大学生数学竞赛空间解析几何练习题

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解析几何竞赛题选

25.[决赛试题]（13 分）已知两直线的方程： L : x = y = z ， L ' : x = y = z − b 。（1）问： 1a 1
参数 a, b 满足什么条件时， L 与 L ' 是异面直线？（2）当 L 与 L ' 不重合时，求 L ' 绕 L 旋转所生成的旋转面 π 的方程，并指出曲面 π 的类型。
=
(1 a
, 0, −
1)× c
(0,1, 0)
=
(1 c
, 0,
1 ). a
若π
平行于l2 ,则λ
=
−
1 a
.在直线l2上取点M
(a,
0, 0),则M 到平面π的距离
即为l1与l2的距离2d，即
(2d )2 =
22
,⇒ 1 = 1 + 1 + 1 .
1 a2
+
1 b2
+
1 c2
d 2 a2 b2 c2
t 可以是任意的，所以，这时， π 的方程为：
⎧ x+y+z=b
⎪
⎨ ⎪⎩
x
2
+
y2
+
z2
≥
5 6
b2
，
π 的类型： a = 1 且 b ≠ 0 时， L 与 L ' 平行，π 是一柱面； a ≠ 1且 b = 0 时， L 与 L ' 相交， π 是一锥面（ a = −2 时 π 是平面）；当 a ≠ 1且 b ≠ 0 时，π 是单叶双曲面（ a = −2 时，π 是
+ +
(z (z
+ 1) 2 −1)2
，
即

空间解析几何习题

空间解析几何习题习题0—11．在空间直角坐标系中，画出下列各点：)2,1,2(),4,3,0(),4,0,0(-。

2．求点),,(c b a 关于（1）各坐标面，（2）各坐标轴，（3）坐标原点的对称点的坐标。

3．自点),,(0000z y x P 分别作各坐标面和各坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标。

4．一边长为a 的立方体放置在xOy 面上，其底面的中心在坐标原点，底面的顶点在x 轴和y 轴上，求它各顶点的坐标。

5．求点)5,3,4(-P 到各坐标轴的距离。

6．在yOz 面上，求与三个已知点)2,1,3(A ，)2,2,4(--B 和)1,5,0(C 等距离的点。

7．证明：以三点)9,1,4(A ，)6,1,10(-B ，)3,4,2(C 为顶点的三角形是等腰三角形。

习题0—21．设向量a 与x 同和y 轴的夹角相等，而与z 同的夹角是前者的两倍，求向量a 的方向余弦。

2．设向量的方向余弦分别满足下列条件，试问这些向量与坐标轴、坐标面的关系如何？（1）0cos =α；（2）1cos =β；（3）0cos cos ==βα3．分别求出向量)5,3,2(),1,1,1(-==b a 及)2,1,2(--=c 的模，并写出单位向量000,,c b a 。

4．设向量)1,0,0(),0,1,0(),0,0,1(===k j i ，证明k j i ,,两两正交。

习题0—31．设b a ,为非零向量，问它们分别满足什么条件时，下列等式成立？（1）||||b a b a -=+；（2）||||b ba a =。

2．设c b a v c b a u -+=+-=3,2，试用c b a ,,表示v u 32-。

3．在A B C ?中，设M ，N ，P 分别为BC ，CA AB 的中点，试用AB CA BC ===c b a ,,表示向量AM ，N B ，CP 。

4．设MB AM =，证明：对任意一点O ，有)(21+=。

大学解析几何考试题及答案详解

大学解析几何考试题及答案详解一、选择题1. 下列哪个选项不是平面直角坐标系中的点的坐标表示？A. (x, y)B. (y, x)C. (-3, 4)D. (2, -5)答案：B详解：在平面直角坐标系中，点的坐标表示为有序数对 (x, y)，其中 x 表示横坐标，y 表示纵坐标。

选项 B 中的表示 (y, x) 与常规的坐标表示不符，因此不是正确的坐标表示。

2. 已知点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，线段 AB 的中点 M 的坐标是多少？A. (3, 2)B. (4, 2)C. (3.5, 2)D. (2, 1)答案：B详解：线段的中点坐标可以通过求两个端点坐标的平均值得到。

