【40套试卷合集】长沙市雅礼中学2019-2020学年数学高一上期末模拟试卷含答案
2019-2020学年湖南省高一(上)期末数学试卷
2019-2020学年湖南省高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（4分）已知集合{|13}A x x =-<<，{|10}B x x =-<，则()(R A B =⋂ð ) A ．{|13}x x <„B ．{|11}x x -<„C ．{|12}x x <„D ．{|13}x x 剟2．（4分）函数()(1)f x lg x =+的定义域是( ) A ．[1-，2] B ．(1-，2]C ．(1，2]D ．(1,2)3．（4分）已知a =，b =c =，则( ) A ．b c a <<B ．a b c <<C ．a c b <<D ．c a b <<4．（4分）函数5()()42x f x =-的零点所在的区间是( )A ．(1,2)B ．(2,3)C ．(3,4)D ．(0,1)5．（4分）已知l ，m 是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，且//l α，m β⊥，则下列命题中为真命题的是( ) A ．若//αβ，则//l β B ．若αβ⊥，则l m ⊥ C ．若l m ⊥，则//l βD ．若//αβ，则m α⊥6．（4分）若直线20x y ++被圆224x y +=截得的弦长为(m = )AB ．5C ．10D ．257．（4分）已知圆柱的底面圆的面积为9π，高为2，它的两个底面的圆周在同一个球的球面上，则该球的表面积为( ) A ．16πB ．20πC ．40πD ．403π8．（4分）函数2(31),1()3,1a log x x f x ax x a x +>⎧=⎨-++⎩„在R 上单调递增，则a 的取值范围是( )A ．3(1,)2B ．3[2C ．D ．3(1,]29．（4分）已知(2,0)A -，(2,0)B ，点P 是圆22:(3)(1C x y -+-=上的动点，则22||||AP BP +的最小值为( ) A ．9B ．14C ．18D ．2610．（4分）设1x ，2x ，3x 分别是方程3log 3x x +=，3log (2)x x +=-，4x e lnx =+的实根，则( ) A ．123x x x <+B ．213x x x <<C ．231x x x <<D ．321x x x <<二、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上. 11．（4分）若直线220x y -+=与3(5)10x a y +-+=平行，则a 的值为 ． 12．（4分）已知点(3,1)A ，(1,3)B -，则以线段AB 为直径的圆的标准方程为 ． 13．（4分）若幂函数222()(22)mmf x m m x -=+-在(0,)+∞上为减函数，则m = ．14．（4分）已知圆221:(2)(1)10C x y -+-=与圆222:66C x y x y ++-=，则两圆的公共弦所在的直线方程为 ．15．（4分）如图，在ABC ∆中，AB BC ⊥，D ，E 分别为AB ，AC 边上的中点，且4AB =，2BC =．现将ADE ∆沿DE 折起，使得A 到达1A 的位置，且160A DB ∠=︒，则1A C = ．三、解答题：本大题共5小题，共40分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16．（6分）已知直线l 的方程为43120x y ++=，1l 与l 垂直且过点(2,3)--． （1）求直线1l 的方程；（2）若直线2l 经过1l 与l 的交点，且垂直于x 轴，求直线2l 的方程． 17．（8分）（1）求值0.5021()(3)16π-+-；（2）求值21log 5400222lg lg +-+．18．（8分）已知圆C 的圆心在x 轴正半轴上，且圆C 与y 轴相切，点(2,4)P 在圆C 上． （1）求圆C 的方程；（2）若直线:(1)40l m x y m ++++=与圆C 交于A ，B 两点，且||8AB =，求m 的值． 19．（8分）如图，在三棱锥P ABC -中，AB BC ⊥，3AB =，4BC =，AC AP =，PA ⊥平面ABC ，过A 作AD PB ⊥于D ，过D 作DE PC ⊥于E ，连接AE ． （1）证明：AE PC ⊥． （2）求三棱锥P ADE -的体积．20．（10分）已知函数22()3x xe ef x -+=，其中e 为自然对数的底数．（1）证明：()f x 在(0,)+∞上单调递增； （2）函数25()3g x x =-，如果总存在1[x a ∈-，](0)a a >，对任意2x R ∈，12()()f x g x …都成立，求实数a 的取值范围．。
【优质文档】2019-2020学年人教A版湖南省长沙一中高一第一学期期末数学试卷含解析
由 AB＝ ，得 FG＝
．
设△ PAB的外心为 E， 在△ PAB中，由 PA＝ PB＝ ， AB＝ ，
得 cos P＝
，则 sin P＝
．
设△ PAB的外接圆半径为 r ，则
，即 r ＝ ．
再设三棱锥 P﹣ ABC的外接球球心为 O，则外接球半径 R＝ OA＝
．
∴该三棱锥外接球的表面积为 4π×
．
）
A．外切
B．内切
C．相交
D．相离
7．已知两条不同直线 a、 b，两个不同平面α、β，有如下命题：
①若 a∥α， b? α，则 a∥ b；②若 a∥α， b∥α，则 a∥ b；
③若α∥β， a? α，则 a∥β；④若α∥β， a? α， b? β，则 a∥ b；
以上命题正确的个数为（
）
A． 3
B． 2
③若α∥β， a? α，则 a∥β；④若α∥β， a? α， b? β，则 a∥ b；
以上命题正确的个数为（
）
A． 3
B． 2
C． 1
D．0
【分析】直接利用空间中线线、线面、面面间的位置关系逐一判定即可得答案．
解：①若 a∥α， b? α，则 a 与 b 平行或异面，故①错误；
②若 a∥α， b∥α，则 a∥ b，则 a 与 b 平行，相交或异面，故②错误；
2019-2020 学年高一第一学期期末数学试卷
一、选择题
1．已知集合 A＝{ x| x﹣ a≤ 0} ，若 2∈ A，则 a 的取值范围为（
）
A．（﹣∞， 4]
B．（﹣∞， 2]
C． [2 ， +∞）
2．函数 f （ x）＝ ax+1﹣ 2（ a＞ 0，且 a≠1）的图象恒过的点为（
(9份试卷汇总)2019-2020学年湖南省长沙市数学高一(上)期末质量跟踪监视模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题 1．已知数列前项和为，且满足，（为非零常数），则下列结论中: ①数列必为等比数列；②时，；③；④存在，对任意的正整数，都有正确的个数有（ ）A.1B.2C.3D.42．在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马．如图，若四棱锥P ﹣ABCD 为阳马，侧棱PA ⊥底面ABCD ，PA ＝AB ＝AD ，E 为棱PA 的中点，则异面直线AB 与CE 所成角的正弦值为（ ）A ．22B ．53C ．52D ．323．过△ABC 的重心任作一直线分别交边AB ，AC 于点D 、E ．若AD xAB =u u u r u u u r ,AE y AC =u u ur u u u r ，0xy ≠，则4x y +的最小值为（ ）A ．4B ．3C ．2D ．14．已知圆()()221 221:C x y ++-=，圆 ()()222 2516:C x y -+-= ，则圆1C 与圆2 C 的位置关系是（ ） A.相离B.相交C.外切D.内切5．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点P 在边长为2的正方形ABCD 内部及其边界上运动，已知点()2,0M -，()1,1B -，()1,1C ，则MO MP ⋅u u u u r u u u r的最大值是（ ）A ．2B ．4C ．6D ．2106．在平面直角坐标系xOy 中，角的终边与单位圆交于点不在坐标轴上，过点P 作x 轴的垂线，垂足为M ，则面积的最大值为A ．B ．C ．D ．7．给出下列结论：（1）某学校从编号依次为001，002，…，900的900个学生中用系统抽样的方法抽取一个样本，已知样本中有两个相邻的编号分别为053，098，则样本中最大的编号为862．（2）甲组数据的方差为5，乙组数据为5、6、9、10、5，那么这两组数据中较稳定的是甲． （3）若两个变量的线性相关性越强，则相关系数r 的值越接近于1．（4）对A 、B 、C 三种个体按3:1:2的比例进行分层抽样调查，若抽取的A 种个体有15个，则样本容量为30．则正确的个数是（ ） A.3B.2C.1D.08．函数3()1f x x x =+-的零点的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．39．已知各项均为正数的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且()2*212,21,n n a a S n n N+==++∈若对任意的*n N ∈，123111120nn a n a n a n a λ++++-≥++++L 恒成立，则实数λ的取值范围为（ ） A.1,3⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦B.7,12⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦C.1,4⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦D.1,2⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦10．如图，在平面直角坐标系xOy 中，角()0ααπ≤≤的始边为x 轴的非负半轴，终边与单位圆的交点为A ，将OA 绕坐标原点逆时针旋转2π至OB ，过点B 作x 轴的垂线，垂足为Q ．记线段BQ 的长为y ，则函数()y f α=的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．11．已知函数13log ,0,()2,0,x x x f x x >⎧⎪=⎨⎪≤⎩若1()2f a >，则实数a 的取值范围是（ ）A.(1,0)(3,)-+∞UB.(1,3)-C.3(1,0)(,)-+∞U D.3(1,)-12．设1a >，且()()()2log 1,log 1,log 2a a a m a n a p a =+=-=，则,,m n p 的大小关系为（ ）A ．n m p >>B ．m p n >>C ．m n p >>D ．p m n >>二、填空题13．如图，某数学学习小组要测量地面上一建筑物CD 的高度（建筑物CD 垂直于地面），设计测量方案为先在地面选定,A B 两点，其距离为100米，然后在A 处测得60DAB ∠=o ，在B 处测得75,30DBA DBC ∠=∠=o o ，则此建筑物CD 的高度为________米．14．定义在D 上的函数()f x ，如果满足：对任意x D ∈，存在常数M 0>，都有()f x M ≤成立，则称()f x 是D 上的有界函数，其中M 称为函数()f x 的上界.已知函数()x x f x 1a 24=+⋅+在(],0∞-上是以3为上界的函数，则实数a 的取值范围是______．15．已知幂函数()f x x α=的部分对应值如下表，则不等式'(1)0,{'(3)0.g g <∴>的解集是__________.16．函数()3sin 23f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭的图象为C ，则（1）图象C 关于直线1112x π=对称；（2）图象C 关于点2,03π⎛⎫ ⎪⎝⎭对称；（3）函数()f x 在区间5,1212ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭内是增函数；（4）由3sin 2y x =的图象向右平移3π个单位长度可以得到图象C ，以上结论中正确的序号是__________． 三、解答题17．已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y=2x 上.