高等数学二第七章

第一讲 §7. 1 空间直角坐标系一、空间直角坐标系空间的点−−→←--11有序数组),,(z y x二、空间两点间的距离),,(1111z y x M 、),,(2222z y x M 为空间两点由勾股定理知,2222121NMPNPM MM ++=距离公式：()()().21221221221z z y y x xMM -+-+-=§7. 2 向量及其运算一、1．向量的概念向量：既有大小又有方向的量. 向量表示：a或21M M向量的模：向量的大小||a单位向量：模为1的向量.零向量：模长为0的向量.自由向量：不考虑起点位置的向量. 相等向量：大小相等且方向相同. 负向量：大小相等但方向相反的向量. a-2、向量的运算[1] 加法：c b a=+（平行四边形法则）[2] 减法: )(b a b a-+=-运算规律：（1）交换律：.a b b a+=+（2）结合律：c b a c b a ++=++)( ).(c b a++=（3）.0)(=-+a a[3] 数乘: 向量a 与数λ的乘积aλ规定为,0)1(>λa λ与a 同向，||||a aλλ=,0)2(=λ0=a λ,0)3(<λa λ与a 反向，||||||a a⋅=λλ同方向的单位向量，表示与非零向量设a a按照向量与数的乘积的规定，0||a a a =⇒.||0a a a=上式表明：一个非零向量除以它的模的结果是一个与原向量同方向的单位向量..0a b a b aλλ=⇔≠，使的实数存在唯一平行于，设定理运算规律：（1）结合律：)()(a a λμμλ=a)(λμ=（2）分配律：a a aμλμλ+=+)(b ab aλλλ+=+)(abb-b-cx二、1. 向量在轴上的投影 两向量的夹角：)0(≠a 与)0( ≠b 的夹角: 平移为起点相同≤≤ϕ0()π.向量的值：.,.AB AB AB a a AB a AB ===λλλλ，即的值，记作上向量做叫，令令同向时与当上的向量，是同向的单位向量，是与设u e则.)(e AB AB=点A 的投影：过点A 作u的垂直平面，交点A '即为点A 在u上的投影.点在坐标轴上的投影为其坐标。

向量的投影：A 和B 的投影分别为B A '',, B A ''的值称为AB 在轴x 上的投影. 记为ABj x Pr .B A ''= （等于B '坐标减去A '点坐标）。

定理1：AB j x Pr ϕcos ||AB =定理2 .PrPr )(Pr 2121a j a j a a j+=+（可推广到有限多个）作业：P41， 7，13，第二讲2. 向量的坐标k j i,,表示z y x ,,轴正向的单位向量，,),,(),,,(22221111z y x M z y x M 设 则21MM a =在x ，y ，z 轴上的投影分别为12x x a x -= 12y y a y -= 12z z a z -=.由平行四边行法则知k z z j y y i x x M M)()()(12121221-+-+-= 向量的坐标：,,,z y x a a a向量的坐标表达式：},,{z y x a a a a =},,{12121221z z y y x x MM ---=向量模长：222||z y x a a a a ++=向径：以原点O 为起点的向量。

方向角：非零向量与三条坐标轴的正向的夹角. ,0πα≤≤,0πβ≤≤.0πγ≤≤αcos ||a a x=axy),(a b =),(b a=ϕβcos ||a a y=γcos ||a a z=方向余弦：（0222≠++zy x a a a ）,cos 222zy x xa a a a ++=α,cos 222zy x ya a a a ++=β.cos 222zy x za a a a ++=γ1cos cos cos 222=++γβα向量的加减法、向量与数的乘法运算的坐标表达式：},,,{z y x a a a a =},,,{z y x b b b b = },,{z z y y x x b a b a b a b a +++=+},,{z z y y x x b a b a b a b a ---=-},,{z y x a a a a λλλλ=例1 设),,(111z y x A 和),,(222z y x B 为两已知点，而在AB 直线上的点M 分有向线段AB 为两部分AM 、MB ，使它们的值的比等于某数)1(-≠λλ，即λ=MBAM，求分点的坐标. 