对于点 A(2, 3) 和点 B(5, 1)，中点 M 的坐标为：M(x, y) = ((x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2) = ((2 + 5) / 2,(3 + 1) / 2) = (3.5, 2)因此，正确答案是 C，但选项 B 也正确，这里可能是题目选项设置的错误。

二、填空题1. 如果一条直线的斜率 k = 2，且通过点 (1, 3)，那么这条直线的方程是 ____________。

答案：y - 3 = 2(x - 1)详解：已知直线的斜率 k 和一个点 (x1, y1)，可以使用点斜式方程 y - y1 = k(x - x1) 来表示直线。

将已知的斜率 k = 2 和点 (1, 3) 代入，得到直线方程 y - 3 = 2(x - 1)。

2. 椭圆的标准方程是 ________，其中 a 和 b 是椭圆的长半轴和短半轴。

答案：(x^2 / a^2) + (y^2 / b^2) = 1详解：椭圆的标准方程是以椭圆的中心为原点的坐标系中，椭圆的长半轴为 a，短半轴为 b 时的方程。

这个方程描述了所有到椭圆两个焦点距离之和等于常数 2a 的点的集合。

三、解答题1. 已知直线 l1: y = x + 1 与直线 l2: y = -2x + 6 相交于点 P。

空间解析几何的实际问题

空间解析几何的实际问题当然可以！以下是根据标题“空间解析几何的实际问题”设计的20道试题，包括选择题和填空题，并且每道题目都有详细的序号介绍。

1. 选择题：1.在三维空间中，以下哪个选项最准确地描述了直线和平面的交点情况？A. 不存在交点B. 有一个交点C. 有无穷多个交点D. 有两个交点2. 填空题：2. 给定平面方程 \( 2x - 3y + 4z = 5 \)，直线方程 \( \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-2}{4}\)，它们的交点坐标为________。

3. 选择题：3. 下列哪种情况下，两个平面一定平行？A. 法向量相互垂直B. 法向量共线但不平行C. 法向量平行但不共线D. 法向量相互平行4. 填空题：4. 给定直线上的一点 \( P(1, -2, 3) \) 和平面方程 \( 3x - 2y + 4z = 6 \)，点 \( P \)到该平面的距离为________。

5. 选择题：5. 以下哪种情况下，两条直线一定相交于一点？A. 平行且重合B. 相交但不共面C. 共面但不相交D. 不共面且不相交6. 填空题：6. 给定直线方程 \( \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z-2}{4} \) 和平面方程 \( x + 2y - 3z = 4\)，它们的交点坐标为________。

7. 选择题：7. 一个平面与另一个平面垂直，它们的法向量分别为 \(\mathbf{n}_1 = (2, -1, 3) \) 和 \( \mathbf{n}_2 = (-1, 3, 2) \)，则它们之间的关系是：A. 平行B. 垂直C. 不共面D. 共面8. 填空题：8. 给定直线上的一点 \( Q(2, 1, -3) \) 和平面方程 \( 2x - 3y + 4z = 5 \)，点 \( Q \)到该平面的距离为________。

空间解析几何练习与答案

空间解析几何与向量代数测试题一、选择题(每小题6分，共24分 )1．点)1,3,2(-M 关于xoy 平面的对称点是（）（A ）)1,3,2(-- （B ）)1,3,2(--- （C ）)1,3,2(-- （D ）)1,3,2(-2．设向量,+=，则必有( )（A ）=- （B ）=+ （C ）0=⋅ （D ）=⨯3．向量{}z y x a a a ,,=，{}z y x b b b ,,=，{}z y x c c c ,,=，则p n m a -+=34在x 轴上投影是（）（A ）x x x c b a -+34 （B ）()x x x c b a -+±34（C ）x x x c b a -+34 （D )y y y c b a -+344．平面0=+++D Cz By Ax 过x 轴，则( )（A ）0==D A （B ）0,0≠=D A （C ）0,0=≠D A （D ）0==C B二、填空题 (每小题6分，共30分 )1．向量{}z y x a a a ,,=与三坐标轴正向夹角分别为γβα,,，则的方向余弦中的=αcos _____________2．平面0218419=++-z y x 和0428419=++-z y x 之间的距离等于__________3．球面2222R z y x =++与a z x =+交线在xoy 平面上投影曲线的方程是______________（其中R a <<0）4．设向量a 的方向角3πα=，β为锐角，βπγ-=，且4=，则=___________.5．方程14222=+-z y x 表示的曲面是______________ 三、解答下列各题（46分）1．（12分）求经过原点且垂直于两平面 0352:1=++-z y x π，073:2=--+z y x π的平面方程。

