圆柱圆锥圆台和球

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课件7：1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球

台
成的圆面
周而形成的
曲面所围成 (4)侧面：不垂直于轴的边旋转而
成的曲面
的几何体叫作
圆台
(5)母线：无论转到什么位
置，这条边都叫作侧面的母线
图形
以半圆的直径所在直线为旋转轴，_半__球__面_
旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称
球球．半圆的圆心叫做球的_球__心__，半圆的
半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的球常用球心字母进行
4x cm，作圆锥的轴截面如图所示：
在 Rt△SOA 中，O′A′∥OA，∴SA′∶SA＝O′A′∶OA.
即(y－10)∶y＝x∶4x，
解得：y＝1313，∴母线长为
1 133
cm.
考点三简单的组合体问题 [例3] 观察下列几何体，分析它们是由哪些基本几何体组成的，并说出主要结构特征．
[解] 图①是由长方体及四棱锥组合而成的，图②是由球、棱柱、棱台组合而成的．
SA＝coSsO30°＝
2 ＝4 3
3
3(cm)．
2
∴S△ASB＝21SO·2AO＝4 3 3(cm2)．
∴圆锥的母线长为43 3 cm，圆锥的轴截面的面积为43 3 cm2.
[通一类]
2．把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径之比为1∶4，
母线长是10 cm，求圆锥的母线长．
[解] 设圆锥的母线长为 y cm，圆台上、下底面半径分别为 x cm，
(4)侧面：不垂直于轴的边旋转而
成的曲面
的几何体叫做圆
锥
(5)母线：无论转到什么位置，这条边都叫做侧面的母线
图形
名称结构特征
相关概念
以直角梯形 (1)轴：旋转轴叫做所ห้องสมุดไป่ตู้成的几何

圆柱、圆锥、圆台和球

似三角形的性质得
3 r 3 l 4r
解得l=9.
所以，圆台的母线长为9cm.
例2. 我国首都北京靠近北纬40度。
求北纬40度纬线的长度约为多少千米（地球半径约为6370千米）?
解：如图，设A是北纬40°圈上一点，AK 是它的半径，所以 OK⊥AK，
设c是北纬40°的纬线长，因为∠OAK= ∠AOB = 40°，
3．表示方法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱OO’ .
4．有关性质：（1）用平行于底面的平面去截，截面都是圆。（2）圆柱、圆锥、圆台的轴截面分别是全等的矩形、全等的等腰三角形、全等的等腰梯形；
5.侧面展开图：
（1）圆柱的侧面展开图是矩形。（2）圆锥的侧面展开图是扇形. （3）圆台的侧面展开图是扇环.
所以 c=2π·AK=2π·OA·cos∠OAK =2π·OA·cos40° ≈2×3.1416×6370×0.7660 ≈3.066×104(km)，
即北纬40°的纬线长约为3.066×104km.
练习： 1、圆柱的轴截面是正方形，它的面
h
积为9 ,求圆柱的高与底面的周长。
(h=3， c=2πr=3π)
即O到截面圆心O1的距离；
（4）大圆与小圆：球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，被不经过球心的平面截得的圆叫做球的
小圆；
5．球面距离：在球面
上，两点之间的最短距
离就是经过这两点的大
A
圆在这两点间的一段劣
弧的长度。这个弧长叫 B
做两点的球面距离。
O
三．旋转体的概念
由一个平面图形绕着一条直线旋转产生的曲面所围成的几何体叫做旋转体，这条直线叫做旋转体的轴。比如常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台和球.

1. 1.2 圆柱,圆锥.圆台和球

1．1.2圆柱、圆锥、圆台和球在我们生活的世界中，从土木建筑到家居装潢，从机械设计到商品包装，从航空测绘到零件视图……无不存在着形状各异的物体，它们蕴含着形状各异的圆柱、圆锥、圆台和球等空间图形．每种空间图形各自具有不同的几何结构特征，与我们的生活息息相关，因此对空间图形的研究和应用非常重要．1．以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱．旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面；平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，过轴的截面是全等矩形．2．以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥．旋转轴叫做圆锥的轴；垂直于轴的直角边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面；斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面；斜边叫做圆锥的母线，过轴的截面是全等的等腰三角形．3．用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台．原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面．4．以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径．5．由一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫做旋转体．6．柱体：棱柱、圆柱；锥体：棱锥、圆锥；台体：棱台、圆台；球体是七种最基本的简单几何体，日常生活中见到的各种几何体则是由它们所组合成的简单组合体．7．由一些简单的几何体组合而成的几何体叫做简单组合体．简单组合体的构成有两种基本形式：一种是由简单几何体拼接而成；一种是由简单几何体截去或挖去一部分而成．8．简单组合体包括：多面体与多面体的组合、多面体与旋转体的组合、旋转体与旋转体的组合；在画简单组合体时，要把遮住的部分用虚线来表示或不画．,圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征圆柱的结构特征：①两底面是全等的圆面；②所有母线长相等且互相平行；③过圆柱的轴截面都是全等矩形；④圆柱沿着它的一条母线剪开后的侧面展开图是矩形．圆锥的结构特征：①平行于底面的截面都是相似的圆；②所有母线长相等且相交于一点；③过圆锥的轴截面都是全等的等腰三角形；④圆锥沿它的一条母线剪开的侧面展开图是扇形．圆台的结构特征：①平行于底面的截面都是相似的圆；②所有母线长相等且延长线相交于一点；③过圆台的轴截面都是全等的等腰梯形；④圆台沿它的一条母线剪开后的侧面展开圆是扇环．球的结构特征：①过球心的截面都是全等的圆；②球的直径垂直截面，所截得的都是相似的圆．理解和掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征，要学会从直观感受空间旋转体的形成过程，从实物中概括出圆柱、圆锥、圆台和球的定义，以定义展开，多进行类比、归纳和整理，通过比较四者间的异同点加强记忆．圆柱、圆锥、圆台的截面包括平行于底面的截面和过轴的截面(简称轴截面)两类，球的截面有大圆和小圆之分，谨记其截面的形状是关键．基础巩固知识点一圆柱、圆锥和圆台的结构特征1．在几何体：①圆柱；②圆锥；③圆台；④球中，轴截面一定是圆面的有________(填序号)．解析：根据结构特征判断．2．下列命题中说法错误的是________(填序号)．①以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；②以直角三角形的一条边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫做圆锥；③以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面围成的几何体叫做圆锥；④以等腰三角形的底边上的高所在直线为旋转轴，其余各边旋转形成的曲面围成的几何体叫做圆锥．解析：根据圆锥定义知②中应改为以一条直角边旋转．答案：②3．以下命题正确的是________(填序号)．①通过圆台侧面上一点有无数条母线；②夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是圆柱；③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；④棱锥截去一个小棱锥后剩余部分是棱台．解析：根据定义判定③正确；①中只有一条母线；②中两个平行截面应与底面平行；④中小棱锥底面应与大棱锥底面平行．答案：③知识点二球的结构特征4．半圆绕着直径旋转一周所得的几何图形是________．解析：注意球与球面、半圆与半圆面的区别．5．已知半径为5的球的两个平行截面的周长分别为6π和8π，则两平行平面间的距离为________．解析：由截面的周长分别为6π和8π得两个截面半径分别为3和4，又球的半径为5，故圆心到两个截面的距离分别为4和3.故当两个截面在球心同一侧时，平行平面间的距离为4－3＝1，当两个截面在球心两侧时，平行平面间的距离为4＋3＝7.答案：1或7知识点三组合体的有关问题6．一个正方体内接于一个球，过球心作一截面，如下图所示，则截面的可能图形是________(填序号)．解析：当截面平行于正方体的一个侧面时得③，当截面过正方体对角线时得②，当截面不平行于任何侧面也不过对角线时得①，但无论如何都不能得出④.答案：①②③7．如下图，一个圆环面绕着过圆心的直线l旋转180°，想象并说出它形成的几何体的结构特征．试着说出它的名称为________．解析：旋转形成的几何体是由两个同心球构成的，即大球中挖去一个同心的小球．答案：空心球8．描述下列几何体的结构特征．解析：(1)两个圆台组合而成的组合体；(2)圆台挖去一个等高圆锥而成的组合体；(3)圆锥挖去一个等高三棱锥而成的组合体．能力升级综合点一空间旋转体的组合与分割9．作一个圆柱的内接正三棱柱，又作这个三棱柱的内切圆柱，那么两个圆柱的底面半径之比为________．解析：两个圆柱的底面半径之比即为正三角形的外接圆与内切圆半径之比．答案：2∶1综合点二旋转体中的简单计算10．用平行于圆锥的底面的平面截圆锥，所得截面面积与底面面积的比是1：3，这个截面把圆锥的母线分为两段的比是________．解析：面积比为相似比的平方．答案：1(3－1)11．如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是________．解析：设底面半径为r ，母线为l ，则2πr ＝πl ，∴l ＝2r .答案：60°综合点三相切球的空间想象12．把四个半径为R 的小球放在桌面上，使下层三个，上层一个，两两相切，求上层小球最高处离桌面的距离．解析：如右图，由于四个半径为R 的球两两相切，故四个球的球心构成一个棱长为2R 的正四面体O 4O 1O 2O 3，因为底面等边三角形O 1O 2O 3的高为32×2R ，∴该棱锥的高OO 4＝（2R ）2－⎝ ⎛⎭⎪⎫233R 2＝263R .∴上层小球最高处离桌面的距离d ＝263R ＋R ＋R ＝⎝⎛⎭⎪⎫2＋263R .。

