高考数学讲义抛物线之对称与比例问题

2014年二轮复习抛物线之对称与比例问题

内容

明细内容

要求层次

了解

理解 掌握 圆锥曲线

椭圆的定义与标准方程 √ 椭圆的简单几何意义 √ 抛物线的定义及其标准方程

√ 抛物线的简单几何意义 √ 双曲线的定义及标准方程 √ 双曲线的简单几何性质 √ 直线与圆锥曲线的位置关系

√

北京三年高考两年模拟统计

中点弦 垂直角度

弦长面积范围

定点定值 共线比例

其它 高考试题 4 1 1 模拟试题 7 8 11 14 4 4 共计

7

8

15

14

5

5

抛物线之对称与比例

高考大纲

自检自查必考点

抛物线22y px =与直线y kx m =+联立 2

2y kx m

y px =+⎧⎪⎨=⎪⎩

消去x ，得22y y k m p =⋅+ 2

02k y y m p

-+= 设1122(,),(,)A x y B x y ，则 12

12

210(*)22km p p y y k pm y y k ⎧=->⎪⎪

⎪

+=⎨⎪

⎪=⎪⎩

V 推出2

2221

2

12222(

)

22(2)pm y y m k x x p p p k

=⋅==

题型一：对称问题

圆锥曲线上存在关于某条直线对称的两个点求参数取值范围的问题，充分运用“垂直平分”这两个特征：（1）连线段的中点在对称轴上；（2）两点的斜率与对称轴的斜率互为负倒数；有以下四种解法：

1.

判别式法

设1122(,),(,)P x y Q x y 是曲线C 上关于直线:l y kx m =+对称的两点，又设PQ 的方程为：1

'y x m k

=-+，

代入曲线C 的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，其中,P Q 点的坐标即为方程的根，利用韦达定

理和PQ 方程求得PQ 中点M 的坐标，由M 在l 上，得到一个关系式代回曲线方程，0>V 可求得参数的取值范围。

2.

点差法

设1122(,),(,)P x y Q x y 是曲线C 上关于直线:l y kx m =+对称的两点，00(,)M x y 是PQ 的中点，用“点差法”（或弦中点斜率公式）并结合M 在l 上，求出PQ 中点坐标（含所求参数），再利用点斜式写出PQ 的

方程，代入曲线C 的方程，得到关于x （或y ）的一元二次方程，由0>V

可求得参数的取值范围。（或：若能求得此一元二次方程的实数根，说明曲线C 上存在对称的两个点；若无实数根，说明不存在对称的两个点）。

3.

内部法

同上用“点差法”结合中点在对称轴上求出PQ 中点的坐标。由弦中点须在曲线内部（指包含焦点的区域）得出关于参数的不等式，解此不等式求出参数的取值范围。

4.

求对称曲线法

求出曲线C 关于直线l 的对称曲线'C 的方程，若C 和'C 有两个不同的交点，这两个交点关于直线l 对称，问题转化为确定两曲线C 与'C 有两个不同的交点问题（联立方程组应有两个不同的实数解），此法运算较繁，当对称轴为较特殊直线时可考虑用此法。

自检自查必考点

O

y

x

B

A

四种方法中以“内部法”最简便，点在曲线内部的判断方法：

点00(,)M x y 在抛物线22y px =内部2

02y px ⇔< 题型二：比例问题

1212()(1)

22

(2)p p x x AF FB y y λλλ⎧-=-⎪=⇔⎨⎪-=⎩

u u u r u u u r L L L L 21

1

2(3)y px =L L

2112(4)y px =L L

将（3）（4）代入2(2)得21122px px λ=⋅ 即212x x λ=代入（1）

22222

p p

x x λλλ-=- 化简得22p x λ= 22

22222p p y px p λλ

==⋅=

221222p p x x λλλλ==⋅

= 2

211222p y px p p λλ==⋅= 如图，则

(,),(,)22p p A p B λλλλ

【例1】 若抛物线22y x =上的两点1122A x y B x y （，）、（，）

关于直线y x m =+对称且121

2

x x =－，求m 的值.

【例2】 若曲线2y x =上总存在两个对称于直线1y ax a =-+的不同的点，求a 取值的范围．

例题精讲

Q

F

O

y

x

B

A

【例3】 如图,过抛物线24x y =的对称轴上任一点()()0,m 0P m >作直线与抛物线交于A B 、两点，点Q 是

点P 关于原点的对称点

（Ⅰ）设点P 满足AP PB λ=u u u r u u u r

（λ为实数），证明：()QP QA QB λ⊥-u u u r u u u r u u u r ；

（Ⅱ）设直线AB 的方程是2120x y -+=，过A B 、两点的圆C 与抛物线在点A 处有共同的切线，求

圆C 的方程.

【例4】 是否存在同时满足下列两条件的直线：

l A

B P

O Q x

y