GPS卫星的坐标计算

第三章GPS 卫星的坐标计算
在用GPS 信号进行导航定位以及制订观测计划时，都必须已知GPS 卫星在空间的瞬间位置。

卫星位置的计算是根据卫星导航电文所提供的轨道参数按一定的公式计算的。

3.1卫星运动的轨道参数
3.1.1基本概念 1.作用在卫星上力
卫星受的作用力主要有：地球对卫星的引力，太阳、月亮对卫星的引力，大气阻力，大气光压，地球潮汐力等。

中心力：假设地球为匀质球体的引力（质量集中于球体的中心），即地球的中心引力，它决定卫星运动的基本规律和特征，决定卫星轨道，是分析卫星实际轨道的基础。

此种理想状态时卫星的运动称为无摄运动，卫星的轨道称为无摄轨道。

摄动力：也称非中心力，包括地球非球形对称的作用力、日月引力、大气阻力、大气光压、地球潮汐力等。

摄动力使卫星运动产生一些小的附加变化而偏离理想轨道，同时这种偏离量的大小随时间而改变。

此种状态时卫星的运动称为受摄运动，卫星的轨道称为受摄轨道。

虽然作用在卫星上的力很多，但这些力的大小却相差很悬殊。

如果将地球引力当作1的话，其它作用力均小于10-5。

2.二体问题
研究两个质点在万有引力作用下的运动规律问题称为二体问题。

3．卫星轨道和卫星轨道参数
卫星在空间运行的轨迹称为卫星轨道。

描述卫星轨道状态和位置的参数称为轨道参数。

3.1.2卫星运动的开普勒定律 （1）开普勒第一定律
卫星运行的轨道为一椭圆，该椭圆的一个焦点与地球质心重合。

此定律阐明了卫星运行轨道的基本形态及其与地心的关系。

由万有引力定律可得卫星绕地球质心运动的轨道方程。

r 为卫星的地心距离，as 为开普勒椭圆的长半径，es 为开普勒椭圆的偏心率；fs 为真近点角，它描述了任意时刻卫星在轨道上相对近地点的位置，是时间的函数。

（2）开普勒第二定律
卫星的地心向径在单位时间内所扫过的面积相等。

表明卫星在椭圆轨道上的运行速度是不断变化的，在近地点处速度最大，在远地点处速度最小。

近地点
远地点
s
s s s f e e a r cos 1)1(2+-=
（3
卫星运行周期的平方与轨道椭圆长半径的立方之比为一常量，等于GM 的倒数。

假设卫星运动的平均角速度为n ，则n=2π/Ts ，可得
当开普勒椭圆的长半径确定后，卫星运行的平均角速度也随之确定，且保持不变。

3.1.3卫星运动的轨道参数
由开普勒定律可知，卫星运动的轨道，是通过地心平面上的一个椭圆，且椭圆的一个焦点与地心相重合。

而确定椭圆的形状和大小至少需要两个参数，即椭圆的长半径a s 及其偏心率e s (或椭圆的短半径b s )。

另外，为确定任意时刻卫星在轨道上的位置，需要一个参数，一般取真近点角f s ，即在轨道平面上，卫星与近地点之间的地心角距，该参数为时间的函数，它确定了卫星在轨道上的瞬时位置。

参数a s ，e s ，f s 唯一地确定了卫星轨道的形状、大小以及卫星在轨道上的瞬时位置。

如图3-1所示，称之为轨道椭圆形状参数。

为了确定该椭圆在上述坐标系中的方向，尚需三个参数。

一般采用开普勒轨道参数(图3—1)，或称开普勒轨道根数。

Ω——升交点的赤经，即在地球赤道平面上，升交点与春分点之间的地心夹角(升交点，即当卫星由南向北运行时轨道与地球赤道面的一个交点)。

i ——轨道面的倾角，即卫星轨道平面与地球赤道面之间的夹角。

上两个参数，唯一地确定了卫星轨道平面与地球体之间的相对定向，称之为轨道平面定向参数。

ωs ——近地点角距，即在轨道平面上，升交点与近地点之间的地心夹角，这一参数表达了开普勒椭圆在轨道面上的定向，称之为轨道椭圆定向参数。

在此，参数a s 、e s 、Ω、i 、ωs 和f s 所构成的坐标系统，通常称为轨道坐标系统。

其中，参数a s 、e s 、Ω、i 、ωs 的大小，则是由卫星的发射条件决定。

在该系统中，当6个轨
近地点
远地点
图3-1 开普勒轨道参数 GM a T s s 2
324π=2/13⎪
⎪⎭⎫ ⎝⎛=s a GM n
道参数一经确定后，卫星在任一瞬间相对地球体的空间位置及其速度，便可唯一地确定。

