数值分析第三章作业
常州大学数值分析作业—第三章
第一章：9.设2cos 1)(xxx f -=，给出计算函数值)012.0(f 的一个合适算法，并在字长m 给定的，十进制计算机上给出数值计算结果。
解：由 )2421(242)2421(1)cos(1224242x x x x x x x -=-=+--≈- 得 )2421(cos 1)(22x x x x f -≈-=10. 字长为5的十进制计算机上计算)015.0(f 和)015.0(g ，并与)015.0(f 的精确值1.0075376410479比较，说明差异存在理由，其中x e x f x 1)(-=，24621)(32x x x x g +++=。
clearf=@(x)1/2-x^2/24; f(0.012)ans =0.5000解：字长为5时的误差很大，这是因为设置的字长有限，就不可避免的使舍入误差不断积累。
把字长改为9时，误差已经大幅度减小。
这说明，加大字长可以显著减小误差。
11. 举例介绍数组矩阵常见运算。
解：举例如下clearf=@(x)digit(digit(exp(x)-1,5)/x,5);g=@(x)digit(digit(1,5)+digit(x/2,5)+digit... (digit(x^2,5)/6,5)+digit(digit(x^3,5)/24,5),5); exc=1.0075376410479; f(0.015) g(0.015)err1=f(0.015)-exc err2=g(0.015)-excans =1.0075 ans =1.0075 err1 =-3.7641e-05 err2 =-3.7641e-05clearA=[1:4;5:8;9:12;13:16]B=[1,1,1,1;2,2,2,2;3,3,3,3;4,4,4,4] A ’ A =1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 B =1 1 1 12 2 2 23 3 3 34 4 4 4ans =1 5 9 132 6 10 143 7 11 154 8 12 16A*Bans = 30 30 30 30 70 70 70 70 110 110 110 110 150 150 150 150 A.*Bans =1 2 3 410 12 14 1627 30 33 3652 56 60 64A^2ans = 90 100 110 120 202 228 254 280 314 356 398 440 426 484 542 600 A.^2 ans =1 4 9 16 25 36 49 64 81 100 121 144 169 196 225 256%%编写m 文件使用digit 函数设置字长%% function y=digit(x,m) k=max(size(x)); y=x;for i=1:k if x(i)<0 sign=-1; elsesign=1; endx(i)=abs(x(i)); p=0;if x(i)<0.1&x(i)>eps while x(i)<0.1 x(i)=x(i)*10; p=p-1; end endif x(i)>=1while x(i)>=1 x(i)=x(i)/10; p=p+1; end endy(i)=round(x(i)*10^m)/10^m; y(i)=sign*y(i)*10^p; end returnf=@(x)digit(digit(exp(x)-1,9)/x,9);g=@(x)digit(digit(1,9)+digit(x/2,9)+digit... (digit(x^2,9)/6,9)+digit(digit(x^3,9)/24,9),9); err1=f(0.015)-exc err2=g(0.015)-excerr1 =-1.0479e-09 err2 =-1.0479e-0912.对任意给定的实数a 、b 、c 、试编写Matlab 程序,求方程02=++c bx ax 的根。
数值分析课后习题及答案
第一章 绪论（12） 第二章 插值法（40-42）2、当2,1,1-=x 时，4,3,0)(-=x f ，求)(x f 的二次插值多项式。
[解]372365)1(34)23(21)12)(12()1)(1(4)21)(11()2)(1()3()21)(11()2)(1(0))(())(())(())(())(())(()(2221202102210120120102102-+=-++--=+-+-⨯+------⨯-+-+-+⨯=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L 。
3、给出x x f ln )(=的数值表用线性插值及二次插值计算54.0ln 的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 x ln -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144[解]若取5.00=x ，6.01=x ，则693147.0)5.0()(00-===f x f y ，510826.0)6.0()(11-===f x f y ，则604752.182321.1)5.0(10826.5)6.0(93147.65.06.05.0510826.06.05.06.0693147.0)(010110101-=---=--⨯---⨯-=--+--=x x x x x x x x x y x x x x y x L ，从而6202186.0604752.19845334.0604752.154.082321.1)54.0(1-=-=-⨯=L 。
若取4.00=x ，5.01=x ，6.02=x ，则916291.0)4.0()(00-===f x f y ，693147.0)5.0()(11-===f x f y ，510826.0)6.0()(22-===f x f y ，则 217097.2068475.404115.2)2.09.0(5413.25)24.0(3147.69)3.01.1(81455.45)5.06.0)(4.06.0()5.0)(4.0()510826.0()6.05.0)(4.05.0()6.0)(4.0()693147.0()6.04.0)(5.04.0()6.0)(5.0(916291.0))(())(())(())(())(())(()(22221202102210120120102102-+-=+--+-⨯++-⨯-=----⨯-+----⨯-+----⨯-=----+----+----=x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x x x x x x x y x x x x x x x x y x L ，从而61531984.0217097.21969765.259519934.0217097.254.0068475.454.004115.2)54.0(22-=-+-=-⨯+⨯-=L补充题：1、令00=x ，11=x ，写出x e x y -=)(的一次插值多项式)(1x L ，并估计插值余项。
数值方法课后习题答案第3章
第三章直接法解线性方程组习题3-11. 写出列主元消去算法。
For k =1 to n-1 do1）消元：(1) 选主元：(2) 判别： , than stop(3) 换行： (j=k,k+1,...,n+1)(4) 计算乘数： (i=k+1,...,n)(5) 消元：(i=k+1,...,n; j=k+1,...,n+1) 2) 回代：(1) ,than stop(2) 回代：for k=n,n-1,...,1 do(3) 打印：print x j =a j,n+12. 用全主元高斯—约当消元法求下列方程的解3. 用全主元高斯—约当消去法求下列矩阵的逆矩阵4. 请用列全主元高斯—约当消去法求下列矩阵的逆矩阵6．如果在解方程组过程中，希望顺便求出系数矩阵A的行列式值det(A)，用什么方法比较方便？需注意一些什么问题？如果用高斯—约当列主元消去法，如何求出det(A)?高斯消元法解方程时；主元素高斯消元法解方程时，注意换行列会改变行列式的符号；用高斯—约当列主元消去法解方程时，把列主元 记录下来，把换行的次数m记录下来，。
7. 设A x=b是线性方程组1) 用列元高斯约当消去法，求解此方程组。
2) 求系数矩阵的行列式。
3) 求系数矩阵的逆矩阵。
也是一个指标为k的初等下三角阵，其中I i,j 为排列阵：证明：只是m i,k与m j,k换了个位置。
9．试证明单位下三角阵的逆矩阵仍然是一个单位下三角阵。
证：证得 下三角阵的逆阵仍是下三角阵。
当A为单位下三角阵时， ，B也是单位下三角阵。
习题3-25. 设A为n阶非奇异阵，且有分解式 A=LU，其中L为单位下三角阵，U为上三角阵，求证：A的所有顺序主子式均不为零。
证明：U一定是非奇异阵，否则A=LU也奇异。
记A的顺序主子阵为A k ，L的顺序主子阵为L k ，U的顺序主子阵为U k ，由分块阵的乘法6. 设A对称正定，试证明A一定可以进行以下分解:A=UU T，其中U是上三角阵，若限定U的对角元为正的，此分解唯一。
数值分析习题解二三章
数值分析习题解⼆三章12. 设()k T x 是k 次Chebyshev 多项式，证明（1）()()m n mn T T x T x =；（2）()()()()2m n m n m n T x T x T x T x +-+=. 证明：由Chebyshev 多项式的定义，()()()()()()cos arccos cos arccos cos arccos m n mn T T x m n x m n x T x ==??=()()()()()()()()()()cos arccos cos arccos 2cos arccos cos arccos 2m n m n m n T x T x m n x m n x m x n x T x T x +-+=+?+-?=??= 13. 求函数()f x =[]0,1上的⼀次最佳平⽅逼近多项式。
解：⽅法⼀（⽤多项式21,,,x x 作基底）令()01x ?=，()1x x ?=，设所求多项式为()*01S x a a x =+。
因为()12000,1d 1x ??==?，()()1011001,,d 2x x ===?，()121101,d 3x x ??==?，()(001,ln 122f x ?==++?，()()1101,13f x ?==?所以关于0a 和1a 的法⽅程为(()0011111ln 1=0.9343222110.4269511233a a a a ??+?=?=因此所求最佳平⽅逼近多项式 ()*0.934320.42695S x x =+。
⽅法⼆（⽤Legendre 正交多项式()01P x =, ()1P x x =, ()()221 31P x x =-, 因为[][]0,11,1≠-，令()[]11,1,12x t t =+∈-，则()()f x F t ==令()()001t P t ?==，()()11t P t t ?==，则()0,,2,21i j i ji j i ??≠??=?=?+?。
数值分析习题(含标准答案)
]第一章 绪论姓名 学号 班级习题主要考察点：有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。
