小学数学《数字谜与数阵图》练习题(含答案)

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小升初奥数思维训练第3讲：数字谜、数阵图、幻方(拓展训练)(含答案解析)

7.如图是一个三阶幻方，那么标有＊的方格中所填的数是多少？
【答案】22.5
【解析】
【分析】此幻方给出的已知条件比较少，中心数与幻和均未知，但是观察发现第一行与第一列除共同的数字外只有一个未知，考虑使用幻方性质7解决．
幻方性质7：具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等，可知1+G=8+10，所以G为17，再根据幻方性质3可将中心数填出．
很明显，a3中应该填入最小的数1.2，a2、a4中应该填入次大的2.9和3.7，a1、a5中填入4.6和6.5，这样三角数等于3.1．
4.将1～6填入右图的六个○中，使三角形每条边上的三个数之和都等于k，请指出k的取值范围．
【答案】
k=9 k=10 k=11 k=12
【解析】
【分析】此题属于典型数阵图填空，利用数字和全部相加的方法，找出每一个数字的相加次数，列出等式进行分析取值．
【详解】a+b+c最小为1+2+3=6，此时k=9，最大为4+5+6=15，此时k=12，那么k可等于10，11，对应a+b+c=9和12，可取1，3，5和2，4，6，经过尝试四种结果如下：
【详解】数字分组进行尝试：将全部数字分为三组，注意7，8，9必须分在不同组，无唯一分法，例如（951），（843），（762），又观察可知必须从每一组选一个组成数字和为15，可选择为（942），（537）（186），调换顺序可下列两种答案：
【点睛】一共六个要求相等的数字和，而每一个数字都相加两次，无特殊数字．列出等式为6S＝（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2 解出S＝15．将九个数字分为三组，每组三个数字和为15．

三年级下册数学试题-思维训练：数阵图与数字谜(含部分答案)全国通用

数阵图与数字谜知识要点1．有一种数阵图，它们的特点是从一个中心出发，向外作了一些射线，我们把这种数阵图叫做辐射型数阵图。

填辐射型数阵图的关键是确定中心数以及每条线段上的几个数的和，然后通过对各数的分析，进行试验填数求解。

2．有一种数阵图，它的各边之间相互连接，形成封闭图形，我们称它们为封闭型数阵图。

填这样的图形，主要是顶点数字，抓住条件提供的关系式，进行分析，用试验的方法确定顶点数以及各边上的数字之和，最后填出数阵图。

3．有的数阵图既有辐射型数阵图的特点，又有封闭型数阵图的要求，所以叫做“复合型数阵图”。

我们在思考数阵图问题时，首先要确定所求的和与关键数间的关系，再用试验的方法，找到相等的和与关键数字。

数阵图的解题关键是找”重复数”。

通常的步骤为：⑴观察图表共有几个和⑵找和，思考每个数被加过几个⑶利用整除求重复数例1把1～6这6个数填入下图的○内，使每条直线上3个数的和为9，怎样填？【拓展】如图“好、朋、友、伙、伴、帮、手”这7个汉字分别代表1～7这7个数字。

已知条直线上的3个数相加、2个圆周上的3个数相加，所得的5个和相同。

那么，“好”字代表多少？将1，4，7，10，13，16，19，22，25这9个数分别填入下图的9个○中，使三条边上○中的四个数的和都相等，每条边上四个数的和最大是_____。

弄清楚加减法各部分之间的数量关系是学习数字谜的基础。

1．审题，审题就是找出算式中数字之间的关系和特征，挖掘题目中的隐含条件，它是确定各空格内应该填什么数字的主要依据。

2．选择解题突破口：在审题的基础上，认真思考找出算式中容易填出或关键性的空格，做为解题的突破口，这一步是填空格的关键。

3．确定各空格填什么数字：从突破口开始，依据竖式的已知条件，逐个填出各空格中的数字。

突破口：⑴首位、末分析法；⑵进位、退位分析法；⑶奇偶性分析法；⑷数位分析法；⑸整除。

下式中，不同的字母表示不同的数字，那么ABC表示的三位数是() 例3例2知识要点左式中，不同的符号表示不同的数字，那么◎＋△＋◇＝_____在下面的竖式的各个方框中填上适当的数字，使竖式成立。

小学数学《数字谜》练习题(含答案)

小学数学《数字谜》练习题（含答案）内容概述数字谜这类题目往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型，因此要求同学们能够很好地掌握上述知识点，并加以灵活运用。

数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜。

横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜；竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等。

例题分析【例1】（☆☆）请在下列各式中分别插入一个数字，使之成为等式：⑴ 111111111111=⨯⨯⑵ 377377377773=⨯⨯分析：⑴ 1221111111=⨯⨯， 1001111111111⨯=⨯⨯=711111111911311⨯⨯=⨯，说明需要改动的数应在等式左边，所以应将等式左边的1改成91。

⑵ 37777131001377377377⨯⨯=⨯=，所以应将等式左边的3改成13。

【例2】（☆☆）在下面的四个□中填入同一个数，使得“迎”、“新”、“世”、“纪”四个字所代表的各数之和等于2000。

那么□中应填多少？□－1=迎，□＋9=新，□×9=世，□÷9=纪分析：设“纪”所代表的数为x ，那么□=9x ，迎=9x -1，新=9x +9，世=9x ×9=81x ，根据题意有9x-1+9x+9+81x+x=2000，整理得1992100=x ，92.19=x ，那么□28.179992.19=⨯=。

【例3】（☆☆）如图，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数，已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。

图中已填入3，5，8和x 四个数，那么x 代表的数是。

分析：竖列上任意三个相邻数之和为21，就是竖列上任意三个相邻数都是由三个同样的数组成(只不过顺序不同)，这样我们可把“3”向下每隔两格地“移动”，由此得出中间的一格应填21-3-8=10。

五年级计算数阵图与数字谜学生版

数阵图与数字谜知识要点解决数阵类问题可以采取从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点(或方格)和关键点(或方格)；第二步：在数阵图的少数关键点(一般是交叉点)上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试．这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用．数字谜问题往往综合了数字的整除特征、质数与合数、分解质因数、个位数字、余数、分数与小数互化、方程、估算、找规律等题型，因此要求同学们能够很好地掌握上述知识点，并加以灵活运用．数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜．横式数字谜经常和数论里面的知识结合考察，有些时候也可以转化为竖式数字谜；竖式数字谜通常有如下突破口：末位和首位、进位和借位、个位数字、位数的差别等．数字谜的常用分析方法有：个位数字分析法、高位数字分析法、数字大小估算分析法、进位错位分析法、分解质因数法、奇偶分析法等．数论知识【例1】（第一届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛决赛一试）如图，4个小三角形的顶点处有6个圆圈。

如果在这些圆圈中分别填上6个质数，它们的和是20，而且每个小三角形3个顶点上的数之和相等。

问这6个质数的积是多少？【例2】一个整数乘以13后，乘积的最后三位数是123，这样的整数中最小的是多少？【例3】红、黄、蓝和白色卡片各一张，每张上写有一个数字。

小明将这4张卡片如图放置，使它们构成一个四位数，并计算这个四位数与它的数字之和的10倍的差。

结果小明发现，无论白色卡片上是什么数字，计算结果都是1998。

问：红、黄、蓝3张卡片上各是什么数字？蓝白黄红【例4】如图算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字，请求出这个算式。

春夏秋冬四季季年年年年年年【例5】将1~9分别填入这九个区域，使得每个圆里的数字和相等。

【例6】已知76⨯=⨯，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，求ABCXYZ XYZABCABCXYZ是多少？【例7】三位数AAA乘三位数AAB等于六位数CCCDDD，求A，B，C，D分别是多少？【例8】（第二届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛复赛）试将1，2，3，4，5，6，7分别填入下面的方框中，每个数字只用一次：（这是一个三位数）、（这是一个三位数）、（这是一个一位数），使得这三个数中任意两个都互质。

17.数字谜2(数阵图初步)