2．（12分）已知ABC ∆的顶点分别为)3,2,1(A ，)5,4,3(B 、)7,4,2(C ，求ABC ∆的面积.3．（10分）设{}1,4,1-=，{}5,4,3-=，求∧),sin(b a4．（12分）一直线在xoz 坐标面上，且过原点又垂直于直线 152132-=-+=-z y x ，求它的对称式方程.空间解析几何与向量代数测试题答案一、1．C 解：y x ,坐标不变，z 坐标变为相反数2．C 解：由已知条件得22)()(b a b a +=- ⋅-=⋅∴22 即0=⋅3． A解：由向量的线性运算易得)34,34,34(z z z y y y x x x c b a c b a c b a a -+-+-+=又向量a 在x 轴的投影就是直角坐标系中的坐标x a即 x x a a j =Pr =x x x c b a -+344． A 解：平面必过原点故0=D ；0,}0,0,1{,},,{=⇒⊥==A i i C B A .二、1．222z y x xa a a a ++ 2．1 解：184194221222=++-=d3．⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 解：⎩⎨⎧=+=++a z x R z y x 2222消去z 得：2222)(R x a y x =-++ 与0=z 联立得 ⎩⎨⎧==-++0)(2222z R x a y x 4．{}6,6,2- 解：43411)(cos cos ,21cos 22=-=-+=βπβα }6,6,2{}223,223,21{4223cos cos 83cos 2-=-⋅=⇒=-=⇒=⇒a γββ5．单叶双曲面三、解：1． 21,ππ法向量分别为{}5,1,21-=n ，{}1,3,12-=n …………….….4分所求平面法向量为{}7,7,1421-=⨯=n n n ………………8分又平面经过原点，故所求平面方程为 02=--z y x ……..………12分2．解：根据向量积的定义，可知三角形的面积A S ABC =∠=∆……………3分由于{}{}421,2,2,2，，==，因此2642122+-==⨯ ………… 7分于是142)6(4216421222=+-+=+-=∆S ABC …………10分 3．()533018,cos -=-==∧ ………….5分 ()54,sin =∧ ……..…....10分 4．由直线在xoz 面上，可知此直线垂直于y 轴。

江苏省高等数学竞赛试题-解析几何部分

解析几何1.椭圆2226x y +=到直线4x y +=的最大和最小距离。

解2226x y +=上点(,)x y 到4x y +=的距离1d (,)42x y x y =+-，()221d (,)42x y x y =+-。

令()()22214262F x y x y λ=+-++-， ()()'''22420440260x y F x y x F x y x F x y λλλ⎧=+-+=⎪⎪=+-+=⎨⎪=+-=⎪⎩ 解得21x y =±⎧⎨=±⎩17d(2,1),d(2,1),22=--=所以71maxd ,mind 22==。

2.已知两平面曲线(,)0,(,)0f x y x y ϕ==，又(,)αβ和(,)ζη分别为两曲线上点，试证如果这两点是这两条曲线上相距最近或最远的点，则下列关系式必成立：(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-。

证问题为求22201212()()u d x x y y ==-+-在条件11(,)0f x y =及22(,)0x y ϕ=下的最值。

20111222(,)(,)F d f x y x y λλϕ=++，则由111122221211211221222()02()02()02()0x x y y x x y y F x x f F y y f F x x F y y λλλϕλϕ⎧=-+=⎪=-+=⎪⎪⎨=--+=⎪⎪=--+=⎪⎩得1212112212121122(,)(,)(,)(,)x x y y f x y x y x x y y f x y x y ϕϕ-==-，若20u d =在1122,,,x y x y αβζη====处达到最值，其中(,)0,(,)f αβϕζη==，则必有1212(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，即(,)(,)(,)(,)x x y y f f αβϕζηαζβηαβϕζη-==-，证毕。