旋转体的结构特征(圆柱、圆锥、圆台、球)(课堂PPT)

AA’’
叫做圆柱的侧面。
母
（4）无论旋转到什么位置,不垂直于轴线
的边都叫做圆柱的母线。
O’ B’
A
O
B
矩形
轴侧面底面
3
2.圆柱的表示：用表示它的轴的字母表示，如圆柱OO1。
3.圆柱与棱柱统称为柱体。
O
柱
体
棱柱圆柱
侧
面
O1
母线
轴
底面
4
二、圆锥的结构特征 1.定义：以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴，
1.1.6旋转体的结构特征
——圆柱、圆锥、圆台、球
1
旋转一周。。。
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆
圆柱
圆锥
圆台
球
2
一、圆柱的结构特征
圆柱O定1义：以矩形的一边所在直线为旋转轴，
其余三边旋转形成的曲面所围成的旋转体叫做圆柱。
（1）旋转轴叫做圆柱的轴。
（2）垂直于轴的边旋转而成的圆面叫
O
做圆柱的底面。
（3）平行于轴的边旋转而成的曲面
B
O
E
O
16 C
题型一、旋转体的概念
例下列叙述中正确的是____③____．(填序号)
①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥； ②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台； ③圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台； ④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．
[解题过程] ①中以直角三角形的直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥，以斜边为轴旋转所得的旋转体是两个圆锥的组合体．故①不正确． ②中以直角梯形中垂直于底边的腰为轴旋转所得的旋转体是圆台，以不垂直底边的腰为轴旋转所得的旋转体是圆柱和圆锥的组合体，故②不正确． ③正确．

圆柱、圆锥、圆台、圆

矩形
O
(3)平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面. (4)无论旋转到什么位置,不垂直于轴的边都叫做圆柱的母线.
A’
O
B’
A
O1
B
侧面轴
母线底面
2、圆柱的表示法：用表示它的轴的字母表示，如圆柱OO1.
二、圆锥的结构特征:
S
S
直角三角形
O A
1、定义:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转而成的面所围成的旋转体叫做圆锥.
柱、锥、台体的关系棱柱、棱锥、棱台之间有什么关系？圆柱、圆锥、圆台之间呢？柱、锥、台体之间有什么关系？
上底扩大上底缩小
柱
台
锥
体
上底扩大
体
上底缩小
体
旋转体
例1 将下列平面图形绕直线AB旋转一周，所得的几何体分别是什么？
B B B A 图3
A
A 图1
图2
BAC 45 例2 如图，AB为圆弧BC所在圆的直径， . 将这个平面图形绕直线AB旋转一周，得到一个组合体，试说明这个组合体的结构特征.
线是圆柱的母线．
（
）
（2）圆台所有的轴截面是全等的等腰梯形．（）
（3）与圆锥的轴平行的截面是等腰三角形．（）
多面体
旋转体
简单几何体
旋转体多面体
球
圆柱
圆锥
圆台
棱柱
棱锥
棱台
几何体的分类
柱体
锥体
台体
球
简单几何体的结构特征
柱体棱柱圆柱
锥体
台体棱台圆台
球
棱锥圆锥
台体与锥体的关系圆台和棱台统称为台体．它们是由平行与底面的平面截锥体，得到的底面和截面之间的部分．

