第九章系统的状态变量分析汇总
系统的状态变量分析
Chap.9 系统的状态变量分析1.系统状态及状态方程的基本概念2. 信号流图signal flow graph信号流图的代数运算1. 只有一个输入支路的结点值等于输入信号乘以支路增益。
3. 并联支路的合并：并联支路的总增益等于所有各支路增益之和（并联相加）。
2. 串联支路的合并：串联支路的总增益等于所有各支路增益的乘积（串联相乘）。
x 3信号流图的代数运算（续）4.结点的吸收和变换：输出结点可以消掉，混合结点也可以通过增加一个具有单位传输的支路变为输出结点。
5. 环路吸收：带有环路系统的总增益等于断开环路后所有输入输出支路增益乘积除以因式（1-环路增益）。
信号流图简化步骤环路吸收，去掉结点1X 例2结点吸收环路吸收信号流图简化步骤（续）环路吸收，去掉结点闭环4X 结点吸收，去掉结点4X信号流图简化步骤（续）442233221432443322432133222244444321332243211)1)(1(1)1)(1(G H G H G H G H G H H H G H G H G H H H H H H G H G G H H G H G H H H G H G H G H H H H H ++++++=++−−−−++=得到系统函数并联相加环路吸收)()(14422332214324433224321G H G H G H G H G H H H G H G H G H H H H H H ++++++=对于例2, 用梅森公式求系统的转移函数。
求信号流图的特征行列式△△=1+(H 2G 2+ H 3G 3+ H 4G 4+H 2H 3H 4G 1)+(H 2G 2H 3G 3+ H 2G 2H 4G 4)系统具有4个环路，分别为：L1=（X 1→X 2→X 1）=-H 2G 2L2= （X 3→X 4→X 3）=-H 3G 3L3= （X 4→Y →X 4）=-H 4G 4L4= （X 1→X 2→X 3→X 4→Y →X 1）=-H 2H 3H 4G 1互不接触环路为：L1和L2, L1和L3前向通路只有一条：g1=H 1H 2H 3H 4，其特征行列式的余子式△1为△1=1 –0 + 0 -……22)()0t e b)(t e i βp 1i α−1)(t r i p α+321===λλλ&&&321⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡λλλ&&&。
系统的状态变量分析法
出
状
方
态
程
方
程
9-1 连续系统状态空间方程建立
一、引例 t<0，K在2；t=0，K从2打到1。求t>0时，电压uR和uL。
（
状
态
方
程
）
（ 输 出
uR t Ri(t)
方 程
uL t Ri(t) uc (t) us (t)
）
状态方程和输出方程通称为
状态空间方程
uc(t)和i(t)称为状态变量
说明：同一系统函数或微分方程，可以有不同的模拟图或信号流图，所以 可以得到不同的状态方程和输出方程，但特征根相同，同一系统，它的系 统矩阵A相似。
练习1：列写状态方程和输出方程，已知系统函数为
状态变量：选积分器输出。
练习2：已知系统函数，用级联型信号流图列写状态方程和 输出方程
状态变量：选积分器输出。来自3、系统函数矩阵与单位冲激响应矩阵 1）系统函数矩阵
2）单位冲激响应矩阵： 3）系统自然频率：
意义：第j个激励单独作用时 与所产生的第i个响应之间的 关系。
3、状态方程：描述系统状态变量和激励与状态变量一阶导数关系 的微分方程组。
4、输出方程：描述系统状态变量和激励与输出响应关系的代数方程组。 5、状态向量：由状态变量做分量所构成的向量。（n维） 6、状态空间：状态变量所有取值的集合。即状态向量所在的空间。 7、状态轨迹：在状态空间中状态向量端点随时间变化所形成的轨迹。
（2）便捷的运用到多输入多输出系统； （3）可以分析系统的“可观测性”和“可控制性”； （4）可以描述非线性系统和时变系统； （5）便于计算机求解（一阶微分方程、差分方程）。
4、分析方法：状态变量法
以系统内部的状
第9章系统的状态变量分析
(9.1-1)
式中 a ij，bij 是由系统参数组成的系数。对于线性非时变系统，
它们都是常数。