则 (1)求cos(2)4πα+的值；(2)已知(0,)2πα∈，sin()04102ππββ+=-<<，求αβ-的值. 18．已知函数[)2()(2,)1f x x x x =-∈+∞-． (I)证明：函数()f x 是减函数．(II)若不等式()(1)2a x x +->对[)2,x ∈+∞恒成立，求实数a 的取值范围．19．已知{}n a 是公差0d ≠的等差数列，2a ，6a ，22a 成等比数列，4626a a +=；数列{}n b 是公比q 为正数的等比数列，且32b a =，56b a =． （1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式； （2）求数列{}n n a b ⋅的前n 项和n T ．20．已知O 为坐标原点，(2cos OA x =u u u v ，()sin ,1OB x x =+-u u u v ，若()2f x OA OB =⋅+u u u v u u u v.（Ⅰ）求函数()f x 的单调递减区间； （Ⅱ）当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，若方程()0f x m +=有根，求m 的取值范围. 21．如图，四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 为平行四边形，60DAB ∠=o ，2AB AD =，PD ⊥底面ABCD .（1）证明：PA BD ⊥；（2）设2PD AD ==，求点D 到面PBC 的距离.22．已知a ，b ，c 分别为ABC ∆三个内角A ,B ,C 的对边，.(Ⅰ)求A ；(Ⅱ)若a =2，ABC ∆3b ，c . 【参考答案】*** 一、选择题题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B B C C C C B C B DB13．25614．[]5,1- 15．[]4,4-16．①② 三、解答题 17．（1）210-；（2）2π18．（Ⅰ）略； （Ⅱ）0a >.19．（1）32n a n =-，12n n b -=；（2）()5352n n +-20．(1) ()f x 的单调减区间为7,1212k k ππππ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦()k ∈Z ;(2))32m ⎡∈-⎣. 21．（1）略（2）3d =22．(1)3A π=(2)=22019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．直线31y x =+的倾斜角为（） A ．30oB ．60oC ．120oD ．150o2．与圆22:(2)(2)1C x y ++-=关于直线10x y -+=对称的圆的方程为（ ） A.22(1)(1)1x y -++= B.22(1)(1)1x y +++= C.22(1)(1)1x y -+-= D.22(1)(1)1x y ++-=3．已知函数()cos 23f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，将函数()y f x =的图象向右平移6π后得到函数()y g x =的图象，则下列描述正确的是（ ） A.(,0)2π是函数()y g x =的一个对称中心 B.512x π=是函数()y g x =的一条对称轴 C.5,012π⎛⎫⎪⎝⎭是函数()y g x =的一个对称中心 D.2x π=是函数()y g x =的一条对称轴4．函数的零点所在的区间是（ ） A.B.C.D.5．已知边长为1的菱形ABCD 中，60BAD ∠=︒，点E 满足12BE EC =u u u r u u u r ，则AE BD ⋅u u u r u u u r的值是（ ）A ．13-B ．12-C ．14-D ．16-6．若圆锥的横截面（过圆锥轴的一个截面）是一个边长为2的等边三角形，则该圆锥的侧面积为（ ） A.π B.2π C.3π D.4π7．已知平面向量,m n u r r 满足(2,1)m =u r ，20m n =u r rg ，若||10m n +=u r r ，则||n =r （ ）A ．35B 55C ．52D 658．直线350x -=的倾斜角为（ ） A ．-30° B ．60°C ．120°D ．150°9．已知2tan 22.51tan 22.5m ︒=-︒，则函数()32111y m x x x =⋅++>-的最小值是（ ） A.2B.23C.223+D.32-10．已知向量(2,3),(,4)a b x ==r r ，若()a a b ⊥-rr r ，则x =（ ）A ．1B ．12C ．2D ．311．数列{}n a 的首项为3，{}n b 为等差数列，且1n n n b a a +=-（*n ∈N ），若32b =-，1012b =，则8a =（ ）A.0B.3C.8D.1112．“0x >”是“20x x +>”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件二、填空题13．某船在A 处看到灯塔S 在北偏西40o 方向，它向正北方向航行50海里到达B 处，看到灯塔S 在北偏西76o 方向，则此时船到灯塔S 的距离为_____海里． 14．已知点O 为△ABC 内一点，+2+3=，则=_________。
2019-2020学年湖南省长沙市高一上期末数学模拟试卷及答案解析
2019-2020学年湖南省长沙市高一上期末数学模拟试卷一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．设集合A＝{1，3，5，7}，B＝{x|2≤x≤5}，则A∩B＝（）
A．{1，3}B．{3，5}C．{5，7}D．{1，7}
2．若圆柱与圆锥的底面半径相等，母线也相等，它们的侧面积分别为S1和S2，则S1：S2＝（）
A．1：2B．2：1C．1：3D．3：1
3．下列四条直线，倾斜角最大的是（）
A．x＝1B．y＝x+1C．y＝2x+1D．y＝﹣x+1 4．若，则f[f（﹣2）]＝（）
A．2B．3C．4D．5
5．如果在两个平面内分别有一条直线，它们互相平行，那么这两个平面的位置关系一定是（）
A．平行B．相交C．平行或相交D．垂直相交
6．已知直线（2+m）x+（1﹣2m）y+4﹣3m＝0恒经过定点P，则点P到直线l：3x+4y﹣4＝0的距离是（）
A．6B．3C．4D．7
7．已知，则（）
A．b＜c＜a B．c＜b＜a C．c＜a＜b D．b＜a＜c
8．如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，异面直线AC和BC1所成角的大小为（）
A ．
B ．
C ．
D ．或
9．两条平行线l1：3x+4y﹣7＝0，l2：6x+8y＝﹣1的距离等于（）
A ．
B ．
C ．
D ．
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湖南四大名校内部资料试卷-雅礼教育集团2019-2020-1高一数学期末
雅礼教育集团2019年高一下学期数学期终考试数 学时量：120分钟 满分：150分一、选择题(共12小题，每小题5分，共60分) 1.命题“对任意x R ∈，都有20x ≥”的否定为( )A.对任意x R ∈，都有20x <B.不存在x R ∈，都有20x <C.存在0x R ∈，使得200x ≥D.存在0x R ∈，使得200x <2.已知集合{}220A x x x =-->，则R C A =( )A.{}12x x -<<B.{}12x x -≤≤ C.{}{}12x x x x <->UD.{}{}12x x x x ≤-≥U3.若1a >，则“x y a a >”是“log log a a x y >”的( )A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.函数()23xf x x =+的零点所在的一个区间是( )A.()2,1--B.()1,0-C.()0,1D.()1,25.若5sin 13α=-，且α为第四象限角，则tan α的值等于( ) A.125B.125-C.512D.512-6.已知5log 2a =，0.5log 0.2b =，0.20.5c =，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A.a c b <<B.a b c <<C.b c a <<D.c a b <<7.设D 为ABC ∆所在平面内一点3BC CD =u u u r u u u r，则( )A.1433AD AB AC =-+u u u r u u ur u u u rB.1433AD AB AC =-u u u r u u u r u u u rC.4133AD AB AC =+u u u r u u u r u u u rD.4133AD AB AC =-u u u r u u u r u u u r8.要得到函数5cos 46y x π⎛⎫=-⎪⎝⎭的图象，只需要将函数sin 4y x =的图象( ) A.向左平移12π个单位 B.向右平移12π个单位 C.向左平移3π个单位D.向右平移3π个单位9.函数()f x 在(),-∞+∞单调递减，且为奇函数，若()11f =-，则满足()121f x -≤-≤的x 的取值范围是( )A.[]2,2-B.[]1,1-C.[]0,4D.[]1,310.设函数()cos 3f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭，则下列结论错误的是( ) A.()f x 的一个周期为2π-B.()y f x =的图象关于直线83x π=对称 C.()f x π+的一个零点为6x π=D.()f x 在,2ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减11.已知点A 的坐标为()，将OA 绕坐标原点O 逆时针旋转3π至OB ，则点B 的纵坐标为( )A.2B.2C.112D.13212.函数()f x 的定义域为D ，若对于任意12,x x D ∈，当12x x <函时，都有()()12f x f x ≤数，则称函数()f x 在D 上为非减函数.设函数()f x 在[]0,1上为非减函数，且满足以下三个条件：①()00f =；②()132x f f x ⎛⎫= ⎪⎝⎭；③()()11f x f x -=-.则1138f f ⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭等于( ) A.23B.34C.1D.45二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分)13.函数()23sin 0,42f x x x x π⎛⎫⎡⎤=-∈ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭的最大值是__________. 14.函数()cos 36f x x π⎛⎫=+⎪⎝⎭在[]0,π的零点个数为__________. 15.某公司一年购买某种化物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是__________.16.化简2cos 70sin 40sin 50+o oo的结果为__________. 三、解答题(本大题共6个小题，共70分) 17.(本小题满分10分)已知全集U R =，{}39A x x =≤≤，{}4,1xB y y x ==≥，13log ,C y y x x A ⎧⎫⎪⎪==∈⎨⎬⎪⎪⎩⎭，{}20D x x ax b =++≤.(1)求()U C A B ⋂； (2)若C D =，求a b -的值.18.(本小题满分12分)已知函数()()2210f x ax x a =-+≠.(1)若函数()f x 有两个零点，求a 的取值范围；(2)若函数()f x 在区间()0,1与()1,2上各有一个零点，求a 的取值范围.19.(本小题满分12分)已知函数()()22sin cos cos f x x x x x x =--∈R .(1)求23f π⎛⎫⎪⎝⎭的值； (2)求()f x 的最小正周期及单调递增区间.20.(本小题满分12分)已知函数()()sin 0,0,2f x A x A πωϕωϕ⎛⎫=+>>< ⎪⎝⎭的最小正周期是π，且当6x π=时，()f x 取得最大值2(1)求()f x 的解析式；(2)用五点法作出()f x 在[]0,π上的图象21.(本小题满分12分) 已知α，β为锐角，4tan 3α=，()cos αβ+=(1)求cos2a 的值； (2)求()tan αβ-的值.22.(本小题满分12分) 已知()221f x x x kx =-++(1)若2k =，(],1x ∈-∞-，求方程()0f x =的解； (2)若关于x 的方程()0f x =在()0,2上有两解1x ，2x ， ①求k 的取值范围；②证明：12`114x x +<.。
