《平方差公式》(优质视频实录+配套课件+配套教案+配套练习等素材)
平方差公式课件
公式应用场景
平方差公式在数学、物理 和工程等领域有广泛应用 ，用于简化计算和解决实 际问题。
公式形式
公式结构
平方差公式由两个因子组 成，即 (a+b) 和 (a-b)， 它们相乘得到 (a^2 b^2)。
代数证明通常采用数学归纳法或反证法，通过逐步推导和化简，最终得出结论。
代数证明是数学中最常用的证明方法之一，它能够严谨地证明数学定理和公式的正 确性。
几何证明
几何证明是通过几何图形和图 形性质来证明平方差公式的正 确性。
几何证明通常采用图形变换和 相似三角形等几何知识，通过 图形分析和推理，得出结论。
详细描述
让学生解决一些稍微复杂的平方差公式 问题，例如计算$(a+2b)^2 - (a2b)^2$。
综合练习
详细描述
总结词：综合运用平方差公式和 其他数学知识解决问题
让学生解决一些涉及到平方差公 式和其他数学知识的复杂问题， 例如计算一个多项式的平方差。
让学生解决一些涉及到平方差公 式的几何问题，例如计算两个相 似三角形的面积差。
平方和公式
平方和公式
$1^2 + 2^2 + 3^2 + ldots + n^2 = frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
推导过程
利用归纳法，结合等差数列求和公 式和平方差公式进行推导。
应用场景
在数学、物理和工程领域中，平方 和公式常用于计算一系列数字的平 方和。
平方差公式的推广
平方差公式推广
2023 WORK SUMMARY
《平方差公式》教学教案
《平方差公式》教学教案一、教学目标1. 让学生理解平方差公式的含义，掌握公式的推导过程。
2. 能够运用平方差公式解决实际问题，提高学生的数学应用能力。
3. 培养学生的逻辑思维能力，提高学生对数学知识的兴趣。
二、教学内容1. 平方差公式的定义及推导过程。
2. 平方差公式的应用举例。
三、教学重点与难点1. 重点：平方差公式的推导过程及应用。
2. 难点：平方差公式的灵活运用。
四、教学方法1. 采用问题驱动法，引导学生思考并探索平方差公式的推导过程。
2. 运用实例讲解法，让学生通过具体例子理解并掌握平方差公式。
3. 采用小组合作学习法，培养学生的团队协作能力。
五、教学过程1. 导入新课：通过复习平方根的概念，引导学生进入平方差公式的学习。
2. 讲解与演示：讲解平方差公式的推导过程，并进行演示。
3. 实例分析：分析并解决实际问题，让学生理解平方差公式的应用。
4. 练习与巩固：布置练习题，让学生巩固所学知识。
请提供后续五个章节的教案内容要求，以便我继续编写。
六、教学活动1. 课堂互动：通过提问、讨论等方式，让学生积极参与课堂，提高学生的思维能力。
2. 小组竞赛：设置小组竞赛，激发学生的学习兴趣，培养学生的团队精神。
七、教学评价1. 课堂练习：检查学生对平方差公式的理解和掌握程度。
2. 课后作业：布置有关平方差公式的练习题，巩固所学知识。
3. 单元测试：进行单元测试，评估学生对本节课内容的掌握情况。
八、教学资源1. PPT课件：制作精美的PPT课件，帮助学生直观地理解平方差公式。
2. 练习题库：准备丰富的练习题，满足不同层次学生的学习需求。
3. 拓展资料：提供相关数学故事、历史背景等拓展资料，激发学生的学习兴趣。
九、教学进度安排1. 第1-2课时：讲解平方差公式及其推导过程。
2. 第3-4课时：应用实例讲解，让学生掌握平方差公式的应用。
3. 第5-6课时：进行练习与巩固，提高学生的应用能力。
十、课后反思2. 针对学生的掌握情况，调整后续教学策略。
《平方差公式》优质课件
培养学生的数学思维和问题解决能力。
课件目标
能够熟练运用平方差公式解决各种问题 。
理解平方差公式的概念和基本性质。
平方差公式的定义和应用领域
平方差公式的定义
平方差公式是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项 互为相反数。相乘的结果为：右边是乘式中两项中相同项的平方减去相反项的 平方。
步骤四
合并同类项，即 $-ab$ 和 $ab$ 相消，得 到 $a^2 - b^2$。
综合以上步骤，得出 $(a+b)(a-b) = a^2 b^2$，即为平方差公式。
03
CATALOGUE
平方差公式的应用实例
在代数运算中的应用
01
02
03
简化计算
利用平方差公式，可以将 一些复杂的代数式简化， 从而更容易进行计算，提 高效率。
乘法分配律
$(a+b)(c)=ac+bc$，乘法分配律是 平方差公式的基础，平方差公式可 看作乘法分配律的特例。
平方差公式的深入拓展与研究
高次幂的差分
通过反复利用平方差公式，可以求出 高次幂的差分，例如 $a^n-b^n$ 的 形式。
在解析几何中的应用
平方差公式在解析几何中求解两点间 距离等问题时有着广泛应用。
综合应用题
设计一些涉及平方差公式的综合应用题，引导学 生在实际问题中运用所学知识。
思考题
提出一些有关平方差公式的思考题，供学有余力 的学生深入探究。
自主学习与拓展阅读建议
01
自主学习建议
鼓励学生通过查找资料、观看视频等方式，自主学习与平方差公式相关
的拓展知识。
02
拓展阅读材料
推荐一些与平方差公式相关的优秀教材、论文或网络资源，供学生自主
2022人教版数学《平方差公式 》配套教案(精选)
