《高等代数》：学习笔记

《高等代数(上)》：学习笔记

这是我自学的笔记做成的电子档，其中有许多注释，尽量深入浅出，以供大家学习。有些笔误也修正

差不多了。课本和王德明老师的符号略有不同，但意思是一样的，祝大家都能通过考试。

第一章 行列式

§1.1 定义

这是行列式（或写为|D|）

这是矩阵，注意区别

这是三元线性方程组

§1.2 逆序数

§1.3 n 阶行列式的代数和

§1.4 行列式性质

1、行列式转置值不变：

2、k 可以乘上某行(列)：

3、加法：某行之和 展开为两行列式之和：

3阶行列式 右下斜线为正 左下斜线为负

代数和

n 阶排列，有n!个

逆序数

偶排列，正号 奇排列，负号

阶排列

4、互换两行(列)：负号

5、两行相同(成比例)：零值

6、某行乘以k加到另一行：值不变

§1.5 代数余子式

§1.6 范德蒙行列式

第二章 线性方程组

§2.1 克莱姆法则

类似左边

当时，方程组有唯一解：

§2.2 消元法

初等变换：反复对方程进行row 变换，最后剩下一个上三角矩阵。 如果线性方程组，则初等变换后的上三角矩阵，元首都不为0。

§2.3 数域

§2.4 n 维向量

代数余子式

余子式：删去i, j 所在的行与列后得到的n-1阶行列式

所在行列的和(同等于逆序数τ)

表示所有可能的差 i>j

如：(4-3)(4-2)(4-1)(3-2)(3-1)(2-1)

只有当常数项b 不全为零时，且s=n 时才可用克莱姆法则

系数行列式 (b 在1列)

该解法适用于n 阶

n 维基本向量组

n 阶行列式

数量乘积：零向量：负向量：行向量与列向量：

§2.5 线性相关

α线性相关α线性无关

K有解，且不全0 K只有零解

时不一定

不能线性表出

不可逆，因为分母不能为0 可逆

r

特征值有重根，不一定相关特征值无重根一定无关

极大线性无关组：每个向量都不能被前面某些向量线性表出

例

§2.6 秩

rank=极大线性无关组的向量个数

§2.7 求全部解和基础解系的步骤

第一步：求梯阵

由向量组线性表出

线性组合

rank=n，有唯一解

rank

不能表出，即

详见书P154-155页例6

有待更进一步补充常数项为0的充要条件

第二步：求一般解

第三步：求特解γ0

第四步：求齐次的一般解第五步：求基础解系

第六步：答：得全部解

n-r个

注：如果是求矩阵化和求特征值，

只需求基础解系，又称特征向量

即n维基本向量组全部解特解基础解系

即

第三章 矩阵

附1：矩阵名词汇总：

方阵： 系数矩阵：

增广矩阵： 梯阵：

约化梯阵：

三角矩阵：

对角矩阵：

单位矩阵： 零矩阵：

数量矩阵： 转置矩阵： 分块矩阵：

满秩矩阵：

逆矩阵：

伴随矩阵：

等价矩阵：

初等矩阵：

正交矩阵：

相似矩阵：

约当形矩阵： 二次形矩阵：

实对称矩阵：

(半)正定矩阵： (半)负定矩阵： 不定矩阵：

标准形矩阵：

附2：一般n 维线性方程组、s×n 维矩阵、n 维向量组的表示法

Rank 即矩阵的秩

b 即系数

左下：对角线左三角形

对角线上的元素 λ即特征值

注：全为0时，称齐次线性方程组

不全为0时，称非齐次线性方程组

注：s为行数，n为列数(未知数个数)

附：有的书行数用m表示

注：这个既可理解为：基础解系的系数

也可以理解为：矩阵对角化后对角线的元素

还可以理解为：二次型的特征值(同上句) 附：本书中用拉丁字母表示向量(或称矢量，但王老师

1、加(减)法：

性质： 交换律：

结合律：

2、乘法：

性质： （当，称可交换）

结合律：

k 次幂：

非交换律：

§3.2 分块 分块后矩阵的基本运算依然等价

§3.3 逆矩阵

伴随矩阵：

求逆公式：

各个元素对应相加（减），即

注：A 的|row|=B 的|column|

例：

2 0 1

× × ×

+ + ＝ 5

1、求a ij 的代数余子式A ij

2、对应的元素要转置

详见书P183页 AB

等价矩阵：

初等矩阵：

标准形：同时做行、列变换，对角线为1的个数＝r

用单位矩阵求逆：附：这是一个求逆的简便方法，但易出错，3阶矩阵建议用求逆公式。

§3.5 正交矩阵性质:

内积性质：

正交化：

施密特正交化方法

单位化：

第四章矩阵的对角化

§4.1 相似矩阵

1、反身性：

2、对称性：

3、传递性：

向量组的内积

内积公式

又称正交向量组，

一定线性无关

详见书P219页例1

注：

正交向量组

正交单位向量组

这里我设，数学中并没有明确规定符号

附：由于向量通常是指列向量，

如把改更易理解，谨记！

任意两行或列的内积必为0（又称归一化）

，且有矩形分配律：

结合律：