自然正交函数分析(EOF)程序

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EOF分析及其应用

EOF分析及其应用
一、EOF分析是什么
EOF分析（Empirical Orthogonal Function Analysis）是一种常用
的时间-空间统计分析方法，它是由把空间上的一维观测或多维观测数据
矩阵投影到一个更特别的模型空间中，然后对该模型空间中的变换数据进
行分析从而推算出有关的特征参数的一种分析方法。

二、EOF分析的原理
EOF分析由英国天文学家Harold E. Jeffreys （1891-1989）于
1931年提出。

它利用最小二乘估计法，把空间上一维或多维观测的数据
矩阵投影在一个特定的模型空间中，然后对该模型空间中变换的数据进行
分析，从而推算出有关的特征参数。

EOF分析的核心理论是“变换空间”，即给定一个多维空间Vn，找出一个低维变换空间Vm具有一定的特殊性质（如基Vm上的每一列向量的模具有最小值，它们张成一个最小的模型空
间上），使得数据在其中具有最好的表示，且在该变换空间中可以表示出
空间统计分布的特性。

三、EOF分析的应用
（1）短时间强对流预报
短时间强对流预报是一种有效的大气环境监测技术，它依据大气各层
能量释放特征进行短时间的天气预报。

EOF方法运用了空间观测数据，可
以对大气能量释放做出准确的模拟分析，从而预测出未来几小时内这一区
域内的强对流天气预报。

（2）大气环流异常研究。

第五章主成分分析（2）（主成分回归经验正交分解EOF）

5.4 主成分聚类与主成分回归5.4.1 变量聚类与样品分类主成分分析可用于聚类：变量聚类与样品聚类。

变量聚类：由主成分系数的差异，可将变量聚类。

例如例5.5中第2主成分中murder,rape, assult系数为负的， burglary,larceny, auto系数是正的。

按系数正负可把7个变量分为两类： murder, rape, assult属于暴力程度严重的一类；burglary,larceny,auto属于暴力程度较轻的一类。

按照这种方法，根据主成分系数的正负可以将变量聚类。

样品聚类：如果2个主成分能很好的概括随机向量的信息，计算每个样品的这两个主成分得分，把他们的散点图画出来，就能从图上将样品分类。

例5．5（续2）按照第一、第二主成分得分，画出散点图data crime; /*建立数据集crime*/input state $ 1-15 murder rape robbery assult burglary larceny auto;/*建立变量state murder rape robbery assult burglary larceny auto。

