第12章 离散控制系统的经典法设计
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求系统的脉冲传递函数。
s
1
a
G2 (s)
s
1
b
图（a）G(z)Z[G1(s)G2(s)]Z[s1as1b]
b1a[zzeaT zzebT](ba)z((zeaeTaTe)(bzT)ebT)
图（b）
1
1
G(z)
G1(z)G2(z)
Z[ ]•Z[ ] sa sb
z•z
z2
zeaT zebT (zeaT)(zebT)
当炉温出现误差时，误差信号只有在开关闭合时 才能使执行电动机旋转，进行炉温调节。当采样开关 断开，执行电动机立即停下来，阀门位置固定，炉温 自动变化，直到下次采样开关闭合，根据炉温误差大 小再进行调节。
由于电动机时转时停，超调现象受到控制，即使 采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。
由图可见，相临两部分频谱彼此不能重叠的条 件是： 采样频率ωs 必须大于或等于采样开关输 入连续信号e（t）频谱中最高频率ωmax的2倍，即：
F(s) 1 1(1 1 ) s(sa) a s sa
其对应的时间函数为 由例7-1和7-2可得
f (t) 1[1eat ] a
F (z) 1 a [zz 1 z z e a T] a [z2 ( z 1 ( 1 e e a T a ) T z ) e a T ]
三、z反变换
由F（z）求 f*（t）的过程称为 z 反变换，表示为
j
2j
T
2
幅频特性
sin(T )
Gh ( j ) T
2
T
2
相频特性
Gh(
j)
T
2
幅频特性的幅值随频率ω的增大而衰减，具有明 显低通滤波特性。
s
1
a
G2 (s)
s
1
b
图（a）G(z)Z[G1(s)G2(s)]Z[s1as1b]
b1a[zzeaT zzebT](ba)z((zeaeTaTe)(bzT)ebT)
图（b）
1
1
G(z)
G1(z)G2(z)
Z[ ]•Z[ ] sa sb
z•z
z2
zeaT zebT (zeaT)(zebT)
当炉温出现误差时，误差信号只有在开关闭合时 才能使执行电动机旋转，进行炉温调节。当采样开关 断开，执行电动机立即停下来，阀门位置固定，炉温 自动变化，直到下次采样开关闭合，根据炉温误差大 小再进行调节。
由于电动机时转时停，超调现象受到控制，即使 采用较大的开环放大系数仍能保持系统稳定。
由图可见，相临两部分频谱彼此不能重叠的条 件是： 采样频率ωs 必须大于或等于采样开关输 入连续信号e（t）频谱中最高频率ωmax的2倍，即：
F(s) 1 1(1 1 ) s(sa) a s sa
其对应的时间函数为 由例7-1和7-2可得
f (t) 1[1eat ] a
F (z) 1 a [zz 1 z z e a T] a [z2 ( z 1 ( 1 e e a T a ) T z ) e a T ]
三、z反变换
由F（z）求 f*（t）的过程称为 z 反变换，表示为
j
2j
T
2
幅频特性
sin(T )
Gh ( j ) T
2
T
2
相频特性
Gh(
j)
T
2
幅频特性的幅值随频率ω的增大而衰减，具有明 显低通滤波特性。
计算机控制系统经典设计法——离散设计法
(1)
闭环脉冲传递函数的确定
典型输入的z变换表达式
R( z )
A( z ) (1 z 1 ) q
误差E ( z )的脉冲传递函数
系统的静态误差为
E ( z ) R( z ) Y ( z ) Φe ( z ) 1 Φ( z ) R( z ) R( z )
A( z )(1 Φ( z )) (1 z 1 )－(1 z 1 ) 2 z 1－z 2
1 Φ( z ) 0.5434 z 1 1 0.5 z 1 1 0.3679 z 1 D( z ) G ( z ) 1 Φ( z ) (1 z 1 )(1 0.718 z 1 ) z 1 1 2 1 E ( z ) (1 Φ( z )) R( z ) (1 z ) z (1 z 1 ) 2
二拍以后，系统输出等于输入信号
(3) 对单位加速度输入信号
Φ( z ) 1 (1 z 1 )3 3z 1－3z 2＋z 3
1 0.8154 （ 1－z 1＋ z 2） 1 0.3679 z 1 1 Φ( z ) 3 D( z ) G( z ) 1 Φ( z ) (1 z 1 ) 2 (1 0.718 z 1 )