1若误差限为5105.0-⨯,那么近似数有几位有效数字（有效数字的计算） 解：2*103400.0-⨯=x ，325*10211021---⨯=⨯≤-x x 故具有3位有效数字。
2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少（有效数字的计算） 解：10314159.0⨯= π，欲使其近似值*π具有4位有效数字，必需！41*1021-⨯≤-ππ，3*310211021--⨯+≤≤⨯-πππ，即14209.314109.3*≤≤π即取（ , ）之间的任意数，都具有4位有效数字。
3已知2031.1=a ，978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值，问b a +，b a ⨯有几位有效数字（有效数字的计算）解：3*1021-⨯≤-aa ，2*1021-⨯≤-b b ，而1811.2=+b a ，1766.1=⨯b a 2123****102110211021)()(---⨯≤⨯+⨯≤-+-≤+-+b b a a b a b a故b a +至少具有2位有效数字。
2123*****10210065.01022031.1102978.0)()(---⨯≤=⨯+⨯≤-+-≤-b b a a a b b a ab 故b a ⨯至少具有2位有效数字。
4设0>x ，x 的相对误差为δ，求x ln 的误差和相对误差（误差的计算）~解：已知δ=-**xx x ，则误差为 δ=-=-***ln ln xx x x x则相对误差为******ln ln 1ln ln ln xxx x xxx x δ=-=-5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=，底面半径r 的值为cm r 5*=，已知cm h h 2.0||*≤-，cm r r 1.0||*≤-，求圆柱体体积h r v2π=的绝对误差限与相对误差限。
（误差限的计算）解：*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ绝对误差限为πππ252.051.02052)5,20(),(2=⨯⋅+⨯⋅⋅⋅≤-v r h v相对误差限为%420120525)5,20()5,20(),(2==⋅⋅≤-ππv v r h v 6设x 的相对误差为%a ,求nx y =的相对误差。
数值分析第三版课本习题及答案
第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式11783100n n Y Y -=-( n=1,2,…)计算到100Y .若取783≈27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字(783≈27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若02 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12. 计算6(21)f =-,取2 1.4≈,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好?36311,(322),,9970 2.(21)(322)--++13. 2()ln(1)f x x x =--,求f (30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式22ln(1)ln(1)x x x x --=-++计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令200011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x - ,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=-- .2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 ln x -0.916291-0.693147-0.510826-0.357765-0.2231444. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i) 0()(0,1,,);nk kj j j x l x x k n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,若用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)kf x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 若1011()n nn n f x a a x a x a x --=++++ 有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x = ;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+ .16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦ 及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦ . 17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下:j x 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 j y0.50000.54770.62450.67080.7280试求三次样条插值()S x 并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 若[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n == ,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<= ,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式.10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nTx 是在[]0,1上带权21x x ρ=-的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()x f x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n nF x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最佳平方逼近.23.[]2sin (1)arccos ()1n n x u x x +=-是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin2f x x =在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最佳平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均方误差.i x 19 25 31 38 44 i y19.032.349.073.397.827. 观测物体的直线运动,得出以下数据:时间t (秒) 0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s (米) 010305080110求运动方程.28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:时间 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 浓度0 1.272.162.863.443.874.154.374.514.584.624.64用最小二乘拟合求()y f t =.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)91,4xdx n =⎰; (4)260sin ,6dx n π-ϕ=⎰.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分1x e dx-⎰并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰.6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7. 用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8. 用龙贝格方法计算积分12x e dxπ-⎰,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是22201()sin cS a d a π=-θθ⎰,这里a 是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用下列方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:x1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 ()f x0.25000.22680.20660.18900.1736第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
数值分析第三课本习题及答案