用矩阵形式表达为 x(t) Ax(t) Bf (t)
式中
def
x(t) x1(t)
def
x(t) x1(t)
def
f (t) f1(t)
x2 (t) xn (t)T x2 (t) xn (t)T f2 (t) fn (t)T
(9.1-2)
a11
A
a21
an1
a12 a1n
a22
a2n
(9.1-3)
an2
ann
b11
B
b21
bn1
b12 b1p
b22
b2 p (9.1-4)
bn2 bnp
分别为系数矩阵，对于线性非时变系统，它们都是常量矩阵， 其中A为n×n方阵，常称为系统矩阵，B为n×n矩阵，常称为
第9章 系统的状态变量分析
9.1 系统状态方程与输出方程 9.2 状态方程、输出方程的时域求解方法 9.3 状态方程、输出方程的变换求解方法
9 .1 系统状态方程与输出方程
9.1.1 状态变量与状态方程的基本概念 9.1.2 状态方程、输出方程的建立方法 9.1.3 系统的可控性和可观察性
《自动控制原理》第九章 线性系统的状态空间分析与综合
第九章 线性系统的状态空间分析与综合在第一章至第七章中，我们曾详细讲解了经典线性系统理论以及用其设计控制系统的方法。
可以看到，经典线性理论的数学基础是拉普拉斯变换和z 变换，系统的基本数学模型是线性定常高阶微分方程、线性常系数差分方程、传递函数和脉冲传递函数，主要的分析和综合方法是时域法、根轨迹法和频域法，分析的主要内容是系统运动的稳定性。
经典线性系统理论对于单输入-单输出线性定常系统的分析和综合是比较有效的，但其显著的缺点是只能揭示输入-输出间的外部特性，难以揭示系统内部的结构特性，也难以有效处理多输入-多输出系统。
在50年代蓬勃兴起的航天技术的推动下，在1960年前后开始了从经典控制理论到现代控制理论的过渡，其中一个重要标志就是卡尔曼系统地将状态空间概念引入到控制理论中来。
现代控制理论正是在引入状态和状态空间概念的基础上发展起来的。
在现代控制理论的发展中，线性系统理论首先得到研究和发展，已形成较为完整成熟的理论。
现代控制理论中的许多分支，如最优控制、最优估计与滤波、系统辨识、随机控制、自适应控制等，均以线性系统理论为基础；非线性系统理论、大系统理论等，也都不同程度地受到了线性系统理论的概念、方法和结果的影响和推动。
现代控制理论中的线性系统理论运用状态空间法描述输入-状态-输出诸变量间的因果关系，不但反映了系统的输入—输出外部特性，而且揭示了系统内部的结构特性，是一种既适用于单输入--单输出系统又适用于多输入—多输出系统，既可用于线性定常系统又可用于线性时变系统的有效分析和综合方法。
在线性系统理论中，根据所采用的数学工具及系统描述方法的不同，又出现了一些平行的分支，目前主要有线性系统的状态空间法、线性系统的几何理论、线性系统的代数理论、线性系统的多变量频域方法等。
由于状态空间法是线性系统理论中最重要和影响最广的分支，加之受篇幅限制，所以本章只介绍线性系统的状态空间法。
9-1 线性系统的状态空间描述1. 系统数学描述的两种基本类型这里所谓的系统是指由一些相互制约的部分构成的整体，它可能是一个由反馈闭合的整体，也可能是某一控制装置或受控对象。
[工学]系统的状态变量分析法
![[工学]系统的状态变量分析法](https://img.taocdn.com/s3/m/c9620f475acfa1c7aa00cc60.png)
前向通路的增益 : g1 H1H2H3
由于所有环路都与该条 前向通路接触
H1(s) g111
H1H2H3
1[H1H2G1 H2H3G3 H3G2 H1H2H3G1G2]
§9.4连续时间系统状态方程的建立
状态方程的建立方法
直接编写法
直观编写 网络拓扑分析编写 系统编写（借助计算机自动编写）
+
e(t-)
I1 L
uL I2
UR
ห้องสมุดไป่ตู้
I 2 (s) [uL (s) uR (s)]c2 s
uR (s) RI2 (s)
E(s)
I1(s)
uL (s)
I2 (s)
uR (s)
R(s)
c1s
Ls
c2s
R
1
c1s ls c2s
H (s) 1
k
Tk k
1 (Lc1s 2 Lc2 s 2 Rc2 s) Lc1c2 Rs 3
a
nn
x
n
b n1
b12 . b1n f1
b 22
.