state $ 1-15表示前15列存州名。

murder rape robbery assult burglary larceny auto 表7种罪的犯罪率*/cards; /*以下为数据体*/Albama 14.2 25.2 96.8 278.3 1135.5 1881.9 280.7Alaska 10.8 51.6 96.8 284.0 1331.7 3369.8 753.3Arirona 9.5 34.2 138.2 312.3 2346.1 4467.4 439.5Arkansas 8.8 34.2 138.2 312.3 2346.1 4467.4 439.5Califonia 11.5 49.4 287.0 358.0 2139.4 3499.8 663.5Colorado 6.3 42.0 170.7 292.9 1935.2 3903.2 477.1Conecticat 4.2 16.8 129.5 131.8 1346.0 2620.7 593.2Delaware 6.0 24.9 157.0 194.2 1682.6 3678.4 467.0Florida 10.2 39.6 187.9 449.1 1859.9 3840.5 351.4Geogia 11.7 31.1 140.5 256.5 1351.1 2170.2 297.9Hawaii 7.2 25.5 128.0 64.1 1911.5 3920.4 489.4Idaho 5.5 19.4 39.6 172.5 1050.8 2599.6 237.6Illinois 9.9 21.8 211.3 209.0 1085.0 2828.5 528.6Indiana 7.4 26.5 123.2 153.5 1086.2 2498.7 377.4Iowa 2.3 10.6 41.2 89.8 812.5 2685.1 219.9Kansas 6.6 22.0 100.7 180.5 1270.4 2739.3 244.3Kentaky 10.1 19.1 81.1 123.3 872.2 1662.1 245.4Loisana 15.5 30.9 142.9 335.5 1165.5 2469.9 337.7Maine 2.4 13.5 38.7 170.0 1253.1 2350.7 246.9Maryland 8.0 34.8 292.1 358.9 1400.0 3177.7 428.5Masschusetts 3.1 20.8 169.1 231.6 1532.2 2311.3 1140.1Michigan 9.3 38.9 261.9 274.6 1522.7 3159.0 545.5Minnesota 2.7 19.5 85.9 85.8 1134.7 2559.3 343.1Mississippi 14.3 19.6 65.7 189.1 915.6 1239.9 144.4Missouri 9.6 28.3 189.0 233.5 1318.3 2424.2 378.4Montana 5.4 16.7 39.2 156.8 804.9 2773.2 309.3Nebraska 3.9 18.1 64.7 112.7 760.0 2316.1 249.1Nevada 15.8 49.1 323.1 355.0 2453.1 4212.6 559.2Mew Hampashare 3.2 10.7 23.2 76.0 1041.7 2343.9 293.4New Jersey 5.6 21.0 180.4 185.1 1435.8 2774.5 511.5New Maxico 8.8 39.1 109.6 343.4 1418.7 3008.6 259.5New York 10.7 29.4 472.6 319.1 1728.0 2782.0 745.8North Carolina 10.6 17.0 61.3 318.3 1154.1 2037.8 192.1North Dakoda 100.9 9.0 13.3 43.8 446.1 1843.0 144.7Ohio 7.8 27.3 190.5 181.1 1216.0 2696.8 400.4Oklahoma 8.6 29.2 73.8 205.0 1288.2 2228.1 326.8Oregan 4.9 39.9 124.1 286.9 1636.4 3506.1 388.9Pennsyvania 5.6 19.0 130.3 128.0 877.5 1624.1 333.2Rhode Island 3.6 10.5 86.5 201.0 1849.5 2844.1 791.4South Carolina 11.9 33.0 105.9 485.3 1613.6 2342.4 245.1South Dakoda 2.0 13.5 17.9 155.7 570.5 1704.4 147.5Tennessee 10.1 29.7 145.8 203.9 1259.7 1776.5 314.0Texas 13.3 33.8 152.4 208.2 1603.1 2988.7 397.6Utah 3.5 20.3 68.8 147.3 1171.6 3004.6 334.5Vermont 1.4 15.9 30.8 101.2 1348.2 2201.0 265.2Virginia 9.0 23.3 92.1 165.7 986.2 2521.2 226.7Wasinton 4.3 39.6 106.2 224.8 1605.6 3386.9 360.3West Viginia 6.0 13.2 42.2 90.9 597.4 1341.7 163.3Wiskonsin 2.8 12.9 52.2 63.7 846.9 2614.2 220.7Wyoming 5.4 21.9 39.7 173.9 811.6 2772.2 282.0;proc princomp out=crimprin n=2;var murder rape robbery assult burglary larceny auto;run;PROC PLOT data=crimprin;PLOT PRIN2*PRIN1=STATE/VPOS=31;TITLE2 ‘PLOT OF THE FIRST TWO PRINCIPAL COMPONENTS’;RUN;例5．7 （气温分析）本例的输入资料文件（TEMPERA T）是美国六十四个城市一月与七月的平均日温。

常用数据分析方法介绍

样本长度、时间尺度个数、起始时间尺度、时间尺度间距
参数说明
• （4）小波分析程序输出结
年份
时间尺度
果文件为WA文件夹下的
“Fileout.txt”，给出了年份
小波系数
、时间尺度以及小波系数
值；
20
18
16
时 14 间尺 12 度 10 /8 a6
4
2 1961 1964 1967 1970 1973 1976 1979 1982 1985 1988 1991 1994 1997 2000 2003 2006 2009
天长
界首临泉
太和阜阳
阜南
涡阳
宿县
灵壁泗县
蒙城利辛
固镇
五河
颍上
怀远蚌埠凤阳
凤台淮南寿县长丰
定远
明光
霍邱
来安滁州
天长
全椒
金寨
六安霍山
岳西
合肥肥东
肥西舒城
含山和县马鞍山
巢湖
当涂
庐江桐城
无为
芜湖
铜陵
繁昌
芜湖县
南陵
宣城
郎溪广德
潜山太湖怀宁
宿松
望江
枞阳贵池
青阳
安庆
九华
泾县
东至
Fortran计算程序中需要修改的参数主要有：N（样本长度）、 NYEAR（起始年份）
样本长度、起始年份
• （4）MK检验程序输出结果文件为MK文件夹下的 “Fileout.txt”，其中第一列为年份；第二、三列分别为UF 和UB统计量值；第四、五列为显著性水平。
年份
UF
UB
显著性水平