圆柱圆锥圆台球的表面积和体积

圆柱圆锥圆台球的表面积和体积圆柱、圆锥、圆台、球是我们数学中经常遇到的几何图形，它们的表面积和体积也是我们需要掌握的基本概念。

下面我们来分别介绍它们的表面积和体积。

一、圆柱圆柱是由一个圆形和一个平行于圆底的矩形组成的几何体。

它的表面积包括圆底面积、侧面积和顶面积三部分。

其中，圆底面积为πr²，侧面积为2πrh，顶面积同圆底面积为πr²。

因此，圆柱的表面积为2πr²+2πrh。

圆柱的体积为底面积乘以高，即V=πr²h。

二、圆锥圆锥是由一个圆锥形底面和一个顶点连通而成的几何体。

它的表面积包括锥底面积、侧面积和母线长度三部分。

其中，锥底面积为πr²，母线长度为l=√(h²+r²)，侧面积为πrl。

因此，圆锥的表面积为πr²+πrl。

圆锥的体积为底面积乘以高再除以3，即V=πr²h/3。

三、圆台圆台是由一个圆形底面和一个上方与底面平行的圆环面连通而成的几何体。

它的表面积包括圆底面积、圆环侧面积和上底面积三部分。

其中，圆底面积为πr₁²，上底面积为πr₂²，圆环侧面积为π(r₁+r₂)l，其中l为斜高。

因此，圆台的表面积为πr₁²+πr₂²+π(r₁+r₂)l。

圆台的体积为底面积乘以高再除以3，即V=(πr₁²+πr₂²+πr₁r₂)h/3。

四、球球是由一个圆形转动一周形成的几何体，它的表面积和体积是所有几何体中最容易计算的。

球的表面积为4πr²，球的体积为4/3πr³。

圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积都是由其底面积和高或半径计算得出的。

通过学习和掌握这些几何体的公式，我们可以更好地理解和运用它们在实际生活中的应用。

1.1.3 圆柱、圆锥、圆台和球

组合体
简单组合体
日常生活中我们常用到的日用品，比如：消毒液、暖瓶、洗洁精等的主要几何结构特征是什么？由柱、锥、台、球组成了一些简单的组合体．认识它们的结构特征要注意整体与部分的关系．
圆柱
圆台
圆柱
简单组合体
走在街上会看到一些物体，它们的主要几何结构特征是什么？
简单组合体
一些螺母、带盖螺母又是有什么主要的几何结构特征呢？
90° 60° 66.5°北极圈
40°
20° 30° 0° 20° 40° 60° 90° 60° 90° 120° 150° 赤道 23.5° 南回归线 23.5° 北回归线
南极圈 66.5°
P地的纬度就是经过 P点的球半径和赤道平面所成的线面角 ∠POA的度数
北极
G
r R
P
O
A
南极
球面离
简单组合体
蒙古大草原上遍布蒙古包，那么蒙古包的主要几何结构特征是什么？
简单组合体
居民的住宅又有什么主要几何结构特征？
简单组合体
下图是著名的中央电视塔和天坛，你能说说它们的主要几何结构特征吗？
你能从旋转体的概念说说它们是由什么图形旋转而成的吗？
旋转体
你能想象这条曲线绕轴旋转而成的几何图形吗？
O S
O
2、表示：如圆锥SO。
圆台
O1 O
用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分是圆台.
思考：圆柱、圆锥和圆台都是旋转体，当底面发生变化时，它们能否互相转化？
上底扩大上底缩小
思考：圆柱、圆锥、圆台过轴的截面分别是什么图形？
例1. 用一个平行圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1：4，截去的圆锥的母线长是3cm,求圆台的母线长。

圆柱、圆锥、圆台和球

12345
课堂小结
KE TANG XIAO JIE
1.知识清单： (1)圆柱、圆锥、圆台的结构特征. (2)球的结构特征. (3)复杂空间图形的结构特征. 2.方法归纳：分类讨论、转化与化归. 3.常见误区：同一平面图形以不同的轴旋转形成的旋转体一般是不同的.
4 课时对点练
PART FOUR
基础巩固
√B.圆锥的顶点、底面圆的圆心与圆锥底面圆周上任意一点这三点的连线都
可以构成直角三角形 C.在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
√D.圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的
解析由圆柱、圆锥、圆台的定义及母线的性质可知BD正确，AC错误.
二、复杂的空间图形的结构特征
例2 请描述如图所示的空间图形是如何形成的.
知识点二球
球
定义
相关概念
图形及表示
半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周所形成球心：半圆的圆心，球的曲面叫作球面，球面半径：半圆的半径，围成的空间图形叫作球直径：半圆的_直__径__
如图可记作：球O 体，简称球
知识点三旋转面与旋转体
一条平面曲线绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面，封闭的旋转面围成的空间图形称为旋转体 .圆柱、圆锥、圆台和球都是特殊的旋转体.
反思感悟
(1)判断简单旋转体结构特征的方法 ①明确由哪个平面图形旋转而成； ②明确旋转轴是哪条直线. (2)简单旋转体的轴截面及其应用 ①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量； ②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想.
跟踪训练1 (多选)下列说法，正确的是 A.圆柱的母线与它的轴可以不平行

《简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台》知识清单

《简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台》知识清单
知识点1 旋转体
一条平面曲线(包括直线)绕它所在平面内的一条①_________旋转所形成的曲面叫做旋转面,封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
知识点2圆柱、圆锥、圆台、球
记作：圆柱O'O
记作：圆锥SO
记作：圆台O'O
记作：球O
【答案】
①定直线②矩形③直角边④平行于圆锥底面⑤直径
【知识辨析】判断正误, 正确的画“√”, 错误的画“×”.
1.圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面,圆锥的轴截面是等腰三角形,圆台的轴截面是等腰梯形.( )
2.圆台上底面圆周上任意一点与下底面圆周上任意一点的连线都是圆台的母线.( )
【答案】
1.√
2.×经过圆台的轴的平面截圆台得到的等腰梯形的腰才是圆台的母线.如图,
PP
1是母线,而PB不是母线.。

1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球解读

o′
o
圆台的性质: 1、圆台的母线长都相等. 2、平行于底面的截面都是圆. 3、圆台的轴通过两底面圆的圆心,并且与底面垂直. 4、轴截面(经过圆台轴的平面截圆台所得的截面)是全等的等腰梯形,腰长就是母线长.
例1 .用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是 1 ：4，截去的圆锥的母线长是3cm，求圆台的母线长.
圆锥的性质:
①圆锥的轴通过底面圆的圆心,并且与底面垂直. ②圆锥的母线长都相等.
③平行于底面的截面都是圆. ④轴截面(经过圆锥轴的平面截圆锥所得的截面)是全等的等腰三角形. ⑤圆锥的侧面展开图是扇形,底面圆周长与母线长分别对应扇形的弧长和半径.
知识探究（三）：圆台的结构特征
思考1:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，截面与底面之间的部分叫做圆台.圆台可以由什么平面图形旋转而形成？
顶点
轴母线
底面
侧面
母线
旋转轴叫做圆锥的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆锥的底面，斜边旋转而成的曲面叫做圆锥的侧面，斜边在旋转中的任何位置叫做圆锥侧面的母线.
思考3：经过圆锥任意两条母线的截面是什么图形？
思考4：经过圆锥的轴的截面称为轴截面，你能说出圆锥的轴截面有哪些基本特征吗？
以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体.
思考2：在圆柱的形成中，旋转轴叫做圆柱的轴，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面，平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面，平行于轴的边在旋转中的任何位置叫做圆柱侧面的母线. 你能结合图形正确理解这些概念吗？轴侧面
h
h
l
l
(l 3 (5 1) 5)
问题：

