大学生数学竞赛空间解析几何练习题

试题1：如果平面:0Ax By D π++=与曲面261z xy +=的交线是圆，求实数,A B 的比值。

解：不妨设0B ≠以平面π为新的''X Y 平面，以(0,/,0)D B -为原点，以

'223(,,0)/e A B A B =+,'22'''1231(,,0)/,(0,0,1)e B A A B e e e =-+=⨯=为基本向量

建立一个新的坐标系''''O X Y Z ，则坐标变换公式为

''

2222

''2222'/B A x x z A B A B A B

y D B x z A B A B z y ⎧=+⎪++⎪

⎪=--

+⎨++⎪

⎪=⎪⎩

在新的坐标系中，平面的方程为：'0z =, 而曲线的方程为： '2''''

22

22

2

2

2

2

6(

)(/)1

B A A

B

y x z D B x z A B A B A B A B ++

--

+

=+++

+

所以交线的方程为：

'2'

'''22

22

22

22

'6()(/)1

B A A B y x z D B x z A B A B A B A B z ⎧++--+

=⎪++++⎨

⎪=⎩

化简得：

'2'

'22

22

'6()(/)1

0B A y x D B x A B A B z ⎧+--=⎪++⎨

⎪=⎩

因为交线是圆，所以 226AB A B -=+ 解得

322A

B

=-.

试题2：求过点)0,1,0(P 并且和两条直线 ⎩

⎨

⎧=+=+++⎩⎨

⎧=+=++020

13:,0201:21y x z y x l y x y x l 均相交的直线的方程。

解：把直线的方程化为点向式方程为： ,1

11

2

:,1

20

1:21-+==-=+=-z y x l z y x l

设所求的直线为,l 记l 和i l 所确定的平面为,1,2i i π=,那么12l ππ=，

试题3：在二次曲面2222360x y z xy xz z +-++-=上，求过点(1,4,1)-的所有直线的方程.

解：设所求的直线的方程为:141x lt

y mt z nt =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩

,又因为所求的直线在二次曲

面上,所以对任意的,t 有

2222(1

)(4)(1)

3(1)(

4)(1)(1

)6(1)

l t m t n t

l t m t l t n t n t ++--+++-+++-+=,

化简得;

2222(23)(757)0t l m n ml nl l m n t +-++-++= 由于上式对任意的,t 都成了，所以

222230

(1)7570l m n ml nl l m n ⎧+-++=⎨

++=⎩

由于n m l ,,可相差一个公共的非零常数倍，所以可分两种情况讨论 (1):,0=l 代入方程组(1)得

220

(1)570

m n m n ⎧-=⎨

+=⎩

上述方程只有零解. (2): ,1=l 代入方程组(1)得

22230

(1)7570m n m n m n ⎧+-++=⎨++=⎩

解之得07/4

11/4

m m n n ==-⎧⎧⎨

⎨

=-=⎩⎩或者 所以所求的直线为

11447/411/4x t x t y y t z t z t =+=+⎧⎧⎪⎪

=-=--⎨⎨⎪⎪=-=+⎩⎩

或者

试题4：求过点)1,0,1(P 平行于y 轴并与曲面182=+xz y 的交线都是圆的所有平面的方程.

解：答案：0)1)(154(1=-++z x

试题5：求和下面三条直线都是相交的直线所构成的曲面。 52

4132:,1:,1:321+=

+=--⎩

⎨⎧-=-=⎩⎨

⎧==z y x L y z x L y z x L 答案：1222=-+z y x

试题6：确定实数m 的值，使平面0=-+mz y x 和单叶双曲面

1222=-+z y x 相交，交线分别是椭圆和双曲线.

解:令'3e 为所给的平面的单位法向量，即),1,1(212

'3m m

e -+=

,取

)2,.()

2(21),0,1,1(212'1'3'2'1---+=⨯=-=

m m m e e e e . 由于原点在所给的平面上，以'3'2'1,,e e e 为新的基本向量建立新的直角坐标系],,,['

3'2

'1e e e O ,那么新就坐标系之间的坐标变换公式为:

'''22'''22''2211

22(2)2

1,22(2)222(2)2m x x y z m m m m y x y z m m m z y z m m ⎧=-+⎪⎪++⎪

⎪

=--

+⎨++⎪

⎪⎪=--⎪++⎩

那么在新的坐标系中，所给的平面方程为:0'=z , 所给的单叶双曲面的和平面的交线的方程为：

1

222=-+z y x ''2''2'2

222

'112()()()1222(2)2(2)2(2)0m m x y x y y m m m z ⎧-+----=⎪+++⎨

⎪=⎩

化简得到：

2'2'2

2'21

20m x y m z ⎧-+=⎪+⎨

⎪=⎩

所以，当2m >时，交线是椭圆，当2m <时是双曲线，当2m =时是一对平行直线。