自然正交函数分析程序

自然正交函数分析程序EOF方法是基于假设，即数据可以被表示为一系列正交函数的线性组合。

这些正交函数称为EOF模态，并代表了数据中的主要模式。

每个EOF 模态都具有相应的权重，称为EOF系数，用于描述该模态在总方差中的贡献程度。

EOF方法的步骤如下：1.数据预处理：首先，要对原始数据进行预处理。

这可以包括去除重复数据、去除异常值、进行数据平滑处理等。

2.协方差矩阵计算：接下来，需要计算数据的协方差矩阵。

协方差矩阵描述了数据中不同维度之间的相关性。

3.特征值分解：通过对协方差矩阵进行特征值分解，可以得到特征值和特征向量。

特征值表示了每个特征向量对总方差的贡献程度。

4.选择模态：根据特征值的大小，可以选择保留最重要的EOF模态，从而降低数据维度。

5.计算EOF系数：对于每个选定的EOF模态，可以计算其相应的EOF 系数，用于描述该模态在数据中的贡献程度。

6.重构数据：最后，通过将所有选定的EOF模态与相应的EOF系数进行线性组合，可以重构原始数据。

这样可以去除一些噪音和次要特征，从而提取出原始数据中的关键模式。

EOF方法有许多应用，特别是在气候学、地球物理学和图像处理等领域。

在气候学中，EOF可以帮助我们理解地球上不同地区的温度、降水和风向等变化模式。

在地球物理学中，EOF可以帮助我们分析地震数据、地磁数据和重力场数据等。

在图像处理中，EOF可以帮助我们提取图像中的关键特征，用于图像分类和识别。

总之，自然正交函数分析（EOF）是一种强大的数学工具，用于处理具有时间或空间相关性的数据。

通过对数据进行正交分解，EOF可以提取出关键的时间或空间模式，并帮助我们理解和分析数据中的重要特征。

EOF应用：从数据预处理到详细分析

EOF 分析
By lqouc
1. 什么是 EOF，它的作用是什么。 1.1 什么是 EOF 关于 EOF 要先从主成分分析说起，主成分分析是多元统计分析中重要的一部分，是一种从多个变量化为少数变量的统计方法，利用多个变量之间相互关系构造一些新的变量，这些新的变量不仅能综合反映原来多个变量的信息，而且彼此之间是相互独立的，同时是按方差贡献大小排列的，这种统计处理方法称为主成分分析。主成分分析在气象应用中称为经验正交函数（EOF）分解。 1.2EOF 的用途对于一个气象要素，我们通常有 m 个空间点或者台站，有 n 次观测，这样组成的矩阵中的任意元素就表示了某一空间某一时刻的函数，我们希望能将这样的时空函数分解成空间函数与时间函数两部分的线性组合。根据主成分的性质，主成分是按其方差贡献大小排列的，而且是相互独立的，那么可以用前几个时间函数与对应的空间函数的线性组合，对原始场做出估计和解释，这就是经验正交函数分解的主要目的。 2. EOF 的数据预处理 EOF 只是个统计学的方法，本身不带有任何物理意义，更不会揣摩作者的意图，所以在数据导入之前需要对数据进行分析和预处理。以免得到错误的或者不理想的结果。在此处所说的预处理不是指一般 EOF
小时间序列的自由度。3.带通滤波也是常用的方法（本人没用过），其优点是可以选定一定的频率范围，缺点是边界处处理不是很清晰。 4.谐波滤波，以傅里叶函数为基函数对时间序列进行逼近，其优点是可以较准确的得到选取的频段信号，缺点是选的基函数有局限性，而且结果和时间序列的长度有关。5.线性去趋势可以去除时间序列的线性趋势信号，但是需要这一线性趋势通过显著性检验。 2.3 如何合理选定分析对象上面谈到的是滤波的方法，但是如果我们的数据是一些大家不熟悉的数据，我们并不知道它都主要包含何种尺度的信号，也不知道各个主要尺度信号的强弱，那就需要先对时间序列进行分析。对于时间序列的分析，我们可以采用 1.谐波滤波，看各个频率的数值大小。2.功率谱分析，得到显著周期。3.小波分析，同样可以得到时间序列的多尺度变化特征。在此，我推荐的方法是结合空间利用方差分析，因为以上的分析我们都是忽略了空间的影响，一种要素的时间变化特征是会随着空间变化的。例如，对中国地区做某一要素的 EOF 分析，得到的结果不能通过检验（检验的方法，后面再说），这个时候我们就需要考虑是否一些地区的目标信号不强，而另外一些地区目标信号很强，这样的话就只需要分析目标信号很强的地区，即只对特定区域进行 EOF 分析。结合空间的方差分析，首先需要对要素每一个空间点的时间序列进行滤波，得到各个不同频率的信号（从季节内到线性趋势）。对每个平率的信号求方差，得到了各个频率的方差的空间分布。在分析的过程

