多面体的结构特征.
2020新课标高考艺术生数学复习:空间几何体的结构特征、直观图含解析
已知A′B′=A′C′=a,在△OA′C′中,
由正弦定理得 = ,
所以OC′= a= a,
A.圆柱
B.圆锥
C.球体
D.圆柱、圆锥、球体的组合体
解析:C[当用过高线的平面截圆柱和圆锥时,截面分别为矩形和三角形,只有球满足任意截面都是圆面.]
3.如图所示,观察四个几何体,其中判断正确的是( )
A.①是棱台B.②是圆台
C.③是棱锥D.④不是棱柱
解析:C[图①不是由棱锥截来的,所以①不是棱台;图②上、下两个面不平行,所以②不是圆台;图③是棱锥;图④前、后两个面平行,其他面是平行四边形,且每相邻两个四边形的公共边平行,所以④是棱柱.故选C.]
(2)原图形中平行于坐标轴的线段,直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.
斜二测画法中的“三变”与“三不变”
“三变”
“三不变”
[思考辨析]
判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里打“√”,错误的打“×”.
(1)球的任何截面都是圆.( )
A. a2B. a2C. a2D. a2
[解析]D[如图所示为原图形和其直观图.
由图可知,A′B′=AB=a,O′C′= OC= a,
在图中作C′D′⊥A′B′于D′,则C′D′= O′C′
= a.∴S△A′B′C′= A′B′·C′D′= ×a× a= a2.故选D.]
[互动探究]
必修二立体几何初步知识点整理.doc
①棱柱斜棱柱棱垂直于底面> 直棱柱底而是正务形〉正棱柱 其他棱柱…必修二立体几何初步知识点整理一、基础知识(理■去记) (一)空间儿何体的结构特征(1) 多面体一一由若干个平面多边形围成的儿何体.围成多面体的各个多边形叫叫做多面体的面,相邻两个面的公共边叫做多面体的棱,棱与棱的公共 点叫做顶点。
旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其中,这条定直 线称为旋转体的轴。
(2) 柱,锥,台,球的结构特征1 .棱柱1.1棱柱一一有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行, 由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2相关棱柱几何体系列(棱柱、斜棱柱、直棱柱、正棱柱)的关 系:%1四棱柱底而为平行四边冲平行六面体侧棱垂直于底而直平行六面体底而为矩形--------------------------- ► --------------1.3%1 侧棱都相等,侧面是平行四边形;%1 两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形; %1 过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形; %1 直棱柱的侧棱长与高相等,侧面与对角而是矩形。
补充知识点长方体的性质:%1 长方体一条对角线长的平方等于一个顶点上三条棱的平方和;【如图】AC : = AB 2 + AD 2 + "%1 (了解)R 方体的一条对角线AG 与过顶点A 的三条棱所成的角 分别是66 0,那么 cos 2 6Z+cos 2 ^ + cos 2 y= \, sin 2 a+sin ,0 + sir? /= 2 ;%1(了解)长方体的一条对角线AG 与过顶点A 的相邻三个面所成的角分别是。
,(3, y,则cos 2 6Z4-cos 2 y^ + cos 2 y = 2, sin 2 6Z+sin 2 /? + sin 2 /= 1.1.4侧面展开图:正n 棱柱的侧面展开图是由n 个全等矩形组成的以底而周长和侧棱长为邻边的矩形.长方体底面为正方形 正四棱柱侧棱与J 氐面边R 相等 ---------------- ►正方体1.5面积、体积公式:(其中c 为底面周长,h 为棱柱的高)S 直棱柱侧="S 直棱柱全="+2$底,V 棱柱=5底.力2. 圆柱2.1圆柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形 成的曲面所围成的几何体叫圆柱.2.2圆柱的性质:上、下底及平行于底面的截面都是等圆;过轴的截 面(轴截面)是全等的矩形.2.3侧面展开图:圆柱的侧面展开图是以底面周长和母线长为邻边的 矩形. 2.4面积、体积公式:S 圆柱侧=2〃所;S 圆柱全=2勿尸/? + 2勿尸2, v 圆柱=S 底h 二勿尸人(其中r 为底面半径,h 为圆柱高)3 .棱锥3.1棱锥一一有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点 的三角形,由这些面所围成的几何体叫做棱锥。
高一数学知识点总结_空间几何体的结构知识点
⾼⼀数学知识点总结_空间⼏何体的结构知识点⾼⼀数学怎么学? 学⽣学习期间,在课堂的时间占了⼀⼤部分。
因此听课的效率如何,决定着学习的基本状况,今天⼩编在这给⼤家整理了⾼⼀数学知识点总结,接下来随着⼩编⼀起来看看吧!⾼⼀数学知识点总结(⼀)空间⼏何体的结构知识点1、静态的观点有两个平⾏的平⾯,其他的⾯是曲⾯;动态的观点:矩形绕其⼀边旋转形成的⾯围成的旋转体,象这样的旋转体称为圆柱。
2、定义:以矩形的⼀边所在直线为旋转轴,其余各边旋转⽽形成的的曲⾯所围成的旋转体叫做圆柱,旋转轴叫圆柱的轴;垂直于旋转轴的边旋转⽽成的圆⾯叫做圆柱的底⾯;平⾏于圆柱轴的边旋转⽽成的⾯叫圆柱的侧⾯,圆柱的侧⾯⼜称圆柱的⾯。
⽆论转到什么位置,不垂直于轴的边都叫圆柱侧⾯的母线。
表⽰:圆柱⽤表⽰轴的字母表⽰。
规定:圆柱和棱柱统称为柱体。
3、静态观点:有⼀平⾯,其他的⾯是曲⾯;动态的观点:直⾓三⾓形绕其⼀直⾓旋转形成的⾯围成的旋转体,像这样的旋转体称为圆锥。
4、定义:以直⾓三⾓形的⼀条直⾓边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转⽽形成的⾯所围成的旋转体叫做圆锥。
旋转轴叫圆锥的轴;垂直于旋转轴的边旋转⽽成的圆⾯成为圆锥的底⾯;不垂直于旋转轴的边旋转⽽成的曲⾯叫圆锥的侧⾯,圆锥的侧⾯⼜称圆锥的⾯,⽆论旋转到什么位置,这条边都叫做圆锥侧⾯的母线。
表⽰:圆锥⽤表⽰轴的字母表⽰。
规定:圆锥和棱锥统称为锥体。
5、定义:以半直⾓梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,其余各边旋转⽽形成的曲⾯所围成的⼏何体叫圆台。
还可以看成⽤平⾏于圆锥底⾯的平⾯截这个圆锥,截⾯于底⾯之间的部分。
旋转轴叫圆台的轴。
垂直于旋转轴的边旋转⽽形成的圆⾯称为圆台的底⾯;不垂直于旋转轴的边旋转⽽成的曲⾯叫做圆台的侧⾯,⽆论转到什么位置,这条边都叫圆台侧⾯的母线。
表⽰:圆台⽤表⽰轴的字母表⽰。
规定:圆台和棱台统称为台体。
6、定义:以半圆的直径所在的直线为旋转轴,将半圆旋转⼀周所形成的曲⾯称为球⾯,球⾯所围成的旋转体称为球体,简称为球。
空间几何体的结构特征例题和知识点总结
空间几何体的结构特征例题和知识点总结在我们的日常生活中,各种各样的物体形状各异,而在数学的世界里,我们把这些物体抽象成空间几何体来进行研究。
接下来,让我们一起深入探讨空间几何体的结构特征,并通过一些例题来加深理解。
一、空间几何体的分类空间几何体主要分为多面体和旋转体两大类。
多面体是由若干个平面多边形围成的几何体。
常见的多面体有棱柱、棱锥、棱台等。
棱柱:有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行。
棱锥:有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形。
棱台:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面与截面之间的部分。
旋转体是由一个平面图形绕着一条直线旋转所形成的几何体。
常见的旋转体有圆柱、圆锥、圆台、球等。
圆柱:以矩形的一边所在直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体。
圆锥:以直角三角形的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体。
圆台:用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分。
球:以半圆的直径所在直线为轴,半圆面旋转一周形成的几何体。
二、空间几何体的结构特征1、棱柱的结构特征侧棱都平行且相等。
两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形。
2、棱锥的结构特征侧面都是三角形。
只有一个顶点。
3、棱台的结构特征上下底面是相似多边形。
各侧棱延长后交于一点。
