2-3-4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)
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北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件(1)
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§4 用向量讨论垂直与平行
一
二
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
二、空间中的平行关系
1.线线平行判定定理 如果平面内的两条直线没有公共点,则这两条直线平行. 2.线面平行判定定理 若平面外的一条直线与平面内的一条直线平行,那么这条直线和这个 平面平行. 3.面面平行判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平面平 行.
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§4 用向量讨论垂直与平行
首页
J 基础知识 ICHU ZHISHI
Z 重点难点 HONGDIAN NANDIAN
S 随堂练习 UITANG LIANXI
探究一
探究二
探究三
求平面的法向量
要求出一个平面的法向量的坐标,一般要建立空间直角坐标系,然后用 待定系数法求解,一般步骤如下:
(1)设出平面的法向量为 n=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标
∴������������1 =(0,2,1),������������=(2,0,0),������������ =(0,2,1).
设 n1=(x1,y1,z1),n2=(x2,y2,z2)分别是平面 ADE 和平面 B1C1F 的法向量, 则 n1⊥������������,n1⊥������������,
思路分析:可采用待定系数法,设出法向量,根据它和 α 内不共线两个向 量的垂直关系建立方程组进行求解.
解:∵A(1,2,3),B(2,0,-1),C(3,-2,0),
∴������������ =(1,-2,-4),������������ =(2,-4,-3).
高中数学北师大版选修2-1课件：第二章+§4+用向量讨论垂直与平行(二)
知识点三
向量法判断面面垂直
思考
平面 α ， β 的法向量分别为 μ1 ＝ (x1 ， y1 ， z1) ， μ2 ＝ (x2 ， y2 ， z2) ， 用向量坐标法表示两平面α，β垂直的关系式是什么？
答案
x1x2＋y1y2＋z1z2＝0.
梳理
若平面α的法向量为μ＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量为ν＝(a2，b2，c2)， 则α⊥β⇔μ⊥ν⇔μ· ν＝0⇔ a1a2＋b1b2＋c. 1c2＝0
跟踪训练 1
证明
如图，在直三棱柱 ABC —A1B1C1 中， AC ＝ 3 ，
BC＝4，AB＝5，AA1＝4，求证：AC⊥BC1.
∵ 直三棱柱 ABC － A1B1C1 底面三边长 AC ＝ 3 ， BC ＝ 4 ， AB ＝ 5 ， ∴AC 、
BC、C1C两两垂直.如图，以C为坐标原点，CA、CB、CC1所在直线
B.l⊥α
√
D.l与α斜交
1
2
3
4
5
4.平面 α 的一个法向量为 m ＝ (1 ， 2 ， 0) ，平面 β 的一个法向量为 n ＝ (2 ，
－1，0)，则平面α与平面β的位置关系是 答案
A.平行 B.相交但不垂直
解析
C.垂直 √
D.不能确定
∵(1，2，0)· (2，－1，0)＝0，
∴两法向量垂直，从而两平面垂直.
答案 解析
D.a＝(1，0，0)，b＝(－1，0，0)
因为a＝(0，1，0)，b＝(1，0，1)， 所以a· b＝0×1＋1×0＋0×1＝0，所以a⊥b，故选B.
1 2 3 4 5
3.若直线l的方向向量为a＝(1，0，2)，平面α的法向量为μ＝(－2，0，
高三数学2.4用向量讨论垂直与平行 课件 (北师大选修2-1)
(2)求证：平面PAB⊥平面PAD.
[思路点拨]
以C为坐标原点，CB为x 轴，CD为y轴，CP为z轴建立如图所示 的空间直角坐标系C－xyz. ∵PC⊥平面ABCD， ∴∠PBC为PB与平面ABCD所成的角， ∴∠PBC＝30°.
∵PC＝2，∴BC＝2
，PB＝4.
∴D(0,1,0)，B(2 P(0,0,2)，M( ∴
则
∴
取n＝(1，－1，－1)，设直线BC1与平面A1BD所成角为θ，
则sinθ＝|cos〈n， 〉 |＝ ＝ ＝ .
∴cosθ＝
.
答案：
1.证线线平行与垂直. 若直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2，则：
(1)l1∥l2⇔v1∥v2.(2)l1⊥l2⇔v1⊥v2⇔v1· v2＝0.
2.证线面平行与垂直 若直线l的方向向量为v，平面α的法向量为n，则： (1)l∥α⇔v⊥n.(2)l⊥α⇔v∥n.
，0,0)，A(2 ，0， )， ＝(2
，4,0)， ，3,0)，
＝(0，－1,2)，
＝(
，0，
)，
(1)令n＝(x，y，z)为平面PAD的一个法向量，则
令y＝2，得n＝(－ ∵n· ∴n⊥ ＝－ ×
，2,1). ＋2×0＋1× ＝0，
，又CM Ú 平面PAD，
∴CM∥平面PAD.