b
2p
f
2
. . . .
bn2
.
b
2p
f
p
n p
y1 c11 c12 .
y .
2
c 21 .
c 22 .
. .
yq
cq1
1RL
C
1 L 0
iL (t) vC (t)
信号与系统分析第9章 线性系统的状态变量分析
设iL 0 0, vC 0 0,
et Eut , R 2 L
则
C
i
L
t
E L
te0t
vC t E 1 e 0t 0t 1
0
1 LC
iL t
I Lmax
O 1 0
t
vC t
E
O
t
iL t
I Lmax t0
t 0 t 1 0
E vC t
用状态变量分析系统的优点:
... bn 2
... ... ...
...
bnm
f
m
•
x Ax Bf
3．输出方程
y1 c11 c12 ... c1n x1 d11 d12 ... d1m f1
y2
c21
c22
...
c2n
x2
d21
d22
...
d2m
f2
... .... ... ... ... ... .... ... ... ... ...
(1)提供了系统的内部特性以供研究； (2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
数值计算； (3)便于分析多输入－多输出系统； (4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；
(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
9.2 连续时间系统状态方程的建立
1．状态变量的选取
对于一个电路,选择状态变量最常用的方 法时取全部独立的电感电流和独立的电 容电压. 状态变量的个数,等于系统的阶数.
3．状态方程的矢量表示
•
x1
a11
a12
...
a1n x1 b11
b12
... b1m f1
信号与系统知识点概括总结
理想低通滤波器：
c Sa[ c (t t0 )] 冲激响应： h(t )
H ( j) e jt0 [u( c ) u( c )]
取样信号的傅里叶变换
f s( t )
f s (t ) f (t )T (t )
T (t )
n
(t nT )
1 F f1 (t ) f 2 (t ) F1 (j ) F2 (j ) 2
周期信号的傅里叶变换：
2 Fn ( n 1 ) F ( j ) F f ( t ) n
1 其中 Fn T1
T1 / 2 T1 / 2
f (t )e
F ( j) E Sa( ) 2
E
Fn
1 21
2 4
4
F ( j )
2
2
4
对偶性： 若 F [ f (t )] F ( j), 则 F [ F ( jt )] 2
f ()
F ( j )
E
f (t )
E
/ 2
F sin 0t j ( 0 ) ( 0 )
卷积定理：
若F
f1 (t ) F1 (j )，F f2 (t ) F2 (j ) ，则
F
f1 (t ) f2 (t ) F1 (j )F2 (j )
零状态响应
（Azik Azsk )e k t y p (t )
k 1 强迫响应 自由响应
h(t ), g (t ) :
卷积：
dg (t ) h(t ) dt
g (t ) h( )d
信号与系统-第九章-线性系统的状态变量分析
d1m e1 d 2 m e2 d rm em
(9---11b)
y=Cx+De
若只需 R2上的电压作为输出，则 y5(t)=R2x2 其矩阵形式为
(9---14)
y5 0
式中 C=[ 0 R2 0 ]，
x'
输出方程
A
0 x1 0 x 2 x3
x D=[0]
x
B
e
y 1
y
C
9.3---2 由转移函数和模拟框图建立状态方程