4、圆柱的结构特征母线平行且相等,都垂直于底面。
两个底面是全等的圆。
5、圆锥的结构特征母线交于顶点。
轴截面是等腰三角形。
6、圆台的结构特征母线延长后交于一点。
上下底面是两个半径不同的圆。
7、球的结构特征球面上任意一点到球心的距离都相等。
三、例题解析例 1:判断下列几何体是否为棱柱。
(1)一个长方体;(2)一个有两个面互相平行,其余各面都是平行四边形的几何体。
解:(1)长方体符合棱柱的定义,有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行,所以是棱柱。
(2)不一定是棱柱。
探索多面体的特征
探索多面体的特征多面体是一个有限的三维几何体,它由若干个多边形所围成,每个多边形都共用一个边。
多面体的研究已经有很长的历史,并且在数学、物理学、工程学等领域都有重要的应用。
本文将探讨多面体的特征,包括面、边、顶点的数量以及欧拉公式和分类等。
一、多面体的面、边和顶点多面体由若干个面所组成,每个面都是一个多边形。
我们以正多边形为例来讨论多面体的特征。
如果一个多面体的面都是正多边形,并且每个顶点处的多个面都可见,则称之为凸多面体。
凸多面体的特点是每个面都向外凸出,并且所有顶点都在多面体的内部。
多面体的边是面和面之间的边界线段,它们连接了相邻的面。
每两个相邻的面共享一个边。
边的数量等于所有面内部的边的数量之和。
顶点是多面体中的角点,它们是相邻的边的交点。
顶点的数量等于所有面内部的角点数量之和。
二、欧拉公式欧拉公式是研究多面体特征的重要定理,它由瑞士数学家欧拉在18世纪提出。
欧拉公式表明,对于任何一个凸多面体,它的面数、边数和顶点数之间满足以下关系:面数 + 顶点数 = 边数 + 2这个公式被认为是将面、边和顶点联系在一起的重要定理,它描述了多面体的拓扑性质。
欧拉公式也被应用在其他领域,比如图论和计算几何等。
三、多面体的分类根据多面体的特征,我们可以将其进行分类。
首先,根据面的形状,多面体可以分为正多面体和非正多面体两种类型。
正多面体是指所有的面都是正多边形的多面体。
最著名的正多面体是四面体、六面体、八面体、十二面体和二十面体。
正多面体具有对称性和规则性的特点,它们的所有边长和内角都相等。
非正多面体则是指除了正多边形以外的多边形组成的多面体。
非正多面体的面可以是任意形状的多边形,它们的边长和内角可以不相等。
其次,根据多面体的拓扑结构,多面体可以分为闭合多面体和开放多面体。
闭合多面体是指所有的面都是由完全封闭的多边形所构成的多面体,它们没有任何的挖空部分。
闭合多面体包括正多面体和非正多面体,它们由有限数量的面所组成。
多面体的面数、顶点数、棱数之间的关系-概述说明以及解释
多面体的面数、顶点数、棱数之间的关系-概述说明以及解释1.引言1.1 概述多面体是空间中的一种几何体,是由若干个平面多边形构成的立体。
在数学中,多面体是一种具有多个面、顶点和棱的几何体,它具有丰富的性质和特征。
多面体的面数、顶点数、棱数之间存在着一定的关系,这种关系是多面体结构的基础,也是我们理解和研究多面体的重要角度之一。
本文将探讨多面体的面数、顶点数、棱数之间的关系,通过对多面体的定义、性质以及具体例子的分析,希望能够深入理解多面体的结构特征,揭示其隐藏的规律和规则。
同时,我们还将探讨多面体的意义和应用,展望多面体在数学、科学和工程领域的发展前景。
通过本文的阐述,读者将更加全面地认识和了解多面体这一重要的数学概念。
1.2 文章结构本文将分为三个部分,即引言、正文和结论。
在引言部分,我们将概述本文的主题,介绍文章的结构和目的。
引言部分将为读者提供对本文内容的整体了解和预期。
在正文部分,我们将首先介绍多面体的定义,以确保读者对该概念有清晰的认识。
接着,我们将详细讨论面数、顶点数、棱数之间的关系,探讨它们之间的规律和联系。
最后,我们将通过几个具体的例子来说明这种关系,加深读者对该主题的理解。
在结论部分,我们将对本文的内容进行总结,强调面数、顶点数、棱数之间的关系对于多面体的重要性。
我们还将讨论这种关系的意义和应用,展望该领域未来的研究方向和发展前景。
通过结论部分,我们希望读者能够对本文的主题有更深入的理解和思考。
1.3 目的目的部分:在本文中,我们的目的是探究多面体的面数、顶点数、棱数之间的关系。
我们希望通过观察不同类型的多面体,分析它们之间的相互关系,进一步深化对多面体几何特征的理解。
通过研究多面体的几何性质,我们可以更好地理解它们在数学和实际生活中的应用,并为进一步研究和探索多面体提供基础。
同时,我们也希望通过本文的讨论,能够激发读者的兴趣,增强对几何学的认识和理解。
2.正文2.1 多面体的定义多面体是一种由平面多边形组成的立体图形,它具有以下几个特点:1. 多面体的每一个面都是一个平面多边形,这些面可以是三角形、四边形、五边形等各种多边形。
《空间几何体》基础的知识点
《空间几何体》知识点总结一、 空间几何体的结构特征(1)多面体——由若干个平面多边形围成的几何体旋转体一一把一个平面图形绕它所在平面内的一条定直线旋转形成的封闭几何体。
其 中,这条定直线称为旋转体的轴。
(2 )柱,锥,台,球的结构特征1.1棱柱一一有两个面互相平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都 互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
1.2圆柱一一以矩形的一边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何 体叫圆柱.2.1棱锥一一有一个面是多边形,其余各面是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的 几何体叫做棱锥。
2.2圆锥一一以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴,其余各边旋转而形成的曲面所 围成的几何体叫圆锥。
3.1棱台——用一个平行于底面的平面去截棱锥,我们把截面与底面之间的部分称为棱台 3.2圆台一一用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面与截面之间的部分叫做圆台4.1球一一以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆旋转一周形成的旋转体叫做球体,简称球二、 空间几何体的三视图与直观图1. 投影:区分中心投影与平行投影。
平行投影分为正投影和斜投影。
2. 三视图一一正视图;侧视图;俯视图;是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而 画出的图形;画三视图的原则: 长对齐、高对齐、宽相等3. 直观图:直观图通常是在平行投影下画出的空间图形。
4. 斜二测法:在坐标系 x'o'y'中画直观图时,已知图形中平行于坐标轴的线段保持平行性 不变,平行于x 轴(或在x 轴上)的线段保持长度不变,平行于y 轴(或在y 轴上)的线 段长度减半。
三、空间几何体的表面积与体积1、空间几何体的表面积① 棱柱、棱锥的表面积: 各个面面积之和2② 圆柱的表面积S = 2二「I • 2二r 2 ③圆锥的表面积 S =理「I •二r 2、空间几何体的体积 ④圆台的表面积S 二rl + Tt r 2 2 2 R ⑤球的表面积S = 4二R ⑥扇形的面积公式s 扇形 360^1|r (其中I 表示弧长,r 表示半径) ①柱体的体积 v = s 底②锥体的体积 1 VjS 底 h③台体的体积 v =丄(S 上S 上 S 下 • S 下)h ④球体的体积v3 知识赠送以下资料英语万能作文(模板型)Along with the adva nee of the society more and more problems arebrought to our atte nti on, one of which is that....随着社会的不断发展,出现了越来越多的问题,其中之一便是As to whether it is a blessing or a curse, however, people take differe nt attitudes.然而,对于此类问题,人们持不同的看法。
多面体的定义和实际应用
多面体的定义和实际应用多面体是一种具有多个平面的立体图形,它是由多个面、边和顶点组成的多面体。
在数学中,多面体是一个常见的概念,它在几何学、计算机图形学和物理学等领域都有广泛的应用。
本文将介绍多面体的定义、性质和实际应用。
一、多面体的定义多面体可以定义为一个有限几何物体,其表面由平面多边形围成,每个边和面交于一个或多个顶点。
根据不同的面数,多面体可以分为三类,分别是三面体、四面体和多面体。
1. 三面体:三面体是一种由四个面,六条边和四个顶点组成的多面体。
它的特点是四个面都是三角形,并且每个边和面交于一个顶点。
2. 四面体:四面体是一种由四个面,六条边和四个顶点组成的多面体。