(2)取AP的中点E， 则E( 又∵ ＝(－ ，2,1)， ＝(－ ，2,1). ∵PB＝AB，∴BE⊥PA. · ，2,1)· (2 ，3,0)＝0，
1．利用向量知识判定线、面平行的方法
2．利用向量知识判定线、面垂直的方法
1.若平面α与平面β的法向量分别是a＝(4,0，－2)，b＝(－ 4,0,2)，则平面α与β的位置关系是 ( A.平行 C.相交但不垂直 B.垂直 D.无法判断 )
数学第二章4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)
ED→′ ＝ (0， 0， 1)－(1， 0，1)＝ (－ 1， 0，1)．
2
2
∵B→F ＝ED→′ ，
∴B→F ∥ED→′ .
又直线 BF 与 ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
法二：B→F＝B→C＋C→F＝B→C＋1C→ C′ 2
＝A→D＋1DD→′， 2
ED→′ ＝EA→′ ＋A→′D′＝1AA→′ ＋A→D 2
线面平行 l∥α⇔a⊥u⇔a·u＝0⇔a1m1＋b1n1 ＋c1p1＝0； 面面平行 u∥α∥v β⇔_________⇔u＝kv⇔(m1， n1 ， p1) ＝ k(m2 ， n2 ， p2) ⇔ m1 ＝ km2 ， n1 ＝ kn2,p1＝kp2.
(2)线线垂直 l⊥m⇔a·ba＝⊥0b⇔_________⇔a1a2
y1＝－ x1.
令
x1＝ 1，则
n1＝
(1，－
1，1)． 2
设平面 BDEF 的法向量为 n2＝(x2，y2，z2)，
则nn22··ED→→FE＝＝
0，即2x2＋ 0， 2y2＋
24yz22＝＝00，，即xz22＝＝－－12yy2，2，
＝A→D＋1DD→′， 2
∴B→F ＝ED→′ ，B→F ∥ED→′ .
又直线 BF 与 ED′没有公共点，∴BF∥ED′.
【名师点评】 当两条直线的方向向量平行 时，依据图形说明一个向量所在直线上的点 不在另一个向量所在直线上，从而得到空间 两条直线平行．
变式训练 1.已知三棱锥O－ABC中，OA＝1，OB＝1，OC ＝2，OA、OB、OC两两互相垂直，如何找出 一点D，使得BD∥AC，DC∥AB?
2.已知a，b，c分别为直线a，b，c的方向向量,
且a＝λb(λ≠0)，b·c＝0，则a与c的位置关系是
高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(二)课件北师大版选修2_1(1)
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1.已知平面α的法向量为a＝(1，2，－2)，平面β的法向量为b＝(－2，－4，
k)，若α⊥β，则k等于D( )
A.5
B.4
C.－4
D.－5
解析 ∵α⊥β，∴a⊥b，
∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5.
解析答案
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2.设直线l1，l2的方向向量分别为a＝(－2,2,1)，b＝(3,－2,m)，若l1⊥l2， 则m等于( D )
解析答案
题型二 证明线面垂直问题 例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交 点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.
④ 紧跟老师的推导过程抓住老师的思路。老师在课堂上讲解某一结论时，一般有一个推导过程，如数学问题的来龙去脉、物理概念的抽象归纳、语 文课的分析等。感悟和理解推导过程是一个投入思维、感悟方法的过程，这有助于理解记忆结论，也有助于提高分析问题和运用知识的能力。
⑤ 搁置问题抓住老师的思路。碰到自己还没有完全理解老师所讲内容的时候，最好是做个记号，姑且先把这个问题放在一边，继续听老师讲后面的 内容，以免顾此失彼。来自：学习方法网
② 根据自己预习时理解过的逻辑结构抓住老师的思路。老师讲课在多数情况下是根据教材本身的知识结构展开的，若把自己预习时所理解过的知识 逻辑结构与老师的讲解过程进行比较，便可以抓住老师的思路。
③ 根据老师的提示抓住老师的思路。老师在教学中经常有一些提示用语，如“请注意”、“我再重复一遍”、“这个问题的关键是····”等等，这些 用语往往体现了老师的思路。来自：学习方法网
北师大版选修2-1高中数学2.4《用向量讨论垂直与平行》ppt课件
• 3．对于空间中平行关系的向量表示的三点说明
• (1)直线与直线平行：关键看直线的方向向量是否共 线．
• (2)直线与平面平行：关键看直线的方向向量与平面 的法向量是否垂直；或者看直线的方向向量与平面 内的两条相交直线的方向向量是否共面．
• (3)平面与平面平行：关键看两平面的法向量是否共 线．
• 如 AB图＝，5，在A直A1＝三4棱，柱点ADB是C－ABA的1B1中C1点中．，AC＝3，BC＝4， • (1)求证：AC⊥BC1； • (2)求证：AC1∥平面CDB1.
