水工结构设计优化PPT课件

5.3.4 惩罚函数法
➢惩罚函数法简介 ➢内点法 ➢外点法 ➢混合法 ➢总结
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惩罚函数法简介
惩罚函数法是一种使用很广泛、很有效的间接法。 基本原理： 把约束优化问题转化成无约束优化问题来求解。 两个前提条件： 一是不破坏原约束的约束条件 二是最优解必须归结到原约束问题的最优解上去
按照惩罚函数的构成方式，惩罚函数法分为三种： 外点法、内点法、混合法
u=1，2……，p
⑵构造如下形式的内点罚函数
p
(x,r(k))F(x)r(k)
1
u1gu(x)
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关于惩罚因子规定为正，即 r(k) 。0且在优化过程中
r (k是) 减小的，为确保为递减数列，取常数C
r(k) C(rk1),
0<C<1
称系数C为罚因子降低系数
l i m ｒ ( k )=0 或 (r(0) r(1) )
当 r(k)时，0却有
(x,，r(k所))以 整F个(x)最
优化的实质就是用罚函数 (x,r去(k))逼近原目标函数F(x);
当设计点逐渐由内部趋近于边界时，由于惩罚项无穷 增大，则罚函数也将无穷增大。
从函数图形上来看，犹如在可行域的边界上筑起一 道陡峭的高墙，使迭代点自动保持在可行域内，用此办 法来保证搜索过程自始至终不离开可行域。所以，内点法 也常称为围墙函数法。
定某一可行点作为初始点。
⑵搜索法 任选一个设计点 x (为k ) 初始点。通过对初始点
约束函数值的检验，按其对每个约束的不满足程度加以调
整，将 x (k点) 逐步引入到可行域内，成为可行初始点，
这就是搜索法。
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㈣关于几个参数的选择
⑴初始罚因子r(0)的选取
如果 r值(0选) 得太大，则在一开始罚函数的惩罚项的
值将远远超出原目标函数的值，因此，它的第一次无约束极 小点将远离原问题的约束最优点。在以后的迭代中，需要很 长时间的搜索才能使序列无约束极小点逐渐向约束最优点逼近。
如果 r值(0)选得太小，则在一开始惩罚项的作用甚小， 而在可行域内部惩罚函数 (x,r(与k))原目标函数F(x)很相近，
只在约束边界附近罚函数值才突然增高。这样，使其罚函数 在在约束边界附近出现深沟谷地，罚函数的性态变得恶劣。
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所得解为
x
* k
；当k在增大的过程中，得到惩罚函数的无
约束最优点列为
x0 *,x1 *, xk *,
点列中各点均在可行域内部，随着k→∞的过程，r(k) 0
点列将趋近于原约束问题的最优解x*。即
lim由此可知，内点法的序列无约束最优点 x k*是在可行域内
部且趋近于约束最优点x*的。
(x ,r(k))F (x ) r(k) 1 a x r(k) 1
g 1 (x )
x b
对引例的惩罚函数进行分析，以对内点法有初步认识：
⑴本问题是不等式约束优化问题，故只有一项惩罚项
r (k)
1
g，１ ( 一x ) 个罚因子
r (k)
⑵规定罚因子 r (为k ) 某一正数，当迭代点是在可行域内
时，则惩罚项的值必为正值，因此必有
⑶若对于罚因子的取值由初始的 r (0逐) 渐变小 (r(0) r(1) )
时，惩罚函数(x, r(愈k) )逼近于原目标函数F（x），罚
函数曲线越来越接近于原F（x）=ax直线，如图所示，对
应罚函数 (x,r的(k)最) 优点列
束优化问题的最优点x*=b
x不0*, 断x1*,趋近于原约
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小结
由以上可见，如果选择一个可行点作初始
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⑶内点罚函数法的求解过程
为了用惩罚函数 (x,去r(k逼))近原目标函数F(x)，
则要用F(x)及 gu (x构) 造一个无约束优化问题的数学模型
p
mi(n x,r(k))F(x)r(k)
1
xRn
u1gu(x)
选取初始点（原约束优化问题的内点） x，(0)初始罚
因子 r (0，) 罚因子降低系数C。用无约束优化方法求上式无 约束优化问题的最优解。
内点罚函数还可以按如下形式构成
p
(x,r(k))F(x)r(k) lngu ((x)) u1
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㈢初始点x(0)的选取
由于内点法的搜索是在可行域内进行，显然初始点必须 是域内可行点。须满足
g u(x ) 0 , u = 1 , 2 , . . . , p
确定初始点常用如下两种方法
⑴自定法 即根据设计者的经验或已有的计算资料自行决
(x,r(k))F(x)
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而且，当x越趋近于约束边界时，由于惩罚项 r ( k ) 1
增大，所以罚函数 (x,r(的k))值越大。当x←b时，罚g１函( x )
数的值将趋近于+∞。因此，当初始点取在可行域内，求
函数 (x,r(k)的) 极小值时，只要适当控制搜索步长，
防止迭代点跨入非可行域，则所搜索到的无约束极小点 x*必可保持在可行域内。
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min F(x) xD Rn s.t. gu (x) 0,u 1,2,...,p hv (x) 0, v 1,2,...,q
p
q
(x ,r(k ),m (k )) F (x ) r(k ) G g u (x ) m (k ) H h v(x )
u 1
v 1
惩罚函数
r(k) 、m(k)-----罚因子 惩罚项
点 ，x(0令) 其罚因子 由大r (k变) 小，通过求罚
函数
的一系(x,列r(k最)) 优点，
xk*(k0,1,2,)
显见，无约束最优点序列将逐渐趋近于原约
束优化问题的最优点x*。
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㈡内点罚数法的形式及特点
⑴具有不等式约束的优化问题的数学模型
min F (x)
x D Rn
S.T. : gu(x)0
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5.3.4.1 内点法
㈠引例 设有一维不等式约束优化问题的数学模型
minF(x) ax xD R1
S.T. : g1(x)xb0
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由图可见，目标函数的可行域为x≥b，在可行域内目标函数 单调上升，它的最优解显然是
x*=b ，F*=ab
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首 先 构 造 G [g (x )]11则 惩 罚 函 数 形 式 为 g １ (x ) x b
k
p
关于惩罚项 r (k )
，1由于在可行域内有
u1 gu ( x)
g，u(x)0
且 r (永k ) 远取正值，故在可行域内惩罚项永为正。 r (k )的值越小则惩罚项的值越小。
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由于在约束边界上有 gu(x，)因0此，当设计点趋
于边界时，惩罚项的值将趋于无穷大。由此可知，在可
行域内，始终有 (x,r(k))F 。(x)