矢量三角形法在力的平衡问题中的妙用

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一、矢量三角形的建立
矢量三角形1：两分力的合力为，
Байду номын сангаас
构成平行四边形，如图1甲，该 平行四边形含有两个全等的三角 形，每一个三角形都包含了三个 矢量的大小和方向，因此，如果 我们只取其中的一个三角形，如 图1乙，利用三角形知识求力的 问题，则很多力学问题就会变的 简单的多了。图1乙中矢量三角 形的数学表达式为：
矢量三角形2：三个力使物体处于平衡状态，如图2甲，由力的 平衡知识知道，F1、F2合力与力F3等大、反向，如果把F3平移 到F3/的位置上，则构成如图2乙的三角形。图2乙中矢量三角形 的数学表达式为:
结论:三力合力为零的条件:
二、矢量三角形的解题应用
1．矢量三角形在力的静态平衡问题中的应用 若物体受到三个力（不只三个力时可以先 合成三个力）的作用而处于平衡状态，则 这三个力一定能构成一个力的矢量三角形。 三角形三边的长度对应三个力的大小，夹 角确定各力的方向
θ
G
N2
N1
例4 ．如图4所示，电灯悬挂于O点，三根绳子的拉力分别为TA、TB、 TC，保持O点的位置不变，绳子的悬点B也不变，则悬点A向上移 动的过程中，下列说法正确的是（ ） B A、 TA、TB一直减少； 图4 B、 TA一直增大，TB一直减少； A O C、 TA先增大后减少，TB先减少后增大； C D、TA先减少后增大，TB一直减少；
N2
O
θ
分析与解答：分析小球受力如图所 示，小球受重力、斜面的支持力和 挡板的支持力，在者三个力的作用 下处于平衡状态，这三个力可构成 力的三角形（如右图所示）
N1 G G
θ
N2
N1
挡板绕O点缓慢移动，可视为动态平衡。因挡板对 小球的支持力N1的方向与水平方向之间的夹角由 900缓慢变小，重力的大小和方向都不变，斜面的 支持力N2的方向也不变，由矢量三角形知斜面的 支持力N2必将变小，而挡板的支持力N1将先变小 后变大
N2 N2 N1 N1 G G
由矢量三角形的边角关系可知：当挡板竖直放置时， N1=Gtgθ N2=G/cosθ 当挡板与斜面垂直放置时，N1=Gsinθ N2=Gcosθ 这样比我们建立直角坐标，再利用正交分解法来求解就 简单多了。
2．矢量三角形在力的动态平衡问题中的应用
例3．如图所示，光滑的小球静止在斜面和竖直放置 的木板之间，已知球重为G，斜面的倾角为θ，现使 木板沿逆时针方向绕O点缓慢移动，求小球对斜面和 挡板的压力怎样变化？
例1. 如图所示，一个物 体受到七个力的作用， 其中构成一个等六边形， 已知，则求物体受到的 合外力的大小。
解析：根据矢量三角形1 可以知道力F1、F2合力大 小等于力F8，力F8与力F3 合力大小等于力F7，即合 力的大小等于力F7；同理 可知F6 、 F5 、 F4 合力的大 小等于力F7，所以物体受 到的合外力的大小等于
析：对于这道题，若用常规的正交分解法，先求出TA、TB 的表达式，再分析当θ角（TA与水平方向所成的夹角）改变 时TA、TB的大小变化，问题自然会变得相当复杂，而且也 不能一眼就可看出正确的结果。若利用矢量三角形，可作 如下的分析：若O点始终处于平衡状态，且只受TA、TB、TC 三个力作用，则这三个力构成如下图所示的矢量三角形。 在A点位置向上移动的过程中，因TC的大小和方向始终不变， TB的方向也不变，即在力的三角形中，TC的长度和方向不 变，TB与TC的夹角大小不变，A点向上移动，且TA与水平方 向的夹角由90度逐渐变小，由矢量三角形图的变化可知， TA先减少后增大，而TB则一直减少。答案为D。