[证明] ∵直三棱柱 ABC－A1B1C1 的底面的三边长 AC＝3， BC＝4，AB＝5，∴AC⊥BC，又 CC1⊥平面 ABC，
证法二：建立空间直角坐标系如证法一中的图，设平面 EFG 的法向量 m＝(x1，y1，z1)，
则 m·E→F＝(x1，y1，z1)·(0，－1,1)＝－y1＋z1＝0，m·F→G＝(x1， y1，z1)·(1,1,0)＝x1＋y1＝0，
从而，得 x1＝－y1＝－z1. 设 x1＝－1，则 m＝(－1,1,1)．
• [分析] 用向量证明面面平行 有两个途径：利用面面平行的 判定定理，即证明一个平面内 的两个不共线向量都平行于另 一个平面；证明两个平面的法 向量平行．
[证明] 证法一：如图，以点 D 为坐标原点，分别以D→A，D→C， D→D1为正交基底建立空间直角坐标系 D－xyz，不妨设正方体的棱 长为 2，则 E(1,1,0)，F(1,0,1)，G(2,1,1)，H(1,2,1)，M(1,1,2)，N(0,1,1)．
∴n＝(－1,1,1)，
又∵E→F＝12，12，0，F→G＝－12，0，－12， ∴n·E→F＝0，n·F→G＝0， ∴n⊥E→F，n⊥F→G， ∴n 也是平面 EFG 的一个法向量，
用向量法讨论平行和垂直-北师大版高中数学选修2-1精品课件
22
PA(1,0,1), DE (0, 1 , 1)
Z DB=(1,1， 0)
22
设平面EDB的法向量为 n(x,y,1) P
则 n D E , n D B
于是12y120n1, 1, 1
E
xy0
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
P A n 0 P A n 而 PA平 面 ED B A 所以 P， A //平E 面DB
X
D
P
解得 x＝－２,ｙ＝１
E
即 P A 2 D E D B
于 是 P A 、 D E 、 D B 共 面
而 PA平 面 ED B
D
所以 P， A //平E 面DB A
X
C Y
B
例4 正方体 AB C A 1B D 1C 1D 1中，E、F分别
是BB1,，CD中点，求证：D1F 平面ADE.
证明：设正方体棱长为1，以 D A ， D C ,D D 1为单位
正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，
DA(1,0,0)， DE(1,1,,1)
1
2
z
D1
D1F (0, 2,1)
A1
则 Ｄ １ Ｆ D A 0 ， Ｄ １ Ｆ D E 0
C1 B1
E
则 Ｄ １ Ｆ D A ， Ｄ １ Ｆ D E ． D F
C y
所以 D 1F平 面 ADE
A x
包法 括向 线量 在为 面n 内 ，(面a 2 面,b 2 平,c 行2 )包,则 括面面重合.
l / / e n 0 a 1 a 2 b 1 b 2 c 1 c 2 0 ;
2、垂直关系：
（二）、垂直关系：
(1) lma b ab0
2-3-4用向量讨论垂直与平行课件(北师大版选修2-1)
2．用空间向量解决立体几何问题的步骤 (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉 及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它 们之间距离和夹角等问题； (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
题型一 求空间平面的法向量 【例 1】 正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 2，E、F 分别为棱 A1D1、A1B1 的中点，求平面 EFBD 的一个法向量．
2 2
名师点睛 1．求平面法向量的步骤 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标 系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： 设平面的法向量为 n＝(x，y，z)． (1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，1，1)， b c b＝(a2，b2，c2)；
(2)根据法向量的定义建立关于 x、y、z
同理设平面 EGF 的一个法向量为 n2＝(x2，y2，z2)， → n2·EF＝0 y2＋z2＝0， 由 ⇔ → n ·EG＝0 x2＋y2＋z2＝0， 2 令 y2＝1 可得：x2＝0，z2＝－1， ∴n2＝(0，1，－1)， ∴n1＝n2⇒n1∥n2， ∴平面 EGF∥平面 ABD. 方法点评 利用等价转化思想将立体几何问题转化为空间向量 的坐标运算，大大降低了思维的难度，同学们只要运算仔细就 可以了，这种思想的运用必须掌握好．
证明
法一 如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，
则有 D(0，0，0)，A1(2，0，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1， 2，0)． → → → ∴A1P＝(－2，1，－2)，DM＝(0，2，1)，DN＝(1，2，0)， → → → → ∴A1P·DM＝0，A1P·DN＝0. ∴A1P⊥DM，A1P⊥DN， 又 DM∩DN＝D， ∴A1P⊥平面 DMN.
高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(二)课件北师大版选修2_1
解析答案
题型二 证明线面垂直问题 例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交 点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.
空间中的垂直关系
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向向量 设直线l的方向向量为a 设平面α的法向量为u
为a＝(a1，a2，a3)， ＝(a1，b1，c1)，平面α ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， 平
直线m的方向向量为 的法向量为u＝(a2，b2，面 β 的 法 向 量 为 v ＝
b＝(b1，b2，b3)，则 c2) ， 则 l⊥α⇔a∥u⇔a (a2 ， b2 ， c2) ， 则
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
解析答案
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4.若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0,－2)，则
直线l与平面α的位置关系为( D )
A.l与α斜交 B.l α
C.l∥α
D.l⊥α
解析 ∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0,－2)，
∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α.