它的特点是四个面都是三角形,并且每个边和面交于一个顶点。
3. 多面体:多面体指的是五个或更多个面的立体图形。
多面体具有复杂的结构,其面、边和顶点的数量根据具体的多面体类型而有所不同。
二、多面体的性质多面体有一些独特的性质,这些性质使得它们在几何学和其他领域中得到广泛的应用。
1. 面、边和顶点:多面体由面、边和顶点组成,它们之间有着特定的关系。
每个边和面都交于一个或多个顶点,每个顶点周围都有一定数量的面和边。
2. 边的长度:多面体的边长可以根据其几何形状和尺寸进行计算。
边的长度是描述多面体特征的重要指标之一。
3. 表面积和体积:多面体的表面积是其所有面积之和,体积是其空间占据的大小。
计算多面体的表面积和体积有助于了解其特征和性质。
4. 对称性:多面体可能具有对称性,即具有保持形状和结构不变的操作。
通过研究多面体的对称性,可以发现其隐藏的规律和特征。
三、多面体的实际应用多面体不仅仅是几何学中的一个概念,它在实际生活和工程应用中也有广泛的使用。
1. 建筑设计:多面体的独特形状和结构使其成为建筑设计中的重要元素。
许多建筑物的外形和内部结构都采用了多面体的概念,使建筑物更加美观和稳定。
2. 计算机图形学:多面体在计算机图形学中有着重要的应用。
新课标2023版高考数学一轮总复习第6章立体几何第1节空间几何体教师用书
第一节 空间几何体考试要求:1.认识柱、锥、台及简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆锥、棱柱及其简易组合)的直观图.3.知道棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式,能用公式解决简单的实际问题.一、教材概念·结论·性质重现1.多面体的结构特征互相平行且全等多边形互相平行平行且相等相交于一点但不一定相等延长线交于一点平行四边形三角形梯形相互平行且相等并垂直于底相交于一点延长线交于一圆空间几何体的直观图常用斜二测画法来画,其规则是:(1)“斜”:在直观图中,x′轴、y′轴的夹角为45°或135°.(2)“二测”:图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持原长度不变,平行于y轴的线,在直观图中长度为原来的一半.画直观图要注意平行,还要注意长度及角度两个要素.4.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式S圆柱侧=2πrl S圆锥侧=πrl圆台侧=π(r1+.空间几何体的表面积与体积公式名称表面积体积几何体柱体(棱柱和圆柱)S表面积=S侧+2S底V=S 底·h锥体(棱锥和圆锥)S表面积=S侧+S底V=S底·h台体(棱台和圆台)S表面积=S侧+S上+S下V=(S上+S下+)h球S=4πR2V=πR3(1)求棱柱、棱锥、棱台与球的表面积时,要结合它们的结构特点与平面几何知识来解6.常用结论几个与球有关的切、接常用结论:(1)正方体的棱长为a,球的半径为R.①若球为正方体的外接球,则2R=a;②若球为正方体的内切球,则2R=a;③若球与正方体的各棱相切,则2R=a.(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a,b,c,外接球的半径为R,则2R=.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1.解决与球“外接”问题的关键:二、基本技能·思想·活动经验1.判断下列说法的正误,对的打“√”,错的打“×”.(1)有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱.( × )(2)有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.( × )(3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分.( √ )(4)圆柱的一个底面积为S,侧面展开图是一个正方形,那么这个圆柱的侧面积是2πS.( × ) 2.如图,长方体ABCD A′B′C′D′被截去一部分,其中EH∥A′D′,则剩下的几何体是( )A.棱台 B.四棱柱C.五棱柱 D.简单组合体C 解析:由几何体的结构特征知,剩下的几何体为五棱柱.3.已知圆锥的表面积等于12π cm2,其侧面展开图是一个半圆,则底面圆的半径为( )A.1 cm B.2 cmC.3 cm D. cmB 解析:S表=πr2+πrl=πr2+πr·2r=3πr2=12π,所以r2=4,所以r=2 cm.4.体积为8的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为( )A.12π B.C.8π D.4πA 解析:由题意可知正方体的棱长为2,其体对角线为2即为球的直径,所以球的表面积为4πR2=(2R)2π=12π.故选A.5.在直观图(如图所示)中,四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm,则在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCO为__________,面积为________cm2.矩形 8 解析:由斜二测画法的规则可知,在平面直角坐标系xOy中,四边形ABCO是一个长为4 cm,宽为2 cm的矩形,所以四边形ABCO的面积为8 cm2.考点1 空间几何体的结构特征与直观图——基础性1.用任意一个平面截一个几何体,各个截面都是圆面,则这个几何体一定是( ) A.圆柱B.圆锥C.球D.圆柱、圆锥、球体的组合体C 解析:截面是任意的,且都是圆面,则该几何体为球体.2.下列命题正确的是( )A.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D.一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台C 解析:由圆锥、圆台、圆柱的定义可知A,B错误,C正确.对于D,只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,D不正确.3.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图,其中O′A′=6 cm,C ′D′=2 cm,则原图形是( )A.正方形 B.矩形C.菱形 D.一般的平行四边形C 解析:如图,在原图形OABC中,应有OD=2O′D′=2×2=4(cm),CD=C′D′=2 cm.所以OC===6(cm),所以OA=OC,所以四边形OABC是菱形.4.(多选题)下列命题中正确的是( )A.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形B.在四棱柱中,若两个过相对侧棱的截面都垂直于底面,则该四棱柱为直四棱柱C.存在每个面都是直角三角形的四面体D.棱台的上、下底面可以不相似,但侧棱长一定相等BC 解析:A不正确,根据棱柱的定义,棱柱的各个侧面都是平行四边形,但不一定全等;B正确,因为两个过相对侧棱的截面的交线平行于侧棱,又垂直于底面;C正确,如图,正方体ABCD-A1B1C1D1中的三棱锥C1 ABC,四个面都是直角三角形;D不正确棱台的上、下底面相似且是对应边平行的多边形,各侧棱的延长线交于一点,但是侧棱长不一定相等.1.解决空间几何体的结构特征的判断问题主要方法是定义法,即紧考点2 空间几何体的表面积与体积——综合性考向1 空间几何体的表面积问题(1)(2021·新高考全国Ⅰ卷)已知圆锥的底面半径为,其侧面展开图为一个半圆,则该圆锥的母线长为( )A.2 B.2 C.4 D.4B 解析:由题意知圆锥的底面周长为2π.设圆锥的母线长为l,则πl=2π,即l=2.故选B.(2)如图,在三棱柱ABCA1B1C1中,AA1⊥底面ABC,AB⊥BC,AA1=AC=2,直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为30°,则该三棱柱的侧面积为()A .4+4B .4+4C .12D .8+4A 解析:连接A 1B .因为AA 1⊥底面ABC ,则AA 1⊥BC ,又AB ⊥BC ,AA 1∩AB =A ,所以BC ⊥平面AA 1B 1B ,所以直线A 1C 与侧面AA 1B 1B 所成的角为∠CA 1B =30°.又AA 1=AC =2,所以A 1C =2,所以BC =.又AB ⊥BC ,则AB =,则该三棱柱的侧面积为2×2+2×2=4+4.(3)在如图所示的斜截圆柱中,已知圆柱底面的直径为40 cm ,母线长最短50 cm ,最长80 cm ,则斜截圆柱的侧面面积S = cm 2.2 600π 解析:将题图所示的相同的两个几何体对接为圆柱,则圆柱的侧面展开图为矩形.