3年级数字谜2（数阵图初步）数学游戏将1至6分别填入右图中的圆圈内, 使得图中三角形每条边上三个数的和都等于10. 现在已经填好了其中三个, 请你在图中填出剩下的数.例题例1、将1至9分别填入右图中的圆圈内, 可以使得图中所有三角形(共七个)的三个顶点上的数之和都等于15.现在已经填好了其中三个, 请你在图中填出剩下的数.例2、在右图中的八个圆圈内分别填入八个不同的自然数. 使得正方形每条边上三个数的和相等. 现在如果已经填好了五个数, 那么每条边上各数之和应该是多少? 并将其补充完整.例3、小悦是8月11日15点整出生的, 她想把1，2，3，4，5，6，7这七个数填入图4-18的七个方框里, 每个数只填一次, 使三条直线上的三个数之和恰好是8，11，15. 问：在圆上的三个数的乘积最大可能是多少?例4、把1至8分别填入右图的八个圆圈内, 使得任意两个有线段直接相连的圆圈内的数字之差都不等于1.课堂练习练习1、如图,在正方形的空格里填上适当的数,使每一横行,竖行,斜行的三个数相加的和都是18.练习2、在图中九个圆圈中分别填入九个不同的自然数, 使得图中六条直线上的三个数之和相等. 现在已经填入五个数, 请将其补充完整.练习3、把2、3、4、5、6、8、9、15、17、32这十个数填入下图的圆圈中, 使得除第一行之外的每个圆圈中的数都等于它上面的两个数之和.练习4、把1至7这七个数分别填入右图中各圆圈内, 使每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等. 如果中心圆内填的数相等, 那么就视为同一种填法. 请写出所有可能的填法.数学思想、方法小结1. 俗话说：“射人先射马，擒贼先擒王”. 在很多数阵图中,都有一些位置是关键的位置,有一些数是关键的数, 分析这些关键的位置和关键的数往往是解决问题的突破口.2. 数量的性质：两个等量加上同一个量，和相等；两个等量减去同一个量，差相等.口诀：等量加等量，和________；等量减等量，差________.课后练习得分__________________1、在右图中的三个圆圈内填入三个不同的自然数, 使得三角形每条边上的三个数之和都等于11.2、在右图中的四个圆圈内填入合适的自然数, 使得正方形每条边上的三个数之和都等于14.3、如右图所示, 请在三个空白圆圈内填入三个数, 使得每条直线上三个数之和都相等.4、把1~12这十二个数分别填入六角星图案的十二个圆圈中, 使得每条线段上的四个数之和相等. 现在如图已经填好了八个数, 请把数阵图补全.5、将1～7这七个自然数, 分别填在图中的圆圈内, 使得每条直线上的三个数的和都相等.【思考题】把1~8这八个数填入下面“十一”图形的八个空格内, 使得每一条直线上的三个数之和都相等.个性化补充练习。

数字谜综合数阵图和竖式数字谜

习=5，好=4，学=9
2.3位数分析
一个三位数乘以一个三位数，结果可能是五位数或者六位数，根据乘积的位数就能判断出乘数的大小。
x
=
x
= 5568
例题1
将0至8这九个数字填入下面的方框内，使这个算式的结果最大
876 5—34 x1 02
要差最大？被减数要怎么样？减数要怎么样？
差最大被减数要最大减数要最小
横式数字谜
横式加减法数字谜可以转化成竖式数字谜来解决，相对而言比较简单。二横式乘除法数字谜语四十数字谜则有这明显区别，常常要用到数论方面的知识。
在横式乘除法数字谜中，尤其盈注意运用整除的知识。
比如：迎杯x春杯=好好好
37×27=999
方法总结:小结---数阵图
1.如果数•阵1.图如果中数有阵若图干中个有相若等干的个和相，等可的以把其中某几个和和累，加可在以一把起其，中或某者几比个较和有累公加共在部分的两个相等的一和起。，或者比较有公共部分的两
ABCD
x
9
DCBA
位数乘九后仍得四位数
第一个因数的首位（即A=1）积的首位（即D＝9）百位（即B），B不可能大于2，
否则会向前一位进位，积变为五位数。B只可能为0。算式变为10C9×9＝9C01。积的十位是0，减去个位进上来的8 得2，八九七十二，C为8。最终算式为1089×9＝9801 结果：A＝1，B＝0，C＝8，D＝9。
(2)、解字谜
ABCDEF
x
3
BCDEFA
（3）选讲：
在下面除法竖式的方框内填入适当的数字，使竖式成立
36
9 3 32 27 62 54
8
8<26 余数小于除数，所以除数是8+1=9，所以这个三位数为 36×9+8=332

六年级奥数优胜教育第12讲：数字谜与数阵图含答案

第十二讲数字谜与数阵图例1:将2、3、4、5、6、8、11、12这8个数填在图1的□中，使它们组成图1中的4个等式。

例2:将1~11填入图2内，使相邻两个或三个数字组成的横竖斜行的和为14。

例3: 9○13○7=100 21○7○2=□把“+、-、×、÷”分别填在适当的圆圈中（运算符号只能用一次），并在方框中填上适当的整数，使上面的两个等式成立。

例4:由1，2，3…，9组成如下算式，已给出四个数字，请补上其他数字。

例5:把下面的算式补充完整。

例6:把下面除法算式中缺少的数字补上。

A1.在内填入适当的数字，使下列加法竖式成立：2.在内填入适当的数字，使下列加法竖式成立：3.在图中空格里填入适当的数字，使竖式成立．4.在图6-11的方框内填入适当数字，使减法竖式成立．8 8 2+22 85.补齐下边的算式。

B6.如图是一个加减混合运算的竖式，在空格内填入适当数字使竖式成立．7.在如图所示的算式里，4张小纸片各盖住了一个数字．那么被盖住的4个数字总和是多少？8.□□□+□□□=1492，方块内所填数字的总和最大为多少？9. □▲+▲▲=□□●，相同符号代表相同数字，不同符号代表不同数字，请问算式的和为多少？10.用1至9这9个数字可以组成一个五位数和一个四位数，使得两数之差是54321，请将图6-14中的空格补充完整．C11.在下面的式子中添入括号（大、中、小括号都可），使计算出来的结果最大：（1）（17-2-5）（3+10）-2-4 最大的结果是。

2 73668-（2）（1+2）⨯（3+4）÷（5-4）⨯[3-（2-1）] 最大的结果是。

12.在下面的数之间添上适当的运算符号或括号，使等式成立。

÷9 = 209+9 +（9 + 9）1 ⨯（2+3 -4）= 11 -2 +3 +4 -5 = 11 ⨯（2 + 3）⨯ 4 ⨯ 5 = 10013.在下面错误的式子里加上括号，使其正确5 + 7⨯8 + 12÷4 -2 = 205 + 7⨯8 + 12÷4 -2 = 1025 + 7⨯8 + 12÷4 -2 = 255 + 7⨯8 + 12÷4 -2 = 12014.在下面算式中合适的地方添上运算符号，使算式成立。

小学数学《数字谜》练习题(含答案)

数字谜一般分为横式数字谜和竖式数字谜。

⑵ 37777131001377377377⨯⨯=⨯=，所以应将等式左边的3改成13。

【例2】（☆☆）在下面的四个□中填入同一个数，使得“迎”、“新”、“世”、“纪”四个字所代表的各数之和等于2000。

【例3】（☆☆）如图，横、竖各12个方格，每个方格都有一个数，已知横行上任意三个相邻数之和为20，竖列上任意三个相邻数之和为21。

图中已填入3，5，8和x 四个数，那么x 代表的数是。

小学数学《数阵图与数字谜》练习题

小学数学《数阵图与数字谜》练习题数阵图数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵. 幻方是特殊的数阵图，一般地，将九个不同的数填在3×3（即三行三列）的方格中，使每行、每列、及二条对角线上的三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方. n 阶幻方的定义与三阶幻方相仿！【例1】（1）将九个数填入下图（1）的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k ，则中心方格中的数必为3k .请你说明理由！（2）将九个数填入下图（2）的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有：2a b e +=.请你说明理由！（3）将九个数填入下图（3）的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有：2a b c +=.请你说明理由！【例2】在右图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的八个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21 .【例3】将1，3，5，7，9，11，13，15，17填入3×3的方格内，使其构成一个幻方. 【例4】右图是一个四阶幻方，请将其补全：【例5】右图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志. 请将1～9分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等.【例6】将1～7这七个自然数分别填入右图的七个○内，使得三个大圆周上的四个数之和都等于定数，指出这个定数所有的可能取值，并给出定数为13时的一种填法.【例7】在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除.数字谜【例8】将0～9中的8个不同的数字分别用a、b、c、d、e、f、g、h替换．在替换规则+=，如上面4个式子中，“+”、“×”、下：g×g=db，g×c=bd，g×f=ef，ag b eh⨯的“=与平常算术中相应的符号意义相同，而且也是十进位制．在这种替换规则下，ca e数值等于 .【例9】在下面的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把下面汉字算式翻译成数字算式．【例10】在右面的□内，各填一个合适的数字，使算式成立．【例11】□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小：练习十一1．在左下图的每个空格中填入一个数字，使得每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等.2．用2，4，6，12，14，16，22，24，26九个偶数编制一个幻方.3．在下列各图的每个方格中都填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的四个数字都是1，2，3，4.4．下面是三个数的加法算式，每个口内有一个数字，则三个加数中最大的是 .5．右面式中不同的汉字代表不同的数字，问：“数学好玩”表示的四位数是多少?。

五年级数学培优：数阵图、数字谜(含解析)