第一章 绪 论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 以下各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指出它们是几位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====⨯4. 利用公式(3.3)求以下各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多大误差?7. 求方程25610x x -+=的两个根,使它至少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分大时,怎样求211Ndx x +∞+⎰?9. 正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝2?10. 设212S gt =假定g 是准确的,而对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,而相对误差却减小. 11. 序列{}n y 满足递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),假设0 1.41y ≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多大?这个计算过程稳定吗?12.计算61)f =,1.4≈,利用以下等式计算,哪一个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.假设开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?假设改用另一等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多大?14. 试用消元法解方程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只用三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三角形面积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c ∆∆∆证明面积的误差s ∆满足.s a b cs a b c ∆∆∆∆≤++第二章 插值法1. 根据(2.2)定义的范德蒙行列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xx x ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的二次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表用线性插值及二次插值计算ln 0.54 的近似值.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,假设函数表具有5位有效数字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设jx 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)0()(0,1,,);nkkj jj x l x x k n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()xf x e =的等距节点函数表,假设用二次插值求xe 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使用函数表的步长h 应取多少? 9. 假设2n n y =,求4n y ∆及4n y δ.10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ∆=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)k f x k m ∆≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +∆=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +∆=∆+∆.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==∆=--∆∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=∆=∆-∆∑14. 假设1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{10,02;, 1.1()n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有以下性质: i)假设()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 假设()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f ⎡⎤⎣⎦及0182,2,,2f ⎡⎤⎣⎦.17. 证明两点三次埃尔米特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.18. 求一个次数不高于4次的多项式()P x ,使它满足(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限.19. 试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满足以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数()n x ϕ并证明当n →∞时,()n x ϕ在[],a b 上一致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔米特插值,并估计误差. 24. 给定数据表如下:试求三次样条插值并满足条件i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='=ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=25. 假设[]2(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbba a a a f x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx "-"="-"+""-"⎰⎰⎰⎰;ii) 假设()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'⎰.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可用(8.7)式的表达式).第三章 函数逼近与计算1. (a)利用区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做比较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最正确一致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最正确一致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-到达极小,又问这个解是否唯一?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最正确一次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最正确一次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最小?r 是否唯一? 9. 设43()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最正确逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利用插值极小化求11()f x tg x -=的三次近似最正确逼近多项式. 13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极小化近似最正确逼近多项式为()n L x ,假设nf L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ϕ=-----,试将()x ϕ降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[]1,1-上利用幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最正确逼近多项式*()n n F x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dxπ+-⎰为最小.并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();b baaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+⎰⎰问它们是否构成内积?19. 用许瓦兹不等式(4.5)估计6101x dx x +⎰的上界,并用积分中值定理估计同一积分的上下界,并比较其结果.20. 选择a ,使以下积分取得最小值:1122211(),x ax dx x ax dx----⎰⎰.21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1ϕ=ϕ=,分别在1ϕ、2ϕ上求出一个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最正确平方逼近,并比较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ϕ=上的最正确平方逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第二类切比雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开,求三次最正确平方逼近多项式并画出误差图形,再计算均方误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切比雪夫级数.26. 用最小二乘法求一个形如2y a bx =+的经验公式,使它与以下数据拟合,并求均方误差.27.28. 在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:用最小二乘拟合求.29. 编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图. 30. 编出改良FFT 算法的程序框图. 31. 现给出一张记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试用改良FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章 数值积分与数值微分1. 确定以下求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++⎰; (2)21012()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h--≈-++⎰;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f xf x -≈-++⎰;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'⎰.2. 分别用梯形公式和辛普森公式计算以下积分:(1)120,84xdx n x =+⎰; (2)1210(1),10x e dx n x --=⎰;(3)1,4n =⎰; (4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. 用辛普森公式求积分1x e dx-⎰并计算误差.5. 推导以下三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2ba f f x dxb a f a b a 'η=-+-⎰; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---⎰;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-⎰.6. 