EOF应用：从数据预处理到详细分析

响因子，进行简单相关、复相关和偏相关分析，确定可能的影响因子。确定了影响因子之后可以尝试用多元回归分析，探讨这些因子与研究要素之间的可预报性。除了以上提到的分析，还可以根据自己的目的增加分析的内容。 5. 不同类型的 EOF 5.1EOF 本身的变化对于 EOF 的介绍很多的参考书籍都将其用于时空分离，也就是用在了空间和时间构成的三维场。但是实际上，我们回归最前面的 EOF 的出处，可以看出最原本的主成分分析并没有限定要素是时空的函数。这种方法只是通过引入新变量来达到数组降维的效果。所以我们可以在应用中进行多种尝试，只要能在物理上找到合理的解释就没问题。因为，这终究只是一种数学工具。举个例子，我们将一个 30 年长度月分辨率的时间序列，写成一个 30*12 的数组，第一维 30 年，第二维是 12 个月，这样以 30 年为我们通常认为的时间，12 个月为‘空间’ ，进行 EOF 分析，得到的结果可以揭示不同模态下 12 个月分别在这 30 年中的变化。除此之外还有很多种用法，在此不再赘述，仅作抛砖引玉。 5.2 多变量 EOF（MV-EOF） EOF 分析时，不仅会研究某一要素的时空特征，有时也会研究某现象的时空特征，而这些现象往往不能用单一的要素来表征，这时候就需要用到了多变量的 EOF。例如，研究海洋大陆的季风系统时空变化特征，很可能要考虑到
小时间序列的自由度。3.带通滤波也是常用的方法（本人没用过），其优点是可以选定一定的频率范围，缺点是边界处处理不是很清晰。 4.谐波滤波，以傅里叶函数为基函数对时间序列进行逼近，其优点是可以较准确的得到选取的频段信号，缺点是选的基函数有局限性，而且结果和时间序列的长度有关。5.线性去趋势可以去除时间序列的线性趋势信号，但是需要这一线性趋势通过显著性检验。 2.3 如何合理选定分析对象上面谈到的是滤波的方法，但是如果我们的数据是一些大家不熟悉的数据，我们并不知道它都主要包含何种尺度的信号，也不知道各个主要尺度信号的强弱，那就需要先对时间序列进行分析。对于时间序列的分析，我们可以采用 1.谐波滤波，看各个频率的数值大小。2.功率谱分析，得到显著周期。3.小波分析，同样可以得到时间序列的多尺度变化特征。在此，我推荐的方法是结合空间利用方差分析，因为以上的分析我们都是忽略了空间的影响，一种要素的时间变化特征是会随着空间变化的。例如，对中国地区做某一要素的 EOF 分析，得到的结果不能通过检验（检验的方法，后面再说），这个时候我们就需要考虑是否一些地区的目标信号不强，而另外一些地区目标信号很强，这样的话就只需要分析目标信号很强的地区，即只对特定区域进行 EOF 分析。结合空间的方差分析，首先需要对要素每一个空间点的时间序列进行滤波，得到各个不同频率的信号（从季节内到线性趋势）。对每个平率的信号求方差，得到了各个频率的方差的空间分布。在分析的过程