R( z )
E( z)
D( z )
G( z )
Y ( z)
1 Φ( z ) D( z ) G ( z ) 1 Φ( z )
要点：如何把系统的性能指标转换为闭环特性Φ( z )，解出的D( z )能否 物理实现以及系统能否保证稳定。
5
R( z )
E( z)
D( z )
G( z )
Y ( z)
离散控制系统的设计：探讨离散控制系统的设计原则、方法和实践
离散控制系统的设计：探讨离散控制系统的设计原则、方法和实践介绍离散控制系统是一种用于实现自动化控制的系统，它使用离散事件和离散时间来描述和控制系统的行为。
设计一个好的离散控制系统对于确保系统的稳定性和性能至关重要。
本文将探讨离散控制系统的设计原则、方法和实践，以帮助读者了解如何设计一个高效可靠的离散控制系统。
离散控制系统的设计原则原则1：明确系统需求在设计离散控制系统之前，首先要明确系统的需求。
这包括定义系统的输入、输出以及期望的性能要求。
通过明确系统需求，可以为系统的设计和实现提供清晰的目标和指导。
原则2：选择适当的控制策略选择适当的控制策略是离散控制系统设计的关键。
根据系统的性质和需求，可以选择不同的控制策略，如比例控制、积分控制、微分控制等。
在选择控制策略时，需要考虑系统的稳定性、响应速度和鲁棒性等方面。
原则3：进行系统建模和仿真在进行离散控制系统设计之前，通常需要对系统进行建模和仿真。
系统建模可以帮助设计者深入理解系统的行为和特性，从而更好地进行系统设计和参数调整。
通过仿真可以在实际系统之前验证控制算法的性能和稳定性。
原则4：考虑系统的鲁棒性离散控制系统往往面临各种不确定性和干扰。
为了确保系统的稳定性和鲁棒性，设计者需要考虑系统的鲁棒性。
这包括选择合适的控制策略、调整控制器的参数以及设计鲁棒性控制器等。
原则5：进行系统的优化和参数调整在进行离散控制系统设计之后，通常需要对系统进行优化和参数调整。
通过优化可以进一步改善系统的性能和稳定性。
参数调整可以帮助设计者找到最佳的参数组合，以满足系统的性能要求。
离散控制系统的设计方法方法1：PID控制器设计PID控制是离散控制系统设计中常用的方法之一。
PID控制器由比例、积分和微分三个部分组成，可以根据系统的反馈信号调整系统的输出。
PID控制器设计的关键是选择合适的控制参数，可以通过试错法、Ziegler-Nichols方法等进行参数调整。
方法2：状态空间法设计状态空间法是离散控制系统设计中的另一种常用方法。
3.3 离散系统控制系统设计与校正
恢复到 e( t )。这就是香农采样定理。
18
§3.3.2
3．采样定理：
信号的采样与保持
， w max
w s 2w max或 T 如果采样周期满足下列条件：
*
则采样信号 e ( t ) 可以完满的复现原输入信号 e( t )。
★要完全复现 e( t ) 需经过理想滤波器，但实际中没有。 工程上最常用的、最简单的是零阶保持器。
§3.3.3 Z变换
二.Z变换的求法: E ( z ) e(nT ) z n , 1．级数求和法：
n 0
求单位阶跃1(t)的Z变换。 例 1： 解： 1(t)在任何采样点的值均为1， 1(nT ) 1
等等，这也是一种离散
e(T ) (t T ) e(2T ) (t 2T )
T 2T 3T
A D
t
系统，称为数字控制系统。如：计算机、单片机、PLC等控制 的系统均为数字控制系统。
14
§3.3.2
一、采样过程
T (t )
e(t )
信号的采样与保持
e (t )
调制器
e (t )
0
t
11
§3.3.1
离散控制系统概述
3)控制方式：也是按偏差进行调节的负反馈系统。 4)解决问题的关键: T 所以,系统大部分时间处于开环状态，改变了系统的工 作状态： ①使系统容易稳定； ②可以允许系统在闭环期间有较大的 K e ss 。
12
§3.3.1
离散控制系统概述
三．数字控制系统：
6
§3.3.1
离散控制系统概述
炉温的误差信号经放大后驱动电动机去调整燃料阀 门的开度以控制炉温。若系统的开环放大倍数很大， 系统对误差信号将非常敏感，当炉温较低时，电动 机将迅速旋转，开大阀门，给炉子供应更多的燃料。 由于炉子本身的时间常数较大，炉温上升很慢，当 炉温升高到给定值时，阀门早已超过规定的
自动控制原理 离散控制系统PPT课件