乘法公式平方差公式【知识与技能】会推导平方差公式，并能运用公式进行简单的运算.【过程与方法】1.在探究平方差公式的过程中，培养符号感和推理能力.2.培养学生观察、归纳、概括的能力.【情感态度】在计算过程中发现规律，用数学符号表示，感受数学的简洁美.【教学重点】平方差公式的推导和应用.【教学难点】理解平方差公式的结构特征，灵活应用平方差公式.一、情境导入，初步认识出示下列习题，由学生分组完成：1.计算：（x+3）（x-3），（t+2）（t-2），（3y+1）（3y-1），（x+y）（x-y）.2.试用简便方法求结果：（1）2001×1999=_____；998×102=_______.【教学说明】根据多项式乘以多项式法则可求得题1，题2根据题目特点，把因数变形得2001×1999=（2000+1）（2000-1）=20002-1×2000+1×2000+1×（-1）=20002-1=3999999.要求学生以小组为单位，共同探究上述过程的结构特征与变化特征，并从中总结出一般性规律来.教师讲课前，先让学生完成“名师导学”.二、思考探究，获取新知由学生进行充分的交流探讨后，师生共同归纳.上述结构的式子用公式表示为：（a+b）（a-b）=a2-b2，即两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，称之为平方差公式.（1）推导：（a+b）（a-b）=a2-ab+ab-b2=a2-b2.（2）公式特点：左边是两个二项式相乘，这两项中有一项是相同的，另一项互为相反数，右边是乘式中两项的平方差（相同数的平方减去互为相反数的平方）.（3）公式中的a、b可以是数、单项式或多项式.（4）符合平方差公式特点的乘法式子可直接套用公式.例1下列两个多项式相乘，哪些可用平方差公式，哪些不能？能用平方差公式计算的，写出计算结果.（1）（2a-3b）(3b-2a);(2)(-2a+3b)(2a+3b);(3)(-2a-3b)(-2a+3b);(4)(2a+3b)(2a-3b);(5)(-2a-3b)(2a-3b);(6)(2a+3b)(-2a-3b);【分析】两个多项式因式中，如果一项相同，另一项互为相反数就可用平方差公式.解：（1）（6）不能用平方差公式，（2）（3）（4）（5）可以用平方差公式.例2计算：【分析】（1）中的两个因式分别变成60-0.1和60+0.1，再用平方差公式计算；（2）中两个因式分别可转化成100+2与100-2.【教学说明】运用平方差公式计算，先要观察所要计算的式子（或经转化后的式子）是否具有平方差公式的结构特征，然后套用公式计算.例3利用平方差公式计算下列各题.（1）（2x+1）（2x-1）-3x2.（2）（1-2x）（1+2x）（1+4x2）（1+16x4）.【分析】（1）中的乘法计算可用平方差公式；（2）应先进行（1-2x）（1+2x）的计算，再逐步应用平方差公式求得结果.三、运用新知，深化理解1.计算下列各题.2.利用平方差公式计算下列各题：（1）499×501；3.请认真分析下面一组等式的特征：1×3=22-1，3×5=42-1，5×7=62-1，……猜想这一组等式有什么规律.将你猜想到的规律用一个只含字母n的式子表示出来.【教学说明】要求学生独立完成上述各题，再与小组成员交流，查漏纠错.四、师生互动，课堂小结阅读下列材料，回忆巩固平方差公式.平方差公式的几何意义也就是利用图形来表示公式.如图1，在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b），把余下的部分剪拼成一个矩形（如图2），通过计算两个图形（阴影部分）的面积，验证了一个等式，则这个等式就是平方差公式，即（a+b）（a-b）=a2-b2.1.布置作业：从教材“”中选取部分题.“课时作业”部分.平方差公式体现了特殊多项式相乘的结果，教师可引导学生由多项式乘法法则推出，然后引导学生观察公式的结构特征，从本质上认识符合公式特征的多项式相乘，以便于灵活解决实际问题.第1课时单项式与单项式、多项式相乘一、新课导入1.导入课题：有一块长方形的大型画布，它的长为5×103cm，宽为3×102cm，你能计算出它的面积吗？画布的面积是(5×103)×(3×102)cm2，你能计算出它的结果是多少吗？2.学习目标：（1）能叙述出单项式乘以单项式,单项式乘以多项式的运算法则.（2）灵活地运用法则进行计算和化简.3.学习重、难点：重点：单项式乘单项式及单项式乘以多项式的运算法则及应用.难点：单项式乘单项式及单项式乘以多项式的运算法则的应用.二、分层学习1.自学指导：（1）自学内容：探究单项式乘以单项式的运算法则.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：采用“计算、观察、比较、归纳”的学习方法获取结论.（4）自学参考提纲：①怎样计算（5×103）×（3×102）？计算过程中用到哪些运算律及运算性质？（5×103）×（3×102）=5×3×103×102运用了乘法交换律.=（5×3）×（103×102）运用了乘法结合律.=15×105=1.5×106.运用了乘法的运算.②如果将上式中不是指数的数字改为字母，能得到怎样的算式，写出试试看.计算ac5·bc2=ab·c7; 3a2b·2ab3=6a3b4.③通过刚才的尝试，能归纳出单项式与单项式相乘的运算法则吗？④完成教材第99页“练习”第2题.2.自学：学生结合自学参考提纲进行自主探究.3.助学：（1）师助生：①明了学情：抽查不同层次的学生，了解学生完成探究的过程和结果是否正确.②差异指导：引导学困生复习回顾幂的乘方、同底数幂的乘法，积的乘方法则及运算律.（2）生助生：学生之间相互交流帮助解决疑难问题.4.强化：（1）单项式与单项式相乘的法则.（2）计算：(1)2c5·5c2；（2）(-5a2b3)·(-4b2c).解：（1）10c7；（2）20a2b5c1.自学指导：（1）自学内容：教材第98页例4.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真观察例4解题的过程，注意符号变化和运算顺序.