eof经验正交函数

eof经验正交函数正交设计是一种在实验设计中应用广泛的方法，它可以有效地降低实验的复杂性并提高实验结果的可信度。

在正交设计中，经验正交函数（EOF）是一种重要的工具，它可以帮助研究人员选择合适的实验因素和水平，以获得准确且可靠的实验结果。

经验正交函数是一组具有正交性质的基础函数，它们可以表示实验因素的不同水平。

通过使用经验正交函数，研究人员可以在有限的实验次数下，对多个因素进行全面的测试，从而节省时间和资源。

在实际应用中，经验正交函数可以用于设计和优化各种工程和科学实验。

例如，在材料科学领域，研究人员可以使用经验正交函数来优化材料的物理和化学性质。

在制造业中，经验正交函数可以用于优化生产过程中的参数设置，以提高产品质量和生产效率。

经验正交函数的选择和使用需要考虑因素的数量和水平，以及实验的目标和约束条件。

通常，研究人员可以使用经验正交函数表来选择合适的函数和水平组合。

经验正交函数表是经过统计和数学分析得出的，可以帮助研究人员快速准确地选择合适的函数。

除了选择适当的经验正交函数，研究人员还需要确定实验的因素和水平。

因素是指影响实验结果的变量，而水平则是指每个因素的具体取值。

通过选择合适的因素和水平，研究人员可以在实验设计中获得准确和可靠的结果。

在进行实验时，研究人员需要根据经验正交函数和选择的因素水平制定实验计划。

实验计划应考虑到实验次数、实验顺序和实验条件等因素，以确保实验结果的可靠性和可重复性。

经验正交函数的应用可以帮助研究人员在有限的实验条件下，获得准确和可靠的实验结果。

它不仅可以提高实验效率，还可以降低实验成本。

因此，经验正交函数在工程和科学领域中得到了广泛的应用和重视。

经验正交函数是一种重要的实验设计工具，可以帮助研究人员选择合适的实验因素和水平，以获得准确且可靠的实验结果。

它在各个领域的应用都取得了显著的成果，并为实验设计提供了有效的方法和策略。

通过合理地运用经验正交函数，研究人员可以在实验中更好地发现和理解因果关系，为工程和科学领域的发展做出贡献。

eof分析

事实上，这种想法是可以实现的，主分量分析方法就是综合处理这种问题的一种强有力的工具。主分量分析是把原来多个变量划为少数几个综合指标的一种统计分析方法。从数学角度来看，这是一种降维处理技术。
在实际问题研究中，为了全面、系统地分析问题，我们必须考虑众多影响因素。这些涉及的因素一般称为指标，在多元统计分析中也称为变量。因为每个变量都在不同程度上反映了所研究问题的某些信息，并且指标之间彼此有一定的相关性，因而所得的统计数据反映的信息在一定程度上有重叠。在用统计方法研究多变量问题时，变量太多会增加计算量和增加分析问题的复杂性，人们希望在进行定量分析的过程中，涉及的变量较少，得到的信息量较多。主成分分析正是适应这一要求产生的，是解决这类题的理想工具。
n
ki
xi )( x kj x j )
2
( xki xi )
( x kj x j ) 2
k 1
n
（1.3.2）
（二）计算特征值与特征向量
① 解特征方程 I R 0 ，常用雅可比法（Jacobi）求出特征值，并使其按大小顺序排列 1 2 p 0 ； ② 分别求出对应于特征值 i 的特征向量
主分量分析与核主分量分析
第一节主分量分析
第二节核主分量分析
第一节主分量分析

概述主分量分析的基本原理主分量分析的计算步骤主分量分析主要的作用主分量分析方法应用实例
一、概述
许多系统是多要素的复杂系统，多变量问题是经常会遇到的。变量太多，无疑会增加分析问题的难度与复杂性，而且在许多实际问题中，多个变量之间是具有一定的相关关系的。因此，人们会很自然地想到，能否在相关分析的基础上，用较少的新变量代替原来较多的旧变量，而且使这些较少的新变量尽可能多地保留原来变量所反映的信息？

EOF分析

对角线上的元素为奇异值)，奇异值与特征根成倍数关
1 • 如果矩阵C = n XX T ，C 的特征根为λ，则有
• 如果矩阵C = XX T ，C 的特征根为λ，则有
√ = nλ； √ = λ；
由于该方法是直接对矩阵X 进行分解，所以对内存的要求远小于方法1。计算速度很快。两种方法对比练习。
显著性检验
-2.20 -4.40
1.80 0.60
-1.20 -0.40
[U,S,V]=svd(X); 得到 U= 0.19 0.98 0.98 -0.19 S= 6.49 0 0 0 0 0 4.23 0 0 0 V= 0.66 -0.49 0.56 0.02 0.67 0.63 -0.73 -0.31 0.53 0.14 0.39 0.03 -0.10 -0.26 -0.02 EOF=U; PC=S*V’; 得到PC= 4.28 -2.07
1 外，EOF和PC都具有正交性的特点，可以证明 n P C × P C T = ∧；即不同的PC之
间相关为0。E × E T = I 。I为对角单位矩阵，即对角线上值为1，其他元素都为0。这表明各个模态之间相关为0，是独立的。由上面的计算过程可以看出，EOF分析的核心是计算矩阵C 的特征根和特征向量。计算矩阵特征根和特征向量的方法很多，下面具体给出Matlab中进行EOF分析的两种不同的方法。具体步骤可参考下面两个框图中的实例。方法1：调用[EOF,E]=eig(C)，其中EOF为计算得到的空间特征向量，E为特征根。然后计算主成分P C = EOF T × X 。需要指出的时，当数据量很大时，例如分析高分辨率的资料(如1km分辨率的NDVI资料)，空间范围很大维数m很容易超过数万个点，则矩阵C 的维数是个巨大量，需要占用大量内存，也会导致计算速度异常缓慢。而且很可能超出计算机的计算极限而死机。方法2：直接对矩阵X 进行奇异值分解 X=U 其中系。 43 为奇异值对交阵( VT