解 设),,(z y x M },,{111z z y y x x AM ---= },,{222z z y y x x MB ---=由题意知：MB AM λ=},,{111z z y y x x ---},,,{222z z y y x x ---=λ 1x x -)(2x x -=λ,121λλ++=⇒x x x 1y y -)(2y y -=λ,121λλ++=⇒y y y1z z -)(2z z -=λ,121λλ++=⇒z z zM 为中点时，,221x x x +=,221y y y +=.221z z z +=例2 求平行于向量k j i a676-+=的单位向量.解 所求向量有两个，一个与 a同向，一个反向222)6(76||-++=a ,11= ∴ 0a ||a a= ,116117116k j i -+= 或0a ||a a-= .116117116k j i +--=例 3 设k j i m 853++=，k j i n742--=，k j i p 45-+=，求p n m a-+=34在x 轴上的投影及y 轴上的分向量. 解 p n m a-+=34)853(4k j i++=)742(3k j i --+)45(k j i-+-,15713k j i++=∴x 轴上的投影13=x a ,y 轴上的分向量j7.三、1. 两向量的数量积例 物体在常力F 作用下产生位移s，功为θcos ||||s F W = (θ为F 与s的夹角)数量积：θcos ||||b a b a=⋅(θ为a 与b 的夹角),Pr cos ||b j b a =θ ,Pr cos ||a j a b =θa jb b a b Pr ||=⋅∴.Pr ||b j a a=也称“点积”、“内积”. 数量积符合下列运算规律：（1）交换律：;a b b a⋅=⋅（2）分配律：;)(c b c a c b a⋅+⋅=⋅+（3）若λ为数：),()()(b a b a b a⋅=⋅=⋅λλλ若λ、μ为数：).()()(b a b a⋅=⋅λμμλ设,k a j a i a a z y x++=k b j b i b b z y x ++==⋅b a)(k a j a i a z y x ++)(k b j b i b z y x ++⋅,k j i ⊥⊥,0=⋅=⋅=⋅∴i k k j j i,1||||||===k j i .1=⋅=⋅=⋅∴k k j j i i坐标表达式：z z y y x x b a b a b a b a ++=⋅θcos ||||b a b a =⋅,||||cos b a ba ⋅=⇒θ222222cos zy x zy x zz y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=θ关于数量积的说明：.||)1(2a a a =⋅0)2(=⋅b a↔b a ⊥↔0=++z z y y x x b a b a b a例1 }4,1,1{-=a，}2,2,1{-=b ，求（1）b a ⋅；（2）a 与b 的夹角；（3）a 在b 上的投影.解 b a⋅)1( 2)4()2(111⋅-+-⋅+⋅= .9-=222222cos )2(z y x zy x zz y y x x b b b a a a b a b a b a ++++++=θ,21-= =∴θ.43πa jb b a b Pr ||)3(=⋅ .3||Pr -=⋅=∴b ba a j b例2 证明c 与a c b b c a)()(⋅-⋅垂直.证 c a c b b c a⋅⋅-⋅])()[(])()[(c a c b c b c a⋅⋅-⋅⋅= ])[(c a c a b c ⋅-⋅⋅=0=作业：P41.18，19，24，第三讲2、两向量的向量积例 设O 杠杆L 的支点，有一力F作用于杠杆上P 点处．力F 与OP 的夹角为θ，力F对支点O的力矩是一向量M.||||||F OQ M= θsin ||||F OP =M的方向垂直于OP 与F 所决定的平面, 指向符合右手系.向量积 a b ⨯：θsin ||||||b a b a=⨯ (其中θ为a 与b 的夹角):以a，b 为邻边的四边形面积。