真近点角f s 的计算 在6个轨道参数中，参数a s 、e s 、Ω、i 、ωs 的大小，则是由卫星的发射条件决定。

所以计算卫星瞬时位置的关键在于计算参数f s 。

如图，为了计算真近点角，引入两个辅助参数Es —偏近点角 Ms —平近点角。

Ms —是一个假设量，当卫星运动的平均角速度为n ，则Ms = n ( t - t0 )， t0为卫星过近地点的时刻，t 为观测卫星时刻。

平近点角与偏近点角间存在如下关系（开普勒方程）： Es = Ms + es sinEs 。

真近点角f s 和偏近点角Es 之间的关系： s s s s s e a rcosf cosE a +=
又
可得：
或者：
3.2 GPS 卫星的导航电文（数据码）
GPS 卫星的导航电文（简称卫星电文又叫数据码（D 码））：是用户用来定位和导航的数据基础。

它主要包括：卫星星历、时钟改正、电离层时延码转换到捕获P 码的信息。

它的基本单位是长1500bit 的一个主帧（如图4-1所示），传输速率是50bit/s,30秒钟传送完毕一个主帧。

一个主帧包括5个子帧，第1、2、3子帧每30秒钟重复一次，内容每小时更新一次。

第4、5子帧的全部信息则需要750秒钟才能够传送完。

即第4、5子帧是
图3—3 偏近点角与真近点角 s s s s f e e a r cos 1)1(2+-=
s
s s s s
s s s s e E f e e E sf E cos 1sin e -1sin E cos 1cos co 2
12s -=--=）（）（）（）（2E tg e -1e 12f tg s
2
1
2
s
2s s +=
12.5分钟播完一次，然后再重复之，其内容仅在卫星注入新的导航数据后才得以更新。

3.2.1遥测码（TLW ，即TelemetryWord ）
遥测码位于各子帧的开头，它用来表明卫星注入数据的状态，以次指示用户是否选用该颗卫星。

3.2.2转换码（HOW,即HandOverWord ）
转换码位于每个子帧的第二个字码，其作用是提供帮助用户从所捕获的C/A 码转换到捕获P 码的Z 计数，它表示从每星期天零时到星期六24小时，P 码子码X1的周期（1.5秒）重复数。

3.2.3第一数据块
第一数据块位于第1子帧的第3~10字码，它的主要内容包括：①标识码，时延差改正；②星期序号；③卫星健康状况；④数据龄期；⑤卫星时钟改正系数等。

1.时延差改正
gd
T
时延差改正
gd
T 就是载波L1、L2的电离层时延差。

当使用单频接收机时，为了减小
电离层的影响，提高定位精度，要用gd T
改正观测结果，双频接收机可通过L1，L2两频率的组合来消除电离层的影响，不需要此项改正。

2.数据龄期AODC
卫星时钟的数据龄期AODC 是时钟改正数的外推时间间隔，它指明卫星时钟改正数的置信度。

AODC=Toc-tl (4-1)
式中：toc 为第一数据块的参考时刻；tl 是计算时钟改正参数所用数据的最后观测时间。

3.星期序号WN
WN 表示从1980年1月6日子夜零点（UTC ）起算的星期数，即GPS 星期数。

4.卫星时钟改正
GPS 时间系统是以地面主控站的主原子钟为基准。

由于主控站主钟的不稳定性，使得GPS 时间和UTC 时间之间存在着差值。

地面监控系统通过临测确定出这种差值，并用导航电文播发给广大用户。

每一颗GPS 卫星的时钟相对GPS 时系存在着差值，需加以改正，这是卫星时钟改正：
Δts=a0+a1(t-toc)+a2(t-toc)2(4-2)
式中，a0,a1,a2含义见3.4节。

3.2.4第二数据块
包含第2和第3子帧，其内容表示GPS卫星的星历，这些数据为用户提供了有关计算卫星运动位置的信息。

描述卫星的运行及其轨道的参数包括下列三类。

（如图4-2所示）
1.开普勒六参数
这6e,i0,Ω0,
ω,M0（其含义同3.4）。

2.轨道摄动九参数
这9个参数为：Δn，Ω ,I ，
Cuc,Cus,Crc,Crs,Cic,Cis（其含义同
3.4）
3.时间二参数
(1)从星期日子夜零点开始度量
的星历参考时刻toe，变化与
0~604800秒；
(2)星历表的数据龄期AODE，
有：AODE＝toe-t1 （４－３）
式中t1为作预报星历测量的最后观
测时间，因此AODE就是预报星历的
外推时间长度。