EOF分析方法

EOF分析方法2.1 资料本文研究利用的资料是Climate Research Unit高空间分辨率的温度资料。

CRU资料是世界公认较高质量的数据,并且已经有科学家利用这一资料进行温度和降水的分析（黄荣辉等，1999）。

因此,该资料具有很高的可靠性。

本章使用的数据是CRUTS系列的资料,该系列数据己经从最初的1.0版本更新到3.1版本。

2011年更新的CRUTS3.1是1901一2009年月降水和温度资料。

该资料的空间分辨率是0.5°X0.5°。

CRUTS资料是时间序列的月资料,本文研究中使用的是最新的CRUTS,时间序列从1901年到2012年。

还有一组数据是从1850年到2015年，空间分辨率是5°X5°，该系列数据质量高,应用广泛,资料包括的变量主要有云覆盖、日温度变化范围、发生雾的频率、降水、日平均温度、月平均的日最高温度、月平均每日最低温度、水汽压等变量。

本研究中运用了降水和温度的资料,该数据质量较高,陆地格点都包含数值,海洋上的点以缺省值一999.0代替,数据是根据观测资料插值得到的。

2.2 处理方法EOF分析方法是一种分析矩阵数据中的结构特征和提取主要数据特征量方法。

该方法可以将场序列做时间和空间分离，用EOF 方法得到的特征向量，时间系数，方差贡献率来表达时间序列的时空特征。

Lorenz在20世纪50年代首次将其引入气象和气候研究,现在气象和其它学科中得到了广泛的应用（魏凤英，1999），EOF分析步骤如下:(1)选定要分析的数据,进行数据预处理,通常处理成距平的形式,得到一个数据矩阵：Xm×n。

(2)计算X与其转置矩阵XT的交叉积,得到方阵:Cm×m=1nX×XT(3)计算方阵C的特征根(λ1,…λm)和模态Vm×m,二者满足:Cm×m×Vm×m=Vm×m× Λm×m式中,Λ是m×m维对角阵,对角线上的值即为特征根;Vm×m的列向量为每个特征根对应的模态值,也称为EOF。

经验正交函数分解(EOF)

图1b 1976 年是个明显的转折点, 在这之前累积曲线基本上呈上升趋势, 海温以正距平主, 这之后累积曲线呈下降趋势, 海温以负距平为主。19511975 年平均海温距平为12℃, 而1977- 1993 年平均海温距平为-128℃。这就是说西风漂流区年平均海温从19511975 年至1977- 1993 年下降了0148℃。图1c 1981 年是个明显的转折点, 在这之前累积曲线呈下降趋势, 海温以负距平为主, 这之后累积曲线呈上升趋势, 海温以正距平为主。1951- 1980 年平均海温距平为0.08℃, 1982- 1993 年为0.21℃, 赤道太平洋年平均海温1981 年后比1981 年前增加了 b 西风漂流区的年平均海温距平(实线) 和累积曲线(虚线) ;
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0 v v j = ∑ v ki v kj = k =1 1
T i p
i≠ j i= j
i≠ j i= j
性质
ZiZ
T j
=
∑z
t =1
n
it
z jt
0 = λ i
i , j = 1,2 ,L , m
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三、分解方法
XX
T
= VZZ V
T
T
A = XX
V AV = Λ
T
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T
A为实对称矩阵，根据实对称矩阵分解原理，一定有或者
k =1 p
i = 1, 2 , L , m t = 1 , 2 , L , n

eof计算步骤

eof计算步骤在数据分析和统计学中，EOF（Empirical Orthogonal Functions）是一种常用的技术，用于分析和描述多变量数据集中的主要空间模式。

通过EOF分析，我们可以确定数据集中的主要变动模式，并提取出最具代表性的空间模式。

本文将详细介绍EOF计算的步骤，并解释每个步骤的专业性。

第一步：数据准备在进行EOF计算之前，首先需要准备数据集。

数据集应该是一个多维数组，其中每一列代表一个空间点，每一行代表一个时间点。

数据集的维度应该是n x m，其中n是时间点的数量，m是空间点的数量。

确保数据集中没有缺失值或异常值，以保证计算结果的准确性。

第二步：数据标准化在进行EOF计算之前，需要对数据进行标准化处理。

标准化可以消除不同变量之间的量纲差异，使得它们在计算过程中具有相同的权重。

常用的标准化方法包括零均值标准化和单位方差标准化。

零均值标准化将每个变量的均值减去整个数据集的均值，单位方差标准化将每个变量除以整个数据集的标准差。

第三步：计算协方差矩阵在进行EOF计算之前，需要计算数据集的协方差矩阵。

协方差矩阵描述了数据中不同变量之间的相关性。

协方差矩阵的维度是mx m，其中m是空间点的数量。

协方差矩阵的元素表示了不同空间点之间的相关性程度，可以通过以下公式计算：C = (1 / (n-1)) * X * X^T其中，C是协方差矩阵，X是数据集的零均值标准化矩阵，X^T是X的转置矩阵。

