第2章习题解b

2-12

体。设外壳脱离主体时相对于主体的速度为0，只有当下一级火箭发动后，才将上一级的外壳甩在后边。求第三级火箭的最终速率；

(2)若把48t 燃料放在12t 的外壳里组成一级火箭，问火箭最终速率是多少。 解: (1) p.50的 (2.10)式可写成

⎰

⎰

=-⇒-=v

v m

m m

m c v v m

dm c dv 0

00ln

对第一级火箭: 3ln 250040

6060ln

2500ln

01=-==m

m c v .

对第二级火箭: 3ln 50003/201010ln

250012=-+=v v .

对第三级火箭:s m v v /6.82393ln 75003

/211

ln

250023==-+=.

(2 )s m v /6.40235ln 250048

6060ln 2500==-=.

2-13 一宇宙飞船以恒速v 在空间飞行，飞行过程中遇到一股微尘粒子流，后者以dm/dt 的

速率沉积在飞船上。尘粒在落到飞船之前的速度为u ，方向与v 相反，在时刻t 飞船的总质量为M (t )，试问：要保持飞船匀速飞行，需要多大的力？ 解: 由动量定理得: ])([)]()([dm u v t M v d v dm t M P P

+-++=-

dt F dm u d v v d t M

=-+≈)()( 两边求导得: F dt

dm

u v dt v

d t M =-+)()

(. ∵要求飞船匀速, 即 0=dt v

d , u v 与的方向相反, 以v 为正向, 则dt

dm

u v F )( -=，

即dt

dm u v F )

(+= 为向前的推力（此式的v 、u 为绝对值）.

2-14 一水平传送带将沙子从一处运送到另一处，沙子经一垂直的静止漏斗落到传送带上，

传送带以恒定速率v 运动着(见本题图)。忽略机件各部位的摩擦。若沙子落到传送带上的速率是dm ／dt ，试问：

(1)要保持传送带以恒定速率v 运动，水平总推力F 多大？

(2)若整个装置是：漏斗中的沙子落进以匀v 在平直光滑轨道上运动的货车里(见本题图b)，以上问题的答案改变吗？

解: (1) 在水平方向上, 由动量定理得:

Fdt vdm mdv mv dv v dm m =+≈-++))((，

两边求导得 dt

dm v

dt

dv m

F +=.

即要求传送带以匀速运动时,水平总推力为 dt

dm v F =(向前)

(2) 光滑水平直轨道上,若没有沙子漏入,则只启动时用力,以后不用力,车子以匀速v 前进.现在沙子进来,也要保持匀速,便需用力了.因为车子越来越重, 用力公式同上； 即沙子持续进来,便要持续施力dt

dm v

F = ,问题的答案不改变.

2-15 一质量为m 的质点在x-y 平面上运动，其位矢为 r = a cos ωt i +b sin ωt j ，求质点受力的

情况。 解: t b y t a x si n , cos ωω== , 轨迹为

12

22

2=+

b

y a

x 的椭圆. 又

j

t b i t a j dt

dy i dt dx v

ωωωωsin sin +-=+=，

r j t b i t a dt v d a

222sin cos ωωωωω-=--==.

质点受力 r m a m f

2ω-==，恒指向原点.

2-16 如本题图所示，一质量为m A 的木块A 放在光滑的水平桌面上，A 上放置质量为m B 的

另一木块B ，A 与B 之间的摩擦系数为μ，现施水平力推A ，问推力至少为多大时才能使A 、B 之间发生相对运动。

解: 对B : 0=-g m N B ,N a m f B B r μ==；得 g m a B B μ=. 对A : A A B r a m g m F f F =-=-μ ,得 A

B A m g

m F a μ-=

.

当B A a a > 时, A,B 之间发生相对运动, 即要求g m m F B A )(+>μ.

2-17 如本题图所示，质量为m 2的三角形木块，放在光滑的水平面上，另一质量为m 1的立

方木块放在斜面上。如果接触面的摩擦可以忽略，两物体的加速度各若干？ 解: 对m 1: ⎩⎨⎧-=-=g m N a m N a m y x 1211211cos si n θθ, 对m 2 : ⎪

⎩⎪

⎨⎧=--==0

cos si n 222122222y y x a g m N N a m N a m θθ

;

又由运动学关系:

211'a a a

-=, x

x y y x y a a a a a a 212111''tan --==

θ, 解得 θtg a a a x x y )(211-=;

代入运算最后得 θθ

θ

c o s s i n N ,s i n N 2

1221222

12211m m g m m g m m m m m +=

++=

;

⎪⎪⎩

⎪

⎪⎨

⎧

+++-=++-=++-=+-=θθθθθθθθθθctg m tg m m gtg m m m m g m m a ctg m tg m m g m m m g m a y x

2212122

12211221221221)()(sin sin )()(sin cos sin ⎪⎩⎪⎨

⎧=++=+=0)(sin cos sin 222112

1212y x a ctg m tg m m g m m m g m a θθθθθ

2-18 在桌上有一质量m 1的木板。板上放一质量为m 2的物体。设板与桌面间的摩擦系数为

μ1，物体与板面间的摩擦系数为μ2，欲将木板从物体下抽出，至少要用多大的力？ 解: ,111N f μ= g m m N )(211+=; ,222N f μ= g m N 22=.

又 2121a m f f F =--, 222a m f =, 且要求 21a a >; 由此得 g m m F ))((2121++>μμ.

2-19 设斜面的倾角θ是可以改变的，而底边不变。求(1)若摩擦系数为μ，写出物体自斜面顶

端从静止滑到底端的时间，与倾角θ 的关系，(2)若斜面倾角θ1= 60︒与θ2 = 45︒时，物体下滑的时间间隔相同，求摩擦系数μ．

解: (1)摩擦力θμμcos mg N f ==,由运动方程ma f mg =-θsin ,得)cos (sin θμθ-=g a .

此外由 2

2

1cos at d S =

=θ

, 可得 21

])

cos (sin cos 2[

θμθθ-=g d

t .

(2) 又由 21

21

])45cos 45(sin 45cos 2[

])

60cos 60(sin 60cos 2[

μμ-=-g d

g d

,

可得 268.0322

14121212

321

45

cos 60cos 45

sin 45cos 60sin 60cos 2

2

=-

=--=

--=

μ

2-20 本题图中各悬挂物体的质量分别为：m 1=3.0kg , m 2=2.0kg , m 3=1.0kg ．求m 1下降的加速

度。忽略悬挂线和滑轮的质量、轴承摩擦和阻力，线不可伸长。 解: 各悬挂物体的运动方程分别为：

1121112a m T g m T g m =-=-, 2222a m T g m =-, 3332a m g m T =-;

运动学关系: 12'a a a -=, 13'a a a +=（其中a ’为m 2 , m 3相对于滑轮的加违度）; 由此可得:

2

3

2321323211/58.01

24)12(3124)12(34)(4)(s m g g m m m m m m m m m m a =⨯⨯⨯++⋅⨯⨯-+⋅=

++-+=

.

2-21 在本题图所示装置中，m 1与m 2及m 2与斜面之间的摩擦系数都为μ，设m 1>m 2，斜面的

倾角θ 可以变动。求θ 至少为多大时m 1、m 2才开始运动。略去滑轮和线的质量及轴承的摩擦，线不可伸长。

解: m 2、m 2和斜面之间的摩擦力分别为

θμμcos 111g m N f ==,θμμcos )(2122g m m N f +==; m 2、m 2的运动方程为 T f g m a m --=111s i n θ,

f f

g m T a m ---=122sin θ.