1. 由级联模拟图建立状态方程
设
d3y d2y dy de 8 2 19 12 y 4 10e 3 dt dt dt dt
Ll L2 + C1+ _ C2 _ +u L1 _ C3 L2 L3
C2 +
iL
uC
_
C1 C2
uC1 u C3
iL 1
iL 3
iL 2
(a)一独立电流
(b)一独立电压
(c) 二独立电压
(d) 二独立电流
网络的复杂度 n=b l c-n c-n l 节点 式中 b l c 为网络中储能元件 L、C 的总数； n c 为仅由电容或电容和电压源组成的独立回路的总数； n l 为仅由电感或电感和电流源组成的独立割集的总数。
R
+ + _ uc(t) _
n 最小
il(t)
+
例：uc(t)和i l(t)为已知，则uR(t)=Ri l(t); ul(t)=uc(t) - Ril(t); 可确定uR(t)和u l(t)的值。 又如 ul(t) 和 i1(t) 为已知，则
系统的状态变量分析
第7-9页
H 1
k
gk k
1
H1H
2
H
3
H
4
9
桂林电子科技大学信息工程教研室
信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
三、系统的信号流图模拟
1.直接型（正则型）
以连续系统为例，设
H
s
bmsm bm1sm1 ... b0 sn an1sn1 ... a0
（m≤n）
将之变为： H s bmsnm bm1snm1 ... b0sn
（2）节点：表示信号或变量的圆点，具有加法器的功能
共有三类节点：
源点：只有输出支路的节点，通常对应系统的
输入信号；
阱点：只有输入支路的节点，通常对应系统的
输出信号；
混合节点：既有输入支路又有输出支路的节点。
4
第7-4页
桂林电子科技大学信息工程教研室
信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
（3）通路与开通路：沿箭头方向所经过的支路组成的路 径称为通路；与通路上任意节点相交不多于一次的通路 称为开通路；
信号与系统分析
第七章
7.1 系统的信号流图
一、信号流图 二、梅森公式 三、系统信号流图模拟
7.2 系统的状态方程和输出方程
一、状态和状态变量 二、连续系统的状态方程和输出方程 三、离散系统的状态方程和输出方程
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1
第7-1页
桂林电子科技大学信息工程教研室
信号与系统分析
7.1 系统的信号流图
7.1 系统的信号流图
一、信号流图---模拟框图的简化表示
1、信号流图：对系统s域或z域模拟框图的简化，具体 说来，就是用有向线段表示信号的传输路径，有向线段 起点和终点表示信号，起点信号与终点信号之间的转移 关系（传输函数）标于线段的上方，加法器用节点表示。 比如，下图（a）所示的模拟框图经简化后得到的流图 如图（b）所示。
第九章 系的状态变量分析
第九章系统的状态变量分析1、内容简介在系统的状态变量分析中，介绍了状态和状态变量的基本概念，由电路原理图建立状态方程的方法，由微分方程建立状态方程的方法，由系统模拟框图建立状态方程的方法，状态方程的时域和变换域求解，状态矢量的线性变换，系统的可控制性和可观测性的基本概念，离散系统的状态方程的建立和求解。
最后介绍了用MATLAB求解系统的状态方程。
2、学习目标1、理解系统的状态与状态空间的概念。
2、掌握连续系统由电路、微分方程、系统模拟框图和系统函数建立状态方程。
3、掌握离散系统由差分方程、系统模拟框图和系统函数建立状态方程。
4、了解状态方程求解的基本方法，能够用MATLAB求解系统的状态方程。
3、重点难点1.系统状态和状态空间的概念。
