实变函数习题解答(1)

第一章习题解答

1、证明 A (B C)＝(A B) (A C)

证明：设x∈A (B C)，则x∈A或x∈(B C)，若x∈A，则x∈A B，且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)。若x∈B C，则x∈B且x∈C，于是x∈A B且x∈A C，从而x∈(A B) (A C)，因此

A (B C) ⊂ (A B) (A C) (1)

设x∈(A B) (A C)，若x∈A，则x∈A (B C)，若x∈A，由x∈A B 且x∈A C知x∈B且x∈C，所以x∈B C，所以x∈A (B C)，因此

(A B) (A C) ⊂ A (B C) (2)

由(1)、(2)得，A (B C)＝(A B) (A C) 。

2、证明

①A－B＝A－(A B)＝(A B)－B

②A (B－C)＝(A B)－(A C)

③(A－B)－C＝A－(B C)

④A－(B－C)＝(A－B) (A C)

⑤(A－B) (C－D)＝(A C)－(B D)

(A－B)＝A B

A－(A B)＝A C(A B)＝A (CA CB)

＝(A CA) (A CB)＝φ (A CB)＝A－B

(A B)－B＝(A B) CB＝(A CB) (B CB)

＝(A CB) φ＝A－B

②(A B)－(A C)＝(A B) C(A C)

＝(A B) (CA CC)＝(A B CA) (A B CC)＝φ [A (B CC)]＝

A (B－C)

③(A－B)－C＝(A CB) CC＝A C(B C)

＝A－(B C)

④A－(B－C)＝A C(B CC)＝A (CB C)

＝(A CB) (A C)＝(A－B) (A C)

⑤(A－B) (C－D)＝(A CB) (C CD)

＝(A C) (CB CD)＝(A C) C(B D)

＝(A C)－(B D)

⑥A －(A －B)＝A C(A CB)＝A (CA B)

＝(A CA) (A B)＝φ (A B)＝A B

3、证明： (A B)－C ＝(A －C) (B －C)

A －(

B C)＝(A －B) (A －C)

证明：(A B)－C ＝(A B) CC

＝(A CC) (B CC)＝(A －

(A －B) (A －C)＝(A CB) (A CC)

＝(A A) (CB CC)＝A C(B C)＝A －(B C)

4、证明：s C (∞=1i i A )＝∞=1

i s C i A 证明：设x ∈s C (∞=1i i A )，则x ∈∞=1

i i A ，于是，i ∀、x ∈i A ，从而x ∈C i A ，所以，x ∈∞=1i C i A ，所以，s C (∞=1i i A )⊂∞=1

i s C i A 。 设x ∈∞=1i s C i A ，则i ∀、x ∈C i A ，即x ∈i A ，于是，x ∈∞=1i i A ，即x ∈C (∞=1

i i A )，所以∞=1i C i A ⊂ C (∞=1

i i A )，由以上两步得 s C (∞=1i i A ) = ∞=1

i s C i A

N ∈ααA )－B ＝N

∈α (αA －B) ②(N ∈α αA )－B ＝N

∈α (αA －B) 证明：①(N ∈α αA )－B ＝(N

∈α αA ) CB ＝N ∈α (αA CB)＝N

∈α (αA －B)

②(N ∈α αA )－B ＝(N

∈α αA ) CB =N ∈α (αA CB)＝N

∈α (αA －B) 6、设{n A }是一列集合，作1B =1A ，n B =n A -(11

-=n k k A )n >1。证明n B 是一列互不相交的集，而且n k 1= k A =n k 1

= k B ，n =1，2，3，…。 证明：设i ≠j ，不妨设i

i B j B ⊂i A [j A -(11

-=j k k A )] =i A [j A (11

-=j k C k A )] =i A j A [C i A (11-≠=j i

k k C k A )]=(i A C i A ) j A (11-≠=j i k k C k A )=φ j A (11-≠=j i

k k k A )=φ ∴ i B j B =φ，{n B }互不相交。

∵ i B ⊂i A ，∴ n k 1= k A =n k 1

= k B 。 另一方面，设x ∈n k 1= k A ，则存在最小的自然数i ，使x ∈i A ，x ∈11

-=i k k A ，∴ k A =i B ⊂n k 1

= k B ， ∴ n k 1= k A ⊂n k 1= k B ∴ n k 1= k A =n

k 1= k B 。 7、设12-n A =(0，n 1

)，n A 2=(0，n )，n =1，2，…，求出集列{n A }的上限集和下限集。

解：∀n 。∵ 12-n A =(0，n 1)，n A 2=(0，n )，

∴ 12-n A ⊂n A 2 。

∞=n m m A =∞=n m (12-m A m A 2)=∞=n m m A 2=∞=n

m (0，m )=(0，∞)

∞→n lim n A =∞=1n ∞=n m m A =∞=1

n (0，∞)=(0，∞) ∞=n m m A =∞=n m (12-m A m A 2)=∞=n

m 12-m A =∞=n

m (0，m 1)=φ

∴ ∞→n lim n A =∞=1n ∞=n m n A =∞=1n φ=φ 。

8、证明：∞→n lim n A =∞=1n ∞=n

m m A

证明：x ∈∞→n lim n A ⇒∃n ，∀m ≥n ，有x ∈m A ⇒∃n ，x ∈∞=n

m m A ⇐⇒

x ∈∞=1n ∞=n m m A ，∴ ∞→n lim n A =∞=1n ∞=n

m m A 。 9、作出一个(－1，1)和(－∞，＋∞)的1—1对应，并写出这一对应的解析表达式。

解：y=tg 2

π

x ，x ∈(－1，1)，y(－∞，＋∞)。 10、证明将球面去掉一点以后，余下的点所成的集合和整个平面上的点所成的集合是对等的。

证明：用P 表示在球面上挖去的那一点，P 与球心O 的连线交球面于M ，过M 作球面的切平面，过P 点和球面上任一点N 引直线，该直线与平面交于N '，将N 与N '对应，P 与M 对应，则球面上的点与整个平面上的点用上述方法构成一个一一对应，由对等的定义，挖去一点的球面与平面是对等的。

A 的元素，则A 至多为可数集。 由有理数的稠密性知，在每一区间中至少含有一个有理数，在每一开区间中任取一有理数与该区间对应，由于开区间互不相交，故不同开区间对应不同的有理数，但有理数全体为一可数集，其子集至多是可数集，所以直线上互不相交的开区间作成的集至多是可数集。