五年级数学培优：数阵图、数字谜（含解析）将1~11填入图中的○内，使得每条线段上的三个圆圈内数字之和等于22.知识概述1.数阵图的一般解题思路：由于数阵图中没有填充之前各个数的位置无法确定，从每一个单个数上无法进行判断，所以我们采用的是整体与个体相结合考虑的方法，即利用所有相关数和全部相加进行分析.2.数字谜：①数字谜介绍：数字谜从形式上可以分成为横式数字谜与竖式数字谜，从内容上可以分为加减乘除4种数字谜，横式数字谜一般可以转化为竖式数字谜.②数字谜常用的分析法介绍解决数字谜问题最重要的就是找到突破口，突破口你的寻找是需要一定得技巧性，一般来说，首先是观察题目中给出数字的位置，同时找出涉及这些已知数字的所有相关计算，然后根据各种分析法进行突破，突破的顺序一般是三位分析法（个位分析，高位分析和进位借位分析）另外加入三大技巧（估算技巧——结合数位，奇偶分析技巧和分解素因数技巧）等、而且一般应该先从涉及乘法的地方入手，然后在考虑加法后减法的分析（并不完全都是这样）.例1数阵图与数字谜这类问题在历届杯赛中经常出现，属于各大杯赛的高频考点，因为这类题是正确率很高的题目，所以要想取得好成绩，必须掌握这类题型的解题方法. 名师点题【解析】首先求出数阵图中关键位置的数，在数阵图的中间位置，是：（22×5-66）÷4=11，剩下的数从下到大排列，首尾配对即可：1配10，2配9,，3配8，4配7，5配6.在下图中填9个数，使每行、每列、对角线上的三个数的和都相等.那么b处应该填入的数是（）.【解析】这是一个三阶幻方，每行、每列、每条对角线上三个数的和相等，我们称这个相等的和是幻和，幻和是中央的数的3倍，幻和=3b=1.9+b+0.9= 2.8+b，进而得到2b=2.8，b=1.4.在右边的算式中，相同的符号代表相同的数字，不同的符号代表不同的数字，根据这个算式，可以推算出：△□□〇+〇□□△□□☆☆那么：口+○+△+☆=_________.【解析】比较竖式中百位与十位的加法，十位上“□+□”肯定进位，（否则由百位可知□=0），且有“□+□+1＝10+□”，从而□=9，☆=8.例3例2再由个位加法，推知○+△=8.从而口+○+△+☆=9+8+8=25.【巩固拓展】1.将从8开始的11个连续自然数填入下图中的圆圈内，要使每边上的三个数的和都相等，a共有（）种填法.【解析】由于每边上的三个数字和都相等，设每边和为S，从整体考虑将其全部相加和为5S，从个体考虑，除中间数加了5次外，其他数均加了1次，可看作8至18均加了1次，中间数a多加了四次，表示为（8+9+......+18）+4a，列出等式为5S=（8+9+ (18)+4a，化简为5S=143+4a，要使等式成立，4a的末位必须为2，得出三种答案，8，13，18.2.将1-12这十二个自然数分别填入下图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为__________.【解析】由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为S，把所有6条直线上的四个数之和相加，得到总和为6S；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍.所以，6(12312)2S=++++⨯，得到S=26，即所求的相等的和为26.3.在右边的竖式中，相同字母代表相同数字，不同字母代表不同数字，则四位数tavs=______.s t v av t s tt t v t t+【解析】首先可以判断t=1，所以s+v=11，v=t+t+1=3，可解得s=11-3=8，又因为a+t=t，所以a=0，1038tavs=.将自然数1、10、19、28、37、46、55分别填人右图中的七个方框中，使每条直线上的三数之和与每个圆周上的三数之和都相等．那么圆心上的那个数应该填多少？【解析】圆心上的数属于三条直线，其余数都属于一条直线一个圆周，所以除中心的数被计算3遍外.其余数都被计算2遍.由()11019283746552392++++++⨯+=+中心数中心数，应是5的倍数，推知中心数为28.【巩固拓展】将3、5、7、11、13、17、19、23、29这9个数分别填人右图的9个○中，使3条边上的○中的数之和都相等.请分别求出满足上述条件的最大的和与最小的和.例1【解析】设三个顶点○内所填的数为a、b、c，每条边上的和为K，三个顶点上的数在求和时各用了2次，所以条边上的三数之和相加得()()3571113171923291273a b c a b c K+++++++++++=+++=；由于所得的和必须能被3整除，而1273421÷=，所以()a b c++的和应被3除余2，a b c++的最小值是571123++=，最大值是29231971++=，所以K的最小值是()12723350+÷=，最大值是()12771366+÷=.请将1～9这9个数填入右图3×3表格中，使得第1,2行三数的乘积分别是70，24，第l、2列三数的乘积分别是21、72.【解析】因为70=2×5×7，21=1×3×7，所以A=7，D等于2或5，因为D×E×F=72，72不能被5整除，所以D为2，72=2×4×9，即E为4或9，且B×E×H=24.24不能被9整除，所以E为4，24=1×4×6，也就是B=1，H=6，剩下的数易得.最后结果为：F IHGEDCBA986542317【巩固拓展】能否在8行8列的方格表的每个空格中（如图），分别填入1、2、3这三个数字中的任一个，使得每行每列及对角线AC、BD上的数字和互不相同？对你的结论加以说明.例2【解析】不可能.这里一共有8行、8列、2条对角线，每行每列及对角线AC、BD上的数字和互不相同，所以数字和一共有8+8+2=18（个）；又根据题目要求，每行、每列及对角线的8个数的和最小取值是8×1=8，最大为8×3=24，8到24一共有17个数.17＜18，所以不可能实现每行每列及对角线AC、BD上的数字和互不相同.将1、2、3、4、5填入5×5的正方形表格的小方格中，使每个数字在每行、每列、每条对角线上都只出现一次，其中部分数字已经填出，请按照以上要求填写其他小方格.【解析】①根据唯一解法，可以快速得到第四行第一列填5；②观察第5列，可知第5行第5列方格中不能填4、5（根据列摒除法）；再观察从左上至右下的对角线，可知第5行第5列方格中不能填1、3（根据对角线摒除法）.那么根据唯一解法，可以确定第5行第5列方格中填2；③对两条对角线进行分析，可以确定第3行第3列方格中只能填4；④再根据唯一解法确定第2行第2列方格中填5；⑤接着可确定第2行第4列方格中填2，第5行第1列方格中填3；至此我们已经填出第1行、第4行、两条对角线上的所有方格中的数字，根据以上解题思路，可以顺势得出其他方格中的数字，最终的问题答案如下：例3【巩固拓展】如右下图，9个3×3的小方格表合并成一个9×9的大方格表，每个格子中填入1-9中的一个数，每个数在每一行、每一列中都只出现一次，并且在原来的每个3 3的小方格表中也只出现一次，10个“☆”处所填数的总和是.【解析】①先确定第6列4个☆的和：（1+2+3+…+8+9）-（1+9+8+4+2）=21；②确定第2层第3宫（9宫格）4个☆的和：（1+2+3+…+8+9）-（3+4+5+6+9）=18；③确定第1行第8列☆：观察所在行、所在列、所在宫，可以确定是5；④确定第3行第1列☆：观察所在行、所在列、所在宫，可以确定是2；所以10个“☆”处所填数的总和是：21+18+5+2=46.将1、3、5、7、9填入等号左边的5个方框中，2、4、6、8填入等号右边的4个方框中，使等式成立，且等号两边的计算结果都是自然数，这个结果最大为.□÷□+□+□□＝□÷□+□□例4【解析】因为左边必是奇数，所以右边最大值为87.（否则为88），经过尝试，得3÷1+5+79=6÷2+84【巩固拓展】请在算式1111⨯=⨯中填入不同的四个数字，使等号成立.【解析】在10-19这10个数中，剔除质数后只剩下6数，通过尝试可得到10×18=12×15.在右边的乘法算式中，字母A 、B 和C 分别代表一个不同的数字，每个空格代表一个非零数字.求A 、B 和C 分别代表什么数字.941A B CA B C⨯【解析】第一个部分积中的9是C×C 的个位数字，所以C 要么是3，要么是7，假设C =3，第二个部分积中的4是积3×B 的个位数字，所以B =8.同理，第三个部分积中的1是积3×B 的个位数字，因此A =7.