证明梯形公式(2.9)和辛普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()baf x dx⎰.7.用复化梯形公式求积分()baf x dx⎰,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍入误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这里a 是椭圆的半长轴,c是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公里为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第一颗人造卫星近地点距离439h =公里,远地点距离2384H =公里,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nn n ππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,用外推算法求π的近似值.11. 用以下方法计算积分31dyy ⎰并比较结果.(1) 龙贝格方法;(2) 三点及五点高斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式.12. 用三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:第五章 常微分方程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉方法和改良的尤拉方法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相比较。
清华大学高等数值分析_第三次作业答案
高等数值分析第三章作业参考答案1.考虑线性方程组Ax=b,其中A是对称正定矩阵.用Galerkin原理求解方程K=L=Span(v),这里v是一个固定的向量.e0=x∗−x0,e1=x∗−x1证明(e1,Ae1)=(e0,Ae0)−(r,v)2/(Av,v),(∗)其中r=b−Ax0.v应当取哪个向量在某种意义上是最佳的?证明.令x1=x0+αv,那么r1=r−αAv,e1=e0−αv.由Galerkin原理,有(r1,v)=0,因此α=(r,v)/(Av,v).注意到r1=Ae1,r=Ae,有(Ae1,v)=0.于是(e1,Ae1)=(e0−αv,Ae1)=(e0,Ae1)=(e0,Ae0)−α(e0,Av)=(e0,Ae0)−α(r,v)即(∗)式成立.由(∗)式知当v=e0时, e1 A=0最小,即近似解与精确解的误差在A范数意义下最小,算法一步收敛(但是实际中这个v不能精确找到);在最速下降意义下v=r时最佳.2.求证：考虑线性方程组Ax=b,其中A是对称正定矩阵.取K=L=Span(r,Ar).用Galerkin方法求解,其中r是上一步的残余向量.(a)用r和满足(r,Ap)=0的p向量构成K中的一组基.给出计算p的公式.解.设p=r+αAr,(r,Ap)=0等价于(Ar,p)=0.解得α=−(Ar,r)/(Ar,Ar).(b)写出从x0到x1的计算公式.解.设x1=x0+β1r+β2p,那么r1=r−β1Ar−β2Ap,再由Galerkin原理,有(r1,r)=(r1,p)=0,解得β1=(r,r)/(Ar,r),β2=(r,p)/(Ap,p).(c)该算法收敛吗?解.该算法可描述为：(1)选初始x0∈R n,计算初始残差r0=b−Ax0,ε>0为停机准则；(2)对k=0,1,2,...直到 r k <εαk=−(r k,Ar k) (Ar k,Ar k);p k=r k+αAr k;βk=(r k,r k) (Ar k,r k);γk=(r k,p k) (Ap k,p k);r k+1=r k−βk Ar k−γk Ap k;x k+1=x k+βk r k+γk p k.此算法本质上是由CG迭代一步就重启得到的,所以是收敛的,下面给出证法.设用此算法得到的x k+1=x k+¯p1(A)r k,那么e k+1 A=minp1∈P1e k+p1(A)r k A≤ e k+¯p1(A)r k A= e k−¯p1(A)Ae k A≤max1≤i≤n|˜p(λi)| e k A其中0<λ1≤...≤λn为A的特征值,˜p(t)=1−t¯p1(t)是过(0,1)点的二次多项式.当˜p满足˜p(λ1)=˜p(λn)=−˜p(λ1+λn2)时可使max1≤i≤n|˜p(λi)|达到最小.经计算可得min ˜p max1≤i≤n|˜p(λi)|≤(λ1−λn)2(λ1−λn)2+8λ1λn<1故若令κ=λ1/λn,则e k+1 A≤(κ−1)2κ2+6κ+1e k A,方法收敛.3.考虑方程组D1−F−E−D2x1x2=b1b2,其中D1,D2是m×m的非奇异矩阵.取L1=K1=Span{e1,e2,···,e m},L2= K2=Span{e m+1,e m+2,···,e n}.依次用(L1,K1),(L2,K2)按讲义46和47页公式Az∗=r0r0−Az m⊥LW T AV y m=W T r0x m=x0+V(W T AV)−1W T r0各进行一步计算.写出一个程序不断按这个方法计算下去,并验证算法收敛性.用L i=AK i重复上述各步骤.解.对任意给定x0=x(0)1x(0)2,令r=b−Ax0,V1=[e1,e2,...,e m],V2=[e m,e m+1,...,e n].对L i=K i情形,依次用(L1,K1),(L2,K2)各进行一步计算：(L1,K1)(L2,K2)z(1) 1=V1y1z(2)1=V2y2r0−Az(1)1⊥L1r0−Az(2)1⊥L2(V T1AV1)y1=V T1r0,D1y1=V T1r0(V T2AV2)y2=V T2r0,−D2y2=V T2r0x(1)1=x(1)+V1D−11V T1r0x(2)1=x(2)−V2D−12V T2r0得如下算法：(1)选初始x0∈R n,计算初始残差r0=b−Ax0,ε>0为停机准则；(2)对k=1,2,...直到 r k <ε求解D1y1=r k−1(1:m);求解−D2y2=r k−1(m+1:n);x k=x k−1+V1y1+V2y2;r k=r k−1−AV1y1−AV2y2.收敛性:r k=r k−1−AD−11−D−12rk−1=0−F D−12ED−11rk−1Br k−1算法收敛⇔ρ(B)<1⇔ρ(ED−11F D−12)<1.对L i=AK i情形,依次用(L1,K1),(L2,K2)各进行一步计算:(L1,K1)(L2,K2)z(1) 1=V1y1∈K1z(2)1=V2y2∈K2r0−Az(1)1⊥L1=AK1r0−Az(2)1⊥L2=AK2(V T1A T AV1)y1=V T1A T r0(V T2A T AV2)y2=V T2A T r0(D T1D1+E T E)y1=V T1A T r0(D T2D2+F T F)y2=V T2A T r0x(1) 1=x(1)+(D T1D1+E T E)−1V T1A T r0x(2)1=x(2)+(D T2D2+F T F)−1V T2A T r0得如下算法：(1)选初始x0∈R n,计算初始残差r0=b−Ax0,ε>0为停机准则；(2)对k=1,2,...直到 r k <ε求解(D T1D1+E T E)y1=(A T r k−1)(1:m);求解(D T2D2+F T F)y2=(A T r k−1)(m+1:n);x k=x k−1+V1y1+V2y2;r k=r k−1−AV1y1−AV2y2.收敛性:r k=r k−1−A(D T1D1+E T E)−1(D T2D2+F T F)−1A T rk−1(I−B)r k−1算法收敛⇔ρ(I−B)<1⇔0<λ(B)<2.4.令A=3−2−13−2...............−2−13,b=1...2用Galerkin原理求解Ax=b.取x0=0,V m=W m=(e1,e2,···,e m).对不同的m,观察 b−Ax m 和 x m−x∗ 的变化,其中x∗为方程的精确解.解.对于 b−Ax m 和 x m−x∗ ,都是前n−1步下降趋势微乎其微,到第n步突然收敛。
数值分析(第三章)实验报告
L1 ( x)
L2 ( x)
( x 0)( x 0.6) (100*x*(x - 3/5))/27 (0.9 0)(0.9 0.6)
30)*(x 9/10))/27 + -
P2 ( x) L0 ( x) cos 0 L1 ( x) cos 0.6 L2 ( x) cos 0.9 =((50*x
可以预测 1930，1965，2010 年的人口分别是 169649，1.9177e+005，171351
EXERCISE SET 3.2 4、
P131
a) 根据 Algorithm 3.2，利用课本作者网站上的关于本书的 MATLAB 程序 ALG032.M 运行该程序，在命令行窗口出现如下： Warning: Could not find an exact (case-sensitive) match for 'ALG032'. E:\ 个人 \ 工作 \ 高教数值分析 \ 第八版英文程序 \Matlab-Programs\matlab\m1\ALG032.M is a case-insensitive match and willbe used instead. You can improve the performance of your code by using exact name matches and we therefore recommend that you update your usage accordingly. Alternatively, you can disable this warning using warning('off','MATLAB:dispatcher:InexactCaseMatch'). This warning will become an error in future releases. Newtons form of the interpolation polynomial Choice of input method: 1. Input entry by entry from keyboard 2. Input data from a text file 3. Generate data using a function F Choose 1, 2, or 3 please 1 Input n 4 Input X(0) and F(X(0)) on separate lines 0.0 -6.00000 Input X(1) and F(X(1)) on separate lines 0.1 -5.89483 Input X(2) and F(X(2)) on separate lines 0.3 -5.65014 Input X(3) and F(X(3)) on separate lines 0.6 -5.17788 Input X(4) and F(X(4)) on separate lines 1.0 -4.28172 Select output destination 1. Screen 2. Text file Enter 1 or 2 1 NEWTONS INTERPOLATION POLYNOMIAL Input data follows: X(0) = 0.00000000 F(X(0)) =