a b ⨯的方向既垂直于a ，又垂直于b ，指向符合右手系. 也称“叉积”、“外积”. 关于向量积的说明：.0)1(=⨯a a )0sin 0(=⇒=θθb a//)2(⇐⇒.0 =⨯b a )0,0( ≠≠b a向量积符合下列运算规律：（1）.a b b a⨯-=⨯（2）分配律：.)(c b c a c b a⨯+⨯=⨯+（3）若λ 为数：).()()(b a b a b a⨯=⨯=⨯λλλ设,k a j a i a a z y x++=k b j b i b b z y x ++==⨯b a)(k a j a i a z y x ++)(k b j b i b z y x ++⨯,0=⨯=⨯=⨯k k j j i i,k j i =⨯,i k j =⨯,j i k=⨯,k i j -=⨯,i j k -=⨯.j k i-=⨯b a⨯k b a b a j b a b a i b a b a x y y x z x x z y z z y )()()(-+-+-=zy x z y x b b b a a a k j i b a=⨯例 4 求与k j i a423+-=，k j i b 2-+=都垂直的单位向量.解 b a⨯211423--=k j i,510k j +=,55510||22=+=c ||0c cc±=∴.5152⎪⎭⎫⎝⎛+±=k j 例 5 三角形顶点)2,1,1(-A 、)2,6,5(-B 和)1,3,1(-C ，求AC 边上的高BD .解}3,4,0{-=AC }0,5,4{-=AB 三角形ABC 面积S=21,225=||BD S ⋅=.5||=∴BD§7. 2 向量及其运算一、曲面方程的概念如果曲面S 上任一点的坐标都满足方程0),,(=z y x F ，并且不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程；方程0),,(=z y x F 就叫做曲面S 的方程，而曲面S 就叫做方程的图形． 二、空间直线的方程过点000(,,)x y z 平行{,,}s m n p =于直线的对L称式方程：)(0t pz z ny y mx x =-=-=-直线的参数方程 ⎪⎩⎪⎨⎧+=+=+=ptz z nt y y mtx x 000例 1 直线过点)4,3,2(-，且和y 轴垂直相交，求其方程.解 因为直线和y 轴垂直相交,所以交点为),0,3,0(-B 取BA s =},4,0,2{=所求直线方程.440322-=+=-z y x三、平面及其方程垂直于平面的非零向量叫做平面的法向量． （垂直于平面内的任一向量．）已知},,,{C B A n =),,,(0000z y x M 设平面上的任一点为),,(z y x M ，则 n M M ⊥0 ⇔ 00=⋅n M M0)()()(000=-+-+-z z C y y B x x A 点法式方程例2求过三点)4,1,2(-A 、)2,3,1(--B 和)3,2,0(C 的平面方程.解}6,4,3{--=AB ，}1,3,2{--=AC取AC AB n ⨯=},1,9,14{-=所求平面方程为,0)4()1(9)2(14=--++-z y x 化简得.015914=--+z y x 平面的一般方程：0)(000=++-++Cz By Ax Cz By Ax 0=+++D Cz By Ax 空间直线的一般方程：⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A几种特殊情况：,0)1(=D 平面通过坐标原点；,0)2(=A ⎩⎨⎧≠=,0,0D D 平面通过 x 轴；平面平行于 x 轴； 类似地可讨论0,0==C B 情形.,0)3(==B A 平面平行于xoy 坐标面；类似地可讨论 0,0====C B C A 情形. 例3设平面与z y x ,,三轴分别交于)0,0,(a P 、)0,,0(b Q 、),0,0(c R （其中0≠a ，0≠b ，0≠c ），求此平面方程.解 设平面为,0=+++D Cz By Ax将三点坐标代入得⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+,0,0,0D cC D bB D aA⇒ ,a D A -= ,b D B -= .c D C -= 将,a D A -= ,b D B -= ,cDC -=代入所设方程得1=++c zb y a x 截距式方程 a:x 轴上截距 b:y 轴上截距 c:z 轴上截距例4 求平行于平面0566=+++z y x ，与三个坐标面所围成的四面体体积为1的平面方程.