（4）自学参考提纲：①请你回忆同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方的法则.②计算(2x)3·(－5xy2)时，先算（2x）3，再与(-5xy2)相乘.为什么？因为有理数的混合运算法则为：①先算乘方，再乘除，最后加减;②同级运算，从左到右进行;③如有括号按小括号、中括号、大括号依次进行.③计算：3x2·5x3=15x5；2ab·5ab2·3a2b=30a4b4；4y·（－2xy2）=-8xy3；（a3b）2·（a2b）3=a12b5.2.自学：结合自学指导，研读课本例题.3.助学：（1）师助生：①明了学情：抽查不同层次学生的计算情况，了解存在的主要问题.②差异指导：对理解运算顺序的确定有困难的学生进行指导.（2）生助生：学生之间相互交流帮助.交流与总结：①运算顺序；②运算符号.1.自学指导：（1）自学内容教材第99页到教材第100页例5上面.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真看书，重要的内容打上记号，有疑问的地方做上记号.（4）自学参考提纲：①等式p(a+b+c)=pa+pb+pc，是根据矩形的面积关系得出来的，你能根据分配律得到这个等式吗？②等式p(a+b+c)=pa+pb+pc提供了单项式与多项式相乘的方法，你是如何理解的？③单项式乘以多项式应用了乘法的什么运算律？乘法分配律.④试标出单项式乘以多项式的运算法则中的关键字词.⑤试一试：－2x(x+y)=-2x2-2xy;3ab(a+b)=3a2b+3ab2;－(m－n+2)=-m+n-2.2.自学：学生结合自学指导进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：教师采取交谈、抽查方式了解自学进度及存在的问题.②差异指导：强调法则要点：“乘多项式的每一项”，“把所得的积相加”，并注意符号法则.（2）生助生：生生互相交流帮助解决疑难.（1）运算法则:①文字表达：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.②式子表达：p（a+b+c）=pa+pb+pc.（2）单项式乘以多项式中的每一项，不要漏掉任何一项，并要注意符号的确定，合并同类项之前的项数与多项式的项数相同.（3）计算：（－2a2）·（3ab2－5ab3）.=-6a3b2+10a3b31.自学指导：（1）自学内容：教材第100页例5.（2）自学时间：5分钟.（3）自学方法：认真观察例5的计算过程的依据，要注意去括号后的符号变化.（4）自学参考提纲：①标出例5题目中的单项式和多项式.②通过例5尝试归纳单项式乘多项式的计算步骤.③单项式乘以多项式的运算法则，就是把单项式乘以多项式的问题转化为单项式乘以单项式的问题.④思考：结合例5，你能说说当式子中含有负号时的简化方法吗？2.自学：结合自学参考提纲进行自学.3.助学：（1）师助生：①明了学情：了解学生是否领会单项式乘多项式的方法和依据.②差异指导：重点对第（1）、（2）小题符号问题进行指导.（2）生助生：学生之间互助交流解决疑难.4.强化：（1）将单项式乘以多项式转化为单项式乘以单项式的乘法，将新知识转化为已学过的知识.（2）计算：①(－2a)·(2a+1) ②2x2(3x2－5y) ③3a(5a－2b)=-4a2-2a =6x4-10x2y =15a2-6ab（3）根据提示填空：计算：(12ab2－13a2b－6ab)·(－6ab)方法一：原式=12ab2·（－6ab）+（-13a2b）·（－6ab）+（-6ab）·（－6ab）＝-3a2b3＋2a3b2＋36a2b2方法二：原式=12ab2·（－6ab）-13a2b·（－6ab）－6ab·（－6ab）.＝-3a2b3＋2a3b2＋36a2b2三、评价1.学生的自我评价：各小组组长汇报本组的学习情况，总结经验、收获和不足.2.教师对学生的评价：（1）表现性评价：对学生在学习中的态度、方法、收效及不足进行点评.（2）纸笔评价：课堂评价检测.3.教师的自我评价（教学反思）：本课时教学应由学生根据已有知识（如乘法分配律法则等）自主推导出单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则，充分体现学生课堂上的主体作用，再结合具体问题的解答，由学生间互相交流，体会法则计算的本质，以便灵活应用于解题之中.一、基础巩固（第1题25分，第2题20分，第3题15分，共60分）1.细心填一填.（1）（-2a2b3）（-3ab）=6a3b4;（2）（4×105）·(5×104)=2×1010;（3）（-2ab2）2·（-a2b)3=-4a8b7;（4）(x2-2y)·(-xy)=-x3y+2xy2;（5）(-a2)·(ab+abc)=-a3b-a3bc.2.认真选一选.（1）化简x(2x－1)－x2(2－x)的结果是（B）A.－x3－x 3－x C.－x2－1 3－1（2）化简a(b－c)－b(c－a)+c(a－b)的结果是（B）A.2ab+2bc+2acB.2ab－2bc D.－2bc（3）如图是L形钢条截面，它的面积为（B）A.ac+bcB.ac+(b-c)cC.(a-c)c+(b-c)cD.a+b+2c+(a-c)+(b-c)（4）下列各式中计算错误的是（C）A.2x·(2x3+3x－1)=4x4+6x2－2xB.b(b2－b+1)=b3－b2+bC.－12x(2x2－2)=－x3－xD.23x(32x3－3x+1)=x4－2x2+23x3.计算：(3x2+12y－23y2)·(－12xy)3解：原式=(3x2+12y-23y2)·(-18x3y3)=-38x5y3-116x3y4+112x3y5.二、综合应用（每题10分，共20分）4.