由题意得所求侧面展开图的面积S =×(50+80)×(π×40)=2 600π(cm 2).求解几何体表面积的类型及求法求多面体的表面积只需将它们沿着棱“剪开”展成平面图形,利用求平面图形面积的方法求多面体的表面积求旋转体的表面积可以从旋转体的形成过程及其几何特征入手,将其展开后求表面积,但要搞清它们的底面半径、母线长与对应侧面展开图中的边长关系求不规则几何体的表面积通常将所给几何体分割成基本的柱体、锥体、台体,先求出这些基本的柱体、锥体、台体的表面积,再通过求和或作差,求出所给几何体的表面积1.一个六棱锥的体积为2,其底面是边长为2的正六边形,侧棱长都相等,则该六棱锥的侧面积为_________.12 解析:设正六棱锥的高为h,侧面的斜高为h′.由题意,得×6××2××h=2,所以h=1,所以斜高h′==2,所以S侧=6××2×2=12.2.《九章算术》是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比西方早一千多年,书中将底面为直角三角形,且侧棱垂直于底面的三棱柱称为堑堵.已知一个堑堵的底面积为6,体积为的球与其各面均相切,则该堑堵的表面积为________.36 解析:设球的半径为r,底面三角形的周长为l,由已知得r=1,所以堑堵的高为2.则lr=6,l=12,所以表面积S=12×2+6×2=36.考向2 空间几何体的体积问题(1)如图所示,已知三棱柱ABCA1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1ABC1的体积为( )A. B.C. D.A 解析:易知三棱锥B1ABC1的体积等于三棱锥AB1BC1的体积,又三棱锥AB1BC1的高为,底面积为,故其体积为××=.(2)(2021·八省联考)圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为________.61π 解析:圆台的下底面半径为5,故下底面在外接球的大圆上,如图,设球的球心为O,圆台上底面的圆心为O′,则圆台的高OO′===3.据此可得圆台的体积V=π×3×(52+5×4+42)=61π.求空间几何体的体积的常用方法公式法对于规则几何体的体积问题,可以直接利用公式进行求解割补法把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计算其体积等体积法一个几何体无论怎样转化,其体积总是不变的.如果一个几何体的底面面积和高较难求解时,我们可以采用等体积法进行求解.通过选择合适的底面来求几何体体积,主要用来解决有关锥体的体积,特别是三棱锥的体积1.(2021·全国甲卷)已知一个圆锥的底面半径为6,其体积为30π,则该圆锥的侧面积为________.39π 解析:设圆锥的高为h ,母线长为l ,则圆锥的体积V =×π×62×h =30π,解得h =.所以l ===,故圆锥的侧面积S =πrl =π×6×=39π.2.如图,已知体积为V 的三棱柱ABCA 1B 1C 1,P 是棱B 1B 上除B 1,B 以外的任意一点,则四棱锥PAA 1C 1C 的体积_________. 解析:如图,把三棱柱ABCA 1B 1C 1补成平行六面体A 1D 1B 1C 1ADBC .设点P 到平面AA 1C 1C 的距离为h ,则V =S ·h =V =·2V=.考点3 与球有关的切、接问题——综合性考向1 “相切”问题已知正四面体PABC 的表面积为S 1,此四面体的内切球的表面积为S 2,则=________. 解析:设正四面体的棱长为a,则正四面体的表面积为S1=4××a2=a2,其内切球半径r为正四面体高的,即r=×a=a,因此内切球表面积为S2=4πr2=,则==.考向2 “相接”问题已知直三棱柱ABCA1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB=3,AC=4,AB⊥AC,AA1=12,则球O的半径为( )A. B. 2C. D.3C 解析:如图所示,由球心作平面ABC的垂线,则垂足为BC的中点M.又AM=BC=,OM=AA1=6,所以球O的半径R=OA==.1.已知三棱锥PABC中,△ABC为等边三角形,PA=PB=PC=3,PA⊥PB,则三棱锥PABC的外接球的体积为( )A.π B.π C.27π D.27πB 解析:因为三棱锥PABC中,△ABC为等边三角形,PA=PB=PC=3,所以△PAB≌△PBC≌△PAC.因为PA⊥PB,所以PA⊥PC,PC⊥PB.以PA,PB,PC为过同一顶点的三条棱作正方体(如图所示),则正方体的外接球同时也是三棱锥PABC的外接球.因为正方体的体对角线长为=3,所以其外接球半径R=.因此三棱锥PABC的外接球的体积V=×=π.2.(2020·全国Ⅲ卷)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为_________.π 解析:方法一:如图,在圆锥的轴截面ABC中,CD⊥AB,BD=1,BC=3,圆O内切于△ABC,E为切点,连接OE,则OE⊥BC.在Rt△BCD中,CD==2.易知BE =BD=1,则CE=2.设圆锥的内切球半径为R,则OC=2-R,在Rt△COE中,OC2-OE2=CE2,即(2-R)2-R2=4,所以R=,圆锥内半径最大的球的体积为πR3=π.方法二:如图,记圆锥的轴截面为△ABC,其中AC=BC=3,AB=2,CD⊥AB,在Rt△BCD中,CD==2,则S△ABC=2.设△ABC的内切圆O的半径为R,则R==,所以圆锥内半径最大的球的体积为πR3=π.。
2020年高三总复习数学人教旧版-必修2[第1讲 空间几何体的结构与体积] 讲义(教师版)
的关系: r R2 d 2
5.旋转体
一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫做旋转面;该定直
线叫做旋转体的轴;封闭的旋转面围成的几何体叫做旋转体.
6.简单组合体
常见的组合体有三种:多面体与多面体的组合;
多面体与旋转体的组合;旋转体与旋转体的组合.其基
本形式实质上有两种:一种是由简单几何体拼接而成
叫底面 O 的半径,线段 SO 是圆锥的高.
S 顶点
(2)圆的简单性质
①平行于底面的截面都是圆; ②过轴的截面是全等的等腰三角形;
侧面
轴 母线
③圆锥的侧面展开图是扇形. 3.圆台 (1)圆台的定义
O B
A 底面
以直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴,旋转一周所形成的集合体叫做圆台.
如右图,旋转轴叫圆台的轴(即上、下底面圆心的连线);在轴上这条边
4.球
(1)球的定义
半圆绕着它的直径所在的直线旋转一周而形成的几何体叫做球. 如右图,半圆的圆心
叫球的球心;半圆的半径叫做球的半径; 半圆的直径叫做球的直径;半圆弧旋转而成的曲面叫做球面.
(2)球的简单性质
A 直径
用一个平面去截球,截面是圆面,而且球心和截面圆心的连线
O
垂直于截面,球心到截面的距离 d 与球的半径 R 及截面圆的半径 r 有下面 球面
4.棱台和圆台的体积: (1) 如 果 台 体 的 上 、 下 底 面 面 积 分 别 为 S′ 、 S , 高 是 h , 则 它 的 体 积 是 V 台 体 =
㤶(h + h' + hh').
(2)如果圆台的上、下底面半径分别是 r′、r,高是 h,则它的体积是 V 圆台= 㤶( + ' +
第七章第一节 空间几何体的结构特征及三视图与直观图 文 湘教版课件
2.已知正三角形ABC的边长为2,那么△ABC的直观图 △A′B′C′的面积为________. 解析:如图,图①、图②所示的分别是实际图形和直观图. 从图②可知,A′B′=AB=2,
O′C′=12OC= 23,C′D′=O′C′sin 45°= 23× 22= 46.所
以
S△A′B′C′12A′B′·C′D′=12×2×
()
解析:给几何体的各顶点标上字母,如图1.A,E在侧投影面上 的投影重合,C,G在侧投影面上的投影重合,几何体在侧投影 面上的投影及把侧投影面展平后的情形如图2所示,故正确选项 为B(而不是A). 答案:B
2.用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥,截得圆台上、下 底面的面积之比为 1∶16,截去的圆锥的母线长是 3 cm,则 圆台的母线长为________ cm. 解析:抓住轴截面,利用相似比,由底面 积之比为 1∶16,设半径分别为 r,4r. 设圆台的母线长为 l,截得圆台的上、下底 面半径分别为 r、4r.根据相似三角形的性质 得3+3 l=4rr,解得 l=9. 所以,圆台的母线长为 9 cm. 答案:9
相对位置不改变.
3.按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图
形的面积的关系
S
= 直观图
2 4S
原图形,S
原图形=2
2S 直观图.
