生活中的优化问题带答案

生活中的优化问题举例

1．要制做一个圆锥形的漏斗，其母线长为20cm ，要使其体积最大，则高为( )

cm B ．1033cm cm D ．2033cm

[答案] D

2．用总长为6m 的钢条制作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的相邻两边长之比为3：4，那么容器容积最大时，高为( )

A ．0.5m

B ．1m

C ．0.8m

D ．1.5m

[答案] A

[解析] 设容器底面相邻两边长分别为3x m 、4x m ，则高为6－12x －16x 4＝⎝ ⎛⎭

⎪⎫32－7x (m)，容积V ＝3x ·4x ·⎝ ⎛⎭⎪⎫32－7x ＝18x 2－84x 3⎝ ⎛⎭

⎪⎫00，x ∈⎝ ⎛⎭

⎪⎫17，314时，V ′<0，所以在x ＝17处，V 有最大值，此时高为0.5m.

3．内接于半径为R 的球且体积最大的圆锥的高为( )

A ．R

B ．2R R

D ．34R

[答案] C

[解析] 设圆锥高为h ，底面半径为r ，则R 2＝(h －R )2＋r 2，∴r 2＝2Rh －h 2，

∴V ＝13πr 2h ＝π3h (2Rh －h 2)＝23πRh 2－π3h 3，V ′＝43πRh －πh 2.令V ′＝0得h ＝43R . 当00；当4R 3

4．福建炼油厂某分厂将原油精炼为汽油，需对原油进行冷却和加热，如果第x

小时时，原油温度(单位：℃)为f (x )＝13x 3－x 2＋8(0≤x ≤5)，那么，原油温度的瞬时

变化率的最小值是( )

A ．8

B ．203

C ．－1

D ．－8

[答案] C

[解析] 瞬时变化率即为f ′(x )＝x 2－2x 为二次函数，且f ′(x )＝(x －1)2－1，又x ∈

[0,5]，故x ＝1时，f ′(x )min ＝－1.

5．某厂生产某种产品x 件的总成本：C (x )＝1 200＋275x 3，又产品单价的平方与产

品件数x 成反比，生产100件这样的产品的单价为50元，总利润最大时，产量应定为__________件．

[答案] 25

[解析] 设产品单价为a 元，又产品单价的平方与产品件数x 成反比，即a 2x ＝k ， 由题知a ＝500x .总利润y ＝500x －275x 3－1200(x >0)，y ′＝250x －225

x 2，由y ′＝0，得x ＝25，x ∈(0,25)时，y ′>0，x ∈(25，＋∞)时，y ′<0，所以x ＝

25时，y 取最大值．

6.如图所示，一窗户的上部是半圆，下部是矩形，如果窗户面积

一定，窗户周长最小时，x 与h 的比为________________．

[答案] 1：1

[解析] 设窗户面积为S ，周长为L ，则S ＝π2x 2＋2hx ，h ＝S 2x －π4x ，∴窗户周长L

＝πx ＋2x ＋2h ＝π2x ＋2x ＋S x ，∴L ′＝π2＋2－S x 2.由L ′＝0，得x ＝

2S π＋4，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，2S π＋4时，L ′<0，x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫2S π＋4，＋∞时，L ′>0，∴当x ＝2S π＋4

时，L 取最小值，此时h x ＝2S －πx 24x 2＝2S 4x 2－π4＝π＋44－π4＝1.

7．永泰某景区为提高经济效益，现对某一景点进行改造升级，从而扩大内需，提高旅游增加值，经过市场调查，旅游增加值y 万元与投入x (x ≥10)万元之间满足：y ＝f (x )＝ax 2＋10150x －b ln x

10，a ，b 为常数．当x ＝10万元时，y ＝万元；当x

＝30万元时，y ＝万元．(参考数据：ln2＝，ln3＝，ln5＝．

(1)求f (x )的解析式；

(2)求该景点改造升级后旅游利润T (x )的最大值．(利润＝旅游增加值－投入)．

[解析] (1)由条件可得

⎩⎪⎨⎪⎧ a ×102＋10150×10－b ln1＝，

a ×302＋10150×30－

b ln3＝，解得a ＝－1100，b ＝1，

则f (x )＝－x 2100＋10150x －ln x 10(x ≥10)．

(2)T (x )＝f (x )－x ＝－x 2100＋5150x －ln x 10(x ≥10)，则T ′(x )＝－x 50＋5150－1x ＝－x －1x －5050x ，

令T ′(x )＝0，则x ＝1(舍)或x ＝50，当x ∈(10,50)时，T ′(x )>0，因此T (x )在(10,50)上是增函数；当x ∈(50，＋∞)时，T ′(x )<0，因此T (x )在(50，＋∞)上是减函数，

∴当x ＝50时，T (x )取最大值．T (50)＝－502100＋5150×50－ln 5010＝(万元)．

8．若一球的半径为r ，作内接于球的圆柱，则圆柱侧面积的最大值为( )

A ．2πr 2

B ．πr 2

C ．4πr 2

D ．12πr 2

[答案] A

[解析] 设内接圆柱的底面半径为r 1，高为t ，

则S ＝2πr 1t ＝2πr 12r 2－r 21＝4πr 1r 2－r 21.∴S ＝4πr 2r 21－r 41.令(r 2r 21－r 41)′＝0得r 1＝2

2r .

此时S ＝4π·22r ·r 2－⎝ ⎛⎭

⎪⎫22r 2＝4π·22r ·22r ＝2πr 2. 9．某厂生产某种电子元件，如果生产出一件正品，可获利200元，如果生产出一件次品，则损失100元．已知该厂制造电子元件过程中，次品率p 与日产量x 的函数关系是：p ＝3x 4x ＋32

(x ∈N ＋)． (1)写出该厂的日盈利额T (元)用日产量x (件)表示的函数关系式；

(2)为获最大日盈利，该厂的日产量应定为多少件

[解析] (1)由意可知次品率p ＝日产次品数/日产量，每天生产x 件，次品数为xp ，正品数为x (1－p )．因为次品率p ＝3x 4x ＋32，当每天生产x 件时，有x ·3x 4x ＋32

件次品，有x ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－3x 4x ＋32件正品．所以T ＝200x ⎝ ⎛⎭

⎪⎫1－3x 4x ＋32－100x ·3x 4x ＋32＝25·64x －x 2x ＋8