1.1.3圆柱、圆锥、圆台和球1

五.旋转体的概念由一个平面图形绕着一条直线旋转产生旋转体, 的曲面所围成的几何体叫做旋转体的曲面所围成的几何体叫做旋转体,这条直线叫做旋转体的轴直线叫做旋转体的轴.比如常见的旋转体圆柱,圆锥,圆台和球. 有圆柱,圆锥,圆台和球.
六.组合体由柱, 由柱,锥,台,球等基本几何体组合而成的几何体称为组合体.组合体可以通过成的几何体称为组合体. 把它们分解为一些基本几何体来研究
h
h
l
l
(l = 3 + (5 1) = 5)
2 2
例2. 我国首都北京靠近北纬40度. 我国首都北京靠近北纬40度求北纬40度纬线的长度约为多少千米求北纬40度纬线的长度约为多少千米 (地球半径约为6370千米)? 地球半径约为6370千米千米)
解:如图,设A是北纬40°圈上一点, 是北纬40°圈上一点, 如图, AK是它的半径,所以 OK⊥AK, AK是它的半径, OK⊥AK, 是它的半径设c是北纬40°的纬线长, 是北纬40°的纬线长, 因为∠AOK= OAK=40° 因为∠AOK=∠OAK=40°, 所以 c=2πAK=2πOAcos∠OAK =2πAK=2πOAcos∠ =2π OAcos40° =2πOAcos40° ≈2×3.1416×6370× ≈2×3.1416×6370×0.7660 ≈3.066×104(km), ≈3.066×104(km), 即北纬40°的纬线长约为3.066× 即北纬40°的纬线长约为3.066×104km.
上底面侧面
母线母线轴
下底面
3.圆台的表示方法:用表示它的轴的字圆台的表示方法: 母表示,如圆台OO' 母表示,如圆台OO'.
4.圆台具有以下性质: 圆台具有以下性质: 圆台的底面是两个半径不等的圆, 底面是两个半径不等的圆 (1)圆台的底面是两个半径不等的圆,两圆所在的平面互相平行又都和轴垂直; 所在的平面互相平行又都和轴垂直; 平行于底面的截面是圆截面是圆; (2)平行于底面的截面是圆; 通过轴的各个截面是轴截面轴截面, (3)通过轴的各个截面是轴截面,各轴截面是全等的等腰梯形是全等的等腰梯形; 等腰梯形; 任意两条母线它们延长后会相交母线( 延长后会相交) (4)任意两条母线(它们延长后会相交)确定的平面,截圆台所得的截面是等腰梯形; 定的平面,截圆台所得的截面是等腰梯形; 母线都相等,各母线延长后都相交于一 (5)母线都相等,各母线延长后都相交于一点.

圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

8． 3.2 圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积学习指导核心素养1.知道圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积公式．2.能用表面积和体积公式解决简单的实际问题．直观想象、数学运算：利用公式计算圆柱、圆锥、圆台、球的表面积与体积．[学生用书P75]1．圆柱、圆锥、圆台的表面积圆柱底面积：S 底＝πr 2侧面积：S 侧＝2πrl 表面积：S ＝2πr (r ＋l ) 圆锥底面积：S 底＝πr 2侧面积：S 侧＝πrl 表面积：S ＝πr (r ＋l ) 圆台上底面面积：S 上底＝πr ′2 下底面面积：S 下底＝πr 2侧面积：S 侧＝πl (r ＋r ′)表面积： S ＝π(r ′2＋r 2＋r ′l ＋rl )2.圆柱、圆锥、圆台的体积 V 圆柱＝πr 2h (r 是底面半径，h 是高)， V 圆锥＝13πr 2h (r 是底面半径，h 是高)，V 圆台＝13 πh (r ′2＋r ′r ＋r 2)(r ′，r 分别是上、下底面半径，h 是高).3．球的表面积和体积表面积：S ＝4πR 2．体积：V ＝43πR 3．1．圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式之间有什么关系？提示：S 圆柱侧＝2πrl ――→r ′＝rS 圆台侧＝π(r ′＋r )l ――→r ′＝0S 圆锥侧＝πrl . 2．球面能展开成平面图形吗？提示：不能展开成平面图形．1．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)圆柱的侧面面积等于底面面积与高的积．( )(2)圆柱、圆锥、圆台的展开图分别是一个矩形、扇形、扇环．( ) (3)决定球的大小的因素是球的半径．( )(4)球面被经过球心的平面截得的圆的半径等于球的半径．( ) 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)√2．若圆锥的底面半径为3 ，高为1，则圆锥的体积为( ) A ．π3B ．π2C ．πD ．2π答案：C3．若一个球的直径为 2，则此球的表面积为( ) A ．2π B ．16π C ．8π D ．4π解析：选D ．因为球的直径为 2，所以球的半径为 1，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝4π.4．圆柱的侧面展开图是长 12 cm ，宽 8 cm 的矩形，则这个圆柱的体积为( ) A ．288π cm 3B ．192πcm 3C ．288π cm 3或192π cm 3D ．192π cm 3解析：选 C ．当圆柱的高为 8 cm 时， V ＝π×⎝⎛⎭⎫122π 2×8＝288π (cm 3)，当圆柱的高为 12 cm 时，V ＝π×⎝⎛⎭⎫82π 2×12＝192π(cm 3). [学生用书P75]探究点1 圆柱、圆锥、圆台的表面积 [问题探究]求圆柱、圆锥、圆台的表面积时，关键是什么？探究感悟：求圆柱、圆锥的表面积时，关键是求其母线长与底面的半径；求圆台的表面积时，关键是求其母线长与上、下底面的半径．(1)若圆锥的高为3，底面半径为4，则此圆锥的表面积为( ) A ．40π B ．36π C ．26πD ．20π(2)圆台的上、下底面半径和高的比为1∶4∶4，若母线长为10，则圆台的表面积为( ) A ．81π B ．100π C ．168πD ．169π【解析】 (1)圆锥的母线l ＝32＋42 ＝5，所以圆锥的表面积为π×42＋π×4×5＝36π.故选B.(2)圆台的轴截面如图所示，设上底面半径为r ，下底面半径为R ，则它的母线长为l ＝h 2＋（R －r ）2 ＝（4r ）2＋（3r ）2 ＝5r ＝10，所以r ＝2，R ＝8.故S 侧＝π(R ＋r )l ＝π×(8＋2)×10＝100π，S 表＝S 侧＋πr 2＋πR 2＝100π＋4π＋64π＝168π.故选C.【答案】 (1)B (2)C圆柱、圆锥、圆台的表面积的求解步骤解决圆柱、圆锥、圆台的表面积问题，要利用好旋转体的轴截面及侧面展开图，借助于平面几何知识，求得所需几何要素，代入公式求解即可，基本步骤如下：(1)得到空间几何体的展开图； (2)依次求出各个平面图形的面积； (3)将各平面图形的面积相加．1．若一个圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则这个圆柱的侧面积为( ) A ．9π B ．12π C ．272πD ．454π解析：选A.由于圆柱的轴截面是面积为9的正方形，则h ＝2r ＝3，所以圆柱的侧面积为2πr ·h ＝9π.2.如图，已知直角梯形ABCD ，BC ∥AD ，∠ABC ＝90°，AB ＝5，BC ＝16，AD ＝4，求以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体的表面积．解：以BC 所在直线为轴旋转一周所得几何体是圆柱和圆锥的组合体，如图．其中圆锥的高为16－4＝12，圆柱的母线长为AD ＝4，圆锥的母线长CD ＝13，故该几何体的表面积为2π×5×4＋π×52＋π×5×13＝130π.探究点2 圆柱、圆椎、圆台的体积(2021·贵州安顺高二期末)若一个圆锥的侧面展开图是半径为3，圆心角为120°的扇形，求该圆锥的体积．【解】设圆锥底面半径为r ，则由题意得2πr ＝120180·π·3，解得r ＝1.所以底面面积为S ＝πr 2＝π. 又圆锥的高h ＝32－12 ＝22 ，故圆锥的体积V ＝13 Sh ＝13 ×π×22 ＝223π.求圆柱、圆锥、圆台的体积问题，一是要牢记公式，然后观察空间图形的构成，是单一的旋转体，还是组合体；二是注意旋转体的构成，以及圆柱、圆锥、圆台轴截面的性质，从而找出公式中需要的各个量，代入公式计算．1．圆台上、下底面面积分别是π，4π，侧面积是6π，则这个圆台的体积是( ) A ．233 πB ．2 3C ．736πD ．733π解析：选D.S 1＝π，S 2＝4π，所以r ＝1，R ＝2，S 侧＝6π＝π(r ＋R )l ，所以l ＝2，所以h＝3 .所以V ＝13 π(1＋4＋2)×3 ＝733π.故选D.2．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积的比值为( )A ．1B ．12C ．32D ．34解析：选D.设圆柱底面圆半径为R ，圆锥底面圆半径为r ，高都为h ，由已知得2Rh ＝rh ，所以r ＝2R ，所以V 柱∶V 锥＝πR 2h ∶13πr 2h ＝3∶4，故选D.探究点3 球的表面积与体积 [问题探究]用一个平面去截球体，截面是什么形状？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？探究感悟：用一个平面去截球体，截面是圆面．在不过球心的截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示．其关系为R 2＝d 2＋r 2.用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为π，则球的表面积为( ) A ．8π3B ．32π3C ．8πD ．82π3【解析】设球的半径为R ，则截面圆的半径为R 2－1 ，所以截面圆的面积为S ＝π(R 2－1 )2＝(R 2－1)π＝π，所以R 2＝2，所以球的表面积S ＝4πR 2＝8π.故选C. 【答案】 C(1)球的表面积和体积的求解关键因为球的表面积和体积都与球的半径有关，所以在解答这类问题时，设法求出球的半径是解题的关键．(2)球的截面问题的解题技巧①有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的问题． ②解题时要注意借助球半径R 、截面圆半径r 、球心到截面的距离d 构成的直角三角形，即R 2＝d 2＋r 2.1．(2021·江苏徐州高一期中)一个球的表面积是16π，那么这个球的体积为( ) A ．163 πB ．323 πC ．643πD ．2563π解析：选B.设这个球的半径为R ，则4πR 2＝16π，解得R ＝2，所以这个球的体积V ＝43 πR 3＝323π.故选B. 2．两个球的半径相差 1，表面积之差为 28π，则它们的体积之和为________．解析：设大、小两球半径分别为 R ，r ，则⎩⎪⎨⎪⎧R －r ＝1，4πR 2－4πr 2＝28π，所以⎩⎪⎨⎪⎧R ＝4，r ＝3.所以体积之和为 43 πR 3＋43 πr 3＝364π3 .答案：364π3探究点4 与球有关的切、接问题(1)一个长方体的各个顶点均在同一球的球面上，且一个顶点上的三条棱的长分别为 1，2，3，则此球的表面积为________．(2)如图，在圆柱O 1O 2内有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O 1O 2的体积为V 1，球O 的体积为V 2，则V 1V 2的值是________．【解析】 (1)长方体外接球直径长等于长方体体对角线长，即 2R ＝12＋22＋32 ＝14 ，所以球的表面积 S ＝4πR 2＝14π.(2)设球O 的半径为r ，则圆柱的底面半径为r ，高为2r ，所以V 1V 2 ＝πr 2·2r 43πr 3 ＝32.【答案】 (1)14π (2)32(1)常见几何体与球的切、接问题的解题策略①处理有关几何体外接球或内切球的相关问题时，要注意球心的位置与几何体的关系．一般情况下，由于球的对称性，球心总在特殊位置，比如中心、对角线的中点等．②解决此类问题的实质就是根据几何体的相关数据求球的直径或半径，关键是根据“切点”和“接点”作出轴截面图，把空间问题转化为平面问题来计算．(2)几个常用结论①球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径． ②球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径． ③球与圆柱的底面和侧面均相切，则球的直径等于圆柱的高，也等于圆柱底面圆的直径．将棱长为 2 的正方体木块削成一个体积最大的球，则该球的体积为( )A ．4π3B ．2π3C ．3π2D ．π6解析：选A.由题意知，此球是正方体的内切球，根据其几何特征知，此球的直径与正方体的棱长是相等的，故可得球的直径为 2，故半径为 1，其体积是43 ×π×13＝4π3.[学生用书P77]1．已知圆柱的底面半径r ＝1，母线长l 与底面的直径相等，则该圆柱的表面积为( ) A ．6π B ．8π C ．9πD ．10π解析：选A.因为圆柱的表面积为2πr 2＋2πrl ，r ＝1，l ＝2，所以圆柱的表面积为6π.故选A.2．若球的大圆面积扩大为原来的2倍，球的体积扩大为原来的( ) A ．8倍 B ．4倍 C ．22 倍D ．2倍解析：选C.球的大圆面积扩大为原来的2倍，则球的半径扩大为原来的2 倍，所以球的体积扩大为原来的22 倍．3．