4.转化与化归思想
利用转化与化归思想解决棱台、圆台的有关问题 由棱台和圆台的定义可知棱台和圆台是分别用平行于棱锥和
圆锥的底面的平面截棱锥和圆锥后得到的,所以在解决棱台和圆台
4.三视图 (1)几何体的三视图包括 正(主) 视图、 侧(左)视图、 俯 视 图,分别是从几何体的 正前 方、 正左 方、 正上 方观察几
何体画出的轮廓线. (2)三视图的画法 ①基本要求:长对正 ,高平齐 , 宽相等 . ②画法规则:正侧 一样高, 正俯 一样长, 侧俯 一样
2022年高考数学总复习考点培优——基本立体图形及空间几何体的表面积和体积
第一节基本立体图形及空间几何体的表面积和体积【教材回扣】1.多面体的结构特征棱柱棱锥棱台①有两个面互相____________,其余各个面都是__________;②每相邻两个四边形的公共边都互相________有一个面是______,其余各面都是有一个公共顶点的______的多面体用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,__________和________之间的部分________相交于____,但不一定相等圆柱圆锥圆台球互相平行且相圆柱圆锥圆台【题组练透】题组一判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”)1.棱柱的侧棱都相等,侧面都是全等的平行四边形.()2.有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体是棱锥.()3.棱台各侧棱的延长线交于一点.()4.夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是旋转体.()题组二教材改编1.(多选题)下面结论正确的是()A.三角形的直观图是三角形B.平行四边形的直观图是平行四边形C.正方形的直观图是正方形D.菱形的直观图是菱形2.如图,八面体的每一个面都是正三角形,并且4个顶点A,B,C,D在同一个平面内,如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形,那么这个八面体的表面积是()A.225 3 cm2B.1 000 3 cm2C.1 800 3 cm2D.900+2 000 3 cm23.如图,圆柱的底面直径和高都等于球的直径,则球与圆柱的体积之比为________.题组三易错自纠1.如图,长方体ABCD-A′B′C′D′中被截去一部分,其中EH∥A′D′,剩下的几何体是()A.棱台B.四棱柱C.五棱柱D.六棱柱2.圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形,则圆柱的表面积为()A.6π(4π+3)B.8π(3π+1)C.6π(4π+3)或8π(3π+1)D.6π(4π+1)或8π(3π+2)3.Rt△ABC的三个顶点都在球O的球面上,AB=AC=2,若球心O到平面ABC的距离为1,则球O的半径为______,球O的表面积为________.题型一空间几何体角度|空间几何体的结构特征[例1](多选题)下列命题不正确的是()A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱C.有两个面平行,其余各面都是四边形,并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体叫棱柱D.用一平面去截棱锥,截面与底面之间的部分组成的几何体叫棱台[听课记录]类题通法解决与空间几何体结构特征有关问题的三个技巧(1)把握几何体的结构特征,要多观察实物,提高空间想象能力.(2)紧扣结构特征是判断的关键,熟悉空间几何体的结构特征,依据条件构建几何模型.(3)通过反例对结构特征进行辨析.巩固训练1:下列命题正确的是()A.以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥B.以直角梯形的一腰所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆台C.圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆面D.一个平面截圆锥,得到一个圆锥和一个圆台角度|直观图[例2]一个平面四边形的斜二测画法的直观图是一个边长为a的正方形,则原平面四边形的面积等于()A.24a2B.22a2C.22a2 D.223a2[听课记录]类题通法平面图形与其直观图的关系(1)在斜二测画法中,要确定关键点及关键线段.“平行于x轴的线段平行性不变,长度不变;平行于y轴的线段平行性不变,长度减半.”(2)按照斜二测画法得到的平面图形的直观图,其面积与原图形的面积的关系:S直观图=24S原图形.巩固训练2:已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的直观图△A′B′C′的面积为()A.34a2 B.38a2 C.68a2 D.616a2角度|展开图[例3]纸制的正方形的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北.现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平,得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位是()A.南B.北C.西D.下[听课记录]类题通法求解展开图问题的关键及注意事项求解立体图形展开图问题的关键是弄清原有的性质变化与否.应注意:(1)点的变化,点与点的重合及点的位置变化;(2)长度、角度等几何度量的变化.巩固训练3:如图所示是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图,A,B,C是展开图上的三点,则在正方体盒子中,∠ABC的值为()A.30° B.45°C.60° D.90°题型二空间几何体的表面积与体积[例4](1)已知圆柱的上、下底面的中心分别为O1,O2,过直线O1O2的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形,则该圆柱的表面积为()A.122π B.12πC.82π D.10π(2)[2020·江苏卷]如图,六角螺帽毛坯是由一个正六棱柱挖去一个圆柱所构成的.已知螺帽的底面正六边形边长为2 cm,高为2 cm,内孔半径为0.5 cm,则此六角螺帽毛坯的体积是________cm3.(3)(一题两空)如图,在直角梯形ABCD中,AD=AB=4,BC=2,沿中位线EF折起,使得∠AEB为直角,连接AB,CD,则所得的几何体的表面积为________,体积为________.[听课记录]类题通法(1)几何体表面积的计算:根据几何体的直观图或三视图所给的条件,确定表面的形状,选择正确的平面图形的面积公式求解,注意表面积与底面积、侧面积的区别.(2)几何体体积的计算:简单几何体可用体积公式直接求解,一些组合体的体积则需用转换法、分割法、补形法等方法进行求解.巩固训练4:(1)若圆锥的侧面展开图是圆心角为120°,半径为l的扇形,则这个圆锥的表面积与侧面积的比为()A.3:2 B.2:1C.4:3 D.5:3(2)如图所示,已知三棱柱ABC-A1B1C1的所有棱长均为1,且AA1⊥底面ABC,则三棱锥B1-ABC1的体积为()A.312 B.34C.612 D.64(3)如图,在多面体ABCDEF中,已知四边形ABCD是边长为1的正方形,且△ADE,△BCF均为正三角形,EF∥AB,EF=2,则该多面体的体积为________.题型三空间几何体与球的切、接问题高频考点角度|几何体的外接球[例5](1)[2019·全国卷Ⅰ]已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上,P A=PB =PC,△ABC是边长为2的正三角形,E,F分别是P A,AB的中点,∠CEF=90°,则球O 的体积为()A.86πB.46πC.26π D.6π(2)[2020·新高考Ⅰ卷]已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱长均为2,∠BAD=60°.以D1为球心,5为半径的球面与侧面BCC1B1的交线长为________.[听课记录]类题通法(1)求解多面体的外接球时,经常用到截面圆.如图所示,设球O的半径为R,截面圆O′的半径为r,M为截面圆上任意一点,球心O到截面圆O′的距离为d,则在Rt△OO′M 中,OM2=OO′2+O′M2,即R2=d2+r2.(2)求解球的内接正方体、长方体等问题的关键是把握球的直径即是几何体的体对角线.(3)若球面上四点P,A,B,C的连线中P A,PB,PC两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直,则可构造长方体或正方体解决问题.