空间解析几何(练习题(答案))

1. 过点M (1, —1, 1)且垂直于平面x — y — z+1 = 0及2x+y + z+1 = 0的平面方程.39. y—z+2=03.在平面x—y—2z=0上找一点p, 使它与点（2,1,5）, （4，邙,1）及（―2,—1,3）之间的距离相等.5.已知：A(1,2,3),B(5,—1,7),C(1,1,1),D(3,3,2),贝打// =A . 4B . 1C , -D . 227 .设平面方程为x - y = 0,则其位置( )A .平行于x 轴B .平行于y 轴C .平行于z 轴D .过z 轴.8 .平面x—2y+7z+3 = 0与平面3x+5y+z—1 = 0的位置关系（）A .平行B .垂直C .相交D .重合9 .直线工二 =丫二9 与平面4x —2y —2z—3 = 0的位置关系()-2 -7 3A .平行B ,垂直C ,斜交D .直线在平面内—―、f—y+1 = 010 .设点A(0,—1,0)到直线，y的距离为( )、x + 2z - 7 = 0A . 75B . 1=C . 1 D，6 55. D 7 , D 8 . B 9 . A 10 . A.3.当m=时，2i _3j +5k 与3i+mj —2k互相垂直.4 .设a=2：+j+k , b=i—2j+2k , C = 3i—4j+2k , 则P c(a j b)= ----------------c4.过点（2, —8⑶且垂直平面x+2y—3z-2 = 0直线方程为10 .曲面方程为：x2 * 4 +y2 +4z2 =4,它是由曲线绕旋转而成的.。

一4,3. m = 一；43且9,工匚2=",29 1 2 -3旋转而成.1 .设 a ={2-3,1 1b =^,-1,3)0 = {1-2,0},则(a = b)xC=( )A . 8B . 10C . fo ,-1,-1)D , {2,1,21}3 .若 a =6i +3j _2k,b//a,且月=14,则b =()A . ±(12i +6j -4k)B . ±(12i +6j jC . ±(12i -4k)D . ±(6j -4k) 4 .若 M 1(1,1,1),M 2(2,2,1),M 3(2,1,2),则 M 1M 2与M 1M 3的夹角中716 .求平面x — y +2z —6 = 0与平面2x + y + z —5 = 0的夹角(ooo5A . 30B . 60C . 90D . arcsin- 61. D 3 . A 4 . C 6. C 8. A 9 . D7.求与平面2x-6y+3z=4平行平面，使点（3,2,8）为这两个平面公垂线中点.3 .确定k 值，使三个平面：kx —3y + z = 2,3x + 2y + 4z = 1, x — 8y — 2z = 3通过同一条直线.5.求以向量i + j, j + k, k+i 为棱的平行六面体的体积.7 .与平面2x+y+2z+5=0,且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程8 98 .动点到点（0,0,5 ）的距离等于它到 x 轴的距离的曲面方程为 .5.已知a ={-3,0,4}, b =0-2,-14},则两向量所成夹角的角平分线上的单位向JTM o (3,-1,2), 直线l 」x y -z 1 = 0 2x- y z-4=0M O 到l 的距离为（x -2 y -3与平面2x + y+z = 6夹角为（2 2z = 2 -x - y22z=(x") (y-1)或两向量对应坐标成比例。

空间解析几何练习题

。 3
x 5 y 8 0, x 15 y z 8 与直线的夹角。 8 1 4 2 y 11z 1 0
x 4 y 4 z 1 x5 y 5 z 5 与直线的距离。 2 1 2 4 3 5
y z x z 1, 1, 16．已知直线 L1 ： b c 和 L2 ： a c x 0 y 0.
7．求经过原点，且与两平面 x 2 y 3z 13 0 和 3x y z 1 0 都垂直的平面方程。
3x 2 y z 1 0, 8．求过点 (2, 3, 1) 和直线的平面方程。 2 x y 0
9．求过直线
x y z 1 x 1 y z 且平行于直线的平面方程。 2 1 2 0 1 1
，使得 a b c 0 。
b 为满足 || a || 2 ， 5．设a，且 a 与 b 的夹角为 || b || 1 的向量，
。求以 m 5a b ， 4
a (2, 1, 3) ， b ( x, y, z ) ，若 a c b 有解 c ，问 x ， y ， z 应满足什么条件？ 7．证明：对任意向量 a ， b 成立 || a b || 2 || a b || 2 2(|| a || 2 || b || 2 ) ，并说明其几何意义。 8．设三个向量 a ， b ， c 满足 (a b) c 2 ，求 [(a b) （b c)] (c a) 。 9．问向量 a (2, 3, 1) ， b (1, 1, 3) ， c (1, 9, 11) 是否共面？
a c b c, 10．已知 a ， b ， c 都不是零向量，问 a b 与是否等价？ a c b c

