小波变换及其在图像处理中的典型应用
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b 相当于使镜头相对于 目标平行移动。
a 的作用相当于镜头向 目标推进或远离。
f
b
小波变换的粗略解释
11/108
尺度a较大
距离远 视野宽
由 粗 到 精
尺度a较小
距离近 视野窄
分析 频率低
多分辨 分析
分析 频率高
概貌观察 细节观察
品质因数保持不变
12/108
小波变换的时频分析特点：
小波变换的分析特点 (a) 尺度a不同时时域的变化 (b)尺度a不同时频域的变化
6/108
8.1.2 短时傅里叶变换
7/108
8.1.2 短时傅里叶变换
短时傅里叶变换的分析特点 (a)频率变化的影响 (b) 基本分析单元的特点
8/108
8.1.3 小波变换
小波起源：
1984年Morlet提出;1985年Meyer构造出小波;1988年， Daubechies证明了离散小波的存在;1989年，Mallat提出多分 辨分析和二进小波变换的快速算法;1989年Coifman、 Meyer 引入小波包;1990年崔锦泰等构造出样条单正交小波基;1994 年Sweldens提出二代小波－提升格式小波(Lifting Scheme)。
小波的位移与伸缩
16/108
8.1.5 连续小波变换
设 tL2R，当 ( ) 满足允许条件时：
c
()2d
称 ( t ) 为一个“基小波”或“母小波”。 小波变换的含义是：
把基本小波(母小波)的函数 ( t ) 作位移后，再在不同尺度下与待 分析信号作内积，就可以得到一个小波序列。
17/108
小波定义：
➢ “小”是指在时域具有紧支集或近似紧支集，“波”是指具 有正负交替的波动性，直流分量为0。
➢ 小波概念：是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数。
9/108
波与小波的差异：
持续宽度相同
振荡波
10/108
8.1.4 小波变换的时频分析
用镜头观察目标 f ( t ) (待分析信号)。
( t ) 代表镜头所起的作 用(如滤波或卷积)。
目录
8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的快速实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用
1/108
2/108
8.1.1 傅里叶变换
傅里叶变换：对于时域的常量函数，在频域 将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局 部化性质。
F fxejxdx
傅里叶变换
fx21
Fejxd
反傅里叶变换
3/108
8.1.1 傅里叶变换
时间
x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);%产生50HZ和300HZ的信号 f=x+3.5*randn(1,length(t));%在信号中加入白噪声
4/108
8.1.2 短时傅里叶变换
由于傅立叶变换无法作局部分析，为此，人 们提出了短时傅里叶变换（STFT）的概念，即窗
口傅里叶变换。
短时傅里叶变换将整个时间域分割成一些小 的等时间间隔，然后在每个时间段上用傅里叶分 析，它在一定程度上包含了时间频率信息，但由 于时间间隔不能调整，因而难以检测持续时间很 短、频率很高的脉冲信号的发生时刻。
8.1 从傅里叶变换到小波变换的 时频分析法
8.1.1 傅里叶变换
Fourier变换一直是信号处理领域中应用最广泛、 效果最好的一种分析手段，是时域到频域互相转化的 工具，从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把对原 函数的研究转化为对其傅里叶变换的研究。但是傅里 叶变换只能提供信号在整个时间域上的频率，不能提 供信号在某个局部时间段上的频率信息。
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8.1.2 短时傅里叶变换
基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用 傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间 间隔存在的频率。 STFT的处理方法是对信号施加一个滑动窗(反映滑动 窗的位置)后，再作傅立叶变换。即：
S T F T x( ,)x (t) (t )ej td t
时限 频限
线性 设： xtgtht
W T x a ,b W T g a ,b W T h a ,b
平移不变性