湖南省2019-2020学年高一上学期期末数学试卷 (有解析)
湖南省2019-2020学年高一上学期期末数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共40.0分）1. 已知集合A ={x|−2<x <2}，B ={x|(x −1)(3−x)>0}，则A ∩(∁R B)=( )A. (−2,3)B. (−2,1)C. (−2,1]D. (1,2)2. 函数f(x)=√x −3+log 3x 的定义域是( )A. (0,3)B. [0,+∞)C. [3,+∞)D. (−∞,3] 3. 已知a =√3，b =12516，c =log 47，则下列关系正确的是( )A. b <a <cB. a <b <cC. b <c <aD. c <a <b4. 函数f(x)=x +3x 的零点所在的区间为( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)5. 设m ，n ，l 为空间不重合的直线，α，β，γ是空间不重合的平面，则下列说法准确的个数是( )①m//l ，n//l ，则m//n ；②m ⊥l ，n ⊥l ，则m//n ；③若m//l ，m//α，则l//α； ④若l//m ，l ⊂α，m ⊂β，则α//β；⑤若m ⊂α，m//β，l ⊂β，l//α，则α//β⑥α//γ，β//γ，则α//β．A. 0B. 1C. 2D. 36. 直线x +y =1被圆x 2+y 2=4截得的弦长为( )．A. √14B. 2√14C. 2√7D. √77. 已知圆锥的高为5，底面圆的半径为√5，它的顶点和底面的圆周都在同一个球的球面上，则该球的表面积为( )A. 4πB. 36πC. 48πD. 24π8. 已知函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1，则满足f(1−t)<f(1+t)的t 的取值范围是( ) A. (−∞,0) B. (−1,0) C. (0,+∞) D. (0,1)9. 已知A(1,0)，B(−1,0)，点P 为圆x 2+y 2=1上的动点，则|PA|+|PB|的最大值是( )A. 2B. 2√2C. 4D. 4√210. 方程log 2x =7−x 的实根x 0∈(n,n +1)，则整数n =( )．A. 2B. 3C. 4D. 5二、填空题（本大题共5小题，共20.0分）11. 若直线l 1:2x +(m +1)y +4=0与直线l 2:mx +3y −2=0平行，则m 的值为____.12. 已知点A(−2,3)，B(6,−1)，则以线段AB 为直径的圆的标准方程是______．13.若幂函数f(x)=(m2−4m+4)·x m2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，则m的值为________．14.已知两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2−2x+2y−14=0，则经过两圆交点的公共弦所在的直线方程为________．15.已知PA垂直于△ABC所在的平面，AB=AC=5，BC=6，PA=8，则P到BC的距离为______三、解答题（本大题共5小题，共40.0分）16.设A、B为x轴上两点，点P的横坐标为2，直线PA的方程：x−y+1=0．(1)若|PA|=|PB|，求直线PB的方程．(2)若直线l:(m2−2)x+my+1=0与直线PA垂直，求m的值．17.化简求值：(1)(279)12−(2√3−π)0+0.25−32;(2)2lg5+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2．18.已知点P(2,0)及圆C：x2+y2−6x+4y=0，若过点P的直线l与圆C交于M，N两点，且|MN|=4√2，求直线l的方程．19.如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD是矩形，侧面PAD是等腰直角三角形，∠APD=90°，平面PAD⊥平面ABCD．(1)求证：PA⊥PC．(2)若AD=4，AB=8，求三棱锥P−ABD的体积．(3)在(2)的条件下，求四棱锥P−ABCD的外接球的表面积．20.定义在[−4,4]上的奇函数f(x)，已知当x∈[−4,0]时，f(x)=14x +a3x(a∈R)．(1)求f(x)在[0,4]上的解析式．(2)若x∈[−2,−1]时，不等式f(x)≤m2x −13x−1恒成立，求实数m的取值范围．-------- 答案与解析 --------1.答案：C解析：可求出集合B ，然后进行补集、交集的运算即可．考查描述法、区间的定义，以及交集和补集的运算．B ={x|1<x <3}；∴∁R B ={x|x ≤1，或x ≥3}；∴A ∩(∁R B)=(−2,1]．故选：C ．2.答案：C解析：解：由{x −3≥0x >0，解得x ≥3． ∴函数f(x)=√x −3+log 3x 的定义域是[3,+∞)．故选：C ．由根式内部的代数式大于等于0，对数式的真数大于0联立不等式组得答案．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.答案：D解析：本题考查对数值的大小比较，考查有理指数幂的运算性质及对数的运算法则，是基础题．利用有理指数幂的运算性质及对数的运算法则分别比较b ，c 与√3的大小得答案．解：∵b =12516=√5>√3，c =log 47=12log 27<32<√3，∴c <a <b ，故选：D ．4.答案：B解析：解：由函数的解析式可得f(−1)=−1+13=−23<0，f(0)=0+1=1>0，∴f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间为(−1,0)，故选：B．由函数的解析式可得f(−1)f(0)<0，根据函数零点的判定定理可得函数f(x)=x+3x的零点所在的区间．本题主要考查求函数的值，函数零点的判定定理，属于基础题．5.答案：C解析：解：①若m//l，n//l，则m//n，根据公理4：平行于同一直线的两只线平行，所以①正确；②由m⊥l，n⊥l，在同一个平面可得m//n，在空间不成立，故错误；③若m//l，m//α则l//α或l⊂α，故错误；④若α∩β=a且m//a//l，此时α//β不成立．故错误；⑤若α∩β=a且m//a//l，此时α//β不成立．故错误；⑥α//γ，β//γ，利用平面与平面平行的性质与判定，可得α//β，正确．故选：C．要判断线线、线面、面面的位置关系，要根据线面平行(垂直)、面面平行(垂直)的判定和性质，八个定理来判断．此题考查学生对空间中点、线、面的位置关系的理解与掌握．重点考查学生的空间想象能力．6.答案：A解析：本题考查圆的弦长计算，求出圆心到直线的距离，运用勾股定理即可求解．解：d=√2=√22，则弦长为2(√22)=√14，故选A．7.答案：B解析：本题考查的知识点是球的体积和表面积，根据已知，求出球的半径，是解答的关键．设球的半径为R ，根据圆锥的几何特征，可得R 2=(R −ℎ)2+r 2，解出半径，可得答案．解：设球的半径为R ，∵圆锥的高ℎ=5，底面圆的半径r =√5，∴R 2=(R −ℎ)2+r 2，即R 2=(R −5)2+5，解得：R =3，故该球的表面积S =4πR 2=36π．故选B ．8.答案：C解析：本题考查分段函数的单调性和运用：解不等式，考查转化思想和运算能力，属于基础题．由分段函数f(x)，结合对数函数和一次函数的单调性，可判断f(x)在R 上递增，即可得到1−t <1+t ，求得t 的范围．解：函数f(x)={x −1,x ≤1lnx,x >1， 可得x >1时，f(x)=lnx 递增；x ≤1时，f(x)=x −1递增，且x =1处f(1)=0，可得f(x)在R 上为增函数，由f(1−t)<f(1+t)，即1−t <1+t ，解得t >0，即t 的范围是(0,+∞)．故选：C ．9.答案：B解析：本题考查点和圆位置关系的应用，考查三角函数的性质，是中档题．分两种情况讨论：①当点P 与点A 或点B 重合时，易得|PA|+|PB|=2；②当点P 与点A 和点B 都不重合时，设∠PAB =θ，得到|PA|+|PB|=2cosθ+2sinθ，结合两角和的正弦函数公式，辅助角公式和三角函数的性质可得|PA|+|PB|的最大值．解：∵点P为圆x2+y2=1上的一个动点，且点A(1,0)，B(−1,0)为此圆上两个定点，①当点P与点A或点B重合时，易得|PA|+|PB|=2；②当点P与点A和点B都不重合时，设∠PAB=θ，，则，所以当，即时，(|PA|+|PB|)max=2√2．综上|PA|+|PB|的最大值是2√2，故选B．10.答案：C解析：【分析】本题主要考查了函数的零点的定义，判断函数的零点所在的区间的方法，属于基础题．设函数f(x)=log2x+x−7，则f(x)是(0,+∞)上的增函数，x0是f(x)的零点，由f(4)f(5)<0，可得x0∈(4,5)，从而可求出n的值．解：由于x0是方程log2x=7−x的根，设f(x)=log2x+x−7，显然f(x)是(0,+∞)上的增函数，x0是连续f(x)的零点．∵f(4)=log24+4−7=−1<0，f(5)=log25+5−7=log25−2>0，故x0∈(4,5)，则n=4.故选C．11.答案：2或−3解析：本题考查了两直线平行，属于基础题．根据两直线平行，斜率相等即可求出m的值．解：∵直线l1:2x+(m+1)y+4=0与直线l2:mx+3y−2=0平行，∴m+1≠0，两条直线的方程可以化为：l1：y=−2m+1x+−4m+1，l2：y=−m3x+23，∴2m+1=m3，且−4m+1≠23，解得m=2或m=−3．故答案为2或−3．12.答案：(x−2)2+(y−1)2=20解析：本题考查了求圆的标准方程应用问题，是基础题．求出线段的中点和线段的长，得出圆心与半径，写出圆的标准方程．解：点A(−2,3)，B(6,−1)，则线段AB的中点为(2,1)，|AB|=√(6+2)2+(−1−3)2=4√5，∴r=2√5，∴以线段AB为直径的圆的标准方程是(x−2)2+(y−1)2=20．故答案为(x−2)2+(y−1)2=20．13.答案：1解析：本题考查了幂函数的定义与性质，由函数f(x)为幂函数可知m2−4m+4=1，解出m的值，再根据函数在(0,+∞)上为增函数判断出满足条件的m值．解：函数f(x)为幂函数，所以m2−4m+4=1，解得m=1或m=3，又因为f(x)=(m2−4m+4)·x m2−6m+8在(0,+∞)上为增函数，所以m2−6m+8>0，解得m>4或m<2，综上可知m=1，故答案为1．14.答案：x−y+2=0解析：联立两圆的方程，消去x与y的平方项，即可得到经过两圆交点的公共弦所在直线的方程．解：将两圆C1：x2+y2=10，C2：x2+y2−2x+2y−14=0方程相减，得x−y+2=0，就是两圆的公共弦所在的直线方程．故答案为x−y+2=0．15.答案：4√5解析：本题考查点到直线的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，是中档题．取BC中点O，连结AO，PO，推导出PO⊥BC，由此能求出P到BC的距离．解：取BC中点O，连结AO，PO，∵PA垂直于△ABC所在的平面，BC在平面ABC内，∴PA⊥BC，∵AB=AC=5，BC=6，PA=8，∴AO⊥BC，又AO、PA为平面PAO内两条相交直线，∴BC⊥平面PAO，又PO在平面PAO内，∴PO⊥BC，AO=√AB2−BO2=√25−9=4，∴P到BC的距离为PO=√PA2+AO2=√64+16=4√5．故答案为：4√5．16.