2.如何建立系统的状态方程。
4、应用利用MATLAB求解系统状态方程。
5、教案内容（1） 系统的状态变量的概念状态变量系统在时刻0t 的状态是指一组数10()x t ，20()x t ，…， 0()n x t ，不仅要求这组数的个数是最少的，而且还可由10()x t ，20()x t ，…， 0()n x t 和0t t >时系统的输入得出0t t >时所有的状态或输出。
这组变量10()x t ，20()x t ，…， 0()n x t 称为系统的状态变量。
状态空间分析法状态空间分析法不仅适用与单输入单输出系统，而且适用于多输入多输出系统的分析，它可以描述系统的外部特性，也可以描述系统的内部特性，而且能够推广到时变系统和非线性系统。
（2）系统状态方程的一般形式m 个输入p 个输出的N 阶连续时间系统的状态方程为N 个一阶微分方程组，可以用矩阵形式表示为即离散时间系统的状态方程具有与连续系统状态方程相似的形式，对于一个有m 个输入p 个输出的N 阶离散时间系统可以用N 个一阶差分方程描述，其状态方程和输出方程的一般形式为其中A ，B ，C ，D 为状态方程和输出方程的系数矩阵。
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开通路：通路与任一结点相交不多于一次。
闭通路：如果通路的终点就是起点，并且与任何 其他结点相交不多于一次。闭通路又称环路。
X1
H14(s)
X2
H24(s)
X3
H34(s)
H45(s)
X5
H46(s)
X6
二．系统的信号流图表示法
实际上是用一些点和支路来描述系统：
方框图
流图 看出简单的方框图，变成流图形式是用一有始有终的 线段表示。起始点标为X(s),终点标为Y(s). 线段表示信号传输的路径，称为支路。 信号的传输方向用箭头表示，转移函数标在箭头附近， 相当于乘法器。
由美国麻省理工学院的梅森（Mason）于20世纪50年 代首先提出。 应用于：反馈系统分析、线性方程组求解、线性系统 模拟及数字滤波器设计等方面。
信号流图方法的主要优点
（1）系统模型的表示简明清楚； （2）系统函数的计算过程明显简化。 （3）对于由多个反馈环路组成的复杂系统进
行分析时，信号流图方法的优点更为突出。 （4） 借助信号流图研究系统状态空间分析
时的输
入，那么就能完全确定系统在任何时间
的行为。
状态变量：能够表示系统状态的那些变量成为状态
变量。例如上例中的
。
状态矢量：能够完全描述一个系统行为的k个状态变
量，可以看作矢量 的各个分量的坐标。 称为 状态矢量。
状态空间：状态矢量 所在的空间。
状态轨迹：在状态空间中状态矢量端点随时间变化 而描出的路径称为状态轨迹。
五、状态变量分析法的优点
状态变量分析法分析系统的优点在于： （1）便于研究系统内部的一些物理量在信号转换
过程中的变化。它们用状态矢量分量表示。
（2）系统的状态变量分析法与系统的复杂程度没 有关系，复杂系统和简单系统的数学模型形式相似， 都表示为一些状态变量的线性组合，这种以矢量和 矩阵表示的数学模型特别适用于描述多输入-多输出 系统。
只要知道
的初始状态及输入
定电路的全部行为。
输出方程
即可完全确
此方法称为状态变量或状态空间分析法； 为状态变量。
iL t
I Lmax
则
O 1 0
t
vC t
E
O
iL t
I Lmax
t0 1 t 0
t
t0
E vC t
四．名词定义
状态：表示动态系统的一组最少变量（被称为状态
变量），只要知道 时这组变量和
可显示出许多优点。
例子1
如图所示：结点X4有三个输入，二个输出。 按流图构成原则有：
X1
H14
X4
X 2 H24 -H 34
X3
H45 X 5
H 46
X6
