二次函数常见题型(含问题详解)

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二次函数经典题型详解

二次函数经典题型详解
二次函数是数学中的一个重要概念，它在代数、几何和三角学中都有广泛的应用。

下面是一些经典的二次函数题型及其解答方法。

1. 求二次函数的解析式
题目：已知二次函数的图像经过点(1,0)，(2,0)和(3,4)，求这个二次函数的
解析式。

解法：设二次函数的解析式为 $y = a(x - 1)(x - 2)$，将点(3,4)代入解析式，得到 $4 = a(3 - 1)(3 - 2)$，解得 $a = 2$，所以这个二次函数的解析式为$y = 2(x - 1)(x - 2)$。

2. 求二次函数的顶点坐标和对称轴
题目：已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$ 的对称轴为 $x = 1$，且经过点(0,3)，求这个二次函数的解析式。

解法：由于对称轴为 $x = 1$，所以顶点的横坐标为 1，设顶点坐标为$(1,m)$，将点 (0,3) 代入解析式 $y = a(x - 1)^2 + m$，得到 $3 = a(0 -
1)^2 + m$，解得 $a = 3 - m$，所以这个二次函数的解析式为 $y = (3 - m)(x - 1)^2 + m$。

3. 求二次函数的最大值或最小值
题目：已知二次函数 $y = x^2 - 2x$，求这个二次函数的最小值。

解法：由于 $a = 1 > 0$，所以这个二次函数的最小值为顶点的纵坐标，即$\frac{4ac - b^2}{4a} = \frac{4 \times 1 \times (-2) - (-2)^2}{4 \times 1} = -\frac{3}{4}$。

二次函数的考试常见题型

二次函数的考试常见题型题型一、二次函数图象的对称轴和顶点的求法-1.已知二次函数y=x2+4x．(1)用配方法把函数化为y=a(x-h)2+k(其中a，h，k都是常数且a≠0)的形式，并指出函数图象的对称轴和顶点坐标(2)求函数图象与x轴的交点坐标．2.二次函数y=12(x-4)2+5的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是？3.已知一抛物线与x轴的交点是A(-2，0)、B(1，0)，且经过点C(2，8)．(1)求该抛物线的解析式；(2)求该抛物线的顶点坐标．题型二、抛物线的平移1.(甘肃兰州中考题)已知函数y=2x2的图象是抛物线，若抛物线不动，把x 轴、y轴分别向上、向右平移2个单位长度，那么在新坐标系下抛物线的解析式是？2.(上海中考题)在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A(1，-4)，且过点B(3，0)(1)求该二次函数的解析式．(2)将该二次函数图象向右平移几个单位长度，可使平移后所得图象经过坐标原点?并直接写出平移后所得图象与x轴的另一个交点的坐标．3.抛物线y=12x2向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后，所得的抛物线表达式是？4.函数y=-2(x-1)2-1的图象可以由函数y=-2(x+2)2+3的图象先向____平移_____个单位长度，再向____平移_____个单位长度而得到.5.已知二次函数y=x2-bx+1(-1≤b≤1)，当b从-1逐渐变化到1的过程中,它所对应的抛物线位置也随之变动．下列关于抛物线移动方向的描述中，正确的是( )A.先往左上方移动，再往左下方移动B.先往左下方移动，再往左上方移动C.先往右上方移动，再往右下方移动D.先往右下方移动，再往右上方移动题型三、二次函数图象的画法1.(广东梅州中考题)已知二次函数图象的顶点是(-1，2)，且过点（0，32）(1)求二次函数的表达式，并在图中画出它的图象；(2)求证：对任意实数m，点M(m，-m2)都不在这个二次函数的图象上．2. (安徽中考题)抛物线y=-x2+(m-1)x+m与y轴交于(0,3)点，(1)求出m的值并画出这条抛物线．。

二次函数中常见的几种综合题型

二次函数中常见的几种综合题型二次函数常见的几类综合题型一、求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.已知抛物线 $y=x^2+bx+c$ 的图象与 $x$ 轴的一个交点为 $B(5,0)$，另一个交点为 $A$，且与 $y$ 轴交于点 $C(0,5)$。

1) 求直线 $BC$ 与抛物线的解析式；2) 若点 $M$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上的一个动点，过点 $M$ 作 $MN\parallel y$ 轴交直线 $BC$ 于点 $N$，求$MN$ 的最大值；3) 在 (2) 的条件下，$MN$ 取得最大值时，若点 $P$ 是抛物线在 $x$ 轴下方图象上任意一点，以 $BC$ 为边作平行四边形 $CBPQ$，设平行四边形 $CBPQ$ 的面积为 $S_1$，$\triangle ABN$ 的面积为 $S_2$，且 $S_1=6S_2$，求点$P$ 的坐标。

2.对称轴为直线 $x=-1$ 的抛物线$y=ax^2+bx+c(a\neq0)$ 与 $x$ 轴相交于 $A$、$B$ 两点，其中点 $A$ 的坐标为 $(-3,0)$。

1) 求点 $B$ 的坐标；2) 已知 $a=1$，$C$ 为抛物线与 $y$ 轴的交点。

①若点 $P$ 在抛物线上，且 $S_{\trianglePOC}=4S_{\triangle BOC}$，求点 $P$ 的坐标；②设点 $Q$ 是线段 $AC$ 上的动点，作 $QD\perp x$ 轴交抛物线于点 $D$，求线段 $QD$ 长度的最大值。

二、求三角形周长及面积的最值问题3.已知抛物线 $y=ax^2+bx+c$ 经过 $A(-3,a-b+c)$，$B(1,a+b+c)$，$C(c,a+3c-b)$ 三点，其顶点为 $D$，对称轴是直线 $l$，$l$ 与 $x$ 轴交于点 $H$。

1) 求该抛物线的解析式；2) 若点 $P$ 是该抛物线对称轴 $l$ 上的一个动点，求$\triangle PBC$ 周长的最小值；3) 如图 (2)，若 $E$ 是线段 $AD$ 上的一个动点（$E$ 与$A$、$D$ 不重合），过点 $E$ 作平行于 $y$ 轴的直线交抛物线于点 $F$，交 $x$ 轴于点 $G$，设点 $E$ 的横坐标为 $m$，$\triangle ADF$ 的面积为 $S$。

二次函数求最值的六种考法(含答案)

二次函数与最值的六种考法-重难点题型【题型1 二次函数中的定轴定区间求最值】【例1】（2021春•瓯海区月考）已知二次函数y＝﹣x2+2x+4，关于该函数在﹣2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（）A．有最大值4，有最小值0B．有最大值0，有最小值﹣4C．有最大值4，有最小值﹣4D．有最大值5，有最小值﹣4【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到该函数的对称轴和开口方向，然后根据﹣2≤x≤2，即可得到相应的最大值和最小值，从而可以解答本题．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+4＝﹣（x﹣1）2+5，∴该函数的对称轴是直线x＝1，函数图象开口向下，∴当﹣2≤x≤2时，x＝1时取得最大值5，当x＝﹣2时，取得最小值﹣4，故选：D．【变式1-1】（2020秋•龙沙区期中）当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，则m＝．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣3x+m＝（x−32）2+m−94，∴该函数开口向上，对称轴为x=3 2，∵当﹣1≤x≤3时，二次函数y＝x2﹣3x+m最大值为5，∴当x＝﹣1时，该函数取得最大值，此时5＝1+3+m，解得m＝1，故答案为：1．【变式1-2】（2021•哈尔滨模拟）已知二次函数y＝x2﹣4x+3，当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，则a﹣b的值为．【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以得到自变量满足﹣1≤x≤3时，x＝﹣1时取得最大值，x＝2时取得最小值，然后即可得到a、b的值，从而可以求得a﹣b的值，本题得以解决．【解答过程】解：∵二次函数y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，∴该函数图象开口向上，对称轴为直线x＝2，∵当自变量满足﹣1≤x≤3时，y的最大值为a，最小值为b，∴当x＝﹣1时，取得最大值，当x＝2时，函数取得最小值，∴a＝1+4+3＝8，b＝﹣1，∴a﹣b＝8﹣（﹣1）＝8+1＝9，故答案为：9．【变式1-3】（2020秋•番禺区校级期中）若函数y＝x2﹣6x+5，当2≤x≤6时的最大值是M，最小值是m，则M﹣m＝．【解题思路】根据题意画出函数图象，即可由此找到m 和M 的值，从而求出M ﹣m 的值．【解答过程】解：原式可化为y ＝（x ﹣3）2﹣4，可知函数顶点坐标为（3，﹣4），当y ＝0时，x 2﹣6x +5＝0，即（x ﹣1）（x ﹣5）＝0，解得x 1＝1，x 2＝5．如图：m ＝﹣4，当x ＝6时，y ＝36﹣36+5＝5，即M ＝5．则M ﹣m ＝5﹣（﹣4）＝9．故答案为9．【题型2 二次函数中的动轴定区间求最值】【例2】（2021•雁塔区校级模拟）已知二次函数y ＝mx 2+2mx +1（m ≠0）在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2，则m ＝（） A ．3B ．﹣3或38C ．3或−38D ．﹣3或−38【解题思路】先求出对称轴为x ＝﹣1，分m ＞0，m ＜0两种情况讨论解答即可求得m 的值．【解答过程】解：∵二次函数y ＝mx 2+2mx +1＝m （x +1）2﹣m +1， ∴对称轴为直线x ＝﹣1， ①m ＞0，抛物线开口向上，x ＝﹣1时，有最小值y ＝﹣m +1＝﹣2，解得：m ＝3；②m ＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x ＝﹣1，在﹣2≤x ≤2时有最小值﹣2， ∴x ＝2时，有最小值y ＝4m +4m +1＝﹣2，解得：m =−38；故选：C ．【变式2-1】（2021•瓯海区模拟）已知二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，且﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，则a 的值为（） A ．1B ．34C ．−35D ．−14【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1，可以得到该函数的对称轴，再根据当x ≤1时，y 随x 的增大而增大，可以得到a 的正负情况，然后根据﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4，即可得到a 的值．【解答过程】解：∵二次函数y ＝ax 2﹣4ax ﹣1＝a （x ﹣2）2﹣4a ﹣1， ∴该函数的对称轴是直线x ＝2，又∵当x ≤1时，y 随x 的增大而增大， ∴a ＜0，∵当﹣1≤x ≤6时，y 的最小值为﹣4， ∴x ＝6时，y ＝a ×62﹣4a ×6﹣1＝﹣4，解得a =−14，故选：D ．【变式2-2】（2021•章丘区模拟）已知二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量），当x ≥2时，y 随x 的增大而减小，且﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，则a 的值为（） A ．1或﹣2B ．−√2或√2C ．﹣2D ．1【解题思路】先求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性得出抛物线开口向下a ＜0，然后由﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15，可得x ＝1时，y ＝15，即可求出a ．【解答过程】解：∵二次函数y ＝2ax 2+4ax +6a 2+3（其中x 是自变量）， ∴对称轴是直线x =−4a2×2a=−1， ∵当x ≥2时，y 随x 的增大而减小， ∴a ＜0，∵﹣2≤x ≤1时，y 的最小值为15， ∴x ＝1时，y ＝2a +4a +6a 2+3＝15， ∴6a 2+6a ﹣12＝0， ∴a 2+a ﹣2＝0，∴a ＝1（不合题意舍去）或a ＝﹣2．故选：C ．【变式2-3】（2021•滨江区三模）已知二次函数y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1（m ≥0，n ≥0），当1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小，则mn 的最大值为（） A ．4B ．6C ．8D ．494【解题思路】由二次函数解析式求出对称轴直线方程，分类讨论抛物线开口向下及开口向上的m ，n 的取值范围，将mn 转化为含一个未知数的整式求最值．【解答过程】解：抛物线y =12（m ﹣1）x 2+（n ﹣6）x +1的对称轴为直线x =6−nm−1， ①当m ＞1时，抛物线开口向上， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≥2，即2m +n ≤8．解得n ≤8﹣2m ， ∴mn ≤m （8﹣2m ），m （8﹣2m ）＝﹣2（m ﹣2）2+8， ∴mn ≤8．②当0≤m ＜1时，抛物线开口向下， ∵1≤x ≤2时，y 随x 的增大而减小， ∴6−n m−1≤1，即m +n ≤7，解得m ≤7﹣n ， ∴mn ≤n （7﹣n ），n （7﹣n ）＝﹣（n −72）2+494, ∴mn ≤494， ∵0≤m ＜1， ∴此情况不存在．综上所述，mn 最大值为8．故选：C ．【题型3 二次函数中的定轴动区间求最值】【例3】（2020秋•马鞍山期末）当a﹣1≤x≤a时，函数y＝x2﹣2x+1的最小值为1，则a的值为．【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征找出当y＝1时x的值，结合当a﹣1≤x≤a时函数有最小值1，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可得出结论．【解答过程】解：当y＝1时，有x2﹣2x+1＝1，解得：x1＝0，x2＝2．∵当a﹣1≤x≤a时，函数有最小值1，∴a﹣1＝2或a＝0，∴a＝3或a＝0，故答案为：0或3．【变式3-1】（2021•济南模拟）函数y＝﹣x2+4x﹣3，当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，则m的取值范围是（）A．0≤m＜2B．0≤m≤5C．m＞5D．2≤m≤5【解题思路】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质，可以求得m的取值范围．【解答过程】解：∵y＝﹣x2+4x﹣3＝﹣（x﹣2）2+1，∴该函数图象开口向下，对称轴是直线x＝2，顶点坐标为（2，1），∴x＝﹣1和x＝5对应的函数值相等，∵当﹣1≤x≤m时，此函数的最小值为﹣8，最大值为1，当x＝﹣1时，y＝﹣8，∴2≤m≤5，故选：D．【变式3-2】（2021•宁波模拟）若二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，则t的取值范围应是（）A．﹣6≤t≤2B．t≤﹣2C．﹣6≤t≤﹣2D．﹣2≤t≤2【解题思路】根据二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），可以求得a的值，然后即可得到该函数的解析式，再根据二次函数的性质和当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，即可得到t的取值范围．【解答过程】解：∵二次函数y＝ax2﹣x+2的图象经过点（2，﹣1），∴﹣1＝a×22﹣2+2，解得a=−1 4，∴y=−14x2﹣x+2=−14（x+2）2+3，∴该函数的图象开口向下，对称轴是直线x＝﹣2，当x＝﹣2时，该函数取得最大值3，∵当t≤x≤2时，y有最大值3，最小值﹣1，当x＝2时，y＝﹣1，∴﹣6≤t≤﹣2，故选：C．【变式3-3】（2021•莱芜区二模）已知二次函数y＝（x+1）2﹣4，当a≤x≤b且ab＜0时，y的最小值为2a，最大值为2b，则a+b的值为（）A．2√3B．−72C．√3−2D．0【解题思路】根据a的取值范围分﹣1≤a＜0，﹣b﹣2≤a＜﹣1，a＜﹣b﹣2三种情况讨论，求出满足题目条件的情况即可．【解答过程】解：∵a≤x≤b且ab＜0，∴a，b异号，∴a＜0，b＞0，由二次函数的对称性，b关于对称轴的对称点为﹣b﹣2，若﹣1≤a＜0，则（a+1）2﹣4＝2a，解得a=−√3（舍），若﹣b﹣2≤a＜﹣1，则﹣4＝2a，a＝﹣2，且（b+1）2﹣3＝2b，解得b=√3，∴a+b=√3−2，若a＜﹣b﹣2，则2a＝﹣4，a＝﹣2，2b＝（a+1）2﹣4＝﹣3，∴b=−32（舍），故选：C．【题型4 二次函数中求线段最值】【例4】（2020春•海淀区校级期末）如图，抛物线y＝x2+5x+4与x轴交于A、B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，连接AC，点P在线段AC上，过点P作x轴的垂线交抛物线于点Q，则线段PQ长的最大值为．【解题思路】先解方程x2+5x+4＝0得A（﹣4，0），再确定C（0，4），则可利用待定系数法求出直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），Q（t，t2+5t+4），所以PQ＝t+4﹣（t2+5t+4），然后利用二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：当y＝0时，x2+5x+4＝0，解得x1＝﹣4，x2＝﹣1，则A（﹣4，0），B（﹣1，0），当x＝0时，y＝x2+5x+4＝4，则C（0，4），设直线AC的解析式为y＝kx+b，把A（﹣4，0），C（0，4）代入得{−4k+b=0b=4，解得{k=1b=4，∴直线AC的解析式为y＝x+4，设P（t，t+4）（﹣4≤t≤0），则Q（t，t2+5t+4），∴PQ＝t+4﹣（t2+5t+4）＝﹣t2﹣4t＝﹣（t+2）2+4，∴当t＝﹣2时，PQ有最大值，最大值为4．故答案为4．【变式4-1】（2020秋•镇平县期末）如图，直线y=−34x+3与x轴交于点C，与y轴交于点B，抛物线y=−38x 2+34x +3经过B ，C 两点，点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，过点E 作y 轴的平行线交直线BC 于点M ，则EM 的最大值为．【解题思路】设出E 的坐标，表示出M 坐标，进而表示出EM ，化成顶点式即可求得EM 的最大值．【解答过程】解：∵点E 是直线BC 上方抛物线上的一动点，∴点E 的坐标是（m ，−38m 2+34m +3），点M 的坐标是（m ，−34m +3），∴EM =−38m 2+34m +3﹣（−34m +3）=−38m 2+32m =−38（m 2﹣4m ）=−38（m ﹣2）2+32， ∴当m ＝2时，EM 有最大值为32，故答案为32．【变式4-2】（2021•埇桥区模拟）对称轴为直线x ＝﹣1的抛物线y ＝x 2+bx +c ，与x 轴相交于A ，B 两点，其中点A 的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B 的坐标．（2）点C 是抛物线与y 轴的交点，点Q 是线段AC 上的动点，作QD ⊥x 轴交抛物线于点D ，求线段QD 长度的最大值．【解题思路】（1）利用二次函数对称性即可得出B 点坐标；（2）首先利用待定系数法求二次函数解析式，进而求出直线AC 的解析式，再利用QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）进而求出最值．【解答过程】解：（1）∵点A （﹣3，0）与点B 关于直线x ＝﹣1对称， ∴点B 的坐标为（1，0）．（2）∵a ＝1，∴y ＝x 2+bx +c ．∵抛物线过点（﹣3，0），且对称轴为直线x ＝﹣1， ∴{9−3b +c =0−b2=−1∴解得：{b =2c =−3，∴y ＝x 2+2x ﹣3，且点C 的坐标为（0，﹣3）．设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，则{−3m +n =0n =−3，解得：{m =−1n =−3，∴y ＝﹣x ﹣3如图，设点Q 的坐标为（x ．y ），﹣3≤x ≤0．则有QD ＝﹣x ﹣3﹣（x 2+2x ﹣3）＝﹣x 2﹣3x ＝﹣（x +32）2+94∵﹣3≤−32≤0，∴当x =−32时，QD 有最大值94．∴线段QD 长度的最大值为94．【变式4-3】（2020秋•滨海新区期末）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y ＝ax 2+bx +52与x 轴交于A（5，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）若点M是抛物线的顶点，连接AM，CM，求△ACM的面积；（Ⅲ）若点P是抛物线上的一动点，过点P作PE垂直y轴于点E，交直线AC于点D，过点D作x轴的垂线，垂足为点F，连接EF，当线段EF的长度最短时，求出点P的坐标．【解题思路】（Ⅰ）用待定系数法即可求解；（Ⅱ）△AMC的面积＝S△MHC+S△MHA=12×MH×OA，即可求解；（Ⅲ）点D在直线AC上，设点D（m，−12m+52），由题意得，四边形OEDF为矩形，故EF＝OD，即当线段EF的长度最短时，只需要OD最短即可，进而求解．【解答过程】解：（Ⅰ）令x＝0，则y=52，即C（0，52）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x﹣5）（x+1），将点C的坐标代入上式得：52=a（0﹣5）（0+1），解得a=−1 2，故抛物线的表达式为y=−12（x﹣5）（x+1）=−12x2+2x+52；（Ⅱ）由抛物线的表达式得顶点M（2，92），过点M作MH∥y轴交AC于点H，设直线AC 的表达式为y ＝kx +t ，则{t =520=5k +t，解得{k =−12t =52，故直线AC 的表达式为y =−12x +52，当x ＝2时，y =32，则MH =92−32=3，则△AMC 的面积＝S △MHC +S △MHA =12×MH ×OA =12×3×5=152；（Ⅲ）点D 在直线AC 上，设点D （m ，−12m +52），由题意得，四边形OEDF 为矩形，故EF ＝OD ，即当线段EF 的长度最短时，只需要OD 最短即可，则EF 2＝OD 2＝m 2+（−12m +52）2=54m 2−52m +254，∵54＞0，故EF 2存在最小值（即EF 最小），此时m ＝1，故点D （1，2），∵点P 、D 的纵坐标相同，故2=−12x 2+2x +52，解得x ＝2±√5，故点P 的坐标为（2+√5，2）或（2−√5，2）．【题型5 二次函数中求线段和最值】【例5】（2020秋•安居区期末）如图，在抛物线y ＝﹣x 2上有A ，B 两点，其横坐标分别为1，2，在y 轴上有一动点C ，当BC +AC 最小时，则点C 的坐标是（）A ．（0，0）B ．（0，﹣1）C ．（0，2）D ．（0，﹣2）【解题思路】利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A ，B 的坐标，作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，由点B 的坐标可得出点B ′的坐标，由点A ，B ′的坐标，利用待定系数法可求出直线AB ′的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出点C 的坐标．【解答过程】解：当x ＝1时，y ＝﹣12＝﹣1，∴点A 的坐标为（1，﹣1）；当x ＝2时，y ＝﹣22＝﹣4，∴点B 的坐标为（2，﹣4）．作点B 关于y 轴的对称点B ′，连接AB ′交y 轴于点C ，此时BC +AC 最小，如图所示．∵点B 的坐标为（2，﹣4），∴点B ′的坐标为（﹣2，﹣4）．设直线AB ′的解析式为y ＝kx +b （k ≠0），将A （1，﹣1），B （﹣2，﹣4）代入y ＝kx +b 得：{k +b =−1−2k +b =−4，解得：{k =1b =−2， ∴直线AB ′的解析式为y ＝x ﹣2．当x ＝0时，y ＝0﹣2＝﹣2，∴点C 的坐标为（0，﹣2），∴当BC +AC 最小时，点C 的坐标是（0，﹣2）．故选：D ．【变式5-1】（2021•铁岭模拟）如图，已知抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，过其顶点M 的一条直线y ＝kx +b 与该抛物线的另一个交点为N （﹣1，1）．要在坐标轴上找一点P ，使得△PMN 的周长最小，则点P 的坐标为（）A ．（0，2）B ．（43，0）C ．（0，2）或（43，0）D ．以上都不正确【解题思路】首先，求得抛物线的解析式，根据抛物线解析式求得M 的坐标；欲使△PMN 的周长最小，MN 的长度一定，所以只需（PM +PN ）取最小值即可．然后，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P （如图1）；过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （如图2）．【解答过程】解：如图，∵抛物线y ＝﹣x 2+px +q 的对称轴为x ＝﹣3，点N （﹣1，1）是抛物线上的一点， ∴{−p −2=−31=−1−p +q，解得{p =−6q =−4． ∴该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣6x ﹣4＝﹣（x +3）2+5，∴M （﹣3，5）．∵△PMN 的周长＝MN +PM +PN ，且MN 是定值，所以只需（PM +PN ）最小．如图1，过点M 作关于y 轴对称的点M ′，连接M ′N ，M ′N 与y 轴的交点即为所求的点P ．则M ′（3，5）．设直线M ′N 的解析式为：y ＝ax +t （a ≠0），则{5=3a +t 1=−a +t，解得{a =1t =2，故该直线的解析式为y ＝x +2．当x ＝0时，y ＝2，即P （0，2）．同理，如图2，过点M 作关于x 轴对称的点M ′，连接M ′N ，则只需M ′N 与x 轴的交点即为所求的点P （−43，0）．如果点P 在y 轴上，则三角形PMN 的周长=4√2+MN ；如果点P 在x 轴上，则三角形PMN 的周长=2√10+MN ；所以点P 在（0，2）时，三角形PMN 的周长最小．综上所述，符合条件的点P 的坐标是（0，2）．故选：A ．【变式5-2】（2021•包头）已知抛物线y ＝x 2﹣2x ﹣3与x 轴交于A ，B 两点（点A 在点B 的左侧）与y 轴交于点C ，点D （4，y ）在抛物线上，E 是该抛物线对称轴上一动点，当BE +DE 的值最小时，△ACE 的面积为．【解题思路】解方程x 2﹣2x ﹣3＝0得A （﹣1，0），B （3，0），则抛物线的对称轴为直线x ＝1，再确定C （0，﹣3），D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，利用两点之间线段最短可判断此时BE +DE 的值最小，接着利用待定系数法求出直线AD 的解析式为y ＝x +1，则F （0，1），然后根据三角形面积公式计算．【解答过程】解：当y ＝0时，x 2﹣2x ﹣3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，则A （﹣1，0），B （3，0），抛物线的对称轴为直线x ＝1，当x ＝0时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝﹣3，则C （0，﹣3），当x ＝4时，y ＝x 2﹣2x ﹣3＝5，则D （4，5），连接AD 交直线x ＝1于E ，交y 轴于F 点，如图，∵BE +DE ＝EA +DE ＝AD ，∴此时BE +DE 的值最小，设直线AD 的解析式为y ＝kx +b ，把A （﹣1，0），D （4，5）代入得{−k +b =04k +b =5，解得{k =1b =1， ∴直线AD 的解析式为y ＝x +1，当x ＝1时，y ＝x +1＝2，则E （1，2），当x ＝0时，y ＝x +1＝1，则F （0，1），∴S △ACE ＝S △ACF +S △ECF =12×4×1+12×4×1＝4．故答案为4．【变式5-3】（2021•涪城区模拟）如图，抛物线y =53x 2−203x +5与x 轴分别交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于C ，在其对称轴上有一动点M ，连接MA 、MC 、AC ，则当△MAC 的周长最小时，点M 的坐标是．【解题思路】点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，即可求解．【解答过程】解：点A 关于函数对称轴的对称点为点B ，连接CB 交函数对称轴于点M ，则点M 为所求点，理由：连接AC ，由点的对称性知，MA ＝MB ，△MAC 的周长＝AC +MA +MC ＝AC +MB +MC ＝CA +BC 为最小，令y =53x 2−203x +5＝0，解得x ＝1或3，令x ＝0，则y ＝5，故点A 、B 、C 的坐标分别为（1，0）、（3，0）、（0，5），则函数的对称轴为x =12（1+3）＝2，设直线BC 的表达式为y ＝kx +b ，则{0=3k +b b =5，解得{k =−53b =5，故直线BC 的表达式为y =−53x +5，当x ＝2时，y =−53x +5=53，故点M 的坐标为（2，53）．【题型6 二次函数中求面积最值】【例6】（2020秋•盐城期末）如图，抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，过点A 的直线l 交抛物线于点C （2，m ），点P 是线段AC 上一个动点，过点P 做x 轴的垂线交抛物线于点E ．（1）求抛物线的解析式；（2）当P 在何处时，△ACE 面积最大．【解题思路】（1）利用交点式写出抛物线解析式；（2）先利用二次函数解析式确定C （2，﹣3），再利用待定系数法求出直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1，设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），利用三角形面积公式得到△ACE 的面积=12×（2+1）×PE =32（﹣t 2+t +2），然后根据二次函数的性质解决问题．【解答过程】解：（1）抛物线解析式为y ＝（x +1）（x ﹣3），即y ＝x 2﹣2x ﹣3；（2）把C （2，m ）代入y ＝x 2﹣2x ﹣3得m ＝4﹣4﹣3＝﹣3，则C （2，﹣3），设直线AC 的解析式为y ＝mx +n ，把A （﹣1，0），C （2，﹣3）代入得{−m +n =02m +n =−3，解得{m =−1n =−1， ∴直线AC 的解析式为y ＝﹣x ﹣1；设E （t ，t 2﹣2t ﹣3）（﹣1≤t ≤2），则P （t ，﹣t ﹣1），∴PE ＝﹣t ﹣1﹣（t 2﹣2t ﹣3）＝﹣t 2+t +2，∴△ACE 的面积=12×（2+1）×PE=32（﹣t 2+t +2）=−32（t −12）2+278，当t =12时，△ACE 的面积有最大值，最大值为278，此时P 点坐标为（12，−32）．【变式6-1】（2021春•金塔县月考）如图，已知抛物线经过A （4，0），B （1，0），C （0，﹣2）三点．（1）求该抛物线的解析式；（2）在直线AC 上方的该抛物线上是否存在一点D ，使得△DCA 的面积最大，若存在，求出点D 的坐标及△DCA 面积的最大值；若不存在，请说明理由．【解题思路】（1）根据题意设出抛物线的交点式，用待定系数法求解即可；（2）根据题意作出相关辅助线，用待定系数法求得直线AC解析式为y=12x﹣2，因为点D在抛物线上，所以可设其坐标为（x，−12x2+52x﹣2），点E在直线AC上则设点E坐标为（x，12x﹣2），由图形可知S△DCA＝S△DCE+S△DAE，将相关坐标及线段的长度代入求解，再根据二次函数的性质即可得出△DCA面积的最大值．【解答过程】（1）设该抛物线解析式为y＝a（x﹣4）（x﹣1），将点C（0，﹣2）坐标代入解析式得：﹣2＝a（0﹣4）（0﹣1），解得a=−1 2，∴y=−12（x﹣4）（x﹣1）=−12x2+52x﹣2，故该抛物线的解析式为：y=−12x2+52x﹣2，（2）如图，设存在点D在抛物线上，连接AD、CD，过点D作DE⊥x轴且与直线AC交于点E，设直线AC表达式为：y＝kx+b（k≠0），将A（4，0），C（0，﹣2）代入其表达式得：{0=4k+b−2=b，解得{k=12b=−2，∴直线AC：y=12x﹣2，设点D坐标为（x，−12x2+52x﹣2），则点E坐标为（x，12x﹣2），S△DCA＝S△DCE+S△DAE=12×DE×x E+12×DE×（x A﹣x E）=12×DE×x A=12×DE×4＝2DE，∵DE＝（−12x2+52x﹣2）﹣（12x﹣2）=−12x2+2x，∴S△DCA＝2DE＝2×（−12x2+2x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，∴当x＝2时，y=−12x2+52x﹣2═﹣2+5﹣2＝1，即点D坐标为（2，1），此时△DCA的面积最大，最大值为4．【变式6-2】（2021春•无为市月考）如图，直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），与y轴交于点B，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）若P为直线AB上方的抛物线上一点，且点P的横坐标为m，求四边形BCAP的面积S关于点P横坐标m的函数解析式，并求S的最大值．【解题思路】（1）将点A坐标代入直线解析式可求n的值，可求点B坐标，利用待定系数法可求解；（2）过点P做PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，求得C的坐标和D的坐标，然后根据S＝S△ABC+S △ABP得到S关于m的函数解析式，根据二次函数的性质即可求得结论．【解答过程】解：（1）∵直线y＝﹣x+n与x轴交于点A（3，0），∴0＝﹣3+n，∴n＝3，∴直线解析式为：y＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，∴点B （0，3），∵抛物线y ＝﹣x 2+bx +c 经过点A ，B ，∴{c =3−9+3b +c =0， ∴{b =2c =3， ∴抛物线的解析式为：y ＝﹣x 2+2x +3；（2）如图，过点P 做PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，∵点P 的横坐标为m ，∴点P 的坐标为（m ，﹣m 2+2m +3），∵点D 在直线AB 上，∴点D 的坐标为（m ，﹣m +3），∴PD ＝﹣m 2+2m +3﹣（﹣m +3）＝﹣m 2+3m ，在y ＝﹣x 2+2x +3中．令y ＝0．则﹣x 2+2x +3＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3，∴点C 的坐标为（﹣1，0），∴S ＝S △ABC +S △ABP =12×4×3+12（﹣m 2+3m ）×3=−32（m −32）2+758， ∴当m =32时，S 最大，最大值为758．【变式6-3】（2021春•无棣县月考）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+bx +c 的图象与x 轴交于A 、B 两点，B 点的坐标为（3，0），与y 轴交于点C （0，﹣3），点P 是直线BC 下方抛物线上的一个动点．（1）求二次函数解析式；（2）连接PO ，PC ，并将△POC 沿y 轴对折，得到四边形POP 'C ．是否存在点P ，使四边形POP 'C 为菱形？若存在，求出此时点P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．【解题思路】（1）先根据点C坐标求出c＝﹣3，再将点B坐标代入二次函数解析式中求出b，即可得出结论；（2）连接PP'交y轴于E，根据菱形的性质判断出点E是OC的中点，进而求出点P的纵坐标，最后代入二次函数解析式中求解，即可得出结论；（3）设出点P的坐标，进而利用梯形的面积+三角形的面积得出S四边形ABPC=−32（m−12）2+398，即可得出结论．【解答过程】解：（1）∵二次函数y＝x2+bx+c与y轴的交点C（0，﹣3），∴c＝﹣3，∴二次函数的解析式为y＝x2+bx﹣3，∵点B（3，0）在二次函数图象上，∴9+3b﹣3＝0，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为y＝x2﹣2x﹣3；（2）存在，理由：如图1，连接PP'交y轴于E，∵四边形POP'C为菱形，∴PP'⊥OC，OE＝CE=12OC，∵点C（0，﹣3），∴OC＝3，∴OE=3 2，∴E （0，−32），∴点P 的纵坐标为−32，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3， ∴x 2﹣2x ﹣3=−32，∴x =2−√102或x =2+√102，∵点P 在直线BC 下方的抛物线上，∴0＜x ＜3，∴点P （2+√102，−32）；（3）如图2，过点P 作PF ⊥x 轴于F ，则PF ∥OC ，由（1）知，二次函数的解析式为y ＝x 2﹣2x ﹣3，令y ＝0，则x 2﹣2x ﹣3＝0，∴x ＝﹣1或x ＝3，∴A （﹣1，0），∴设P （m ，m 2﹣2m ﹣3）（0＜m ＜3），∴F （m ，0），∴S 四边形ABPC ＝S △AOC +S 梯形OCPF +S △PFB =12OA •OC +12（OC +PF ）•OF +12PF •BF =12×1×3+12（3﹣m 2+2m +3）•m +12（﹣m 2+2m +3）•（3﹣m ） =−32（m −32）2+758，∴当m =32时，四边形ABPC 的面积最大，最大值为758，此时，P （32，−154），即点P 运动到点（32，−154）时，四边形ABPC 的面积最大，其最大值为758．。