F
G N
3．构建矢量三角形，处理最值问题 ：
例6. 如图所示，在轻质细线的下端悬挂一个 质量为m的物体，若用力F拉物体，使细线偏 离竖直方向的夹角为α角，且保持α角不变， 求拉力F的最小值。
解析：以m物体为研究对象，绳的张力与对m的拉力F的 合力F”与物体A的重力等大反向，由于绳的张力的方向 不变，根据图解可以看出，当F垂直于力时，F取最小 值 。
则有如下比例式：
T mg N L hR R
可得：
L T mg hR
R N mg hR
运动过程中L变小，T变小。运动中各量均 为定值，支持力不变。正确答案D。
矢量三角形法 在力的平衡问题中的妙用
学生在解静态平衡问题时，通常运用平行四边 形定则运算，难度不算大。可一旦转入多个力的 求和问题，对于动态平衡问题，用正交分解法取 代平行四边形法则，虽然可以使问题简化，但计 算仍显得繁琐。如果遇上了动态平衡的问题，因 疑点增多，解破起来颇感棘手，若用矢量三角形 法则求解，却能一改平行四边形法则和正交分解 法繁琐的计算程序，可谓之柳暗花明。下面让我 们上起来学习矢量三角形法在静态平衡、动态平 衡和运动的合成问题中的妙用.
例2．如图所示，光滑的小球静止在斜面和木版之 间，已知球重为G，斜面的倾角为θ，求下列情况 下小球对斜面和挡板的压力？（1）、挡板竖直放 置（2）、挡板与斜面垂直
分析与解答：小球受力如图所示，小球在重力、斜面的支 持力和挡板的支持力三个力共同的作用下处于平衡状态， 因其中两力之和恰好与第三力大小相等方向相反，故这三 个力可构成力的三角形：
，
4.构建矢量三角形，找出几何三角形，利用三角形相似解题 正确作出力的三角形后，如能判定力的三角形与图形中 已知长度的三角形（几何三角形）相似，则可用相似三 角形对应边成比例求出三角形中力的比例关系，从而达 到求未知量的目的。
例7、半径为的球形物体固定在水平地面上，球心正上方有一光滑的 小滑轮，滑轮到球面的距离为，轻绳的一端系一小球，靠放在半球 上的点，另一端绕过定滑轮后用力拉住，使小球静止，如图1-1所示， 现缓慢地拉绳，在使小球由到的过程中，半球对小球的支持力和绳 对小球的拉力的大小变化的情况是（ ）
解析：如图所示，对小球：受力平衡，由于缓慢地拉绳，所以小球运动 缓慢视为始终处于平衡状态，其中重力不变，支持力，绳子的拉力一直 在改变，但是总形成封闭的动态三角形（图中小阴影三角形）。由于在 这个三角形中有四个变量：支持力的大小和方向、绳子的拉力的大小和 方向，所以还要利用其它条件。实物（小球、绳、球面的球心）形成的 三角形也是一个动态的封闭三角形（图中大阴影三角形），并且始终与 三力形成的封闭三角形相似，
TB TC=G 图5
TA
例5． 如图所示，两个光滑的球体，直径均为d，置于 直径为D的圆桶内，且d<D<2d，在相互接触的三点A、 B、C受到的作用力分别为F1、F2、F3，如果将桶的 直径加大，但仍小于2d，则F1、F2、F3的变化情况 是（ ） A．F1增大，F2不变，F3增大； B．F1减少，F2不变，F3减少； C．F1减少，F2减少，F3增大； D．F1增大，F2减少，F3减少； 分析：由整体法易知F2的大小不变，再隔离分 析上面的小球，小球受重力G、桶向左的支持 力F和下面小球斜向上的支持力N三个力的作用 ，且处于平衡状态，这三个力构成矢量三角形 ，G的大小和方向都不变,F的方向始终水平向 左，当桶的直径增大时，N与水平方向的夹角 变小，由矢量三角形图知F增大，所以答案为A 。