X4 H14 X1 + H 24 X 2 - H34 X 3 X5 H 45 X 4 X6 H 46 X 4 这样方程称为结点方程
其方框图为:
（3）状态变量分析法也适用于非线性或时变系统。
状态变量分析法的优点
（4）状态方程的主要参数表征系统的关键性能。 利用状态方程分析系统的稳定性比较方便。
（5）因状态方程的都是一阶微分方程或一阶差分 方程，因而便于采用数值解，便于利用计算机分 析系统。
（6）状态变量分析法的方法有：时域法和变换 域法。
三．状态变量分析法优点
(1)提供了系统的内部特性以供研究； (2)一阶微分（或差分）方程组便于计算机进行
数值计算；
(3)便于分析多输入－多输出系统； (4)容易推广应用于时变系统或非线性系统；
(5)引出了可观测性和可控制性两个重要概念。
例9-1-1
微分方程（输入－输出描述法）：
其中
写为
写为矩阵形式：
三．术语定义
结点：表示系统中变量或信号的点。
转移函数：两个结点之间的增益称为转移函数。
支路：连接两个结点之间的定向线段，支路的增 益即为转移函数。 输入结点或源点：只有输出支路的结点，它对应 的是自变量（即输入信号）。
输出信号或阱点：只有输入支路的结点，它对应 的是因变量（即输出信号）。
混合结点：既有输入ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ路又有输出支路的结点。
§9.3 信号流图
•概述 •系统的信号流图表示法 •术语定义 •信号流图的性质 •信号流图的代数运算
一．概述
利用方框图可以描述系统（连续的或离散的）， 比用微分方程或差分方程更为直观。
线性系统的仿真（模拟） 连续系统——相加、倍乘、积分 离散系统——相加、倍乘、延时
系统框图
信号流图 Signal flow graphs
第二节 反馈系统的初步概念
反馈系统概述
•反馈系统是利用分解和互联概念而获得成功的典型范例
反馈系统模型
Xs + E s ∑
A s
Y s
-
分析
F s
反馈控制：反馈按反馈极性的不同分成两种形式：正反馈， 负反馈。我们所讲述的反馈系统如果无特殊说明，一般都指 负反馈。
开环控制：开环控制是指控制器与被控对象之间只有顺向作用 而没有反向联系的控制过程。
第九章 系统的 状态变量分析
本章的主要内容
1、状态变量分析 2、反馈系统的初步概念 3、连续时间系统信号流图
§9.1 引言
一．输入－输出法（端口法）
•研究单输入－单输出系统； •着眼于系统的外部特性； •基本模型为系统函数，着重运用频率响应特性的 概念。
二．状态变量分析法
•产生于20世纪50至60年代； •卡尔曼(R.E.Kalman)引入； •利用状态变量描述系统的内部特性； •运用于多输入－多输出系统； •用n个状态变量的一阶微分（或差分）方程组来 描述系统 。
闭环控制：是指控制器与控制对象之间既有顺向作用又有反向 联系的控制过程。
输出影响输入，所以能削弱或抑制干扰；
主要特点： 低精度元件可组成高精度系统；
因为可能发生超调，振荡，所以稳定性很重要。
控制方式： 反馈控制，反馈按反馈极性的不同分成两种形式：正反馈，
负反馈。我们所讲述的反馈系统如果无特殊说明，一般都 指负反馈。
闭环控制 典型方框图
输入量
控制器
扰动
被控制 对象
输出 量
飞机示意图
给定电位器
反馈电位器
给 θ0 定
装 置
飞机方块图 扰动
放 大
舵 机
器
飞 θc 机
反馈电 位器
垂直 陀螺仪
俯仰角控制系统方块图
φ0 + ∑
A1A2
电机
φt
-
闭环系统的组成 :
由上述举例表明，尽管控制系统不同，复杂各异， 但基本组成是类同的，即闭环系统的基本组成为： (1)比较元件；(2)放大元件；(3)执行元件；(4)校正 元件；(5)被控对象；(6)测量元件。