集合与函数复习与小结三学案

1.2.14 集合与函数章末复习与小结（3）

【学习目标】

1.能表述函数单调性、奇偶性定义，会根据定义、图象判断函数的单调性、奇偶性；

2.会依据函数单调性、奇偶性求函数最值及研究函数的图象特征；

3.通过解题学习，体会数形结合、分类讨论、等价转化等数学思想．

【学习重点】

理解并记住知识点，会依据函数单调性、奇偶性求函数最值及研究函数的图象特征．

【难点提示】函数单调性、奇偶性的综合性运用问题

【学法提示】1.请同学们课前将学案与教材145P -结合进行自主学习（对教材中的文字、图象、表格、符号、观察、思考、说明与注释、例题及解答、阅读与思考、小结等都要仔细阅读）、小组讨论，积极思考提出更多、更好、更深刻的问题，为课堂学习做好充分的准备；

2.在学习过程中用好“九字学习法”即：“读”、“挖”、“举”、“联”、“用”、“悟”、“总”、

“研”、“会”，请在课堂上敢于提问、敢于质疑、敢于讲解与表达.

【学习过程】 一、知识梳理

1.知识框架 回忆函数单元的知识框架，体会知识的内在联系．

2.知识要点 阅读教材，独立填写函数单元知识要点．

（1）单调性与最值：①设函数)(x f y =的定义域为I ，设区间I D ⊆，若对任意

12,x x D ∈，当12x x <时，总有 ，那么函数)(x f y =为D 上的 （等价定义：1212

()()0f x f x x x ->-）； 设函数)(x f y =的定义域为I ，设区间I D ⊆，若对任意12,x x D ∈，当12x x <时，

总有 ，那么函数)(x f y =为D 上的 （等价定义：1212

()()0f x f x x x -<-）． ②对于任意I x ∈，存在I x ∈0，使得 ，则函数)(x f y =在0x x =处取得

最大值)(0x f ；对于任意I x ∈，存在I x ∈0，使得 ，则函数)(x f y =在0x x =处取得最小值)(0x f ．

③单调性的判定方法：图象法的基本步骤 ；

定义法的基本步骤是 ；复合函数法 ．

④单调性的价值在于“由自变量x 的变化就可确定函数值y 的变化规律或反之也成

立”．那么单调性的常见应用 ．

●深挖概念（1）单调性是函数的 性质，即在定义域的区间D 上的函数值变化规律；

理解定义时要把握两点：①12,x x 的任意性 ；②1()f x 与2()f x 大小关系的恒定性．

所以，单调性问题的实质就是不等式的恒成立，即 （链接2）

（2）奇偶性 ①设函数)(x f y =的定义域为I ， 对于任意I x ∈，都有 （代

数特征）⇔ ⇔（图象特征）)(x f y =为奇函数；对于任意I x ∈，都有 （代数特征）⇔ （图象特征）⇔)(x f y =为偶函数．

②奇偶性的判定方法：图象特征法的基本步骤 ；定义法的基本步骤 ；

③利用运算法则：两个奇（偶）函数之和、差为 函数，两个奇（偶）函数之

积、商为 函数，一个奇函数与一个偶函数之积、商为 函数．

④奇偶性是函数在定义域上的 性质，具有奇偶性的函数定义域关于 对称．

⑤若函数)(x f y =是奇（偶）函数，根据其图象特征可知，我们只需研究函数在y 轴

左侧或右侧部分的性质．那么奇偶性的常见应用有 ．

快乐体验 １.已知增函数)(x f 与减函数)(x g 定义在同一区间上且0)(≠x g ，则有（ ）

A.)()(x g x f +递减 ；B ．)()(x g x f -递增；C.)()(x g x f ∙递减；D. )

()(x g x f 递增. 2.若)(x f =－x 2+2a x 与g (x )=1

+x a 在区间[1，2]上都是减函数，则a 的范围 ( ) A ．（－1,0）∪(0，1) B ． (－1，0) ∪(0，1] C ． (0，1) D ． (0，1]

３.已知函数)(x f 是偶函数，x ∈R，当x <0时，)(x f 单调递增，对于x 1<0，x 2>0

有|x 1|<|x 2|，则( )

A ．f (－x 1)> f (－x 2)

B ．f (－x 1)< f (－x 2)

C ．f (－x 1)＝f (－x 2)

D ． |f (－x 1)|<| f (－x 2)|

4.若定义在R 上函数()f x 在(8)+∞，

上为减函数且函数(8)y f x =+为偶函数，则（ ） Ａ．(6)(7)f f > Ｂ．(6)(9)f f > Ｃ．(7)(9)f f > Ｄ．(7)(10)f f >

5.已知()f x 是R 上的增函数，设()(1)(1)F x f x f x =--+，则()F x 是R 上的( )

A ．增函数

B ．减函数

C ．先减后增的函数

D ．先增后减的函数

6.证明函数y =

证：

二、典型例析

例1.研究下列函数的单调性：（1）函数132)(2+-=

x x x f 的单调递减区间是 ； （2）判断函数2()1

x f x x =+在区间(0,1)上的单调性． 思路启迪：（1）回忆一下求函数的单调区间有哪些方法？132)(2+-=

x x x f 对应的

内外层函数是什么？（2）你记得哪些函数的单调性？与函数2()1

x f x x =

+有关吗？ 解：

●解后反思 （1）求函数的单调区间方法有哪些？入手点、关键点、易错点在了那里？

（2）函数单调性的判断方法有哪些？其中证明函数单调性的步骤又有哪些？（链接1） ●变式练习 （1）已知函数5)(2++=x mx x f 在),2[+∞-上是增函数，则实数m 的取值范围是 ；

（2）已知函数ax x f -=

2)(在]1,0[上是减函数，则实数a 的范围 ；

例2.判定下列函数奇偶性（1）()f x =；（2）22(1),(,5)()(1),(5,)x x f x x x ⎧-∈-∞-=⎨+∈+∞⎩. 思路启迪：想一想判断函数的奇偶性有哪些方法？定义域有什么限制条件？

解：

●解后反思 (1) 函数奇偶性的判断方法有哪些？你能说出各种方法的解题步骤吗？

(2) 一个函数是奇函数或偶函数，定义域必须满足什么条件？为什么呢？

●变式练习： 判断函数2()1

x x f x x -=-的奇偶性； 解：

例3.已知函数()f x 的定义域为0x ≠的一切实数，对定义域内的任意,x y R ∈都有 ()()()f xy f x f y =+，且当1()0,(2)1x f x f >>=时，，（1）求证：()f x 为偶函数；

（2）求证()()0,f x +∞在上是增函数；（3）解不等式(1)(2)0f x f x +--≤．

解：

●解后反思：（1）这是一道什么题型？求解的关键点、入手点在哪里？

（2）你是否已清楚了单调性与奇偶性的关系？会用它解相关问题了吗？