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为 a ，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为( )A ．πa 2B ．73 πa 2C ．113πa 2D ．5πa 2解析：选B.由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为 a ．如图，P 为三棱柱上底面的中心，O 为球心，易知 AP ＝23 ×32 a ＝33 a ，OP ＝12a ，所以球的半径 R ＝ OA 满足R 2＝⎝⎛⎭⎫33a 2 ＋⎝⎛⎭⎫12a 2＝712 a 2，故 S 球＝4πR 2＝73 πa 2.4．已知圆台上、下底面半径分别为1，2，高为3，则圆台的体积为__________．解析：由公式知V 圆台＝13 π(1＋2＋4)×3＝7π.答案：7π5．如图所示，在边长为4的正三角形ABC 中，E ，F 分别是AB ，AC 的中点，AD ⊥BC ，EH ⊥BC ，FG ⊥BC ，D ，H ，G 为垂足，若将正三角形ABC 绕AD 旋转180°，求阴影部分形成的几何体的体积．解：由题意知，旋转后几何体是一个圆锥，从下面挖去一个圆柱，且圆锥的底面半径为2，高为23 ，圆柱的底面半径为1，高为3 .所求旋转体的体积为大圆锥的体积减去里面小圆柱的体积，即V 旋转体＝13 ×π×22×23 －π×12×3 ＝533 π，故所求旋转体的体积为533π. [学生用书P217(单独成册)][A 基础达标]1．在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，AC ＝5，现以AB 所在直线为轴旋转一周，则所得几何体的表面积为( )A ．24πB ．21πC ．33πD ．39π解析：选A.因为在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝3，AC ＝5，所以△ABC 是以∠B 为直角的直角三角形，故以AB 所在直线为轴旋转一周得到的几何体为圆锥，所以圆锥的底面半径为3，母线长为5，所以底面周长为6π，侧面积为12 ×6π×5＝15π，所以几何体的表面积为15π＋π×32＝24π.故选A.2．两个球的体积之比为8∶27，那么这两个球的表面积之比为( ) A ．2∶3 B ．4∶9 C ．2 ∶3D ．8 ∶27解析：选B.设两个球的半径分别为r ，R ，则⎝⎛⎭⎫43πr 3 ∶⎝⎛⎭⎫43πR 3 ＝r 3∶R 3＝8∶27，所以r ∶R ＝2∶3，所以S 1∶S 2＝r 2∶R 2＝4∶9.3．(多选)如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径2R 相等，则下列结论正确的是( )A ．圆柱的侧面积为2πR 2B ．圆锥的侧面积为2πR 2C ．圆柱的侧面积与球面面积相等D ．圆柱、圆锥、球的体积之比为3∶1∶2解析：选CD.依题意得球的半径为R ，则圆柱的侧面积为2πR ×2R ＝4πR 2，所以A 错误；圆锥的侧面积为πR ×5 ·R ＝5 πR 2，所以B 错误；球面面积为4πR 2，因为圆柱的侧面积为4πR 2，所以C 正确；因为V 圆柱＝πR 2·2R ＝2πR 3，V 圆锥＝13 πR 2·2R ＝23 πR 3，V 球＝43 πR 3，所以V 圆柱∶V 圆锥∶V 球＝2πR 3∶23 πR 3∶43πR 3＝3∶1∶2，所以D 正确．故选CD.4．将半径为R 的半圆卷成一个圆锥，则它的体积是( ) A ．524 πR 3 B ．58 πR 3 C ．324πR 3 D ．38πR 3 解析：选C.设圆锥的底面半径为r ，则2πr ＝πR ，所以r ＝R2 .所以圆锥的高h ＝R 2－r 2 ＝32R . 所以圆锥的体积V ＝13 πr 2×h ＝13 π(R 2 )2×32 R ＝324πR 3.故选C.5．若两球的体积之和是 12π，经过两球球心的截面圆周长之和为 6π，则两球的半径之差为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选 A ．设两球的半径分别为 R ，r (R >r )，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4π3R 3＋4π3r 3＝12π，2πR ＋2πr ＝6π，解得⎩⎪⎨⎪⎧R ＝2，r ＝1.故 R －r ＝1. 6．一个高为2的圆柱，底面周长为2π，该圆柱的表面积为________.解析：由底面周长为2π可得底面半径为1.S 底＝πr 2＝π，S 侧＝2πr ·h ＝4π，所以S 表＝2S底＋S 侧＝6π.答案：6π7．表面积为3π的圆锥，它的侧面展开图是一个半圆，则该圆锥的底面直径为________．解析：设圆锥的母线为l ，圆锥底面半径为r ，由题意可知，πrl ＋πr 2＝3π，且πl ＝2πr .解得r ＝1，即圆锥的底面直径为2.答案：28.圆柱形容器内盛有高度为8 cm 的水，若放入三个相同的铁球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的铁球(如图所示)，则铁球的半径是________cm.解析：设铁球的半径为x cm ，由题意得πx 2×8＝πx 2×6x －43 πx 3×3，解得x ＝4.答案：49．某组合体的直观图如图所示，它的中间为圆柱形，左右两端均为半球形，若图中r ＝1，l ＝3，试求该组合体的表面积和体积．解：该组合体的表面积S ＝4πr 2＋2πrl ＝4π×12＋2π×1×3＝10π，该组合体的体积V ＝43 πr 3＋πr 2l ＝43 π×13＋π×12×3＝13π3.10．已知一个圆锥的底面半径为R ，高为H ，在其内部有一个高为x 的内接圆柱． (1)求圆柱的侧面积；(2)x 为何值时，圆柱的侧面积最大？解：(1)作圆锥的轴截面，如图所示．因为rR ＝H －x H，所以r ＝R －RH x ，所以S 圆柱侧＝2πrx ＝2πRx －2πR Hx 2(0<x <H ). (2)因为－2πRH<0，所以当x ＝2πR 4πR H＝H2 时，S 圆柱侧最大．故当x ＝H2时，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．[B 能力提升]11．一个球与一个正三棱柱的三个侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为323 π，那么这个正三棱柱的体积是( )A ．963B ．163C ．243D ．483解析：选D.由题意可知正三棱柱的高等于球的直径，从棱柱中间平行棱柱底面截得球的大圆内切于正三角形，正三角形与棱柱底面三角形全等，设三角形边长为a ，球半径为r ，由V 球＝43 πr 3＝323 π，得r ＝2.由S 柱底＝12 a ×r ×3＝34 a 2，得a ＝23 r ＝43 ，所以V 柱＝S柱底·2r ＝483 .12．如图，一个盛满溶液的玻璃杯，其形状为一个倒置的圆锥，现放一个球状物体完全浸没于杯中，球面与圆锥侧面相切，且与玻璃杯口所在平面相切，则溢出溶液的体积为( )A ．8327 πB ．4327 πC ．16327πD ．32327π解析：选D.由题意，设球的半径为r ，作出玻璃杯的轴截面，可得一个半径为r 的圆内切于一个边长为4的等边三角形，此等边三角形的高h ＝23 .根据中心(重心)的性质可得，球的半径r ＝13 h ＝233 ，所以球的体积V ＝43 πr 3＝43 π×⎝⎛⎭⎫233 3 ＝32327 π.即溢出溶液的体积为32327π，故选D.13.(多选)如图所示，△ABC 的三边长分别是AC ＝3，BC ＝4，AB ＝5，过点C 作CD ⊥AB ，垂足为D ，下列说法正确的是( )A ．以BC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为15πB ．以BC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为36π C ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的侧面积为25πD ．以AC 所在直线为轴，将此三角形旋转一周，所得旋转体的体积为16π解析：选AD.以BC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为3，母线长为5，高为4的圆锥，所以侧面积为π×3×5＝15π，体积为13 ×π×32×4＝12π，所以A 正确，B 错误；以AC 所在直线为轴旋转时，所得旋转体为底面半径为4，母线长为5，高为3的圆锥，侧面积为π×4×5＝20π，体积为13×π×42×3＝16π，所以C 错误；D 正确．故选AD.14．在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，AB ＝BC ＝2，过A 1，C 1，B 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体ABCD -A 1C 1D 1，这个几何体的体积为403.(1)求棱AA 1的长；(2)求经过A 1，C 1，B ，D 四点的球的表面积和体积．解：(1)设AA 1＝x ，依题意可得403 ＝2×2·x －13 ×12 ×2×2·x ，解得x ＝4，故棱AA 1的长为4.(2)依题意可知，经过A 1，C 1，B ，D 四点的球就是长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1的外接球，这个球的直径就是长方体的体对角线，所以球的直径2R ＝22＋22＋42 ＝26 ，解得R ＝6 .故所求球的表面积为4πR 2＝24π，体积为43·πR 3＝86 π.[C 拓展探究]15．如图，用一边长为2 的正方形硬纸，按各边中点垂直折起4个小三角形，做成一个“底座”，将体积为4π3 的球放入其中，“底座”形状保持不变，则球的最高点与“底座”底面的距离为( )A ．62 ＋32 B ．32C ．22 ＋32D ．32 ＋32解析：选D.由题意，可得“底座”的底面是边长为1的正方形，则经过4个小三角形的顶点截球所得的截面圆的直径为1.因为球的体积为4π3 ，所以球的半径为1，所以球心到截面圆的距离为1－⎝⎛⎭⎫122 ＝32 ，因为垂直折起的4个小直角三角形斜边上的高为12，所以球的最高点与“底座”底面的距离为32 ＋1＋12 ＝32 ＋32.故选D. 16.如图，四边形ABCD 是正方形，BD ︵是以 A 为圆心、AB 为半径的弧，将正方形 ABCD 以 AB 为轴旋转一周，求图中 Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 三部分经旋转所得几何体的体积之比．解：Ⅰ生成圆锥，Ⅱ生成的是半球去掉Ⅰ生成的圆锥，Ⅲ生成的是圆柱去掉扇形 ABD 生成的半球.设正方形的边长为 a ，则Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ 三部分经旋转所得几何体的体积分别为 V Ⅰ，V Ⅱ，V Ⅲ，则 V Ⅰ＝13 πa 3，V Ⅱ＝12 ×43 πa 3－13 πa 3＝13 πa 3，V Ⅲ＝πa 3－12 ×43 πa 3＝13πa 3.所以三部分经旋转所得几何体的体积之比为1∶1∶1.。