某地有一块梯形实验田，它的上底为m （m），下底为n （m），高是h （m）.（1）用m、n、h表示这块梯形的面积S；（2）当m=8m，n=14m，h=7m时，求S.解：（1）S=12(m+n)h（2）S=12×（8+14）×7=77（m2）5.某商家为了给新产品做宣传，向全社会征集广告用语及商标图案，结果下图商标中标，求此商标图案阴影部分的面积.解：S阴影=14πa2+2a·a-12·3a·a=1 4πa2+12a2三、拓展延伸（每题10分，共20分）6.已知：单项式M、N满足2x(M+3x)=6x2y2+N，求M、N. 解：2x(M+3x)=6x2y2+N,2x·M+6x2=6x2y2+N∴N=6x22x·M=6x2y2M=3xy27.若（a m+1b n+2）·(a2n-1b2m)=a5b3,求m+n的值.解：(a m+1b n+2)(a2n-1b2m)=a5b3a m+2n b2m+n+2=a5b3m+2n=52m+n=3-2∴3m+3n=6∴m+n=2.。
人教版数学八年级上册..平方差公式课件ppt课堂课件
人 教 版 数 学 八年级 上册14 .2.1平 方差公 式课件
谢 谢!
人 教 版 数 学 八年级 上册14 .2.1平 方差公 式课件
•
1.有感情地朗读课文，体会作者对海 底世界 的喜爱 之情， 激发学 生热爱 大自然 、探索 自然奥 秘的兴 趣。
•
2.引导学生凭借生动形象的语言文字 ，了解 海底是 个景色 奇异、 物产丰 富的世 界。
•
3.在品读文字中，继续巩固总分的构 段方法 ，初步 学习围 绕中心 句概述 自然段 主要内 容。
•
4.第五节讲只要细心观察就能获得更 多的知 识。从 植物妈 妈的办 法中， 学生能 感受到 大自然 的有趣 ，生发 了解更 多植物 知识的 愿望， 培养留 心观察 身边事 物的习 惯。
•
5.根据诗歌内容，课文中配有相应的 插图， 形象地 描绘了 三种植 物传播 种子的 方法， 同时告 诉小读 者植物 传播种 子的方 法有很 多，仔 细观察 就能得 到更多 的知识 。
演讲完毕，谢谢观看！
同桌间每人利用平方差公式 出两道题，然后交换解答，找出 对方做错的地方，并通过讨论共 同解决问题。
人ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ教 版 数 学 八年级 上册14 .2.1平 方差公 式课件
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作业
• 教材第108页练习第1、2题
人 教 版 数 学 八年级 上册14 .2.1平 方差公 式课件
（3）(m+2)(m-2) =m2-4
问题： 1、三个式子的左边多项式具有什么特征？ 2、计算结果有什么共同特征？ 3、能否用含字母a,b的式子表示具有以上 特征的多项式乘法
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《平方差公式》PPT教学课件
(是)
（2）(-2a+b)(-2a-b) (是)
（3）(-a+b)(a-b)
(否)
（4）(a+b)(a-c)
(否)
例1运用平方差公式计算：
（1）（3x+2y )( 3x-2y） （2）（-7+2m2 )(-7-2m2 ） （3）（x-1)(x+1)(x2+1）
解：（1）（3x+2y)(3x-2y） =（3x）2-（2y）2 =9x2-4y2
=1002 - 22
=10000-4
=9996
例2计算： 1.102 ×98
2. y 2y 2 y 1y 5
解：2.原式=y2–22- (y2+5y-y-5)
=y2–4 – (y2+4y-5) =y2–4 –y2-4y+5 =-4y+1
注：合并同类项，化到最简。
随堂练习
1. a 3ba 3b
都未添括号。
拓展应用
1.利用平方差公式计算：
2 12 122 124 128 1
2 (1 1)(1 1) (1 1) (1 1 ) (1 1 )
2
2
4
16
256
小结：
通过本节课的学习你有什么收获？
1.什么是平方差公式？ 2.运用公式要注意： （1）要符合公式特征才能运用平方差公式； （2）有些例子表面不能应用公式，但实质能应用公式，要注意变形。
2.利用平方差公式填表。
(a-b)(a+b)
a
b
a2-b2
(1+x)(1-x)
1x
12-x2
(-3+a)(-3-a)
-3 a (-3)2-a2
平方差公式 优质课获奖课件
14．3.2
因式分解
公式法(2课时)
第1课时 平方差公式
1．能说出平方差公式的特点． 2．能较熟练地应用平方差公式分解因式．
重点 应用平方差公式分解因式． 难点
灵活应用平方差公式和提公因式法分解因式 ，并
理解因式分解的要求．
一、问题导入，探究新知
问题1：什么叫因式分解？ 问题2：你能将多项式 x2－4与多项式y2－25分解因式吗？ 这两个多项式有什么共同的特点？ 对于问题 1 要强调因式分解是对多项式进行的一种变形 ， 可引导比较它与整式乘法的关系． 对于问题 2 要求学生先进行思考 ，教师可视情况作适当的 提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点．
特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式 ， 对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式． 即(a＋b)(a－b)＝a2－b2反过来就是： a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进 行表述． 例1 分解因式： (1)4x2－9； (2)(x＋p)2－(x＋q)2.