数值分析第3-6章作业
第3章第1题function [A,Y]=lagrange1(x,y)if length(x)~=length(y)error('the length of x must be equal to that of y'); endm=length(x);n=m-1;L=zeros(m,m);for i=1:n+1C=1;for j=1:n+1if i~=jif abs(x(i)-x(j))<epserror('there are two same nodes ');endC=conv(C,poly(x(j)))/(x(i)-x(j));endendendL(i,:)=C;A=y*L;Y=polyval(A,pi/3);A=fliplr(A);return函数调用与结果一次：>> x=[0,pi/2];>> y=cos(x)y = 1.0000 0.0000>> [A,Y]=lagrange1(x,y)A = 1.0e-016 *0 0.3898Y = 4.0822e-017二次>> x=[0,pi/4,pi/2];>> y=cos(x);>> [A,Y]=lagrange1(x,y)A = 1.0e-016 *0 -0.3898 0.4963Y = 1.3607e-017四次：>> x=[0,pi/8,pi/4,pi/5,pi/2];y=cos(x);[A,Y]=lagrange1(x,y)A = 1.0e-016 *0 -0.0866 0.4688 -0.8075 0.4470Y = 3.3598e-018第7题：function [T,y]=aitken7(x,y,x0,T0)if nargin==3T0=[];endn0=size(T0,1);m=max(size(x));n=n0+m;T=zeros(n,n+1);T(1:n0,1:n0+1)=T0;T(n0+1:n,1)=x;T(n0+1:n,2)=y;if n0==0i0=2;elsei0=n0+1;endfor i=i0:nfor j=3:i+1T(i,j)=fun(T(j-2,1),T(i,1),T(j-2,j-1),T(i,j-1),x0);endendy=T(n,n+1)returnfunction [y]=fun(x1,x2,y1,y2,x)y=y1+(y2-y1)*(x-x1)/(x2-x1);return函数调用与结果：x=[0,1,2,3,4];y=[0.5,1.25,2.75,3.5,2.75];x0=2.8;aitken7(x,y,x0)y = 3.4568ans =0 0.5000 0 0 0 01.0000 1.25002.6000 0 0 02.0000 2.75003.65004.4900 0 03.0000 3.5000 3.3000 3.2300 3.4820 04.0000 2.7500 2.0750 2.2850 3.6080 3.4568第16题给出函数f(x)=lnx的数值表（见表3.1）表3.1x 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8lnx -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144Lagrange插值法：线性插值选取x=0.4 x=0.5在matlab命令窗口中输入：x=[0.4 0.5];y=[-0.916291 -0.693147];L0=poly(x(2))/(x(1)-x(2));L1=poly(x(1))/(x(2)-x(1));z=y(1)*L0+y(2)*L1;a=poly2sym(z)回车结果为 a=(27893*x)/12500-1.8088670 在matlab命令窗口中输入：x1=0.3:0.001:0.6;y1=(27893*x1)/12500-1.8088670;y2=log(x1)-(27893*x1)/12500+1.8088670; plot(x1,y1,'b-',x1,y2,'r--');title('图 3-1 线性插值')回车后得到如图所示结果Newton插值法：function f = Newton(x,y,x0)syms t;if(length(x) == length(y))n = length(x);c(1:n) = 0.0;elsedisp('x和y的维数不相等！');return;endf = y(1);y1 = 0;l = 1;for(i=1:n-1)for(j=i+1:n)y1(j) = (y(j)-y(i))/(x(j)-x(i)); endc(i) = y1(i+1);l = l*(t-x(i));f = f + c(i)*l;simplify(f); %化简y = y1;if(i==n-1)if(nargin == 3)f = subs(f,'t',x0); %计算插值点的函数值elsef = collect(f); %将插值多项式展开f = vpa(f,8); %将插值多项式的系数化成8位精度的小数endendend调用函数x=[0.4 0.5 0.6 0.7 0.8];y=[-0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144];f= Newton (x,y)运行的结果为f=-0.30958333*t^4+2.60825*t^3-5.4860542*t^2+5.6920925*t-2.474362在matlab命令窗口中输入：t=0.35:0.001:0.85;y=-0.30958333*t.^4+2.60825*t.^3-5.4860542*t.^2+5.6920925*t-2.474362; y1=log(t)-y;plot(t,y,'m-- ',t,y1,'o');title('图 3-2 Newton插值')回车后得到如图所示结果第4章作业第6题function c=erchengfa(x,y)Y=log(y)';A=zeros(5,3);for i=1:5A(i,1)=1;A(i,2)=log(x(i));A(i,3)=i;endc=inv(A'*A)*(A'*Y);a=exp(c(1))b=c(3)for i=1:5y=a*x.*exp(b*x);endyreturn调用命令x=[1 2 3 4 5];y=[1.222 2.984 5.466 8.902 13.592];c=erchengfa(x,y)答案a = 1.0002b = 0.20029y =1.222 2.986 5.4723 8.914413.614c = 0.00020220.998990.20029 第7题function[a0,a1,a2]=shengao8(h,w)S=log(s)';N=length(h);A=zeros(N,3);for i=1:5A(i,1)=1;A(i,2)=log(h(i));A(i,3)=log(w(i));endc=inv(A'*A)*(A'*S);a0=exp(c(1));a1=c(2);a2=c(3);return第8题function f=renkou(x,t)f=x(1)*305.9./(305.9+(x(1)-305.9)*exp(-x(2)*x(1)*(t-1999)));%h erereturn调用函数：t=[1999,2000,2001,2002,2003,2004,200 5,2006,2007];p=[305.9,308.5,313.02,318.46,326.28,33 1.59,337.93,341.54,345.55];x0=[0.2,0.005];x=lsqcurvefit(@renkou,x0,t,p)结果：x = 0.194499891564898 -0.000048550160470第5章作业第4题梯形公式function T=T4(a,b)T=(b-a)/2*(f(a)+f(b)); returnfunction y=f(x)y=2*x+1;return 调用函数a=0;b=1;T=t(a,b)答案：T = 2辛普森公式function S=S4(a,b)S=(b-a)/6*(f(a)+f(b)+4*f((a+b)/ 2));returnfunction y=f(x)y=2*x+1;return答案：S = 2第7题复合辛普森公式function s=sf7(a,b,n)if nargin==3n=20;endifnargin<3||nargin>4||a>b||n<1||n ~=round(n)error('incorrect input argument');endh=(b-a)/(2*n);s1=0;s2=0;for k=1:nx=a+h*(2*k-1);s1=s1+f(x);endfor k=1:n-1x=a+h*2*k;s2=s2+f(x);ends=h*(f(a)+f(b)+4*s1+2*s2)/3;Rs=0.5*(exp(1)-1)-s %手算出精确值并比较误差returnfunction y=f(x)y=x*exp(x^2);return复合梯形公式：function T=Tf7(a,b,n)if nargin==3n=20;endifnargin<3||nargin>4||a>b||n<1||n ~=round(n)error('incorrect input argument');end h=(b-a)/(2*n);t1=0;for k=1:2*n-1x=a+h*k;t1=t1+f(x);endT=h*(f(a)+f(b)+2*t1)/2;Rt=0.5*(exp(1)-1)-T %手算出精确值并比较误差returnfunction y=f(x)y=x*exp(x^2);return调用函数与结果：a=0;b=1;n=2;T=Tf7(0,1,2)Rt = -0.0003726T = 0.85951第13题方法1function [Dc,err]=Dc13(x,h)Dc=(f(x+h)-f(x-h))/(2*h);err=Dc-0.5;returnfunction y=f(x)y=log(x);return函数调用与结果x=2;h=0.1;[D,err]=Dc13(x,h)D = 0.500417292784913err = 4.172927849132035e-004 方法2function [Sc,err]=Sc13(x,h)Sc=4/3*Dc(x,h/2)-1/3*Dc(x,h); err=Sc-0.5;returnfunction y=Dc(x,h)y=(f(x+h)-f(x-h))/(2*h);returnfunction y=f(x)y=log(x);return函数调用与结果x=2;h=0.1;[Sc,err]=Sc13(x,h)Sc = 0.499999843400513err = -1.565994868224507e-007 方法3function [Cc,err]=Cc13(x,h)Cc=16/15*Sc(x,h/2)-1/15*Sc(x,h) ;err=Cc-0.5;returnfunction y=Sc(x,h)y=4/3*Dc(x,h/2)-1/3*Dc(x,h); return function y=Dc(x,h)y=(f(x+h)-f(x-h))/(2*h);returnfunction