3.2.5第三数据块
第三数据块包括第4和第5两个子帧，其内容包括了所有GPS卫星的历书数据。

当接收机捕获到某颗GPS卫星后，根据第三数据块提供的其他卫星的概略星历、时钟改正、卫星工作状态等数据，用户可以选择工作正常和位置适当的卫星，并且较快地捕获到所选择的卫星。

1.第4子帧
(1)第2，3，4，5，7，8，9，10页面提供第25～32颗卫星的历书；
(2)第17页面提供专用电文，第18页面给出电离层改正模型参数和UTC数据；
(3)第25页面提供所以卫星的型号、防电子对抗特征符和第25～32颗卫星的健康状
况；
(4)第1，6，11，12，16，19，20，21，22，23，24页作备用，第13，14，15页为
空闲页。

2.第5子帧
(1)第1～24页面给出第1～24颗卫星的历书；
(2)第25页面给出第1～24颗卫星的健康状况和星期编号。

在第三数据块中，第4和第5子帧的每个页面的第3字码，其开始的8个比特是识别字符，且分成两种形式：（a）第1和第2比特为电文识别（DA TAID）；(b)第3～8比特为卫星识别（SVID）。

3.3 GPS 卫星的坐标计算
3.3.1用广播星历计算卫星位置
第一步：计算卫星运动的平均角速度n
首先根据广播星历中给出的参数a 计算出参考时刻Toe 的平均角速度n o ：
3
0)
a (GM n =
式中，GM 为万有引力常数G 与地球总质量M 之乘积，其值为GM ＝3.9860047⨯1014m 3／s 2。

然后根据广播星历中给定的摄动参数∆n 计算观测时刻卫星的平均角速度n ：
n n n 0∆+= 第二步：计算观测瞬间卫星的平近点角M S
由于卫星的运行周期为12小时左右，采用卫星过近地点时刻to 来计算平近点角M 时，外推间隔最大有可能达6小时。

而广播星历每2小时更新一次，将参考时刻设在中央时刻时，外推间隔≤1小时。

所以用Toe 来取代卫星过近地点时刻to 后，外推间隔将大大减小，用较简单的模型也能获得精度较高的结果。

Toe)-n(t M 0S +=M 式中，Mo 为参考时刻Toe 时的平近点角，由广播星历给出。

第三步：计算偏近点角
依据(2—8)式，用弧度表示的开普勒方程为：
S S S S sinE e M E += 第四步：计算真近点角
根据开普勒轨道方程，可得近点角f s 与偏近点角E S 之间的关系
S
S S 2
12S
S S S S S S E c e 1inE )e (1sin E c e 1e E c c os s f os os osf --=
--=
式中，e 为卫星轨道的偏心率，由广播星历给出。

由此可得真近点角计算常用公式
S
S S
2
12S
S e E c inE )e (1arctan
--=os s f
第五步：计算升交距角μ
~ S
f ~+=ωμ 式中：ω为近地点角距，由广播星历给出。

第六步：计算摄动改正项 广播星历中给出了C uc 、、C us 、C rc 、C rs 、C ic 、C is 6个摄动参数，据此可求出由于地球引力场位函数的二阶带谐系数项而引起的升交距角u 的摄动改正项δμ、卫星矢径r 的摄动改正项δr ，和卫星轨道倾角i 的摄动改正项δi 。

计算公式如下：
μμδμμδμμδγμμμ~2sin ~2c ~2sin ~2c ~2sin ~2c s
c s
c s
c i i i r r C os C C os C C os C +=+=+=
第七步：对升交距角μ、卫星矢径r 、轨道倾角i 进行摄动改正 )()c 1(a ~~0s e O i S S T t dt
di i i osE e -++=+-=+=+=δδδγγδμμ
μγ
γ 式中：a S 为卫星轨道的长半径，a ＝(a )2，a 由广播星历给出。

：i o 为T O e 时刻的轨道
倾角，由广播星历中的开普勒六参数给出。

dt
di 完为i 的变化率，由广播星历中的摄动九参数给出。

第八步：计算卫星在轨道面坐标系中的位置
在轨道平面直角坐标系中(坐标原点位于地心，X 轴指向升交点)卫星的平面直角坐标为： μμ
rsin y rcos x ==
第九步：计算观测瞬间升交点的经度L
若参考时刻Toe 时升交点的赤经为ΩToe ，升交点对时间的变化率为∆Ω，那么观测瞬间t 的升交点赤经Ω应为：
)(oe oe T T t -∆Ω+Ω=Ω
式中：∆Ω可从广播星历的摄动参数中给出。

设本周开始时刻(星期日0时)格林尼治恒星时为GAST week ，则观测瞬间的格林尼治恒星时为：
t G e week AST G AST ω+=
式中：ωe 为地球自转角速度，其值为ωe ＝7.292115⨯l0-5rad ／s ；
t 为本周内的时间(s)。