解析答案
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5.已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x,－2,3)，且α⊥β， 则x＝_－__4__. 解析 ∵α⊥β，∴a·b＝0， ∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.
题型二 证明线面垂直问题 例2 如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F 分别是BB1，D1B1的中点.求证：EF⊥平面B1AC.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练2 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为AC与BD的交 点，G为CC1的中点.求证：A1O⊥平面GBD.
空间中的垂直关系
线线垂直
线面垂直
面面垂直
设直线l的方向向量 设直线l的方向向量为a 设平面α的法向量为u
为a＝(a1，a2，a3)， ＝(a1，b1，c1)，平面α ＝ (a1 ， b1 ， c1) ， 平
直线m的方向向量为 的法向量为u＝(a2，b2，面 β 的 法 向 量 为 v ＝
b＝(b1，b2，b3)，则 c2) ， 则 l⊥α⇔a∥u⇔a (a2 ， b2 ， c2) ， 则
一、“超前思考，比较听课”
什么叫“超前思考，比较听课”？简单地说，就是同学们在上课的时候不仅要跟着老师的思路走，还要力争走在老师思路的前面，用自己的思路和老师的思路进行对 比，从而发现不同之处，优化思维。
比如在讲《林冲棒打洪教头》一文，老师会提出一些问题，如林冲当时为什么要戴着枷锁？林冲、洪教头是什么关系？林冲为什么要棒打洪教头？••••••
解析答案
12345
4.若直线l的方向向量为a＝(2,0,1)，平面α的法向量为n＝(－4,0,－2)，则
直线l与平面α的位置关系为( D )
A.l与α斜交 B.l α
C.l∥α
D.l⊥α
解析 ∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0,－2)，
∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α.
解析答案
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5.已知平面α和平面β的法向量分别为a＝(1,1,2)，b＝(x,－2,3)，且α⊥β， 则x＝_－__4__. 解析 ∵α⊥β，∴a·b＝0， ∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.
2018-2019学年高中数学北师大版选修2-1课件第二章4 用向量讨论垂直与平行ppt版本
章 空间向量与立体几何
§4 用向量讨论垂直与平行
1．问题导航 (1)如何利用两直线的方向向量判定直线平行和垂直？ (2)如何利用两平面的法向量判定两平面平行和垂直？ (3)如何利用直线的方向向量、平面的法向量判定线面平行和 垂直？ (4)什么是三垂线定理？试写出它的逆定理．
2．例题导读 P40例1.通过本例学习，掌握向量法证明线面垂直． P40例2.通过本例学习，掌握向量法证明面面平行． P41例3.通过本例学习，掌握向量法证明线线垂直． 试一试：教材P41练习T1、T2、T3你会吗？
x－1y＝ 0， 2 －．
设平面 EFC 的法向量为 m＝(a，b，c)， 由E→F ＝ (0， 1， 0)，F→C ＝(－ 1， 0，－ 1)，
所以mm··EF→→FC＝＝00， . 即b－＝a－0，c＝0.
取 m＝(－1，0，1)． 因为 m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， 所以平面 C1E1F⊥平面 CEF.
直．( √ )
2．已知直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，且 l⃘ α ，则能使 l∥α 的是( D ) A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0) B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1) C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
则 C(0，1，0)，E(1，0，1)，C1(0，1，2)，
F(1， 1， 1)， E11，12， 2.
设平面 C1E1F 的法向量 n＝(x，y，z)．因
为C→1 E1＝1，－12， 0，F→C1 ＝(－ 1，0，1)，
所
以
n·C→1E1 ＝ 0， n·F→C1 ＝0，
即
②一个点一个向量：给定一个点和一个向量，过这个点，以这 个向量为法向量的平面唯一确定．
§4 用向量讨论垂直与平行
1．问题导航 (1)如何利用两直线的方向向量判定直线平行和垂直？ (2)如何利用两平面的法向量判定两平面平行和垂直？ (3)如何利用直线的方向向量、平面的法向量判定线面平行和 垂直？ (4)什么是三垂线定理？试写出它的逆定理．
2．例题导读 P40例1.通过本例学习，掌握向量法证明线面垂直． P40例2.通过本例学习，掌握向量法证明面面平行． P41例3.通过本例学习，掌握向量法证明线线垂直． 试一试：教材P41练习T1、T2、T3你会吗？
x－1y＝ 0， 2 －．
设平面 EFC 的法向量为 m＝(a，b，c)， 由E→F ＝ (0， 1， 0)，F→C ＝(－ 1， 0，－ 1)，
所以mm··EF→→FC＝＝00， . 即b－＝a－0，c＝0.
取 m＝(－1，0，1)． 因为 m·n＝1×(－1)＋2×0＋1×1＝－1＋1＝0， 所以平面 C1E1F⊥平面 CEF.