初中数学《二次函数》重难点题型汇编含解析

二次函数重难点题型汇编【题型01：二次函数的概念】【题型02：二次函数的条件】【题型03：列处二次函数关系式】【题型04：特殊二次函数的图像和性质】【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】【题型06：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质】【题型07：二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题】【题型08：根据二次函数y=ax2+bx+c的图像判断有关的信息】【题型09：二次函数的平移变换】【题型10：二次函数的交点个数问题】【题型01：二次函数的概念】1下列函数是关于x的二次函数的是()A.y=x2+1x2B.y=x1-xC.y=x+12-x2 D.y=ax2+bx+c【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义，根据形如y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a≠0)的函数是二次函数，判断即可，熟练掌握二次函数的一般形式是解题的关键．【详解】解：A、y=x2+1x2的分母含有自变量，不是y关于x的二次函数，故A不符合题意；B、y=x1-x=-x2+x，是y关于x的二次函数，故B符合题意；C、y=x+12-x2=2x+1，不是y关于x的二次函数，故C不符合题意；D、y=ax2+bx+c，当a=0时不是二次函数，故D不符合题意；故选：B．2下列各式中，是二次函数的是()A.y=2x+1B.y=-2x+1C.y=x2+2D.y=2x2-1x【答案】C【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握一般地，形如y=ax2+bx+c(a、b、c是常数，a≠0)的函数，叫做二次函数．【详解】解：A、y=2x+1，是一次函数，故本选项不合题意；B、y=-2x+1，是一次函数，故本选项不合题意；C、y=x2+2，是二次函数，故本选项符合题意；D、y=2x2-1x，右边中-1x不是整式，不是二次函数，故本选项不合题意．故选：C．3下列函数解析式中，y是x的二次函数的是()A.y=ax2+bx+cB.y=-5x+1C.y=-23x2+x-34D.y=2x2-1x【答案】C【分析】根据：形如y=ax2+bx+c a≠0，这样的函数叫做二次函数，进行判断即可．【详解】解：A、当a=0时，y=ax2+bx+c不是二次函数，不符合题意；B、y=-5x+1，是一次函数，不是二次函数，不符合题意；C、y=-23x2+x-34，是二次函数，符合题意；D、y=2x2-1x，不是二次函数，不符合题意；故选C．4如图，分别在正方形ABCD边AB、AD上取E、F点，并以AE、AF的长分别作正方形．已知DF= 3,BE=5．设正方形ABCD的边长为x，阴影部分的面积为y，则y与x满足的函数关系是()A.一次函数关系B.二次函数关系C.正比例函数关系D.反比例函数关系【答案】A【分析】本题考查函数关系的识别，完全平方公式，列函数关系式，根据题意表示出AE、AF的长度，再结合阴影部分的面积等于以AE、AF的长的正方形的面积之差可得y=4x-16，理解题意，列出函数关系式是解决问题的关键．【详解】解：由题意可得：AE=AB-BE=x-5，AF=AD-DF=x-3，则阴影部分的面积为y=x-32-x-52=x2-6x+9-x2+10x-25=4x-16，即：y=4x-16，为一次函数，故选：A．【题型02：二次函数的条件】5抛物线y=ax2+a-2x-a-1经过原点，那么a的值等于()A.0B.1C.-1D.35【答案】C【分析】本题考查了抛物线与点的关系，熟练掌握把(0,0)代入函数解析式，求解关于a的一元一次方程是解题的关键．【详解】解：∵抛物线y=ax2+a-2x-a-1经过原点，∴a≠0-a-1=0，解得：a=-1，故选C．6已知y=m-1x m2+1-2x+5是二次函数，则m的值为()A.1或-1B.1C.-1D.0【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，根据二次函数y=ax2+bx+c的定义条件是：a、b、c为常数，a≠0，自变量最高次数为2即可求解．【详解】解：根据二次函数的定义：m2+1=2，且m-1≠0，解得：m=1或m=-1，又∵m≠1，∴m=-1，故选：C．7已知二次函数y=m-2x m2-2+3x+1，则m=．【答案】-2【分析】此题考查了二次函数的定义，根据二次函数的定义：形如y=ax2+bx+c a≠0，这样的函数叫做二次函数，得到m-2≠0，m2-2=2，进行求解即可．解题的关键是熟练掌握二次函数的定义．【详解】解：∵函数y=m-2x m2-2+3x+1是二次函数，∴m-2≠0，m2-2=2，∴m=-2．故答案为：-2．【题型03：列处二次函数关系式】8某厂今年一月份新产品的研发资金为9万元，以后每月新产品的研发资金与上月相比增长率都是x，则该厂今年一季度新产品的研发资金y(元)关于x的函数关系式为()A.y=91+x2 B.y=9+9x+x2C.y=9+91+x+91+x2 D.y=91+x2【答案】C【分析】此题主要考查了根据实际问题抽象出二次函数解析式．根据题意得到二月的研发资金为：91+x，三月份新产品的研发资金为：91+x2，再求和即可，正确表示出三月份的研发资金．【详解】解：根据题意可得二月的研发资金为：91+x，三月份新产品的研发资金为：91+x2，今年一季度新产品的研发资金y=9+91+x+91+x2，故选：C．9已知一正方体的棱长是3cm，设棱长增加xcm时，正方体的表面积增加ycm2，则y与x之间的函数关系式是()A.y=6x2-36xB.y=-6x2+36xC.y=x2+36xD.y=6x2+36x【答案】D【分析】本题考查了二次函数的应用，根据题意直接列式即可作答．【详解】根据题意有：y=6x+32-6×32=6x2+36x，故选：D．10某商店购进某种商品的价格是7.5元/件，在一段时间里，单价是13.5元，销售量是500件，而单价每降低1元就可多售出200件，当销售价为x元/件(7.5<x<13.5)时，获取利润y元，则y与x的函数关系为()A.y=x-7.5500+xB.y=13.5-x500+200xC.y=x-7.5500+200xD.以上答案都不对【答案】D【分析】当销售价为x元/件时，每件利润为(x-7.5)元，销售量为[500+200×(13.5-x)]，根据利润=每件利润×销售量列出函数关系式即可．【详解】解：由题意得w=(x-7.5)×[500+200×(13.5-x)]，故选：D．【点睛】题考查了根据实际问题列二次函数关系式，用含x的代数式分别表示出每件利润及销售量是解题的关键．11正方形边长3，若边长增加x，增加后正方形的面积为y，y与x的函数关系式为．【答案】y=x+32/y=3+x2【分析】本题考查了列二次函数关系式，根据正方形面积等于边长的平方，即可求解．【详解】解：依题意，y=x+32，故答案为：y=x+32．【题型04：特殊二次函数的图像和性质】12已知函数y=-(x-2)2的图象上有A-32,y1，B3,y2，C4,y3三点，则y1，y2，y3的大小关系是()A.y 1<y 2<y 3B.y 2<y 1<y 3C.y 1<y 3<y 2D.y 2<y 3<y 1【答案】C【分析】本题考查二次函数的性质，当开口向上时，距离对称轴越近，函数值越小；当开口向下时，距离对称轴越近，函数值越大，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与性质．先找到对称轴和开口方向，根据点到对称轴的距离比较函数值的大小即可．【详解】解：∵函数y =-(x -2)2，∴图象开口向下，对称轴为直线x =2，∴图象上的点距离对称轴越近，函数值越大，2--32=72，3-2 =1，4-2 =2，∵1<2<72，∴y 1<y 3<y 2，故选：C ．13对于二次函数y =2x -1 2+3，下列说法正确的是()A.开口方向向下B.顶点坐标(1，-3)C.对称轴是y 轴D.当x =1时，y 有最小值【答案】D【分析】本题考查了二次函数的性质：根据抛物线的性质，由a =2得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为(1,3)，对称轴为直线x =1，当x =1时，y 有最小值3，再进行判断即可．【详解】解：二次函数y =2(x -1)2+3的图象开口向上，顶点坐标为(1,3)，对称轴为直线x =1，当x =1时，y 有最小值3．故选项D 正确，故选：D14下列抛物线中，对称轴为直线x =12的是()A.y =x -122B.y =12x 2C.y =x 2+12D.y =x +122-3【答案】A【分析】本题考查了抛物线求对称轴方程的公式：x =-b2a．利用抛物线对称轴的公式即可确定每一个函数的对称轴，然后即可确定选项．【详解】解：A 、y =x -122的对称轴为直线x =12，故选项符合题意．B 、y =12x 2的对称轴为直线x =0，故选项不符合题意．C 、y =x 2+12的对称轴为直线x =0，故选项不符合题意．D、y=x+122-3的对称轴为直线x=-12，故选项不符合题意．故选：A．15在二次函数y=-x-12+3的图象中，若y随x的增大而减小，则x的取值范围是()A.x>-1B.x<-1C.x>1D.x<1【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键；由题可知，函数图象开口向下，对称轴为x=1，在对称轴右侧，y随x的增大而减小；在对称轴左侧，y随x 的增大而增大，据此即可得到答案．【详解】解：由二次函数的解析式得，抛物线开口向下，对称轴为x=1，当x>1时，y 随 x 的增大而减小．故选：C ．16抛物线y=-2x+12+2的顶点的坐标是．【答案】(-1,2)【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式y=a(x-h)2+k的顶点坐标为h,k，即可求解．【详解】解：抛物线y=-2x+12+2的顶点坐标是(-1,2)，故答案为：(-1,2)．17点A-3,y1，B2,y2均在二次函数y=-x2+2的图象上，则y1y2．(填“>”或“<”)【答案】<【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据开口向下的二次函数，离对称轴越远函数值越小进行求解即可．【详解】解：∵二次函数解析式为y=-x2+2，∴二次函数开口向下，对称轴为y轴，∴离对称轴越远函数值越小，∵0--3=3>2-0=2，∴y1<y2，故答案为：<．【题型05：与特殊二次函数有关的几何知识】18如图，⊙O的半径为2，C1是函数y=12x2的图象，C2是函数y=-12x2的图象，则阴影部分的面积是()A.4πB.2πC.πD.无法确定【答案】B【分析】据函数y =12x 2与函数y =-12x 2的图象关于x 轴对称，得出阴影部分面积即是半圆面积求出即可．【详解】解：∵C 1是函数y =-12x 2的图象，C 2是函数y =-12x 2的图象，且当x 相等时，两个函数的函数值互为相反数，∴函数y =12x 2的图象与函数y =-12x 2的图象关于x 轴对称，∴阴影部分面积即是半圆面积，∴面积为：12π×22=2π．故选：B ．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象，根据已知得出阴影部分面积即是半圆面积是解题关键．19如图，已知点A 1,A 2,...,A 2024在函数y =2x 2位于第二象限的图像上，点B 1,B 2,...,B 2024在函数y =2x 2位于第一象限的图像上，点C 1,C 2,...,C 2024在y 轴的正半轴上，若四边形O 1A 1C 1B 1,C 1A 2C 2B 2,...,C 2023A 2024C 2024B 2024都是正方形，则正方形C 2023A 2024C 2024B 2024的边长为()A.1012B.10122C.20232D.202322【答案】B【分析】根据正方形对角线平分一组对角可得OB 1与y 轴的夹角为45°，然后表示出OB 1的解析式，再与抛物线解析式联立求出点B 1的坐标，然后求出OB 1的长，再根据正方形的性质求出OC 1，表示出C 1B 2的解析式，与抛物线联立求出B 2的坐标，然后求出C 1B 2的长，再求出C 1C 2的长，然后表示出C 2B 3的解析式，与抛物线联立求出B 3的坐标，然后求出C 2B 3的长，从而根据边长的变化规律解答即可．【详解】解：∵OA 1C 1B 1是正方形，∴OB 1与y 轴的夹角为45°，∴OB 1的解析式为y =x ，联立方程组得：y =xy =2x 2 ，解得x 1=0y 1=0 ，x 2=12y 2=12．∴B 点的坐标是：12，12，∴OB 1=122+122=22=1×22；同理可得：正方形C 1A 2C 2B 2的边长C 1B 2=2×22；⋯依此类推，正方形C 2023A 2024C 2024B 2024的边长是为2024×22=10122．故选B ．【点睛】本题考查了二次函数的对称性，正方形的性质，表示出正方形的边长所在直线的解析式，与抛物线解析式联立求出正方形的顶点的坐标，从而求出边长是解题的关键．20如图，正方形OABC 有三个顶点在抛物线y =14x 2上，点O 是原点，顶点B 在y 轴上则顶点A 的坐标是()A.2,2B.2,2C.4,4D.22,22【答案】C【分析】连接AC 交y 轴于点D ，设点B 坐标为0,m ，根据正方形的性质可得OD =12m ,AD =12m ，从而得到A 12m ,12m，再代入y =14x 2，即可求解．【详解】解：如图，连接AC 交y 轴于点D ，设点B 坐标为0,m ，∵四边形OABC 是正方形，∴OD =12OB ,CD =AD ,AC ⊥y 轴，∴OD =12m ,AD =12m ，∴A 12m ,12m，∵A 在抛物线y =14x 2上，∴12m =14×12m 2，解得m =0(舍去)或8，∴点A 的坐标为4,4 ．故选：C ．【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，正方形的性质，利用数形结合思想解答是解题的关键．21如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为1,1 、1,4 、4,4 ．若抛物线y =ax 2的图象与正方形ABCD 有公共点，则a 的取值范围是．【答案】116≤α≤4【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，二次函数图象上的点的坐标特征等知识，求出抛物线经过两个特殊点时的a 的值即可解决问题．【详解】解：∵正方形ABCD 的顶点A 、B 、C 的坐标分别为1,1 、1,4 、4,4 ．∴D 4，1 ，当抛物线经过点B 1,4 时，则a =4，当抛物线经过D4,1时，a=1 16，观察图象可知，抛物线y=ax2的图象与正方形ABCD有公共点，则a的取值范围是116≤α≤4，故答案为：116≤α≤4．【题型06：二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质】22将抛物线y=x2-4x+3绕原点O顺时针旋转180°，则旋转后的函数表达式为()A.y=x2+4x-3B.y=-x2+4x+3C.y=-x2-4x-3D.y=-x2+4x-3【答案】C【分析】本题考查了二次函数的旋转变换，熟练掌握二次函数的性质和旋转的性质是解题的关键．设P x,y为旋转之后所得抛物线上的一点，P绕原点O顺时针旋转180°点P -x,-y，则P 是在旋转后的抛物线上，然后代入化简即可解答．【详解】解：设P x,y为旋转之后所得抛物线上的一点，P绕原点O顺时针旋转180°点P -x,-y，由题意可知：P -x,-y是在抛物线y=x2-4x+3上，即：-y=x2+4x+3，化简得：y=-x2-4x-3．故选C．23直线y=ax+b与抛物线y=ax2+bx+b在同一坐标系里的大致图象正确的是()A. B. C. D.【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中a和b的正负情况和二次函数图象中a、b的正负情况，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意，解题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．【详解】解：A、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b<0，故选项不符合题意；B、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b<0，故选项不符合题意；C、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，ab>0，而抛物线对称轴位于y轴右侧，则ab<0，故选项不符合题意；D、由一次函数的图象可知a>0，b>0，由二次函数的性质可知图象a>0，b>0，对称轴位于y轴左侧，则ab>0，故选项符合题意；故选：D．24已知一个二次函数y=ax2+bx+c的自变量x与函数y的几组对应值如下表，x⋯-4-2035⋯y ⋯-24-80-3-15⋯则下列关于这个二次函数的结论正确的是()A.图象的开口向上B.当x >0时，y 的值随x 的值增大而增大C.图象经过第二、三、四象限D.图象的对称轴是直线x =1【答案】D【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的性质．先利用待定系数法求得二次函数解析式，再根据二次函数的性质逐一判断即可．【详解】解：由题意得4a -2b +c =-8c =09a +3b +c =-3 ，解得a =-1c =0b =2，∴二次函数的解析式为y =-x 2+2x =-x -1 2+1，∵a =-1<0，∴图象的开口向下，故选项A 不符合题意；图象的对称轴是直线x =1，故选项D 符合题意；当0<x <1时，y 的值随x 的值增大而增大，当x >1时，y 的值随x 的值增大而减小，故选项B 不符合题意；∵顶点坐标为1,1 且经过原点，图象的开口向下，∴图象经过第一、三、四象限，故选项C 不符合题意；故选：D ．25如图，平面直角坐标系中有两条抛物线，它们的顶点P ，Q 都在x 轴上，平行于x 轴的直线与两条抛物线相交于A ，B ，C ，D 四点，若AB =10，BC =5，CD =6，则PQ 的长度为()A.7B.8C.9D.10【答案】B【分析】分别作出两条抛物线的对称轴PM ,QN ，交AD 于点M ，N ，得四边形PMNQ 是矩形，利用抛物线的对称性计算即可．本题考查了抛物线的性质，矩形的性质，熟练掌握抛物线的性质是解题的关键．【详解】分别作出两条抛物线的对称轴PM ,QN ，交AD 于点M ，N ，∴四边形PMNQ 是矩形，∴MN =PQ ，∵AB=10，BC=5，CD=6，∴MA=MC=12AC=12AB+BC=152，BN=ND=12BD=12CD+BC=112，∴MN=AD-AM-ND=AB+BC+CD-AM-ND，=21-112-152=8，∴PQ=8，故选B．26二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则关于x的一元二次方程x2-bx+a=0的根的情况是()A.只有一个实数根B.没有实数根C.有两个不相等的实数根D.有两个相等的实数根【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，一元二次方程的判别式，首先根据二次函数的图象得到a<0，b>0，然后判断一元二次方程的判别式求解即可．【详解】∵二次函数图象开口向下，对称轴大于零，∴a<0，-b2a>0∴b>0∴方程x2-bx+a=0的判别式Δ=b2-4ac=-b2-4×1×a=b2-4a>0∴关于x的一元二次方程x2-bx+a=0的根的情况是有两个不相等的实数根．故选：C．27抛物线y=x2+14x+54的顶点坐标是()A.7,5B.7,-5C.-7,5D.-7,-5【答案】C【分析】依据题意，由抛物线为y=x2+14x+54=(x+7)2+5，从而可以判断得解．本题主要考查了二次函数图象与性质，解题时要熟练掌握并能利用顶点式进行判断是关键．【详解】解：由题意，∵抛物线为y=x2+14x+54=(x+7)2+5，∴顶点为-7,5．故选：C．28用配方法将二次函数y=-x2-2x-3化为y=a x-h2+k的形式为()A.y=-x-12-2 D.y=x-12+22-4 C.y=-x+12+3 B.y=x+1【答案】C【分析】本题考查了二次函数的三种表达形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键．运用配方法即可将其化为顶点式．【详解】解：y=-x2-2x-3=-x2+2x+1-2=-x+12-2故选：C．29如图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1，点P、点Q是抛物线与x轴的两个交点，若点P的坐标为-1,0，则点Q的坐标为()A.0,-1D.3,0C.4,0B.2,0【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象和性质，由题意可得点P、点Q关于对称轴对称即可求解．【详解】解：由题意得：点P、点Q关于对称轴对称，∴点Q的坐标为3,0，故选：D．【题型07：二次函数y=ax2+bx+c的最值与求参数范围问题】30已知抛物线y=-x2+2x+1在自变量x的值满足t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为-7，求此时t的值为()A.1或-2B.2或-2C.3或-1D.-1或-2【答案】B【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，分2种情况进行讨论求解即可．【详解】解：∵y=-x2+2x+1=-x-12+2，∴抛物线的开口向下，对称轴为直线x=1，∴抛物线的上的点离对称轴越远，函数值越小，∵t≤x≤t+2时，与其对应的函数值y的最小值为-7，分两种情况：①当t-1≤t+2-1时，即：t≥0时，当x=t+2时，y=-t+22+2t+2+1=-7，解得：t=-4(舍去)或t=2；②当t-1>t+2-1时，即：t<0时，当x=t时，y=-t2+2t+1=-7，解得：t=4(舍去)或t=-2；综上：t的值为2或-2；故选B．31已知二次函数y=x2-2x-1≤x≤t-1，当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，则t的取值范围是()A.0<t≤2B.0<t≤4C.2≤t≤4D.t≥2【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的最值等知识．熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．由y=x2-2x=x-12-1，可知图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为1，-1，当x=-1时，y =3，即-1，3关于对称轴对称的点坐标为3，3，由当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，可得1≤t-1≤3，计算求解，然后作答即可．【详解】解：∵y=x2-2x=x-12-1，∴图象开口向上，对称轴为直线x=1，顶点坐标为1，-1，当x=-1时，y=3，∴-1，3关于对称轴对称的点坐标为3，3，∵当x=-1时，函数取得最大值；当x=1时，函数取得最小值，∴1≤t-1≤3，解得，2≤t≤4，故选：C．32已知抛物线y=x2+(2a-1)x-3，当-1≤x≤3时，函数最大值为1，则a值为()A.-12B.-13C.-12或-13D.-1或-13【答案】D【分析】根据顶点的位置分两种情况讨论即可．【详解】解：∵y=x2+(2a-1)x-3，∴图象开口向上，对称轴为直线x=-2a-12，∵-1≤x≤3，∴当-2a-12≤1时，即a≥-12，x=3时有最大值1，∴9+(2a-1)×3-3=1，∴a=-13，当-2a-12≥1时，即a≤-12，x=-1时有最大值1，∴1+(2a-1)×(-1)-3=1，∴a=-1，∴a=-1或-13，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数性质以及二次函数的最值，分类讨论是解题的关键．33已知二次函数y=x-m2-1(m为常数)，当自变量x的值满足2≤x≤5时，与其对应的函数值y 的最小值为3，则m的值为()A.0或3B.0或7C.3或4D.4或7【答案】B【分析】利用二次函数的性质，分三种情况求解即可．【详解】解：∵y=x-m2-1，∴当x=m时，y的最小值为-1．当m<2时，在2≤x≤5中，y随x的增大而增大，∴2-m2-1=3，解得：m1=0，m2=4(舍去)；当2≤m≤5时，y的最小值为-1，舍去；当m>5时，在2≤x≤5中，y随x的增大而减小，∴5-m2-1=3，解得：m1=3(舍去)，m2=7．∴m的值为0或7．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的性质，以及二次函数图象上点的坐标特征，分三种情况求解是解题的关键．34已知二次函数y=mx2-2mx+2(m≠0)在-2≤x≤2时有最小值-2，则m=()A.-4或-12B.4或-12C.-4或12D.4或12【答案】B【分析】本题考查了二次函数的性质，根据解析式可得对称轴为直线x=1，进而分m>0和m<0两种情况讨论，根据二次函数的性质，即可求解．【详解】解：∵二次函数解析式为y=mx2-2mx+2(m≠0)，∴二次函数对称轴为直线x=-2m-2m=1，当m>0时，∵在-2≤x≤2时有最小值-2，∴当x=1时，y=m-2m+2=-2，∴m=4；当m<0时，∵在-2≤x≤2时有最小值-2，∴当x=-2时，y=4m+4m+2=-2，∴m=-12；综上所述，m=4或m=-1 2，故选：B．35已知二次函数y=-x2-2x+2，当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，则m的取值范围是()A.m≥-1B.m≤2C.-3≤m≤-1D.0≤m≤2【答案】C【分析】本题主要考查二次函数的性质，依据题意，由y=-x2-2x+2=-x+12+3，可得当x=-1时，y取最大值是3，又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，故m≤-1≤m+2，进而计算可以得解．【详解】解：由题意，∵y=-x2-2x+2=-x+12+3，∴当x=-1时，y取最大值是3．又当m≤x≤m+2时，函数y的最大值是3，∴m≤-1≤m+2．∴-3≤m≤-1．故选：C．【题型08：根据二次函数y=ax2+bx+c的图像判断有关的信息】36已知二次函数y=ax2+bx+c a≠0的图象如图所示，对称轴为x=32，且经过点-1,0，下列结论：①ab<0；②8b-3c=0；③若y≤c，则0≤x≤3．其中正确的有()A.0个B.1个C.2个D.3个【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质及二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题的关键．由对称轴为x =32即可判断①，由抛物线经过点-1,0 ，得出a -b +c =0，对称轴x =-b 2a =32，得出a =-13b ，代入即可判断②；根据二次函数的性质以及抛物线的对称性即可判断③．【详解】解：∵对称轴x =-b 2a =32，∴b =-3a ，∴ab =-3a 2<0，①正确；∵经过点-1,0 ，∴a -b +c =0，∵对称轴x =-b 2a =32，∴a =-13b ，∴-13b -b +c =0，∴3c =4b ，∴4b -3c =0，故②错误；∵对称轴x =32，∴点0,c 的对称点为3,c ，∵开口向上，∴y ≤c 时，0≤x ≤3．故③正确；综上所述，正确的有2个．故选：C ．37二次函数y =ax 2+bx +c 的图像如图所示，下列结论错误的是()A.y有最小值B.当-1<x<2时，y<0C.a+b+c>0D.当x<-1时，y随x的增大而减小【答案】C【分析】本题考查了抛物线的图像及其性质，根据性质，结合图像判断解答即可.【详解】解：A、由图像可知函数有最小值，故正确；B、由抛物线可知当-1<x<2时，y<0，故正确；C、当x=1时，y<0，即a+b+c<0，故错误；D、由图像可知在对称轴的左侧y随x的增大而减小，故正确.故选：C.38二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，与x轴左侧交点为-1,0，对称轴是直线x=1．下列结论：①abc>0；②3a+c>0；③a+c2-b2<0；④a+b≤m am+b(m为实数)．其中结论正确的为()A.①④B.②③④C.①②④D.①②③④【答案】A【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质是解题关键．根据抛物线开口方向，对称轴位置，以及与y轴交点位置，可判断①结论；由抛物线对称轴得到b=-2a，再结合当x=-1时，y= 0，可判断②结论；根据平方差公式展开，可判断③结论；根据抛物线的最小值，可判断④结论．【详解】解：由图象可知，抛物线开口向上，对称轴在y轴右侧，与y轴交点在负半轴，∴a>0，a、b异号，c<0，∴b<0，∴abc>0，①结论正确；∵抛物线对称轴是直线x=1，=1，∴-b2a∴b=-2a，由图象可知，当x=-1时，y=0，∴a-b+c=a--2a+c=3a+c=0，②结论错误；由图象可知，当x=1时，y<0，∴a+b+c<0，又∵a-b+c=0，∴a+ca+c-b=0，③结论错误；2-b2=a+c+b∵当x=1时，y=a+b+c为最小值，∴a+b+c≤am2+bm+c，∴a+b≤m am+b，④结论正确，故选：A．39已知二次函数y=ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列结论正确的是()A.abc>0B.关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x1=-2，x2=3C.a+b=c-bD.a+4b=3c【答案】C【分析】本题考查了二次函数的图象和性质；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．根据二次函数的图象先判定a,b,c的符号，再结合对称轴求解抛物线与x轴的交点坐标，再进一步逐一分析即可．【详解】解：由函数图像可知开口向下，与y轴交于正半轴，∴a<0，c>0，∵对称轴为x=-b=1，2a∴b>0，∴abc <0，故A 不符合题意；∵抛物线与x 轴交于3,0 ，对称轴为直线x =1，∴抛物线与x 轴的另一个交点为-1,0 ，∴关于x 的一元二次方程ax 2+bx +c =0的根是x 1=-1，x 2=3；故B 不符合题意；∵抛物线与x 轴交于3,0 ，-1,0 ，对称轴为直线x =1，∴b =-2aa -b +c =09a +3b +c =0，解得：b =-2ac =-3a ，∴∵a +b =a -2a =-a ，c -b =-3a --2a =-a ∴a +b =c -b ，故C 符合题意；∴a +4b =a +-8a =-7a ≠-9a ；∴a +4b =3c 错误，故D 不符合题意；故选：C ．40如图，二次函数y =ax 2+bx +c a ≠0 的图象与x 轴交于点A 3,0 ，与y 轴交于点B ，对称轴为直线x =1，下列四个结论：①bc <0；②3a +2c <0；③ax 2+bx ≥a +b ；④若-2<c <-1，则-83<a +b +c <-43，其中正确结论的个数为()A.1个B.2个C.3个D.4【答案】C【分析】此题考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键，利用开口方向和对称轴的位置即可判断①，利用对称轴和特殊点的函数值即可判断②，利用二次函数的最值即可判断③，求出c =-3a ，进一步得到13<a <23，又根据b =-2a 得到a +b +c =a -2a -3a =-4a ，即可判断④.【详解】解：①∵函数图象开口方向向上，∴a >0；∵对称轴在y 轴右侧，∴a 、b 异号，∴b <0，∵抛物线与y轴交点在y轴负半轴，∴c<0，∴bc>0，故①错误；②∵二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A3,0，与y轴交于点B，对称轴为直线x=1，∴-b2a=1，∵b=-2a，∴x=-1时，y=0，∴a-b+c=0，∴3a+c=0，∴3a+2c<0，故②正确；③∵对称轴为直线x=1，a>0，∴y=a+b+c最小值，ax2+bx+c≥a+b+c，∴ax2+bx≥a+b，故③正确；④∵-2<c<-1，∴根据抛物线与相应方程的根与系数的关系可得x1x2=-1×3=-3=c a，∴c=-3a，∴-2<-3a<-1，∴1 3<a<23，∵b=-2a，∴a+b+c=a-2a-3a=-4a，∴-83<a+b+c<-43，故④正确；综上所述，正确的有②③④，故选：C【题型09：二次函数的平移变换】41将抛物线y=2(x+1)2-3向右平移2个单位，再向上平移1个单位得到的抛物线解析式为()A.y=2(x+3)2-4B.y=2(x+3)2-2C.y=2(x-1)2-2D.y=2x-1【答案】C【分析】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的规律是解答此题的关键．根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=2(x+1)2-3向右平移2个单位，向上平移1个单位得到的抛物线解析式是：y=2 (x+1-2)2-3+1，即y=2(x-1)2-2．故选：C．42将抛物线y=-3x2+2向左平移1个单位，再向下平移3个单位后所得到的抛物线为()A.y=-3(x-1)2-3B.y=-3(x-1)2-1C.y=-3(x+1)2-3D.y=-3(x+1)2-1【答案】D【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移，根据“左加右减、上加下减”的原则进行解答即可．【详解】解：将抛物线y=-3x2+2向左平移1个单位所得直线解析式为：y=-3(x+1)2+2；再向下平移3个单位为：y=-3(x+1)2+2-3，即y=-3(x+1)2-1．故选：D．【题型10：二次函数交点的个数问题】43如图所示，已知函数y1=x2x≤28xx>2的图象与一次函数y2=x+b的图象有三个交点，则b的取值范围是()A.-14≤b≤2 B.b>-14C.-14≤b<2 D.-14<b<2【答案】D【分析】此题考查了一次函数和二次函数图象交点问题，一元二次方程的判别式，首先根据题意画出图象，然后求出A2,4，代入y2=x+b求出b=2；然后得到当一次函数y2=x+b的图象与y=x2相切时，得到x2-x-b=0的Δ=b2-4ac=0，进而求出b=-14，然后根据图象求解即可．【详解】解：如图所示，当x=2时，函数y=x2=22=4，∴A2,4，当一次函数y2=x+b的图象经过点A时，∴4=2+b，解得b=2；当一次函数y2=x+b的图象与y=x2相切时，∴x2=x+b，即x2-x-b=0，∴Δ=b2-4ac=0，∴-12-4×1×-b=0，解得b=-1 4，∴由图象可得，当-14<b<2时，函数y1=x2x≤28xx>2的图象与一次函数y2=x+b的图象有三个交点．故选：D．44如图，二次函数y=-x2+x+2及一次函数y=x+m，将该二次函数在x轴上方的图象沿x轴翻折到x轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新函数，当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是()A.14<m<-3 B.254<m≤1 C.-2<m<1 D.-3<m<-2【答案】D【分析】如图所示，过点B作直线y=x+m，将直线向下平移到恰在点C处相切，则一次函数y=x+m在两条直线之间时，两个图象有4个交点，即可求解【详解】解：在y=-x2+x+2中，当y=0，0=-x2+x+2，解得x1=-1，x2=2，A-1,0，B2,0，当x=0时，y=2，∴原抛物线与y轴交点坐标为0,2，∴翻折后与y轴的交点坐标为0,-2，如图，当直线y=x+m经过点B时，直线y=x+m与新图有3个交点，把B2,0代入y=x+m中，得m=-2，∵抛物线y=-x2+x+2翻折到x轴下方的部分的解析式为：-y=-x2+x+2，∴翻折后的部分解析式为：y=x2-x-2-1<x<2，当直线y=x+m与抛物线y=x2-x-2-1<x<2只有一个交点C时，直线y=x+m与图象有3个交点，把y=x+m代入y=x2-x-2-1<x<2中，得到方程x+m=x2-x-2有两个相等的实数根，整理得x2-2x-2-m=0，∴Δ=-22-4×1×-2-m=0，解得m=-3，∴当直线y=x+m与新图象有4个交点时，m的取值范围是-3<m<-2．故选：D．【点睛】本题主要考查了二次函数与一次函数综合应用，理解题意，找准临界点是解题关键．45抛物线y=-x2+kx+k-54与x轴的一个交点为A(m,0)，若-2≤m≤1，则实数k的取值范围是()A.-214≤k≤1 B.k≤-214或k≥1 C.-5≤k≤98D.k≤-5或k≥98【答案】B【分析】根据抛物线有交点，则-x2+kx+k-54=0有实数根，得出k≤-5或k≥1，分类讨论，分别求得当x=-2和x=1时k的范围，即可求解．。