香农采样定理：如果被采样的连续信号 e(t) 的频谱具有有限带宽，且频谱的 最高角频率为 max ，则只要采样角频率s 满足：s 2max 或采样频率 fs 满足：fs 2 fmax 则通过理想滤波器，由采样得到 的离散信号能够可以不失真地恢复为原连续信号。
采样定理给出了采样频率下限的选取规则，对于采样频率的上限，要依据易 实现性和抗干扰性来统一确定。
利用拉氏反变换求出 1 的原时间函数为e( j)t，利用已知的指数函
s j
数z变换公式可求得相应的z变换，即
Z[sin t ]
2
j(z
z e
jT
)
2
j(z
z
e jT
)
z2
z sinT (2cosT )z
1
第23页/共79页
3.留数计算法
若已知连续时间函数e(t)的拉氏变换 E(s) 及其全部极点，则e(t)的z变换E(z)可通过
1 1 z1
z
z 1
第20页/共79页
例7-2 试求衰减指数函数 e(t) eat (a 0) 的z变换。
解：将 eat 在各采样时刻上的采样值代入展开式，得
E(z) eakT zk 1 eaT z1 e2aT z2 k 0
ekaT zk
若 | eaT z1 |1，即| eaT z |1，则可写成闭合形式：
第8页/共79页
2.D/A转换器
D/A转换器是把离散的数字信号转换为连续模拟信号的装置。包括解码过程 和复现过程。 解码过程就是把离散数字信号转换为离散的模拟信号。 复现过程就是通过保持器，将离散模拟信号复现为连续模拟信号。
第9页/共79页
7.2 信号的采样与保持 采样过程及其数学描述
采样定理给出了采样频率下限的选取规则，对于采样频率的上限，要依据易 实现性和抗干扰性来统一确定。
利用拉氏反变换求出 1 的原时间函数为e( j)t，利用已知的指数函
s j
数z变换公式可求得相应的z变换，即
Z[sin t ]
2
j(z
z e
jT
)
2
j(z
z
e jT
)
z2
z sinT (2cosT )z
1
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3.留数计算法
若已知连续时间函数e(t)的拉氏变换 E(s) 及其全部极点，则e(t)的z变换E(z)可通过
1 1 z1
z
z 1
第20页/共79页
例7-2 试求衰减指数函数 e(t) eat (a 0) 的z变换。
解：将 eat 在各采样时刻上的采样值代入展开式，得
E(z) eakT zk 1 eaT z1 e2aT z2 k 0
ekaT zk
若 | eaT z1 |1，即| eaT z |1，则可写成闭合形式：
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2.D/A转换器
D/A转换器是把离散的数字信号转换为连续模拟信号的装置。包括解码过程 和复现过程。 解码过程就是把离散数字信号转换为离散的模拟信号。 复现过程就是通过保持器，将离散模拟信号复现为连续模拟信号。
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7.2 信号的采样与保持 采样过程及其数学描述
12离散参数马氏链上
例1 Bernoulli序列是离散参数齐次马尔可夫
链. 验证 在Bernoulli序列{Xn,n=1,2,3,}中, 对任
意正整数 m, t1 t2 tm tm1
X t1 , X t2 , , X tm , X tm1 相互独立, 故对
jk 0,1, (k 1, 2,, m 1)
P{X (tm ) i}
四. 离散参数齐次马尔可夫链
定义3 设离散参数马尔可夫链
{X (t),t t0 ,t1,t2 ,,tn ,}
如果一步转移概率pij(tm)不依赖于参数tm 即对任意两个不等的参数tm和tk, mk,有
pij (tm ) pij (tk ) pij
则称此马尔可夫链具有齐次性或时齐性,称 X(t)为离散参数齐次马尔可夫链.
对于状态空间S内的任意两个状态 i 和j , 恒有
(1)
p(n) ij
(tm
)
0
(2)
p(n) ij
(tm
)
1,
n
1,
2,
jS
p(n) ij
(tm
)
P{X (tmn ) j | X (tm ) i}
jS
jS
P{X (tmn )
jS
j, X (tm ) i}
P{X (tm )
i}
1
P{X (tm ) i}
二．马尔可夫链的分类
状态空间S是离散的(有限集或可列集),参数 集T可为离散或连续的两类.
本课程主要介绍离散参数马尔可夫链.