如果C =7，类似地可知B =2，A =3，但这时第二个部分积不是四位数，因此C ≠7.【巩固拓展】在下图中的除法竖式中，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，那么被除数DEFGF 是多少？例5【解析】显然的D=1，由AB×A=IF可知，A不会超过3，否则得到的乘积应该是3位数，如果A=3，那么B也不能超过3，所以B只能是2，这样的AB×B=32×3=96与AAH矛盾，所以A≠3，所以A=2，根据AB×B=AAH，可以尝试出B=8时，等式成立，得到这些条件既可依次求得：I=5，F=6，E=0，G=9，所以被除数DEFGF是10696.（第十一届中环杯初赛试题及答案）从1至13中选出12个自然数填入3×4的方格中，使每横行四数之和相等，每竖列三数之和也相等（横行的和没有必要与竖列的和相等）.【解析】因为1+2+…+13=91，从中去掉一个数后应该能够被3以及4整除，即能被12整除.由于91÷12=7…7，应该去掉7，所有数的和为84.这样，每个横行的数字之和为84÷3=28，每个竖列的数字之和为84÷4=21.进一步分析可知，六个奇数必须有三个在一列，另外三个在另外一列.三个奇数和为21的，只有1+9+11和3+5+13两组，填好奇数，剩下的数就好填料.典型的两组答案（其余的答案均由这两个答案交换行列得到）如下：1 13 4 10 3 112 12例1如图大、中、小三个正方形组成了8个三角形，现在把2、4、6、8四个数分别填在大正方形的四个顶点；再把2、4、6、8分别填在中正方形的四个顶点上；最后把2、4、6、8分别填在小正方形四个顶点上：（1）能不能使8个三角形顶点上数字之和都相等？（2）能不能使8个三角形顶点上数字之和各不相同？如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由.【解析】（1）不能．如果这8个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于S.考察外面的4个三角形，每个三角形顶点上的数的和是S ，在它们的和4S 中，大正方形的2、4、6、8各出现一次，中正方形的2、4、6、8各出现二次.即()42468360S =+++⨯=.所以S=60÷4=15.但是三角形每个顶点上的数都是偶数，和不可能是奇数15，因此这8个三角形顶点上数字之和不可能相等.（2）能，下图是一种填法.8个三角形顶点数字之和分别是：8、10、12、14、16、18、20、22.248668862244（第十二届中环杯试题）如图，纸片盖住了乘法算式的所有数字，但是已知每一个被盖住的数都是质数，那么积的个位数是（）【解析】积的个位数等于两个因数的个位数积的个位数；一位质数有2、3、5、7；2×3=6，2×5=10，2×7=14，3×5=15，3×7=21，5×7=35；其中符合积的个位数也是质数的只有3×5=15或5×7=35，故积的个位数是5.在下面的乘法算式中，“数”、“字”、“谜”各代表一个互不相同的数字，求这个算式.⨯数字谜数字谜谜谜谜谜谜【解析】这是集数字谜和填空格于一体的数字问题，从题面上看，提供的信息较少，“谜”所在的位置较多，紧紧抓住“谜”所在的位置特点，逐一突破.由“⨯=数字谜谜谜”可知“谜”≠1，因此“谜”=5或6.例4例3（1）若“谜”=5，“⨯=数字谜数”的乘数的百位数字必须大于3且小于等于5，所以“数”=2，由于“⨯=数字谜字谜”，可知“255⨯=字字”，“字”是单数且小于5，故“字”=1或3，当“字”=1时，21521546225⨯=，不符合条件，当“字”=3时，23523555225⨯=，符合题意.（2）若“谜”=6，同理，“⨯=数字谜数”的乘积的百位数字必须大于4且小于等于6，所以“数”=2，由266⨯=字字，可知“字”=1，但21621646656⨯=，不符合条件.所以满足条件的算式是：23523555225⨯=.下面两个算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字.⨯=美妙数学数数妙，美+妙数学=妙数数.=美妙数学___________【解析】由⨯=美妙数学数数妙知，“美”不为1，且“美”×“妙”＜10，所以“美”≥2，“秒”≤4，“美”+“学”=“数”；1）当“秒”=1，根据“美”×“学”的个位数为“妙”，可知，“美”、“学”为3和7，此时“美”+“学”=10，但题目中“美”+“学”=“数”＜10，所以“妙”不等于1；2）当“妙”=2，根据“美”×“学”的个位数为“妙”，可知，“美”、“学”为3和4，或者4和8，但4+8=12＞10，所以“美”、“学”为3和4，“数”=3+4=7，但274×3=822，积出现重复数字2，不合要求，273×4＞1000也不合要求.3）当“妙”=3，根据“美”×“学”的个位数为“妙”，可知“美”、“学”为7和9，“美”+“学”＞10，不合要求.4）当“妙”=4，根据“美”×“学”的个位数为“妙”，可知“美”、“学”为7和2，或者6和9，又“美”+“学”＜10，所以“美”、“学”为7和2，“数”=7+2=9.497×2=994，合乎要求.因此，2497=美妙数学【练习1】在5×5方格表的空白处填入1-5中的数，使得每行、每列、每条对角线上的数各例5不相同？【解析】先确定右下角的方格，只能填“2”；左下角只能填3，最下一行只能是3、4、5、1、2.其他方格不难填成，结果如下图.【练习2】下图中有五个正方形和12个圆圈，将1-12填入圆圈中，使得每个正方形四角上圆圈中的数字之和都相等.那么这个和是多少？【解析】设每个正方形四角上圆圈中的数字之和为x，则由5个正方形四角的数字之和，相当于将1-12相加，再将中间四个圆圈中的数加两遍，可得()++++=，x x121225 x=，具体填法如：26758649112310121【练习3】下图中有三个正三角形，其中有三条通过四点的线段.请你把1~9这九个自然数分别填在九个黑点的旁边，使每个正三角形顶点上三个数的和相等，每条线段上四个数的和也相等.【解析】每个正三角形顶点上三个数的和：（1+9）×9÷2÷3=15每条线段上四个数的和：[（1+9）×9÷2+15]÷3=20根据以上结论可以得到如下填法（答案不唯一）：【练习4】如下图所示，A B C D E F G H I J、、、、、、、、、表示0-9这10个各不相同的数字.表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“G+C=14”.请将表中其它的数全部填好.A B C D E F G H I J+56771414【解析】由于A+F=5，B+F=14，所以B-A=14-5=9，所以A 和B 只能是0和9.因此可以推出：A=0，B=9，C=6，D=3，E=2，F=5，G=8，H=1，I=4，J=7.可得下图.1013101041731694113107711881114147765+JI H G FE D C B A【练习5】电子数字0-9如图所示，右图是由电子数字组成的乘法算式，但有一些模糊不清，请将右图的电子数字恢复，并将它写成横式形式：______________________.【解析】（1）显然乘积的百位只能是2；（2）被乘数的十位和乘数只能是0、2、6、8，才有可能形如，0首先排除；（3）如果被乘数十位是6或8，那么乘数无论是2、6或8，都不可能乘出百位是2的三位数.所以被乘数十位是2，相应得乘数是.（4）被乘数大于25，通过尝试得到符合条件的答案：28×8=224.【练习6】下面式中不同的汉字代表不同的数字，问：“数学好玩”表示的四位数是多少?【解析】由积的千位数知“数”=1，由积的十位数知“学”=0，由积的百位数知“玩”=9.竖式化简为下式.由于“1真”×9= “10好”，所以“真”=2，“好”=8，“啊”=6.所以，“数学好玩”=1089.【练习7】在□中填入恰当的数字使算式能够成立.2【解析】①这个除法算式从相除的过程可以看出，商数的十位和千位均为0；②除数的2倍是一个三位数，而除数与商的万位相乘，积为两位数，可知商的万位数字为1，同样可知商的个位数字也为1，即商为10201；③又一个两位数的两倍必小于200，故第一次剩余（即被除数的前三位与除数之差）为1.而一个三位数与一个两位数之差为1，只能是100-99=1，故被除数前三位为“100”，而除数为99，由此可知，被除数为99×10201=1009899.。

