第12章 离散控制系统的经典法设计

0.26T
2(z
1)2
T (z 1)
T (z 1)
(z 1)2
(z 1)2 4.66 ，（设T 1s）
4(z2 2z 1) 0.4(z2 1) 0.26(z2 2z 1) z2 1.605z 0.8283
三种变换法的运用举例（续2）
通过 z esT 转换成脉冲传递函数对应的极点
比较s与z的关系得：s
TbE(z)
z 1
Ub (z) E(z)
(z
b 1) / Tz
b
Tz
连续系统时是稳定的，通过后向差分离散化
后，离散系统一定稳定。
双线性变换法
推导过程同前向差分法， 只是变为梯形积分。
ut
(kT)
ut
(k
T
T
)
T 2
[but
(kT
T
)
kT-T kT
be(kT T ) but (kT) be(kT)]
1
]
(s 1)(s 2)
TZ [ 1 s 1
s
1
2
]
T[
z
z eT
z
z e 2T
]
零极点匹配等效法
通过映射保证连续和离散控制器的零极点匹配。
映射规则如下：
(1) D(s)的全部有限零点和极点按照 z eTs 映
射到Z平面。
(2) D(s)的全部无限远的零点映射到Z平面为
z=-1。(这是近似映射关系)
因此将s→∞的零点映射到Z平面，相当于与D(z) 的z=-1的零点对应，也就是说在的D(s)上有一 个s →∞的零点时，则在D(z)的分子上补一个 (z+1)因子，有两个s →∞的零点，在D(z)的分子 上补一个(z+1)2 ，以此类推。
零极点匹配等效法（续2）
(3) 让数字控制器的增益在某一主频处与模拟 控制器的增益匹配，即 ① 若D(s)具有低通特性则令 D(s) s0 D(z) z1
② 若D(s)具有高通特性则令 D(s) s D(z) z1
③ 若D(s)既不具有高通特性也不具有低通特性 则在一个特殊频率处令
D(s) s j0
D(z) ze jT0
零极点匹配等效法举例
例12.3已知连续控制器的传递函数
D(s)
s2 (s 1)(s 3)
试用零极点匹配等效法将连续控制器离散成数
(1 e3T )(1 eT ) 3
3(1 e2T )
通过零极点匹配等效法，得到的总的脉冲传递 函数为：
D(z)
(1 e3T )(1 eT )(z 1)(z e2T 3(1 e2T )(z e3T )(z eT )
)
D(z)
0.231551(z 1)(z 0.13534) ,T (z 0.049787)(z 0.36788)
解：(1) 三种变换法的离散化
①前向差分法
1
T2
G f (z) ( z 1)2 0.2 z 1 0.26 (z 1)2 0.2(z 1)T 0.26T 2
T
T
z2
1 1.8z
1.06
(z
0.9
1 j 0.5)( z
0.9
j0.5)
, 设T＝1s
三种变换法的运用举例（续1）
②后向差分法
前三种方式的稳定性讨论
1.前向差分z与s的关系 z sT 1
z 1 T jT z 2 (1 T )2 (T )2
令︱z ︱为1，对应s平面为一个圆，则以1/T为
半径的极点映射到Z平面单位圆内。
1 T2
(1 T
)2
(
0)2
z平面
对于整个S左半平面映射Z平面
是1为边缘的整个Z平面。
z1,2 1.029 0.5071
系统不稳定。
三种变换法的运用举例（续3）
②后向差分法
Gb (z)
z2
z2 1.5068z
0.68493
z2 /1.46
(z 0.7534 j0.34253)(z 0.7534 j0.34253)
z1,2 0.8276 0.4267 极点在单位圆内，系统是稳定的。
Gb
(z)
(
z
1)2
1 0.2
z
1
0.26
(z
1)2
T 2z2 0.2Tz(z 1)
0.26(Tz)2
Tz
Tz
z2
z2 1.46
, 设T＝1s
1.5068z 0.68493
③双线性变换法
Gt
(z)
(
2
(z
1) )2
1 0.2
2
(z
1)
0.26
[2(z
1)]2
0.4(z
T 2(z 1)T
1)2 (z 1)
12.2控制系统的离散化方法