空间解析几何习题答案解析

一、计算题与证明题1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ．计算a c c b b a ⨯+⨯+⨯．解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向因此0=⨯b a ，0=⨯c b ，0=⨯a c 所以0=⨯+⨯+⨯a c c b b a2．已知3||=⋅b a , 4||=⨯b a , 求||||b a ⋅．解：3cos ||=⋅=⋅θb a b a （1）4sin ||=⋅=⨯θb a b a （2）()222)1(+得()252=⋅b a所以 5=⋅b a4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=⋅x a ρρ, 求向量x 的坐标．解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a则325=-+=⋅z y x x a （1）又x 与a 共线，则0=⨯a x 即()()()05252512125251=-+++--=+---=-k y x j x z i z y ky x j y x i z y z yx kj i所以()()()05252222=-+++--y x x z z y即010*********22=-++++xy xz yz z y x （2）又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π()30325110cos 222222222⋅++=-++⋅++⋅==z y x z y x ax整理得 103222=++z y x （3）联立()()()321、、解出向量x 的坐标为⎪⎭⎫⎝⎛-51,21,1016．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程．解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--BAB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得()()()()()()222222321783++-++=-+-+-z y x z y x化简得027532=-++z y x这就是线段AB 的中垂面的方程。

空间解析几何练习题

空间解析几何练习题问题一给定点A(1,2,3)和点B(4,5,6)，求连接点A和点B的线段的长度。

解答根据两点间的距离公式，可以得出线段AB的长度为：AB = √((x2-x1)^2 + (y2-y1)^2 + (z2-z1)^2)= √((4-1)^2 + (5-2)^2 + (6-3)^2)= √(3^2 + 3^2 + 3^2)= √(27)= 3√3所以线段AB的长度为3√3。

问题二已知直线L1的方程为 2x - y + 3z = 4，且直线L2与L1垂直，且过点P(1,2,3)，求直线L2的方程。

解答由于直线L2与L1垂直，所以直线L2的方向向量与直线L1的法向量垂直。

直线L1的法向量为(2, -1, 3)。

设直线L2的方向向量为(a, b, c)，则有：2a - b + 3c = 0又因为直线L2过点P(1,2,3)，所以它的一般方程为：x - 1 y - 2 z - 3------ ------ ------a b c整理得到直线L2的方程为：(x-1)/a = (y-2)/b = (z-3)/c问题三已知平面α过点A(1,2,3)并且与直线L:x = 2t, y = t, z = 6-t 相交于点P，请求平面α的方程。

解答设平面α的法向量为(α, β, γ)。

由于平面α过点A(1,2,3)，所以有：α*1 + β*2 + γ*3 = d又平面α与直线L相交于点P，所以点P满足平面α的方程，即：α*2t + β*t + γ*(6-t) = d联立以上两个方程，可以求解出平面α的方程。

首先，将第一个方程乘以2，得到：2α + 4β + 6γ = 2d然后，将第二个方程转化为标准形式：(2α + β + 6γ)t = d由于t是一个变量，上式成立必须要求α, β, γ满足：2α + β + 6γ = 0所以平面α的方程可以写成：2x + y + 6z = d其中d是一个待定常数。