y=f(x)y=log(x);return函数调用与结果x=2;h=0.1;[Cc,err]=Cc13(x,h)Cc = 0.500000000017481err = 1.748101663423540e-011第6章第3题二分法做出函数图发现，三个有根区间分别为[-2.1,-1.5],[-1.5,-0.5],[0.5,1.2]function[c,err,k]=erfenfa(a,b,delta)ya=f(a);yb=f(b);if ya*yb>0display('f(a)*f(b)>0');endflag=1;k=0;while flag==1k=k+1;c=(a+b)/2;yc=f(c);if yc==0a=c;b=c;elseif yb*yc>0b=c;yb=yc;elseif ya*yc>0a=c;ya=yc;endif abs(b-a)<=2*delta flag=0;endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a)/2; returnfunction y=f(x)y=x^3+2*x^2-x-2;return函数调用与结果●a=-2.1;b=-1.5;delta=0.5e-2;[c,err,k]=erfenfa(a,b,delta)c = -2.001562500000000err = 0.004687500000000k =6●a=-1.5;b=-0.5;delta=0.5e-2;[c,err,k]=erfenfa(a,b,delta)c = -1err = 0k = 1●a=0.5;b=1.2;delta=0.5e-2;[c,err,k]=erfenfa(a,b,delta)c = 1.000390625000000err = 0.002734375000000k = 7试位法function[c,err,k]=shiweifa(a,b,delta) ya=f(a);yb=f(b);if ya*yb>0display('f(a)*f(b)>0'); endflag=1;k=0;while flag==1k=k+1;c=(a*f(b)-b*f(a))/(f(b)-f (a));yc=f(c);if yc==0a=c;b=c;elseif yb*yc>0b=c;yb=yc;elseif ya*yc>0a=c;ya=yc;endif abs(b-a)<=2*deltaflag=0;endendc=(a+b)/2;err=abs(b-a)/2;returnfunction y=f(x)y=x^3+2*x^2-x-2;Return函数调用与结果略第4题clcflag=1;k=0;x0=3;maxit=100;for i=1:maxitk=k+1;x=(2*log(x0)+5)^0.5;err=abs(x-x0);if err<1e-4flag=0;breakelsex0=x;endendkxerr结果：k = 6x = 2.6338 err = 1.788e-005第10题牛顿法function[x,err,k,y]=newton10(x0,delta,m axit)if nargin<2delta=1e-12;endif nargin<3maxit=100;endfor k=1:maxitx=x0-f(x0)/df(x0);err=abs(x-x0) ;x0=x;y=f(x0);if(err<delta)||(abs(y)<delta)break;endendreturnfunction y=f(x)y=x^3-3*x+4;returnfunction y=df(x)y=3*x^2-3;return调用函数：x0=-2;delta=1e-10;[x,err,k,y]=newton10(x0,delta,m axit)x = -2.195823345445652err = 8.811765317418008e-008k = 4y = -4.973799150320701e-014割线法：function[x,err,k,y]=gexian10(x0,x1,delt a,maxit)if nargin<3delta=1e-12;endif nargin<4maxit=100;endfor k=1:maxitx=x1-f(x1)*(x1-x0)/(f(x1)-f(x0));err=abs(x-x0); x0=x1;x1=x;y=f(x1);if (err<delta)||(abs(y)<delta)break;endendreturnfunction y=f(x)y=x^3-3*x+4;return调用函数x0=-2;x1=-2.1;x,err,k,y]=gexian10(x0,x1,delta,maxit)x = -2.195823345445641err = 4.930212259335320e-006k = 5y = 6.750155989720952e-014。
数值分析报告第三版课本习题及问题详解
数值分析报告第三版课本习题及问题详解第⼀章绪论1. 设x >0,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差.2. 设x 的相对误差为2％,求nx 的相对误差.3. 下列各数都是经过四舍五⼊得到的近似数,即误差限不超过最后⼀位的半个单位,试指出它们是⼏位有效数字:*****123451.1021,0.031,385.6,56.430,7 1.0.x x x x x =====?4. 利⽤公式(3.3)求下列各近似值的误差限:********12412324(),(),()/,i x x x ii x x x iii x x ++其中****1234,,,x x x x 均为第3题所给的数.5. 计算球体积要使相对误差限为1％,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少?6. 设028,Y =按递推公式1n n Y Y -=-( n=1,2,…)计算到100Y .27.982(五位有效数字),试问计算100Y 将有多⼤误差?7. 求⽅程25610x x -+=的两个根,使它⾄少具有四位有效数字27.982).8. 当N 充分⼤时,怎样求211Ndx x +∞+?9. 正⽅形的边长⼤约为100㎝,应怎样测量才能使其⾯积误差不超过1㎝210. 设212S gt =假定g 是准确的,⽽对t 的测量有±0.1秒的误差,证明当t 增加时S 的绝对误差增加,⽽相对误差却减⼩.11. 序列{}n y 满⾜递推关系1101n n y y -=-(n=1,2,…),若0 1.41y =≈(三位有效数字),计算到10y 时误差有多⼤?这个计算过程稳定吗?12. 计算61)f =, 1.4≈,利⽤下列等式计算,哪⼀个得到的结果最好?3--13.()ln(f x x =,求f (30)的值.若开平⽅⽤六位函数表,问求对数时误差有多⼤?若改⽤另⼀等价公式ln(ln(x x =-计算,求对数时误差有多⼤?14. 试⽤消元法解⽅程组{101012121010;2.x x x x +=+=假定只⽤三位数计算,问结果是否可靠?15. 已知三⾓形⾯积1sin ,2s ab c =其中c 为弧度,02c π<<,且测量a ,b ,c 的误差分别为,,.a b c 证明⾯积的误差s ?满⾜.s a b cs a b c ≤++第⼆章插值法1. 根据(2.2)定义的德蒙⾏列式,令2000011211121()(,,,,)11n n n n n n n n n x x x V x V x x x x x x x xxx ----==证明()n V x 是n 次多项式,它的根是01,,n x x -,且101101()(,,,)()()n n n n V x V x x x x x x x ---=--.2. 当x = 1 , -1 , 2 时, f (x)= 0 , -3 , 4 ,求f (x )的⼆次插值多项式.3. 给出f (x )=ln x 的数值表⽤线性插值及⼆次插值计算ln 0.54 的近似值.4. 给出cos x ,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数字,研究⽤线性插值求cos x 近似值时的总误差界.5. 设0k x x kh =+,k =0,1,2,3,求032max ()x x x l x ≤≤.6. 设j x 为互异节点(j =0,1,…,n ),求证:i)kj jj x l x x k n =≡=∑ii)()()1,2,,).nk jj j xx l x k n =-≡0(=∑7. 设[]2(),f x C a b ∈且()()0f a f b ==,求证21()()().8max max a x ba xb f x b a f x ≤≤≤≤≤-"8. 在44x -≤≤上给出()x f x e =的等距节点函数表,若⽤⼆次插值求x e 的近似值,要使截断误差不超过610-,问使⽤函数表的步长h 应取多少?9. 若2n n y =,求4n y ?及4n y δ. 10. 如果()f x 是m 次多项式,记()()()f x f x h f x ?=+-,证明()f x 的k 阶差分()(0)kf x k m ?≤≤是m k -次多项式,并且()0(m lf x l +?=为正整数).11. 证明1()k k k k k k f g f g g f +?=?+?.12. 证明110010.n n kkn n k k k k f gf g f g g f --+==?=--?∑∑13. 证明1200.n j n j y y y -=?=?-?∑14. 若1011()n n n n f x a a x a x a x --=++++有n 个不同实根12,,,n x x x ,证明{n k njk n a k n j jx f x -≤≤-=-=='∑15. 证明n 阶均差有下列性质: i)若()()F x cf x =,则[][]0101,,,,,,n n F x x x cf x x x =;ii) 若()()()F x f x g x =+,则[][][]010101,,,,,,,,,n n n F x x x f x x x g x x x =+.16. 74()31f x x x x =+++,求0172,2,,2f及0182,2,,2f.17. 证明两点三次埃尔⽶特插值余项是(4)22311()()()()/4!,(,)k k k k R x f x x x x x x ++=ξ--ξ∈并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.18. 求⼀个次数不⾼于4次的多项式()P x ,使它满⾜(0)(1)P P k =-+并由此求出分段三次埃尔⽶特插值的误差限.19. 试求出⼀个最⾼次数不⾼于4次的函数多项式()P x ,以便使它能够满⾜以下边界条件(0)(0)0P P ='=,(1)(1)1P P ='=,(2)1P =.20. 设[](),f x C a b ∈,把[],a b 分为n 等分,试构造⼀个台阶形的零次分段插值函数()n x ?并证明当n →∞时,()n x ?在[],a b 上⼀致收敛到()f x .21. 设2()1/(1)f x x =+,在55x -≤≤上取10n =,按等距节点求分段线性插值函数()h I x ,计算各节点间中点处的()h I x 与()f x 的值,并估计误差.22. 