• 前向差分法； • 后向差分法； • 双线性变换法； • 脉冲响应不变法； • 阶跃响应不变法； • 零、极点匹配法等六种方法。
前向差分法
已知控制器的传递函数为 U (s) D(s) b
E(s)
sb
传递函数转化成微分方程
U (s)(s b) E(s)b u '(t) bu(t) be(t)
解释如下：当从0 s 时
2T
z e jT 0
jT
1, z e T
1
零极点匹配等效法（续1）
相当于jω轴上从0到π/T这段对应于Z平面从 z=1到z=-1的半个单位圆。 当ω= ωs/2=π/T时，该ω是信号的最高频率， 高于此频率则不满足采样定理。
另外通常D(s)具有低通特性，即 D(s) s j js 0 2
比较s与z的关系得：s
2 T
(z (z
1) 1)
该变换保证系统的稳定性不改变。
三种变换关系总结如下：
变换方法 前向差分 后向差分 双线性变换
s与z的变换关系
z-1 s= T
z-1 s= Tz
2(z-1) s= T(z+1)
z与s的变换关系
z= sT+1
z=
1 1-sT
z=
1+Ts/2 1-Ts/2
对上式取Z变换
Ut
(
z)
z 1U
(
z)
T 2
[z
1bUt
(z)
z 1bE ( z )
bU
t
(
z)
bE(z)]
脉冲传递函数
U t (z) bT (z 1)
bT (z 1)
b
E(z) 2z 2 Tb Tbz 2(z 1) Tb(z 1) 2 (z 1) b
T (z 1)
双线性变换法（续1）
1s
六种离散化方法的特点
设计者应该交替使用几种等效技术，通常零极 点匹配映射法和双线性变换法较好。
1. 前向差分法：稳定性不能保证，很少使用。
2. 后向差分法：无稳定性问题，并维持稳态增 益不变。但是得到的离散控制器暂态特性和频 率响应特性与连续控制器特性有相当大的差别， 采用高采样率可减少这种差别。 3. 脉冲响应不变法：无稳定性问题，但存在频 率混叠问题 ，只适用于连续控制器具有陡峭的 衰减特性，且为带限信号的场合。
12.3PID控制器的基本原理
e(t) r(t)
y(t)
三种变换法的运用举例（续4）
③双线性变换法
(z 1)2 4.66
(z 1)2 4.66
Gt (z) z2 1.605z 0.8283 (z 0.8025 j0.4293)(z 0.8025 j0.4293)
z1,2 0.9101 0.4912
极点在单位圆内，系统是稳定的。
通过这三种方法得到的离散化结果与通过
3.双线性变换z与s的关系
z 1 Ts/ 2 1 Ts/ 2
z 1 Tj / 2 1 Tj / 2
z平面
z的模为1，可见为单位圆
三种变换法的运用举例
例12.1分别用前向差分法、后向差分法和双线
性变换法将传递函数 G(s)
1
离散化成脉冲传递函数。 (s 0.1 j0.5)(s 0.1 j0.5)
连续与离散控制系统
第12章 离散控制系统 的经典法设计
吉林大学仪器科学与电气工程学院 随阳轶
主要内容
• 概述 • 控制系统的离散化方法 • PID控制器及其算法
12.1概述
• 数字控制器的设计大体上分成两大类：经 典法设计和状态空间法。经典法设计可分 两种方法：离散化法和直接法。离散化法 则是先设计连续系统的控制器，然后通过 某种离散化方法转化成数字控制器，这种 方法仅能逼近连续系统的性能，不会优于 连续系统的性能。直接法为Z平面的根轨迹 法、W平面的伯德图法等等。
的数学关系 z eTs 的离散化结果比较，
双线性变换法更接近准确值。
阶跃响应不变法
使离散近似后数字控制器的阶跃响应序列，与 连续控制器的阶跃响应采样值相等。
设D(z)为离散控制器，D(s)为连续控制器。即
1Байду номын сангаас
1
( 1
z 1
)D(z)
Z[
s
D(s)]
D(z) (1 z1)Z[1 D(s)] s
脉冲响应不变法
z1 e(0.1 j0.5)T e0.1e j0.5 0.90480.5, z2 e(0.1 j0.5)T e0.1e j0.5 0.9048 0.5
(2) 三种变换法的稳定性
①前向差分法