小学数学五年级《数阵、数字谜综合》练习题(含答案)

《数阵、数字谜综合》练习题（含答案）解决数阵类问题可以从局部到整体再到局部的方法入手：第一步：区分数阵图中的普通点（或方格），和关键点（方格）；第二步：在数阵图的少数关键点（一般是交叉点）上设置未知数，计算这些关键点与相关点的数量关系，得到关键点上所填数的范围；第三步：运用已经得到的信息进行尝试.这个步骤并不是对所有数阵题都适用，很多数阵题更需要对数学方法的综合运用.Ⅰ、数阵问题【例1】（★★★）如图，大三角形被分成了9个小三角形．试将1，2，3，4，5，6，7，8，9分别填入这9个小三角形内，每个小三角形内填一个数，要求靠近大三角形3条边的每5个数相加的和相等，问这5个数的和最大可能是多少?分析：第一步：确定关键区格，计算三条边时，其中有3个角上共6个区格内的数被重复计算了2遍，而位于每条边中心位置的区格值计算了一次.第二步：由于，边上的三个数分别计算了1遍，因此（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2再减去三个边上的数，所得应该为3的倍数，当三条边上的三角形中分别填入1、2、3时，这个和取得最大值，各条边上的和也取得最大值28.第三步：通过试验得到可行的填法：【例2】（★★）把1，2，3，…，13这13个数分别填在下图所示的3个圆圈内，使得同一个圆圈内任意两个数相减，所得的差不在这个圆圈内．现在已经把1，4，7填在第一个圆圈内，3填在第三个圆圈内，请将其余9个数填好．31 4 7_5_4_6 _7_8_9_3 _2_12 11 125 6 8 910 1331 4 7分析：第一步：由已知可推出6只能填在中间的圆中.第二步：由已经填的数可以得到：2、5、8、11不能出现在第一个圆中，且（2、8）和（5、11）不能在第二个圆中成对出现，（2、5）（5、8）（8、11）不能在第三个圆中成对出现，判断5和8的位置的各种情况，可以得出5、8只能都填在在第二个圆中，2、11填在第三个圆中.第三步：判断其余几个数的位置关系：13只能填在第一个圆中，9只能填在第二个圆中，12只能填在第三个圆中，10只能填在第一个圆中.【例3】（★★★）请在下图的每个圆圈内填入不同的自然数，使得图中每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和．分析：第一步：由于每个圆圈中所填的数都是上一行与它相邻的两个圆圈中所填数的和，所以只要填出这四个数字就能得到其他圆圈中所填的数.如果第一行填入的是x 、y 、z 、w ，则20=x+w+3（y+z ），所以y+z 不超过6（事实上不超过5，此处可以讨论一下）.第二步：由于y+z 的和不超过5所以，y 和z 只可能为1和2，1和3，1和4，2和3,通过尝试可以得到不止一个答案，下面的答案是其中一个.20911638421720[前铺]把1．2，3．7，6．5，2．9，4．6分别填在下图的5个圆圈内，然后在每个方框中填上和它相连的3个圆圈中的数的平均值，再把3个方框中的数的平均值，再把3个方框中的数平均值填在三角形中．请找出一种填法，使三角形中的数尽可能小．问这个最小的数是多少?分析：设个小圆中的数依次为a1、a2、a3、a4、a5，则三个正方形中的数依次为123a +a +a 3、234a +a +a 3、345a +a +a 3，继而求出三角形中的数值为12345a +2a +3a +2a +a 9.所以，a 3中应该填入最小的数1.2，a 2、a 4中应该填入次大的2.9和3.7，a 1、a 5中填入4.6和6.5.Ⅱ、数阵问题乘法解决数字谜类问题也需要寻找关键的突破口，运用的主要知识和方法主要有： 1、数字乘法个位数字的规律，2、数值大小的考量，3、加减法进位规律，4、合数分解质因数性质，5、奇偶数性质规律.6、余数性质.【例4】（★★保良局亚洲区城市小学数学邀请赛）下面残缺算式中只知道三个“4”，那么补全后它的乘积是．分析：容易看出，乘数个位为9，而被乘数个位不小于5．依次验证各种可能情况，通过奇偶性等分析乘积的十位，可知只有7可能．此时乘数十位必须是6才能使乘积十位为4．故所求为47×69=3243．[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有：数值大小的考量、奇偶分析等【例5】（★★★全国小学数学奥林匹克）在下面残缺的算式中，只写出了3个数字1，其余的数字都不是1，那么这个算式的乘积是．分析：为了说明的方便，这个算式中的关键数字用英文字母表示．很明显e= 0．从c ab ⨯的个位数是1，b 可能是3，7，9三数之一，两位数ab 应是（100+f ）的因数．101，103，107，109是质数，f=0或5也明显不行．102=17×6，则ab =17，C 只能取3，317c ab ⨯=⨯，不是三位数；104=13×8,则13ab =，c 可取7，c ×ab =7×13，仍不是三位数；108=27×4，则ab =27，c 是3．327c ab ⨯=⨯，还不是三位数．只有106=53×2，53ab =，c=7，753c ab ⨯=⨯是三位数．因此这个乘法算式是故这个算式的乘积是3816．[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有数字乘法个位数字规律.【例6】（★★★2005年全国小学数学奥林匹克）下面算式(1)是一个残缺的乘法竖式，其中□≠2，那么乘积是．分析：如式(2)，由题意a ≠2，所以b ≥6，从而d ≥6．由22□÷c ≥60和c ＞2知c=3，所以22□是225或228，75de =或76．因为75×399＜30 000，所以76de =．再由乘积不小于30000和所有的□≠2，推出唯一的解76×396=30096．[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有数量大小的考量，合数的分解等.【例7】（★★★★2003年北京市迎春杯数学邀请赛）在下面的算式中，相同的汉字代表相同的数字，不同的汉字代表不同的数字．那么，“努力力争”四个汉字所代表的四个数字的和是 .分析：观察竖式可知：乘数个位数字，“习”×“争”的个位数字是1，则“习”与“争”取值有两种情况：①“习”=3，“争”=7；②“习”=7，“争”=3．先看第①种情况：“习”=3，“争”=7时，第二个部分的积其末位与千位对齐，可知“力=0”，“数学学习”×7，积仍为四位数，则“数”只能为1，“学”只能是2．又由于“学”×7+2(进位)=“学”，不能成立．所以“习”=3，“争”=7时，不能成立，无解. 再看第②种情况：由“习”=7，“争”=3，推出“数”=2或l ，“学”=9．当“数”=2时，积千位为8，则“努”×7的末位数应为“1”，不符合条件．所以“数”=1，“学”=9，“习”=7，“争”=3，则“努”=2，“努力力争”=2003．所以“努力力争”四个汉字所代表的数字和为5．[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有：数字乘法个位数规律、十进制数进位规律等.【例8】（★★★香港圣公会小学数学奥林匹克）在右面的乘法算式中，每一个□中要填一个数字，不同的中文字代表不同的数字，请问：“新年”两字代表什么数字?分析：由于乘积最后一位是1，还有三个9，可知乘数是7773或3337．于是可以逐一来确定被乘数的每一位，就知7773不符合，只有3337合适，并且逐一定出被乘数是4543．4543×3337—15 159 991．所以，“新年”两字是15．[点评]本题运用到的主要数学方法和知识点有：数字乘法个位数规律、十进制数进位规律.Ⅲ、数字谜除法【例9】（★★★全国小学数学奥林匹克）下面的除法算式(1)是一个小数的除法竖式，其中所注明的两个字母要求：A＜B，那么满足这个竖式的除数与商的和是．C，分析：因为能够除尽但含有两位小数，所以除数含有因子2或5．由式(2)知除数应大于60，且能整除00所以除数只能是75，C≤7．又商的整数部分是9，75×9=675，B=5，因为A＜B，所以C≥5．因为5≤C C是75的倍数，所以C=6，从而被除数等于675+6=681．这个和是75+681÷75=84．08．≤7，且00[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法主要有：整除性质、数值大小的考量等.【例10】（★★★全国小学数学奥林匹克）下面这个残缺算式中，只知道其中两个数字，请补全．那么这个除法算式的商数是．分析：容易看出，第三行首位是9．另外，第三行的个位与第四行首位数字之和不小于10．如果商的首位数字大于1，那么除数要小于50，故第四行首位数字小于5，而第三行个位数字不小于6．分别验证6，7，8，9四种情况，知均不满足条件．如果商的首位数字等于1，验证第三行个位数字各种情况，知只有2满足条件．此时除数等于92，而商等于109．[点评]本题运用到的知识点和数学方法主要有：十进制数进位规律、数值大小的考量等.【例11】（★★2004年全国小学数学奥林匹克）已知下面的除法算式中，每个□表示一个数字，那么被除数应是．分析：由竖式知，商的十位是0，并且商的千位比百位大，只能是9，所以商是9807．因为除数乘8是两位数，乘9是3位数，所以除数是12．被除数=9807×12=117 684．[点评]本题运用到的知识点和数学方法有，数值大小的考量等.【例12】（★★★2002年全国小学数学奥林匹克）在下面的算式中，只有四个4是已知的，则被除数为．分析：设除数为4m n，商为abc，根据除法竖式可知4m n×b=□□4，再由减法竖式可知4m n×b=9□4．因为4m n×c=4□□，所以m≤4．试验：m=1时，由4m n×b=9□4，推出b=7，n=2；由142×a=□□4，推出a=2；由142×c=4□□，推出c=3．所以被除数为142×273=38 766．m=2，3，4时，均无解．[点评]本题运用到的主要知识点和数学方法有：数值大小的考量、乘法个位数字规律等.练习1、（★★）有10个连续的自然数，9是其中第三大的数．现在把这10个数填到下图的10个方格中，每格内填一个数，要求图中3个2×2的正方形中的4个数之和相等．那么，这个和数的最小值是多少?分析：第一步：首先确定数阵图中的关键区格，即相邻两个正方形相交的两个区格；第二步：由于9是其中第三大的数，所以这10个连续自然数是2、3、4、5……9、10、11，计算三个正方形和的和，显然这个和能被3整除，其中有两个数被重复计算了两次，2+3+……11=65除以3余2，因此被重复计算两个数的和被3除余1，这两个数取2、5时，这个和取得最小值，第三步，由已知的两个方格中的数，得到每个正方形中的和也取得最小值24，构造各个正方形中其他几个数使每个正方形中的数和为24，如图：4697103811522、（★★武汉明心奥数挑战赛）下面是一个残缺的乘法算式，只知道其中一个数字“8”，请你补全，那么这个算式的乘积是．分析：容易看出，乘数的个位大于8，故只能是9．又被乘数的9倍是三位数，8倍是两位数，它只能是12．故所求为12×89=1068．3、（★★★★香港圣公会小学数学奥林匹克）下面算式(1)中。