直．( √ )
2．已知直线 l 的方向向量为 a，平面 α 的法向量为 n，且 l⃘ α ，则能使 l∥α 的是( D ) A．a＝(1，0，0)，n＝(－2，0，0) B．a＝(1，3，5)，n＝(1，0，1) C．a＝(0，2，1)，n＝(－1，0，－1) D．a＝(1，－1，3)，n＝(0，3，1)
则 C(0，1，0)，E(1，0，1)，C1(0，1，2)，
F(1， 1， 1)， E11，12， 2.
设平面 C1E1F 的法向量 n＝(x，y，z)．因
为C→1 E1＝1，－12， 0，F→C1 ＝(－ 1，0，1)，
所
以
n·C→1E1 ＝ 0， n·F→C1 ＝0，
即
②一个点一个向量：给定一个点和一个向量，过这个点，以这 个向量为法向量的平面唯一确定．
高中数学第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行一课件北师大版选修2_1
利用空间向量解决平行问题时，第一，建立立体图形与空间向量的联系， 用空间向量表示问题中涉及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为 向量问题；第二，通过向量的运算，研究平行问题；第三，把向量问题 再转化成相应的立体几何问题，从而得出结论.
题型探究
类型一
求直线的方向向量、平面的法向量
例1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
→ n · AB＝0， (3)列方程组：由 → AC＝0， n· → n · AB＝0， (4)解方程组： → AC＝0. n ·
反思与感悟
列出方程组.
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.
跟踪训练1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟
利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向
向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所 成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝ BC＝ 1 AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在， 2 求出E点的位置；若不存在，请说明理由. 解答
思考
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向
量满足哪些条件可说明直线与平面平行？ 答案 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定 线面是否平行. (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 答案 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平 面平行.
题型探究
类型一
求直线的方向向量、平面的法向量
例1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，
→ n · AB＝0， (3)列方程组：由 → AC＝0， n· → n · AB＝0， (4)解方程组： → AC＝0. n ·
反思与感悟
列出方程组.
(5)赋非零值：取其中一个为非零值(常取±1). (6)得结论：得到平面的一个法向量.
跟踪训练1
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形.平面PAB⊥
令z2＝2，得y2＝－1，所以n2＝(0，－1，2)，
因为n1＝n2，所以平面ADE∥平面B1C1F.
反思与感悟
利用向量证明平行问题，可以先建立空间直角坐标系，求出直线的方向
向量和平面的法向量，然后根据向量之间的关系证明平行问题.
跟踪训练2 如图，在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，PB与底面所 成的角为45°，底面ABCD为直角梯形，∠ABC＝∠BAD＝90°，PA＝ BC＝ 1 AD＝1，问在棱PD上是否存在一点E，使CE∥平面PAB？若存在， 2 求出E点的位置；若不存在，请说明理由. 解答
思考
(2)若已知平面外一直线的方向向量和平面的法向量，则这两向
量满足哪些条件可说明直线与平面平行？ 答案 可探究直线的方向向量与平面的法向量是否垂直，进而确定 线面是否平行. (3)用向量法处理空间中两平面平行的关键是什么？ 答案 关键是找到两个平面的法向量，利用法向量平行来说明两平 面平行.
高中数学北师大版选修2-1 2.4用向量讨论垂直与平行 课件(48张)
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【做一做 2】 已知 A(1,0,1),B(0,1,1),C(1,1,0),求平面 ABC 的一 个法向量. 解 :设平面 ABC 的一个法向量为 n=(x,y,z). 由题意得 ������������ = (−1,1,0), ������������ = (1,0, −1). ������· ������������ = -������ + ������ = 0,
∵n⊥ ������������ , 且n⊥������������ , ∴
������· ������������ = ������-������ = 0. ∴平面 ABC 的一个法向量 n=(1,1,1).
令x=1,得 y=z=1.
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3.垂直与平行的相关定理 (1)线面垂直判定定理 若一条直线垂直于一个平面内的两条相交直线,则该直线与此平 面垂直. (2)面面平行判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,则这两个平 面平行. (3)三垂线定理 若平面内的一条直线垂直于平面外的一条直线在该平面内的投 影,则这两条直线垂直.
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2������ , 3
【做一做3-2】 如图,已知矩形ABCD,PA=AB=1,BC=a,PA⊥平面 ABCD,若在BC上只有一个点Q满足PQ⊥QD,则a的值等 于 .
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解析 :建立如图所示的空间直角坐标系,设 |������������ | = ������, 则A(0,0,0),Q(1,b,0),P(0,0,1),B(1,0,0),D(0,a,0),
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(4)面面垂直判定定理 若一个平面经过另一个平面的一条垂线,则这两个平面垂直. 说明:用空间向量解决空间线面关系的步骤: ①建立立体图形与空间向量的联系,用空间向量表示问题中涉及 的点、直线、平面,把立体几何问题转化为向量问题; ②通过向量运算,研究点、直线、平面之间的位置关系及它们之 间的距离和夹角等问题; ③把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义.