答案：解：(1)根据|PA|=|PB|得到点P一定在线段AB的垂直平分线上，根据y=x+1求出点A的坐标为(−1,0)，由P的横坐标是2代入y=x+1求得纵坐标为3，则P(2,3)，过P做x轴的垂线交x轴于Q，则Q(2,0)，又因为Q为A与B的中点，所以得到B(5,0)，(x−5)化简后为x+y−5=0；所以直线PB的方程为：y−0=3−02−5(2)由题意得，(m2−2)×1−m=0，解得m=2或m=−1．解析：此题是一道基础题，要求学生会根据题中的条件利用数形结合的数学思想解决实际问题．考查学生会根据两点坐标写出直线的一般式方程．(1)把P 点的横坐标代入x −y +1=0求出纵坐标得到P 的坐标，然后根据|PA|=|PB|得到P 在线段AB 的垂直平分线上，则过P 作PQ ⊥x 轴即为AB 的中垂线，根据中点坐标公式求出点B 的坐标，然后根据P 和B 的坐标写出直线方程即可．(2)由题意得，直接运用两直线的关系化简即可求解．17.答案：解：(1)(279)12−(2√3−π)0+0.25−32 =53−1+8 =263；(2)2lg5+23lg8+lg5⋅lg20+(lg2)2 =2lg5+lg4+(1−lg2)(1+lg2)+(lg2)2=2+1−(lg2)2+(lg2)2=3．解析：(1)利用指数与指数幂的运算性质计算即可；(2)利用对数的运算性质计算即可．18.答案：解：由圆C：x2+y2−6x+4y=0，即(x−3)2+(y+2)2=13，故圆心C(3,−2)，半径r=√13，因为|MN|=4√2，设圆心到直线的距离为d，由|MN|=4√2=2√r2−d2，得d=√5．①当l的斜率k存在时，设直线方程为y−0=k(x−2)．又圆C的圆心为(3,−2)，半径r=√13，由|3k+2−2k|√1+k2=√5，解得k=12．所以直线方程为y=12(x−2)，即x−2y−2=0．②当l的斜率不存在时，l的方程为x=2，经验证x=2不满足条件．综上所述，直线l的方程为：x−2y−2=0解析：求出圆的标准方程，利用直线和圆相交的弦长公式求出圆心到直线的距离即可求出直线方程．本题主要考查直线方程的求解，根据直线和圆相交的弦长公式是解决本题的关键．19.答案：证明：(1)∵平面PAD平面ABCD，底面ABCD是矩形，∴CD⊥平面PAD．∵PA⊂平面PAD，∴CD⊥PA．∵∠APD=90°，∴PA⊥PD．∵PD∩CD=D，∴PA⊥平面PCD．∵PC⊂平面PCD，∴PA⊥PC；(2)过点P作PF⊥AD于F，∵侧面PAD是等腰直角三角形，平面PAD⊥平面ABCD．平面PAD∩平面ABCD=AD，∴DF ⊥面ABD ，PF =2．∴三棱锥P −ABD 的体积：V P−ABD =13×12×4×8×1=323；(3)根据题意，O 为球心，球的半径OD =12√42+82=2√5，∴四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积为S =4π⋅OD 2=80π．解析：(1)推导出CD ⊥平面PAD ，CD ⊥PA.由∠APD =90°，得PA ⊥PD.从而PA ⊥平面PCD.由此能证明PA ⊥PC ；(2)过点P 作PF ⊥AD 于F ，则DF ⊥面ABD ，PF =2.由此能求出三棱锥P −ABD 的体积；(3)O 为球心，球的半径OD =12√42+82=2√5，由此能求出四棱锥P −ABCD 的外接球的表面积． 本题考查线线垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，考查四棱锥的外接球的表面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想，是中档题． 20.答案：解：(1)f(x)是定义在[−4,4]上的奇函数，∴f(0)=1+a =0，∴a =−1，∵f(x)=14x −13x ，设x ∈[0,4]，∴−x ∈[−4,0]，∴f(x)=−f(−x)=−[14−x −13−x ]=3x −4x ，∴x ∈[0,4]时，f(x)=3x −4x ,(2)∵x ∈[−2,−1]，f(x)≤m 2x −13x−1，即14−13≤m 2−13，即14x +23x ≤m 2x ，x ∈[−2,−1]时恒成立，∵2x >0，∴(12)x +2⋅(23)x ≤m ，∵g(x)=(12)x +2⋅(23)x 在R 上单调递减，∴x ∈[−2,−1]时，g(x)=(12)x +2⋅(23)x 的最大值为：g(−2)=(12)−2+2⋅(23)−2=172， ∴m ≥172．解析：本题考查函数的奇偶性及其应用，不等式恒成立的问题，考查学生解决问题的能力，属于中档题．(1)根据奇函数的性质即可求出a ，设x ∈[0,4]，−x ∈[−4,0]，易求f(−x)，根据奇函数性质可得f(x)与f(−x)的关系；(2)分离参数，构造函数，求出函数的最值问题得以解决．。
【9份试卷合集】长沙市名校2019-2020学年数学高一上期末综合测试模拟试题
2019-2020学年高一数学上学期期末试卷一、选择题1．如图是正方体的展开图，则在这个正方体中：①AF 与CN 平行； ②BM 与AN 是异面直线； ③AF 与BM 成60°角； ④BN 与DE 垂直．以上四个命题中，正确命题的序号是 A ．①②③B ．②④C ．③④D ．②③④2．执行如图所示程序框图，当输入的x 为2019时，输出的y (= )A ．28B ．10C ．4D ．23．已知3a log 6=，3log e b 13-=+，12c ()3-=则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．a b c >>B ．b a c >>C ．c b a >>D ．a c b >>4．若，则（ ） A ．B ．C ．D ．5．在平面直角坐标系xOy 中，已知两圆1C ：2212x y +=和2C ：2214x y +=，又A 点坐标为(3,1)-，,M N 是1C 上的动点，Q 为2C 上的动点，则四边形AMQN 能构成矩形的个数为（ ）A.0个B.2个C.4个D.无数个6．如图，正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A.14B.8π C.12D.4π 7．已知{a n }是等差数列，且a 2+ a 5+ a 8+ a 11=48，则a 6+ a 7= ( ) A ．12B ．16C ．20D ．248．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为F ．短轴的一个端点为M ，直线:340l x y -=交椭圆E 于,A B 两点．若4AF BF +=，点M 到直线l 的距离不小于45，则椭圆E 的离心率的取值范围是（ ） A ．3(0,2B ．3(0,]4C ．32D ．3[,1)49．已知定义域为R 的奇函数y=f(x)的导函数为()y f x '=,当x≠0时,()()0f x f x x'+>,若11()22a f =,112(2),(ln )(ln )22b fc f =--=，则a,b,c 的大小关系正确的是（ ） A ．a c b << B ．b c a << C ．a b c <<D ．c a b <<10．已知2()sin ()4f x x π=+，若1(lg5),(lg )5a f b f ==，则（ ）A ．0a b +=B ．0a b -=C ．1a b +=D ．1a b -=11．若向量,,a b c r r r ，满足//a b r r 且a c ⊥r r，则()2c a b ⋅+=r r r （ ）A ．4B ．3C ．2D ．012．设奇函数()f x 在(0)+∞，上为增函数，且(1)0f =，则不等式()()0f x f x x--<的解集为（ ）A ．(10)(1)-⋃+∞，， B ．(1)(01)-∞-⋃，， C ．(1)(1)-∞-⋃+∞，， D ．(10)(01)-⋃，， 二、填空题13．已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，424S S =，则84S S 的值是__________. 14．设函数()cos()(0)6f x x πωω=->，若()()3f x f π≤对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为_______．15．在ABC ∆中，tan tan 33tan A B A B +=⋅，则C 等于______．16．若圆锥的侧面积为2π，底面积为π，则该圆锥的体积为____________。
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期10月月考数学试题(解析版)
2019-2020学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期10月月考数学试题一、单选题1．已知集合{}{}{}1,2,3,4,5,6,72,3,4,52,3,6,7U A B ===，，，则C U B AA ．{}1,6B ．{}1,7C ．{}6,7D ．{}1,6,7【答案】C【解析】先求U A ð，再求U B A ⋂ð． 【详解】由已知得{}1,6,7U C A =，所以U B C A ⋂={6,7}，故选C ． 【点睛】本题主要考查交集、补集的运算．渗透了直观想象素养．使用补集思想得出答案．2．函数()11f x x =+的定义域为( ) A ．{|3x x ≥-且1}x ≠- B ．{3x x -且1}x ≠- C ．{|1}x x ≥- D ．{|3}x x ≥-【答案】A【解析】由题可得：要使得函数()f x 有意义，则需满足3010x x +≥⎧⎨+≠⎩，解出x 的范围即可． 【详解】解：要使()f x 有意义，则：3010x x +≥⎧⎨+≠⎩；解得3x ≥-，且1x ≠-；∴()f x 的定义域为：{|3,1}x x x ≥-≠-且． 故选：A ． 【点睛】本题主要考查了函数定义域的定义及求法，属于基础题。
3．若a 、b 不全为0，必须且只需( )A ．0ab ≠B ．a 、b 中至多有一个不为0C ．a 、b 中只有一个为0D ．a 、b 中至少有一个不为0【答案】D【解析】本题首先可以通过题意中的“a 、b 不全为0”来确定题意中所包含三种情况，然后观察四个选项，看哪个选项恰好包含题意中的三种情况，即可得出结果。
【详解】“a 、b 不全为0”包含三种情况，分别是“b 为0，a 不为0”、“b 不为0，a 为0”、“a 、b 都不为0”，故a 、b 中至少有一个不为0，故选D 。
【点睛】本题的重点在于对“不全为”、“至多有一个”、“只有一个”、“至少有一个”等连接词的意思的判断，能否明确理解上述连接词的词义是解决本题的关系，考查推理能力，是简单题。
湖南省长沙市雅礼中学高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年湖南省长沙市雅礼中学高一上学期期末数学试题一、单选题1．已知集合A ＝{x |﹣1＜x ＜2}，B ＝{x |x ≥﹣1}，则A ∩B ＝（ ） A ．（﹣1，1] B ．（﹣1，2）C ．∅D ．[﹣1，2]【答案】B【解析】直接利用交集的运算求解即可. 【详解】解:因为A ＝{x |﹣1＜x ＜2},B ＝{x |x ≥﹣1}, 所以A ∩B ＝{x |﹣1＜x ＜2}. 故选:B . 【点睛】本题考查了交集的运算,属基础题.2．圆柱的底面半径为1，高为1，则圆柱的表面积为（ ） A ．π B ．3πC ．2πD ．4π【答案】D【解析】根据圆柱表面积的计算公式直接求解即可. 【详解】解:因为圆柱的底面半径为1,高为1,所以圆柱的表面积221214S πππ=⨯+⨯⨯=. 故选:D . 【点睛】本题考查了圆柱表面积的求法,属基础题.3．若点2)在直线l ：10ax y ++=上，则直线l 的倾斜角为（ ） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．120︒【答案】C【解析】210,a ++=∴=直线方程为：10y ++=，据此可得，直线l 的倾斜角为60︒. 本题选择C 选项.4．已知函数f (x )＝1,0,0x x x a x -≤⎧⎨>⎩，若f (1)＝f (－1)，则实数a =A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据题意，由f (1)＝f (－1)可得a ＝1－(－1)＝2，故选:B5．已知m ，n 为不同的直线，α，β为不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A ．