圆柱、圆锥、圆台、球—高中数学湘教版(2019)必修二

(1)(2)
截挖型
由简单几何体截去或挖去一部分而成
(3)(4)
微练习
如图,第一排中的图形绕虚线旋转一周,能形成第二排中的某个几何体,请
把第一、第二排中相应的图形用线连起来.
答案 ①—C
③—D
②—B
④—A
探究一
旋转体的结构特征
例1(多选面都是矩形
B.以等腰三角形的底边上的高线所在的直线为旋转轴,其余各边旋转一周
球中的计算问题
例4(1)平面α截球O所得截面圆的半径为1,球心O到平面α的距离为 2,则此
球的半径为
.
(2)若球的半径为R,则球的内接正方体的棱长是
.
答案 (1) 3
2 3
(2) R
3
解析 (1)如图,设截面圆的圆心为 O',M 为圆 O'上任一点.
由题意得 OO'= 2,O'M=1,
2
∴OM= ( 2) + 1 = 3.即球的半径为 3.
侧面展开图为扇形,这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长,所以选项D
不正确,很明显选项A正确.
微判断
(1)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面.(
)
(2)用平面去截圆柱,会得到一个圆柱和一个圆台.(
)
(3)用一个平面截圆锥,截得的两部分分别是圆锥和圆台.(
答案 (1)√
(2)×
(3)×
)
知识点四:球
球
图形及表示
当堂检测
1.正方形绕其一条对角线所在直线旋转一周,所得几何体是(
A.圆柱 B.圆锥
C.圆台 D.两个共底面的圆锥
答案 D
)
2.下列说法正确的是(
)
A.将正方形旋转不可能形成圆柱

圆柱、圆锥、圆台、球的表面积和体积

(二)基本知能小试
1．判断正误
(1)圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图的面积就是它们的表面
积．
()
(2)圆锥、圆台的侧面展开图中的所有弧线都与相应底面的
周长有关．
()
答案：(1)× (2)√
2．已知一个圆柱的侧面展开图是一个正方形，则这个圆柱的
表面积与侧面积的比值是
()
1＋2π A. 2π
1＋4π B. 4π
题型三球的表面积和体积
[学透用活]
[典例 3] (1)设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都
为 a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为 ( )
A．πa2
B.73πa2
C.131πa2
D．5πa2
(2)若球的一个内接圆锥满足：球心到该圆锥底面的距离是
球半径的一半，则该圆锥的体积和此球体积的比值为
解：设圆锥的底面半径为 R，圆柱的底面半径为 r，表面积为 S.则 R＝OC＝2，AC＝4，AO＝ 42－22＝2 3. 如图所示，易知△AEB∽△AOC，∴AAOE＝OEBC，即2 33＝2r，∴ r＝1. ∴S 底＝2πr2＝2π，S 侧＝2πr·h＝2 3π. ∴S＝S 底＋S 侧＝2π＋2 3π＝(2＋2 3)π.
[对点练清] 1．[圆柱的侧面积]一个圆柱的底面面积是 S，其侧面积展开图
是正方形，那么该圆柱的侧面积为_________．解析：设圆柱的底面半径为 R，
则 S＝πR2，R＝ Sπ，底面周长 c＝2πR. 故圆柱的侧面积为 S 圆柱侧＝c2＝(2πR)2＝4π2·Sπ＝4πS. 答案：4πS
2.[圆锥的表面积]如图，在底面半径为 2，母线长为 4 的圆锥中内接一个高为 3的圆柱，求圆柱的表面积．