小学数学五年级《数阵图与数字谜》练习题(含答案)

《数阵图与数字谜》练习题（含答案）你还记得吗【复习1】把1～5这五个数填入右图中的○里，使每条直线上的三个数之和相等.分析：(1+2+3+4+5)+重叠数=每条直线上三数之和×2，所以，每条直线上三数之和＝(15+重叠数)÷2.因为每条直线上的三数之和是整数，所以“15+重叠数”只能是偶数，重叠数只可能是1，3或5.若“重叠数”=1，则两条直线上三数之和为(15+1)÷2=8。

填法见下图（1）；若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为(15+3)÷2=9。

填法见下图（2）；若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为(15+5)÷2=10。

填法见下图（3）.【复习2】将1～7这七个数分别填入右图的○里，使得每条直线上三个数之和与每个圆圈上的三个数之和都相等.分析：所有的数都是重叠数，中心数重叠两次，其它数重叠一次. 所以三条边及两个圆周上的所有数之和为：(1＋2＋…＋7)×2＋中心数＝56＋中心数.因为每条边及每个圆周上的三数之和都相等，所以这个和应该是5的倍数，再由中心数在1至7之间，所以中心数是4. 每条边及每个圆周上的三数之和等于(56＋4)÷5＝12.中心数是4，每边其余两数之和是12-4=8，两数之和是8的有1，7；2，6；3，5.于是得到右下图的填法.【复习3】在右图所示的竖式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字。