巩固训练5:(1)[2020·天津卷]若棱长为23的正方体的顶点都在同一球面上,则该球的表面积为()A.12π B.24πC.36π D.144π(2)[2021·河北唐山模拟]已知四棱锥P-ABCD的顶点都在球O的球面上,P A⊥底面ABCD,AB=AD=1,BC=CD=2.若球O的表面积为36π,则P A=()A .2 B.6 C.31 D.33 角度|几何体的内切球[例6] (1)已知正三棱锥的高为6,内切球(与四个面都相切)的表面积为16π,则其底面边长为( )A .18B .12C .6 3D .43(2)(一题两空)半径为R 的球的外切圆柱(球与圆柱的侧面、两底面都相切)的表面积为________,体积为________.[听课记录]类题通法 (1)正多面体存在内切球且正多面体的中心为内切球的球心. (2)求多面体内切球半径,往往可用“等体积法”.V 多=S 表·R 内切·13.(3)正四面体内切球半径是高的14,外接球半径是高的34.(4)并非所有多面体都有内切球(或外接球).巩固训练6:将半径为3,圆心角为2π3的扇形围成一个圆锥(接缝处忽略不计),则该圆锥的内切球的体积为( )A.2π3B.3π3C.4π3D .2π[预测1] 核心素养——数学抽象、直观想象如图,在矩形ABCD 中,EF ∥AD ,GH ∥BC ,BC =2,AF =FG =BG =1.现分别沿EF ,GH 将矩形折叠使得AD 与BC 重合,则折叠后的几何体的外接球的表面积为( )A .24πB .6π C.163π D.83π [预测2] 立体几何中的数学文化玉琮是中国古代玉器中重要的礼器,神人纹玉琮王是新石器时代良渚文化的典型玉器,1986年出土于浙江省余杭市反山文化遗址.玉琮王通高8.8 cm ,孔径4.9 cm 、外径17.6 cm.琮体四面各琢刻一完整的兽面神人图像,兽面的两侧各浅浮雕鸟纹.器形呈扁矮的方柱体,内圆外方,上下端为圆面的射,中心有一上下垂直相透的圆孔.试估计该神人纹玉琮王的体积约为(单位:cm 3)( )A .6 250B .3 050C .2 850D .2 350状 元 笔 记球心的确定“切”“接”问题的处理规律(1)“切”的处理解决与球有关的内切问题主要是指球内切于多面体或旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果内切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作.(2)“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题.解决这类问题的关键是抓住外接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径.1.由球的定义确定球心若一个多面体的各顶点都在一个球的球面上,则称这个多面体是这个球的内接多面体,这个球是这个多面体的外接球.也就是说如果一个定点到一个简单多面体的所有顶点的距离都相等,那么这个定点就是该简单多面体外接球的球心.①长方体或正方体的外接球的球心是其体对角线的中点; ②正三棱柱的外接球的球心是上、下底面中心连线的中点; ③直三棱柱的外接球的球心是上、下底面三角形外心连线的中点;④正棱锥的外接球的球心在其高上,具体位置可通过建立直角三角形运用勾股定理计算得到.[典例1] 若正三棱柱ABC -A ′B ′C ′的底面边长为2,侧棱长为1,其顶点都在同一球面上,则球的表面积为________.【解析】 如图,H ′,H 分别为上、下底面的中心,HH ′的中心O 为外接球的球心. 由题意得,在Rt △OAH 中, AH =233,OH =12,则外接球的半径R =OA =AH 2+OH 2=1912, 表面积S =4πR 2=19π3.【答案】 19π32.构造长方体或正方体确定球心①正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是直角三角形的三棱锥,可将三棱锥补成长方体或正方体;②同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥,可将三棱锥补成长方体或正方体;③若已知棱锥含有线面垂直关系,则可将棱锥补成长方体或正方体; ④若三棱锥的三个侧面两两垂直,则可将三棱锥补成长方体或正方体.[典例2] 若三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则其外接球的体积是________.【解析】 三棱锥的三个侧面两两垂直,且侧棱长均为3,则可将三棱锥补形成正方体.从而其外接球的直径为3,半径为32,故所求外接球的体积V =4π3×⎝⎛⎭⎫323=9π2.【答案】 9π2类题通法一般地,若一个三棱锥的三条侧棱两两垂直,且其长度分别为a ,b ,c ,则可以将这个三棱锥补形成一个长方体,长方体的体对角线的长就是该三棱锥外接球的直径,即2R = a 2+b 2+c 2.3.由球的性质确定球心[典例3] 正三棱锥A -BCD 内接于球O ,且底面边长为3,侧棱长为2,则球O 的表面积为________.【解析】 如图,设三棱锥A -BCD 的外接球的半径为r ,M 为正△BCD 的中心,因为BC =CD =BD =3,AB =AC =AD =2,AM ⊥平面BCD ,所以DM =1,AM =3,又OA =OD =r ,所以(3-r)2+1=r 2,解得r =233,所以球O 的表面积S =4πr 2=16π3. 【答案】 16π3【探究】 本题运用公式R 2=r 2+d 2(r 为三棱锥底面外接圆的半径,R 为三棱锥外接球的半径,d 为球心到三棱锥底面中心的距离)求球的半径,该公式是求球的半径的常用式.本题的思路是探求正棱锥外接球半径的通法,该方法的实质是通过寻找外接球的一个轴截面,把立体几何问题转化为平面几何问题来研究.第一节 基本立体图形及空间几何体的表面积和体积 课前基础巩固 [教材回扣]平行且全等 平行四边形 平行 多边形 三角形 截面 底面 平行且相等 一点 一点 平行四边形 三角形 梯形 垂直 一点 一点 矩形 等腰三角形 等腰梯形圆 矩形 扇形 扇环 2πrl πrl π(r +r ′)l S 底h 13S 底h 4πR 2 43πR 3[题组练透] 题组一1.× 2.× 3.√ 4.× 题组二1.解析:由斜二测直观图的画法法则可知,A 、B 正确,C 不正确,因为正方形的直观图是平行四边形,D 不正确,菱形的直观图不是菱形,而是平行四边形.故选AB.答案:AB2.解析:每个三角形面积为S =12×30×153=2253,则表面积为S =8×2253=18003(cm 2),故选C答案:C3.解析:设球的半径为R ,则圆柱的底面半径为R ,高为2R ,∵V 球=43πR 3,V 圆柱=πR 2·2R =2πR 3,∴V 球V 圆柱=4πR 332πR 3=23.答案:23题组三1.解析:由几何体的结构特征,剩下的几何体为五棱柱,故选C. 答案:C2.解析:设圆柱的底面半径为r , 分两种情况.①若6π=2πr ,r =3.∴圆柱的表面积为:4π×6π+2πr 2=24π2+18π=6π(4π+3).②若4π=2πr ,r =2,∴圆柱的表面积为:4π×6π+2×πr 2=24π2+8π=8π(3π+1),故选C.答案:C3.解析:设O 1为斜边BC 的中点,则O 1为△ABC 的外接圆的圆心, ∴OO 1⊥平面ABC ,则O 1O =1在Rt △OBO 1中,O 1B =12BC =2,于是OB =O 1O 2+O 1B 2= 3.∴球的半径R =OB =3,则球的表面积S =4πR 2=12π. 答案:3 12π课堂题型讲解题型一例1 解析:对于A ,它的每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行,故A 错;对于B ,也是它的每相邻两个四边形的公共边不一定互相平行,例如,两个底面全等的斜四棱柱拼接在一起,故B 错;对于C ,它符合棱柱的定义,故C 对;对于D ,它的截面与底面不一定互相平行,故D 错.故选ABD.答案:ABD巩固训练1 解析:由圆锥、圆台、圆柱的定义可知A ,B 错误,C 正确.对于命题D ,只有用平行于圆锥底面的平面去截圆锥,才能得到一个圆锥和一个圆台,D 不正确.故选C. 答案:C例2 解析:根据斜二测画法画平面图形的直观图的规则可知,在x 轴上(或与x 轴平行)的线段,其长度保持不变;在y 轴上(或与y 轴平行)的线段,其长度变为原来的一半,且∠x ′O ′y ′=45°(或135°),所以,若设原平面图形的面积为S ,则其直观图的面积为S ′=12·22·S =24S .可以得出一个平面图形的面积S 与它的直观图的面积S ′之间的关系是S ′=24S ,本题中直观图的面积为a 2,所以原平面四边形的面积S =a 224=22a 2. 答案:B巩固训练2 解析:如图(1)所示的是△ABC 的实际图形,图(2)是△ABC 的直观图.