求2()f x x =在[],a b 上的分段线性插值函数()h I x ,并估计误差.23. 求4()f x x =在[],a b 上的分段埃尔⽶特插值,并估计误差.24. 给定数据表如下:试求三次样条插值并满⾜条件 i) (0.25) 1.0000,(0.53)0.6868;S S '='= ii)(0.25)(0.53)0.S S "="=(),f x C a b ∈,()S x 是三次样条函数,证明 i)[][][][]222()()()()2()()()bbbbaaaaf x dx S x dx f x S x dx S x f x S x dx"-"="-"+""-"?;ii) 若()()(0,1,,)i i f x S x i n ==,式中i x 为插值节点,且01n a x x x b =<<<=,则[][][]()()()()()()()()()baS x f x S x dx S b f b S b S a f a S a ""-"="'-'-"'-'?.26. 编出计算三次样条函数()S x 系数及其在插值节点中点的值的程序框图(()S x 可⽤(8.7)式的表达式).第三章函数逼近与计算1. (a)利⽤区间变换推出区间为[],a b 的伯恩斯坦多项式.(b)对()sin f x x =在[]0,/2π上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误差做⽐较. 2. 求证:(a)当()m f x M ≤≤时,(,)n m B f x M ≤≤. (b)当()f x x =时,(,)n B f x x =.3. 在次数不超过6的多项式中,求()sin 4f x x =在[]0,2π的最佳⼀致逼近多项式.4. 假设()f x 在[],a b 上连续,求()f x 的零次最佳⼀致逼近多项式.5. 选取常数a ,使301max x x ax≤≤-达到极⼩,⼜问这个解是否唯⼀?6. 求()sin f x x =在[]0,/2π上的最佳⼀次逼近多项式,并估计误差.7. 求()xf x e =在[]0,1上的最佳⼀次逼近多项式.8. 如何选取r ,使2()p x x r =+在[]1,1-上与零偏差最⼩?r 是否唯⼀? 9. 设()31f x x x =+-,在[]0,1上求三次最佳逼近多项式. 10. 令[]()(21),0,1n n T x T x x =-∈,求***0123(),(),(),()T x T x T x T x .11. 试证{}*()nT x 是在[]0,1上带权ρ=的正交多项式.12. 在[]1,1-上利⽤插值极⼩化求11()f x tg x -=的三次近似最佳逼近多项式.13. 设()xf x e =在[]1,1-上的插值极⼩化近似最佳逼近多项式为()n L x ,若n f L ∞-有界,证明对任何1n ≥,存在常数n α、n β,使11()()()()(11).n n n n n T x f x L x T x x ++α≤-≤β-≤≤14. 设在[]1,1-上234511315165()128243843840x x x x x x ?=-----,试将()x ?降低到3次多项式并估计误差. 15. 在[ ]1,1-上利⽤幂级数项数求()sin f x x =的3次逼近多项式,使误差不超过0.005.16. ()f x 是[],a a -上的连续奇(偶)函数,证明不管n 是奇数或偶数,()f x 的最佳逼近多项式*()n nF x H ∈也是奇(偶)函数.17. 求a 、b 使[]220sin ax b x dx π+-?为最⼩.并与1题及6题的⼀次逼近多项式误差作⽐较.18. ()f x 、[]1(),g x C a b ∈,定义 ()(,)()();()(,)()()()();bbaaa f g f x g x dxb f g f x g x dx f a g a =''=''+??问它们是否构成积?19. ⽤许⽡兹不等式(4.5)估计6101x dx x +?的上界,并⽤积分中值定理估计同⼀积分的上下界,并⽐较其结果.20. 选择a ,使下列积分取得最⼩值:1122211(),x ax dx x ax dx21. 设空间{}{}10010121,,,span x span x x 1?=?=,分别在1?、2?上求出⼀个元素,使得其为[]20,1x C ∈的最佳平⽅逼近,并⽐较其结果.22. ()f x x =在[]1,1-上,求在{}2411,,span x x ?=上的最佳平⽅逼近.23.sin (1)arccos ()n n x u x +=是第⼆类切⽐雪夫多项式,证明它有递推关系()()()112n n n u x xu x u x +-=-.24. 将1()sin 2f x x=在[]1,1-上按勒让德多项式及切⽐雪夫多项式展开,求三次最佳平⽅逼近多项式并画出误差图形,再计算均⽅误差.25. 把()arccos f x x =在[]1,1-上展成切⽐雪夫级数.26. ⽤最⼩⼆乘法求⼀个形如2y a bx =+的经验公式,使它与下列数据拟合,并求均⽅误差.27.28. 在某化学反应⾥,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下:⽤最⼩⼆乘拟合求.29. 编出⽤正交多项式做最⼩⼆乘拟合的程序框图. 30. 编出改进FFT 算法的程序框图. 31. 现给出⼀记录{}{}4,3,2,1,0,1,2,3k x =,试⽤改进FFT 算法求出序列{}k x 的离散频谱{}k C (0,1,,7).k =第四章数值积分与数值微分1. 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量⾼,并指明所构造出的求积公式所具有的代数精度: (1)101()()(0)()hh f x dx A f h A f A f h --≈-++?; (2)21012()()(0)()f x dx A f h A f A f h --≈-++?;(3)[]1121()(1)2()3()/3f x dx f f x f x -≈-++?;(4)[][]20()(0)()/1(0)()hf x dx h f f h ah f f h ≈++'-'?.2. 分别⽤梯形公式和⾟普森公式计算下列积分: (1)120,84xdx n x =+?; (2)1210(1),10x e dx n x --=?;(3)1,4n =?;(4),6n =.3. 直接验证柯特斯公式(2.4)具有5次代数精度.4. ⽤⾟普森公式求积分1x e dx-?并计算误差.5. 推导下列三种矩形求积公式:(1)2()()()()()2baf f x dx b a f a b a 'η=-+-?; (2)2()()()()()2baf f x dx b a f b b a 'η=---?;(3)3()()()()()224baa b f f x dx b a f b a +"η=-+-?.6. 证明梯形公式(2.9)和⾟普森公式(2.11)当n →∞时收敛到积分()ba f x dx.7.⽤复化梯形公式求积分()baf x dx,问要将积分区间[],a b 分成多少等分,才能保证误差不超过ε(设不计舍⼊误差)?8.1x e dx-,要求误差不超过510-.9. 卫星轨道是⼀个椭圆,椭圆周长的计算公式是S a =θ,这⾥a 是椭圆的半长轴,c是地球中⼼与轨道中⼼(椭圆中⼼)的距离,记h 为近地点距离,H 为远地点距离,6371R =公⾥为地球半径,则(2)/2,()/2a R H h c H h =++=-.我国第⼀颗⼈造卫星近地点距离439h =公⾥,远地点距离2384H =公⾥,试求卫星轨道的周长.10. 证明等式3524sin3!5!n nnnππππ=-+-试依据sin(/)(3,6,12)n n n π=的值,⽤外推算法求π的近似值.11. ⽤下列⽅法计算积分31dyy ?并⽐较结果.(1) 龙贝格⽅法;(2) 三点及五点⾼斯公式;(3) 将积分区间分为四等分,⽤复化两点⾼斯公式.12. ⽤三点公式和五点公式分别求21()(1)f x x =+在x =1.0,1.1和1.2处的导数值,并估计误差.()f x 的值由下表给出:第五章常微分⽅程数值解法1. 就初值问题0)0(,=+='y b ax y 分别导出尤拉⽅法和改进的尤拉⽅法的近似解的表达式，并与准确解bx ax y +=221相⽐较。
数值分析第三章作业
i 1
5
1
1
5
2
5
4
xi i
5 1
7277699
( 0 , 1) ( 0 , y ) (1 , y )
得
xi i
5
2
5327
i 1
5
yi
2 1
271 .4
xi i
y i 369321 .5
5a 5327b 271 .4 5327a 727699 b 369321 .5
1 2
18.在某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下： 时间 t/s 浓度 y/(x10 -4 ) 0 0 5 10 15 20
1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64
用最小二乘法求 y f(t )
b
解：将给定数据点画出草图，可见曲线近似指数函数，故设 y ae t ，两边取对 数得
1
2
0.06232136
i
( 0 ,1 ) ( 0 ,1 )
11
1
i
0.6039755
i t i
1 11
( 0 ,y )
i 1
y i 13.639649 ，(1 ,y )
y
0.5303303
i
从而解得法方程为
11A 0.60397556 b 13.639649 0.6039755 A 0.062321366 b 0.5303303
xi yi
19
25
31
38
44
19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
用最小二乘法求一个形如 y a bx2 的经验公式，并计算均方误差. 解：由题意 span 1, x 2 ,0(x ) 1,1(x ) x 2 ，
数值分析习题第三章
第三章 习题解：在坐标纸上标出所给数据，如图3.1。
从图看到各点在一条直线附近，故可选择线性函数做拟合，即令()x a a x S 101+=这里根据最小二乘法，N=5，m=1，()10=x ϕ，()xx =1ϕ，故其法方程为()()101，，，，==∑=k f a kjj jkϕϕϕ图3.1其中()()()()()()()()105151，，，，，=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==∑∑==k j x x f x f x x x i ik i i k i i k i j i k j ϕωϕϕϕωϕϕ 即()()()()()()∑∑∑∑∑================5115105121151011051005.1454774228i ii i ii i i i i ii i if f f f x x ωϕωϕωϕϕωϕϕϕϕωϕϕ，，，，，，于是得方程组⎩⎨⎧=+=+5.1457422472281010a a a a解得20.156.210==a a ，于是所求拟合曲线为()x x S 20.156.21+=2．求形如)(是常数，b a ae y bx =的经验公式，使它能和下表给出的数据相拟合。
解：对经验公式两边取常用对数得 e bx a x lg lg lg += 作变换令e b B a A y u lg lg lg ===，，得Bx A u +=这样可将原来的指数型拟合问题转化为一次多项式拟合来求解。