如果：巧+解+数+字+谜=30，那么“数字谜”所代表的三位数是多少？分析：还是先看个位，5个“谜”相加的结果个位还是等于“谜”，“谜”必定是5（0显然可以排除）；接着看十位，四个“字”相加再加上进位2，结果尾数还是“字”，那说明“字”只能是6；再看百位，三个“数”相加再加上进位2，结果尾数还是“数”，“数”可能是4或9；再看千位，（1）如果“数”为4，两个“解”相加再加上进位1，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是9；5+6+4+9=24，30-24=6，“巧”等于6与“字”等于6重复，不能；（2）如果“数”为9，两个“解”相加再加上进位2，结果尾数还是“解”，那说明“解”只能是8；5+6+9+8=28，30-28=2，可以. 所以“数字谜”代表的三位数是965.数阵图数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵. 幻方是特殊的数阵图，一般地，将九个不同的数填在3×3（即三行三列）的方格中，使每行、每列、及二条对角线上的三数之和均相等，这样的3×3的数阵阵列称为三阶幻方. n 阶幻方的定义与三阶幻方相仿！【例1】（1）将九个数填入下图（1）的九个空格中，使得任一行、任一列以及两条对角线上的三个数之和都等于定数k ，则中心方格中的数必为3k .请你说明理由！（2）将九个数填入下图（2）的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有：2a b e +=.请你说明理由！（3）将九个数填入下图（3）的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有：2a b c +=.请你说明理由！分析：（1）因为每行的三数之和都等于k ，共有三行，所以九个数之和等于3k.如右下图所示，经过中心方格的有四条虚线，每条虚线上的三个数之和都等于k ，四条虚线上的所有数之和等于4k ，其中只有中心方格中的数是“重叠数”，九个数各被计算一次后，它又被重复计算了三次.所以有：九数之和+中心方格中的数×3=4k ，3k+中心方格中的数×3=4k ，中心方格中的数=3k （2）和=3e ，a+e+b=和=3e ，所以a+b=2e ，即得：2a b e +=.（3）设中心数为d. 每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d. 由此可得右图，那么有：c +（2d -b ）= a +（2d -c ），由此可得：2a b c +=. 值得注意的是，这个结论对于a 和b 并没有什么限制，可以是自然数，也可以是分数、小数；可以相同，也可以不同.【巩固】在右图的空格中填入七个自然数，使得每一行、每一列及每一条对角线上的三个数之和都等于90.分析：中心数为90÷3＝30；右上角的数为（23＋57）÷2＝40，其它数依次可填（见右下图）.【巩固】在下图的每个空格中填入个自然数，使得每一行、每一列及每条对角线上的三个数之和都相等.分析：右下角的数为（8＋10）÷2=9，中心数为（5＋9）÷2=7，且每行、每列、每条对角线上的三数之和都等于7×3=21.由此可得右下图的填法.【巩固】图中3×3的正方形的每一个方格内的字母都代表一个数，已知其每行、每列以及两条对角线上三个数之和都相等．若f=19，g=96．那么b是多少？分析：我们知道：g=（b+f）÷2，易得b=173.【例2】在右图的每个空格中，填入不大于12且互不相同的八个自然数，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于21 .分析：中央一数必定是21÷3=7．从而一条对角线为8，7，6．另两个角上的数，和为14=2＋12=3＋11=4＋10=5＋9，不难验证只有3、11与4、10两种符合要求．于是填法有：【巩固】在右图的九个方格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（其中已填好一个数），使得任一行、任一列及两条对角线上的三个数之和都等于21.分析：【例3】将1，3，5，7，9，11，13，15，17填入3×3的方格内，使其构成一个幻方. 分析：（法1）：易得中心数为9，然后将剩余那么其余8个数分为4组，每组两个数的和是18，把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内，实验可得结果，如右图. 答案不唯一，仅供参考.（法2）：其实会学习的小朋友就知道理利用已经学习过的一些典型题目结果加以变形得到新题答案.事实上我们可以把结果中的幻方看作是1～9填图的幻方相应位置数字乘2减1得来的.推广开来可以知道等差数列填图的三阶幻方几乎都具有相似的形式.【前铺】将自然数1至9，分别填在右图的方格中，使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等.分析：（法1）：三行的总和=1＋2＋3＋4＋…＋9=45，所以每行三个数的和是45÷3=15，所以E代表15÷3=5，由于在同一条直线的三个数之和是15，因此若某格中的数是奇数，那么与这个数在同一条直线上的另两个数的奇偶性相同.因此，四个角上的数A、C、G、I必为偶数.（否则，若A为奇数，则I为奇数.此时若B为奇数，则其余所有格亦为奇数；若B为偶数，则其余所有格亦为偶数.无论哪种情形，都与1至9中有5个奇数，4个偶数这一事实矛盾.）因此，B、D、F、H为奇数.我们不妨认为A=2（否则，可把3×3方格绕中心块旋转即能做到这一点）.此时I=8.此时有两种选择：C=4或G=4.因而，G=6或C=6.其他格的数随之而定.如果把经过中心块旋转而能完全重合的两种填数法视作一种的话，一共只有两种不同的填数法：A=2，C=4或A=Z，G=4（2，4被确定位置后，其他数的位置随之而定）.（法2）：从法1知道中心数为5，那么其余8个数分为4组，每组两个数的和是10，把它们分别填入图中关于中心格对称的格子内，实验可得结果.这种试填的方法更易让学生接受.【拓展】如图（1）的3×3的阵列中填入了l～9的自然数，构成大家熟知的3阶幻方.现在另有一个3×3的阵列,如图（2），请选择9个不同自然数填人9个方格中，使得其中最大者为20，最小者大于5，且要求横加、竖加、对角线方式相加的3个数之和都相等.分析：①观察原表中的各数是从1～9不同的九个自然数，其中最大的数是9，最小的数是1，且横加、竖加、对角线方式相加结果相等.②根据题意，要求新制的幻方最大数为20，而9+11=20，因此，如果原表中的各数都增加11，就能符合新表中的条件了.【例4】右图是一个四阶幻方，请将其补全：分析：根据各行，各列，各对角线和相等为34，可得图（1），此时我们可以设未知数，如图（2），将一些数表示出来，进而根据和为34求得x代表9，随后得到答案，如图（3）.【拓展】在图中所示方格表的每个方格内填入—个恰当的字母；可使每行、每列及两条对角线上4个方格中字母都是A、B、C、D，那么标有“＊”的方格内应填的字母是什么？分析：考虑含A和＊的对角线上的元素．第二行第二个元素与C同行，因此不是C，第三行第三个元素与C同列，因此也不是C，所以＊代表的元素必为C．【巩固】在右图的每个方格中填入一个数字，使得每行、每列以及每条对角线上的方格中的四个数字都是1，2，3，4.分析：如下图所示，受列及对角线的限制，a处只能填1，从而b处填3；进而推知c处填4，d处填3，e处填4，……右下图为填好后的数阵图.【例5】右图是大家都熟悉的奥林匹克的五环标志. 请将1～9分别填入五个圆相互分割的九个部分，并且使每个圆环内的数字之和都相等.分析：设每个圆内的数字之和为k，则五个圆内的数字之和是5k，它等于1～9的和45，再加上两两重叠处的四个数之和. 而两两重叠处的四个数之和最小是1＋2＋3＋4＝10，最大是6＋7＋8＋9＝30，所以，5k≤45＋30＝75且5k≥45＋10＝55，即11≤k≤15 .当k＝11，13，14时可得四种填法（见下图），k＝12，15时无解.【前铺】将1～11填入左下图的○内，使每条虚线上的三数之和都等于18.分析：设中心数为a，由五条虚线上的数字之和得到5×18=（1+2+…+11）+4a，解得a=6. 填数方法如下图.【例6】将1～7这七个自然数分别填入右图的七个○内，使得三个大圆周上的四个数之和都等于定数，指出这个定数所有的可能取值，并给出定数为13时的一种填法.分析：设每个大圆周上的四个数之和为k（即题中的定数）. 图中有一个○属于三个大圆公有，有三个○各属于两个大圆公有. 设属于三个大圆公有的○内的数为w，属于两个大圆公有的三个○内的数字之和为v.将三个大圆上的数字和相加，得到：3k＝1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋v＋2w＝28＋v＋2w，因为v＋2w最小为11（w＝1，v＝2＋3＋4），最大为29（w＝7，v＝6＋5＋4），分别代入上式，解得13≤k≤19，即定数可以取13至19之间的整数.本题是k＝13的情况，此时w＝1，v＝2＋3＋4，填法见右下图.【例7】在右图所示立方体的八个顶点上标出1～9中的八个，使得每个面上四个顶点所标数字之和都等于k，并且k不能被未标出的数整除.分析：标出的八个数是每面四个数和的2倍，是偶数，1～9和为45 ，因此未标出的数是一个奇数，在1，3，5，7，9中选一个数，并使余下八个数之和的一半不能被这个数整除，依此可知未标出的数是7.下面用余下的8个数填图，每面四个数和为：（45-7）÷2=19.如果已知某一面上四个数和为19.那么与其平行的面上四数和也必为19.因此我们只考虑有公共顶点的三个面即可.下面我们考虑以9为公共顶点的三个面.由于8，9不公面，因此8在顶点9的对顶点上，有公共点9的三个面上，每面其余三个数和为10，且每两个面有一个公共顶点.由此试验易得三个面上的数分别为：（6，3，1），（5，4，1），（3，2，5），填图如右下图.数字谜【例8】将0～9中的8个不同的数字分别用a、b、c、d、e、f、g、h替换．在替换规则+=，如上面4个式子中，“+”、“×”、下：g×g=db，g×c=bd，g×f=ef，ag b eh⨯的“=与平常算术中相应的符号意义相同，而且也是十进位制．在这种替换规则下，ca e数值等于 .分析：由g×g=db知，g≥4．若g=4，d=1，与g ×c=bd 是偶数矛盾；若g=5，则d=2，b=5，与g ≠b 矛盾；若g=6，则d=3，b=6，与g ≠b 矛盾；若g=7，则d=4，b=9，由g×c =bd =94,得到c =4÷7=3137也不合题意；若g=8，则d=6，b=4，由g×c =bd 46，得到c=46÷8=354，仍不合题意；若g=9，则d=8，b=1，由g×c =bd =18，得到c=18÷9=2，再由g ×f=ef ,f=5，e=4，再由ag b eh +=,得a=e-1=3.所以23492ca e ⨯=⨯=.【例9】在下面的加法算式中，相同的汉字表示相同的数字，不同的汉字表示不同的数字．请把下面汉字算式翻译成数字算式．分析：首先“华”=1．由于“人”≠“华”，故“人”只能是0．从百位看出. 百位没有向千位进位，即有“香”=9．看百位，知“回”比“港”大1；再看十位，可知“爱”=8，并且个位要向十位进位，即“归”+“港”=10 +“游”．因为“游”≠0，1，知“游”≥2，即“归”+“港”≥12．又“归”≠8，9，知“归”≤7，从而“港”≥5．同样，“归”也不小于5，并且由于“回”比 “港”大1，知“归”、“港”、“回”应该是5，6，7(次序未确定)．容易验证，只有“归”=7，“港”=5，“回”=6符合条件，此时“游”=2，即算式为：9567+1085=10652 .【巩固】在下面的算式中，汉字“第、十、一、届、华、杯、赛”代表1，2，3，4，5，6，7，8，9中的7个数字，不同的汉字代表不同的数字，恰使得加法算式成立．则“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于多少？分析：根据加法规则，“第”=1．“届”+“赛”=6或“届”+“赛”=16．若“届”+“赛”=6，只能是“届”、“赛”分别等于2或4，此时“一”+“杯”=10 只能是“一”、“杯”分别为3或7．此时“十”+“华”=9，“十”、“华’’分别只能取 (1，8)，(2，7)，(3，6)，(4，5)．但l ，2，3，4均已被取用，不能再取．所以，“届”+ “赛”=6填不出来，只能是“届”+“赛”=16．这时“届”、“赛”只能分别取9和7．这时只能是“一”+“杯”+1=10，且“十”+“华”+1=10，也就是“一”+“杯”=9，同时“十”+“华”=9．所以它们可以分别在(3，6)，(4，5)两组中取值．因此“第、十、一、届、华、杯、赛”所代表的7个数字的和等于1+9+9+16=35．【例10】在右面的□内，各填一个合适的数字，使算式成立．分析：从被乘数个位上的□里填什么数字入手及竖式中□×6=（）4，是本题的突破口．这里有两种情况：4×6=24或9×6=54，都可使□×6=（）4成立．也就是说，被乘数个位上的数字可能是4，也可能是9．先考虑被乘数个位上的数字是9的可能性，因为在乘数十位上找不出任何数字与9相乘得“整十数”，所以被乘数个位上的数字不可能是9．如果被乘数个位上的数字是4，很容易推出乘数十位上的数字应是5，才能与4相乘得“整十数”．由被乘数乘以乘数十位上的5得270，也很容易推出被乘数十位上的数字是5，进而可推出其它各数字．【巩固】在□内填入适当的数字，使下列乘法竖式成立：分析：（1）17×64=1088；（2）5283×39=206037；（3）734×619=454346，被乘数是6606和4404的三位数的公约数.【例11】□内填入适当的数字，使下列竖式成立，并使商尽可能小：分析：由右式知d=8，所以c=3或8.当a=2时，由bc×a=□5□,推出c不等于3，所以c=8，故推出b=7;因为除数是两位数，它与商的各个数位的乘积都是三位数，所以商的最小可能值为262。

奥数数字谜、数阵、数表练习及答案

⑴能不能使个三角形顶点上数字之和都相等?
⑵能不能使个三角形顶点上数字之和各不相同?
如果能，请画图填上满足要求的数；如果不能，请说明理由．
【分析】⑴不能．如果这个三角形顶点上数字之和都相等，设它们都等于。
考察外面的个三角形，每个三角形顶点上的数的和是，在它们的和中，大正方形的、、、各出现一次，中正方形的、、、各出现二次。即。
数字谜问题被称作思维锻炼的体操，这一部分问题可以很好的培养学生的观察力、判断及推理能力。数字谜也是一类非常有趣的数学问题，在小学数学竞赛中经常出现。和数字谜问题类似的，数阵、数表问题由于其本身的数学美感，受出题者青睐，解这类问题必须认真审题，根据题目的特点，找出突破口，从而逐步简化题目直至问题完全解决。
我们现在来看的情形。由于能被整出，由倒除法可以断定除数是，。
第三层，因为，只有满足要求，即。从而，。所以这个算式的商数是。被除数是。
完整的除式如图。
1.下图是一个正确的加法算式，其中相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字。已知不是的倍数，不是的倍数，那么代表的四位数是多少？
【例5】（2008年迎春杯初赛）在右图的每个方框中填入一个数字，使得除法算式成立。则被除数应是___________。
【分析】如下图，我们将空格标上字母，以便分析。
由 ,得。因为 ,所以，我们可以得知或者，我们现来看看可以不可以。
假设，则没有进位，所得个位必是偶数，必是 ,因为 ,所以，必进位。所以，必是奇数。
【例2】在下面的残缺算式中，只写出五个，那么这个算式的商数是______。
【分析】为了便于说明，用英文来表示几个关键的数。
从除式的第一层看，商的百位数字是，只能是，，，。