§37 圆柱圆台圆锥及球体

预习：三视图
1.圆柱：参课本P: 5
轴侧面
母线
母线
底面
一、有关概念:
2.圆锥：参课本P: 5
圆锥的轴侧面母线底面
一、有关概念:
பைடு நூலகம்
3.圆台：参课本P: 5
上底面侧面
母线
母线轴
下底面
注：圆台的定义，也可类似棱台的“平截”定义法
圆锥
════════════﹥
“平”截补法
﹤════════════
圆台
一、有关概念: 4.球体：参课本P: 6
注1：球体与球面的区分：球面被经过球心的平面截得的圆叫做球的大圆，注2：大圆与小圆的区分：球面被不经过球心的平面截得的圆叫做球的小圆注3：球面距离：经过球面上两点的大圆在这两点间的一段劣弧的长度
B
O
A
二、表述方法

文字语言符号语言
图象语言
直观图三视图
正四面体的外接球
正四面体的旁切球
正四面体的一些说明：
①正四面体的概念 ②正四面体与正三棱锥的区分
正四面体是正三棱锥的特例.
正四面体的4个面都是正三角形. 正三棱锥的底面是正三角形,侧面是等腰三角形.
③正四面体与正方体的关联
正四面体的问题通过“补” 法，可回归到正方体上来.
作业：资料P:115 Ex1 Ex5
θ线线 θ线面 θ面面

直观图
三视图

几何法
向量法
七种距离两大类

空间距离 d球面平面距离

d点点 d点线
d点面 d线线 d线面 d面面
平行垂直角距离柱锥台球面体积三角两图两方法七种距离两大类

必修2- 圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征

（2）圆柱、圆锥、圆台和球分别是矩形、直角三角形、直角梯形和半圆绕指定的直线旋转而生成的，当轴不同时所生成的几何体有很大差异，要注意这一点.
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圆柱、圆锥、圆台和球应抓住它们是旋转体这一特点，弄清旋转轴、旋转面、轴截面.
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【评析】如果直线与旋转轴平行,那么形成的旋转面是圆柱面,如果直线与旋转轴斜交,那么形成的旋转面是圆锥面,如果一个圆与旋转轴在同一平面内且不相交,那么旋转面是环面.
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如图所示,将曲边图形ABCDEA绕 AE所在的直线旋转一周,由此形成的几何体是由哪些简单的几何体构成的?其中CD∥AE,曲边DE为四分之一的圆周且圆心在AE上.
∴圆台上底面半径为a，下底面半径为2a，两底面面
积之和为5πa2.
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【评析】解决此类问题关键是画好图形，把立体几何问题转化为平面几何问题.
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轴截面为正三角形的圆锥叫做等边圆锥.已知某等边圆锥的轴截面面积为3，求该圆锥的底面半径、高和母线长.
解：如图为等边圆锥的轴截面，设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则在轴截面 △SAB中，有OB=r,SO=h,SB=l,且∠SBO=60°,
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学点一旋转体的概念
画出图1-1-4所示(1),(2),(3)中L围绕l旋转一周形成的空间几何体.
【分析】线运动可以形成平面或曲面,根据L和l的位置关系可以产生不同的曲面.
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【解析】 (1)L与l平行,旋转过程中L上各点与l的距离均相等,产生的曲面是圆柱面,如图1-1-5甲所示. (2)L与l相交,旋转产生的曲面是以L与l的交点为顶点的圆锥面,如图1-1-5乙所示. (3)L是封闭的曲线,绕l旋转产生一个封闭的曲面是环面, 如图1-1-5丙所示.

圆柱、圆锥圆台和球

球心
A
直径
C
O
大圆
B
建构数学
矩形
直角三角形
直角梯形
半圆
圆柱
圆锥
圆台
球
建构数学
轴
底面
母线
圆柱轴底面侧面母线
圆锥旋转前不动的一边所在的直线垂直于轴的边旋转所成的圆面不垂直于轴的边旋转所成的曲面不垂直于轴的边
圆台
圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征比较
结构特征
定义底面侧面展开图两底面是平行且半径相等的圆矩形平行且相等圆扇形两底面平行但半径不相等扇环无
2．下列命题中正确的是（Ａ）
Ａ．以直角三角形的一直角边为轴旋转所得的旋转体是圆锥Ｂ．以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台Ｃ．圆柱、圆锥、圆台都有两个底面Ｄ．圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 3．下面几何体中，过轴的截面一定是圆面的是（Ｃ）
Ａ．圆柱
Ｂ．圆锥
圆柱的结构特征
圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱。
底面轴母线
侧面
圆柱和棱柱统称为柱体。
圆柱用表示它的轴的字母表示。
圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的 A 圆几何体叫做圆锥。
锥的结构特征
1. 下列几个命题中，①两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台．②有两个面互相平行，其余四个面都是等腰梯形的六面体是棱台．③各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体．④分别以矩形两条不等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转，所得到的两个圆柱是两个不同的圆柱．其中正确的有（Ａ）个．Ａ．１Ｂ．２Ｃ．３Ｄ．４

圆柱,圆锥,圆台,球的结构特征

圆柱,圆锥,圆台,球的结构特征圆柱、圆锥、圆台和球作为常见的基本几何体，它们在我们日常生活以及工程建设中都有着很广泛的应用。

下面我们将从它们的结构特征、性质及应用等方面，来一一介绍。

首先，圆柱的结构特征主要表现为：底面为圆形，顶面也为圆形，并且底面和顶面之间的部分是由直线“母线”沿着底面一圈一圈绕而成的。

圆柱的体积公式为V=πr²h，而表面积公式为S=2πrh+2πr²。

其特点是在数值比较大的情况下，其体积和面积都会相对比较大。

其次，圆锥的结构特征主要表现为：底面为圆形，顶点在底面上方，并且从底面至顶点的长度正好是圆锥的高。

圆锥的体积公式为V=1/3πr²h，表面积公式为S=πr（r+√(r²+h²))。

圆锥的特点是其顶点聚焦，靠近锥顶的部分空间比较小，因此在设计制图中应该注意其空间的利用。

再次，圆台的结构特征主要表现为：底面和顶面都是圆形，而其母线是两个圆之间的连接线。

圆台的体积公式为V=1/3πh（r1²+r2²+r1r2）,表面积公式为S=π（r1+r2）√((r1-r2)²+h²)。

圆台的特点是底面和顶面大小相似，但高度相对比较小，因此在工程设计制图中，在保证空间利用的基础上，可根据实际要求，灵活选择底面和顶面的大小。

最后，球的结构特征主要体现为：球体的表面处处与它的内部半径相等，即球体从内到外半径处处相等。

球的体积公式为V=4/3πr³，表面积公式为S=4πr²。

由于球形的几何特征具有对称性和向心性，因此常被应用于建筑物的圆形设计、机械制造中的球面旋转等方面。

在实际生产制造和设计过程中，掌握圆柱、圆锥、圆台和球的结构特征、性质及应用等方面，可更好地发挥其应用价值和优势。

同时，在园艺、建筑设计、机械制造等领域中的当代工程设计和生产制造中，借鉴和应用这些几何体的空间特性，也能够创造出更加美观且实用的产品设计。