为了得出法方程组需算出一下数值：∑∑∑∑∑======81281818181lg i ii ii i i iii ixu x y u x ，，，这些数值课由表3.1算出表3.1 计算列表由上表得出的法方程组为⎩⎨⎧=+=+89595.63204360189.13368B A B A 求解得A=1.058337，B=0.12645由此得291162.043776.11==b a ，因此，所求的经验公式为291162.043776.11e y =3．用最小二乘法求一个形如2bx a y +=的经验公式，使它与下列数据想拟合，并计算均方误差。
数值分析习题-李庆杨 第三章习题-18页PPT精品文档
2 ( ( x 2 2 ,,2 2 ) ) 10 /5 3 2 6 0 , 5 2 ( (2 1 , ,1 2 ) ) 1 1 / /1 5 3 6 5 2 6 1 75 7 0
3(x)(x2)22 1x31 9x 4
(0 ,f ) 0 1 ( x 2 3 2 ) d 2 6 x ,(, 3 f ) 9 4 ,(2 ,f ) 0 1 x 2 ( x 2 3 x 2 ) d 9 6 x
1 从而该方程组为 1
2 1
1
2 1
3 1
1
23
1143aaa102
从而该方程组为
1
1
2
1
23
2 1
a0 a1
6 9
3
4
a0 161,a1 4
故所求最佳平方逼近多项式为S1*(x)
4x11 6
若 取 sp1 ,a x,x n 2，S 则 2 *(x)得 a0a1xa2x2
事实上，由分部积分公式，p0,q1有
B (p ,q )0 1xp 1(1x)q 1 d x0 1(1x)q 1 d x p p
xp(1x)q11q11xp(1x)q2dx
p
0 p0
q11xp 1xp 1(1x)(1x)q2dx p0
6
3
2
x3533x2336x3
2
2
2
0 .098 x3 0 0 .4 70 6x 1 2 2 1 9 .5 x24
2、当f (x)x时，求B 证n(f,x)x
数值分析练习1-3章
第一章 绪论一、填空题1、 已知 71828.2e =，求x 的近似值a 的有效数位和相对误差：题号精确数xx 的近似数aa 的有效数位a 的相对误差⑴ e 2.7 ⑵ e 2.718 ⑶ e/100 0.027 ⑷e/1000.027182、 设原始数据x 1，x 2，x 3和x 4的近似值（每位均为有效数字）如下：a 1=1.1021，a 2=0.031，a 3=385.6，a 4=56.430则 ⑴ a 1+a 2+a 4= ，相对误差界为 ； ⑵ a 1a 2a 3= ，相对误差界为 ； ⑶ a 2/a 4= ，相对误差界为 。
二、为使20的近似值的相对误差小于0.01%，问应取多少位有效数字？三、当x 接近于0时，怎样计算xxsin cos 1-以及当x 充分大时，怎样计算x x -+1，才会使其结果的有效数字不会严重损失。
四、在数值计算中，为了减小误差，应该尽量避免的问题有哪些？并举出相应的实例.五、对于序列,1,0,9991=+=⎰n dx x x I nn ，试构造两种递推算法计算10I ，在你构造的算法中，那一种是稳定的，说明你的理由；第二章 插值法１、在互异的n+1个点处满足插值条件P(x i )=y i ,(i=0,1,…n)的次数不高于n 的多项式是( )的(Ａ)存在且唯一 (Ｂ)存在 (Ｃ)不存在 (Ｄ)不唯一2、当f(x)是次数不超过n 的多项式时，f(x)的插值多项式是 ( )(Ａ)不确定 (Ｂ)次数为n (Ｃ)f(x)自身 （D ）次数超过n 3、 插值基函数的和∑=nj jx l)(= ( )(Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)不确定4、 设f(x)=x 3-x+5，则f[20,21,22,23]= ( )； f[20,21,22,23,24]= ( )(Ａ)０ (Ｂ)１ (Ｃ)２ (Ｄ)不确定5、( )插值方法具有公式整齐、程序容易实现的优点，而( )插值方法计算灵活，如果节点个数变化时，不需要重新构造多项式，它们都是( )的方法(Ａ)构造性 (Ｂ)解方程组 (Ｃ)拉格朗日 (Ｄ)牛顿６、一般地，内插公式比外推公式( ),高次插值比低次插值( )，但当插值多项式的次数高于七、八次时，最好利用( )插值公式 (Ａ)粗糙 (Ｂ)精确 (Ｃ)分段低次 (Ｄ)高次７、整体光滑度高，收敛性良好，且在外型设计、数值计算中应用广泛的分段插值方法为（ ）.（Ａ）分段线性插值 （Ｂ）分段抛物插值 （Ｃ）分段三次埃尔米特插值 （Ｄ）三次样条插值。
数值分析第三章习题
例 3 设x= =3.1415926…，求x*=3.1415的近似值及有效数字
解 1：若取近似值x*=3.1415，绝对误差是0.0000926…，有
，
即m=0,n＝4，故近似值x*=3.1415只有4位有效数字．
x x 0.0000926
ln(1 x) x 2 x3 x , 2 3
ln 1 x 1 x x3 2( x ) 3 1 3
vs
Cramer法则 vs Gauss消去法. 1 、面向计算机
取x
2 、可靠的理论分析 ,保证收敛性、稳定性
3 、良好的计算复杂性
4 、数值实验
四、如何学好数值分析 1 、注意掌握基本原理、处理技巧，误差分析
误差
• 在用数值方法解题过程中可能产生的误差归
纳起来有如下几类：
– 1. 模型误差
– 2. 观测误差
– 3. 截断误差 – 4. 舍入误差
模型误差
• 用数学方法解决一个具体的实际问题，首先要建立 数学模型，这就要对实际问题进行抽象、简化，因 而数学模型本身总含有误差，这种误差叫做模型误 差 • 数学模型是指那些利用数学语言模拟现实而建立起 来的有关量的描述 • 数学模型的准确解与实际问题的真解不同
误差
例如在计算时用3.14159近似代替，
产生的误差R= -3.14159=0.0000026… 就是舍入误差。 上述种种误差都会影响计算结果的准确 性，因此需要了解与研究误差，在数值计算 中将着重研究截断误差、舍入误差，并对它 们的传播与积累作出分析
二、误差、有效数字 定义 1 绝对误差，简称误差：
2 2
数值分析课后习题及答案
数值分析课后习题及答案第一章绪论（12）第二章插值法（40-42）2、当时，，求的二次插值多项式。
[解]。
3、给出的数值表用线性插值及二次插值计算的近似值。
X 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 -0.916291 -0.693147 -0.510826 -0.357765 -0.223144 [解]若取，，则，，则，从而。
若取，，，则，，，则，从而补充题：1、令，，写出的一次插值多项式，并估计插值余项。
[解]由，可知，，余项为，故。
2、设，试利用拉格朗日插值余项定理写出以为插值节点的三次插值多项式。
[解]由插值余项定理，有，从而。
5、给定数据表：，1 2 4 6 7 4 1 0 1 1 求4次牛顿插值多项式，并写出插值余项。
[解]一阶差商二阶差商三阶差商四阶差商 1 42 1 -34 0 6 17 1 0 由差商表可得4次牛顿插值多项式为：，插值余项为。
第三章函数逼近与计算（80-82）26、用最小二乘法求一个形如的经验公式，使它与下列数据相拟合，并求均方误差。
19 25 31 38 44 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8[解]由。
又，，，故法方程为，解得。
均方误差为。
27、观测物体的直线运动，得出以下数据：时间t（秒）0 0.9 1.9 3.0 3.9 5.0 距离s（米）0 10 30 5080 110 [解]设直线运动为二次多项式，则由。
，。
又，，，故法方程为，解得。
故直线运动为。
补充题：1、现测得通过某电阻R的电流I及其两端的电压U如下表：I ……U ……试用最小二乘原理确定电阻R的大小。
[解]电流、电阻与电压之间满足如下关系：。
应用最小二乘原理，求R使得达到最小。
对求导得到：。
令，得到电阻R为。
2、对于某个长度测量了n次，得到n个近似值，通常取平均值作为所求长度，请说明理由。
[解]令，求x使得达到最小。
对求导得到：，令，得到，这说明取平均值在最小二乘意义下误差达到最小。
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xi yi
19
25
31
38
44
19.0 32.3 49.0 73.3 97.8
用最小二乘法求一个形如 y a bx2 的经验公式，并计算均方误差. 解：由题意 span 1, x 2 ,0(x ) 1,1(x ) x 2 ，
0) 所以( 0 ,
(1 , 1)
1
2
0.06232136
i
( 0 ,1 ) ( 0 ,1 )
11
1
i
0.6039755
i t i
1 11
( 0 ,y )
i 1
y i 13.639649 ，(1 ,y )
y
0.5303303
i
从而解得法方程为
11A 0.60397556 b 13.639649 0.6039755 A 0.062321366 b 0.5303303
2
53.63 ，
i 1
y i 280 ， x i y i 1078
i 1
得
6b 14.7a 280 14.7b 53.63a 1078
解得 b=-7.8550478，a=22.25376 运动方程为 S=22.25376t-7.8550478 17.已知实验数据如下：
解得：a=0.9726046，b=0.0500351 所以经验公式为 y=0.9726046+0.0500351x2 均方误差为 :
|| ||2 || y || a(0 ,y ) b(1 ,y )
2 2
1 2
(0.01693 ) 0.130
25 30 35 40 45 50 55
16.观测物体的直线运动，得出以下数据： 时间 t（秒） 0 0.9 1.9 距离 s（米） 0 10 30
3.0 50
3.9 80
5.0 110
求运动方程. 解：设运动方程为 S = at + b,由给定数据得
1 i
1 6
6
6 ， x i 14.7 ，
i 1
6
6
xi i
1
6
i 1
5
1
1
5
2
5
4
xi i
5 1
7277699
( 0 , 1) ( 0 , y ) (1 , y )
得
xi i
5
2
5327
i 1
5
yi
2 1
271 .4
xi i
y i 369321 .5
5a 5327b 271 .4 5327a 727699 b 369321 .5
1 2
18.在某化学反应中，由实验得分解物浓度与时间关系如下： 时间 t/s 浓度 y/(x10 -4 ) 0 0 5 10 15 20
1.27 2.16 2.86 3.44 3.87 4.15 4.37 4.51 4.58 4.62 4.64
用最小二乘法求 y f(t )
b
解：将给定数据点画出草图，可见曲线近似指数函数，故设 y ae t ，两边取对 数得
Iny Ina
记 y Iny ,A Ina ，则有
b t
y A b
1
t
1 1 即 span{1, }, 0(x ) 1,1(1
12 11 ，(1 ,1 )
t i
1 11
11
t i
1
11
解得 b 7.4961692 , A 1.6515592 ,从而得 a 5.2151048 ,故
7.4961692
y 5.2151048 e
t