常考二次函数综合题整理(全)

常考二次函数综合题整理题型一最短路径问题1、如图，抛物线y=﹣12x2+bx+2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且点A的坐标为（1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）判断△ABC的形状，并证明你的结论；（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当△ACM的周长最小时，求点M的坐标．【变式】如图，以D为顶点的抛物线y=﹣x2+bx+c交x轴于A、B两点，交y轴于点C，直线BC的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在直线BC上有一点P，使PO+PA的值最小，求点P的坐标；题型二最大面积（线段最长）问题2、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？并求出这个最大值．3、如图，已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，与y轴相交于点C（0，﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点，PH△x轴于点H，与BC交于点M，连接PC，求线段PM的最大值.【变式】如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在直线BC上方的抛物线上求一点P，使△PBC面积为1；【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，过点P作PE△y轴于点E，连接AE．求△PAE面积S的最大值；题型三存在点构成等腰三角形问题4、如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.5、如图，已知二次函数y=ax 2+bx+3的图象交x 轴于点A （1，0），B （3，0），交y 轴于点C ．（1）求这个二次函数的表达式；（2）直线x=m 分别交直线BC 和抛物线于点M ，N ，当△BMN 是等腰三角形时，直接写出m 的值．【变式】已知二次函数y=ax 2+bx ﹣3a 经过点A （﹣1，0）、C （0，3），与x 轴交于另一点B ，抛物线的顶点为D ．（1）求此二次函数解析式；（2）连接DC 、BC 、DB ，求证：△BCD 是直角三角形；（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P ，使得△PDC 为等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点()0,2C -，点A 的坐标是()2,0，P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ，抛物线的对称轴是直线1x =-.（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P 在第二象限内，且14PE OD =，求PBE ∆的面积．（3）在（2）的条件下，若M 为直线BC 上一点，在x 轴的下方，是否存在点M ，使BDM ∆是以BD 为腰的等腰三角形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型四存在点构成直角三角形问题6、如图，抛物线2y ax bx 4=+-经过()A 3,0-，()B 5,4-两点，与y 轴交于点C ，连接AB ，AC ，BC ．()1求抛物线的表达式；()2求证：AB 平分CAO ∠；()3抛物线的对称轴上是否存在点M ，使得ABM V 是以AB 为直角边的直角三角形，若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax 2+2x+c 与x 轴交于A （﹣1，0）B （3，0）两点，与y 轴交于点C ，点D 是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC 的解析式；（2）请在y 轴上找一点M ，使△BDM 的周长最小，求出点M 的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P ，使以点A ，P ，C 为顶点，AC 为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．●题型四存在点构成等腰直角三角形问题7、已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE△x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．●题型四存在点构成平行四边形问题8、如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）经过点A（3，0），B（﹣1，0），C（0，﹣3）．（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A为圆心的圆与直线BC相切于点M，求切点M的坐标；（3）若点Q在x轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．()B-，对称轴为直线l，点M是线段AB的中点.0,5（1）求抛物线的表达式；（2）写出点M的坐标并求直线AB的表达式；（3）设动点P，Q分别在抛物线和对称轴l上，当以A，P，Q，M为顶点的四边形是平行四边形时，求P，Q两点的坐标.【变式】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．(1)求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；(2)如图，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．9、如图，已知抛物线y=12x2+bx+c与直线AB：y=12x+12相交于点A（1，0）和B（t，52），直线AB交y轴于点C．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）设点M是抛物线对称轴上一点，点N在抛物线上，以点A、B、M、N为顶点的四边形是否可能为矩形？若能，请求出点M的坐标，若不能，请说明理由．10、如图，抛物线顶点P（1，4），与y轴交于点C（0，3），与x轴交于点A，B．（1）求抛物线的解析式．（2）Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．（3）若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E．是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．11、如图，已知点A（﹣1，0），B（3，0），C（0，1）在抛物线y=ax2+bx+c上．（1）求抛物线解析式；（2）在x轴下方且在抛物线对称轴上，是否存在一点Q，使△BQC=△BAC？若存在，求出Q点坐标；若不存在，说明理由．12、如图，抛物线y=ax2+6x+c交x轴于A，B两点，交y轴于点C．直线y=x﹣5经过点B，C．（1）求抛物线的解析式；（2）过点A的直线交直线BC于点M．连接AC，当直线AM与直线BC的夹角等于△ACB 的2倍时，请直接写出点M的坐标【变式】如图，抛物线212y x bx c =-++过点(3,2)A ，且与直线72y x =-+交于B 、C 两点，点B 的坐标为(4,)m ．（1）求抛物线的解析式；（2）设点M 为抛物线的顶点，在y 轴上是否存在点Q ，使45AQM ︒∠=？若存在，求点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，抛物线y=ax 2+bx+c 经过A （﹣1，0），B （4，0），C （0，3）三点，D 为直线BC 上方抛物线上一动点，DE△BC 于E ．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，求线段DE 长度的最大值；（3）如图2，设AB 的中点为F ，连接CD ，CF ，是否存在点D ，使得△CDE 中有一个角与△CFO 相等？若存在，求点D 的横坐标；若不存在，请说明理由．【变式】如图，已知顶点为(0,3)C -的抛物线2(0)y ax b a =+≠与x 轴交于A ，B 两点，直线y x m =+过顶点C 和点B ．（1）求m 的值；（2）求函数2(0)y ax b a =+≠的解析式；（3）抛物线上是否存在点M ，使得15MCB ∠=︒？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由．题型七存在点使三角形相似问题13、如图，以D 为顶点的抛物线y=﹣x 2+bx+c 交x 轴于A 、B 两点，交y 轴于点C ，直线BC 的表达式为y=﹣x+3．（1）求抛物线的表达式；（2）在x 轴上是否存在一点Q ，使得以A 、C 、Q 为顶点的三角形与△BCD 相似？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．14、如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣12x﹣1交于点C．（1）求抛物线解析式及对称轴；（2）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由．【变式】抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）经过点A（﹣1，0），B（32，0），且与y轴相交于点C．（1）求这条抛物线的表达式；（2）求△ACB的度数；（3）设点D是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点E在线段AC上，且DE△AC，当△DCE 与△AOC相似时，求点D的坐标．【变式】如图，抛物线y=12x2+bx+c与直线y=12x+3交于A，B两点，交x轴于C、D两点，连接AC、BC，已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MD|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ△PA交y轴于点Q，问：是否存在点P 使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．题型七二次函数与圆结合问题15、如图，△E的圆心E（3，0），半径为5，△E与y轴相交于A、B两点（点A在点B的上方），与x轴的正半轴交于点C，直线l的解析式为y=x+4，与x轴相交于点D，以点C为顶点的抛物线过点B．（1）求抛物线的解析式；（2）判断直线l与△E的位置关系，并说明理由；（3）动点P在抛物线上，当点P到直线l的距离最小时．求出点P的坐标及最小距离．16、如图，已知抛物线m：y=ax2﹣6ax+c（a＞0）的顶点A在x轴上，并过点B（0，1），直线n：y=﹣x+与x轴交于点D，与抛物线m的对称轴l交于点F，过B点的直线BE与直线n相交于点E（﹣7，7）．（1）求抛物线m的解析式；（2）P是l上的一个动点，若以B，E，P为顶点的三角形的周长最小，求点P的坐标；（3）抛物线m上是否存在一动点Q，使以线段FQ为直径的圆恰好经过点D？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．【变式】在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+53x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y=﹣13x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．【变式】如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=（x-a）（x-3）（0<a<3）的图象与x轴交于点A、B （点A在点B的左侧），与y轴交于点D，过其顶点C作直线CP△x轴，垂足为点P，连接AD、BC．（1）求点A、B、D的坐标；（2）若△AOD与△BPC相似，求a的值；（3）点D、O、C、B能否在同一个圆上，若能，求出a的值，若不能，请说明理由.。

二次函数中考常见题型及解析

二次函数中考常见题型及解析二次函数在中考数学中是一个非常重要的知识点，通常都会有相关的考题出现。

下面就为大家总结了二次函数中考常见的题型及解析，供大家参考。

一、基本形式的图像与性质题1.二次函数 $y=ax^2$ 的图像是什么？二次函数 $y=ax^2$ 的图像是一条开口朝上或朝下的抛物线。

2.二次函数 $y=ax^2$ 的对称轴方程是什么？二次函数 $y=ax^2$ 的对称轴方程是 $x=0$（对称轴为 $y$ 轴）。

3.二次函数 $y=ax^2$ 的零点是什么？当 $y=ax^2=0$ 时，$x=0$，所以二次函数 $y=ax^2$ 的零点是原点$(0,0)$。

4.二次函数 $y=ax^2$ 的单调性是什么？当 $a>0$ 时，二次函数 $y=ax^2$ 开口朝上，单调递增；当 $a<0$ 时，二次函数 $y=ax^2$ 开口朝下，单调递减。

二、变形图像与性质题1.二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的图像是什么？二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的图像是以 $(h,k)$ 为顶点的开口朝上或朝下的抛物线。

2.二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的对称轴方程是什么？二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的对称轴方程是 $x=h$（对称轴为以$(h,k)$ 为顶点的直线）。

3.二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的零点是什么？当 $y=a(x-h)^2+k=0$ 时，$x=h\pm \sqrt{-\frac{k}{a}}$，所以二次函数$y=a(x-h)^2+k$ 的零点为 $x=h+\sqrt{-\frac{k}{a}}$ 和 $x=h-\sqrt{-\frac{k}{a}}$。

4.二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 的单调性是什么？当 $a>0$ 时，二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 开口朝上，单调递增；当$a<0$ 时，二次函数 $y=a(x-h)^2+k$ 开口朝下，单调递减。

中考数学复习之二次函数常考66种题型专题7 与二次函数图象有关的八种考法(含答案及解析)