m ⊂α，n ∥m ⇒n ∥α B ．m ⊂α，n ⊥m ⇒n ⊥α C ．m ⊂α，n ⊂β，m ∥n ⇒α∥β D ．n ⊂β，n ⊥α⇒α⊥β 【答案】D【解析】在A 选项中，可能有n ⊂α，故A 错误； 在B 选项中，可能有n ⊂α，故B 错误； 在C 选项中，两平面有可能相交，故C 错误；在D 选项中，由平面与平面垂直的判定定理得D 正确． 故选：D ．6．已知直线:20l kx y k -+-=过定点M ，点(),P x y 在直线210x y +-=上，则MP 的最小值是（ ）A ．BCD ．【答案】B【解析】令直线l 的参数k 的系数等于零，求得定点M 的坐标，利用两点间的距离公式、二次函数的性质，求得MP 的最小值. 【详解】直线:20l kx y k -+-=，即()120k x y --+=，过定点()1,2M ， 点(),P x y 在直线210x y +-=上，12y x ∴=-，MP ∴==故当15x =-时，MP ，故选B. 【点睛】本题主要考查直线经过定点问題，两点间的距离公式的应用，二次函数的性质，属于中档题.7．设2()3xa =，13()2x b -=，23c log x =，若x ＞1，则a ，b ，c 的大小关系是（ ）A ．a ＜b ＜cB ．c ＜a ＜bC ．b ＜c ＜aD ．c ＜b ＜a【答案】B【解析】根据x ＞1,取x =2,则可以得到a ,b ,c 的具体值,然后比较大小即可. 【详解】解:由x ＞1,取x =2,则2()439x a ==,123()23x b -==,2233log log 20c x ==<,所以b a c >>. 故选:B . 【点睛】本题考查了指数和对数大小的比较,解题的关键是根据条件取特殊值,属基础题. 8．在正方体1111ABCD A B C D -中，异面直线1A B 与AC 所成角是（ ） A ．30° B ．45︒C ．60︒D ．90︒【答案】C【解析】在正方体1111ABCD A B C D -中，11//AC A C ， 所以11B AC ∠即为所求（或其补角）.连接1B C ，因为1111B C AC A B ==，所以11B 60AC ∠=︒. 故选C.9．设两条直线的方程分别为x +y ﹣a ＝0、x +y +b ＝0，已知a 、b 是关于x 的方程x 2+x +c ＝0的两个实数根，则这两条直线之间的距离是（ ）A ．4B C ．2D ．无法确定【答案】C【解析】根据条件,由韦达定理可得1a b +=-,然后利用平行线间的距离公式求出距离. 【详解】解:因为a 、b 是关于x 的方程x 2+x +c ＝0的两个实数根,所以1a b +=-,所以两直线间的距离2d ==.故选:C . 【点睛】本题考查了韦达定理和两平行直线间的距离,属基础题.10．已知函数22y x x =+在闭区间[,]a b 上的值域为[﹣1，3]，则满足题意的有序实数对(,)a b 在坐标平面内所对应点组成的图形为A ．B ．C ．D ．【答案】C【解析】∵y=x 2+2x=（x+1）2﹣1，∴可画出图象如图1所示．；由x 2+2x=3，解得x=﹣3或x=1；又当x=﹣1时，（﹣1）2﹣2=﹣1．①当a=﹣3时，b 必须满足﹣1≤b≤1，可得点（a ，b ）在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|AB|=1﹣（﹣1）=2；②当﹣3＜a≤﹣1时，b 必须满足b=1，可得点（a ，b ）在坐标平面内所对应点组成图形的长度为|BC|=（﹣1）﹣（﹣3）=2． 如图2所示：图2；故选：C．点睛：本题考查了二次函数在给定区间上的值域问题，值域是确定的，而定义域是变动的，解题关键是分辨清楚最大值是在左端点取到还是在右端点取到，问题就迎刃而解了. 11．已知函数y=f（x）的定义域为{x|x∈R，且x≠2}，且y=f（x+2）是偶函数，当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|，那么当x＞2时，函数f（x）的递减区间是（）A．（3，5）B．（3，+∞）C．（2，+∞）D．（2，4]【答案】D【解析】试题分析：根据函数的奇偶性，推导出函数的对称性，再由题意和对称性求出函数的解析式，根据指数函数的图象画出函数大致的图形，可得到函数的减区间．解：∵y=f（x+2）是偶函数，∴f（﹣x+2）=f（x+2），则函数f（x）关于x=2对称，则f（x）=f（4﹣x）．若x＞2，则4﹣x＜2，∵当x＜2时，f（x）=|2x﹣1|，∴当x＞2时，f（x）=f（4﹣x）=|24﹣x﹣1|，则当x≥4时，4﹣x≤0，24﹣x﹣1≤0，此时f（x）=|24﹣x﹣1|=1﹣24﹣x=1﹣16×，此时函数递增，当2＜x≤4时，4﹣x＞0，24﹣x﹣1＞0，此时f（x）=|24﹣x﹣1|=24﹣x﹣1=16×﹣1，此时函数递减，所以函数的递减区间为（2，4]，故选D．【考点】奇偶性与单调性的综合；函数奇偶性的性质．12．设函数21(0)()ln 2(0)a x y f x xx x x ⎧+<⎪==⎨⎪->⎩，若()y f x =的图像上有四个不同的点A 、B 、C 、D 同时满足：①A 、B 、C 、D 、O （原点）五点共线；②共线的这条直线斜率为3-，则a 的取值范围是（ ） A．)+∞ B ．(4)-∞，C．(-∞-，D ．(4)+∞，【答案】A【解析】由题过A 、B 、C 、D 、O 的直线y 3x =-，当x 0>时，记()2g ln 2x x x =-，则()241g'x x x-+=()g x 在102⎛⎫⎪⎝⎭，上单调递增，12∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭，单调递减，与y 3x =-有两个交点C 、D 。
【2019精品高一期末】2019-年长沙市高一期末考试试卷+答案
2019年长沙市高一数学期末考试卷时间：120分钟 满分：150分一、选择题：（本大题共8小题，每小题3分）1．已知不同直线m 、n 和不同平面α、β，给出下列命题： ①βαβα∥∥m m ⇒⎭⎬⎫⊂ ②ββ∥∥∥n m n m ⇒⎭⎬⎫③ 异面、n m n ⇒⎭⎬⎫⊂⊂βαm④ βαβα⊥⇒⎭⎬⎫⊥m m ∥其中错误的命题有（ ）个 A ．0B ．1C ．2D ．32．直线L 过点A （3,0）和点B （0,2），则直线L 的方程是（ ） A ．2x+3y-6=0 B ．3x+2y-6=0C ．2x+3y-1=0D ．3x+2y-1=03．两条平行线L 1:4x-3y+2=0与L 2:4x-3y-1=0之间的距离是（ ） A ．3B ．53 C ．51D ．14．直线L 的方程为Ax+By+C=0，当A>0，B<0，C>0时，直线L 必经过（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第二、三、四象限 C ．第一、三、四象限D ．第一、二、四象限5．圆Q 1：x 2+y 2-4x-6y+12=0与圆Q 2：x 2+y 2-8x-6y+16=0的位置关系是（ ） A ．相交 B ．外离 C ．内含D ．内切6．长方体的长、宽、高分别为5、4、3，则它的外接球表面积为（ ） A ．225πB ．50πC ．32125πD ．350π7．点P （7，-4）关于直线L ：6x-5y-1=0的对称点Q 的坐标是（ ） A ．（5,6） B ．（2,3）C ．（-5,6）D ．（-2,3）8．已知圆C ：x 2+y 2-4x-2y-15=0上有四个不同的点到直线L:y=k （x-7）-6的距离等于5， 则k 的取值范围是（ ）A ()2，∞- B ．()∞+-，2 C ．⎪⎭⎫ ⎝⎛221， D ．()∞+⎪⎭⎫ ⎝⎛∞-，，221二、填空题（本大题共7小题，每小题3分）9．如图的空间直角坐标系中，正方体棱长为2，PR PQ 3=， 则点R 的空间直角坐标为 10. 过点（5,2）且在x 轴上的截距是在y 轴上的截距的2倍的 直线方程是 11. 过三点（-2，0）、（6,0）、（0，-6）的圆的方程 是12. 棱长为a 的正方体中，把相邻面的中心连结起来，以这些线段为棱的八面体的体积 为13.圆Q 1：x 2+y 2+2x+8y+-8=0与圆Q 2：x 2+y 2-4x-4y-2=0的公共弦长为 . 14.曲线2232y x x -++=与直线()51+-=x k y 有两个不同交点时，实数k 的取值范围 是15. 将半径都为2的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小 值为三、解答题（本大题共7小题，第16、18、19、20题每小题8分，第17、21题每小题9 分，第22题5分）16. 在四面体ABCD 中，已知棱AC 的长为2，其余各棱长都为1，求二面角B-AC-D 的 大小.17．（1）过点P （2,4）向圆O:x 2+y 2=4作切线，求切线的方程；（2）点p 在圆:x 2+y 2+4x-6y+12=0上，点Q 在直线4x+3y=21上，求PQ 的最小值.第9题图18．已知0,0>>b a ，且ab b a 23=+，求22b a b a +-+的最大值.19．在四面体ABCD 中，CB=CD ，AD ⊥BD ，且E 、F 分别是AB 、BD 的中点. 求证：（1）直线EF ∥面ACD（2）面EFC ⊥面BCD.20．已知圆C ：()()253-y 2-x 22=+，直线.L:()()01225-3x 24=--++λλλy（1）求证：直线L 与圆C 恒相交；（2）求直线L 被圆C 截得的弦长最短时λ的值以及最短弦长21.如图，在五面体ABCDEF 中，FA ⊥平面ABCD ，AD ∥BC ∥FE ，AB ⊥AD ，M 为BC的中点.（1）求异面直线BF 与DE 所成角的大小； （2）证明：平面AND ⊥平面CDE ； （3）求MD 与平面ABCD 所成角的正弦值.22.在平面直角坐标系xOy 中，已知圆C 1:()()41322=-++y x 和圆.C 2:()()45422=-+-y x（1）若直线L 过点A （4,0），且被圆C 1截得的弦长为32，求直线L 的方程； （2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线L 1和L 2，它们分 别与圆C 1和圆C 2相交，且直线L 1被圆C 1截得的弦长与直线L 2被圆C 2截得的弦长相等， 试求所有满足条件的点P 的坐标.2019年长沙市高一数学期末考试卷参考答案一、选择题：二、填空题：9．⎪⎭⎫⎝⎛34,234，， 10. 05x 2=-y 或092x =-+y ；11. 01244x 22=-+-+y x y ；12．63a13. 5214.⎪⎪⎭⎫⎢⎣⎡--⎥⎦⎤⎝⎛25232325，， 15. 3648+. 