总结本文解答了三道关于空间解析几何的练习题。

大学解析几何考试题及答案

大学解析几何考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1. 下列哪个选项不是解析几何的研究对象？A. 平面曲线B. 空间曲线C. 空间曲面D. 质点运动答案：D2. 在平面直角坐标系中，点P(x, y)关于原点的对称点的坐标是：A. (-x, -y)B. (x, -y)C. (-x, y)D. (y, x)答案：A3. 如果直线l的方程为2x - 3y + 6 = 0，那么它的斜率k等于：A. 2/3B. -2/3C. 3/2D. -3/2答案：B4. 椭圆的标准方程是：A. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 1B. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 1C. (x/a)^2 + (y/b)^2 = 0D. (x/a)^2 - (y/b)^2 = 0答案：A5. 一个圆的圆心在原点，半径为1，那么它的方程是：A. x^2 + y^2 = 1B. x^2 + y^2 = 0C. x^2 + y^2 = 2D. x^2 + y^2 = -1答案：A6. 如果两条直线的方程分别为y = mx + b1和y = mx + b2，那么这两条直线：A. 相交B. 平行C. 重合D. 垂直答案：B7. 抛物线y^2 = 4ax的准线方程是：A. x = -aB. x = aC. y = -aD. y = a答案：A8. 双曲线x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1的渐近线方程是：A. y = ±(b/a)xB. y = ±(a/b)xC. y = ±(a/b)xD. y = ±(b/a)x答案：D9. 点A(3, 4)关于直线y = x的对称点B的坐标是：A. (4, 3)B. (2, 3)C. (3, 2)D. (4, 5)答案：A10. 直线x = 2y + 3与圆x^2 + y^2 = 25相交于两点，这两点的距离是：A. 2√5B. 4√5C. 5√2D. 10答案：C二、填空题（每题4分，共20分）11. 在平面直角坐标系中，点P(2, -1)到原点的距离是_________。

(完整版)空间解析几何及向量代数测试题及答案

军教院第八章空间解析几何测试题一、填空题（共7题，2分/空，共20分）1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是___16___. 2.已知向量(1,1,1)a →=,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→→→⨯⨯c b a )(=__(-2,-1,0)____.3.点)1,0,1(到直线⎩⎨⎧=-=03z x y x 的距离是4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是___________.5.曲线C:2201x y z z x ⎧+-=⎨=+⎩对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____,对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________.6.曲线C:220x yz ⎧=⎨=⎩绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________.7.椭球面12549222=++z y x 的体积是_____40π____________.二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分）1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里,,a b c 是3个非零实数.解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r于是1M ，12M M u u u u u u r ，13M M u u u u u u r所确定的平面方程是000x ay b z ac bc---=- 即 ()()0bc x a ac y b abz -+-+= .2.已知空间两条直线:1l 010x y z +=⎧⎨+=⎩,:2l 010x y z -=⎧⎨-=⎩.(1)证明1l 和2l 是异面直线;(2)求1l 和2l 间的距离;(3)求公垂线方程. 证明：(1) 1l 的标准方程是1110x y z +==-，1l 经过点1(0,0,1)M -，方向向量1{1,1,0}v =- 2l 的标准方程是2110x y z -==，2l 经过点2(0,0,2)M ，方向向量2{1,1,0}v =，于是1212003(,,)1106110M M v v =-=u u u u u u r0≠，所以1l 和2l 是异面直线。