专题7 与二次函数图象有关的八种考法-重难点题型【题型1 根据条件确定二次函数的图象】【例1】（2020•镇平县一模）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．【变式1-1】（2020秋•北仑区期中）若a＞0，则二次函数y＝ax2+2x﹣1的图象可能是（）A．B．C．D．【变式1-2】（2020秋•大连期中）函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【变式1-3】（2020•浙江校级模拟）已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，−12＜x＜13．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．【题型2 根据抛物线特征确定其他函数的图象】【例2】（2020•南宁一模）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象可能是（）A．B．C．D．【变式2-1】（2021秋•和平区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．【变式2-2】（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c 的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【变式2-3】（2020秋•庐阳区期末）如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象在同一坐标系下如图所示，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【题型3 确定一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象】【例3】已知一次函数y=ba x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-1】（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【变式3-2】（2021•越秀区模拟）已知a，b是非零实数，|b|＞|a|，在同一平面直角坐标系xOy中，二次函数y1＝ax2﹣bx与一次函数y2＝ax﹣b的大致图象不大可能的是（）A．B．C．D．【变式3-3】（2021•广西模拟）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b 的图象可能是（）A．B．C．D．【题型4 利用二次函数的图象解决不等式问题】【例4】（2020春•番禺区校级月考）如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣3或x＞1D．x＞﹣1或x＜3【变式4-1】（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3【变式4-2】（2021•南山区校级二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞5B．﹣1＜x＜5C．﹣3＜x＜7D．x＜﹣3或x＞7【变式4-3】（2020•梧州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（）A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4【题型5 利用二次函数的图象解决一元二次方程问题】【例5】（2020秋•松山区期末）如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的解为（）A．x1＝3，x2＝﹣2B．x1＝3，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝3，x2＝﹣3【变式5-1】（2020•海珠区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【变式5-2】（2020•南宁二模）如图，二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数：y＝mx+n （m≠0）的图象交于A，B两点，则一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为（）A．x1＝x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝﹣1，x2＝2D．x1＝x2＝2【变式5-3】（2021•开福区模拟）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax2+bx+c＝3有两个相等的实数根；④当1＜x＜4时，有y2＜y1；⑤若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2；则x1+x2＝1．则命题正确的个数为（）A．5个B．4个C．3个D．2个【题型6 利用二次函数的图象特征判断结论正误】（2021•福田区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝1．下【例6】列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③4a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【变式6-1】（2021•铁岭模拟）数学课上老师出了这样一道题：如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，请同学们据此写出正确结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分；小涛得到了如下结论：①c＞0；②4a﹣b＝0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3，y1），（﹣5，y2），（0，y3）是该抛物线的点，则y1＞y3＞y2．则小涛此题得分为（）A．100分B．70分C．40分D．10分【变式6-2】（2021•槐荫区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（2，0）．下列结论：①ac＜0；②2a+b＝0；③若关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，则t＞0；④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝4．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【变式6-3】（2021•肇源县模拟）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a），下列结论：①abc＞0；②4a+2b+c＞0；③5a﹣b+c＝0；④若方程a（x+5）（x﹣1）＝﹣1有两个根x1和x2，且x1＜x2，则﹣5＜x1＜x2＜1；⑤若方程|ax2+bx+c|＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A．2个B．3个C．4个D．5个【题型7 由几何动点问题确定函数图象】【例7】（2021•聊城）如图，四边形ABCD中，已知AB∥CD，AB与CD之间的距离为4，AD＝5，CD＝3，∠ABC＝45°，点P，Q同时由A点出发，分别沿边AB，折线ADCB 向终点B方向移动，在移动过程中始终保持PQ⊥AB，已知点P的移动速度为每秒1个单位长度，设点P的移动时间为x秒，△APQ的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【变式7-1】（2021•杭州模拟）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为A→B →C，动点Q的运动路线为B→D．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．【变式7-2】（2021•包河区二模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2√2，正方形EFGH中，EF＝2，AB和EF在同一直线上，将△ABC向右平移，则△ABC和正方形EFGH 重叠部分的面积y与点B移动的距离x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【变式7-3】（2021•瑶海区二模）如图，直线a、b都与直线l垂直，垂足分别为E、F，EF ＝1，正方形ABCD的边长为√2，对角线AC在直线l上，且点C位于点E处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点F重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD 位于直线a、b之间部分（阴影部分）的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【题型8 由动点问题的函数图象获取信息】【例8】（2021春•西城区期末）如图1，四边形ABCD是平行四边形，连接BD，动点P从点A出发沿折线AB→BD→DA匀速运动，回到点A后停止．设点P运动的路程为x，线段AP的长为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，则▱ABCD的面积为（）A．24√5B．16√5C．12√5D．36【变式8-1】（2021•花都区三模）如图1，在菱形ABCD中，AB＝6，∠BAD＝120°，点E 是BC边上的一动点，点P是对角线BD上一动点，设PD的长度为x，PE与PC的长度和为y，图2是y关于x的函数图象，其中H（a，b）是图象上的最低点，则a+b的值为（）A．7√3B．6√3+3C．8√3D．3√3+6【变式8-2】（2021春•郑州期末）如图①，E为长方形ABCD的边AD上一点，点P从点B 出发沿折线B﹣E﹣D运动到点D停止，点Q从点B出发沿BC运动到点C停止，它们的运动速度都是1cm/s．现P，Q两点同时出发，设运动时间为x（s），△BPQ的面积为y（cm2），若y与x的对应关系如图②所示，则a的值是（）A．32cm2B．34cm2C．36cm2D．38cm2【变式8-3】（2021•河南）如图1，矩形ABCD中，点E为BC的中点，点P沿BC从点B 运动到点C，设B，P两点间的距离为x，P A﹣PE＝y，图2是点P运动时y随x变化的关系图象，则BC的长为（）A．4B．5C．6D．7专题7 与二次函数图象有关的八种考法-重难点题型【题型1 根据条件确定二次函数的图象】【例1】（2020•镇平县一模）已知函数y＝﹣x2+bx+c，其中b＞0，c＜0，此函数的图象可以是（）A．B．C．D．【解题思路】根据已知条件“a＜0、b＞0、c＜0”判断出该函数图象的开口方向、与x 和y轴的交点、对称轴所在的位置，然后据此来判断它的图象．【解答过程】解：∵a＝﹣1＜0，b＞0，c＜0，∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x=−b2a＞0，与y轴的交点在y轴的负半轴上；故选：D．【变式1-1】（2020秋•北仑区期中）若a＞0，则二次函数y＝ax2+2x﹣1的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据a＞0，判断抛物线开口向上，对称轴为直线x=−22a=−1a＜0，由抛物线解析式可知与y轴的交点为（0，﹣1），据此作出判断即可．【解答过程】解：∵a＞0∴抛物线开口向上，∵对称轴直线x=−22a=−1a＜0，∴对称轴在y轴的左侧，由y＝ax2+2x﹣1可知，抛物线与y轴的交点为（0，﹣1），故选：D．【变式1-2】（2020秋•大连期中）函数y＝ax2+ax+a（a≠0）的图象可能是下列图象中的（）A．B．C．D．【解题思路】根据函数y＝ax2+ax+a（a≠0），对a的正负进行分类讨论，排除有错误的选项，即可得出正确选项．【解答过程】解：在函数y＝ax2+ax+a（a≠0）中，当a＜0时，则该函数开口向下，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的负半轴相交，故选项D错误；当a＞0时，则该函数开口向上，顶点在y轴左侧，抛物线与y轴的正半轴相交，故选项A、B错误；故选项C正确；故选：C．【变式1-3】（2020•浙江校级模拟）已知函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，−12＜x＜13．则函数y＝cx2﹣bx+a的图象可能是下图中的（）A．B．C．D．【解题思路】当y＞0时，−12＜x＜13，所以可判断a＜0，可知−ba=−12+13=−16，ca=−12×13=−16，所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1进而得出解析式，找出符合要求的答案．【解答过程】解：因为函数y＝ax2+bx+c，当y＞0时，−12＜x＜13所以可判断a＜0，可知−ba=−12+13=−16，ca=−12×13=−16所以可知a＝6b，a＝﹣6c，则b＝﹣c，不妨设c＝1则函数y＝cx2﹣bx+a为函数y＝x2+x﹣6即y＝（x﹣2）（x+3）则可判断与x轴的交点坐标是（2，0），（﹣3，0），故选：A．【题型2 根据抛物线特征确定其他函数的图象】【例2】（2020•南宁一模）如图，关于x的二次函数y＝x2﹣x+m的图象交x轴的正半轴于A，B两点，交y轴的正半轴于C点，如果x＝a时，y＜0，那么关于x的一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据函数图象与y轴的交点，可得m＞0，根据二次函数图象当x＝a时，y ＜0，可得a＞0，a﹣1＜0，根据一次函数的性质，可得答案．【解答过程】解：把x＝a代入函数y＝x2﹣x+m，得y＝a2﹣a+m＝a（a﹣1）+m，∵x＝a时，y＜0，即a（a﹣1）+m＜0．由图象交y轴的正半轴于点C，得m＞0，即a（a﹣1）＜0．x＝a时，y＜0，∴a＞0，a﹣1＜0，∴一次函数y＝（a﹣1）x+m的图象过一二四象限，故选：A．【变式2-1】（2021秋•和平区校级月考）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，则一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c在同一坐标系内的图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】根据二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可以得到a、b、c的正负，从而可以得到一次函数y＝ax与一次函数y＝bx﹣c的图象，本题得以解决．【解答过程】解：由二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象可得，a＞0，b＜0，c＞0，∴一次函数y＝ax的图象经过第一、三象限，一次函数y＝bx﹣c的图象经过第二、三、四象限，故选：A．【变式2-2】（2021•江西）在同一平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c 的图象如图所示，则二次函数y＝ax2+bx+c的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据二次函数y＝ax2与一次函数y＝bx+c的图象，即可得出a＞0、b＞0、c＜0，由此即可得出：二次函数y＝ax﹣+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b2a＜0，与y轴的交点在y轴负半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答过程】解：观察函数图象可知：a＞0，b＞0，c＜0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，对称轴x=−b2a＜0，与y轴的交点在y轴负半轴．故选：D．【变式2-3】（2020秋•庐阳区期末）如图，一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象在同一坐标系下如图所示，则函数y＝ax2+（b+1）x+c的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象交点位置，即可判断函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴在交点的位置．【解答过程】解：∵一次函数y＝﹣x与二次函数y＝ax2+bx+c图象的交点在第二象限，∴两个交点的横坐标都是负数，∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴的交点的横坐标都为负数，∴函数y＝ax2+（b+1）x+c的图像与x轴的负半轴有两个交点，故选：D．【题型3 确定一次函数与二次函数在同一坐标系内的图象】【例3】已知一次函数y=ba x+c的图象如图，则二次函数y＝ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据一次函数图象经过的象限，即可得出ba＜0、c＞0，由此即可得出：二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x=−b2a＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴，再对照四个选项中的图象即可得出结论．【解答过程】解：观察函数图象可知：ba＜0、c＞0，∴二次函数y＝ax2+bx+c的图象对称轴x=−b2a＞0，与y轴的交点在y轴负正半轴．故选：A．【变式3-1】（2021•深圳）二次函数y＝ax2+bx+1的图象与一次函数y＝2ax+b在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】由二次函数y＝ax2+bx+c的图象得到字母系数的正负以及对称轴，与一次函数y＝2ax+b的图象得到的字母系数的正负以及与x轴的交点相比较看是否一致．【解答过程】解：A、由抛物线可知，a＞0，b＜0，c＝1，对称轴为直线x=−b2a，由直线可知，a＞0，b＜0，直线经过点（−b2a，0），故本选项符合题意；B、由抛物线可知，对称轴为直线x=−b2a，直线经过点（−b2a，0），故本选项不符合题意；C、由抛物线可知，对称轴为直线x=−b2a，直线经过点（−b2a，0），故本选项不符合题意；D 、由抛物线可知，对称轴为直线x =−b 2a ，直线经过点（−b2a，0），故本选项不符合题意；故选：A ．【变式3-2】（2021•越秀区模拟）已知a ，b 是非零实数，|b |＞|a |，在同一平面直角坐标系xOy 中，二次函数y 1＝ax 2﹣bx 与一次函数y 2＝ax ﹣b 的大致图象不大可能的是（）A ．B ．C ．D ．【解题思路】根据二次函数y ＝ax 2﹣bx 与一次函数y ＝ax ﹣b （a ≠0）可以求得它们的交点坐标，然后根据一次函数的性质和二次函数的性质，由函数图象可以判断a 、b 的正负情况，从而可以解答本题．【解答过程】解：{y =ax 2−bx y =ax −b 解得{x =b a y =0或{x =1y =a −b ．故二次函数y ＝ax 2﹣bx 与一次函数y ＝ax ﹣b （a ≠0）在同一平面直角坐标系中的交点在x 轴上为（ba ，0）或点（1，a ﹣b ）．在A 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＜0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＜0，ba＜0，a﹣b ＞0，故选项A 有可能；在B 中，由一次函数图象可知a ＞0，b ＞0，二次函数图象可知，a ＞0，b ＞0，ba ＞0，由|b |＞|a |，a ﹣b ＜0，故选项B 不可能；在C 中，由一次函数图象可知a ＜0，b ＜0，二次函数图象可知，a ＜0，b ＜0，ba ＞0，由|b |＞|a |，a ﹣b ＞0，故选项C 有可能；在D 中，由一次函数图象可知a ＜0，b ＞0，二次函数图象可知，a ＜0，b ＞0，ba ＜0，a﹣b ＜0，故选项D 有可能；故选：B．【变式3-3】（2021•广西模拟）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax2+bx+2b与y＝﹣ax+b 的图象可能是（）A．B．C．D．【解题思路】根据y＝﹣ax+b的图象判断a、b与0的大小关系，进一步确定函数y＝ax2+bx+2b的图象即可作出判断．【解答过程】解：A、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b的图象开口向上，对称轴x＜0，与y轴的交点位于直线的上方，由ax2+bx+2b＝﹣ax+b整理得ax2+（a+b）x+b＝0，由于△＝（a+b）2﹣4ab＝（a﹣b）2≥0，则两图象有交点，故A错误；B、一次函数的图象经过一、二、四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，故B错误；C、一次函数的图象经过一、二、三象限，则﹣a＞0，即a＜0，b＞0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向下，对称轴x＞0，故C错误；D、一次函数的图象经过二、三，四象限，则﹣a＜0，即a＞0，b＜0，所以函数y＝ax2+bx+2b开口向上，对称轴x＞0，故D正确；故选：D．【题型4 利用二次函数的图象解决不等式问题】【例4】（2020春•番禺区校级月考）如图．抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，则不等式ax2+mx+c＞n的解集为（）A．x＞﹣1B．x＜3C．x＜﹣3或x＞1D．x＞﹣1或x＜3【解题思路】观察两函数图象的上下位置关系，即可得出结论．【解答过程】解：∵抛物线y＝ax2+c与直线y＝mx+n交于A（﹣1，p），B（3，q）两点，∴抛物线y＝ax2+c与直线y＝﹣mx+n交于（1，p），（﹣3，q）两点，观察函数图象可知：当x＜﹣3或x＞1时，抛物线y＝ax2+c在直线y＝﹣mx+n的上方，∴不等式ax2+c＞﹣mx+n的解集为x＜﹣3或x＞1，即不等式ax2+mx+c＞n的解集是x＜﹣3或x＞1．故选：C．【变式4-1】（2021•贺州）如图，已知抛物线y＝ax2+c与直线y＝kx+m交于A（﹣3，y1），B（1，y2）两点，则关于x的不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是（）A．x≤﹣3或x≥1B．x≤﹣1或x≥3C．﹣3≤x≤1D．﹣1≤x≤3【解题思路】y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，利用数形结合思想，把不等式的解集转化为图象的交点问题求解．【解答过程】解：∵y＝kx+m与y＝﹣kx+m的图象关于y轴对称，∴直线y＝﹣kx+m与抛物线y＝ax2+c的交点A′、B′与点A、B也关于y轴对称，如图所示：∵A（﹣3，y1），B（1，y2），∴A′（3，y1），B′（﹣1，y2），根据函数图象得：不等式ax2+c≥﹣kx+m的解集是﹣1≤x≤3，故选：D．【变式4-2】（2021•南山区校级二模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴的右交点A（5，0），对称轴是直线x＝2，当ax2+bx+c＞16a时，x的取值范围是（）A．x＜﹣1或x＞5B．﹣1＜x＜5C．﹣3＜x＜7D．x＜﹣3或x＞7【解题思路】由对称轴公式得直线x=−b2a=2，可得b＝﹣4a，与x轴右交点为(5,0)，代入抛物线得c＝﹣5a，把b＝﹣4a，c＝﹣5a，代入抛物线得ax2﹣4ax﹣5a＞16a，运用不等式的性质可得结果．【解答过程】解：∵y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝2，∴−b2a=2，b＝﹣4a，∴y＝ax2﹣4ax+c，∵与x轴右交点为(5,0)，∴25a﹣20a+c＝0，∴c＝﹣5a，∴y＝ax2﹣4ax﹣5a，∴ax2﹣4ax﹣5a＞16a，ax2﹣4ax﹣21a＞0，∵a＜0，∴x2﹣4x﹣21＜0（两边同除以a，不等号方向改变），∵y＝x2﹣4x﹣21，a＝1，开口向上，当x2﹣4x﹣21＝0时，（x﹣7)(x+3)＝0（结合图象，可得﹣3＜x＜7），∴x1＝7，x2＝﹣3，∴﹣3＜x＜7，故选：C．【变式4-3】（2020•梧州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h交于A，B两点，下列是关于x的不等式或方程，结论正确的是（）A．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是2＜x＜4B．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＞4C．ax2+（b﹣k）x+c＞h的解集是x＜2D．ax2+（b﹣k）x+c＝h的解是x1＝2，x2＝4【解题思路】联立y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，由函数图象知，上述方程的解为x＝2或4，进而求解．【解答过程】解：联立y＝ax2+bx+c与直线y＝kx+h得：ax2+（b﹣k）x+c﹣h＝0，由函数图象知，上述方程的解为x＝2或4，而ax2+（b﹣k）x+c＞h，表示抛物线的值大于直线的值，此时，x＜2或x＞4，故选：D．【题型5 利用二次函数的图象解决一元二次方程问题】【例5】（2020秋•松山区期末）如图所示，二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），则关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0的解为（）A．x1＝3，x2＝﹣2B．x1＝3，x2＝﹣1C．x1＝1，x2＝﹣1D．x1＝3，x2＝﹣3【解题思路】由题意可知交点（3，0）中的横坐标3是方程﹣x2+2x+k＝0的一个根，所以把x1＝3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0，求出k的值，再根据根与系数的关系即可求出另一个解x2的值．【解答过程】解：∵二次函数y＝﹣x2+2x+k的图象与x轴的一个交点坐标为（3，0），∴横坐标3是方程﹣x2+2x+k＝0的一个根，∴把x1＝3代入关于x的一元二次方程﹣x2+2x+k＝0得，﹣9+6+k＝0，解得k＝3，∴原方程可化为：﹣x2+2x+3＝0，∴x1+x2＝3+x2＝2，解得x2＝﹣1．故选：B．【变式5-1】（2020•海珠区校级模拟）二次函数y＝ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，则整数m的最小值为（）A．﹣1B．0C．1D．2【解题思路】根据抛物线的图象以及二次函数与一元二次方程的之间的关系即可求出答案．【解答过程】解：∵ax2+bx+m﹣2＝0有两个不相等的实数根，∴ax2+bx＝2﹣m有两个不相等的实数根，令y1＝ax2+bx，y2＝2﹣m（表示与x轴平行的直线），∴y1与y2有两个交点，∴2﹣m＜2，∴m＞0∵m是整数，∴m＝1，故选：C．【变式5-2】（2020•南宁二模）如图，二次函数：y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数：y＝mx+n （m≠0）的图象交于A，B两点，则一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为（）A．x1＝x2＝﹣1B．x1＝1，x2＝2C．x1＝﹣1，x2＝2D．x1＝x2＝2【解题思路】结合函数图象得到两函数图象的交点的横坐标，则当x＝﹣1或x＝2时，两函数的函数值相等，从而得到一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解．【解答过程】解：∵y＝ax2+bx+c（a≠0）与一次函数：y＝mx+n（m≠0）的图象的交点A、B的横坐标分别为﹣1，2，∴当x＝﹣1或x＝2时，ax2+bx+c＝mx+n，∴一元二次方程ax2+bx+c＝mx+n的解为x1＝﹣1，x2＝2．故选：C．【变式5-3】（2021•开福区模拟）如图，是抛物线y1＝ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标是A（1，3），与x轴的一个交点B（4，0），直线y2＝mx+n（m≠0）与抛物线交于A，B两点，下列结论：①2a+b＝0；②抛物线与x轴的另一个交点是（﹣2，0）；③方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根；④当1＜x ＜4时，有y 2＜y 1；⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，且x 1≠x 2；则x 1+x 2＝1．则命题正确的个数为（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个【解题思路】①根据对称轴可以判断；②根据已知交点坐标和对称轴可以判断；③根据图象性质向下平移3个单位即可判断；④根据图象性质即可判断；⑤根据图象对称性即可判断．【解答过程】解：①∵对称轴为直线x =−b2a =1，则：2a +b ＝0正确；②∵对称轴是直线x ＝1，与x 轴的一个交点是B （4，0），则与x 轴的另一个交点是（﹣2，0），故②正确；③将抛物线y 1=ax 2+bx +c 向下平移3个单位，得到y ＝ax 2+bx +c ﹣3， ∴顶点坐标变为（1，0），∴此时抛物线与x 轴只有一个交点，∴方程ax 2+bx +c ＝3有两个相等的实数根正确； ④当1＜x ＜4时，有图象可知y 2＜y 1正确； ⑤若ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，则ax 12+bx 1+c ＝ax 22+bx 2+c ，即y 1＝y 2，∴x 1、x 2关于函数的对称轴对称，由①知函数对称轴为直线x =−b2a =1，故12（x 1+x 2）＝1，∴⑤不正确，故选：B ．【题型6 利用二次函数的图象特征判断结论正误】【例6】（2021•福田区二模）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，其对称轴是直线x＝1．下列结论：①abc＜0；②a+c＞b；③4a+c＞0；④a+b≤m（am+b）（m为实数）．其中结论正确的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解题思路】该函数开口方向向上，则a＞0，由对称轴可知，b＝﹣2a＜0，与y轴交点在y轴负半轴，则c＜0，再根据一些特殊点，比如x＝1，x＝﹣1，顶点等进行判断即可．【解答过程】解：∵函数开口方向向上，a＞0，∵对称轴为x＝1，则−b2a=1，∴b＝﹣2a＜0，∵与y轴交点在y轴负半轴，∴c＜0，∴abc＞0，故①错；当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，即a+c＞b，故②正确；对称轴为x＝1，则−b2a=1，即b＝﹣2a，由上知，a﹣b+c＞0，则a+2a+c＞0，即3a+c＞0，∴4a+c＞a＞0，故③正确；由图象可得，当x＝1时，函数取得最小值，∴对任意m为实数，有am2+bm+c≥a+b+c，∴am2+bm≥a+b，即a+b≤m（am+b），故④正确．综上，正确的个数有三个．故选：B．【变式6-1】（2021•铁岭模拟）数学课上老师出了这样一道题：如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝﹣2，与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，其部分图象如图所示，请同学们据此写出正确结论，每写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分；小涛得到了如下结论：①c＞0；②4a﹣b＝0；③﹣3a+c＞0；④4a﹣2b≥at2+bt（t为实数）；⑤点（﹣3，y1），（﹣5，y2），（0，y3）是该抛物线的点，则y1＞y3＞y2．则小涛此题得分为（）A．100分B．70分C．40分D．10分【解题思路】由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性可判断①；根据抛物线的对称轴可判断②；由x＝﹣1时y＞0可判断③，由x＝﹣2时函数取得最大值可判断④；根据抛物线的开口向下且对称轴为直线x＝﹣2知图象上离对称轴水平距离越小函数值越大，可判断⑤．【解答过程】解：∵与x轴的一个交点在（﹣3，0）和（﹣4，0）之间，∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（﹣1，0）和（0，0）之间，∴抛物线与y轴的交点在y轴的负半轴，即c＜0，故①错误；∵抛物线的对称轴为直线x=−b2a=−2，∴4a﹣b＝0，所以②正确；∵由②知，x＝﹣1时y＞0，且b＝4a，即a﹣b+c＝a﹣4a+c＝﹣3a+c＞0，所以③正确；由函数图象知当x＝﹣2时，函数取得最大值，∴4a﹣2b+c≥at2+bt+c，即4a﹣2b≥at2+bt（t为实数），故④正确；∵抛物线的开口向下，且对称轴为直线x＝﹣2，∴抛物线上离对称轴水平距离越小，函数值越大，∴y1＞y3＞y2，故⑤正确；∵写对一个结论得20分，写错一个结论倒扣10分，∴小涛得到了70分，故选：B．【变式6-2】（2021•槐荫区一模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的顶点为M（2，0）．下列结论：①ac＜0；②2a+b＝0；③若关于x的方程ax2+bx+c﹣t＝0有两个不相等的实数根，则t＞0；④若ax12+bx1＝ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2＝4．其中正确的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【解题思路】由抛物线开口向上得a＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴上方得c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线的对称轴为直线x=−b2a=2可对②进行判断；由顶点M的坐标为（2，0）得到a+b+c＝4，即4a+b+c＝0，然后把4a＝﹣b代入得到b＝﹣c，再由判别式△＞0，则可对③进行判断；由a x12+bx1＝a x22+bx2得出x1，x2关于对称轴x ＝2对称，则可对④进行判断．【解答过程】解：①∵抛物线开口向上，∴a＞0，∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c＞0，∴ac＞0，所以①不正确；②∵顶点M（2，0），∴抛物线的对称轴为直线x =−b 2a=2， ∴4a +b ＝0，所以②不正确； ③∵抛物线的顶点M 的坐标为（2，0），∴4a +2b +c ＝0，又∵4a +b ＝0，∴b +c ＝0，即b ＝﹣c ，4a ＝c ，∵关于x 的方程ax 2+bx +c ﹣t ＝0有两个不相等的实数根，∴b 2﹣4a （c ﹣t ）＞0，即c 2﹣c （c ﹣t ）＞0，得ct ＞0，∵c ＞0，∴t ＞0，所以③正确；④∵ax 12+bx 1＝ax 22+bx 2，则a x 12+bx 1+c ＝a x 22+bx 2+c ，∵当x ＝x 1与x ＝x 2时，y 值相同，∴x 1，x 2关于对称轴x ＝2对称，则x 1+x 22=2，即x 1+x 2＝4，所以④正确．故选：B ．【变式6-3】（2021•肇源县模拟）二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的大致图象如图所示，顶点坐标为（﹣2，﹣9a ），下列结论：①abc ＞0；②4a +2b +c ＞0；③5a ﹣b +c ＝0；④若方程a （x +5）（x ﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1； ⑤若方程|ax 2+bx +c |＝2有四个根，则这四个根的和为﹣4．其中正确的结论有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【解题思路】根据二次函数的性质一一判断即可．【解答过程】解：∵抛物线的开口向上，则a ＞0，对称轴在y 轴的左侧，则b ＞0，交y 轴的负半轴，则c ＜0，∴abc ＜0，所以①结论错误；∵抛物线的顶点坐标（﹣2，﹣9a ），∴−b 2a =−2，4ac−b 24a=−9a ， ∴b ＝4a ，c ＝﹣5a ，∴抛物线的解析式为y ＝ax 2+4ax ﹣5a ，∴4a +2b +c ＝4a +8a ﹣5a ＝7a ＞0，所以②结论正确，5a ﹣b +c ＝5a ﹣4a ﹣5a ＝﹣4a ＜0，故③结论错误，∵抛物线y ＝ax 2+4ax ﹣5a 交x 轴于（﹣5，0），（1，0），∴若方程a （x +5）（x ﹣1）＝﹣1有两个根x 1和x 2，且x 1＜x 2，则﹣5＜x 1＜x 2＜1，正确，故结论④正确，若方程|ax 2+bx +c |＝1有四个根，设方程ax 2+bx +c ＝1的两根分别为x 1，x 2，则x 1+x 22=−2，可得x 1+x 2＝﹣4，设方程ax 2+bx +c ＝﹣1的两根分别为x 3，x 4，则x 3+x 42=−2，可得x 3+x 4＝﹣4，所以这四个根的和为﹣8，故结论⑤错误，故选：A ．【题型7 由几何动点问题确定函数图象】【例7】（2021•聊城）如图，四边形ABCD 中，已知AB ∥CD ，AB 与CD 之间的距离为4，AD ＝5，CD ＝3，∠ABC ＝45°，点P ，Q 同时由A 点出发，分别沿边AB ，折线ADCB 向终点B 方向移动，在移动过程中始终保持PQ ⊥AB ，已知点P 的移动速度为每秒1个单位长度，设点P 的移动时间为x 秒，△APQ 的面积为y ，则能反映y 与x 之间函数关系的图象是（）A．B．C．D．【解题思路】分点Q在线段AD上，点Q在线段CD上，点Q在线段BC上，三种情况讨论，由三角形面积公式可求解析式，即可求解．【解答过程】解：如图，过点D作DE⊥AB于E，过点C作CF⊥AB于F，∴DE＝CF＝4，DE∥CF，∠CF A＝90°，∴四边形DEFC是矩形，∴DC＝EF＝3，∵AD＝5，DE＝4，∴AE=√AD2−DE2=√25−16=3，∵∠ABC＝45°，∴∠FCB＝∠ABC＝45°，∴CF＝BF＝4，∴AB＝AE+EF+BF＝10，AF＝AE+EF＝6，当点Q在线段AD上时，则0≤x≤3，y=12×x×43x=23x2，当点Q在线段CD上时，则3＜x≤6，y=12×x×4＝2x，当点Q在线段BC上，则6＜x≤10，如图，∵AP＝t，AB＝10，∴BP＝10﹣t，∵∠ABC＝45°，QP⊥AB，∴∠PBQ＝∠PQB＝45°，∴PQ＝PB＝10﹣x，∴y=12×x×（10﹣x）=−12x2+5x，故选：B．【变式7-1】（2021•杭州模拟）如图，正方形ABCD的边长为5，动点P的运动路线为A→B →C，动点Q的运动路线为B→D．点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，当一个点到达终点且停止运动时，另一个点也随之停止．设点P运动的路程为x，△BPQ的面积为y，则y随x变化的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】分两种情况：P点在AB上运动和P点在BC上运动时；分别求出解析式即可．【解答过程】解：（1）点P在AB上运动时，0＜x≤5，如右图，∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，作QE⊥AB交AB于点E，则有AP＝BQ＝x，∠EBQ＝∠EQB＝45°，∴BP＝5﹣x，QE=√22x，∴△BPQ的面积为：y=12BP•QE=12×(5−x)×√22x=−√24x2+5√24x（0＜x≤5），∴此时图象为抛物线开口方向向下；（2）点P在BC上运动时，5＜x≤5√2，如右图，∵正方形ABCD的边长为5，点P与Q以相同的均匀速度分别从A，B两点同时出发，作QE⊥BC交BC于点E，则有AP+BP＝BQ＝x，∠EQB＝45°，∴BP＝x﹣5，QE=√22x，∴△BPQ的面积为：y=12BP•QE=12×（x﹣5）×√22x=√24x2−5√24x（5＜x≤5√2），∴此时图象是抛物线一部分，开口方向向上，且y随x的增大而增大；综上，只有选项B的图象符合，故选：B．【变式7-2】（2021•包河区二模）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2√2，正方形EFGH中，EF＝2，AB和EF在同一直线上，将△ABC向右平移，则△ABC和正方形EFGH 重叠部分的面积y与点B移动的距离x之间的函数图象大致是（）A．B．C．D．【解题思路】首先确定每段与x的函数关系类型，根据函数的性质确定选项．【解答过程】解：∵∠C＝90°，AC＝BC＝2√2，∴△ABC的底边AB边上的高为：AC•sin45°=2√2×√22=2．①当0＜x≤2时，y=12x2，故第一段函数图象为开口方向向上的抛物线，可排除选项A、D；②当2＜x≤4时，FB＝x﹣2，AE＝4﹣x，∴y=12×(2√2)2−12(x−2)2−12(4−x)2=−x2+6x﹣6，故第二段函数图象为开口方向向下的抛物线，可排除选项B；③当4＜x＜6时，y=12(6−x)2，故第二段函数图象为开口方向向上的抛物线，故选项C符合题意．故选：C．【变式7-3】（2021•瑶海区二模）如图，直线a、b都与直线l垂直，垂足分别为E、F，EF ＝1，正方形ABCD的边长为√2，对角线AC在直线l上，且点C位于点E处，将正方形ABCD沿l向右平移，直到点A与点F重合为止，记点C平移的距离为x，正方形ABCD 位于直线a、b之间部分（阴影部分）的面积为y，则y关于x的函数图象大致为（）A．B．C．D．【解题思路】分0≤x＜≤1、1＜x≤2、2＜x≤3三种情况，分别求出函数表达式，即可求解．【解答过程】解：①当0≤x≤1时，如图1，设平移后的正方形交直线a于点G、H，则EC＝x，△GHC为等腰直角三角形，故GH＝2x，则y＝S△HGC=12×EC•GH=12•x•2x＝x2，为开口向上的抛物线；②当1＜x≤2时，如图2，。