三、解答题16、取AC 得中点E ，连接BE 、DE ，则BE ⊥AC ，DE ⊥AC ，角ABED 即为所求二面角. ∵四面体ABCDD 的棱AC=2，其余各棱长为1 ∴BE=22,DE=22,BD=1 ∴BE 2+DE 2=BD 2 ∴BE ⊥ED∴二面角B-AC-D 的大小为90017、（一）过点P （2,4）向圆O ：4x 22=+y 作切线 （1）当斜率不存在时，直线x=2与相切（2）当斜率存在时，设直线的方程为；）（2x 4y -=-k ，又圆心（0,0）到直线的距离为2，所以214k 2002=++--k ,∴k=43直线方程为：0104x 3=+-y综上所述，直线方程为：0104x 3=+-y 或2x =（二）由题意：0126422=+-++y x y x ⇒()()132x 22=-++y圆心到直线213x 4-+y 的距离为：4432198d 22=+-+-=∴314min =-=PQ18、1x 12223=+⇒=+⇒=+b ya b a ab b a 直线过点P ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛2123，， 如图可知22b a b a +-+即为直角AOB Rt ∆的内切圆直径，由直观 易知，当内切圆恰与动直线AB 相切于定点P 时，内切圆直径最大， 设所示圆圆心（r,r ）,则222123r ⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=r r ⇒()01132=++-r r取较小根23213-+=r （较大根是的旁切圆半径）故所求最大值为3213-+19、（1）证明：∵点E 、F 分别是AB 、BD 的中点 ∴EF ∥AD又EF ⊄面ACD ，AD ⊂ACD ∴EF ⊥面ACD（2）证明：∵CB=CD,点F 是BD 的中点 ∴BD ⊥CF又AD ⊥BD ，EF ∥AD ∴EF ⊥BD ，CF EF=F ∴BD ⊥面CEF BD ⊂面BCD ∴面EFC ⊥面BCD20、（1）()()01225324=---++λλλy x⇒()()01232254=-++--y x y x ⇒⎩⎨⎧=-+=--012320254y x y x ⇒⎩⎨⎧==23y x 直线L 过定点A （3,2）圆C ：()()253222=-+-y x ，圆心C(2,3)，半径r=5()()r 2322322<=-+-=AC∴直线L 总有点在圆内，即直线与圆C 恒相交（3）弦长最短时，弦心距最长，设P （3,2）则当L ⊥CP 时，弦长最短 此时,15324=-+-λλ5=⇒λ,∴弦长最短为22321、（1）以点A 为坐标原点建立空间直角坐标系，设AB=1， 依题意得：B （1，0，0）、C （1，1，0）、D （0，2，0） E （0，1，1）、F （0，0，1）、M （21，1，21） ∵()1,0,1-=,()1,1,0-=∴2122100=∙++=>∴异面直线BF 与DE 所成的角为60° （2）证明：∵⎪⎭⎫⎝⎛=21,1,21AM ,()1,0,1-=CE ,()0,2,0=AD ∴0,0=∙=∙ ∴CE ⊥AM ，CE ⊥AD又A AD AM = ，故CE ⊥面AMD 而CE ⊥面CDE ∴面AMD ⊥面CDE（3）设面CDE 的法向量为()z y x ,,=∴⎪⎩⎪⎨⎧=+-=∙=+-=∙0y 0x z DE n z CE n 令x=1，则()1,1,1n =，设面ACD 的一个法向量为()1,0,0m =则33311n =⨯=>∵二面角A-CD-E 为锐角 ∴二面角A-CD-E 的余弦值为3322、（1）∵直线x=4与圆C 1不相交∴直线L 的斜率存在，设L 方程为()4y -=x k ∵L 被圆C 1截得的弦长为23 ∴圆C 1的圆心到直线L 的距离()13222=-=d而2171kk d +--=∴k=0或k=247-∴直线L 的方程为y=0或7x+24y-28=0 (2) 设点P （a,b ）满足条件由题意可知直线L 1、L 2的斜率存在且不为0 设直线L 1的方程为()0k y ≠-=-，a x k b 则直线L 2的方程为()a x kb -=-1y 由题意可得d 1=d 2即()()221141513k 1kb a kkba +--+=+----∴()bk a k b ab --+±=-++45k 31∴()()5832-+=+-+-=-+b a k b a a b k b a 或 因k 值有无穷个 ∴⎩⎨⎧=+-=-+0302a b b a 或⎩⎨⎧=-+=+-0508b a b a∴⎪⎩⎪⎨⎧-==2125b a 或⎪⎩⎪⎨⎧=-=21323b a ∴这样的点只可能是P 1⎪⎭⎫ ⎝⎛-2125，、P 2⎪⎭⎫ ⎝⎛-21323，。
湖南省雅礼中学2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题(含解析)
2019~2020学年度高一年级模块检测试题高一数学满分150分时间:120分钟第Ⅰ卷(选择题,共60分)一、选择题(本题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.(★)已知集合U={1,2,3,4,5,6,7},A={2,3,4,5},B={2,3,6,7},则B∩∁UA=( )A.{1,6}B.{1,7}C.{6,7}D.{1,6,7}1.考点交集和补集的运算.解析由题意知∁U A={1,6,7},所以B∩∁UA={6,7},故选C.答案 C2.(★)函数f(x)=√x+3+1x+1的定义域为( )A.{x|x≥-3且x≠-1}B.{x|x>-3且x≠-1}C.{x|x≥-1}D.{x|x≥-3}2.考点函数的定义域.解析由x+3≥0且x+1≠0,得x≥-3且x≠-1,所以f(x)=√x+3+1x+1的定义域为{x|x≥-3且x ≠-1},故选A.答案 A方法技巧当使函数解析式有意义的限制条件不止一个时,确定定义域的方法为:1.确定所有的限制条件,不能遗漏,2.分别求由每个限制条件所确定的自变量的取值集合,3.求这些集合的交集.3.(★)若a、b不全为0,则必须且只需( )A.ab≠0B.a、b中至多有一个不为0C.a、b中只有一个为0D.a、b中至少有一个不为03.考点量词的理解.解析a、b不全为0,即a≠0,b=0或a=0,b≠0或a≠0,b≠0,所以必须且只需a、b中至少有一个不为0,故选D.答案 D易错警示一定要区分至少有一个和至多有一个的区别,切勿弄混.4.(★★)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是( )A.M<NB.M>NC.M=ND.不确定4.思路分析利用作差法或特值法求解.解析解法一:M-N=a1a2-(a1+a2-1)=(a1-1)(a2-1),∵a1,a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0,∴(a1-1)(a2-1)>0,所以M>N,故选B.解法二:令a1=0.5,a2=0.5,则M=0.25,N=0,所以M>N,故选B.答案 B5.(★★)设A,B是两个集合,则“A∩B=A”是“A⊆B”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件5.考点充分、必要条件的判定.解析充分性:若A∩B=A,则A⊆B,故充分性成立.必要性:若A⊆B,则A∩B=A,故必要性成立.故“A∩B=A”是“A⊆B”的充要条件.故选C.答案 C6.(★★)给出下列四个命题:①有理数是实数;②有些平行四边形不是菱形;③∀x∈R,x2-2x>0;④∃x∈R,2x+1为奇数.以上命题的否定为真命题的是( )A.①④B.②④C.①②③④D.③6.考点命题的否定,命题真假的判断.思路分析先写出各个命题的否定,然后判断其真假.解析“有理数是实数”的否定为“有的有理数不是实数”,为假命题;“有些平行四边形不是菱形”的否定为“所有的平行四边形都是菱形”,为假命题;“∀x∈R,x2-2x>0”的否定为“∃x∈R,x2-2x≤0”,为真命题;“∃x∈R,2x+1为奇数”的否定为“∀x∈R,2x+1不是奇数”,为假命题.故选D.答案 D方法技巧在写含有一个量词命题的否定时,要将“∀”改成“∃”,将“∃”改成“∀”,对于一些量词不是很明显的,可以先将其改写成含有量词的命题,然后写其否定.7.(★★)设命题p:∀x∈R,x2-4x+2m≥0(其中m为常数),则“m≥1”是“命题p为真命题”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分且必要条件D.既不充分也不必要条件7.考点全称量词命题,充分、必要条件.思路分析先求出使命题p为真命题的m的取值,然后进行判断即可.解析若命题p为真命题,则Δ=16-8m≤0,所以m≥2.所以“m≥1”是“命题p为真命题”的必要不充分条件,故选B.答案 B误区警示一定要看清谁是谁的什么条件,切勿弄混.8.(★★)关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),则关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是( )A.(-∞,-1)∪(3,+∞)B.(-1,3)C.(1,3)D.(-∞,1)∪(3,+∞)8.考点解一元二次不等式.思路分析本题考查了不等式的解法,利用一元一次不等式和一元二次不等式的解法即可得出.解析∵关于x的不等式ax-b>0的解集是(1,+∞),∴{a>0, ba=1,∴关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0可化为(x+1)(x-3)>0,∴x<-1或x>3.∴关于x的不等式(ax+b)(x-3)>0的解集是{x|x<-1或x>3}.故选A.答案 A方法技巧由一元一次不等式ax-b>0的解集是(1,+∞)得出a>0和ab=1是关键,然后转化所求不等式.9.(★★★)设a,b,c∈(0,+∞),则三个数a+1b ,b+1c,c+1a的值( )A.都大于2B.都小于2C.至少有一个不大于2D.至少有一个不小于29.考点基本不等式思路分析利用基本不等式即可求解.解析∵a,b,c都是正数,∴(a+1b )+(b+1c)+(c+1a)=a+1a +b+1b+c+1c≥2+2+2=6,当且仅当a=b=c=1时,等号成立.故三个数a+1b ,b+1c,c+1a中,至少有一个不小于2(否则这三个数的和小于6).答案 D方法技巧将三个数的和变形,利用基本不等式是关键,本题也可以用反证法求解(以后讲到).10.(★★★)定义集合A与B的运算“*”为:A*B={x|x∈A或x∈B,但x∉A∩B}.设X是偶数集,Y={1,2,3,4,5},则(X*Y)*Y=( )A.XB.YC.X∩YD.X∪Y10.考点集合的新定义问题.思路分析根据A*B={x|x∈A或x∈B,但x∉A∩B}分析出X*Y中的元素,进而可得(X*Y)*Y中的元素.解析∵A*B={x|x∈A或x∈B,但x∉A∩B},∴X*Y的元素包括除2,4以外的偶数和1,3,5,故(X*Y)*Y=X,故选A.答案 A11.(★)某工厂第一年年产量为A,第二年的增长率为a,第三年的增长率为b,这两年的平均增长率为x,则( )A.x=a+b2B.x≤a+b2C.x>a+b2D.x≥a+b211.考点基本不等式.思路分析先利用条件列方程(1+a)(1+b)=(1+x)2,然后利用基本不等式即可求解. 解析由题意得A(1+a)(1+b)=A(1+x)2⇒(1+a)(1+b)=(1+x)2,∵(1+a)(1+b)≤(1+a+1+b 2)2.当且仅当a=b 时等号成立, ∴1+x ≤2+a+b 2=1+a+b 2⇒x ≤a+b 2.故选B.答案 B方法技巧 对于实际应用问题,能正确根据题意列出等式(或不等式),并结合基本不等式求解是关键.12.(★★★)设函数f(x)=√ax 2+bx +c (a<0)的定义域为D,若所有点(s,f(t))(s,t ∈D)构成一个正方形区域,则a 的值为( ) A.-2 B.-4 C.-6 D.不能确定12.考点 函数的定义域与区间表示;函数的值域.解析 由于所有点(s,f(t))(s,t ∈D)构成一个正方形区域, 所以对于函数f(x),其定义域x 的长度和值域的长度是相等的. f(x)的定义域为ax 2+bx+c ≥0(a<0)的解集, 设x 1、x 2是方程ax 2+bx+c=0(a<0)的根,且x 1<x 2, 则定义域的长度为 |x 1-x 2|=√(x 1+x 2)2-4x 1x 2=√b 2-4ac a ,则f(x)的值域为[0,√4ac -b 24a],则有√b 2-4ac a =√4ac -b 24a,所以a=-4,故选B. 答案 B方法技巧 本题的关键是定义域的长度与值域的长度相等.第Ⅱ卷(非选择题,90分)二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分) 13.(★)命题“∃x ∈R,x 2<0”的否定是 .13.考点存在量词命题的否定.解析命题“∃x∈R,x2<0”的否定为“∀x∈R,x2≥0”.答案∀x∈R,x2≥0方法技巧写含有量词命题的否定时,一定要将“∀”改为“∃”,将“∃”改为“∀”. 14.(★)已知集合A={-1,0,1,6},B={x|x>0,x∈R},则A∩B= .14.考点集合交集的运算.思路分析找出两个集合的公共元素即可.解析由题意知A∩B={1,6}.答案{1,6}15.(★★)不等式5−xx2-2x-3≤-1的解集为.15.考点分式不等式的解法.思路分析移项,通分可得(x-1)(x-2)(x-3)(x+1)≤0,再利用分子、分母异号且分母不为0可得不等式组,从而可解.解析∵5−xx2-2x-3≤-1,∴5−xx2-2x-3+1≤0.∴5−x+x 2-2x-3x2-2x-3≤0,∴x 2-3x+2x-2x-3≤0,即(x-1)(x-2)(x-3)(x+1)≤0,∴{(x-1)(x-2)≤0,(x-3)(x+1)>0,或{(x-1)(x-2)≥0,(x-3)(x+1)<0,∴-1<x≤1或2≤x<3,所以原不等式的解集为{x|-1<x≤1或2≤x<3}. 答案{x|-1<x≤1或2≤x<3}16.(★★★)若关于x的三次方程a3x3+a2x2+a1x+a=0(a3≠0,ai∈R,i=0,1,2,3)的3个实根为x 1,x2,x3,那么x1x2+x2x3+x3x1+x1x2x3= .16.