七、课堂小结 谈一谈：你对完全平方公式有了哪些认识？它与平方差
公式有什么区别和联系？
作业：教材第112页习题14.2第2题，第3题的(1)(3)(4)， 第4题．
在完全平方公式的探求过程中，学生表现出观察角度的差
异：有些学生只是侧重观察某个单独的式子，而不知道将 几个式子联系起来看；有些学生则观察入微，表现出了较 强的观察力．教师要抓住这个契机，适当对学生进行学法 指导．对于公式的特点，则应当左右兼顾，特别是公式的 左边，它是正确应用公式的前提．
2．你能根据下图说明(a－b)2＝a2－2ab＋b2吗？
第1小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组 快？第2小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮 助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－ 2ab＋b2.
《平方差公式》优质课教学一等奖课件
猜想：(a+b)(a-b) = a2-b2
八年级-上册-第14章-第2节-第1课时
课题：平方差公式
难点名称：准确找到公式中的a与b，能够
灵活应用平方差公式.
回到羊村,就把这件事对喜羊羊他们讲了,大家一听,都说 道:“村长，您吃亏了!” 慢羊羊村长很吃惊…同学们,你能告 诉慢羊羊这是为什么吗?
原来
现在
5米
(a+5)米
a a米
2
(a-5) (a+5)(a-5)
5米
相等吗？
知识讲解
难点突破：理解平方差公式的结构特征,灵活应用平方差公式
计算下列多项式的积：你发现什么规律了
2
2 (2x)2-(2x2+2)(24xx-22-)
x
4
3n m (3n)(2m- +3n)(39nn-m2-)
m2
m2
-a 4b (-a)2-(-a+4b)(-aa2--41b6)b2 (4b)2
例1 运用平方差公式计算：
⑴ (3x+2)(3x-2) ; ⑵ (b+2a)(2a-b); (3) (-x+2y)(-x-2y).
分析:
⑴ (3x+2)(3x-2) =(3x)2 -22
( a b)(a-b) = a2 - b2
+
用公式关键是识别两数 完全相同项 — a 互为相反数项— b
解:
⑴ (3x+2)(3x-2)
=(3x) - 22
平方差公式优秀教案(多场景)
平方差公式优秀教案一、教学目标1.知识与技能目标：使学生理解平方差公式的概念，掌握平方差公式的推导过程，并能熟练运用平方差公式进行计算。
2.过程与方法目标：通过自主探究、合作交流，培养学生运用平方差公式解决问题的能力，提高学生的逻辑思维和推理能力。
3.情感态度与价值观目标：激发学生对数学的兴趣，培养学生主动探索、积极参与的精神，增强学生的团队合作意识。
二、教学内容1.平方差公式的定义：平方差公式是指两个数的平方差可以表示为两个数的和与差的乘积。
2.平方差公式的推导：通过具体的例子，引导学生观察、分析，发现平方差公式，并运用多项式乘法进行验证。
3.平方差公式的应用：解决实际问题，如计算平方差、因式分解等，培养学生运用平方差公式解决问题的能力。
三、教学重点与难点1.教学重点：平方差公式的推导和应用。
2.教学难点：平方差公式的理解和灵活运用。
四、教学过程1.导入新课：通过实际生活中的例子，如计算土地面积、求解速度问题等，引出平方差的概念。
2.自主探究：让学生观察具体的平方差例子，如\(a^2b^2\)，引导学生发现平方差公式。
3.合作交流：分组讨论，让学生互相分享自己的发现，共同推导平方差公式。
4.课堂讲解：对学生的发现进行总结，给出平方差公式的定义，并进行推导。
5.案例分析：通过具体的例题，讲解平方差公式的应用，如计算平方差、因式分解等。
6.练习巩固：布置相关练习题，让学生独立完成，巩固平方差公式的运用。
7.课堂小结：总结本节课的主要内容，强调平方差公式的推导和应用。
8.课后作业：布置课后作业，让学生运用平方差公式解决实际问题。
五、教学评价1.过程评价：观察学生在课堂上的参与程度、合作交流的表现，评价学生在自主探究、合作交流中的表现。
2.练习评价：检查学生在练习中的完成情况，评价学生对平方差公式的理解和运用能力。
3.课后作业评价：批改课后作业，评价学生对平方差公式的掌握程度，以及运用平方差公式解决问题的能力。
平方差公式课件教案
平方差公式课件教案教案标题：平方差公式课件教案教案目标：1. 使学生理解平方差公式的概念和应用。
2. 培养学生运用平方差公式解决实际问题的能力。
3. 帮助学生掌握平方差公式的推导过程。
教学时长：45分钟教学资源：1. 平方差公式的定义和推导过程的PPT课件。
2. 学生练习册和作业本。
3. 平方差公式的实际应用例题。
教学步骤：引入（5分钟）：1. 使用一个简单的问题引起学生对平方差公式的兴趣，例如：如果一个正方形的边长是a，那么它的对角线长度是多少？2. 引导学生思考并讨论这个问题，鼓励他们提出自己的解决方法。
概念讲解（10分钟）：1. 展示平方差公式的定义和推导过程的PPT课件，解释每一步的含义和逻辑。
2. 强调平方差公式的重要性和实际应用领域。