北师版数学高二-选修2-1课件2.4用向量讨论垂直与平行
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2 若直线 l1,l2 的方向向量分别为 a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则( )
A.l1∥l2
B.l1⊥l2
C.l1,l2 相交但不垂直D.l1,l2 的关系不能确定
解析:∵a·b=1×(-2)+2×3+(-2)×2=0,
∴a⊥b.∴l1⊥l2. 答案:B
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题型 空间中直线、平面的位置关系 【例题 1】 设 a,b 分别是直线 l1,l2 的方向向量,根据下列条件判断 l1 与 l2 的位置关系: (1)a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3); (2)a=(5,0,2),b=(0,4,0); (3)a=(-2,1,4),b=(6,3,3). 分析:直线的方向向量与两条直线的位置关系间的内在联系是 l1∥l2⇔a∥b,l1⊥l2⇔a⊥b,据此可判断两条直线的位置关系. 解:(1)∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3), ∴a=-13b,∴a∥b,∴l1∥l2. (2)∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),
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证明:∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,
∴AC,BC,C1C 两两垂直.
如图,以 C 为坐标原点,直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z
轴建立空间直角坐标系,则
C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D
AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又 H,G 分别是 BC,CD 的中点,则( )
2 若直线 l1,l2 的方向向量分别为 a=(1,2,-2),b=(-2,3,2),则( )
A.l1∥l2
B.l1⊥l2
C.l1,l2 相交但不垂直D.l1,l2 的关系不能确定
解析:∵a·b=1×(-2)+2×3+(-2)×2=0,
∴a⊥b.∴l1⊥l2. 答案:B
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题型 空间中直线、平面的位置关系 【例题 1】 设 a,b 分别是直线 l1,l2 的方向向量,根据下列条件判断 l1 与 l2 的位置关系: (1)a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3); (2)a=(5,0,2),b=(0,4,0); (3)a=(-2,1,4),b=(6,3,3). 分析:直线的方向向量与两条直线的位置关系间的内在联系是 l1∥l2⇔a∥b,l1⊥l2⇔a⊥b,据此可判断两条直线的位置关系. 解:(1)∵a=(2,3,-1),b=(-6,-9,3), ∴a=-13b,∴a∥b,∴l1∥l2. (2)∵a=(5,0,2),b=(0,4,0),
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证明:∵直三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面的三边长 AC=3,BC=4,AB=5,
∴AC,BC,C1C 两两垂直.
如图,以 C 为坐标原点,直线 CA,CB,CC1 分别为 x 轴,y 轴,z
轴建立空间直角坐标系,则
C(0,0,0),A(3,0,0),C1(0,0,4),B(0,4,0),B1(0,4,4),D
AE∶EB=AF∶FD=1∶4,又 H,G 分别是 BC,CD 的中点,则( )
高中数第二章空间向量与立体几何4用向量讨论垂直与平行(一)课件北师大版选修21
解析答案
题型三 利用空间向量证明平行关系 例3 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底 面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.
反思与感悟
解析答案
跟踪训练3 如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且 AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.判断 并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD.
重点突破
解析答案
(3)平面 α 与 β 的法向量分别是 u＝(1,－1,2)，v＝3，2，－12； 解 ∵u＝(1,－1,2)，v＝3，2，－21， ∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即α⊥β.
(4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)；
解 ∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
解析答案
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3.若A(1,0,－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( A ) A.(2,2,6) B.(－1,1,3) C.(3,1,1) D.(－3,0,1) 解析 ∵A，B在直线l上， ∴A→B＝(1,1,3)，与A→B共线的向量(2,2,6)可以是直线 l 的一个方向向量.
答案
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题型探究
题型一 利用方向向量和法向量判定线面、面面的位置关系 例1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3,－1)，b＝(－6,－9,3)； 解 ∵a＝(2,3,－1)，b＝(－6,－9,3)，
∴a＝－13b，∴a∥b，即 l1∥l2.
(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)； 解 ∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)， ∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)， ∴a，b既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面.
题型三 利用空间向量证明平行关系 例3 在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是正方形，侧棱PD垂直于底 面ABCD，PD＝DC，E是PC的中点.证明：PA∥平面EDB.
反思与感悟
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跟踪训练3 如图，已知在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且 AD＝2，AB＝1，PA⊥平面ABCD，E，F分别是线段AB，BC的中点.判断 并说明PA上是否存在点G，使得EG∥平面PFD.
重点突破
解析答案
(3)平面 α 与 β 的法向量分别是 u＝(1,－1,2)，v＝3，2，－12； 解 ∵u＝(1,－1,2)，v＝3，2，－21， ∴u·v＝3－2－1＝0，∴u⊥v，即α⊥β.