考点函数解析式的求法.思路分析根据题意可得a3x3+a2x2+a1x+a=a3(x-x1)(x-x2)(x-x3),展开等号右边的代数式,比较等式两边多项式对应的系数可得所求代数式的值.解析因为关于x的三次方程a3x3+a2x2+a1x+a=0的3个实根为x1,x2,x3,所以a3x3+a2x2+a1x+a=a3(x-x1)(x-x2)(x-x3),而a3(x-x1)(x-x2)(x-x3)=a3x3-a3(x1+x2+x3)x2+a3(x1x2+x2x3+x3x1)x-a3x1x2x3,所以a3(x1x2+x2x3+x3x1)=a1,-a3x1x2x3=a,所以x1x2+x2x3+x3x1=a1a3,x1x2x3=-a0a3,故x1x2+x2x3+x3x1+x1x2x3=a1-a0a3.答案a1-a0a3方法技巧利用对应项的系数相等列式是解题的关键.三、解答题(本大题共6小题,满分70分,写出必要文字说明的演算步骤)17.(★★)(本小题满分10分)已知A={x|x2+4x+4=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中a∈R,如果A∩B=B,求实数a的取值范围.17.考点根据集合间的关系求参数的取值范围.思路分析先求出集合A,然后根据A∩B=B求得集合B的可能取值,然后即可求实数a的取值范围.解析由x2+4x+4=0可得x1=x2=-2,∴A={x|x2+4x+4=0}={-2}. ∵A∩B=B,∴B⊆A,∴B=⌀或B={-2},∴Δ=4(a+1)2-4(a2-1)≤0, 解得a≤-1.当a=-1时,B={0},舍去.综上可知,所求实数a 的取值范围为(-∞,-1).方法技巧 利用性质A ∩B=B ↔B ⊆A 来转化,要特别注意当A ∩B=B 时,往往需要分B=⌀和B ≠⌀两种情况来讨论,而这一点在解题时很容易被忽视.18.(★★)(本小题满分12分)已知集合A={x||x-2|<a,a>0},集合B={x |2x -2x+3<1}. (1)若a=1,求A ∩B;(2)若A ⫋B,求实数a 的取值范围. 18.考点 交集运算,由集合间的关系求参数的范围.思路分析 (1)由绝对值的几何意义求出集合A,再按照分式不等式的解法求出集合B,利用交集的含义求A ∩B.(2)由条件A ⫋B,结合数轴,表示出集合A 和集合B 的位置,转化为关于a 的不等式组求解即可. 解析 (1)当a=1时,|x-2|<1, 即-1<x-2<1,解得1<x<3. 则A={x|1<x<3}.由2x -2x+3<1,即x -5x+3<0,得-3<x<5. 则B={x|-3<x<5}. 所以A ∩B={x|1<x<3}.(2)由|x-2|<a(a>0),得2-a<x<2+a. 因为A ⫋B,所以{2−a ≥−3,2+a <5,a >0或{2−a >−3,2+a ≤5,a >0,解得0<a ≤3.方法技巧 解题时,采用数形结合的方法,确定含参集合的的端点值的位置,并用不等式(组)表示,从而得到参数的取值范围.另外,求解时要特别注意端点值的取舍.19.(★★)(本小题满分12分)若x 1,x 2是关于x 的方程x 2-(2k+1)x+k 2+1=0的两个实数根,且x 1,x 2都大于1.(1)求实数k 的取值范围; (2)若x 1x 2=12,求k 的值.19.考点 一元二次方程的参数问题.思路分析 (1)根据题意得出关于k 的不等式组;然后求解即可.(2)根据根与系数的关系得到x 1+x 2=2k+1,x 1·x 2=k 2+1,利用x 2=2x 1,得3x 1=2k+1,2x 12=k 2+1,所以2×(2k+13)2=k 2+1,解此方程得到k 1=1,k 2=7,然后根据(1)中的结论确定k 的值.解析 (1)由题意得{[-(2k +1)]2-4(k 2+1)≥0,1−(2k +1)×1+k 2+1>0,--(2k+1)2>1,解得k ≥34且k ≠1. (2)根据题意得 x 1+x 2=2k+1,x 1·x 2=k 2+1, ∵x 1x 2=12,∴x 2=2x 1,∴3x 1=2k+1,2x 12=k 2+1,∴2×(2k+13)2=k 2+1,整理得k 2-8k+7=0,解得k 1=1,k 2=7, 结合(1)可知k 的值为7.20.(★★)(本小题满分12分)已知函数f(x)=ax 2+(b-8)x-a-ab,当x ∈(-3,2)时,f(x)>0;当x ∈(-∞,-3)∪(2,+∞)时,f(x)<0. (1)求a,b 的值;(2)若ax 2+bx+c ≤0的解集为R,求实数c 的取值范围. 20.考点 三个“二次”之间的关系.思路分析 (1)利用二次函数图象的开口方向,结合不等式的解集,列出方程组即可求a,b 的值;(2)构造函数,通过不等式ax 2+bx+c ≤0的解集为R,结合二次函数的性质,列出不等式求实数c 的取值范围.解析 (1)由题意可知,函数为二次函数,且f(x)的图象开口向下,与x 轴交于两点(-3,0)和(2,0).∴{a ·(-3)2+(b −8)×(−3)−a −ab =0,a ·22+2(b −8)−a −ab =0,解得{a =0,b =8(舍去)或{a =−3,b =5.所以a,b 的值分别为-3,5.(2)令g(x)=-3x 2+5x+c,要使g(x)≤0的解集为R,则需要方程-3x 2+5x+c=0的根的判别式Δ≤0,即Δ=25+12c ≤0,解得c ≤-2512,∴实数c 的取值范围为c ≤-2512.方法技巧 在求解一元二次不等式时,数形结合通常使问题更加直观明了,判别式Δ的应用会使求解更加简单.21.(★★★)(本小题满分12分)某工厂去年某产品的年产量为100万只,每只产品的销售价为10元,固定成本为8元.今年,工厂第一次投入100万元(科技成本),并计划以后每年比上一年多投入100万元(科技成本),预计产量年递增10万只,第n 次投入后,每只产品的固定成本为√n+1(k>0,k 为常数,n ∈Z 且n ≥0),若产品销售价保持不变,第n 次投入后的年利润为f(n)万元.(1)求k 的值,并求出f(n)的表达式;(2)问从今年算起第几年的年利润最高?最高利润为多少万元?21.考点 基本不等式的实际应用.思路分析 (1)根据每只产品的固定成本为8元及关系式为g(n)=√n+1,可求k 的值,利用第n 次投入后的年利润为f(n)万元,可建立函数关系式;(2)先由(1)可得年利润f(n)的关系式,再用基本不等式求最高利润.解析 (1)g(n)=√n+1,由题意知,当n=0时,g(0)=8,可得k=8,所以f(n)=(100+10n)(10−√n+1)-100n(n ∈Z,n ≥0). (2)f(n)=(100+10n)(10−√n+1)-100n =1000-80(√n+1)=1000-80(√n+1+√n+1)≤1000-80×2√9=520.当且仅当√n+1=n+1,即n=8时取等号,所以从今年算起第8年工厂的年利润最高,最高为520万元.方法技巧本题主要考查利用基本不等式求最值,关键是从实际问题中抽象出数学模型. 22.(★★★)(本小题满分12分)设f(x)=3ax2+2bx+c(a,b,c∈R),若a+b+c=0,f(0)·f(1)>0,求证:(1)方程f(x)=0有实根;(2)-2<ba<-1;(3)设x1、x2是方程f(x)=0的两个实根,则√33≤|x1-x2|<23.22考点三个“二次”之间的关系.思路分析(1)针对a进行分类讨论,若a=0,则f(0)f(1)≤0,显然与条件矛盾,a≠0时,f(x)=3ax2+2bx+c为二次函数,只需考虑判别式即可;(2)由a+b+c=0,f(0)f(1)>0,可构造关于ba 的不等式,解不等式可得-2<ba<-1;(3)利用根与系数的关系将(x1-x2)2转化成关于ba的二次函数,根据ba的范围求出值域即可.证明(1)当a=0时,b=-c,f(0)·f(1)=c(3a+2b+c)=-c2≤0,与已知矛盾, 所以a≠0.由题意得c≠0.方程3ax2+2bx+c=0的判别式Δ=4(b2-3ac),由a+b+c=0,消去b,得Δ=4(a2+c2-ac)=4[(a-12c)2+34c2]>0.故方程f(x)=0有实根.(2)由f(0)·f(1)>0,得c(3a+2b+c)>0. 由a+b+c=0,消去c得(a+b)(2a+b)<0. 因为a2>0,所以(1+ba )(2+ba)<0.故-2<ba<-1.(3)由已知得,x1+x2=-2b3a,x1x2=c3a=-a+b3a,所以(x 1-x 2)2=(x 1+x 2)2-4x 1x 2=49(b a +32)2+13.因为-2<b a <-1,所以13≤(x 1-x 2)2<49.故√33≤|x 1-x 2|<23.方法技巧 对形如ax 2+bx+c=0的方程求解时,一定要对a=0和a ≠0进行讨论,结合判别式和根与系数的关系可解决问题.。
湖南长沙市雅礼中学高一数学上册期末试卷
湖南长沙市雅礼中学高一数学上册期末试卷一、选择题1．已知全集{1,2,3,4,5,6}U =，集合{2,3,4}A ，{1,3,4}B =则()UB A=（ ）A ．{1,2,5,6}B ．{5,6}C ．{2,3,5,6}D ．{1,2,3,4}2．函数1()3f x x x =-++的定义域为（ ） A ．(3,0]-B ．(3,1]-C ．(,3)(3,0]-∞--D ．(,3)(3,1]-∞--3．已知点()sin ,tan P αα在第三象限，角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴的非负半轴，则角α的终边在（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 4．已知[0,2]απ∈，点(1,tan 2)P 是角α终边上一点，则α=（ ） A ．2B ．2π+C ．2π-D ．2π-5．函数()23log f x x x =+的零点所在区间为（ ） A ．11,168⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．11,84⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦6．三国时期，吴国数学家赵爽绘制“勾股圆方图”证明了勾股定理(西方称之为“毕达哥拉斯定理”).如图，四个完全相同的直角三角形和中间的小正方形拼接成一个大正方形，角α为直角三角形中的一个锐角，若该勾股圆方图中小正方形的面积1S 与大正方形面积2S 之比为1:25，则3cos 4πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭（ ）A 2B ．2C 72D ．727．定义在R 上的奇函数()f x 在[0,)+∞是减函数，且(2)1f -=，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是（ ）A ．[-2,2]B ．[-2,1]C ．[1,3]-D ．[0,4]8．已知函数()f x 的图象如图，则()f x 的解析式可能是（ ）A ．()21f x x x =-B ．()21f x x =-C ．()21x f x x =-D ．()21x f x -=二、填空题9．已知函数()f x 的定义域为R ，对任意的实数想，x ，y 满足1()()()2f x y f x f y +=++，且1()02f =，下列结论正确的是（ ） A ．1(0)2f =-B ．3(1)2f -=- C ．()f x 为R 上的减函数D ．1()2+f x 为奇函数10．下列说法中，正确的是（ ） A ．不等式21031x x -≤+的解集是11,32⎡⎤-⎢⎥⎣⎦B ．“1,1a b >>”是“1ab >”成立的充分条件C ．函数22()2f x x =+的最小值为2D ．“tan 1x =”是“4x π=”成立的必要条件11．已知,,,a b c d R ∈，则下列结论正确的是（ ） A ．若,a b c d >>，则ac bd > B ．若22ac bc >，则a b > C ．若0a b >>，则()0a b c ->D ．若,a b c d >>，则a d b c ->-12．双曲函数是一类与常见的三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数2x x e e shx --=和双曲余弦函数2x xe e chx -+=，其中e 是自然对数的底数.则下列结论正确的是（ ）A ．222ch x ch x sh x =+B ．