第四步：计算特征值和特征向量在计算协方差矩阵之后，需要对协方差矩阵进行特征值分解，得到特征值和特征向量。

特征值表示了数据集中的主要变动模式的方差大小，特征向量表示了每个模式的空间分布。

特征值和特征向量可以通过以下公式计算：C * V = λ * V其中，C是协方差矩阵，V是特征向量矩阵，λ是特征值矩阵。

第五步：选择主要模式在计算特征值和特征向量之后，需要选择主要模式。

主要模式是指方差较大的特征值所对应的特征向量。

matlab经验正交函数EOF(转载)

练习：利用[E,V]=eig(C)计算矩阵X 的特征向量和主成分%
X=[2 6 1 5 2; 9 4 0 5 4]; X(1,:)=X(1,:)-mean(X(1,:)); X(2,:)=X(2,:)-mean(X(2,:)); 得到X的距平值：X= -1.20 2.80 -2.20 1.80 -1.20 4.60 -0.40 -4.40 0.60 -0.40 %%% co-variance matrix C=X*X’/5; 协方差阵C= 3.76 0.92 0.92 8.24 [EOF,E]=eig(C); % V: eigenvectors; E: eigenvalues PC=EOF’*X; %% reverse the order E=fliplr(flipud(E)) lambda=diag(E); % retain eigenvalues only EOF=fliplr(EOF) PC=flipud(PC) 得到EOF= 0.19 0.98
对角线上的元素为奇异值)，奇异值与特征根成倍数关
1 • 如果矩阵C = n XX T ，C 的特征根为λ，则有
• 如果矩阵C = XX T ，C 的特征根为λ，则有
√ = nλ； √ = λ；
由于该方法是直接对矩阵X 进行分解，所以对内存的要求远小于方法1。计算速度很快。两种方法对比练习。
显著性检验
-0.98 0.19
得到特征根E= 8.42 0 0 3.58 得到主成分PC= 4.28 0.15 2.07 -2.82
-4.74 1.31
0.94 -1.65
-0.62 1.10
%%check EOF*EOF’ % = I 检查EOF的正交性得到： 1.00 0 0 1.00 PC*PC’/5 % = lambda 检查PC的正交性得到： 8.42 0.00 0.00 3.58 EOF*PC % =X 可以完全恢复X的距平值： -1.20 2.80 -2.20 4.60 -0.40 -4.40

经验正交函数分解

经验正交函数分解1. 定义：经验正交函数分解（Empirical Orthogonal Function Analysis, EOF）是一种利用主成分分析方法对多元时间序列数据进行处理的统计技术。

2. 统计背景：主成分分析是一种在多元数据中寻找统计相互关系的方法。

EOF 是通过将时间序列数据的空间变化分解成正交的空间模态（Empirical Orthogonal Functions, EOFs）来实现的。

3. 数据预处理：数据预处理是使用EOF分析的第一步。

首先，数据必须被不同时间上的样本所收集，且要求在不同的时间点上均匀分布。

这意味着，数据必须具有相同的时间跨度。

4. EOF分析步骤：a. 矩阵标准化：矩阵必须以相同的时间跨度进行标准化，以消除时间数据的影响并使数据更具可比性。

b. 协方差矩阵计算：协方差矩阵描述了变量之间的统计关系。

c. 特征值分解：特征值说明了矩阵的变化程度。

它们被用来确定EOFs的数量和关联的时间序列权重。

d. EOF计算：EOF是一组正交的空间模态。

这些模态是矩阵变化的主要部分。

e. 时间序列权重：时间序列权重描述了各个EOF与原始时间序列的相关性。

5. EOF分析应用：a. 气候学：EOF分析在气候学中广泛用于研究大气和海洋的变化。

b. 地球物理学：EOF分析在地球物理学中用于分析随时间变化的物理场。

c. 生态学：EOF分析可用于分析生态系统的时间序列数据。

d. 工程：EOF分析可用于检测和预测系统中的故障。

e. 经济学：EOF分析可用于对经济数据进行建模和预测。

6. EOF分析限制：a. 缺失值：EOF分析对数据集中的缺失值非常敏感。

b. 个体差异：EOF分析的结果可能因个体之间的差异而发生变化。

c. 数据时序：EOF分析要求数据在时间上均匀分布。

d. 信号噪音比：分析的信号噪音比越小，分析的结果准确度越高。

7. 结论：EOF分析是一种强大的统计技术，能够有效处理多变量时间序列数据。

EOF分析及其应用(教学课件)