由图(2)可知A ′B ′=AB =a ,O ′C ′=12OC =34a ,在图(2)中作C ′D ′⊥A ′B ′于点D ′,则C ′D ′=22O ′C ′=68a .∴S △A ′B ′C ′=12A ′B ′·C ′D ′=12×a ×68a =616a 2.故选D.答案:D例3 解析:如图所示的正方体,要展开成要求的平面图,必须剪开棱BC ,使正方形BCC 1B 1向东的方向展开,剪开棱D 1C 1使正方形DCC 1D 1向北的方向展开.剪开棱A 1B 1,使正方形ABB 1A1向南的方向展开,然后展开,则标“△”的面的方位向北,故选B.答案:B巩固训练3 解析:还原成正方体后如图所示,由正方体的性质可知,△ABC 为正三角形,故∠ABC =60°.故选C. 答案:C 题型二例4 解析:(1)设圆柱的轴截面的边长为x ,则由x 2=8,得x =22,∴S 圆柱=2S 底+S 侧=2×π×(2)2+2π×2×22=12π.故选 B.(2)正六棱柱的体积为6×34×22×2=123(cm 3),圆柱的体积为π×0.52×2=π2(cm 3),则该六角螺帽毛坯的体积为⎝⎛⎭⎫123-π2 cm 3.(3)如图,过点C 作CM 平行于AB ,交AD 于点M ,作CN 平行于BE ,交EF 于点N ,连接MN .由题意可知ABCM ,BENC 都是矩形,AM =DM =2,CN =2,FN =1,AB =CM =22,所以S △AEB =12×2×2=2,S 梯形ABCD =12×(2+4)×22=62,S 梯形BEFC =12×(2+3)×2=5,S 梯形AEFD =12×(3+4)×2=7,在直角三角形CMD 中,CM =22,MD =2,所以CD =2 3.又因为DF =FC =5,所以S △DFC =12×23×2=6,所以这个几何体的表面积为2+62+5+7+6=14+62+6.因为截面CMN 把这个几何体分割为直三棱柱ABE -MCN 和四棱锥C -MNFD ,又因为直三棱柱ABE -MCN 的体积为V 1=S △ABE ·AM =12×2×2×2=4,四棱锥C -MNFD 的体积为V 2=13S 四边形MNFD ·BE =13×12(1+2)×2×2=2,所以所求几何体的体积为V 1+V 2=6.答案:(1)B (2)123-π2(3)14+62+6 6巩固训练4 解析:(1)底面半径r =23πl 2π=13l ,故圆锥中S 侧=13πl 2,S 表=13πl 2+π⎝⎛⎭⎫13l 2=49πl 2,所以表面积与侧面积的比为4 3.故选C.(2)VB 1-ABC 1=VA -B 1BC 1 =13×12×32=312. 故选A.(3)如图,取AD 的中点M ,过M 作MN ⊥EF 于N ,取BC 的中点G ,过G 作GH ⊥EF 于H ,连接AN ,DN ,BH ,CH ,则原几何体可分割为左锥体E -ADN 、右锥体F -BCH 、直三棱柱ADN -BCH ,且两锥高各是12,柱高是1.连接EM ,则由△ADE 是边长为1的正三角形,知EM =32,MN =⎝⎛⎭⎫322-⎝⎛⎭⎫122=22. ∴V =12×1×22×1+2×13×12×22×1×12=23.答案:(1)C (2)A (3)23题型三例5 解析:(1)本题主要考查三棱锥的外接球的体积,考查考生的化归与转化能力、空间想象能力、运算求解能力,考查的核心素养是逻辑推理、直观想象、数学运算.因为点E ,F 分别为P A ,AB 的中点,所以EF ∥PB , 因为∠CEF =90°,所以EF ⊥CE ,所以PB ⊥CE . 取AC 的中点D ,连接BD ,PD ,易证AC ⊥平面BDP ,所以PB ⊥AC ,又AC ∩CE =C ,AC ,CE ⊂平面P AC ,所以PB ⊥平面P AC , 所以PB ⊥P A ,PB ⊥PC ,因为P A =PB =PC ,△ABC 为正三角形,所以P A ⊥PC ,即P A ,PB ,PC 两两垂直,将三棱锥P -ABC 放在正方体中如图所示.因为AB =2,所以该正方体的棱长为2,所以该正方体的体对角线长为6,所以三棱锥P -ABC 的外接球的半径R =62,所以球O 的体积V =43πR 3=43π⎝⎛⎭⎫623=6π,故选D. (2)如图,连接B 1D 1,易知△B 1C 1D 1为正三角形,所以B 1D 1=C 1D 1=2.分别取B 1C 1,BB 1,CC 1的中点M ,G ,H ,连接D 1M ,D 1G ,D 1H ,则易得D 1G =D 1H =22+12=5,D 1M ⊥B 1C 1,且D 1M = 3.由题意知G ,H 分别是BB 1,CC 1与球面的交点.在侧面BCC 1B 1内任取一点P ,使MP =2,连接D 1P ,则D 1P =D 1M 2+MP 2=(3)2+(2)2=5,连接MG ,MH ,易得MG =MH =2,故可知以M 为圆心,2为半径的圆弧GH 为球面与侧面BCC 1B 1的交线.由∠B 1MG =∠C 1MH =45°知∠GMH =90°,所以GH 的长为14×2π×2=2π2.答案:(1)D (2)22π巩固训练5 解析:(1)设外接球的半径为R ,易知2R =3×23=6,所以R =3,于是表面积S =4πR 2=36π,故选C.(2)设球O 的半径为R ,则4πR 2=36π,解得R =3.设底面ABCD 外接圆的半径为r ,则由圆的内接四边形的性质可知∠B +∠D =180°.又AB =AD =1,BC =CD =2,AC =AC ,故△ABC ≌△ADC ,故∠B =∠D =90°,故AC =12+22=5=2r ,故P A =(2R )2-(2r )2=36-5=31.故选C. 答案:(1)C (2)C 例6解析:(1)如图,由题意知,球心在三棱锥的高PE 上,设内切球的半径为R ,则S 球=4πR 2=16π,所以R =2,所以OE =OF =2,OP =4.在Rt △OPF 中,PF =OP 2-OF 2=23,因为△OPF ∽△DPE ,所以OF DE =PF PE ,得DE =23,AD =3DE =63,AB =23AD =12.故选B.(2)S 表=πR 2×2+π×2×R ×R ×2=2πR 2+4πR 2=6πR 2, V =π×R 2×R ×2=2πR 3. 答案:(1)B (2)6πR 2 2πR 3巩固训练6 解析:设圆锥的底面半径为r ,高为h ,则2πr =2π3×3,∴r =1.∴h =32-12=2 2.设圆锥内切球的半径为R ,则R 22-R =13,∴R =22,∴V 球=43πR 3=43π×⎝⎛⎭⎫223=2π3.故选A.答案:A高考命题预测预测1 解析:由题意可知,折叠后的几何体是底面为等边三角形的三棱柱,底面等边三角形外接圆的半径为23×12-⎝⎛⎭⎫122=33.因为三棱柱的高为BC =2,所以其外接球的球心与底面外接圆圆心的距离为1,则三棱柱外接球的半径为R =⎝⎛⎭⎫332+12=233,所以三棱柱外接球的表面积S =4πR 2=16π3.故选C.答案:C预测2 解析:由题意,该神人纹玉琮王的体积为底面边长为17.6 cm ,高为8.8 cm 的长方体的体积减去底面直径为4.9 cm ,高为8.8 cm 的圆柱的体积.则V =17.6×17.6×8.8-π×⎝⎛⎭⎫4.922×8.8≈2 560 cm 3.结合该神人纹玉琮王外面方形偏低且去掉雕刻部分,可估计该神人纹玉琮王的体积约为2 350 cm 3.故选D. 答案:D。
第一讲空间几何和结构特征以及三视图和直观图讲解
各棱长都为2的正三棱锥的三视图如图所示:
2 2
3
3
2 2
2
2 3 体高h 2 3
三、斜二测画法:
平行于x轴长度不变平行于 x轴 平行于y轴长度减半平行于 y轴 平行于z轴长度不变平行于 z轴
是底面中心的棱锥.特别地,各条棱均相等的正三棱锥又叫
正四面体. (3)平行六面体:指的是底面为平行四边形的四棱柱.
平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有 多个,如两组对边分别平行,类似地,写出空间中的一个
四棱柱为平行六面体的两个充要条件:
充要条件① ;
充要条件②
(写出你认为正确的两个充要条件)
B.以三角形的一条边所在直线为旋转轴,其余两边旋转形 成的曲面所围成的几何体叫圆锥 C.棱锥的侧棱长与底面多边形的边长相等,则该棱锥可能 是正六棱锥 D.圆锥的顶点与底面圆周上的任意一点的连线都是母线
解析:A错误.如图(1)所示,由两个结构相同的三棱锥叠放在
一起构成的几何体,各面都是三角形,但它不是棱锥.
解析:由三视图知,由4块木 块组成.
答案:4
5.如图,矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直 观图,其中O′A′=6 cm,O′C′=2 cm,则原图形的形 状是 .
解析:将直观图还原得▱OABC,
则∵O′D′=
OD=2O′D′=4 OC=
O ′ C′ = 2
cm,
cm,
C′D′=O′C′=2 cm,∴CD=2 cm, =2 cm, OA=O′A′=6 cm=OC,故原图形为菱形.