初中数学二次函数题型精讲(含答案和解析)

初中数学二次函数题型精讲解答题1.（2018•福建B卷•14分）已知抛物线y=ax2+bx+c过点A（0.2）.且抛物线上任意不同两点M（x1.y1）.N（x2.y2）都满足：当x1＜x2＜0时.（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0；当0＜x1＜x2时.（x1﹣x2）（y1﹣y2）＜0．以原点O为圆心.OA为半径的圆与抛物线的另两个交点为B.C.且B在C 的左侧.△ABC有一个内角为60°．（1）求抛物线的解析式；（2）若MN与直线y=﹣2x平行.且M.N位于直线BC的两侧.y1＞y2.解决以下问题：①求证：BC平分∠MBN；②求△MBC外心的纵坐标的取值范围．【分析】（1）由A的坐标确定出c的值.根据已知不等式判断出y1﹣y2＜0.可得出抛物线的增减性.确定出抛物线对称轴为y轴.且开口向下.求出b的值.如图1所示.可得三角形ABC为等边三角形.确定出B 的坐标.代入抛物线解析式即可；（2）①设出点M（x1.﹣x12+2）.N（x2.﹣x22+2）.由MN与已知直线平行.得到k值相同.表示出直线MN解析式.进而表示出ME.BE.NF.BF.求出tan∠MBE与tan∠NBF的值相等.进而得到BC为角平分线；②三角形的外心即为三条垂直平分线的交点.得到y轴为BC的垂直平分线.设P为外心.利用勾股定理化简PB2=PM2.确定出△MBC外心的纵坐标的取值范围即可．【解答】解：（1）∵抛物线过点A（0.2）.∴c=2.当x1＜x2＜0时.x1﹣x2＜0.由（x1﹣x2）（y1﹣y2）＞0.得到y1﹣y2＜0. ∴当x＜0时.y随x的增大而增大.同理当x＞0时.y随x的增大而减小.∴抛物线的对称轴为y轴.且开口向下.即b=0.∵以O为圆心.OA为半径的圆与抛物线交于另两点B.C.如图1所示. ∴△ABC为等腰三角形.∵△ABC中有一个角为60°.∴△ABC为等边三角形.且OC=OA=2.设线段BC与y轴的交点为点D.则有BD=CD.且∠OBD=30°.∴BD=OB•cos30°=.OD=OB•sin30°=1.∵B在C的左侧.∴B的坐标为（﹣.﹣1）.∵B点在抛物线上.且c=2.b=0.∴3a+2=﹣1.解得：a=﹣1.则抛物线解析式为y=﹣x2+2；（2）①由（1）知.点M（x1.﹣x12+2）.N（x2.﹣x22+2）.∵MN与直线y=﹣2x平行.∴设直线MN的解析式为y=﹣2x+m.则有﹣x12+2=﹣2x1+m.即m=﹣x12+2x1+2.∴直线MN解析式为y=﹣2x﹣x12+2x1+2.把y=﹣2x﹣x12+2x1+2代入y=﹣x2+2.解得：x=x1或x=2﹣x1. ∴x2=2﹣x1.即y2=﹣（2﹣x1）2+2=﹣x12+4x1﹣10.作ME⊥BC.NF⊥BC.垂足为E.F.如图2所示.∵M.N位于直线BC的两侧.且y1＞y2.则y2＜﹣1＜y1≤2.且﹣＜x1＜x2.∴ME=y1﹣（﹣1）=﹣x12+3.BE=x1﹣（﹣）=x1+.NF=﹣1﹣y2=x12﹣4x1+9.BF=x2﹣（﹣）=3﹣x1.在Rt△BEM中.tan∠MBE===﹣x1.在Rt△BFN中.tan∠NBF=====﹣x1.∵tan∠MBE=tan∠NBF.∴∠MBE=∠NBF.则BC平分∠MBN；②∵y轴为BC的垂直平分线.∴设△MBC的外心为P（0.y0）.则PB=PM.即PB2=PM2.根据勾股定理得：3+（y0+1）2=x12+（y0﹣y1）2.∵x12=2﹣y2.∴y02+2y0+4=（2﹣y1）+（y0﹣y1）2.即y0=y1﹣1.由①得：﹣1＜y1≤2.∴﹣＜y0≤0.则△MBC的外心的纵坐标的取值范围是﹣＜y0≤0．【点评】此题属于二次函数综合题.涉及的知识有：待定系数法求二次函数解析式.二次函数的图象与性质.锐角三角函数定义.勾股定理.熟练掌握各自的性质是解本题的关键．2.（2018•广东•9分）如图.已知顶点为C（0.﹣3）的抛物线y=ax2+b （a≠0）与x轴交于A.B两点.直线y=x+m过顶点C和点B．（1）求m的值；（2）求函数y=ax2+b（a≠0）的解析式；（3）抛物线上是否存在点M.使得∠MCB=15°？若存在.求出点M的坐标；若不存在.请说明理由．【分析】（1）把C（0.﹣3）代入直线y=x+m中解答即可；（2）把y=0代入直线解析式得出点B的坐标.再利用待定系数法确定函数关系式即可；（3）分M在BC上方和下方两种情况进行解答即可．【解答】解：（1）将（0.﹣3）代入y=x+m.可得：m=﹣3；（2）将y=0代入y=x﹣3得：x=3.所以点B的坐标为（3.0）.将（0.﹣3）、（3.0）代入y=ax2+b中.可得：.解得：.所以二次函数的解析式为：y=x2﹣3；（3）存在.分以下两种情况：①若M在B上方.设MC交x轴于点D.则∠ODC=45°+15°=60°.∴OD=OC•tan30°=.设DC为y=kx﹣3.代入（.0）.可得：k=.联立两个方程可得：.解得：.所以M1（3.6）；②若M在B下方.设MC交x轴于点E.则∠OEC=45°﹣15°=30°.∴OE=OC•tan60°=3.设EC为y=kx﹣3.代入（3.0）可得：k=.联立两个方程可得：.解得：.所以M2（.﹣2）.综上所述M的坐标为（3.6）或（.﹣2）．【点评】此题主要考查了二次函数的综合题.需要掌握待定系数法求二次函数解析式.待定系数法求一次函数解析式等知识是解题关键．3.（2018•广西贵港•11分）如图.已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴相交于A（﹣1.0）.B（3.0）两点.与y轴相交于点C（0.﹣3）．（1）求这个二次函数的表达式；（2）若P是第四象限内这个二次函数的图象上任意一点.PH⊥x轴于点H.与BC交于点M.连接PC．①求线段PM的最大值；②当△PCM是以PM为一腰的等腰三角形时.求点P的坐标．【分析】（1）根据待定系数法.可得答案；（2）①根据平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标.可得二次函数.根据二次函数的性质.可得答案；②根据等腰三角形的定义.可得方程.根据解方程.可得答案．【解答】解：（1）将A.B.C代入函数解析式.得.解得.这个二次函数的表达式y=x2﹣2x﹣3；（2）设BC的解析是为y=kx+b.将B.C的坐标代入函数解析式.得.解得.BC的解析是为y=x﹣3.设M（n.n﹣3）.P（n.n2﹣2n﹣3）.PM=（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）=﹣n2+3n=﹣（n﹣）2+.当n=时.PM最大=；②当PM=PC时.（﹣n2+3n）2=n2+（n2﹣2n﹣3+3）2.解得n1=0（不符合题意.舍）.n2=﹣（不符合题意.舍）.n3=. n2﹣2n﹣3=2﹣2﹣3=﹣2﹣1.P（.﹣2﹣1）．当PM=MC时.（﹣n2+3n）2=n2+（n﹣3+3）2.解得n1=0（不符合题意.舍）.n2=﹣7（不符合题意.舍）.n3=1.n2﹣2n﹣3=1﹣2﹣3=﹣4.P（1.﹣4）；综上所述：P（1.﹣4）或（.﹣2﹣1）．【点评】本题考查了二次函数综合题.解（1）的关键是利用待定系数法求函数解析式.解（2）①的关键是利用平行于y轴直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标得出二次函数.又利用了二次函数的性质；解（2）②的关键是利用等腰三角形的定义得出关于n的方程.要分类讨论.以防遗漏．4.（2018•贵州黔西南州•14分）某种蔬菜的销售单价y1与销售月份x 之间的关系如图1所示.成本y2与销售月份x之间的关系如图2所示（图1的图象是线段.图2的图象是抛物线）（1）已知6月份这种蔬菜的成本最低.此时出售每千克的收益是多少元？（收益=售价﹣成本）（2）哪个月出售这种蔬菜.每千克的收益最大？简单说明理由．（3）已知市场部销售该种蔬菜4.5两个月的总收益为22万元.且5月份的销售量比4月份的销售量多2万千克.求4.5两个月的销售量分别是多少万千克？【分析】（1）找出当x=6时.y1.y2的值.二者做差即可得出结论；（2）观察图象找出点的坐标.利用待定系数法即可求出y1.y2关于x 的函数关系式.二者做差后利用二次函数的性质即可解决最值问题；（3）求出当x=4时.y1﹣y2的值.设4月份的销售量为t万千克.则5月份的销售量为（t+2）万千克.根据总利润=每千克利润×销售数量.即可得出关于t的一元一次方程.解之即可得出结论．【解答】解：（1）当x=6时.y1=3.y2=1.∵y1﹣y2=3﹣1=2.∴6月份出售这种蔬菜每千克的收益是2元．（2）设y1=mx+n.y2=a（x﹣6）2+1．将（3.5）、（6.3）代入y1=mx+n..解得：.∴y1=﹣x+7；将（3.4）代入y2=a（x﹣6）2+1.4=a（3﹣6）2+1.解得：a=.∴y2=（x﹣6）2+1=x2﹣4x+13．∴y1﹣y2=﹣x+7﹣（x2﹣4x+13）=﹣x2+x﹣6=﹣（x﹣5）2+．∵﹣＜0.∴当x=5时.y1﹣y2取最大值.最大值为.即5月份出售这种蔬菜.每千克的收益最大．（3）当t=4时.y1﹣y2=﹣x2+x﹣6=2．设4月份的销售量为t万千克.则5月份的销售量为（t+2）万千克. 根据题意得：2t+（t+2）=22.解得：t=4.∴t+2=6．答：4月份的销售量为4万千克.5月份的销售量为6万千克．【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、二次函数的性质以及一元一次方程的应用.解题的关键是：（1）观察函数图象.找出当x=6时y1﹣y2的值；（2）根据点的坐标.利用待定系数法求出y1.y2关于x的函数关系式；（3）找准等量关系.正确列出一元一次方程．5.（2018•贵州铜仁•14分）如图.已知抛物线经过点A（﹣1.0）.B （4.0）.C（0.2）三点.点D与点C关于x轴对称.点P是x轴上的一个动点.设点P的坐标为（m.0）.过点P做x轴的垂线l交抛物线于点Q.交直线于点M．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F（0.）.当点P在x轴上运动时.试求m为何值时.四边形DMQF是平行四边形？（3）点P在线段AB运动过程中.是否存在点Q.使得以点B.Q、M为顶点的三角形与△BOD相似？若存在.求出点Q的坐标；若不存在.请说明理由．【分析】（1）待定系数法求解可得；（2）先利用待定系数法求出直线BD解析式为y=x﹣2.则Q（m.﹣m2+m+2）、M（m.m﹣2）.由QM∥DF且四边形DMQF是平行四边形知QM=DF.据此列出关于m的方程.解之可得；（3）易知∠ODB=∠QMB.故分①∠DOB=∠MBQ=90°.利用△DOB∽△MBQ 得==.再证△MBQ∽△BPQ得=.即=.解之即可得此时m的值；②∠BQM=90°.此时点Q与点A重合.△BOD∽△BQM′.易得点Q坐标．【解答】解：（1）由抛物线过点A（﹣1.0）、B（4.0）可设解析式为y=a（x+1）（x﹣4）.将点C（0.2）代入.得：﹣4a=2.解得：a=﹣.则抛物线解析式为y=﹣（x+1）（x﹣4）=﹣x2+x+2；（2）由题意知点D坐标为（0.﹣2）.设直线BD解析式为y=kx+b.将B（4.0）、D（0.﹣2）代入.得：.解得：.∴直线BD解析式为y=x﹣2.∵QM⊥x轴.P（m.0）.∴Q（m.﹣m2+m+2）、M（m.m﹣2）.则QM=﹣m2+m+2﹣（m﹣2）=﹣m2+m+4.∵F（0.）、D（0.﹣2）.∴DF=.∵QM∥DF.∴当﹣m2+m+4=时.四边形DMQF是平行四边形. 解得：m=﹣1（舍）或m=3.即m=3时.四边形DMQF是平行四边形；（3）如图所示：∵QM∥DF.∴∠ODB=∠QMB.分以下两种情况：①当∠DOB=∠MBQ=90°时.△DOB∽△MBQ.则===.∵∠MBQ=90°.∴∠MBP+∠PBQ=90°.∵∠MPB=∠BPQ=90°.∴∠MBP+∠BMP=90°.∴∠BMP=∠PBQ.∴△MBQ∽△BPQ.∴=.即=.解得：m1=3.m2=4.当m=4时.点P、Q、M均与点B重合.不能构成三角形.舍去.∴m=3.点Q的坐标为（3.2）；②当∠BQM=90°时.此时点Q与点A重合.△BOD∽△BQM′.此时m=﹣1.点Q的坐标为（﹣1.0）；综上.点Q的坐标为（3.2）或（﹣1.0）时.以点B.Q、M为顶点的三角形与△BOD相似．6.（2018•海南•15分）如图1.抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A（﹣1.0）和点B（3.0）．（1）求该抛物线所对应的函数解析式；（2）如图2.该抛物线与y轴交于点C.顶点为F.点D（2.3）在该抛物线上．①求四边形ACFD的面积；②点P是线段AB上的动点（点P不与点A.B重合）.过点P作PQ⊥x轴交该抛物线于点Q.连接AQ、DQ.当△AQD是直角三角形时.求出所有满足条件的点Q的坐标．【分析】（1）由A.B两点的坐标.利用待定系数法即可求得抛物线解析式；（2）①连接CD.则可知CD∥x轴.由A.F的坐标可知F、A到CD的距离.利用三角形面积公式可求得△ACD和△FCD的面积.则可求得四边形ACFD的面积；②由题意可知点A处不可能是直角.则有∠ADQ=90°或∠AQD=90°.当∠ADQ=90°时.可先求得直线AD解析式.则可求出直线DQ解析式.联立直线DQ和抛物线解析式则可求得Q点坐标；当∠AQD=90°时.设Q（t.﹣t2+2t+3）.设直线AQ的解析式为y=k1x+b1.则可用t表示出k′.设直线DQ解析式为y=k2x+b2.同理可表示出k2.由AQ⊥DQ则可得到关于t的方程.可求得t的值.即可求得Q点坐标．【解答】解：（1）由题意可得.解得.∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）①∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4.∴F（1.4）.∵C（0.3）.D（2.3）.∴CD=2.且CD∥x轴.∵A（﹣1.0）.∴S四边形ACFD=S△ACD+S△FCD=×2×3+×2×（4﹣3）=4；②∵点P在线段AB上.∴∠DAQ不可能为直角.∴当△AQD为直角三角形时.有∠ADQ=90°或∠AQD=90°.i．当∠ADQ=90°时.则DQ⊥AD.∵A（﹣1.0）.D（2.3）.∴直线AD解析式为y=x+1.∴可设直线DQ解析式为y=﹣x+b′.把D（2.3）代入可求得b′=5.∴直线DQ解析式为y=﹣x+5.联立直线DQ和抛物线解析式可得.解得或. ∴Q（1.4）；ii．当∠AQD=90°时.设Q（t.﹣t2+2t+3）.设直线AQ的解析式为y=k1x+b1.把A.Q坐标代入可得.解得k1=﹣（t﹣3）.设直线DQ解析式为y=k2x+b2.同理可求得k2=﹣t.∵AQ⊥DQ.∴k1k2=﹣1.即t（t﹣3）=﹣1.解得t=.当t=时.﹣t2+2t+3=.当t=时.﹣t2+2t+3=.∴Q点坐标为（.）或（.）；综上可知Q点坐标为（1.4）或（.）或（.）．【点评】本题为二次函数的综合应用.涉及待定系数法、三角形的面积、二次函数的性质、直角三角形的性质及分类讨论思想等知识．在（1）中注意待定系数法的应用.在（2）①中注意把四边形转化为两个三角形.在②利用互相垂直直线的性质是解题的关键．本题考查知识点较多.综合性较强.难度适中．7.（2018•贵州遵义•14分）在平面直角坐标系中.二次函数y=ax2+ x+c的图象经过点C（0.2）和点D（4.﹣2）．点E是直线y=﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①.若点M是二次函数图象上的点.且在直线CE的上方.连接MC.OE.ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②.经过A.B.C三点的圆交y轴于点F.求点F的坐标．【分析】（1）把C与D坐标代入二次函数解析式求出a与c的值.确定出二次函数解析式.与一次函数解析式联立求出E坐标即可；（2）过M作MH垂直于x轴.与直线CE交于点H.四边形COEM面积最大即为三角形CME面积最大.构造出二次函数求出最大值.并求出此时M坐标即可；（3）令y=0.求出x的值.得出A与B坐标.由圆周角定理及相似的性质得到三角形AOC与三角形BOF相似.由相似得比例求出OF的长.即可确定出F坐标．【解答】解：（1）把C（0.2）.D（4.﹣2）代入二次函数解析式得：.解得：.即二次函数解析式为y=﹣x2+x+2.联立一次函数解析式得：.消去y得：﹣x+2=﹣x2+x+2.解得：x=0或x=3.则E（3.1）；（2）如图①.过M作MH∥y轴.交CE于点H.设M（m.﹣m2+m+2）.则H（m.﹣m+2）.∴MH=（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）=﹣m2+2m.S四边形COEM=S△OCE+S△CME=×2×3+MH•3=﹣m2+3m+3.当m=﹣=时.S最大=.此时M坐标为（.3）；（3）连接BF.如图②所示.当﹣x2+x+20=0时.x1=.x2=.∴OA=.OB=.∵∠ACO=∠ABF.∠AOC=∠FOB.∴△AOC∽△FOB.∴=.即=.解得：OF=.则F坐标为（0.﹣）．8．（2018年湖南省娄底市）如图.抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1.0）、B（3.0）、C（0.3）.D是抛物线的顶点.E是线段AB的中点．（1）求抛物线的解析式.并写出D点的坐标；（2）F（x.y）是抛物线上的动点：①当x＞1.y＞0时.求△BDF的面积的最大值；②当∠AEF=∠DBE时.求点F的坐标．【分析】（1）根据点A.B.C的坐标.利用待定系数法即可求出抛物线的解析式.再利用配方法即可求出抛物线顶点D的坐标；（2）①过点F作FM∥y轴.交BD于点M.根据点B.D的坐标.利用待定系数法可求出直线BD的解析式.根据点F的坐标可得出点M的坐标.利用三角形的面积公式可得出S△BDF=﹣x2+4x﹣3.再利用二次函数的性质即可解决最值问题；②过点E作EN∥BD交y轴于点N.交抛物线于点F1.在y轴负半轴取ON′=ON.连接EN′.射线EN′交抛物线于点F2.则∠AEF1=∠DBE.∠AEF2=∠DBE.根据EN∥BD结合点E的坐标可求出直线EF1的解析式.联立直线EF1.抛物线的解析式成方程组.通过解方程组即可求出点F1的坐标.同理可求出点F2的坐标.此题得解．【解答】解：（1）将A（﹣1.0）、B（3.0）、C（0.3）代入y=ax2+bx+c..解得：.∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4.∴顶点D的坐标为（1.4）．（2）①过点F作FM∥y轴.交BD于点M.如图1所示．设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0）.将（3.0）、（1.4）代入y=mx+n..解得：.∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．∵点F的坐标为（x.﹣x2+2x+3）.∴点M的坐标为（x.﹣2x+6）.∴FM=﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x2+4x﹣3.∴S△BDF=FM•（y B﹣y D）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1．∵﹣1＜0.∴当x=2时.S△BDF取最大值.最大值为1．②过点E作EN∥BD交y轴于点N.交抛物线于点F1.在y轴负半轴取ON′=ON.连接EN′.射线EN′交抛物线于点F2.如图2所示．∵EF1∥BD.∴∠AEF1=∠DBE．∵ON=ON′.EO⊥NN′.∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．∵E是线段AB的中点.A（﹣1.0）.B（3.0）.∴点E的坐标为（1.0）．设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1.将E（1.0）代入y=﹣2x+b1.﹣2+b1=0.解得：b1=2.∴直线EF1的解析式为y=﹣2x+2．联立直线EF1.抛物线解析式成方程组..解得：.（舍去）.∴点F1的坐标为（2﹣.2﹣2）．当x=0时.y=﹣2x+2=2.∴点N的坐标为（0.2）.∴点N′的坐标为（0.﹣2）．同理.利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2．联立直线EF2.抛物线解析式成方程组..解得：.（舍去）.∴点F2的坐标为（﹣.﹣2﹣2）．综上所述：当∠AEF=∠DBE时.点F的坐标为（2﹣.2﹣2）或（﹣.﹣2﹣2）．【点评】本题考查了待定系数法求二次（一次）函数解析式、三角形的面积、平行线的性质以及二次函数的最值.解题的关键是：（1）根据点的坐标.利用待定系数法求出抛物线解析式；（2）①根据三角形的面积公式找出S△BDF=﹣x2+4x﹣3；②联立直线与抛物线的解析式成方程组.通过解方程组求出点F的坐标．9．(2018湖南省邵阳市)（10分）如图所示.将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折.然后向右平移1个单位.再向上平移4个单位.得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点B.和x轴的交点为点C.D（点D位于点C的左侧）．（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；（2）从点A.C.D三个点中任取两个点和点B构造三角形.求构造的三角形是等腰三角形的概率；（3）若点M是线段BC上的动点.点N是△ABC三边上的动点.是否存在以AM为斜边的Rt△AMN.使△AMN的面积为△ABC面积的？若存在.求tan∠MAN的值；若不存在.请说明理由．【分析】（1）利用配方法得到y=x2+2x+1=（x+1）2.然后根据抛物线的变换规律求解；（2）利用顶点式y=（x+1）2得到A（﹣1.0）.解方程﹣x2+4=0得D （﹣2.0）.C（2.0）易得B（0.4）.列举出所有的三角形.再计算出AC=3.AD=1.CD=4.AB=.BC=2.BD=2.然后根据等腰三角形的判定方法和概率公式求解；（3）易得BC的解析是为y=﹣2x+4.S△ABC=6.M点的坐标为（m.﹣2m+4）（0≤m≤2）.讨论：①当N点在AC上.如图1.利用面积公式得到（m+1）（﹣2m+4）=2.解得m1=0.m2=1.当m=0时.求出AN=1.MN=4.再利用正切定义计算tan∠MAC的值；当m=1时.计算出AN=2.MN=2.再利用正切定义计算tan∠MAC的值；②当N点在BC上.如图2.先利用面积法计算出AN=.再根据三角形面积公式计算出MN=.然后利用正切定义计算tan∠MAC的值；③当N点在AB上.如图3.作AH⊥BC于H.设AN=t.则BN=﹣t.由②得AH=.利用勾股定理可计算出BH=.证明△BNM∽△BHA.利用相似比可得到MN=.利用三角形面积公式得到•（﹣t）•=2.根据此方程没有实数解可判断点N在AB上不符合条件.从而得到tan∠MAN的值为1或4或．【解答】解：（1）y=x2+2x+1=（x+1）2的图象沿x轴翻折.得y=﹣（x+1）2．把y=﹣（x+1）2向右平移1个单位.再向上平移4个单位.得y=﹣x2+4. ∴所求的函数y=ax2+bx+c的解析式为y=﹣x2+4；（2）∵y=x2+2x+1=（x+1）2.∴A（﹣1.0）.当y=0时.﹣x2+4=0.解得x=±2.则D（﹣2.0）.C（2.0）；当x=0时.y=﹣x2+4=4.则B（0.4）.从点A.C.D三个点中任取两个点和点B构造三角形的有：△ACB.△ADB.△CDB.∵AC=3.AD=1.CD=4.AB=.BC=2.BD=2.∴△BCD为等腰三角形.∴构造的三角形是等腰三角形的概率=；（3）存在．易得BC的解析是为y=﹣2x+4.S△ABC=AC•OB=×3×4=6.M点的坐标为（m.﹣2m+4）（0≤m≤2）.①当N点在AC上.如图1.∴△AMN的面积为△ABC面积的.∴（m+1）（﹣2m+4）=2.解得m1=0.m2=1.当m=0时.M点的坐标为（0.4）.N（0.0）.则AN=1.MN=4.∴tan∠MAC===4；当m=1时.M点的坐标为（1.2）.N（1.0）.则AN=2.MN=2.∴tan∠MAC==；②当N点在BC上.如图2.BC==2.∵BC•AN=AC•BC.解得AN==.∵S△AMN=AN•MN=2.∴MN==.∴∠MAC===；③当N点在AB上.如图3.作AH⊥BC于H.设AN=t.则BN=﹣t.由②得AH=.则BH==.∵∠NBG=∠HBA.∴△BNM∽△BHA.∴=.即=.∴MN=.∵AN•MN=2.即•（﹣t）•=2.整理得3t2﹣3t+14=0.△=（﹣3）2﹣4×3×14=﹣15＜0.方程没有实数解.∴点N在AB上不符合条件.综上所述.tan∠MAN的值为1或4或．【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的判定、概率公式；理解二次函数图象的图象变换规律.会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质.记住两点间的距离公式.会利用相似比表示线段之间的关系；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。