若xt W Txa,b，则 xt W T xa ,b
伸缩共变性
如果 x ( t )
的CWT是 WTx (a, b)
则 x ( t )的CWT是
WTx
(
a
,
b
)
冗余性(自相似性)
由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的
13/108
小波变换的多分辨分析特性：
0
a
a
2a
2a
3a
3a
4a
4
4a
a
不同a值下小波分析区间的变化
不同a值下分析小波频率范围的变化
14/108
小波变换的时频局部特性：
频窗 时窗
15/108
8.1.5 连续小波变换
尺度因子 a 的作用是将基本小波 ( t ) 做伸缩，
a
越大
(t) a
越宽。
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目录
8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的快速实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用
连续情况时，小波序列为：
(基本小波的位移与尺度伸缩)
a,bt1at ab a,bR;a0
其中 a为尺度参量，b为平移参量。
离散的情况，小波序列为 ：
j,kt 2 j2 2 jt k j,k z
18/108
根据容许条件要求，当ω=0时，为使被积函数是有效值，必 须有 ˆ(0) 0 ，所以可得到上式的等价条件为：
ˆ(0) (t)dt0
此式表明 (t) 中不含直流，只含有交流，即具有震荡性，故 称为“波”，为了使(t) 具有局部性，即在有限的区间Hale Waihona Puke Baidu外 很快衰减为零，还必须加上一个衰减条件：
(t)
c
1t
1
,0,c0
19/108
衰减条件要求小波具有局部性，这种局部性称为“小”，所以 称
为小波。
ftL2R
对于任意的函数
的连续小波变换定义为：
w f( a ,b ) R f( t)a ,b ( t) d a t 1 2R f( t) t a b d tf, a ,b
逆变换为： ftC 1RRa12Wfa,bt abdadb
a
b
是尺度因子， 反映位移。
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8.1.6 连续小波的性质
a 的作用相当于镜头向 目标推进或远离。
f
b
小波变换的粗略解释
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尺度a较大
距离远 视野宽
由 粗 到 精
尺度a较小
距离近 视野窄
分析 频率低
多分辨 分析
分析 频率高
概貌观察 细节观察
品质因数保持不变
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小波变换的时频分析特点：
小波变换的分析特点 (a) 尺度a不同时时域的变化 (b)尺度a不同时频域的变化
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8.1.2 短时傅里叶变换
7/108
8.1.2 短时傅里叶变换
短时傅里叶变换的分析特点 (a)频率变化的影响 (b) 基本分析单元的特点
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8.1.3 小波变换
小波起源：
1984年Morlet提出;1985年Meyer构造出小波;1988年， Daubechies证明了离散小波的存在;1989年，Mallat提出多分 辨分析和二进小波变换的快速算法;1989年Coifman、 Meyer 引入小波包;1990年崔锦泰等构造出样条单正交小波基;1994 年Sweldens提出二代小波－提升格式小波(Lifting Scheme)。
小波的位移与伸缩
16/108
8.1.5 连续小波变换
设 tL2R，当 ( ) 满足允许条件时：
c
()2d
称 ( t ) 为一个“基小波”或“母小波”。 小波变换的含义是：
把基本小波(母小波)的函数 ( t ) 作位移后，再在不同尺度下与待 分析信号作内积，就可以得到一个小波序列。
17/108
小波定义：
➢ “小”是指在时域具有紧支集或近似紧支集，“波”是指具 有正负交替的波动性，直流分量为0。
➢ 小波概念：是定义在有限间隔而且其平均值为零的一种函数。
9/108
波与小波的差异：
持续宽度相同
振荡波
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8.1.4 小波变换的时频分析
用镜头观察目标 f ( t ) (待分析信号)。