222sh x ch x sh x =-C ．()sh x y shxchy chxshy +=+D ．()ch x y chxchy shxshy +=+三、多选题13．若命题:p x ∃∈R ，220ax ax -+≤为假命题，则实数a 的取值范围是___________. 14．已知1b a >>，若3log log 2a b b a -=，b a a b =，则a b -=____________.15．若两个正实数x ，y 1=26m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是________.16．定义域为R 的函数()2x F x =可以表示为一个奇函数()f x 和一个偶函数()g x 的和，则()f x =_________；若关于x 的不等式()()f x a bF x +≥-的解的最小值为1，其中,R a b ∈，则a 的取值范围是_________.四、解答题17．已知{}2230A x x x =--≤，()(){}40B x x k x k =--+>．（1）若[]0,3AB =R，求实数k 的值；（2）若p ：x A ∈，q ：x B ∈，若p 是q 的充分条件，求实数k 的取值范围．18．已知函数())0,22f x x ππωϕωϕ⎛⎫=+>-≤< ⎪⎝⎭的图像关于直线3x π=对称，且图像与x 轴的相邻交点的距离为2π. （Ⅰ）求4f π⎛⎫⎪⎝⎭的值；（Ⅱ）将函数()y f x =的图像向右平移12π个单位长度后，得到()y g x =的图像，求()g x 的单调递减区间.19．已知函数1()(0xxb f x a a a -=+>且1)a ≠是奇函数． （1）求b 的值；（2）令函数()()1x g x f x a =--，若关于x 的方程2()3t g x t +=+在R 上有解，求实数t 的取值范围． 20．杭州市将于2022年举办第19届亚运会，本届亚运会以“绿色、智能、节位、文明”为办赛理念，展示杭州生态之美、文化之韵，充分发挥国际重大赛事对城市发展的牵引作用，从而促进经济快速发展，筹备期间，某公司带来了一种智能设备供采购商洽谈采购，并决定大量投放当地市场，已知该种设备年固定研发成本为50万元，每生产一台需另投入80元，设该公司一年内生产该设备x 万台且全部售完，每万台的销售收入()G x （万元）与年产量x （万台）满足如下关系式：()()()()1802,0202000900070,201x x G x x x x x ⎧-<≤⎪=⎨+->⎪+⎩（1）写出年利润()W x （万元）关于年产量x （万台）的函数解析式：（利润=销售收入-成本）（2）当年产量为多少万台时，该公司获得的年利润最大？并求最大利润．21．如图，一个水轮的半径为4米，水轮圆心O 距离水面2米，已知水轮每分钟逆时针转动1圈，当水轮上点P 从水中浮现时（图中点0P ）开始计算时间.（1）将点P 距离水面的距离z （单位：米，在水面以下，则z 为负数）表示为时间t （单位：秒）的函数；（2）在水轮转动1圈内，有多长时间点P 位于水面上方？ 22．已知函数2()2(1)1f x x a x a =-+-+，a R ∈． （1）若()f x 在区间[1,1]-上不单调，求a 的取值范围；（2）设2()[(2)()]g x x ax a f x x =---⋅，若函数lg ()y g x =在区间[,1]t 恒有意义，求实数t的取值范围；（3）已知方程2()|2|0f x x x ++=在(1,2)-有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围．【参考答案】一、选择题 1．B 【分析】 根据{2,3,4}A ，{1,3,4}B =，利用并集运算得到A B ，然后再利用补集运算求解. 【详解】∵{2,3,4}A，{1,3,4}B =，∴{1,2,3,4}A B ⋃=， 又∵{1,2,3,4,5,6}U =， ∴(){5,6}UA B =.故选：B 2．C 【分析】直接利用负数不能开偶次方根和分母不能为零求解. 【详解】因为030x x -≥⎧⎨+≠⎩，所以0x ≤且3x ≠-，所以函数1()3f x x =+的定义域为(,3)(3,0]-∞--， 故选：C 【点睛】本题主要考查函数定义域的求法，属于基础题. 3．D 【分析】根据()sin ,tan P αα在第三象限，得到sin 0tan 0αα<⎧⎨<⎩求解.【详解】因为点()sin ,tan P αα在第三象限，所以sin 0tan 0αα<⎧⎨<⎩，所以角α的终边在第四象限， 故选：D4．B 【分析】根据三角函数的定义求出cos ,sin αα，从而可得α. 【详解】 因为22ππ<<，故cos20<，因为(1,tan 2)P 是角α终边上一点，故11cos 2cos 2OP ==-， 故()1cos cos 2cos 21cos 2απ==-=+-，而()tan 2sin sin 2sin 21cos 2απ==-=+-， 故α与2π+的终边相同，而[]20,2ππ+∈，故2απ=+. 故选：B. 5．C 【分析】由函数()23log f x x x =+，分别求得区间端点的函数值，结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解. 【详解】由题意，函数()23log f x x x =+，可得函数()f x 为单调递增函数， 可得21113()3log 4016161616f =⨯+=-<，13()3088f =-<，13()2044f =-<， 13()1022f =->，(1)30f =>， 所以11()()042f f <，所以函数()f x 的零点所在区间为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦.故选：C. 6．D 【分析】如图。
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题号 1
234源自5678
9
10 11 12
答案 D
A
B
A
D
B
A
D
C
D
B
D
二．填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。）
13. （2，3，－4） 14. 8
15. 2
16. 1
三．解答题(本大题共 5 小题，每题 14 分，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。)
17、解：（1）法一：（1）由两点式写方程得 y 5 x 1 ，……………………3 分 15 21
B、2﹤1﹤3
C、3﹤2﹤1
D、1﹤3﹤2
3、直线 5x 2y 10 0 在 x 轴上的截距为 a ，在 y 轴上的截距为 b，则(
)
A、 a =2，b=5 B、 a =2，b= 5
C、 a = 2 ，b=5 D、 a = 2 ，b= 5
4、经过直线 l1 : 2x y 3 0,l2 : x y 0 的交点且平行于直线 3x y 1 0 的直线方程为(
6、两圆 x2 y2 9 和 x2 y2 8x 6 y 9 0 的位置关系是(
)
A．相离
B．相交
C．内切
D．外切
7、圆 x2 y2 4x 2 y 0 关于直线 x y 0 对称的圆的方程是(
)
A． x2 y2 2x 4 y 0
B． x2 y2 4x 2 y 0
(1) 求证：AD⊥平面 BCC1B1
（2）求该多面体的体积。
C1
A1
B1 C
A
D
B
20、如图，已知 AB 平面 ACD ， DE 平面 ACD ，△ ACD 为等边
三角形， AD DE 2AB， F 为 CD 的中点．
（1）求证： AF // 平面 BCE ； （2）求证：平面 BCE 平面 CDE ；
D．②③
11、点 P 为ΔABC 所在平面外一点，PO⊥平面 ABC，垂足为 O，若 PA=PB=PC，则点 O 是ΔABC 的(
)
A、内心
B、外心
C、重心
D、垂心
12、已知ΔABC 是等腰直角三角形，∠A= 90 ，AD⊥BC，D 为垂足，以 AD 为折痕，将ΔABD 和ΔACD 折
成互相垂直的两个平面后，如图所示，有下列结论：
3
一、选择题（每小题 5 分，共 60 分。四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1、下面三视图所表示的几何体是(
)
A．三棱锥
B．四棱锥
C．五棱锥
D．六棱锥
y
L3
L2
正视图
侧视图
俯视图 (第 1 题)
x O
L1
（第 2 题）
2、若图中的直线 L1、L2、L3 的斜率分别为 1、2、3 则(
)
A、1﹤2﹤3
①BD⊥CD；②BD⊥AC；③AD⊥面 BCD；④ΔABC 是等边三角形；
其中正确的结论的个数为(
)
A、1
B、2
C、3
D、4
A A
B
D
C
D
（第 12 题）
B
C
二、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13、点（2，3，4）关于 xOy 平面的对称点为
14、长方体的同一个顶点上三条棱的边长分别为 2、 3 、1，且它的八个顶点都在同一个球面上，这个球
)
A、 3x y 2 0
B、 3x y 4 0
C、 3x y 4 0
D、 x 3y 4 0
5、圆 x2 y 2 4x 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为(
)
A、 x 3y 2 0
B、 x 3y 4 0
C、 x 3y 4 0
D、 x 3y 2 0
2019-2020 学年高一上数学期末模拟试卷含答案
参考公式：
（1）若圆锥的底面半径为 r ，母线长为 l ，则圆锥的侧面积为 S r l （2）若球的半径为 R ，则球的表面积为 S 4 R2 （3）若柱体的底面积为 S ，高为 h ，则柱体的体积为V Sh （4）若锥体的底面积为 S ，高为 h ，则锥体的体积为V 1 Sh
C． x2 y2 2x 4 y 0
D． x2 y2 4x 2 y 0
8、已知等边三角形 ABC 的边长为 a ，那么三角形 ABC 的斜二测直观图的面积为(
)
A. 3 a 2 4
B. 3 a 2 8
C. 6 a 2 8
D. 6 a 2 16
9、已知 a 、 b 是异面直线，直线 c 平行于直线 a ，那么 c 与 b (
的表面积是
15、若圆锥的表面积为 3 ，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的直．径．为_______ _ ____ 16、若 P 为圆 x2 y 2 1 上的动点，则点 P 到直线 3x 4y 10 0 的距离的最小值为_______
三、解答题（本大题共 5 小题，每题 14 分，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。） 17、已知三角形 ABC 的顶点坐标为 A（-1，5）、B（-2，-1）、C（4，3），M 是 BC 边上的中点。（1）求 AB
B E
A
C
D
F
21、已知圆 x2 y 2 6mx 2(m 1) y 10m2 2m 24 0 ，直线 l1 ： x 3y 3 0 （1）求证：不论 m 取何值，圆心必在直线 l1 上； （2）与 l1 平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；
一．选择题（本大题共 12 小题. 每小题 5 分，共 60 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的。）
)
A.一定是异面直线
B. 一定是相交直线
C. 不可能是平行直线
D. 不可能是相交直线
10、关于直线 m，n 与平面，，有下列四个命题：
①m∥，n∥且∥，则 m∥n；
②m⊥，n⊥且⊥，则 m⊥n；
③m⊥，n∥且∥，则 m⊥n；
④m∥，n⊥且⊥，则 m∥n．
其中真命题的序号是(
)
A．①②
B．③④
C．①④
即 6x-y+11=0……………………………………………………4 分
法二：直线 AB 的斜率为 k 1 5 6 6 ………………………1 分 2 (1) 1
边所在的直线方程；（2）求中线 AM 的长（3）求 AB 边的高所在直线方程。
18、已知圆 C 和 y 轴相切，圆心在直线 x 3y 0 上，且被直线 y x 截得的弦长为 2 7 ，求圆 C 的方
程。
19、在如图所示的多面体中，已知正三棱柱 ABC A1B1C1 的所有棱长均为 2，四边形 ABCD 是菱形。