示范与练习（20分钟）：1. 在课件中给出平方差公式的实际应用例题，解答其中的一些示范题。
2. 分发学生练习册和作业本，让学生独立完成一些练习题，然后进行课堂讲解和订正。
拓展与应用（10分钟）：1. 引导学生思考更多的实际应用场景，例如：如何利用平方差公式计算两点之间的距离？2. 鼓励学生尝试解决这些问题，并分享他们的解决方法。
总结与反馈（5分钟）：1. 总结平方差公式的概念和应用，并强调学生的学习成果。
2. 收集学生的反馈和问题，并进行解答和指导。
教学评估：1. 在课堂上观察学生的参与度和理解程度。
2. 检查学生在练习册和作业本上的完成情况。
3. 根据学生的表现评估他们对平方差公式的掌握程度。
教学延伸：1. 鼓励学生进一步研究平方差公式的证明过程。
2. 提供更多的实际应用例题，让学生进一步巩固和应用所学知识。
教学反思：1. 教师应根据学生的实际情况和反馈及时调整教学策略。
2. 教师应提供足够的练习机会和实际应用场景，以帮助学生巩固和应用所学知识。
《平方差公式》课件精品 (公开课)2022年数学PPT
= 20152 － 20152+12 =1
6.利用平方差公式计算:
（1）（a-2)(a+2)(a2 + 4) 解:原式=(a2-4)(a2+4)
=a4-16.
(2) (x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4).
解：原式=（x2-y2)(x2+y2)(x4+y4) =（x4-y4)(x4+y4) =x8-y8.
①（x ＋1)( x－1）=x2 － 1， ②（m＋ 2)( m－2）=m2 －22
x2 － 12 m2－22
③（2m＋ 1)( 2m－1)=4m2 － 12 ④（5y ＋ z)(5y－z)= 25y2 － z2
(2m)2 － 12 (5y)2 － z2
想一想：这些计算结果有什么特点？
知识要点 平方差公式
填一填： (a-b)(a+b) (1+x)(1-x) (-3+a)(-3-a)
(1+a)(-1+a) (0.3x-1)(1+0.3x)
ab
1
x
-3
a
a1
0.3x 1
a2-b2 12-x2 (-3)2-a2 a2-12 ( 0.3x)2-12
练一练：口答下列各题： (l)(-a+b)(a+b)=____b_2-_a_2__. (2)(a-b)(b+a)= ___a_2-_b_2____. (3)(-a-b)(-a+b)= __a_2-_b_2___. (4)(a-b)(-a-b)= ___b_2-_a_2___.
2.计算（2x+1）（2x-1）等于（ A ）
人教版八年级数学上册教学平方差公式精品课件PPT
感谢观看，欢迎指导！
分析:
（2）(3x2)(3x2)
（3
2
x）
2
2
(3)(x12y)(x12y)
（ x）2
（1
2
y ）2
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
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四、公式运用
练习：第108页的练习第1题.
1、下面各式的计算对不对？如果不对，应当怎样改正？
(x2)(x2)x22 ( 3 a 2 ) ( 3 a 2 ) ( 3 a ) 2 2 2 9 a 2 4
设计意图：考查学生对平方差公式的结构的掌握情况
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
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五、“最强大脑”秘密
设计意图：进一步化解“结构的稳定性，字母的可变性”这一难点，
并为下一节内容的学习埋下伏笔。
人教版八年级数学上册教学课件-14.2 .1 平方差公式
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九、牛刀小试
1、作业P112 第1题 2、 数学探究 天龙住宅小区的花园，起初被设计为边长为 a 米的正方形， 后因道路的原因，设计修改为：北边往南平移 x(x a)米， 而西边往西平移 x 米. 试问： （1）修改后的花园面积和原先设计的花园面积相差多少？ （2）上述两种设计的面积之差与的大小有什么关系？ （3）在周长为定值4a 的矩形中，什么时候其面积最大？ （4）计算周长均为4a 的圆的面积，正六边形的面积。由此 你有什么新的发现？
•
5、人们都期望自我的生活中能够多 一些快 乐和顺 利，少 一些痛 苦和挫 折。可 是命运 却似乎 总给人 以更多 的失落 、痛苦 和挫折 。我就 经历过 许多大 大小小 的挫折 。
平方差公式教学优质课实录
平方差公式教学优质课实录今天咱们聊聊平方差公式。
哎呀，别以为这是个枯燥的数学话题，其实这个公式可有趣了，简直是数学界的小魔法！平方差公式是这样说的：( a^2 b^2 = (ab)(a+b) )。
听起来有点高大上，但没关系，咱们慢慢来，轻松点。
想象一下，你有两个好朋友，一个叫小明，一个叫小华。
小明特爱运动，身材倍儿棒，能跑能跳，简直是个小超人。
小华嘛，虽然也不错，但有时候就爱吃点零食，稍微胖了一点。