(4)平面α与β的法向量分别是u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)；
解 ∵u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)，
解析答案
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3.若A(1,0,－1)，B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( A ) A.(2,2,6) B.(－1,1,3) C.(3,1,1) D.(－3,0,1) 解析 ∵A，B在直线l上， ∴A→B＝(1,1,3)，与A→B共线的向量(2,2,6)可以是直线 l 的一个方向向量.
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题型一 利用方向向量和法向量判定线面、面面的位置关系 例1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(2,3,－1)，b＝(－6,－9,3)； 解 ∵a＝(2,3,－1)，b＝(－6,－9,3)，
∴a＝－13b，∴a∥b，即 l1∥l2.
(2)直线l1与l2的方向向量分别是a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)； 解 ∵a＝(－2,1,4)，b＝(6,3,3)， ∴a·b≠0且a≠kb(k∈R)， ∴a，b既不共线也不垂直，即l1与l2相交或异面.
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→ n· ＝0， （x，y，z）· DM （0，2，1）＝0， 则 即 → （1，2，0）＝0， n· ＝0， （x，y，z）· DN 令 y＝1 得 x＝－2，z＝－2，∴n＝(－2，1，2)， → → ∴A1P＝n，∴A1P∥n， ∴A1P⊥平面 DMN.
的棱 CC1、BC、CD 的中点，求证：A1P⊥平面 DMN.
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证明
法一 如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，
则有 D(0，0，0)，A1(2，0，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1， 2，0)． → → → ∴A1P＝(－2，1，－2)，DM＝(0，2，1)，DN＝(1，2，0)， → → → → ∴A1P·DM＝0，A1P·DN＝0. ∴A1P⊥DM，A1P⊥DN， 又 DM∩DN＝D， ∴A1P⊥平面 DMN.
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1 1 → n· ＝0， －2x0－2y0－z0＝0， OD 则 得 n·→ ＝0， －1x ＋1y ＝0. OC1 2 0 2 0 令 x0＝1，得 y0＝1，z0＝－1，∴n＝(1，1，－1)． → 又B1C·n＝－1×1＋0×1＋(－1)×(－1)＝0， → ∴B1C⊥n，∴B1C∥平面 ODC1.
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本题将证明线线平行问题转化为空间向量共线问 题，尤其是引进空间坐标系后使得解题思路更加清晰明了．
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【训练 2】 在正方体 ABCD- 1B1C1D1 中，O 是 B1D1 的中点， A 求证：B1C∥平面 ODC1. 证明 → → 法一 ∵B1C＝A1D，B1∉A1D，∴B1C∥A1D，
课前探究学习 课堂讲练互动 活页限时训β 的法向量分别为 u＝(a1，b1，c1)，v＝(a2，b2，c2)， 则 α∥β⇔ u∥v ⇔ u＝kv a1 b1 c1 ⇔ ＝ ＝ (a2b2c2≠0) ． a2 b2 c2
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2．空间中垂直关系的向量表示 (1)线线垂直 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，a2，a3)，直线 m 的方向向量为 b ＝(b1，b2，b3)，则 l⊥m⇔ ⇔ a1b1＋a2b2＋a3b3＝0 ．
a⊥b
⇔
a· b＝0
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(2)线面垂直 设直线 l 的方向向量是 u＝(a1，b1，c1)，平面α 的法向量是 v ＝(a2，b2，c2)，则 l⊥α⇔ u∥v ⇔ u＝λv a1 b1 c1 ⇔a ＝ b ＝c (a2b2c2≠0)． 2 2 2 (3)面面垂直 若平面 α 的法向量 u＝(a1，b1，c1)，平面 β 的法向量 v＝(a2， v＝0 ⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2＝0 ． b ， )， α⊥β ⇔ u⊥v ⇔ u· c 则
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设面 ADE 的一个法向量为 n1＝(x，y，z)， a → n· ＝0 ay＋2z＝0， AD 由 ⇔ (6 分) → n· ＝0 3ax＋ay＋az＝0. AE 2 2 令 y＝1 可得：x＝ 3，z＝－2，∴n1＝( 3，1，－2)．同理可 以求出平面 ACC1A1 的一个法向量为 n2＝(－1， 3，0)． ∵n1·n2＝( 3，1，－2)· (－1， 3，0)＝－ 3＋ 3＝0，(10 分) ∴n1⊥n2.∴平面 ADE⊥平面 ACC1A1.(12 分)
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题型三 用向量证明垂直问题 【例 3】 (12 分)正三棱柱 ABC-A1B1C1 的底面边长为 a，侧棱长 a 为 2a， 在侧棱 BB1 上取 BD＝2， 在侧棱 CC1 上取 CE＝a， 求证： 平面 ADE⊥平面 ACC1A1. 审题指导 要证线线垂直，可以转化为对应的向量垂直． 要证线面垂直，可以转化为证明这条直线与平面内两条相交直 线垂直． 要证面面垂直，可以转化为证明两个平面的法向量垂直．
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法二
如图，建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 2，则有
D(0，0，0)，A1(2，0，2)，P(0，1，0)，M(0，2，1)，N(1，2， 0)， → → → ∴A1P＝(－2，1，－2)，DM＝(0，2，1)，DN＝(1，2，0)， 设 n＝(x，y，z)是平面 DNM 的一个法向量，
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【解题流程】 建系 → 相关点坐标 → 相关向量坐标 →求平面 ADE，平面 ACC1A1 的法向量 n1，n2→ n1·n2＝0 → 结论
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[规范解答] 设 O 为 AB 的中点， 为 A1B1 的中点， OC、 F 以 OB、 OF 所在直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴，建立如图空间直角坐标
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自学导引 1．空间中平行关系的向量表示 (1)线线平行 设直线 l，m 的方向向量分别为 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2， c2)且(a2b2c2≠0)，则 l∥m⇔ a∥b b1 c1 ＝ ＝ (a2b2c2≠0)． b2 c2 (2)线面平行 设直线 l 的方向向量为 a＝(a1，b1，c1)，平面 α 的法向量为 u u＝0 ⇔ a1a2＋b1b2＋c1c2 ＝(a2，b2，c2)，则 l∥α⇔ a⊥u ⇔a· ＝0．
又 A1D⊂面 ODC1，∴B1C∥面 ODC1. 法二 → → → → → → → → → ∵B1C＝B1C1＋B1B＝B1O＋OC1＋D1O＋OD＝OC1＋OD.