解 设平面为,1=++c z b y a x,1=V ,12131=⋅∴abc 由所求平面与已知平面平行得 ,611161c b a == 化简得,61161c b a ==令t c b a ===61161,61t a =⇒ ,1t b = ,61tc =代入体积式t t t 61161611⋅⋅⋅=∴ ,61=⇒t ,1,6,1===∴c b a所求平面方程为.666=++z y x例5设平面过原点及点)2,3,6(-，且与平面824=+-z y x 垂直，求此平面方程. 解 设平面为,0=+++D Cz By Ax 由平面过原点知,0=D由平面过点)2,3,6(-知0236=+-C B A},2,1,4{-⊥n024=+-∴C B A ,32C B A -==⇒所求平面方程为 .0322=-+z y x作业：P42. 27，31，36，39，40第四讲四、1. 两平面的夹角：两平面法向量之间的夹角（通常取锐角）,0:11111=+++∏D z C y B x A ,0:22222=+++∏D z C y B x A },,,{1111C B A n = },,,{2222C B A n =按照两向量夹角余弦公式有222222212121212121||cos C B A C B A C C B B A A ++⋅++++=θ两平面位置特征：21)1(∏⊥∏ ;0212121=++⇐⇒C C B B A A 21//)2(∏∏ .212121C C B B A A ==⇐⇒例1 研究以下各组里两平面的位置关系： 013,012)1(=-+=+-+-z y z y x01224,012)2(=--+-=-+-z y x z y x 02224,012)3(=-++-=+--z y x z y x解)1( 2222231)1(2)1(|311201|cos +⋅-++-⨯-⨯+⨯-=θ 601cos =θ两平面相交，夹角.601arccos=θ)2( },1,1,2{1-=n }2,2,4{2--=n,212142-=-=-⇒两平面平行21)0,1,1()0,1,1(∏∉∏∈M M两平面平行但不重合．)3( ,212142-=-=-两平面平行21)0,1,1()0,1,1(∏∈∏∈M M∴两平面重合.2. 两直线的夹角：方向向量的夹角.（锐角）直线:1L,111111p z z n y y m x x -=-=- :2L,222222p z z n y y m x x -=-=-21)1(L L ⊥ ,0212121=++⇐⇒p p n n m m 21//)2(L L ,212121p p n n m m ==⇐⇒例 2 求过点)5,2,3(-且与两平面34=-z x 和152=--z y x 的交线平行的直线方程.解 设所求直线的方向向量为},,,{p n m s =,1n s ⊥ ,2n s ⊥取21n n s⨯= },1,3,4{---=所求直线的方程.153243-=-=+z y x例3 求过点)3,1,2(M 且与直线12131-=-=+z y x 垂直相交的直线方程.解 先作一过点M 且与已知直线垂直的平面∏：0)3()1(2)2(3=---+-z y x 再求已知直线与该平面的交点N ,令t z y x =-=-=+12131 .1213⎪⎩⎪⎨⎧-=+=-=⇒tz t y t x 代入平面方程得 73=t , 交点)73,713,72(-N取所求直线的方向向量为MN }373,1713,272{----= },724,76,712{--= 所求直线方程为.431122-=--=-z y x3. 直线与平面的夹角：直线和它在平面上的投影直线的夹角ϕ（≤≤ϕ0 .2π）,:0pz z ny y mx x L -=-=- },,,{p n m s =,0:=+++∏D Cz By Ax },,,{C B A n =22222221212121212121||),cos(p n m p n m p p n n m m L L ++⋅++++=^n n,}n p⎪⎭⎫⎝⎛-=ϕπϕ2cos sin .,cos ⎪⎭⎫ ⎝⎛=n s222222||sin pn m C B A Cp Bn Am ++⋅++++=ϕ直线与平面的夹角公式直线与平面的位置关系：∏⊥L )1( .pC n B m A ==⇐⇒∏//)2(L .0=++⇐⇒Cp Bn Am例 4 设平面,0:=+++∏D Cz By Ax ),,(1111z y x M ，求1M 到∏的距离。