好吧，咱们不说他了。
现在，如果我问你小明和小华的身高差是多少，你会怎么算？嘿，其实这个平方差公式就能派上用场。
你看，小明的身高是 ( a )，小华的身高是 ( b )。
如果你想知道他们的身高差的平方，那你就得先算 ( a^2 b^2 )，然后用这个公式一代过去，哗啦啦地变成 ( (ab)(a+b) )，是不是就轻松多了？数学嘛，有时候就像我们生活中的调味料，少了它，很多事情就不那么美味。
想想看，当你在计算时，一不小心就忘了怎么处理平方了，那真是头疼得要命。
但是有了平方差公式，这种尴尬就再也不会发生啦！真是太神奇了，对吧？再说说这个公式的应用。
生活中啊，有很多地方都能用到它。
比如说，你在玩拼图，拼了半天，突然发现少了一块。
你心里想：我这拼图到底缺多少块呢？如果你能用平方差公式，就能轻松算出你需要几块，毫不费力。
哎呀，真是生活的小助手呢。
再给你讲一个小故事。
有一天，小明和小华决定比比谁的学习成绩好。
小明数学考了90分，小华考了80分。
他们就开始争论谁的进步大。
小明说：“我比你高出10分！”小华回应：“可我比你低10分啊！”这时，如果他们能用平方差公式来算，他们就能得出一个大致的答案，变得更理性，更不容易争吵，哈哈。
很多小伙伴可能会觉得，平方差公式是不是就只有这么简单？其实不然！它可是个万金油，能用在很多不同的数学问题上。
无论是代数，还是几何，甚至是一些高阶的计算，平方差公式都能灵活运用。
就像一把瑞士军刀，随时随地都能解决问题。
平方差公式PPT经典教学课件市公开课一等奖省优质课获奖课件
= x2− ( 2y )2
= x2 −4y2 ;
(3) (−m+nn)(−−mm−n )n = ( −m )2 − n2 = n2 −n2 .
阅读
p59例2.
注意 当“第
一(二)数”是一分数 或是数与字母乘积时, 要用括号把这个数整 个括起来，再平方;
最终结果又 要去掉括号。
第7页
随堂练习
随堂练习
(a+b+c)(a—b—c)。
第13页
本题是公式变式训练，以加 深对公式本质特征了解．
(4a−1)(4a−1)
利用加法交换律， =( −14a−−41a ) ( 4−a1 −+14a )
法一 变成公式标准形式。 =(1)2 −(4a)2 = 1−16a2。
提取两“−”号中“−”号 法二，
变成公式标准形式。
(4a−1)(4a−1) =−(4a+1)(4a−1) = [ (4a)2 −1]
这两个数平方差．
第5页
初识平方差公式
(a+b)(a−b)=a2−b2
特征 结构
(1) 公式左边两个二项式必须是 相同两数和与差相乘； 且左边两括号内第一项相等、 第二项符号相反[互为相反数(式)];
(2) 公式右边是这两个数平方差； 即右边是左边括号内第一项平方 减去第二项平方.
(3) 公式中 a和b 能够代表数， 也能够是代数式．
假如 (x+a)(x+b)中a、b再有某种特殊关系， 又将得到什么特殊结果呢? 这就是从本课起要学习内容．
第2页
a
试一试
a
a-b 将图中纸片只剪一刀，
再拼成一个长方形．
b
a-b b
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单实际问题。 【学习重、难点】
重点：掌握平方差公式. 难点：灵活利用平方差公式简化并计算 处理简单实际问题。
第2页
【预习导学】
一、自学指导
1、自学1：自学书本P107－108页“探究与思索与例1、
例2”，掌握平方差公式，完成以下填空。5分钟
点拨精讲：在多个因式相乘时探究】小组讨论交流解题思绪，小组活动后，小组代表展示活动结果。10分钟
点拨精讲：可将两个因数写成相同两个数和与差，组成平方差公
式结构。
第6页
【跟踪练习】学生独立确定解题思绪，小组内交流，上台展示并讲解思绪。5分钟
2x 3y 点拨精讲：利用平方差公式计算后要合并同类项。
第7页
【点拨精讲】（3分钟） 利用平方差公式来计算一些特殊多项式相乘，速度
快、准确率高，但必须注意平方差公式结构特征，找准a、 b.
第8页
【课堂小结】
（学生总结本堂课收获与迷惑）2分钟
【当堂训练】10分钟
第9页
x2 4
x2 25 y2
1 9a2
多项式 平方差
和
a ba b a2 b2
和差 差
积 平方差
第3页
【预习导学】
二、自学检测：学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视。7分钟
3a
点拨精讲：首先判断是否符合平方差公式结构，确定式子中“a、
b”，a是公式中相同数，b是其中符号相反数。
第4页
【合作探究】小组讨论交流解题思绪，小组活动后，小组代表展示活动结果。10分钟
平方差公式优质课课件
你能根据下图中的面积说明平方差公式吗？
a+b
a
a-b a
b
b
(a b)(a b) a2 b2
b b
平方差公式 两数和与这两数差的积, 等于 这两数的平方差.
相同为a
相同项平方减去相反项 的平方
(a+b)(a-b)=(a)2-(b)2
相反为b 相同项的平方 相反项的平方
公式变形:
1、（a – b ) ( a + b) = a2 - b2
解：（1）1992×2008
（2）39.8×40.2.