Gf
(z)
z2
1 1.8z
1.06
(z
0.9
1 j 0.5)( z
0.9
j0.5)
z1 0.9 j0.5, z2 0.9 j0.5 极点在单位圆外，
字控制器。
解：(1) 将连续系统的有限零极点映射到Z平面
① 有限零点 s 2, z e2T，即z－e2T＝0
② 有限极点
D(s)
D(z)
s 1, s 3 z eT , z e3T (s+2)
(s+1)(s+3)
(z-e-2T) (z-e-3T)(z-e-T)
零极点匹配等效法举例（续1）
D(z) (1 z1)Z[1
1
] (1 z1)Z[1/ 2 1 1/ 2 ]
s (s 1)(s 2)
s s 1 s 2
z 1[1 z2
z z 1
z z eT
1 2
z z e2T
]
1 2
z 1 z eT
1 2
z 1 z e2T
(2) 脉冲响应不变法
D(z) TZ [D(s)] TZ[
kT-T kT 由差分方程求其Z变换
U f (z) z1U f (z) Tbz1U f (z) Tbz1E(z)
脉冲传递函数
Gf
(z)
bTz 1 1 (1 bT )z1
(z
b 1) / T
b
前向差分法（续2）
比较s与z的关系得：s z 1 T
故前向差分法就是将模拟控制器的传递函数 D(s)中的s用z 1代替即可。
离散近似后数字控制器的脉冲响应序列，与连 续控制器的脉冲响应采样值相等。
D(z) TZ[D(s)]
T是补偿采样引进的1/T因子。
例12.2已知连续控制器的传递函数D(s)
(s
1 1)(s
2)
试用阶跃响应不变法和脉冲响应不变法将连续
控制器离散成数字控制器。
解：(1) 阶跃响应不变法
阶跃脉冲响应不变法举例
Re
z T
1
0
前三种方式的稳定性讨论（续1）
2.后向差分z与s的关系
z 1 1 sT
z 1 ( 1 1)
z平面
2 1 sT 2
1 (1 1 Ts ) 2 2 1 sT
z1 1 22
可见s的虚轴映射为以点(1/2，0)为圆心， 1/2 为半径的圆，s左半平面映射到圆内。
前三种方式的稳定性讨论（续2）
六种离散化方法的特点（续1）
4.阶跃响应不变法：相当于连续环节串联一个 零阶保持器后取Z变换常用来求取控制系统的对 象或其他环节的离散等效。无稳定性问题。
5.双线性变换法：无稳定性问题，导至频率特 性的严重畸变，在伯德图的设计中或系统要求 较高时，则要对变换式进行修正。
6.零极点匹配等效法：无稳定性问题，这种映 射有较好的逼近特性，首推此法。
再将微分方程改写成积分形式
t
u(t) [bu( ) be( )]d
0
kT T
kT
u(kT ) [bu( ) be( )]d [bu( ) be( )]d
0
kT T
=u(kT-T)+从(kT-T)到kT的面积
前向差分法（续1）
u f (kT) u f (kT T )
[buf (kT T ) be(kT T )]T
=0 z=-1
零极点匹配等效法举例（续2）
(3)匹配增益因子
D(s) 0, D(s) 2 3,可见D(s)有低通特性，因此增益因子为
s
s0
K (z 1)(z e2T )
s2
D(z) z 1
D(s) s0
(z e3T )(z eT )
z
1
(s 1)(s 3)
s
0
K 2(1 e2T ) 2 K (1 e3T )(1 eT )
T
必须强调用前向差分关系将连续控制器离散 化成数字控制器时稳定性不能保证。因此很 少应用。
后向差分法
推导过程同前向差分法，
只是变为后向矩形积分。
ub (kT) ub (kT T )
kT-T kT
脉冲传递函数
[bub (kT) be(kT)]T
Ub (z) z1Ub (z) TbUb (z)
(2)将连续系统的s→∞零点映射到Z平面，对应
于D(z)分子上的(z+1)因子。
D(s) s 2
0 (可见s 为D(s)的零点)
s (s 1)(s 3)
s
D(s) 的零点对应D(z)分子上的(z 1)因子 s
(s+2) =0
(s+1)(s+3) s=∞
(z+1) (z-e-2T)
(z-e-3T)(z-e-T)