小学数学《数阵图》练习题(含答案) (1)

小学数学《数阵图》练习题（含答案）课前复习1.在下面的○里填上适当的数，使每条线上的三个数之和都是16.【答案】【答案】2.在空格内填入适当的数，使得每行、每列和两条对角线上的三个数的和都为18.【答案】3. 在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两对角线上四个数的和都是64.【答案】在神奇的数学王国里，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷.它就是数阵.到底什么是数阵呢?我们先观察下面2个图：在空格内填上适当的数，使得图中每行、每列及两条对角线上三个数的和都是15.认真观察，你发现每个图中的数字有什么特点？左上图有两条直线，每条直线上都有3个数字，它们的和都分别等于15；而右上图，将l～9九个数字排成三行、三列，每一行、每一列、每一斜行上的3个数字的和都等于15.数阵就是用数(一般指自然数)按一定的要求和规律，组成特定的形状或布成特定的阵势.它一般分为辐射型(左上图)和封闭型(右上图).要把一些数字按一定的规则填入图形中，有没有巧妙的方法来填呢?今天这节课我们就一起来学习.辐射型数阵图【例1】把1，2，3，4，5这5个数分别填入图中的圆圈内，使得横行3个数的和与竖列3个数的和都等于10.【分析】横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数a被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次.因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于10，所以(1+2+3+4+5)+a=10×2，a=5.剩下4个数中每两个数之和应该等于5，，1+4=2+3。

【例2】把4～8这五个数填入图中(已填入6)，使两条直线上的三个数之和相等.【分析】方法一：把6除外，还剩4，5，7，8，这四个数，在这四个数中4+8=5+7，这样可以填出答案。

方法二：与例1不同之处是已知“重叠数”为6，而不知道两条直线上的三个数之和都等于什么数.可以先求出这个“和k”.(4+5+6+7+8)+6=k×2.K=18。

五年级奥数-数阵图与数字谜(含解析)

数阵图与数字谜教学目标1. 熟悉数阵图与数字谜的题目特点；2. 掌握数阵图与数字谜的解题思路。

精讲讲练数阵图数阵图是把一些数按照一定规则填在某一特定图形的规定位置上而来的图形，有时简称数阵。

【例1】（2007年“希望杯”第二试）在右图所示○内填入不同的数，使得三条边上的三个数的和都是12，若A 、B 、C 的和为18，则三个顶点的三个数的和是__________。

【分析】由于每条边上的三个数的和都是12，所以把这三条边上的三个数的和都加起来，总和应为12336⨯=，在其中，A 、B 、C 各算了一次，三个顶点的三个数各算了两次，所以三个顶点的三个数的和为(3618)29-÷=。

【例2】（2007年天津“陈省身杯”国际青少年数学邀请赛）将112:这十二个自然数分别填入右图的12个圆圈内，使得每条直线上的四个数之和都相等，这个相等的和为__________。

【分析】由于每条直线上的四个数之和都相等，设这个相等的和为S ，把所有6条直线上的四个数之和相加，得到总和为6S ；另一方面，在这样相加中，由于每个数都恰好在两条直线上，所以每个数都被计算了两遍。

所以，6(12312)2S =++++⨯L ，得到26S =，即所求的相等的和为26。

【例3】（2007年“走进美妙的数学花园”决赛）如右图所示，A ，B ，C ，D ，E ，F ，G ，H ，I ，J 表示110:这10个各不相同的数字。

表中的数为所在行与列的对应字母的和，例如“14G C +=”。

请将表中其它的数全部填好。

C BA【分析】由于5A F +=，14B F +=，所以1459B A -=-=，所以A 和B 只能是0和9。

因此可以推出：0A =，9B =，6C =，3D =，2E =，5F =，8G =，1H =，4I =，7J =。

可得右下图。

【例4】（2007年“走进美妙的数学花园”初赛）从1、2、3…20这20个数中选出9个不同的数放入33⨯的方格表中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数的和都相等。

小学数学五年级《数阵图与数字谜》练习题(含答案)

填法见下图（1）；若“重叠数”=3，则两条直线上三数之和为(15+3)÷2=9。

填法见下图（2）；若“重叠数”=5，则两条直线上三数之和为(15+5)÷2=10。

小学四年级奥数分类专项思维练习(3)数字谜(含答案)

小学四年级奥数专项练习（三）数字谜1.在下面算式的空格内,各填入一个合适的数字,使算式成立:一、数阵图1. 将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和相等。

二、归一问题（一）填空题1. 加工一批39600件的大衣,30个人10天完成了13200件,其余的要求在15天内完成,要增加_____人。

2. 54人12天修水渠1944米,如果人数增加18人,天数缩到原来的一半,可修水渠_____米。

3. 一批产品,28人25天可以收割完,生产5天后,此项任务要提前10天完成,应增加_____人。

4. 某食堂存有16人可吃15天的米,16人吃了5天后,走了6人,余下的可吃_____天。

5. 某生产小组12个人,9天完成,零件1620个。

现在有一批任务,零件数为2520个,问14个人要_____天完成。

6. 一项工程预计15人每天做4小时,18天可以完成,后来增加3人,并且工作时间增加1小时,这项工程_____天完成。

7. 某机床厂第一车间的职工,用18台车床,2小时生产机器零件720件,20台这样的车床3小时可生产机器零件_____件。

（二）解答题8. 光华机械厂一个车间,原计划15人3天做900个零件,生产开始后,又增加一批任务,在工作效率相同下,要10个人8天完成,问增加了几个零件?原计划的个数，就是增加的零件个数。

9. 光明小学有50个学生帮学校搬砖,要搬2000块,4次搬了一半,照这样算,再增加50个学生,还要几次运完?10. 一根木料,锯成2段,要3分钟,如果锯成6段要多少分钟?数字谜1.在下面算式的空格内,各填入一个合适的数字,使算式成立:答案：解析：本题的突破口在于探索出加数的个位情况，由是为我们可以知道个位相加满10向十位进1。

能使两个个位数相加满十的，有两种情况，一个是8，或者是9。

按照这种方法，同学们，自己将余下的步骤完成，求出正确答案。

数阵图1. 将1~6分别填在图中,使每条边上的三个○内的数的和相等。

5.数字谜5(数阵图进阶)

G4第5讲数字谜5（数阵图进阶）一、启蒙篇：（课前热身训练）1.如右图,从2,3,4,5,6中选取适当的数填入○中,使每个大圆上的四个○中的数的和都是15.2.把1至6分别填入右图的方格中，使得横行3个数的和与竖列4个数的和相等.二、拓展篇：3.将1～7这七个自然数,分别填在右图中的圆圈内,使得每条直线上的三个数的和都相等.4.将1～8这八个自然数填入下图中的○内,使得每个五边形上五个数的和都等于22.5.把1至6这六个数字填入右图的六个圆圈内,使得三角形每条边上三个数之和都相等,那么这个和最小是多少?最大是多少?6.在右图的3×3方格表内填入1、2、3这三个数字各三次,使得每行、每列以及两条对角线上的三个数之和都相等.三、超越篇：7.请将1至6填入图4-21的六个圆圈内,使得四条直线上的数字之和都相等.8.在图4-17的七个圆圈内填入七个连续自然数,使得每两个相邻圆圈内所填数之和都等于它们连线上的已知数.请问：标有★的圆圈内填的数是多少?四、数学思想、方法小结：1.分析数阵图中的关键位置和关键数往往是解决数阵图问题的突破口.2.常见的关键位置和关键数：(1)要填的所有数中最大或者最小的数，(2)重数最大或最小的数(或位置)，往往是最关键的数(或位置).课后练习一、兴趣篇：1.把1至6分别填入右图的六个圆圈内,使得每个正方形四个顶点的数之和都为13.2.把10至20这11个数分别填入右图的各圆圈内，使每个线段上3个圆内所填数的和都相等.如果中心圆内填的数相等，那么就视为同一种填法，请写出所有可能的填法.3.把5～10这六个数,分别填入右图中的○内,使三角形每条边上三个○内数的和都是21.4.在右图的6个圆圈内分别填入不同的自然数,使得每一个数都是与它相连的上面两个数之和,那么最下面那个数最小是几?二、拓展篇：5.请分别将1，2，4，6这4个数填在右图的各空白区域内，使得每个圆圈里4个数的和都等于15.6.在右图的7个圆内填入7个连续自然数，使得每两个相邻圆内所填数的和都等于连线上的已知数，那么标有*的圆内填的数是多少？7.在右图中的方格内填入三个0、两个2、两个3、两个4，使得每个箭头所指的列中各方格内数字之和都是6,并且使得从上到下第二行与第三行的数字之和都是7.三、超越篇：8.如右图,请在三个圆圈内分别填入三个数,使得每条直线上三个数之和都等于大圆上三个数之和.四、个性化补充练习：。