初中数学二次函数题型精讲(含答案和解析)

初中数学二次函数题型精讲1.（2018•湖州•6分）已知抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1.0）.（3.0）.求a.b的值．【分析】根据抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1.0）.（3.0）.可以求得A.b的值.本题得以解决．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx﹣3（a≠0）经过点（﹣1.0）.（3.0）. ∴.解得..即a的值是1.b的值是﹣2．【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征.解答本题的关键是明确题意.利用二次函数的性质解答．2.（2018•金华、丽水•10分）如图.抛物线（a≠0）过点E（10.0）.矩形ABCD的边AB在线段OE上（点A在点B的左边）.点 C . D在抛物线上．设A（t. 0）.当t=2时.AD=4．（1）求抛物线的函数表达式．（2）当t为何值时.矩形ABCD的周长有最大值？最大值是多少？（3）保持t=2时的矩形ABCD不动.向右平移抛物线．当平移后的抛物线与矩形的边有两个交点G . H . 且直线GH平分矩形的面积时.求抛物线平移的距离．【解析】【分析】（1）抛物线中有两个字母a,b未知.则需要两个点的坐标.E点已知.由当t=2时.AD=4.可得D的坐标.由待定系数法代入求出a.b的值即可；（2）求矩形ABCD的周长最大值.可以联系到二次函数在求最值中的应用.因为矩形ABCD的周长随着t的变化而变化.不妨用t的代数式表示出矩形ABCD的周长.再运用二次函数求最值的方法去做；（3）因为矩形ABCD是中心对称图形.设其中心为点P.所以只要GH经过该矩形的中心即可；先理清抛物线在平移时抛物线与矩形ABCD边的交点位置.一开始.抛物线从D开始出发.与线段CD和AD有交点.而过这两个交点的直线必不经过点P.同样这两个交点分别在BC和AB上时.也不经过点P.则可得出当G.H分别在线段AB和CD上时.存在这样的直线经过点P.从而根据平移的性质得出结果即可。

二次函数实际问题题型总结

二次函数实际问题题型总结二次函数是高中数学中比较重要的一个章节，它表示的是一种形式为$y=ax^2+bx+c$ 的函数关系。

我们可以通过这个函数来解决很多实际问题，例如运动问题、经济学问题、物理学问题等等。

下面来总结一下二次函数实际问题的题型：1.飞行时间问题。

如果一架飞机从地面起飞并上升至高度 $H$，则它的飞行时间可以表示为 $t=\frac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$。

其中 $a$ 表示重力加速度，$b$ 表示初速度， $c$ 表示起飞高度。

2.弹射高度问题。

如果一个弹球从地面弹射，并上升至高度 $H$ 后又落回地面，它的弹射高度可以表示为 $H=\frac{V_i^2\sin^2\theta}{2g}$。

其中$V_i$ 表示初速度， $\theta$ 表示仰角， $g$ 表示重力加速度。

3.投射距离问题。

如果一个物体以速度 $V$ 投出，发射角度为 $\theta$，则它的投射距离可以表示为 $R=\frac{V^2\sin2\theta}{g}$。

4.向上抛球的时间问题。

如果一个物体在 $t$ 秒时从地面抛出，当它达到最高点的时候它的高度为 $H$，则它的上升时间可以表示为$t=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{H}{g}}$。

其中 $g$ 表示重力加速度。

5.落地时间问题。

如果一个物体从高度为 $H$ 的地方落下，则它的落地时间可以表示为 $t=\sqrt{\frac{2H}{g}}$。

6.成本问题。

如果生产一个产品的成本可以表示为 $C(x)=ax^2+bx+c$，其中$x$ 表示生产的数量， $a$ 表示固定成本， $b$ 表示每个产品的变动成本， $c$ 表示额外的成本，则我们可以通过求导数来确定生产的最优数量。

7.利润问题。

如果销售一个产品的收入可以表示为 $R(x)=mx$，其中 $m$ 表示每个产品的销售额，则利润可以表示为 $P(x)=R(x)-C(x)$。

二次函数经典题型(含答案)

二次函数经典题型（启东教育）1.看图，解答下列问题．（1）求经过A 、B 、C 三点的抛物线解析式；（2）通过配方，求该抛物线的顶点坐标和对称轴；（3）用平滑曲线连结各点，画出该函数图象．2.已知函数y =x 2+bx -1的图象经过点（3，2）（1）求这个函数的解析式；（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；（3）当x >0时，求使y ≥2的x 的取值范围．3.已知抛物线y ＝－x 2＋mx －m ＋2．（1）若抛物线与x 轴的两个交点A 、B 分别在原点的两侧，并且AB ＝5，试求m 的值；（2）设C 为抛物线与y 轴的交点，若抛物线上存在关于原点对称的两点M 、N ，并且 △MNC 的面积等于27，试求m 的值．4.如图，已知点A （tan α，0），B （tan β，0）在x 轴正半轴上，点A 在点B 的左边，α、β 是以线段AB 为斜边、顶点C 在x 轴上方的Rt △ABC 的两个锐角．（1）若二次函数y ＝－x 2－25kx ＋（2＋2k －k 2）的图象经过A 、B 两点，求它的解析式；（2）点C 在（1）中求出的二次函数的图象上吗请说明理由．5.已知抛物线2y x kx b =++经过点(23)(10)P Q --，，，．（1）求抛物线的解析式．（2）设抛物线顶点为N ，与y 轴交点为A ．求sin AON ∠的值．（3）设抛物线与x 轴的另一个交点为M ，求四边形OANM 的面积．6.已知抛物线y=ax 2+bx+c 经过A ，B ，C 三点，当x≥0时，其图象如图所示．(1)求抛物线的解析式，写出抛物线的顶点坐标；(2)画出抛物线y=ax 2+bx+c 当x<0时的图象；(3)利用抛物线y=ax 2+bx+c,写出x 为何值时，y>0．7.已知抛物线c bx ax y ++=2与y轴的交点为C ，顶点为M ，直线CM 的解析式 y=-x+2 并且线段CM 的长为22（1）求抛物线的解析式。

初中数学《二次函数》十大题型汇编含解析

二次函数【十大题型】【题型1 辨别二次函数】 (1)【题型2 由二次函数的定义求字母的值】 (3)【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】 (4)【题型4 二次函数的一般形式】 (6)【题型5 求二次函数的值】 (7)【题型6 判断函数关系】 (9)【题型7 列二次函数关系式(几何图形)】 (11)【题型8 列二次函数关系式(增长率)】 (14)【题型9 列二次函数关系式(循环)】 (15)【题型10 列二次函数关系式(销售)】 (16)知识点1：二次函数的定义一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数．其中x、y是变量，a、b、c是常量，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）也叫做二次函数的一般形式．【题型1 辨别二次函数】【例1】（23-24九年级上·江西南昌·阶段练习）下列函数解析式中，yy一定是xx的二次函数的是（）A．yy=2aaxx2B．yy=2xx+aa2C．yy=2xx2−1D．yy=xx2+1xx【答案】C【分析】本题考查二次函数的识别，形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)的函数是二次函数，根据定义逐一判断即可得到答案．【详解】解：A，当aa=0时，yy=2aaxx2=0，不是二次函数，不合题意；B，yy=2xx+aa2，yy是xx的一次函数，不合题意；C，yy=2xx2−1，yy一定是xx的二次函数，符合题意；D，yy=xx2+1xx中含有分式，不是二次函数，不合题意；故选C．【变式1-1】（23-24九年级上·安徽安庆·阶段练习）下列函数是二次函数的是（）A．yy=2xx−1B．yy=√xx2−1C．yy=xx2−1D．yy=12xx【答案】C【分析】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如yy=aaxx2+bbxx+cc （aa、b、c为常数，aa≠0）的函数叫二次函数．根据二次函数的定义逐个判断即可．【详解】解：A、函数yy=2xx−1是一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B、函数yy=√xx2−1根号内含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意；C、函数yy=xx2−1是二次函数，故本选项符合题意；D、函数yy=12xx分母中含有x，不是二次函数，故本选项不符合题意．故选：C．【变式1-2】（23-24九年级下·江苏·专题练习）下列函数关系式中，二次函数的个数有（）（1）yy=3(xx−1)2+1；（2）yy=1xx2−xx；（3）SS=3−2tt2；（4）yy=xx4+2xx2−1；（5）yy=3xx(2−xx)+3xx2；（6）yy=mmxx2+8．A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】B【分析】本题考查了二次函数的定义，一般地，形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa,bb,cc为常数，aa≠0)的函数叫做二次函数．判断一个函数是不是二次函数，在关系式是整式的前提下，如果把关系式化简整理（去括号、合并同类项)后，能写成yy=aaxx2+bbxx+cc(aa,bb,cc为常数，aa≠0)的形式，那么这个函数就是二次函数，否则就不是．【详解】解：（1）yy=3(xx−1)2+1是二次函数，故符合题意；（2）yy=1xx2−xx，不是二次函数，故不符合题意；（3）SS=3−2tt2是二次函数，故符合题意；（4）yy=xx4+2xx2−1不是二次函数，故不符合题意；（5）yy=3xx(2−xx)+3xx2=6xx不是二次函数，故不符合题意；（6）yy=mmxx2+8，不确定m是否为0，不一定是二次函数，故不符合题意；综上所述，二次函数有2个．故选：B．【变式1-3】（23-24九年级上·湖南长沙·期末）下列函数①yy=5xx−5；②yy=3xx2−1；③yy=4xx3−3xx2；④yy=2xx2−2xx+1；⑤yy=1xx2．其中是二次函数的是．【答案】②④/④②【分析】根据二次函数的定义，函数式为整式且自变量的最高次数为2，二次项系数不为0，逐一判断．【详解】解：①yy=5xx−5为一次函数；②yy=3xx2−1为二次函数；③yy=4xx3−3xx3自变量次数为3，不是二次函数；④yy=2xx2−2xx+1为二次函数；⑤yy=1xx2函数式为分式，不是二次函数．故答案为②④．【点睛】本题考查二次函数的定义，能够根据二次函数的定义判断函数是否属于二次函数是解决本题的关键．【题型2 由二次函数的定义求字母的值】【例2】（23-24九年级下·广东东莞·期中）已知函数yy=(mm−1)xx mm2+1是二次函数，则mm=．【答案】−1【分析】根据定义得：形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa、bb、cc是常数，且aa≠0)的函数是二次函数，列方程可求得答案．【详解】解：依题意得：mm2+1=2且mm−1≠0，解得mm=−1．故答案为：−1．【点睛】本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数yy=aaxx2+bbxx+cc中，aa是常数，本题关键点为aa≠0．【变式2-1】（23-24九年级上·江苏扬州·阶段练习）如果yy=2xx|mm|+3xx−1是关于xx的二次函数，则mm=．【答案】±2【分析】本题主要考查了二次函数的定义，直接利用二次函数的定义得出答案．【详解】解：∵yy=2xx|mm|+3xx−1是关于x的二次函数，∴|mm|=2，解得：mm=±2．故答案为：±2．【变式2-2】（23-24九年级上·湖北·周测）如果函数yy=(kk−1)xx kk2−kk+2+kkxx−1是关于x的二次函数，则kk=．【答案】0【分析】本题考查了二次函数的定义．根据二次函数的定义得到kk−1≠0且kk2−kk+2=2，然后解不等式和方程即可得到k的值．【详解】解：根据题意，得kk−1≠0且kk2−kk+2=2，解得kk=0．故答案为：0．【变式2-3】（23-24九年级下·广东广州·期末）如果yy=(kk−3)xx�kk－1�+xx−3是二次函数，佳佳求出k的值为3，敏敏求出k的值为－1，她们俩中求得结果正确的是．【答案】敏敏【分析】本题考查了二次函数的定义，由定义得|kk−1|=2，kk−3≠0，即可求解；理解定义：“一般地，形如yy=aaxx2+bbxx+cc（a、b、c是常数，aa≠0）的函数叫做二次函数．” 是解题的关键．【详解】解：∵yy=(kk−3)xx�kk－1�+xx−3是二次函数，∴|kk−1|=2，解得kk1=3，kk2=−1，又∵kk−3≠0，即kk≠3，∴kk=−1，故敏敏正确．【题型3 由二次函数的定义求字母的取值范围】【例3】（23-24九年级上·上海嘉定·期末）如果函数yy=(kk−1)xx2+kkxx−1（kk是常数）是二次函数，那么kk的取值范围是．【答案】kk≠1【分析】根据：“形如yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)，这样的函数叫做二次函数”，得到kk−1≠0，即可．【详解】解：由题意，得：kk−1≠0，∴kk≠1；故答案为：kk≠1．【变式3-1】（23-24九年级上·浙江嘉兴·开学考试）已知函数yy=(mm2−mm)xx2+(mm−1)xx−2（m为常数）．(1)若这个函数是关于x的一次函数，求m的值．(2)若这个函数是关于x的二次函数，求m的取值范围．【答案】(1)mm=0；(2)mm≠1且mm≠0．【分析】（1）根据一次函数的定义即可解决问题；（2）根据二次函数的定义即可解决问题．【详解】（1）解：依题意mm2−mm=0且mm−1≠0，所以mm=0；（2）解：依题意mm2−mm≠0，所以mm≠1且mm≠0．【点睛】本题考查一次函数的定义、二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握基本概念，属于中考常考题型．【变式3-2】（23-24九年级上·广东江门·阶段练习）已知关于xx的二次函数yy=(aa2−1)xx2+xx−2，则aa的取值范围是（）A．aa≠1B．aa≠−1C．aa≠±1D．为任意实数【答案】C【分析】根据二次函数定义可得aa2−1≠0，解出答案即可．【详解】因为关于xx的二次函数yy=(aa2−1)xx2+xx−2，∴aa2−1≠0，解得：aa≠±1．故选：C．【点睛】本题考查的是二次函数yy=aaxx2+bbxx+cc(aa≠0)概念，熟练掌握二次函数定义是解题关键．【变式3-3】（23-24九年级下·四川遂宁·期中）已知函数yy=(mm2-2)xx2+(mm+√2)xx+8．若这个函数是二次函数，求mm的取值范围【答案】mm≠√2且mm≠-√2【分析】根据二次函数的定义，即可得不等式mm2-2≠0，解不等式即可求得．【详解】解：∵函数yy=(mm2-2)xx2+(mm+√2)xx+8是二次函数，∴mm2-2≠0，解得mm≠±√2，故答案为：mm≠√2且mm≠-√2．【点睛】本题考查了二次函数的定义，熟练掌握和运用二次函数的定义是解决本题的关键．【题型4 二次函数的一般形式】【例4】（23-24九年级上·四川南充·阶段练习）二次函数yy=xx2−3xx+5的二次项是，一次项系数是，常数项是．【答案】xx2−3 5【分析】根据二次函数的定义判断即可。

初中数学二次函数题型精讲(含答案和解析)