三．离散参数马尔可夫链
1. 转移概率
定义2 设离散参数马尔可夫链 {X (t),t t0 ,t1,t2 ,,tn ,}
条件概率 P{X (tm1) j | X (tm ) i} pij (tm ) 称为X(t)在时刻(参数)tm由状态 i 一步转
离散控制系统设计
若j>q,
2.φ (z)零点必须包括 零点必须包括G(z)的单位圆上或圆外的零点。 的单位圆上或圆外的零点。 零点必须包括 的单位圆上或圆外的零点
b i为不稳定零点 ， F2(z) 为： 3. F1(z)和 F2(z)的阶数选取。 的阶数选取。 和 的阶数选取 个极点在单位圆上z=1， －若G(z)有j个极点在单位圆上 有 个极点在单位圆上 ， 当j<=q ， 当j>q
个零点b1,b2,…,bu和v个极点 个极点a1,a2,…,av在单位圆上或圆外， 在单位圆上或圆外， 设 G(z)有u个零点 有 个零点 和 个极点 在单位圆上或圆外 则广义对象的传递函数可表示为： 则广义对象的传递函数可表示为：
若GC(z)不含纯滞后， 则d=0；
否则 d>=1。
设 G(z)有u个零点 个零点b1,b2,…,bu和v个极点 个极点a1,a2,…,av在单位圆上或圆外， 在单位圆上或圆外， 有 个零点 和 个极点 在单位圆上或圆外 则广义对象的传递函数可表示为： 则广义对象的传递函数可表示为： G’(z)表示不含单位圆上及圆外零极点部分。
控制对象传函如下， 控制对象传函如下，τ 是滞后时间 采样周期为T,则令 采样周期为 则令 则广义对象的(零阶保持器与被控过程 的脉冲传递函数为 则广义对象的 零阶保持器与被控过程)的脉冲传递函数为： 零阶保持器与被控过程 的脉冲传递函数为：
上式中若GC(z)不含纯滞后， 则d=0； 若GC(z) 含纯滞后， 则d>=1。
闭环系统的脉冲传递函数
因为有： 因为有： degP(z)－degQ(z) >=0，则： － ，
上式确定了D(z) 可实现时 (z)应满足的条件： 可实现时φ 应满足的条件 应满足的条件： 上式确定了 的分母比分子高N阶 则确定φ 时必须至 若G(z)的分母比分子高 阶，则确定 (z)时必须至 的分母比分子高 少分母比分子高N阶 少分母比分子高 阶。
离散控制系统PPT课件
[e(i) 2e(i
e(i 1)] 1) e(i
2)]
中心
e(t
e(t )
)
1 T2
1 [e(i 2T [e(i 1)
1) e(i 1)] 2e(i) e(i
1)]
例7-3 试将PID控制器离散化
u(t
)
K
p
e(t
)
1 Ti
展开式
或② 或③
n
n
y(k) ai y(k i) bi x(k i)
i 1
i 1
n
n
y(k) bi x(k i) ai y(k i)
i0
i0
级数和式 计算机算式
2、与脉冲传递函数的关系
对②两边Z变换：
Y (z)(1 a1z1 a2 z2 an zn ) X (z)(b0 b1z1 b2 z2 bn zn )
1 0.2s
1
解：代入 s 2 z 1
T z 1
G(z)
2
z
12
1 0.2
2
z
1
1
T z 1
u(k)
u(k
1)
K
p e(k)
e(k
1)
T Ti
e(k )
Td e(k) 2e(k 1) e(k 2)
T
或整理为
u(k) u(k 1) b0e(k) b1e(k 1) b2e(k 2)
b0
K
p
离散系统的控制
1 简介
此文的目的是向读者介绍研究离散系统的控制的相关问题。 这篇说明性的论文是为工程、 数学和计算机科学等专业的一般读者而写的。不需要特别的控制理论和计算机科学的背景。 研究离散系统控制的动力源自与对工程系统、 数学推算过程和计算机系统的研究。 如此 的例子有：在线数据库的处理，快速热处理的控制，通讯协议的设计。被控的物体有许多问 题，例如：活跃度，安全性和预防模块化等。 在控制实践问题建模时，用的是源自计算机科学的模型：自动化机器、佩特里网论、进 程代数。离线系统常被用在受外部环境影响的自动机械上。 通常这样阐述离散系统的控制问题：构建一个监控，观察整个系统，并确定在每件发生 后，其中一些事在以后可以不再发生。上述提到的被控物体，要首先保证活跃度和安全性。 离散系统控制理论涉及到了计算机科学的许多分支，如：自动控制理论、进程代数、逻 辑学、时态逻辑等等。 本文的以下章节将进行详述。第二章涉及了动力，第三章是离散系统的实例。第四章讨 论了控制的综合问题。第五章则是对读者更广泛研究的指引。