答案:菱形
多面体的概念
多面体的概念引言多面体是一个几何学上的重要概念,它是由多个平面多面角所围成的立体图形。
多面体在数学、物理、计算机图形学等领域都有广泛的应用和研究。
本文将介绍多面体的基本概念、特征和分类。
基本概念多面体的定义多面体是一个由平面多面角所围成的立体图形。
它的表面由多个多边形组成,每个多边形是相邻多面角的一部分。
每个多面角都是由三个或更多相邻的边界线所形成的。
面、棱与顶点多面体由面、棱和顶点组成。
面是多边形,可以是三角形、四边形、五边形等等。
棱是面之间的边界线,连接两个面的共同边界点。
顶点是棱的交点,即多面体的尖端。
多面体的特征多面体的特征包括面的数量、棱的数量和顶点的数量。
对于正多面体来说,它的面、棱和顶点的数量满足欧拉公式:面数 + 顶点数 = 棱数 + 2。
分类凸多面体与非凸多面体多面体可以分为凸多面体和非凸多面体。
凸多面体的所有面都向外凸出,任意两点在多面体内部的直线段都完全在多面体内部,不与多面体的边界相交。
非凸多面体则至少有一面向内凹或颠倒。
正多面体正多面体是一种特殊的多面体,它的所有面都是相等且全等的正多边形。
常见的正多面体有四面体、六面体、八面体和十二面体。
非正多面体非正多面体是除正多面体外的其他所有多面体。
非正多面体的面可以是不等边的多边形,且各个面的形状和大小可以不同。
应用多面体在不同领域有着广泛的应用。
数学多面体是数学中研究的重要对象之一,特别是在几何学中。
通过研究多面体的性质,可以深入理解几何学的基本概念和定理。
物理学在物理学中,多面体也有着重要的应用。
很多分子的结构可以用多面体来描述和分析。
多面体的对称性也在分子对称性研究中起着重要的作用。
计算机图形学多面体在计算机图形学中有着广泛的应用。
通过建模多面体,可以创建逼真的三维模型和动画,用于游戏开发、虚拟现实等方面。
结论本文介绍了多面体的基本概念、特征和分类。
多面体作为一个立体图形,具有丰富的性质和应用。
通过深入研究多面体,可以在数学、物理和计算机图形学等领域解决一系列的问题。
多面体的结构特征
四边形;
③过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是
平行四边形。
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S S
A B
C
D
C
A
B
2.棱锥的结构特征:
(1)定义:有一个面是多边形,其余各面都是
有一公共点的三角形,由这些面所围成的几
何体叫做棱锥。
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S S
A
C
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A B
B
(2)棱锥的有关概念:棱锥中,这个多边形面 叫做棱锥的底面或底,有公共顶点的各个三 角形面叫做棱锥的侧面,各侧面的公共顶点 叫做棱锥的顶点,相邻侧面的公共边叫做棱 锥的侧棱。
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S S
A B
C
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C
A
B
(3)棱锥的分类:按底面的多边形的边数分, 有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。 (4)棱锥的表示:用底面各顶点的字母表示, 如图的四棱锥可表示为“棱锥S-ABCD”, 三棱锥可表示为“棱锥S-ABC”。
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A B
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(5)棱锥的几何性质: ①侧面、对角面都是三角形; ②平行于底面的截面与底面相似,其相似比 等于顶点到截面距离与高的比的平方。
和截面分别叫做棱台的下底面和上底面,其
余各面叫做棱台的侧面,相邻侧面的公共边
叫做棱台的侧棱,侧面与底面的公共顶点叫
做棱台的顶点.
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(3)棱台的分类:由三棱锥、四棱锥、 五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、 四棱台、五棱台等。 (4)棱台用表示底面各顶点的字母表示, 如图中的棱台表示为棱台ABCD-A’B’C’D’。
空间中的正多面体的特征
空间中的正多面体的特征正多面体是几何学中的一个重要概念,指的是有着特定规则和属性的多面体。
它具有一些独特的特征,这些特征使其在数学、物理学和工程学等领域得到广泛应用。
一、定义和基本特征正多面体是一个由等边等角多边形构成的多面体,其中每个多边形都与相邻多边形共享一个公共边。
它的每个顶点都相同,每个面都是相似的,并且正多面体的各个角度都相等。
二、常见的正多面体1. 正四面体(四面体)正四面体是最简单的正多面体,它由四个相等的三角形构成。
每个面都是等边等角的三角形,每个顶点都有3条边相连。
正四面体在化学、结构设计和分子几何等领域有重要应用。
2. 正六面体(立方体)正六面体也被称为立方体,它是最为熟知的正多面体之一。
立方体的每个面都是正方形,每个顶点都有3条边相连。
它在几何学、计算机图形学和物理学中被广泛应用。
3. 正八面体(八面体)正八面体由八个相等的正三角形构成,每个顶点都有4条边相连。
正八面体在几何学、晶体学和建筑学中被广泛研究和应用。
4. 正十二面体(十二面体)正十二面体由十二个相等的正五边形构成,每个顶点都有5条边相连。
它在几何学、几何拓扑学、分子几何学和立体几何学等领域有重要应用。
5. 正二十面体(二十面体)正二十面体是最复杂的正多面体之一,由二十个相等的正三角形构成,每个顶点都有3条边相连。
它在结构设计、建筑学和材料科学等领域有广泛应用。
三、性质和应用正多面体具有一些独特的性质和应用,如下所示:1. 对称性:正多面体具有高度的对称性,能够保持不变的旋转和镜像操作。
这些对称性质使它们在立体几何学和对称几何学中有广泛的应用。
2. 空间充填:正多面体能够最有效地填充空间,使得每个多面体之间没有空隙。
这个特性在化学、材料科学和晶体学中有重要应用。
3. 强度和稳定性:正多面体的结构具有较高的强度和稳定性,使得它们在工程学和建筑学中被广泛应用。
4. 分子结构:正多面体在分子领域中具有重要意义,如有机化学中的立体化学和配位化学。
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(3)棱台的分类:由三棱锥、四棱锥、 五棱锥等截得的棱台分别叫做三棱台、 四棱台、五棱台等。 (4)棱台用表示底面各顶点的字母表示, 如图中的棱台表示为棱台ABCD-A’B’C’D’。
C' D'
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上底面
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下底面
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上底面
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下底面
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(5)棱台的性质: ①两底面所在平面互相平行,两底面是对应 边互相平行的相似多边形; ②侧面是梯形; ③侧棱的延长线相交于一点。
棱柱,棱锥,棱台的联系
相同点是:它们都是由平面多边形 围成的几何体,它们都有底面且底面都是多边形;
不同点是:棱柱和棱台都有两个底面,而棱锥只有一 个底面,棱柱的两个底面是全等的,棱台的两个底面 是相似的;
3.棱台的结构特征: (1)定义:用一个平行于棱锥底面的平面去 截棱锥,截面和底面之间的部分叫做棱台。
C' D'
D'
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上底面
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下底面
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上底面
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下底面
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(2)棱台的有关概念:原棱锥的底面和截面分 别做棱台的下底面和上底面。原棱锥的底面 和截面分别叫做棱台的下底面和上底面,其 余各面叫做棱台的侧面,相邻侧面的公共边 叫做棱台的侧棱,侧面与底面的公共顶点叫 做棱台的顶点.
多面体的结构特征
一.多面体和旋转体 1.多面体:由若干个平面多边形围成的几何 体叫做多面体。围成多面体的各个多边形叫 做多面体的面。相邻两个面的公共边叫做多 面体的棱,棱与棱的公共点叫做多面体的顶 点。
2.旋转体:由一个平面图形绕它所在的平面 内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体, 叫做旋转体,这条定直线叫做旋转体的轴。
S S
A B
C
D
C
A
B
(3)棱锥的分类:按底面的多边形的边数分, 有三棱锥、四棱锥、五棱锥等。
(4)棱锥的表示:用底面各顶点的字母表示, 如图的四棱锥可表示为“棱锥S-ABCD”, 三棱锥可表示为“棱锥S-ABC”。
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(5)棱锥的几何性质: ①侧面、对角面都是三角形; ②平行于底面的截面与底面相似,其相似比 等于顶点到截面距离与高的比的平方。
平行四边形。
S S
A B
C
D
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2.棱锥的结构特征: (1)定义:有一个面是多边形,其余各面都是 有一公共点的三角形,由这些面所围成的几
何体叫做棱锥。
S S
A
C
D
C
A B
B
(2)棱锥的有关概念:棱锥中,这个多边形面 叫做棱锥的底面或底,有公共顶点的各个三 角形面叫做棱锥的侧面,各侧面的公共顶点 叫做棱锥的顶点,相邻侧面的公共边叫做棱 锥的侧棱。
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(3)棱柱的分类:按底面的多边形的边数分, 有三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
(4)棱柱的表示:用底面各顶点的字母表示, 如: 六棱柱表示为“棱柱ABCDEF-A’B’C’D’E’F’” 三棱柱表示为“棱柱ABC-A’B’C’”。
转化:棱台是由棱锥截取得到的, 棱台的上底面扩大,使上下底面全等,就是棱柱, 棱台的上底面缩为一个点就是棱锥.
二.多面体的结构特征 1.棱柱的结构特征: (1)定义:有两个面互相平行,其余各面都 是四边形,并且每相邻两个四边形的公共 边都互相平行,由这些面所围成的几何体 叫做棱柱。
E' F'
D' C'
A'
C'
A' B'
B'
E F
D A
C
C
A
B
B
(2)棱柱的有关概念:棱柱中,两个互相平 行的面叫做棱柱的底面(简称底),其余 各面叫做棱柱的侧面,相邻侧面的公共边 叫做棱柱的侧棱,侧面与底面的公共顶点 叫做棱柱的顶点。
E' F'
D' C'
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D C
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A B
C' C
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底面 C'
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侧面
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底面
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B 顶点
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A 侧面 B
C'
底面
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C
顶点
(5)棱柱的几何性质: ①两个底面与平行于底面的截面是全等的
多边形; ②侧棱都是平行且相等的,侧面均为平行
四边形; ③过不相邻的两条侧棱的截面(对角面)是