初中数学二次函数题型精讲一,填空题1, （2018•乌鲁木齐•4分）把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为．【分析】将原抛物线配方成顶点式,再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1.∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1.故答案为：y=2x2+1．【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换,解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”．2,（2018•江苏淮安•3分）将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是y=x2+2 ．【分析】先确定二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0,﹣1）,再根据点平移的规律得到点（0,﹣1）平移后所得对应点的坐标为（0,2）,然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．【解答】解：二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为（0,﹣1）,把点（0,﹣1）向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为（0,2）,所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2．故答案为：y=x2+2．【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式．3,（2018•江苏苏州•3分）如图,已知AB=8,P为线段AB上的一个动点,分别以AP,PB为边在AB的同侧作菱形APCD和菱形PBFE,点P,C,E 在一条直线上,∠DAP=60°．M,N分别是对角线AC,BE的中点．当点P 在线段AB上移动时,点M,N之间的距离最短为2（结果留根号）．【分析】连接PM、PN．首先证明∠MPN=90°设PA=2a,则PB=8﹣2a,PM=a,PN=（4﹣a）,构建二次函数,利用二次函数的性质即可解决问题；【解答】解：连接PM、PN．∵四边形APCD,四边形PBFE是菱形,∠DAP=60°.∴∠APC=120°,∠EPB=60°.∵M,N分别是对角线AC,BE的中点.∴∠CPM=∠APC=60°,∠EPN=∠EPB=30°,∴∠MPN=60°+30°=90°.设PA=2a,则PB=8﹣2a,PM=a,PN=（4﹣a）.∴MN===.∴a=3时,MN有最小值,最小值为2.故答案为2．【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理二次函数的性质等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构建二次函数解决最值问题．4, （2018•乌鲁木齐•4分）把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为．【分析】将原抛物线配方成顶点式,再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1.∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1.故答案为：y=2x2+1．【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换,解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”．5, （2018•湖州•4分）如图,在平面直角坐标系xOy中,已知抛物线y=ax2+bx（a＞0）的顶点为C,与x轴的正半轴交于点A,它的对称轴与抛物线y=ax2（a＞0）交于点B．若四边形ABOC是正方形,则b的值是﹣2 ．【分析】根据正方形的性质结合题意,可得出点B的坐标为（﹣,﹣）,再利用二次函数图象上点的坐标特征即可得出关于b的方程,解之即可得出结论．【解答】解：∵四边形ABOC是正方形.∴点B的坐标为（﹣,﹣）．∵抛物线y=ax2过点B.∴﹣=a（﹣）2.解得：b1=0（舍去）,b2=﹣2．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐特征以及正方形的性质,利用正方形的性质结合二次函数图象上点的坐标特征,找出关于b的方程是解题的关键．6, （2018·黑龙江哈尔滨·3分）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为（﹣2,4）．【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．【解答】解：∵y=2（x+2）2+4.∴该抛物线的顶点坐标是（﹣2,4）.故答案为：（﹣2,4）．【点评】本题考查二次函数的性质,解答本题的关键是由顶点式可以直接写出二次函数的顶点坐标．7,（2018•福建A卷•4分）如图,直线y=x+m与双曲线y=相交于A,B 两点,BC∥x轴,AC∥y轴,则△ABC面积的最小值为 6 ．【分析】根据双曲线y=过A,B两点,可设A（a,）,B（b,）,则C （a,）．将y=x+m代入y=,整理得x2+mx﹣3=0,由于直线y=x+m与双曲线y=相交于A,B两点,所以A,b是方程x2+mx﹣3=0的两个根,根据根与系数的关系得出a+b=﹣m,ab=﹣3,那么（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．再根据三角形的面积公式得出S△ABC=AC•BC=m2+6,利用二次函数的性质即可求出当m=0时,△ABC的面积有最小值6．【解答】解：设A（a,）,B（b,）,则C（a,）．将y=x+m代入y=,得x+m=.整理,得x2+mx﹣3=0.则a+b=﹣m,ab=﹣3.∴（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=m2+12．∵S△ABC=AC•BC=（﹣）（a﹣b）=••（a﹣b）=（a﹣b）2=（m2+12）=m2+6.∴当m=0时,△ABC的面积有最小值6．故答案为6．【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标,把两个函数关系式联立成方程组求解,若方程组有解则两者有交点,方程组无解,则两者无交点．也考查了函数图象上点的坐标特征,根与系数的关系,三角形的面积,二次函数的性质．8．（2018•贵州黔西南州•3分）已知：二次函数y=ax2+bx+c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示,那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3,0）．x …﹣1 0 1 2 …y …0 3 4 3 …【分析】根据（0,3）、（2,3）两点求得对称轴,再利用对称性解答即可．【解答】解：∵抛物线y=ax2+bx+c经过（0,3）、（2,3）两点.∴对称轴x==1；点（﹣1,0）关于对称轴对称点为（3,0）.因此它的图象与x轴的另一个交点坐标是（3,0）．故答案为：（3,0）．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点,关键是熟练掌握二次函数的对称性．9,（2018•贵州遵义•4分）如图抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C,点P是抛物线对称轴上任意一点,若点D,E,F分别是BC,BP、PC的中点,连接DE,DF,则DE+DF的最小值为．【分析】直接利用轴对称求最短路线的方法得出P点位置,再求出AO,CO的长,进而利用勾股定理得出答案．【解答】解：连接AC,交对称轴于点P.则此时PC+PB最小.∵点D,E,F分别是BC,BP、PC的中点.∴DE=PC,DF=PB.∵抛物线y=x2+2x﹣3与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C.∴0=x2+2x﹣3解得：x1=﹣3,x2=1.x=0时,y=3.故CO=3.则AO=3,可得：AC=PB+PC=3.故DE+DF的最小值为：．故答案为：．10, （2018•乌鲁木齐•4分）把拋物线y=2x2﹣4x+3向左平移1个单位长度,得到的抛物线的解析式为．【分析】将原抛物线配方成顶点式,再根据“左加右减、上加下减”的规律求解可得．【解答】解：∵y=2x2﹣4x+3=2（x﹣1）2+1.∴向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为y=2（x+1﹣1）2+1=2x2+1.故答案为：y=2x2+1．【点评】本题主要考查二次函数图象与几何变换,解题的关键是掌握函数图象的平移规律“左加右减、上加下减”．二,解答题1, （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·10分）绿色生态农场生产并销售某种有机产品,假设生产出的产品能全部售出．如图,线段EF、折线ABCD分别表示该有机产品每千克的销售价y1（元）、生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系．（1）求该产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（2）直接写出生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式；（3）当产量为多少时,这种产品获得的利润最大？最大利润为多少？【分析】（1）根据线段EF经过的两点的坐标利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（2）显然,当0≤x≤50时,y2=70；当130≤x≤180时,y2=54；当50＜x＜130时,设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n,利用待定系数法确定一次函数的表达式即可；（3）利用：总利润=每千克利润×产量,根据x的取值范围列出有关x的二次函数,求得最值比较可得．【解答】解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1=kx+b.∵经过点（0,168）与（180,60）.∴,解得：.∴产品销售价y1（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y1=﹣x+168（0≤x≤180）；（2）由题意,可得当0≤x≤50时,y2=70；当130≤x≤180时,y2=54；当50＜x＜130时,设y2与x之间的函数关系式为y2=mx+n.∵直线y2=mx+n经过点（50,70）与（130,54）.∴,解得.∴当50＜x＜130时,y2=﹣x+80．综上所述,生产成本y2（元）与产量x（kg）之间的函数关系式为y2=；（3）设产量为xkg时,获得的利润为W元.①当0≤x≤50时,W=x（﹣x+168﹣70）=﹣（x﹣）2+. ∴当x=50时,W的值最大,最大值为3400；②当50＜x＜130时,W=x[（﹣x+168）﹣（﹣x+80）]=﹣（x﹣110）2+4840.∴当x=110时,W的值最大,最大值为4840；③当130≤x≤180时,W=x（﹣x+168﹣54）=﹣（x﹣95）2+5415. ∴当x=130时,W的值最大,最大值为4680．因此当该产品产量为110kg时,获得的利润最大,最大值为4840元．【点评】本题考查了二次函数的应用,待定系数法求二次函数的解析式,解题的关键是从实际问题中抽象出二次函数模型．2, （2018·湖北江汉油田、潜江市、天门市、仙桃市·12分）抛物线y=﹣x2+x﹣1与x轴交于点A,B（点A在点B的左侧）,与y轴交于点C,其顶点为D．将抛物线位于直线l：y=t（t＜）上方的部分沿直线l向下翻折,抛物线剩余部分与翻折后所得图形组成一个“M”形的新图象．（1）点A,B,D的坐标分别为（,0）, （3,0）, （,）；（2）如图①,抛物线翻折后,点D落在点E处．当点E在△ABC内（含边界）时,求t的取值范围；（3）如图②,当t=0时,若Q是“M”形新图象上一动点,是否存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P？若存在,求出点P的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点A,B的坐标,再利用配方法即可找出抛物线的顶点D的坐标；（2）由点D的坐标结合对称找出点E的坐标,根据点B,C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,再利用一次函数图象上点的坐标特征即可得出关于t的一元一次不等式组,解之即可得出t的取值范围；（3）假设存在,设点P的坐标为（m,0）,则点Q的横坐标为m,分m ＜或m＞3及≤m≤3两种情况,利用勾股定理找出关于m的一元二次方程,解之即可得出m的值,进而可找出点P的坐标,此题得解．【解答】解：（1）当y=0时,有﹣x2+x﹣1=0.解得：x1=,x2=3.∴点A的坐标为（,0）,点B的坐标为（3,0）．∵y=﹣x2+x﹣1=﹣（x2﹣x）﹣1=﹣（x﹣）2+.∴点D的坐标为（,）．故答案为：（,0）；（3,0）；（,）．（2）∵点E,点D关于直线y=t对称.∴点E的坐标为（,2t﹣）．当x=0时,y=﹣x2+x﹣1=﹣1.∴点C的坐标为（0,﹣1）．设线段BC所在直线的解析式为y=kx+b.将B（3,0）、C（0,﹣1）代入y=kx+b.,解得：.∴线段BC所在直线的解析式为y=x﹣1．∵点E在△ABC内（含边界）.∴.解得：≤t≤．（3）当x＜或x＞3时,y=﹣x2+x﹣1；当≤x≤3时,y=x2﹣x+1．假设存在,设点P的坐标为（m,0）,则点Q的横坐标为m．①当m＜或m＞3时,点Q的坐标为（m,﹣x2+x﹣1）（如图1）. ∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P.∴CP⊥PQ.∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+（﹣m2+m）2=m2+1+m2+（﹣m2+m﹣1）2. 整理,得：m1=,m2=.∴点P的坐标为（,0）或（,0）；②当≤m≤3时,点Q的坐标为（m,x2﹣x+1）（如图2）.∵以CQ为直径的圆与x轴相切于点P.∴CP⊥PQ.∴CQ2=CP2+PQ2,即m2+（m2﹣m+2）2=m2+1+m2+（m2﹣m+1）2. 整理,得：11m2﹣28m+12=0.解得：m3=,m4=2.∴点P的坐标为（,0）或（1,0）．综上所述：存在以CQ为直径的圆与x轴相切于点P,点P的坐标为（,0）、（,0）、（1,0）或（,0）．【点评】本题考查了一次（二次）函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式、勾股定理以及解一元二次方程,解题的关键是：（1）利用二次函数图象上点的坐标特征求出点A,B的坐标；（2）利用一次函数图象上点的坐标特征结合点E在△ABC内,找出关于t 的一元一次不等式组；（3）分m＜或m＞3及≤m≤3两种情况,找出关于m的一元二次方程．3, （2018·湖北随州·11分）为迎接“世界华人炎帝故里寻根节”,某工厂接到一批纪念品生产订单,按要求在15天内完成,约定这批纪念品的出厂价为每件20元,设第x天（1≤x≤15,且x为整数）每件产品的成本是p元,p与x之间符合一次函数关系,部分数据如表：天数（x） 1 3 6 10每件成本p（元）7,5 8,5 10 12任务完成后,统计发现工人李师傅第x天生产的产品件数y（件）与x （天）满足如下关系：y=设李师傅第x天创造的产品利润为W元．（1）直接写出p与x,W与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围：（2）求李师傅第几天创造的利润最大？最大利润是多少元？（3）任务完成后．统计发现平均每个工人每天创造的利润为299元．工厂制定如下奖励制度：如果一个工人某天创造的利润超过该平均值,则该工人当天可获得20元奖金．请计算李师傅共可获得多少元奖金？【分析】（1）根据题意和表格中的数据可以求得p与x,W与x之间的函数关系式,并注明自变量x的取值范围：（2）根据题意和题目中的函数表达式可以解答本题；（3）根据（2）中的结果和不等式的性质可以解答本题．【解答】解：（1）设p与x之间的函数关系式为p=kx+b.,解得,.即p与x的函数关系式为p=0,5x+7（1≤x≤15,x为整数）.当1≤x＜10时.W=[20﹣（0,5x+7）]（2x+20）=﹣x2+16x+260.当10≤x≤15时.W=[20﹣（0,5x+7）]×40=﹣20x+520.即W=；（2）当1≤x＜10时.W=﹣x2+16x+260=﹣（x﹣8）2+324.∴当x=8时,W取得最大值,此时W=324.当10≤x≤15时.W=﹣20x+520.∴当x=10时,W取得最大值,此时W=320.∵324＞320.∴李师傅第8天创造的利润最大,最大利润是324元；（3）当1≤x＜10时.令﹣x2+16x+260=299,得x1=3,x2=13.当W＞299时,3＜x＜13.∵1≤x＜10.∴3＜x＜10.当10≤x≤15时.令W=﹣20x+520＞299,得x＜11,05.∴10≤x≤11.由上可得,李师傅获得奖金的月份是4月到11月,李师傅共获得奖金为：20×（11﹣3）=160（元）.即李师傅共可获得160元奖金．【点评】本题考查二次函数的应用、一元二次方程的应用,解不等式,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用二次函数的性质解答．4, （2018·湖北随州·12分）如图1,抛物线C1：y=ax2﹣2ax+c（a ＜0）与x轴交于A,B两点,与y轴交于点C．已知点A的坐标为（﹣1,0）,点O为坐标原点,OC=3OA,抛物线C1的顶点为G．（1）求出抛物线C1的解析式,并写出点G的坐标；（2）如图2,将抛物线C1向下平移k（k＞0）个单位,得到抛物线C2,设C2与x轴的交点为A′、B′,顶点为G′,当△A′B′G′是等边三角形时,求k的值：（3）在（2）的条件下,如图3,设点M为x轴正半轴上一动点,过点M 作x轴的垂线分别交抛物线C1,C2于P、Q两点,试探究在直线y=﹣1上是否存在点N,使得以P、Q、N为顶点的三角形与△AOQ全等,若存在,直接写出点M,N的坐标：若不存在,请说明理由．【分析】（1）由点A的坐标及OC=3OA得点C坐标,将A,C坐标代入解析式求解可得；（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k,′作G′D⊥x轴于点D,设BD′=m,由等边三角形性质知点B′的坐标为（m+1,0）,点G′的坐标为（1,m）,代入所设解析式求解可得；（3）设M（x,0）,则P（x,﹣x2+2x+3）、Q（x,﹣x2+2x+2）,根据PQ=OA=1且∠AOQ、∠PQN均为钝角知△AOQ≌△PQN,延长PQ交直线y=﹣1于点H,证△OQM≌△QNH,根据对应边相等建立关于x的方程,解之求得x 的值从而进一步求解．【解答】解：（1）∵点A的坐标为（﹣1,0）.∴OA=1.∴OC=3OA.∴点C的坐标为（0,3）.将A,C坐标代入y=ax2﹣2ax+c,得：.解得：.∴抛物线C1的解析式为y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4.所以点G的坐标为（1,4）．（2）设抛物线C2的解析式为y=﹣x2+2x+3﹣k,即y=﹣（x﹣1）2+4﹣k.过点G′作G′D⊥x轴于点D,设BD′=m.∵△A′B′G′为等边三角形.∴G′D=B′D=m.则点B′的坐标为（m+1,0）,点G′的坐标为（1,m）.将点B′、G′的坐标代入y=﹣（x﹣1）2+4﹣k,得：.解得：（舍）,.∴k=1；（3）设M（x,0）,则P（x,﹣x2+2x+3）、Q（x,﹣x2+2x+2）. ∴PQ=OA=1.∵∠AOQ、∠PQN均为钝角.∴△AOQ≌△PQN.如图2,延长PQ交直线y=﹣1于点H.则∠QHN=∠OMQ=90°.又∵△AOQ≌△PQN.∴OQ=QN,∠AOQ=∠PQN.∴∠MOQ=∠HQN.∴△OQM≌△QNH（AAS）.∴OM=QH,即x=﹣x2+2x+2+1.解得：x=（负值舍去）.当x=时,HN=QM=﹣x2+2x+2=,点M（,0）. ∴点N坐标为（+,﹣1）,即（,﹣1）；或（﹣,﹣1）,即（1,﹣1）；如图3.同理可得△OQM≌△PNH.∴OM=PH,即x=﹣（﹣x2+2x+2）﹣1.解得：x=﹣1（舍）或x=4.当x=4时,点M的坐标为（4,0）,HN=QM=﹣（﹣x2+2x+2）=6.∴点N的坐标为（4+6,﹣1）即（10,﹣1）,或（4﹣6,﹣1）即（﹣2,﹣1）；综上点M1（,0）、N1（,﹣1）；M2（,0）、N2（1,﹣1）；M3（4,0）、N3（10,﹣1）；M4（4,0）、N4（﹣2,﹣1）．【点评】本题主要考查二次函数的综合问题,解题的关键是掌握待定系数法求函数解析式、等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识点．5, （2018·湖北襄阳·10分）襄阳市精准扶贫工作已进入攻坚阶段．贫困户张大爷在某单位的帮扶下,把一片坡地改造后种植了优质水果蓝莓,今年正式上市销售．在销售的30天中,第一天卖出20千克,为了扩大销量,采取了降价措施,以后每天比前一天多卖出4千克．第x天的售价为y元/千克,y关于x的函数解析式为且第12天的售价为32元/千克,第26天的售价为25元/千克．已知种植销售蓝莓的成木是18元/千克,每天的利润是W元（利润=销售收入﹣成本）．（1）m= ﹣,n= 25 ；（2）求销售蓝莓第几天时,当天的利润最大？最大利润是多少？（3）在销售蓝莓的30天中,当大利润不低于870元的共有多少天？【分析】（1）根据题意将相关数值代入即可；（2）在（1）的基础上分段表示利润,讨论最值；（3）分别在（2）中的两个函数取值范围内讨论利润不低于870的天数,注意天数为正整数．【解答】解：（1）当第12天的售价为32元/件,代入y=mx﹣76m得32=12m﹣76m解得m=﹣当第26天的售价为25元/千克时,代入y=n则n=25故答案为：m=﹣,n=25（2）由（1）第x天的销售量为20+4（x﹣1）=4x+16当1≤x＜20时W=（4x+16）（﹣x+38﹣18）=﹣2x2+72x+320=﹣2（x﹣18）2+968 ∴当x=18时,W最大=968当20≤x≤30时,W=（4x+16）（25﹣18）=28x+112∵28＞0∴W随x的增大而增大∴当x=30时,W最大=952∵968＞952∴当x=18时,W最大=968（3）当1≤x＜20时,令﹣2x2+72x+320=870解得x1=25,x2=11∵抛物线W=﹣2x2+72x+320的开口向下∴11≤x≤25时,W≥870∴11≤x＜20∵x为正整数∴有9天利润不低于870元当20≤x≤30时,令28x+112≥870解得x≥27∴27≤x≤30∵x为正整数∴有3天利润不低于870元∴综上所述,当天利润不低于870元的天数共有12天．【点评】本题考查了一次函数和二次函数的实际应用,应用了分类讨论的数学思想．6, （2018·湖南郴州·10分）如图1,已知抛物线y=﹣x2+bx+c与x 轴交于A（﹣1,0）,B（3,0）两点,与y轴交于C点,点P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形？若存在,求出点M的坐标；若不存在,请说明理由．（3）如图2,连接BC,PB,PC,设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标．【分析】（1）由点A,B的坐标,利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）连接PC,交抛物线对称轴l于点E,由点A,B的坐标可得出对称轴l为直线x=1,分t=2和t≠2两种情况考虑：当t=2时,由抛物线的对称性可得出此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形,再根据点C的坐标利用平行四边形的性质可求出点P、M的坐标；当t≠2时,不存在,利用平行四边形对角线互相平分结合CE≠PE可得出此时不存在符合题意的点M；（3）①过点P作PF∥y轴,交BC于点F,由点B,C的坐标利用待定系数法可求出直线BC的解析式,根据点P的坐标可得出点F的坐标,进而可得出PF的长度,再由三角形的面积公式即可求出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质找出S的最大值,利用勾股定理可求出线段BC 的长度,利用面积法可求出P点到直线BC的距离的最大值,再找出此时点P的坐标即可得出结论．【解答】解：（1）将A（﹣1,0）、B（3,0）代入y=﹣x2+bx+c.,解得：.∴抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3．（2）在图1中,连接PC,交抛物线对称轴l于点E.∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1,0）,B（3,0）两点.∴抛物线的对称轴为直线x=1．当t=2时,点C,P关于直线l对称,此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形．∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3.∴点C的坐标为（0,3）,点P的坐标为（2,3）.∴点M的坐标为（1,6）；当t≠2时,不存在,理由如下：若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE.∵点C的横坐标为0,点E的横坐标为0.∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2．又∵t≠2.∴不存在．（3）①在图2中,过点P作PF∥y轴,交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0）.将B（3,0）、C（0,3）代入y=mx+n.,解得：.∴直线BC的解析式为y=﹣x+3．∵点P的坐标为（t,﹣t2+2t+3）.∴点F的坐标为（t,﹣t+3）.∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t.∴S=PF•OB=﹣t2+t=﹣（t﹣）2+．②∵﹣＜0.∴当t=时,S取最大值,最大值为．∵点B的坐标为（3,0）,点C的坐标为（0,3）.∴线段BC==3.∴P点到直线BC的距离的最大值为=,此时点P的坐标为（,）．【点评】本题考查了待定系数法求一次（二次）函数解析式、平行四边形的判定与性质、三角形的面积、一次（二次）函数图象上点的坐标特征以及二次函数的性质,解题的关键是：（1）由点的坐标,利用待定系数法求出抛物线表达式；（2）分t=2和t≠2两种情况考虑；（3）①利用三角形的面积公式找出S关于t的函数表达式；②利用二次函数的性质结合面积法求出P点到直线BC的距离的最大值．7, （2018·湖南怀化·14分）如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+2x+c与x轴交于A（﹣1,0）B（3,0）两点,与y轴交于点C,点D是该抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式和直线AC的解析式；（2）请在y轴上找一点M,使△BDM的周长最小,求出点M的坐标；（3）试探究：在拋物线上是否存在点P,使以点A,P,C为顶点,AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在,请求出符合条件的点P的坐标；若不存在,请说明理由．【分析】（1）设交点式y=a（x+1）（x﹣3）,展开得到﹣2a=2,然后求出a即可得到抛物线解析式；再确定C（0,3）,然后利用待定系数法求直线AC的解析式；（2）利用二次函数的性质确定D的坐标为（1,4）,作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′（﹣3,0）,利用两点之间线段最短可判断此时MB+MD的值最小,则此时△BDM的周长最小,然后求出直线DB′的解析式即可得到点M的坐标；（3）过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2,利用两直线垂直一次项系数互为负倒数设直线PC的解析式为y=﹣x+b,把C点坐标代入求出b得到直线PC的解析式为y=﹣x+3,再解方程组得此时P点坐标；当过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P时,利用同样的方法可求出此时P点坐标．【解答】解：（1）设抛物线解析式为y=a（x+1）（x﹣3）.即y=ax2﹣2ax﹣3a.∴﹣2a=2,解得a=﹣1.∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；当x=0时,y=﹣x2+2x+3=3,则C（0,3）.设直线AC的解析式为y=px+q.把A（﹣1,0）,C（0,3）代入得,解得.∴直线AC的解析式为y=3x+3；（2）∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4.∴顶点D的坐标为（1,4）.作B点关于y轴的对称点B′,连接DB′交y轴于M,如图1,则B′（﹣3,0）.∵MB=MB′.∴MB+MD=MB′+MD=DB′,此时MB+MD的值最小.而BD的值不变.∴此时△BDM的周长最小.易得直线DB′的解析式为y=x+3.当x=0时,y=x+3=3.∴点M的坐标为（0,3）；（3）存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P,如图2.∵直线AC的解析式为y=3x+3.∴直线PC的解析式可设为y=﹣x+b.把C（0,3）代入得b=3.∴直线PC的解析式为y=﹣x+3.解方程组,解得或,则此时P点坐标为（,）；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P,直线PC的解析式可设为y=﹣x+b.把A（﹣1,0）代入得+b=0,解得b=﹣.∴直线PC的解析式为y=﹣x﹣.解方程组,解得或,则此时P点坐标为（,﹣）.综上所述,符合条件的点P的坐标为（,）或（,﹣）.【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质；会利用待定系数法求函数解析式,理解两直线垂直时一次项系数的关系,通过解方程组求把两函数的交点坐标；理解坐标与图形性质,会运用两点之间线段最短解决最短路径问题；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。

二次函数的应用题的考试常见题型

二次函数的应用题的考试常见题型1. 求解二次方程根问题描述：给定一个二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，其中 $a, b, c$ 为已知常数，求解该二次方程的根。

解答思路：使用一元二次方程的求根公式，即 $x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$，其中 $\pm$ 表示两个根，根的个数和值的情况有以下三种：- 若 $b^2 - 4ac > 0$，则有两个不相等的实根；- 若 $b^2 - 4ac = 0$，则有两个相等的实根；- 若 $b^2 - 4ac < 0$，则无实根。

示例题目：已知二次方程 $2x^2 + x - 3 = 0$，求解该二次方程的根。

解答过程：根据一元二次方程的求根公式，将$a=2, b=1, c=-3$ 代入可得：$$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3)}}{2 \cdot 2}$$计算可得：$$x_1 = 1, x_2 = -\frac{3}{2}$$所以该二次方程的根为 $x_1 = 1$ 和 $x_2 = -\frac{3}{2}$。

2. 求解最值问题问题描述：给定一个二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，其中 $a, b, c$ 为已知常数，求解该二次函数的最值。

解答思路：对于二次函数 $y = ax^2 + bx + c$，其最值出现在顶点处。

二次函数的顶点坐标为 $x = -\frac{b}{2a}$，将 $x$ 的值代入二次函数可得到最值。

- 如果 $a$ 为正，则二次函数的开口向上，最小值为顶点；- 如果 $a$ 为负，则二次函数的开口向下，最大值为顶点。

示例题目：已知二次函数 $y = 2x^2 + x - 3$，求解该二次函数的最值。

解答过程：将 $a=2, b=1, c=-3$ 代入可得顶点坐标 $x = -\frac{1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4}$。

二次函数专题知识点常考(典型)题型重难点题型(含详细答案)

二次函数和基本性质专题知识点+常考题型+重难点题型（含详细答案）一、目录一、目录 (1)二、基础知识点 (2)1.二次函数的概念 (2)2.二次函数y=ax2的图像和性质 (2)3.二次函数y=a（x-h）2+k（a≠0）的性质 (4)4，用配方法求y=ax2+bx+c（a≠0） (6)5.二次函数图像性质总结 (7)6.二次函数解析式的求法 (7)7.二次函数图像的平移 (9)三、重难点题型 (11)1.由抛物线的位置确定系数的符号 (11)2.用待定系数法求二次函数的解析式 (13)3.运用抛物线的对称性解题 (17)4.用二次函数解决最值问题 (18)5.二次函数的图像 (20)6.二次函数与应用问题 (21)二、基础知识点1.二次函数的概念形如y=ax2+bx+c（a≠0）的函数叫作二次函数。

注：①a、b、c为常数，且a≠0，即二次项必须有，一次项和常数项可以没有②二次函数为函数的一种，满足函数的所有性质。

即在定义域内，自变量x有且仅有唯一应变量y与之对应例1.下列各项中，y是x的二次函数的有：①y=√2x2−x+5；②y=（m−1）x2+x+1（m为常数）；③y=2x2+4x−m（m为常数）；④y=(2x+1)(3x−2)−6x2答案：①是二次函数，二次项系数不为0；②不应定，当m=1时，二次项为0，则不是二次函数；③是二次函数，二次项系数不为0；④化简得：－x－2，因此不是二次函数例2.已知y=（k+3）x k2+k−4是二次函数，求k的值。

答案：因为y=（k+3）x k2+k−4是二次函数所以{k+3≠0 k2+k−4=2解得：k=22.二次函数y=ax2的图像和性质y=ax2（a≠0，b=0，c=0，即一次项和常数项皆为0）的性质：①图形为抛物线形状②a>0，开口向上；a<0，开口向下③过原点（顶点），为最大值或最小值（由a的正负决定）④关于y轴对称，即关于x=0对称⑤|a|越大，开口越小，即上升或下降越快注：关于y轴对称的前提条件是：函数定义域关于y轴对称例1.求等边三角形面积S与边长a的函数关系式。

