 ， 如 K elv in-tran sfo rm atio n 边 界 （ 后 面 介 绍 ） 边 界 可 以 小 一 些 ， 如 图 （ f） 所 示 。 ，
2
—椭圆型方程 0
若 是均匀、线性、各向同性介质，上式为
产生该电流场的源往往需要借助边界条件引入。
3、稳态磁场 2、 稳 态 磁 场
稳态（直流）电流产生的磁场满足的基本方程 H J , B 0, B H
7来自百度文库
（ 1） 矢 量 磁 位 的 泊 松 方 程 根据 H J , B 0 , B A ，有双旋度方程 1
2

—椭圆型方程
静电场方程是椭圆型方程，只有边值问题。
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2、 稳 态 电 流 场 问 题 稳态（直流）电流场满足的基本方程： J 0, E 0 → E
说 明 在 导 电 媒 质 中 ，电 流 不 会 自 成 闭 合 回 路（ 从 电 源 正 极 出 发 到 电 源 负 极 终 止 ） ， 电位满足 拉普拉斯方程 0
3.2定解条件
1、 初 始 条 件 （ 柯 西 问 题 ） 在瞬态电磁场中，初始条件是整个系统初始状态的表达式 扩散方程初始条件： u x, y , z, t tt f 1 x, y , z, t0
0

波动方程初始条件： u x, y , z, t tt f 1 x, y , z, t 0
4
二、定解问题
1、初值问题 只有初始条件，没有边界条件的定解问题。如电路中的过渡过程问题、无界空间电
磁波传播问题等。
2、边值问题 只有边界条件，没有初始条件的定解问题。如静电场、恒定电场、恒定磁场等问题。
3、混合问题
既有边界条件，又有初始条件的定解问题，又称定解问题。如电气设备中的瞬态电 磁场问题等。