( t ) 代表镜头所起的作 用(如滤波或卷积)。
目录
8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的快速实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用
1/108
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8.1.1 傅里叶变换
傅里叶变换：对于时域的常量函数，在频域 将表现为冲击函数，表明具有很好的频域局 部化性质。
F fxejxdx
傅里叶变换
fx21
Fejxd
反傅里叶变换
3/108
8.1.1 傅里叶变换
时间
x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);%产生50HZ和300HZ的信号 f=x+3.5*randn(1,length(t));%在信号中加入白噪声
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8.1.2 短时傅里叶变换
由于傅立叶变换无法作局部分析，为此，人 们提出了短时傅里叶变换（STFT）的概念，即窗
口傅里叶变换。
短时傅里叶变换将整个时间域分割成一些小 的等时间间隔，然后在每个时间段上用傅里叶分 析，它在一定程度上包含了时间频率信息，但由 于时间间隔不能调整，因而难以检测持续时间很 短、频率很高的脉冲信号的发生时刻。
8.1 从傅里叶变换到小波变换的 时频分析法
8.1.1 傅里叶变换
Fourier变换一直是信号处理领域中应用最广泛、 效果最好的一种分析手段，是时域到频域互相转化的 工具，从物理意义上讲，傅里叶变换的实质是把对原 函数的研究转化为对其傅里叶变换的研究。但是傅里 叶变换只能提供信号在整个时间域上的频率，不能提 供信号在某个局部时间段上的频率信息。
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8.1.2 短时傅里叶变换
基本思想是：把信号划分成许多小的时间间隔，用 傅立叶变换分析每一个时间间隔，以便确定该时间 间隔存在的频率。 STFT的处理方法是对信号施加一个滑动窗(反映滑动 窗的位置)后，再作傅立叶变换。即：
S T F T x( ,)x (t) (t )ej td t
时限 频限
线性 设： xtgtht
W T x a ,b W T g a ,b W T h a ,b
平移不变性
若xt W Txa,b，则 xt W T xa ,b
伸缩共变性
如果 x ( t )
的CWT是 WTx (a, b)
则 x ( t )的CWT是
WTx
(
a
,
b
)
冗余性(自相似性)
由连续小波变换恢复原信号的重构公式不是唯一的
13/108
小波变换的多分辨分析特性：
0
a
a
2a
2a
3a
3a
4a
4
4a
a
不同a值下小波分析区间的变化
不同a值下分析小波频率范围的变化
14/108
小波变换的时频局部特性：
频窗 时窗
15/108
8.1.5 连续小波变换
尺度因子 a 的作用是将基本小波 ( t ) 做伸缩，
a
越大
(t) a
越宽。
21/108
目录
8.1 从傅里叶变换到小波变换的时频分析法 8.2 小波变换分类 8.3 小波变换的多分辨分析特性 8.4 尺度函数与小波 8.5 小波变换的快速实现 8.6 图像的多分辨分解与重建 8.7 小波变换在图像边缘检测中的应用 8.8 小波变换在图像去噪中的应用 8.9 小波变换在图像融合中的应用
连续情况时，小波序列为：
(基本小波的位移与尺度伸缩)
a,bt1at ab a,bR;a0
其中 a为尺度参量，b为平移参量。
离散的情况，小波序列为 ：
j,kt 2 j2 2 jt k j,k z
18/108
根据容许条件要求，当ω=0时，为使被积函数是有效值，必 须有 ˆ(0) 0 ，所以可得到上式的等价条件为：
ˆ(0) (t)dt0
此式表明 (t) 中不含直流，只含有交流，即具有震荡性，故 称为“波”，为了使(t) 具有局部性，即在有限的区间Hale Waihona Puke Baidu外 很快衰减为零，还必须加上一个衰减条件：
(t)
c
1t
1
,0,c0
19/108
衰减条件要求小波具有局部性，这种局部性称为“小”，所以 称
为小波。
ftL2R
对于任意的函数
的连续小波变换定义为：
w f( a ,b ) R f( t)a ,b ( t) d a t 1 2R f( t) t a b d tf, a ,b
逆变换为： ftC 1RRa12Wfa,bt abdadb
a
b
是尺度因子， 反映位移。
20/108
8.1.6 连续小波的性质