如果两个用户达成了通讯协议，则应该建立连接。呼叫者如果要打给被叫者，他应该等待拨 号应，拨通正确的号码等等操作。这些事件的顺序被电话网络的硬件执行。被叫者只有在通 话没有被挂起时才能够接听。而一些顺序也应该由监控部分的执行。在以前，电话接线员必 须要保证正确操作的执行， 而现在又电脑来做这些工作。 具有挑战性的工作是在电话网络和 被控对象不可控时提供的信息经由电脑程序自动化综合。 上述实践中的控制问题会导致工程和计算机科学中的的控制问题。 被控对象的问题实例 如下： 1. 安全性。预防控制系统发生灾难性的事故。 2. 活跃度。保证控制系统能够完成指定的最低水平的的性能。 安全性的一个例子就是闭塞：保证控制系统达到一种状态，而不是别的状态。通常在一 个锁死的系统两个监控在独立运行的状态下， 都在互相等待。 在工程控制问题中是将控制理 论转化为控制问题，详见本文第 4 章。 系统与控制术语概括如下。 事件是指一个动作的发生。 离散系统或设备是指事件发生顺 序的数学模型。 监控系统是限制离散系统操作的数学实体。 离散系统与监控系统的连接被称 为离散系统的控制或者闭环系统。控制目标则是闭环系统的操作规范。 离散系统在一般控制理论下表现的控制问题如下： 实体。存在一个监控系统使得闭环系统满足被控物体吗？ 可判断性。监控系统可以由有限步骤的程序运算编写嘛？ 程序。如何编写一个程序来实现如何被控物体的监控系统？ 复杂性。 如何保证通过多项式和代数运算， 监控系统的程序运算是根据实际问题的限制 条件编写的？ 这些是离散系统控制理论旨在回答的问题。 对于离散系统控制的研究方法不同于计算机科学。 在控制理论中的研究方法是控制综合。 在计算机科学中研究方法是假设和证明。如此，在计算机科学中假设能使控制系统满足，使 得闭环系统可用，最后证明闭环系统是否符合之前的假设。后一步叫做证明。证明可由自动 化理论工具实现，详见[26]。仿真是一种流行的方法，能够测试一个算法或程序是否满足规 范，但闹最实际的问题是完整的仿真测试是不可行的。控制方法是首选，还是控制理论和计 算机科学？这个问题必须建立在大量的离散系统控制问题的实践之上来回答。 这回花几年的 时间来积累经验。 离散系统控制领域与计算机科学有着密切的联系。 离散系统的模型是建立在计算机模型
离散控制系统设计PPT课件
R(s) +
-
控制器 Gc(s)
功率放大器
1 (s 20 )
电机
1 s(s 10 )
C(s) 支撑轮 位置
图7-58 工作台的支撑轮控制模型
以连续系统为基础，设计合适的控制器Gc(s), 然后将Gc(s)转换为要求的数字控制器D(z)。
воскресенье, 12 апреля 2020 г.
воскресенье, 12 апреля 2020 г.
13
要求确定K和T的取值，使离散系统阶跃响应和超调量不大于30%
Gp(s)s(0.1s1)K 0 (.00s 51)
解：由题可知：T1=0.1s，T2=0.005s，T2仅为T1 的5%，其影响可略，因此该系统可近似为二 阶采样系统。 若取T/T1=0.25，σ%=0.3,则由图7-56可得KT1=1.4。
59所示。
воскресенье, 12 апреля 2020 г.
24
要求设计D(z),满足超调量为7%、有最小上升时间和调节时间(△=2%)
图7-59 连续系统的单位阶跃时间响应
воскресенье, 12 апреля 2020 г.
25
要求设计D(z),满足超调量为7%、有最小上升时间和调节时间(△=2%)
4
例7-35 二阶数据采样系统的性能
开环脉冲传递函数为：
G(z)=(1-z-1)
1T(/z 11 ))zz( (e1 T/T T T 11)eT/T1eT/T1)]
若令E=eT /T1，则上式可表示为：
G (z)K [E (1 T T T 1)z (T 1 T E T 1 E )] (z 1 )z(E )
在系统稳定前提下172对于给定tt可导出k与之间隐含关系见图756其由matlab方法获取3对于给定tt揭示与ess之间的矛盾性kt型系统4采样周期t的选择k一定时t示例1三阶系统可近似二阶系统2根据及ess要求选择适当t19例736工作台控制系统在制造业中工作台运动控制系统是一个重要的定位系统可以使工作台运动至指定的位置工作台在每个轴上由电机和导引螺杆驱动其中x轴上的运动控制系统框图如图757所示
自控原理离散控制系统课件
通过状态方程可以求解系统的 状态响应和输出响应，进而进 行系统分析和设计。
离散控制系统传递函数
传递函数是用于描述离散控制系 统输入输出关系的数学模型。
它通常表示为 G(z) = b0 + b1z^-1 + b2z^-2 + ... + bd*z^-d，其中 z 是复数变量
，bi 是已知系数。
传递函数可以用于分析系统的稳 定性、频率响应和系统性能等。
抗干扰性能定义
