直线、平面垂直的判定及其性质(二)(讲义)含答案

直线、平面垂直的判定及其性质（二）（讲义）

➢知识点睛

一、直线与平面垂直（线面垂直）

性质定理：垂直于同一个平面的两条直线_____________．

a

b

α

∵_________，b⊥α，

∴___________．

其他性质：

如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面；

如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么这条直线也垂直于另一个平面．

二、平面与平面垂直（面面垂直）

性质定理：两个平面垂直，则一个平面内_____________的直线与另一个平面垂直．

α

a

l

β

∵α⊥β，α∩β=l，________，________，

∴a⊥β．

其他性质：

如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面；

如果一平面垂直于两平行平面中的一个平面，那么它必垂直于另一个平面．

➢精讲精练

1.已知直线l垂直于直线AB和AC，直线m垂直于直线BC和AC，则直线l，

m的位置关系是（）

A．平行B．异面C．相交D．垂直

2.对于直线m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一组条件是（）

A．m∥n，m∥α，n∥β

B．m⊥n，α∩β=m，n⊂α

C．m∥n，n⊥β，m⊂α

D．m∥n，m⊥α，n⊥β

3.若m，n，l是互不重合的直线，α，β，γ是互不重合的平面，给

出下列命题：

①若α⊥β，α∩β=m，m⊥n，则n⊥α或n⊥β；

②若α∥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m∥n；

③若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线；

④若α∩β=m，m∥n，且n⊄α，n⊄β，则n∥α且n∥β；

⑤若α∩β=m，β∩γ=n，α∩γ=l，且α⊥β，α⊥γ，β⊥γ，则m⊥n，m

⊥l，n⊥l．其中正确命题的序号是________________．

4.边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则AC 的长为（）

B

C

D

A

A B．

2

a C．

2

a D．a

5. 如图，以等腰直角三角形ABC 斜边BC 上的高AD 为折痕，把△ABD 和△ACD 折

成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

A

B

D

D

C

B

A

①BD ⊥AC ；

②△BAC 是等边三角形； ③三棱锥D -ABC 是正三棱锥； ④平面ADC ⊥平面ABC ． 其中正确的是（ ） A ．①②④

B ．①②③

C ．②③④

D ．①③④

6. 如图，在斜三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，∠BAC =90°，BC 1⊥AC ，则C 1在底面ABC 上

的射影H 必在（ ）

B 1

C 1

A 1

A

B

A ．直线A

B 上 B ．直线B

C 上 C ．直线AC 上

D ．△ABC 内部

7. 已知直二面角α-l -β，点A ∈α，AC ⊥l ，垂足为点C ，点B ∈β，BD ⊥l ，垂足为点

D ，若AB =2，AC =BD =1，则CD 的长为 （ ）

βB l α

A C D

A ．2

B ．3

C

D ．1

8.如图，α⊥β，α∩β=AB，CD⊂β，CD⊥AB，CE，EF⊂α，

∠FEC=90°，求证：平面EFD⊥平面DCE．

F

E D

C B

A

β

α

9.如图，已知四边形ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M，N分别是AB，PC的中

点．

（1）求证：MN⊥AB；

（2）若PA=AD，求证：MN⊥平面PCD．

N

D C

B

A

P

10. 如图，已知SD ⊥正方形ABCD ，DE ⊥SA 于点E ，EF ⊥SB 于点F ． （1）求证：DF ⊥SB ；

（2）平面DEFG 交SC 于点G ，求证：DG ⊥平面SBC ．

G

F

E

C

B

A

D S

【参考答案】

➢ 知识点睛

一、直线与平面垂直（线面垂直）

平行，a a b ⊥，

∥ 二、平面与平面垂直（面面垂直） 垂直于交线，a ⊂α，a ⊥l

➢ 精讲精练 1. A 2. C

3. ②④⑤

4. D

5. B

6. A

7. C

8. 证明略 9. 证明略 10. 证明略