这样就可求得观测瞬间升交点的经度值为：
t T t G oe T e week oe )( AST G AST -L ω--∆Ω+-Ω=Ω=
令week oe 0 AST G T -Ω=Ω
则有：
oe e oe T t t T t ⋅∆Ω--∆Ω+Ω=--∆Ω+Ω=)()(L 0e 0ωω
注意：广播星历中给出的L 并不是参考时刻Toe 的升交点赤经ΩToe ，而是该值与本周起始时刻的格林尼治恒星时GAST week 之差。

说明：
oe e oe e oe
e oe e oe W oe e
W oe oe k e W oe
oe W
oe k e W oe t t t t t t t t GAST t GAST t t t GAST t t t
GAST t GAST t t t GAST t t GAST GPS ⋅--⋅-Ω+Ω=⋅--⋅--⋅Ω+-Ω=⋅+--⋅Ω+Ω=-Ω=Ω⋅+=-⋅Ω+Ω=Ω-Ω=ΩΩΩΩΩωωωωωωω)()(])()([][][)]([)
()()()()()()()()()(000 为升交点赤经，则
为升交点经度，为地球自转角速度，设之差
周开始时格林尼治赤经与：参考时刻升交点赤经
第十步：计算卫星在瞬时地球坐标系中的位置
已知升交点的大地经度L 以及轨道平面的倾角i 后，就可通过两次旋转求得卫星在地固坐标系中的位置：
()()⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛L y L i y L x L i y L x z y x R L R Z Y X X Z sin sin cos cos sin cos cos i 第十一步：计算卫星在协议地球坐标系中的位置
观测瞬间卫星在协议地球坐标系中的位置
()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z Y X y x y x Z Y X R R z y x p p p p p X p Y CTS 11001y x
在GPS 定位导航中，需要多次连续计算卫星位置和速度，如用上述方法计算需占用较多的内存空间和计算时间。

为此，常将卫星星历用一个时间多项式来表示，在内存中仅保存该多项式的系数，供计算时调用。

在各种多项式中切贝雪夫多项式的拟合效果最佳，即使在该时间段的两端近似性也很好。

用n 阶切贝雪夫多项式来逼近时间段[t 0，t 0+∆t]中的卫星星历时，先将变量]t ,[t t 00t ∆+∈变换为变量]1,[-1∈τ：
)t -(t 20t
∆=τ 于是卫星坐标可表示为：
)()(0
t T C t X n i i xi ∑==
式中：n 为多项式的阶数；C xi 为切贝雪夫多项式的系数。

根据已知的卫星坐标，用最小二乘法拟合出多项式系数C xi 后，就可用式(2—25)计算出该时段中任一时刻的卫星位置。

切贝雪夫多项式T i ，的递推公式如下：
()()()()()
τττττττ21n 1021
---===n n T T T T T
卫星的运动速度和加速度也可用类似方法计算。

3.3.2、用精密星历计算卫星位置
精密星历是按一定的时间间隔(通常为15min)来给出卫星在空间的三维坐标、三维运动速度及卫星钟改正数等信息。

著名的IGS(国际GPS 地球动力学服务局)综合精密星历需1—2周后才能获得。

由IGS 提出的格式被广泛采用，其中ASCII 格式的SPI 和二进制格式的E(F)格式不仅给出了卫星的三维位置信息(km)，也给出了卫星的三维运动速度信息(km ／s)。

而SP2(ASCII 格式)和ECF2(二进制格式)则仅给出了卫星的三维位置信息。

速度信息需通过位置信息用数值微分的方法来求出。

采用这种格式时存储量可减少一半左右。

在SP3(ASCII 格式)和ECF3(二进制格式)中增加了卫星钟的改正数信息。

观测瞬间的卫星位置及运动速度可采用内插法求得。

其中拉格朗日(Lagrange)多项式内插法被广泛采用，因为这种内插法速度快且易于编程。

拉格朗日插值公式十分简单：已知函数y ＝f(x)的n+1个节点x 0，x l ，x 2，…，x n 及其对应的函数值y 0，y l ，y 2，…，y n 对插值区间内任一点x ，可用下面的拉格朗日插值多项式来计算函数值：
k n k n k i i i
k
y x x ∑∏=≠=-=00i )x -x (
f(x) 研究表明：对GPS 卫星而言，如果要精确至10—8，用30min 的历元间隔和9阶内插
已足够保证精度。

用40min 的历元间隔以及17阶多项式就能获得毫米级(10—l0)的精度。

例：精密星历sp3数据格式。