抗干扰性能是指系统在受到外部干扰信号作用时，系统能够保持 稳定输出的能力。
抗干扰性能的指标
主要包括干扰信号的类型、幅度、频率等。
提高抗干扰性能的方法
通过增强系统自身的稳定性、采用滤波技术、引入鲁棒控制等手段 提高抗干扰性能。
05
CATALOGUE
离散控制系统的设计方法
离散控制系统的设计原则与步骤
奈奎斯特判据
对于线性离散控制系统，如果系统的极点都位于Z平面的左半部分，且没有极点 在虚轴上，则系统是稳定的。
离散控制系统的稳定性分析方法
根轨迹法
通过绘制系统的根轨迹图，分析 系统的极点和零点分布，从而判 断系统的稳定性。
频率域分析法
通过分析系统的频率响应，判断 系统是否稳定。频率域分析法通 常使用劳斯-赫尔维茨判据或奈奎 斯特判据进行稳定性分析。
04
CATALOGUE
离散控制系统的性能分析
离散控制系统的稳态误差分析
稳态误差定义
稳态误差是控制系统在输入信号作用下，系统达到稳态后其输出 量与期望输出量之间的偏差。
稳态误差的来源
主要来源于系统本身的结构和参数设计，如系统增益、积分环节、 微分环节等。
减小稳态误差的方法
计算机控制系统经典设计方法——模拟控制器的离散化方法15页PPT
计算机控制系统经典设计方法——模拟 控制器的离散化方法
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
56、极端的法规，就是极端的不公。 ——西 塞罗 57、法律一旦成为人们的需要，人们 就不再 配享受 自由了 。—— 毕达哥 拉斯 58、法律规定的惩罚不是为了私人的 利益， 而是为 了公共 的利益 ；一部 分靠有 害的强 制，一 部分靠 榜样的 效力。 ——格 老秀斯 59、假如没有法律他们会更快乐的话 ，那么 法律作 为一件 无用之 物自己 就会消 灭。— —洛克
60、人民的幸福是至高无个的法自己知道紧在哪里。——西班牙
37、我们唯一不会改正的缺点是软弱。——拉罗什福科
xiexie! 38、我这个人走得很慢，但是我从不后退。——亚伯拉罕·林肯
39、勿问成功的秘诀为何，且尽全力做你应该做的事吧。——美华纳
40、学而不思则罔，思而不学则殆。——孔子
第12章 离散控制系统的经典法设计
该变换保证系统的稳定性不改变。
三种变换关系总结如下：
变换方法 前向差分 后向差分 双线性变换
s与z的变换关系
z-1 s= T
z-1 s= Tz
2(z-1) s= T(z+1)
z与s的变换关系
z= sT+1
z=
1 1-sT
z=
1+Ts/2 1-Ts/2
前三种方式的稳定性讨论
1.前向差分z与s的关系 z sT 1
比较s与z的关系得：s z 1 T
故前向差分法就是将模拟控制器的传递函数 D(s)中的s用z 1代替即可。
T
必须强调用前向差分关系将连续控制器离散 化成数字控制器时稳定性不能保证。因此很 少应用。
后向差分法
推导过程同前向差分法，
只是变为后向矩形积分。
ub (kT) ub (kT T )
三种变换法的运用举例（续2）
通过 z esT 转换成脉冲传递函数对应的极点
z1 e(0.1 j0.5)T e0.1e j0.5 0.90480.5, z2 e(0.1 j0.5)T e0.1e j0.5 0.9048 0.5
(2) 三种变换法的稳定性
因此将s→∞的零点映射到Z平面，相当于与D(z) 的z=-1的零点对应，也就是说在的D(s)上有一 个s →∞的零点时，则在D(z)的分子上补一个 (z+1)因子，有两个s →∞的零点，在D(z)的分子 上补一个(z+1)2 ，以此类推。
零极点匹配等效法（续2）
(3) 让数字控制器的增益在某一主频处与模拟 控制器的增益匹配，即 ① 若D(s)具有低通特性则令 D(s) s0 D(z) z1
12.2控制系统的离散化方法
计算机控制系统经典设计方法——模拟控制器的离散化方法
模拟控制器的离散化方法（续五）
一阶后向差分:
D( z ) D( s )
1 z 1 s T
U ( s) 1 D( s ) E ( s) s
u (kT ) u[(k 1)T ] Te(k )
一阶向后差分的s与z替换关系是 z变量与s变量关系的一种近似
图7-22 后向差分矩形积分法
模拟控制器的离散化方法（续二）
2. 加零阶保持器的Z变换法（阶跃响应不变法或保持Z变换法）
基本思想：用零阶保持器与模拟控制器相串连，然后再进行Z变换离散化成数字控 制器。要求脉冲传递函数和连续传递函数的单位阶跃输出响应在采样时刻相等。
-
图7-21 阶跃响应不变法
1 1 G (s) Z G ( s ) D( z ) (1 - z -1 ) Z 1 - z -1 s s 1 e Ts 或者D( z ) Z G ( s) s D( z )