二次函数中常见的几种综合题型(含解析) ——适合中上

二次函数中常见的几类综合题型一求线段最大值及根据面积求点坐标问题1.如图，已知抛物线y=x2+bx+c的图象与x轴的一个交点为B（5，0），另一个交点为A，且与y轴交于点C（0，5）．（1）求直线BC与抛物线的解析式；（2）若点M是抛物线在x轴下方图象上的一动点，过点M作MN∥y轴交直线BC于点N，求MN的最大值；（3）在（2）的条件下，MN取得最大值时，若点P是抛物线在x轴下方图象上任意一点，以BC为边作平行四边形CBPQ，设平行四边形CBPQ的面积为S1，△ABN的面积为S2，且S1=6S2，求点P的坐标．分析：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，运用待定系数法即可求出直线BC的解析式；同理，将B（5，0），C（0，5）两点∑的坐标代入y=x2+bx+c，运用待定系数法即可求出抛物线的解析式；（2）MN的长是直线BC的函数值与抛物线的函数值的差，据此可得出一个关于MN的长和M点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出MN的最大值；（3）先求出△ABN的面积S2=5，则S1=6S2=30．再设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，根据平行四边形的面积公式得出BD=3，过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．证明△EBD为等腰直角三角形，则BE=BD=6，求出E的坐标为（﹣1，0），运用待定系数法求出直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1，然后解方程组，即可求出点P的坐标．解答：解：（1）设直线BC的解析式为y=mx+n，将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入，得，解得，所以直线BC的解析式为y=﹣x+5；将B（5，0），C（0，5）两点的坐标代入y=x2+bx+c，得，解得，所以抛物线的解析式为y=x2﹣6x+5；（2）设M（x，x2﹣6x+5）（1＜x＜5），则N（x，﹣x+5），∵MN=（﹣x+5）﹣（x2﹣6x+5）=﹣x2+5x=﹣（x﹣）2+，∴当x=时，MN有最大值；（3）∵MN取得最大值时，x=2.5，∴﹣x+5=﹣2.5+5=2.5，即N（2.5，2.5）．解方程x2﹣6x+5=0，得x=1或5，∴A（1，0），B（5，0），∴AB=5﹣1=4，∴△ABN的面积S2=×4×2.5=5，∴平行四边形CBPQ的面积S1=6S2=30．设平行四边形CBPQ的边BC上的高为BD，则BC⊥BD．∵BC=5，∴BC•BD=30，∴BD=3．过点D作直线BC的平行线，交抛物线与点P，交x轴于点E，在直线DE上截取PQ=BC，则四边形CBPQ为平行四边形．∵BC⊥BD，∠OBC=45°，∴∠EBD=45°，∴△EBD为等腰直角三角形，BE=BD=6，∵B（5，0），∴E（﹣1，0），设直线PQ的解析式为y=﹣x+t，将E（﹣1，0）代入，得1+t=0，解得t=﹣1∴直线PQ的解析式为y=﹣x﹣1．解方程组，得，，∴点P的坐标为P1（2，﹣3）（与点D重合）或P2（3，﹣4）．2.如图，对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，其中点A的坐标为（﹣3，0）．（1）求点B的坐标；（2）已知a=1，C为抛物线与y轴的交点．①若点P在抛物线上，且S△POC=4S△BOC．求点P的坐标；②设点Q是线段AC上的动点，作QD⊥x轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值分析：（1）由抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，交x轴于A、B两点，其中A点的坐标为（﹣3，0），根据二次函数的对称性，即可求得B点的坐标；（2）①a=1时，先由对称轴为直线x=﹣1，求出b的值，再将B（1，0）代入，求出二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，得到C点坐标，然后设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据S△POC=4S△BOC列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为y=﹣x﹣3，再设Q点坐标为（x，﹣x﹣3），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．解答：解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1的抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）与x轴相交于A、B两点，∴A、B两点关于直线x=﹣1对称，∵点A的坐标为（﹣3，0），∴点B的坐标为（1，0）；（2）①a=1时，∵抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=﹣1，∴=﹣1，解得b=2．将B（1，0）代入y=x2+2x+c，得1+2+c=0，解得c=﹣3．则二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，∴抛物线与y轴的交点C的坐标为（0，﹣3），OC=3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），∵S△POC=4S△BOC，∴×3×|x|=4××3×1，∴|x|=4，x=±4．当x=4时，x2+2x﹣3=16+8﹣3=21；当x=﹣4时，x2+2x﹣3=16﹣8﹣3=5．所以点P的坐标为（4，21）或（﹣4，5）；②设直线AC的解析式为y=kx+t，将A（﹣3，0），C（0，﹣3）代入，得，解得，即直线AC的解析式为y=﹣x﹣3．设Q点坐标为（x，﹣x﹣3）（﹣3≤x≤0），则D点坐标为（x，x2+2x﹣3），QD=（﹣x﹣3）﹣（x2+2x﹣3）=﹣x2﹣3x=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，QD有最大值．二求三角形周长及面积的最值问题3.如图，已知抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3）三点，其顶点为D，对称轴是直线l，l与x轴交于点H．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P是该抛物线对称轴l上的一个动点，求△PBC周长的最小值；（3）如图（2），若E是线段AD上的一个动点（ E与A、D不重合），过E点作平行于y 轴的直线交抛物线于点F，交x轴于点G，设点E的横坐标为m，△ADF的面积为S．①求S与m的函数关系式；②S是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时点E的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）根据函数图象经过的三点，用待定系数法确定二次函数的解析式即可；（2）根据BC是定值，得到当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，根据点的坐标求得相应线段的长即可；（3）设点E的横坐标为m，表示出E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3），最后表示出EF的长，从而表示出S于m的函数关系，然后求二次函数的最值即可．解答：解：（1）由题意可知：解得：∴抛物线的解析式为：y=﹣x2﹣2x+3；（2）∵△PBC的周长为：PB+PC+BC∵BC是定值，∴当PB+PC最小时，△PBC的周长最小，∵点A、点B关于对称轴I对称，∴连接AC交l于点P，即点P为所求的点∵AP=BP∴△PBC的周长最小是：PB+PC+BC=AC+BC∵A（﹣3，0），B（1，0），C（0，3），∴AC=3，BC=；故△PBC周长的最小值为3+．（3）①∵抛物线y=﹣x2﹣2x+3顶点D的坐标为（﹣1，4）∵A（﹣3，0）∴直线AD的解析式为y=2x+6∵点E的横坐标为m，∴E（m，2m+6），F（m，﹣m2﹣2m+3）∴EF=﹣m2﹣2m+3﹣（2m+6）=﹣m2﹣4m﹣3∴S=S△DEF+S△AEF=EF•GH+EF•AG=EF•AH=（﹣m2﹣4m﹣3）×2=﹣m2﹣4m﹣3；②S=﹣m2﹣4m﹣3=﹣（m+2）2+1；∴当m=﹣2时，S最大，最大值为1此时点E的坐标为（﹣2，2）．4. 如图，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A、B两点，过点A的直线l与抛物线交于点C，其中A点的坐标是（1，0），C点坐标是（4，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在（1）中抛物线的对称轴上是否存在点D，使△BCD的周长最小？若存在，求出点D的坐标，若不存在，请说明理由；（3）若点E是（1）中抛物线上的一个动点，且位于直线AC的下方，试求△ACE的最大面积及E点的坐标．分析：（1）利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；（2）利用待定系数法求出直线AC的解析式，然后根据轴对称确定最短路线问题，直线AC与对称轴的交点即为所求点D；（3）根据直线AC的解析式，设出过点E与AC平行的直线，然后与抛物线解析式联立消掉y得到关于x 的一元二次方程，利用根的判别式△=0时，△ACE的面积最大，然后求出此时与AC平行的直线，然后求出点E的坐标，并求出该直线与x轴的交点F的坐标，再求出AF，再根据直线l与x轴的夹角为45°求出两直线间的距离，再求出AC间的距离，然后利用三角形的面积公式列式计算即可得解．解答：解：（1）∵抛物线y=ax2+bx+3经过点A（1，0），点C（4，3），∴，解得，所以，抛物线的解析式为y=x2﹣4x+3；（2）∵点A、B关于对称轴对称，∴点D为AC与对称轴的交点时△BCD的周长最小，设直线AC的解析式为y=kx+b（k≠0），则，解得，所以，直线AC的解析式为y=x﹣1，∵y=x2﹣4x+3=（x﹣2）2﹣1，∴抛物线的对称轴为直线x=2，当x=2时，y=2﹣1=1，∴抛物线对称轴上存在点D（2，1），使△BCD的周长最小；（3）如图，设过点E与直线AC平行线的直线为y=x+m，联立，消掉y得，x2﹣5x+3﹣m=0，△=（﹣5）2﹣4×1×（3﹣m）=0，即m=﹣时，点E到AC的距离最大，△ACE的面积最大，此时x=，y=﹣=﹣，∴点E的坐标为（，﹣），设过点E的直线与x轴交点为F，则F（，0），∴AF=﹣1=，∵直线AC的解析式为y=x﹣1，∴∠CAB=45°，∴点F到AC的距离为×=，又∵AC==3，∴△ACE的最大面积=×3×=，此时E点坐标为（，﹣）．三为等腰或直角三角形是求点坐标问题5.如图，已知直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，抛物线y=x2+bx+c经过A、B两点，点C是抛物线与x轴的另一个交点（与A点不重合）．（1）求抛物线的解析式；（2）求△ABC的面积；（3）在抛物线的对称轴上，是否存在点M，使△ABM为等腰三角形？若不存在，请说明理由；若存在，求出点M的坐标．分析：（1）根据直线解析式求出点A及点B的坐标，然后将点A及点B的坐标代入抛物线解析式，可得出b、c的值，求出抛物线解析式；（2）由（1）求得的抛物线解析式，可求出点C的坐标，继而求出AC的长度，代入三角形的面积公式即可计算；（3）根据点M在抛物线对称轴上，可设点M的坐标为（﹣1，m），分三种情况讨论，①MA=BA，②MB=BA，③MB=MA，求出m的值后即可得出答案．解答：解：（1）∵直线y=3x﹣3分别交x轴、y轴于A、B两点，∴可得A（1，0），B（0，﹣3），把A、B两点的坐标分别代入y=x2+bx+c得：，解得：．∴抛物线解析式为：y=x2+2x﹣3．（2）令y=0得：0=x2+2x﹣3，解得：x1=1，x2=﹣3，则C点坐标为：（﹣3，0），AC=4，故可得S△ABC=AC×OB=×4×3=6．（3）抛物线的对称轴为：x=﹣1，假设存在M（﹣1，m）满足题意：讨论：①当MA=AB时，，解得：，∴M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣）；②当MB=BA时，，解得：M3=0，M4=﹣6，∴M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣6）（不合题意舍去），③当MB=MA时，，解得：m=﹣1，∴M5（﹣1，﹣1），答：共存在4个点M1（﹣1，），M2（﹣1，﹣），M3（﹣1，0），M4（﹣1，﹣1）使△ABM为等腰三角形．6.如图，抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C（0，﹣4），与x轴交于点A，B，且B点的坐标为（2，0）（1）求该抛物线的解析式．（2）若点P是AB上的一动点，过点P作PE∥AC，交BC于E，连接CP，求△PCE面积的最大值．（3）若点D为OA的中点，点M是线段AC上一点，且△OMD为等腰三角形，求M点的坐标．分析：（1）利用待定系数法求出抛物线的解析式；（2）首先求出△PCE面积的表达式，然后利用二次函数的性质求出其最大值；（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形，需要分类讨论．解答：解：（1）把点C（0，﹣4），B（2，0）分别代入y=x2+bx+c中，得，解得∴该抛物线的解析式为y=x2+x﹣4．（2）令y=0，即x2+x﹣4=0，解得x1=﹣4，x2=2，∴A（﹣4，0），S△ABC=AB•OC=12．设P点坐标为（x，0），则PB=2﹣x．∵PE∥AC，∴∠BPE=∠BAC，∠BEP=∠BCA，∴△PBE∽△ABC，∴，即，化简得：S△PBE=（2﹣x）2．S△PCE=S△PCB﹣S△PBE=PB•OC﹣S△PBE=×（2﹣x）×4﹣（2﹣x）2=x2﹣x+=（x+1）2+3∴当x=﹣1时，S△PCE的最大值为3．（3）△OMD为等腰三角形，可能有三种情形：（I）当DM=DO时，如答图①所示．DO=DM=DA=2，∴∠OAC=∠AMD=45°，∴∠ADM=90°，∴M点的坐标为（﹣2，﹣2）；（II）当MD=MO时，如答图②所示．过点M作MN⊥OD于点N，则点N为OD的中点，∴DN=ON=1，AN=AD+DN=3，又△AMN为等腰直角三角形，∴MN=AN=3，∴M点的坐标为（﹣1，﹣3）；（III）当OD=OM时，∵△OAC为等腰直角三角形，∴点O到AC的距离为×4=，即AC上的点与点O之间的最小距离为．∵＞2，∴OD=OM的情况不存在．综上所述，点M的坐标为（﹣2，﹣2）或（﹣1，﹣3）．7.如图，抛物线y=ax2+bx+c经过点A（﹣3，0），B（1.0），C（0，﹣3）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点P为第三象限内抛物线上的一点，设△PAC的面积为S，求S的最大值并求出此时点P的坐标；（3）设抛物线的顶点为D，DE⊥x轴于点E，在y轴上是否存在点M，使得△ADM是直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）已知抛物线上的三点坐标，利用待定系数法可求出该二次函数的解析式；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N，先运用待定系数法求出直线AC的解析式，设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），根据AC的解析式表示出点N的坐标，再根据S△PAC=S△PAN+S△PCN就可以表示出△PAC的面积，运用顶点式就可以求出结论；（3）分三种情况进行讨论：①以A为直角顶点；②以D为直角顶点；③以M为直角顶点；设点M的坐标为（0，t），根据勾股定理列出方程，求出t的值即可．解答：解：（1）由于抛物线y=ax2+bx+c经过A（﹣3，0），B（1，0），可设抛物线的解析式为：y=a（x+3）（x﹣1），将C点坐标（0，﹣3）代入，得：a（0+3）（0﹣1）=﹣3，解得 a=1，则y=（x+3）（x﹣1）=x2+2x﹣3，所以抛物线的解析式为：y=x2+2x﹣3；（2）过点P作x轴的垂线，交AC于点N．设直线AC的解析式为y=kx+m，由题意，得，解得，∴直线AC的解析式为：y=﹣x﹣3．设P点坐标为（x，x2+2x﹣3），则点N的坐标为（x，﹣x﹣3），∴PN=PE﹣NE=﹣（x2+2x﹣3）+（﹣x﹣3）=﹣x2﹣3x．∵S△PAC=S△PAN+S△PCN，∴S=PN•OA=×3（﹣x2﹣3x）=﹣（x+）2+，∴当x=﹣时，S有最大值，此时点P的坐标为（﹣，﹣）；（3）在y轴上是存在点M，能够使得△ADM是直角三角形．理由如下：∵y=x2+2x﹣3=y=（x+1）2﹣4，∴顶点D的坐标为（﹣1，﹣4），∵A（﹣3，0），∴AD2=（﹣1+3）2+（﹣4﹣0）2=20．设点M的坐标为（0，t），分三种情况进行讨论：①当A为直角顶点时，如图3①，由勾股定理，得AM2+AD2=DM2，即（0+3）2+（t﹣0）2+20=（0+1）2+（t+4）2，解得t=，所以点M的坐标为（0，）；②当D为直角顶点时，如图3②，由勾股定理，得DM2+AD2=AM2，即（0+1）2+（t+4）2+20=（0+3）2+（t﹣0）2，解得t=﹣，所以点M的坐标为（0，﹣）；③当M为直角顶点时，如图3③，由勾股定理，得AM2+DM2=AD2，即（0+3）2+（t﹣0）2+（0+1）2+（t+4）2=20，解得t=﹣1或﹣3，所以点M的坐标为（0，﹣1）或（0，﹣3）；综上可知，在y轴上存在点M，能够使得△ADM是直角三角形，此时点M的坐标为（0，）或（0，﹣）或（0，﹣ 1）或（0，﹣3）．四四边形与二次函数问题8、如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作ND⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．9.如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A（2，0），交y轴于点B（0，）．直线y=kx过点A与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点是D．（1）求抛物线y=x2+bx+c与直线y=kx的解析式；（2）设点P是直线AD上方的抛物线上一动点（不与点A、D重合），过点P作 y轴的平行线，交直线AD于点M，作DE⊥y轴于点E．探究：是否存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形？若存在请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，作PN⊥AD于点N，设△PMN的周长为l，点P的横坐标为x，求l与x的函数关系式，并求出l的最大值．分析：（1）将A，B两点分别代入y=x2+bx+c进而求出解析式即可；（2）首先假设出P，M点的坐标，进而得出PM的长，将两函数联立得出D点坐标，进而得出CE的长，利用平行四边形的性质得出PM=CE，得出等式方程求出即可；（3）利用勾股定理得出DC的长，进而根据△PMN∽△CDE，得出两三角形周长之比，求出l与x的函数关系，再利用配方法求出二次函数最值即可．解答：解：（1）∵y=x2+bx+c经过点A（2，0）和B（0，）∴由此得，解得．∴抛物线的解析式是y=x2﹣x+，∵直线y=kx﹣经过点A（2，0）∴2k﹣=0，解得：k=，∴直线的解析式是 y=x﹣，（2）设P的坐标是（x，x2﹣x+），则M的坐标是（x，x﹣）∴PM=（x2﹣x+）﹣（x﹣）=﹣x2﹣x+4，解方程得：，，∵点D在第三象限，则点D的坐标是（﹣8，﹣7），由y=x﹣得点C的坐标是（0，﹣），∴CE=﹣﹣（﹣7）=6，由于PM∥y轴，要使四边形PMEC是平行四边形，必有PM=CE，即﹣x2﹣x+4=6解这个方程得：x1=﹣2，x2=﹣4，符合﹣8＜x＜2，当x=﹣2时，y=﹣×（﹣2）2﹣×（﹣2）+=3，当x=﹣4时，y=﹣×（﹣4）2﹣×（﹣4）+=，因此，直线AD上方的抛物线上存在这样的点P，使四边形PMEC是平行四边形，点P的坐标是（﹣2，3）和（﹣4，）；（3）在Rt△CDE中，DE=8，CE=6 由勾股定理得：DC=∴△CDE的周长是24，∵PM∥y轴，∵∠PMN=∠DCE，∵∠PNM=∠DEC，∴△PMN∽△CDE，∴=，即=，化简整理得：l与x的函数关系式是：l=﹣x2﹣x+，l=﹣x2﹣x+=﹣（x+3）2+15，∵﹣＜0，∴l有最大值，当x=﹣3时，l的最大值是15．10.如图，抛物线经过A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上有一点P，使PA+PC的值最小，求点P的坐标；（3）点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点N的坐标；若不存在，请说明理由．分析：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），再把A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点代入求出a、b、c的值即可；（2）因为点A关于对称轴对称的点A的坐标为（5，0），连接BC交对称轴直线于点P，求出P点坐标即可；（3）分点N在x轴下方或上方两种情况进行讨论．解答：解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），∵A（﹣1，0），B（5，0），C（0，）三点在抛物线上，∴，解得．∴抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣；（2）∵抛物线的解析式为：y=x2﹣2x﹣，∴其对称轴为直线x=﹣=﹣=2，连接BC，如图1所示，∵B（5，0），C（0，﹣），∴设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），∴，解得，∴直线BC的解析式为y=x﹣，当x=2时，y=1﹣=﹣，∴P（2，﹣）；（3）存在．如图2所示，①当点N在x轴下方时，∵抛物线的对称轴为直线x=2，C（0，﹣），∴N1（4，﹣）；②当点N在x轴上方时，如图，过点N2作ND⊥x轴于点D，在△AN2D与△M2CO中，∴△AN2D≌△M2CO（ASA），∴N2D=OC=，即N2点的纵坐标为．∴x2﹣2x﹣=，解得x=2+或x=2﹣，∴N2（2+，），N3（2﹣，）．综上所述，符合条件的点N的坐标为（4，﹣），（2+，）或（2﹣，）．。

培优专题01 二次函数含参数最值问题(解析版)

培优专题01二次函数含参数最值问题【题型目录】题型一：定轴动区间问题题型二：定区间动轴问题题型三：含绝对值二次函数问题题型四：定义域为[]n m ,，值域为[]kn km ,求参数问题题型五：二次函数值域包含性问题【典型例题】题型一：定轴动区间问题【例1】已知二次函数满足2()(0)f x ax bx c a =++≠，满足(1)()21f x f x x +-=-，且(0)0f =．(1)求()f x 的解析式；(2)当[]()2R x t t t ∈+∈,时，求函数()f x 的最小值()g t （用t 表示）．【答案】(1)()22f x x x =-(2)()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩【详解】（1）因为二次函数2()(0)f x ax bx c a =++≠，且满足(0)0f =，(1)()21f x f x x +-=-，所以0c =，()()221121221a x b x ax bx x ax a b x +++--=-⇒++=-，所以221a ab =⎧⎨+=-⎩，得12a b =⎧⎨=-⎩.所以()22f x x x =-.（2）()22f x x x =-是图象的对称轴为直线1x =，且开口向上的二次函数.当1t ≥时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递增，则()()2min 2f x f t t t ==-；当21t +≤即1t ≤-时，()22f x x x =-在[]()2R x t t t ∈+∈,上单调递减，则()()()()22min 22222f x f t t t t t =+=+-+=+；当11t t <<+，即11t -<<时，()()()2min 11211f x f ==-=-；综上所述()222,11,112,1t t t g t t t t t ⎧-≥⎪=--<<⎨⎪+≤-⎩.【例2】已知定义在R 上的函数)f x ，满足()226f x x x -=--．(1)求()f x 的解析式．(2)若()f x 在区间[]0,m 上的值域为25,44⎡⎤--⎢⎥⎣⎦，写出实数m 的取值范围（不必写过程）．f x 在区间[],2t t +上的最小值为6，求实数t 的值．【例3】对于函数()f x ，若存在0R x ∈，使得()00f x x =成立，则称0x 为()f x 的不动点，已知函数2()(2)4f x ax b x =+++的两个不动点分别是-2和1.(1)求,a b 的值及()f x 的表达式；[,1]t t +【例4】已知函数为二次函数，不等式的解集是，且在区间上的最小值为12-.(1)求()f x 的解析式；上的最大值为【例1】已知函数2()f x x mx m =-+-.(1)若函数()f x 在[]1,0-上单调递减，求实数m 的取值范围；(2)若当1x >时，()4f x <恒成立，求实数m 的取值范围；(3)是否存在实数m ，使得()f x 在[]2,3上的值域恰好是[]2,3？若存在，求出实数m 的值；若不存在，说明上单调递减，应满足【例2】已知二次函数的图象过点，且不等式20ax bx c ++≤1(1)求()f x 的解析式：24g x f x t x =--在区间[]1,2-上有最小值2，求实数t 的值.(1)若函数()f x 在(1,)+∞上是增函数，求实数a 的取值范围；(2)若不等式()0f x ≤的解集为{|02}x x ≤≤，求,a b 的值；时，函数【例4】已知函数，R b ∈.(1)若函数()f x 的图象经过点()4,3，求实数b 的值；(2)在（1）条件下，求不等式()0f x <的解集；1,2x ∈-时，函数()y f x =的最小值为1，求当[]1,2x ∈-时，函数()y f x =的最大值.【例5】在①2,2x ∀∈-，②1,3x ∃∈这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数()24f x x ax =++．(1)当2a =-时，求函数()f x 在区间]22-,上的值域；【例1】已知二次函数()()20,,,f x ax bx c a a b c =++>∈R ，()11f -=，对任意x ∈R ，()()2f x f x +=-，且()0f x x +≥恒成立．(1)求二次函数()f x 的解析式；(1)若x f 为偶函数，求a 的值；(1)当2a =时，试写出函数()()g x f x x =-的单调递增区间；)x(1)当2a =时，求f x 的单调增区间；，所以(1)若函数f x 在[]1,2上单调递增，求实数m 的取值范围；2g x xf x m =+在[]1,2的最小值为7，求实数m 的值.【例1】已知a ，b 是常数，0a ≠，()2f x ax bx =+，()20f =，且方程()f x x =有两个相等的实数根．(1)求a ，b 的值；(2)是否存在实数m ，n ()m n <，使得()f x 的定义域和值域分别为[],m n 和[]2,2m n ?若存在，求出实数m ，=【例2】已知函数()1,111,01x xf x x x⎧-≥⎪⎪=⎨⎪-<<⎪⎩.(1)当0a b <<，且()()f a f b =时，求11a b+的值；(2)若存在实数,(1)a b a b <<，使得函数()y f x =的定义域为[],a b 时，其值域为[],ma mb ，求实数m 的取值【例3】已知函数()22f x a a x=+-，实数a R ∈且0a ≠．(1)设0m n <<，判断函数()f x 在[],m n 上的单调性，并说明理由；f x 的定义域和值域都是[],m n ，求n m -的最大值．【例4】已知二次函数，满足对任意实数(3)(1)f x f x -=-，且关于x 的方程()2f x x =有两个相等的实数根.(1)求函数()f x 的解析式：(2)是否存在实数m 、()n m n <，使得()f x 的定义域为[,]m n ，值域为22,m n ⎡⎤⎣⎦?若存在，求出m ，n 的值；【例5】已知函数－2x ＋b 的自变量的取值区间为A ，若其值域区间也为A ，则称A 为的保值区间．(1)若b ＝0，求函数f (x )形如[,)()t t R ∞+∈的保值区间；m n <【例6】已知函数()2f x x-=．(1)求函数()y f x =的值域；(2)若不等式()231x f x x kx +≥+在[]1,2x ∈时恒成立，求实数k 的最大值；(3)设()()1g x t f x =⋅+（11,x m n ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，0m n >>，0t >），若函数()y g x =的值域为[]23,23m n --，求实数【例7】已知是定义在R 上的函数，且0f x f x +-=，当0x >时，(1)求函数()f x 的解析式；(2)当[)1,x ∞∈+时，()()g x f x =，当(),1x ∞∈-时()223g x x mx m =-+-，()g x 在R 上单调递减，求m 的取值范围；(3)是否存在正实数a b ，，当[],x a b ∈时，()()h x f x =且()h x 的值域为11,b a ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，若存在，求出a b ，，若不【例1】已知函数()1f x x x=+，()21g x x ax a =-+-．(1)若()g x 的值域为[)0,∞+，求a 的值．证明：对任意1,2x ∈，总存在1,3x ∈-，使得f x g x =成立．【例2】函数y f x =的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y f x =为奇函数，可以将其推广为：函数()y f x =的图象关于点(),P a b 成中心对称图形的充要条件是函数()y f x a b =+-为奇函数，给定函数()261+-=+x x f x x .(1)求()f x 的对称中心；(2)已知函数()g x 同时满足：①()11+-g x 是奇函数；②当[]0,1x ∈时，()2g x x mx m =-+.若对任意的0,2x ∈1,5x ∈，使得()()g x f x =所以【例3】已知函数(1)若函数()g x 的值域为[0,)+∞，求a 的取值集合；[2,2]x ∈-[2,2]x ∈-f x g x =。

二次函数常见题型知识点

二次函数常见题型知识考点一：掌握二次函数的图像和性质以及抛物线的平移规律；会确定抛物线的顶点坐标、对称轴及最值等。

【例1】二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，那么abc 、ac b 42-、b a +2、c b a +-24这四个代数式中，值为正的有（）A 、4个B 、3个C 、2个D 、1个解析：∵abx 2=＜1 ∴b a +2＞0答案：A评注：由抛物线开口方向判定a 的符号，由对称轴的位置判定b 的符号，由抛物线与y 轴交点位置判定c 的符号。

由抛物线与x 轴的交点个数判定ac b 42-的符号，若x 轴标出了1和－1，则结合函数值可判定b a +2、c b a ++、c b a +-的符号。

【例2】已知0=++c b a ，a ≠0，把抛物线c bx ax y ++=2向下平移1个单位，再向左平移5个单位所得到的新抛物线的顶点是（－2，0），求原抛物线的解析式。

分析：①由0=++c b a 可知：原抛物线的图像经过点（1，0）；②新抛物线向右平移5个单位，再向上平移1个单位即得原抛物线。

解：设新抛物线的解析式为2)2(+=x a y ，则原抛物线的解析式为1)52(2+-+=x a y ，又易知原抛物线过点（1，0） ∴1)521(02+-+=a ，解得41-=a ∴原抛物线的解析式为：1)3(412+--=x y 评注：解这类题的关键是深刻理解平移前后两抛物线间的关系，以及所对应的解析式间的联系，并注意逆向思维的应用。

另外，还可关注抛物线的顶点发生了怎样的移动，常见的几种变动方式有：①开口反向（或旋转1800），此时顶点坐标不变，只是a 反号；②两抛物线关于x 轴对称，此时顶点关于x 轴对称，a 反号；③两抛物线关于y 轴对称，此时顶点关于y 轴对称；练习一、选择题：1、二次函数c bx ax y ++=2的图像如图所示，OA ＝OC ，则下列结论： ①abc ＜0； ②24b ac <； ③1-=-b ac ； ④02<+b a ；⑤ac OB OA -=⋅； ⑥024<+-c b a 。

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