分析表明，南亚夏季风的爆发主要体现在降水的突然增加和季风雨带的快速推进上，雨带的时空分布有突变的特点。
第1 模态——降水量的突然增加。第2 模态——从南向北的快速推进过程。第3模态——东西分布型态，及在季风爆发
后印度半岛降水快速增加的过程。第4模态——印度次大陆东海岸降水的准双
周振荡型态。
EOF分析及其应用
中国气象科学研究院
1
一、引言经验正交函数（EOF）方法：最早由统计学家
pearson（1902）提出，由Lorenz（1956）引入气象问题分析中。该方法以场的时间序列为分析对象，由于对计算条件要求甚高，直到20世纪60年代后期才在实际工作中得到广泛应用。近30年来，出现了适合于各种分析目的的EOF分析方法，如扩展EOF（EEOF）方法，旋转EOF （REOF）方法，风场EOF（EOFW）方法，复变量 EOF（CEOF）方法。
z11 z12 z1n
V
v21
vm1
v22 vm2
v2m
vmm
Z
z 21
zm1
z 22 zm2
z2n
zmn
v j (v1j ,v2 j ,,vmj )T
是第j个典型场，只是空间的函数。
6
第t个空间场可表示为
x1t v11
v12
v1m
x2t
19
第1 模态——降水量的突然增加
20
降水量的第2 模态 -从南向北的快速推进过程
21
降水量的第3 模态
东西分布型态，及在季风爆发后印度半岛降水快速增加的过程
22
降水量的第4 模态印度次大陆东海岸降水的准双周振荡型态
23
我国盛夏500 hPa 风场的EOF 分析及其与大尺度气候异常的关系

EOF分析

外，EOF和PC都具有正交性的特点，可以证明
1 n
P
C
× PCT
=
∧；即不同的PC之
间相关为0。E × ET = I。I为对角单位矩阵，即对角线上值为1，其他元素都
为0。这表明各个模态之间相关为0，是独立的。
由上面的计算过程可以看出，EOF分析的核心是计算矩阵C 的特征根和特征向量。计算矩阵特征根和特征向量的方法很多，下面具体给出Matlab中进行EOF分析的两种不同的方法。具体步骤可参考下面两个框图中的实例。
原理与算法
• 选定要分析的数据，进行数据预处理，通常处理成距平的形式。得到一个数据矩阵Xm×n
• 计算X与其转置矩阵XT 的交叉积，得到方阵
Cm×m
=
1 n
X
×
XT
如果X是已经处理成了距平的话，则C称为协方差阵；如果X已经标准化(即C 中每行数据的平均值为0，标准差为1)，则C 称为相关系数阵
方法1：调用[EOF,E]=eig(C)，其中EOF为计算得到的空间特征向量，E为特征根。然后计算主成分P C = EOF T × X。需要指出的时，当数据量很大时，例如分析高分辨率的资料(如1km分辨率的NDVI资料)，空间范围很大维数m很容易超过数万个点，则矩阵C 的维数是个巨大量，需要占用大量内存，也会导致计算速度异常缓慢。而且很可能超出计算机的计算极限而死机。
需要指出的时当数据量很大时例如分析高分辨率的资料如1km分辨率的ndvi资料空间范围很大维数m很容易超过数万个点则矩阵c的维数是个巨大量需要占用大量内存也会导致计算速度异常缓慢
A.7 EOF分析
经验正交函数分析方法(empirical orthogonal function, 缩写为EOF)，也称特征向量分析(eigenvector analysis)，或者主成分分析(principal component analysis,缩写PCA)，是一种分析矩阵数据中的结构特征，提取主要数据特征量的一种方法。Lorenz在1950年代首次将其引入气象和气候研究，现在在地学及其他学科中得到了非常广泛的应用。地学数据分析中通常特征向量对应的是空间样本，所以也称空间特征向量或者空间模态；主成分对应的是时间变化，也称时间系数。因此地学中也将EOF分析称为时空分解。