s与z的关系是双线性函数，即
s
2 z 1 2 1 z T z 1 T 1 z 1
1
T s 2 z T 1 s 2 1
模拟控制器的离散化方法（续十一）
双线性变换法 特点及应用
D(s)稳定，D(z) 一定稳定； 双线性变换是一对一映射，保证了离散频率特性不产生频 率混叠现象，但产生了频率畸变（见图7-28）； 双线性变换后稳态增益不变； 比较适合工程上应用的一种方法； 由于高频特性失真严重，主要用于低通环节的离散化。
【答案】
aT D( z ) 1 1 aT z
例7.8 已知模拟控制器D(s)=a/(s+a)，用前向差分求数字控制器D(z)。 【答案】
aT D( z ) z (aT 1)
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12.2控制系统的离散化方法
• 前向差分法； • 后向差分法； • 双线性变换法； • 脉冲响应不变法； • 阶跃响应不变法； • 零、极点匹配法等六种方法。
前向差分法
已知控制器的传递函数为 U (s) D(s) b
E(s)
sb
传递函数转化成微分方程
U (s)(s b) E(s)b u '(t) bu(t) be(t)
1
]
(s 1)(s 2)
TZ [ 1 s 1
s
1
2
]
T[
z
z eT
z
z e 2T
]
零极点匹配等效法
通过映射保证连续和离散控制器的零极点匹配。
映射规则如下：
(1) D(s)的全部有限零点和极点按照 z eTs 映
射到Z平面。
(2) D(s)的全部无限远的零点映射到Z平面为
z=-1。(这是近似映射关系)
连续与离散控制系统
第12章 离散控制系统 的经典法设计
吉林大学仪器科学与电气工程学院 随阳轶
主要内容
• 概述 • 控制系统的离散化方法 • PID控制器及其算法
12.1概述
• 数字控制器的设计大体上分成两大类：经 典法设计和状态空间法。经典法设计可分 两种方法：离散化法和直接法。离散化法 则是先设计连续系统的控制器，然后通过 某种离散化方法转化成数字控制器，这种 方法仅能逼近连续系统的性能，不会优于 连续系统的性能。直接法为Z平面的根轨迹 法、W平面的伯德图法等等。
T
必须强调用前向差分关系将连续控制器离散 化成数字控制器时稳定性不能保证。因此很 少应用。
后向差分法
推导过程同前向差分法，
只是变为后向矩形积分。
ub (kT) ub (kT T )
kT-T kT
脉冲传递函数
[bub (kT) be(kT)]T
Ub (z) z1Ub (z) TbUb (z)
字控制器。
解：(1) 将连续系统的有限零极点映射到Z平面
① 有限零点 s 2, z e2T，即z－e2T＝0
② 有限极点
D(s)
D(z)
s 1, s 3 z eT , z e3T (s+2)
(s+1)(s+3)
(z-e-2T) (z-e-3T)(z-e-T)
零极点匹配等效法举例（续1）
离散近似后数字控制器的脉冲响应序列，与连 续控制器的脉冲响应采样值相等。
D(z) TZ[D(s)]
T是补偿采样引进的1/T因子。
例12.2已知连续控制器的传递函数D(s)
(s
1 1)(s
2)
试用阶跃响应不变法和脉冲响应不变法将连续
控制器离散成数字控制器。
解：(1) 阶跃响应不变法
阶跃脉冲响应不变法举例
=0 z=-1
零极点匹配等效法举例（续2）
(3)匹配增益因子
D(s) 0, D(s) 2 3,可见D(s)有低通特性，因此增益因子为
s
s0
K (z 1)(z e2T )
s2
D(z) z 1
D(s) s0
(z e3T )(z eT )
z
Байду номын сангаас
1
(s 1)(s 3)
s
0
K 2(1 e2T ) 2 K (1 e3T )(1 eT )
0.26T
2(z
1)2
T (z 1)
T (z 1)
(z 1)2
(z 1)2 4.66 ，（设T 1s）
4(z2 2z 1) 0.4(z2 1) 0.26(z2 2z 1) z2 1.605z 0.8283
三种变换法的运用举例（续2）
通过 z esT 转换成脉冲传递函数对应的极点
三种变换法的运用举例（续4）
③双线性变换法
(z 1)2 4.66
(z 1)2 4.66
Gt (z) z2 1.605z 0.8283 (z 0.8025 j0.4293)(z 0.8025 j0.4293)
z1,2 0.9101 0.4912
极点在单位圆内，系统是稳定的。
通过这三种方法得到的离散化结果与通过
12.3PID控制器的基本原理
e(t) r(t)
y(t)
z1,2 1.029 0.5071