=(2000 −8) ×(2000+8 )
=(40 −0.2) ×(40+0.2 )
=20002 −82 =4000 000−64
=402 −0.22 =1600−0.04
=3 999 936
=1599.96
【合作探究】小组讨论交流解题思路，小组活动后，小组代表展示活动成果。10分钟
点拨精讲：可将两个因数写成相同的两个数的和与差，构成平方
差公式结构。
解:10.2×9.8 = (10 0.2)(10 0.2) =102 0.22 =100-0.04 =99.96(元).
大家来比赛，看谁算得快
A组
B组
（1） 103×97
（1） 1002-32
（2） 60.2 ×59.8 （2） 602-0.22
（3）(−m+2n)(−m−2n ) =(－m)2－(2n)2 =m2－4n2
A组 习题14.2 复习巩固 T1
B组 习题14.2 综合运用 T3(4) T5
C组 习题14.2
拓广探索 T9
1.计算 20042-2003×20052 2.请你利用平方差公式求出 (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)……(264+1)的值.
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x2－1 (1)(x+1)(x-1)=___________;
(2) (m+2)(m-2)=__________; m2－ 4 (3) (2x+1)(2x-1)=________. 4 x 2－ 1
(4) (2m+n)(2m-n)=________ 4m2－n2
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(-x-y)(x-y)。
解：
（1）(3x＋2)(3x－2)（2）(b+2a)(2a－b) (3)(-x+2y)(-x-2y)
=(3x)2－22 =9x2－4；
=(2a+b)(2a－b) =(2a)2－b2 =4a2－b2.
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=(-x)2-(2y)2 =x2-4y2.
图1
(a+b)(a－b)=a2－b2.
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图2
活动3
知识应用，加深对平方差公式的理解
1.下列多项式乘法中，能用平方差公式计算的是(② ⑤ ⑥ ): ① (x+1)(1+x)； ② (a+b)(b－a) ； ③ (－a+b)(a－b)； ④ (x2－y)(x+y2)； ⑤ (－a－b)(a－b)； ⑥ (c2－d2)(d2+c2).
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今天我们学习了什么？
1、平方差公式是特殊的多项式乘法，要理解并 掌握公式的结构特征. 1) 左边是两个数的和与这两个数的差的积. 2) 右边是这两个数的平方差. 用式子表示为： (a + b)(a – b) = a² - b²
注：这里的两数可以是两个单项式也可以是两 个多项式等等．
20102-(2010-1)(2010+1) = 20102-(20102-1) =1
1 6 19 7 7
2.填空： 2 2 ____ __ _____ 1 _____ 1 = ⑴a b 1a b 1 =
⑵a 3b 2ca 3b 2c = ____ __ ____ __ = ____2 __2
授课人：博爱中学 李丽敏
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创设情境：
你能用简便方法算一算吗?
2010 2009 2011
2
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活动1
知识复习
多项式与多项式相乘的法则:多项式与多项式相 乘,先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一 项y+5) = y2-22-(y2+4y-5)
= 1002-22
=10000 – 4
= y2-4-y2-4y+5
= - 4y + 1.
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= 9996.
综合拓展
1.计算
= :①20102-2009 ×2011；② 20
2、有些式子表面上不能应用公式,但通过适当 变形实质上能应用公式.如:(x+y-z)(x-y-z)= 2-y2 (x-z) [(x-z)+y][(x-z)-y]= 需要更完整的资源请到 新世纪教
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作业：
1.第156页 习题 15．2 第1题 2.预习完全平方公式
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2+1). (5)(x－3)(－3－x)需要更完整的资源请到 ； (6)(x+1)(x － 1)(x 新世纪教
例2 计算:
(1) 102×98; (2) (y+2) (y-2) – (y-1) (y+5) .
解:
(1)102×98
=(100+2)(100-2)
2.利用平方差公式计算： (1)(5+6x)(5－6x); (3)(－m+n)(－m－n).
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(2)(x－2y)(x+2y);
例1 运用平方差公式计算：
(1) (3x＋2 )( 3x－2 ) ；(2) (b+2a)(2a-b);
(3)(－x+2y)(－x－2y)； ⑷
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练习
1.下面各式的计算对不对？如果不对，应当 怎样改正？ (1)(x+2)(x－2)=x2－2； (2)(－3a－2)(3a－2)=9a2－4. 2.根据公式(a+b)(a－b)= a2－b2计算.
(1)(x+y)(x－y)；
(3)(xy+z)(xy－z)；
(2)(a+5)(5－a)；
(4)(c－a)(a+c) ；
(a+b)(a－ b)= a2－ ab+ab－ b2= a2－ b2 . 平方差公式: (a+b)(a－ b)= a2－ b2. 即两数和与这两数差的积等于这两个数的平方差.
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请从这个正方形纸板上， 剪下一个边长为b的小正方 形（如图1），拼成如图2的 长方形，你能根据图中的面 积说明平方差公式吗？
(a+b)(m+n)= am+an+bm+bn.
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活动2
计算下列各题，你能发现什么规律？
(1) (x+1)(x-1)； (2) (m+2)(m-2)； (3) (2x+1)(2x-1) ； (4) (2m+n)(2m-n).
答案:
⑶x y 2x y 2 = x ____ x ____ = ___2 ____ 2 2 2 __ ____ xy z 1 xy z 1 __ ____ __ ____ = = ⑷ ⑸a b ca b c = a ____ a ____ = __ 2 ____ 2