→ → → ∴B1C，OC1，OD共面． 又 B1C 面 ODC1，∴B1C∥面 ODC1.
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法三 建系如图，设正方体的棱长为 1，则可得
§4 用向量讨论垂直与平行
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【课标要求】 1． 会用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、 平面间 的平行、垂直等位置关系． 2．会用向量的有关知识证明线与线、线与面、面与面的垂直与 平行． 【核心扫描】 1．利用向量方法解决立体几何问题．(重点) 2．深刻理解用向量方法解决立体几何问题的思想方法．(难点) 3．利用等价转化思想解决立体几何问题．(方法)
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名师点睛 1．求平面法向量的步骤 若要求出一个平面的法向量的坐标，一般要建立空间直角坐标 系，然后用待定系数法求解，一般步骤如下： 设平面的法向量为 n＝(x，y，z)． (1)找出(求出)平面内的两个不共线的向量的坐标 a＝(a1，1，1)， b c b＝(a2，b2，c2)；
2x＋2y＝0， x＋2z＝0，
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y＝－x， ∴ 1 z＝－2x. 令 x＝2，则可解得：y＝－2，z＝－1， ∴n＝(2，－2，－1)即为所求平面 EFBD 的一个法向量． 规律方法 本题是考查了法向量的基本的求解方法和步骤，平
面的法向量不是唯一的，它有无数多个，但所有的法向量都是 平行的．
[ 思 路 探 索 ]
求出相应 建立空间直角坐标系 → → 点的坐标
→ → → → PQ、RS的坐标 → PQ∥RS ⇒ 结论
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解
建系如图：
则 P(3，0，1)、Q(0，2，2)、R(3，2，0)、S(0，4，1)， → → ∴PQ＝(－3，2，1)，RS＝(－3，2，1)， → → → → ∴PQ＝RS⇒PQ∥RS，∴PQ∥RS.
x－2y－4z＝0， 令 2x－4y－3z＝0，
y＝1，则 x＝2，z＝0.
∴平面 α 的一个法向量是 n＝(2，1，0)．
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题型二 用向量证明平行问题 【例 2】 如图所示，在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中，AB＝4，AD ＝3，AA1＝2，P、Q、R、S 分别是 AA1、D1C1、AB、CC1 的中 点，证明：PQ∥RS.
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2．用空间向量解决立体几何问题的步骤 (1)建立立体图形与空间向量的联系，用空间向量表示问题中涉 及的点、直线、平面，把立体几何问题转化为向量问题； (2)通过向量运算，研究点、直线、平面之间的位置关系以及它 们之间距离和夹角等问题； (3)把向量的运算结果“翻译”成相应的几何意义．
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方法技巧
等价转化思想的应用
用等价转化的思想方法研究数学问题时，要从一种情形转化到 一种较为简单的情形，使问题得到解决．在立体几何线面平行 和垂直的证明和讨论中，利用几何方法证明时，比较强调逻辑 思维能力，不容易总结规律和方法，引进了空间向量的运算之 后，我们可以将几何问题转化成为向量问题，利用向量的运算 证明立体几何中的线面之间位置关系， 使问题的思路更加简单， 更容易掌握．
a a 系，则有：A0，－2，0、B0，2，0、C a a D0，2，2、E 3 a，0，a，(2 分) 2 3 a，0，0、 2
a → 3 a → 3 a → ∴AD＝0，a，2，AC＝ a， ，0，AE＝ a， ，a. 2 2 2 2
1 1 B1(1，1，1)，C(0，1，0)，O2，2，1，C1(0，1，1)，