系统不稳定。
三种变换法的运用举例（续3）
②后向差分法
Gb (z)
z2
z2 1.5068z
0.68493
z2 /1.46
(z 0.7534 j0.34253)(z 0.7534 j0.34253)
z1,2 0.8276 0.4267 极点在单位圆内，系统是稳定的。
对上式取Z变换
Ut
(
z)
z 1U
(
z)
T 2
[z
1bUt
(z)
z 1bE ( z )
bU
t
(
z)
bE(z)]
脉冲传递函数
U t (z) bT (z 1)
bT (z 1)
b
E(z) 2z 2 Tb Tbz 2(z 1) Tb(z 1) 2 (z 1) b
T (z 1)
双线性变换法（续1）
比较s与z的关系得：s
TbE(z)
z 1
Ub (z) E(z)
(z
b 1) / Tz
b
Tz
连续系统时是稳定的，通过后向差分离散化
后，离散系统一定稳定。
双线性变换法
推导过程同前向差分法， 只是变为梯形积分。
ut
(kT)
ut
(k
T
T
)
T 2
[but
(kT
T
)
kT-T kT
be(kT T ) but (kT) be(kT)]
1s
六种离散化方法的特点
设计者应该交替使用几种等效技术，通常零极 点匹配映射法和双线性变换法较好。
1. 前向差分法：稳定性不能保证，很少使用。
2. 后向差分法：无稳定性问题，并维持稳态增 益不变。但是得到的离散控制器暂态特性和频 率响应特性与连续控制器特性有相当大的差别， 采用高采样率可减少这种差别。 3. 脉冲响应不变法：无稳定性问题，但存在频 率混叠问题 ，只适用于连续控制器具有陡峭的 衰减特性，且为带限信号的场合。
② 若D(s)具有高通特性则令 D(s) s D(z) z1
③ 若D(s)既不具有高通特性也不具有低通特性 则在一个特殊频率处令
D(s) s j0
D(z) ze jT0
零极点匹配等效法举例
例12.3已知连续控制器的传递函数
D(s)
s2 (s 1)(s 3)
试用零极点匹配等效法将连续控制器离散成数
(2)将连续系统的s→∞零点映射到Z平面，对应
于D(z)分子上的(z+1)因子。
D(s) s 2
0 (可见s 为D(s)的零点)
s (s 1)(s 3)
s
D(s) 的零点对应D(z)分子上的(z 1)因子 s
(s+2) =0
(s+1)(s+3) s=∞
(z+1) (z-e-2T)
(z-e-3T)(z-e-T)
D(z) (1 z1)Z[1
1
] (1 z1)Z[1/ 2 1 1/ 2 ]
s (s 1)(s 2)
s s 1 s 2
z 1[1 z2
z z 1
z z eT
1 2
z z e2T
]
1 2
z 1 z eT
1 2
z 1 z e2T
(2) 脉冲响应不变法
D(z) TZ [D(s)] TZ[
3.双线性变换z与s的关系
z 1 Ts/ 2 1 Ts/ 2
z 1 Tj / 2 1 Tj / 2
z平面
z的模为1，可见为单位圆
三种变换法的运用举例
例12.1分别用前向差分法、后向差分法和双线
性变换法将传递函数 G(s)
1
离散化成脉冲传递函数。 (s 0.1 j0.5)(s 0.1 j0.5)
(1 e3T )(1 eT ) 3
3(1 e2T )
通过零极点匹配等效法，得到的总的脉冲传递 函数为：
D(z)
(1 e3T )(1 eT )(z 1)(z e2T 3(1 e2T )(z e3T )(z eT )
)
D(z)
0.231551(z 1)(z 0.13534) ,T (z 0.049787)(z 0.36788)
再将微分方程改写成积分形式
t
u(t) [bu( ) be( )]d
0
kT T
kT
u(kT ) [bu( ) be( )]d [bu( ) be( )]d
0
kT T
=u(kT-T)+从(kT-T)到kT的面积
前向差分法（续1）
u f (kT) u f (kT T )
[buf (kT T ) be(kT T )]T
因此将s→∞的零点映射到Z平面，相当于与D(z) 的z=-1的零点对应，也就是说在的D(s)上有一 个s →∞的零点时，则在D(z)的分子上补一个 (z+1)因子，有两个s →∞的零点，在D(z)的分子 上补一个(z+1)2 ，以此类推。
零极点匹配等效法（续2）
(3) 让数字控制器的增益在某一主频处与模拟 控制器的增益匹配，即 ① 若D(s)具有低通特性则令 D(s) s0 D(z) z1
kT-T kT 由差分方程求其Z变换
U f (z) z1U f (z) Tbz1U f (z) Tbz1E(z)
脉冲传递函数
Gf
(z)
bTz 1 1 (1 bT )z1