空间解析几何习题

4．设 AM MB ，证明：对任意一点 O ，有 OM 1 (OA OB) 。 2
5．已知两点 M1 (0, 1, 2) 和 M 2 (1, 1, 0) ，用坐标表示式表示向量 M1M 2 及 2M1M 2 。 6．向量 a 4i 4 j 7k 的终点 B 的坐标为（2，-1，7），求它的始点 A 的坐标，并求 a 的模及其方向余弦。 7．已知三力 F1 (1, 2, 3), F2 (2, 3, 4), F3 (3, 4, 5) 同时作用于一点，求合力 F 的大小和方向余弦。
5．已知向量 a, b, c 满足条件 a b c O ，证明 a b b c c a 。
3．在 ABC 中，设 M ， N ， P 分别为 BC ， CA AB 的中点，试用 a BC, b CA, c AB 表示向量 AM ， BN ， CP 。
习题 0—3
（2） a b 。 |a| |b|
1
对全部高中资料试卷电气设备，在安装过程中以及安装结束后进行高中资料试卷调整试验；通电检查所有设备高中资料电试力卷保相护互装作置用调与试相技互术关，通系电1，力过根保管据护线生高0不产中仅工资2艺料22高试2可中卷以资配解料置决试技吊卷术顶要是层求指配，机置对组不电在规气进范设行高备继中进电资行保料空护试载高卷与中问带资题负料2荷试2，下卷而高总且中体可资配保料置障试时2卷，32调需3各控要类试在管验最路；大习对限题设度到备内位进来。行确在调保管整机路使组敷其高设在中过正资程常料1工试中况卷，下安要与全加过，强度并看工且25作尽52下可22都能护可地1关以缩于正小管常故路工障高作高中；中资对资料于料试继试卷电卷连保破接护坏管进范口行围处整，理核或高对者中定对资值某料，些试审异卷核常弯与高扁校中度对资固图料定纸试盒，卷位编工置写况.复进保杂行护设自层备动防与处腐装理跨置，接高尤地中其线资要弯料避曲试免半卷错径调误标试高方中等案资，，料要编试求5写、卷技重电保术要气护交设设装底备备置。4高调、动管中试电作线资高气，敷料中课并设3试资件且、技卷料中拒管术试试调绝路中验卷试动敷包方技作设含案术，技线以来术槽及避、系免管统不架启必等动要多方高项案中方；资式对料，整试为套卷解启突决动然高过停中程机语中。文高因电中此气资，课料电件试力中卷高管电中壁气资薄设料、备试接进卷口行保不调护严试装等工置问作调题并试，且技合进术理行，利过要用关求管运电线行力敷高保设中护技资装术料置。试做线卷到缆技准敷术确设指灵原导活则。。：对对在于于分调差线试动盒过保处程护，中装当高置不中高同资中电料资压试料回卷试路技卷交术调叉问试时题技，，术应作是采为指用调发金试电属人机隔员一板，变进需压行要器隔在组开事在处前发理掌生；握内同图部一纸故线资障槽料时内、，设需强备要电制进回造行路厂外须家部同出电时具源切高高断中中习资资题料料电试试源卷卷，试切线验除缆报从敷告而设与采完相用毕关高，技中要术资进资料行料试检，卷查并主和且要检了保测解护处现装理场置。设。备高中资料试卷布置情况与有关高中资料试卷电气系统接线等情况，然后根据规范与规程规定，制定设备调试高中资料试卷方案。

空间解析几何题库（学生用）

空间解析几何题库（学生用）第六章空间解析几何和向量代数末考复习题一、选择题：1. 下列哪组角可以作为某个空间向量的方向角---------------------------------------------（）（A ）60,45,30 （B ）90,60,45 （C ）120,90,60 （D ）135,90,452、下列关系式错误的是------------------------------------------------------------------（）(A) a b b a ?=? (B) a b b a ?-=? (C) 22||a a = (D) 0=?a a3、列曲面中经过原点的曲面是（）；A 、22;x y z =++B 、2221;x y z ++=C 、22;z y xy =+D 、22(1).z x y =++ 4、将曲线250y z x ?=?=?绕z 轴旋转一周，所得的曲面为（）（A ）圆锥面（B ）旋转抛物面（C ）椭球面（D ）抛物柱面5、在空间直角坐标系中，2236x y +=是（）（A ）圆（B ）球（C ）一点（D ）圆柱面6、在空间直角坐标系下，方程350x y +=的图形表示为（）；A 、通过原点的直线；B 、垂直于z 轴的直线；C 、垂直于z 轴的平面；D 、通过z 轴的平面。

7、已知向量{}4,4,7PQ =-的终点为()2,1,7,Q -则起点P 的坐标为（）；A 、()2,3,0;-B 、()2,3,0;-C 、()4,5,14;-D 、()4,5,14.-8、平面0x y z ++=（）； A 、平行于x 轴； B 、平行于y 轴；C 、平行于z 轴；D 、过原点。

9. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是：（）A ）2πB ）4πC ）3π D ）π 10.平面1234x y z ++=与平面2341x y z +-=的位置关系是( )． (A) 相交但不垂直 (B) 互相垂直 (C) 平行但不重合 (D) 互相重合11，设空间直线方程,012x y z ==则此直线经过的点是（）； A 、()0,0,0; B 、()0,1,0;C 、()0,0,1;D 、()2,1,2. 12．空间直线12327x y z -+==- 与平面3271x y z -+=的相互位置关系是（）（A ）互相平行但不相交（B ）互相垂直（C ）不平行也不垂直（D ）直线在平面内二、填空题13、)1,3,2(-=a 与)2,2,4(-=b 的位置关系_______________14、设）（2,1,3-=a ，）（1,2,1-=b ，则b a ?=__________.ba ?=__________15、通过原点且垂直于直线228:325x y z l -+-==-的平面方程为．（1）平面042=-+z y x 与平面.1842=-+z y x 的位置关系 __________________（2）平面132=+-z y x 与平面.423=-z x 的位置关系__________________________（3）直线531123-=++=-z k y k x 与直线22531-+=+=-k z y x 相互垂直则k= 。

大学解析几何试卷及答案(一)

《空间解析几何》期末考试试卷(A)考试形式：闭卷考试考试时间：120分钟班号学号姓名得分1 下列等式中正确的是 ( ) A a (b c )= (a b )c B (a ⨯b )c =a (b ⨯c ) C (a b )2 =a 2b 2 D a ⨯b =c ⨯b ,b ≠0，则a =c2 已知向量a 与b 的夹角为23π, 且||3a =, ||4b =, 则2()a b +为 ( )A 14B 13C 12D 11 3 点(1,2,3)M -和平面:5340x y z π-++=间的离差为 ( )A1δ=- B 1δ= C 0δ= D 12δ=-4 直线320:0x y z l x y z +--=⎧⎨-+=⎩与平面:230x y z π+--=的交点和夹角分别为 ( )A (1,0,1)--,3π B (1,0,1)--, 6π C (1,0,1), 3π D (1,0,1)-, 6π 5 方程2350x my z ++-=与6620lx y z --+=表示二平行平面,则,l m 为 ( ) A 4,3l m =-= B 3,3l m ==- C 4,3l m ==- D 3,4l m =-= 6 二次曲线223426250x xy y x y ++--+=属于（） A 抛物型 B 椭圆型 C 双曲型 D 不能确定.二填空题(每空3分,共18分)1 中心在点(3,1,1)-且通过点(2,3,5)-的球面方程为 .2 在直角坐标系下, 通过点(1,5,3)--且与平面63520x y z --+=垂直的直线方程为 .3 与平面2340x y z -+-=平行, 且在y 轴上截距等于3-的平面方程为 .4 曲线⎩⎨⎧=++=+222222:a z y x axy x L 在xOz 面上的投影曲线方程为 . 5 二次曲线222430x xy y x y -++--=上过点()2,1的切线方程是 .6 设一条二次曲线通过两条二次曲线222610x xy y x +-+-=与2220x y x y ---=的交点，并且还通过点(2,2)-，这条二次曲线的方程为 .三试用两种方法求过点)2,0,0(0-M ，与平面1:32180x y z ∏-+-=平行，且与直线12341:1zy x l =--=-相交的直线l 的方程. (10分)四在空间直角坐标系中,直线1l 和2l 的方程分别为1l ：11142412x t y t z t=-+⎧⎪=-⎨⎪=--⎩和2l ：222545355x t y t z t=-+⎧⎪=-⎨⎪=-⎩（1）求过1l 且平行于2l 的平面方程；（2）求1l 和2l 的距离；（3）求1l 和2l 的公垂线方程.（15分）五求直线01xy zβα-==绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程，并就α与β可能的值讨论曲面类型.（15分）六将二次曲线22230x xy y x y ++++=化成标准型，并作出它的图形.（14分）七求与两直线161:321x y z l --==和284:322x y z l -+==-都相交,且与平面:2350x y ∏+-=平行的直线的轨迹. (10分)《空间解析几何》期末考试试卷答案(A)考试形式：闭卷考试考试时间：120分钟班号学号姓名得分1 下列等式中正确的是 ( B ) A a (b c )= (a b )c B (a ⨯b )c =a (b ⨯c ) C (a b )2 =a 2b 2 D a ⨯b =c ⨯b ,b ≠0，则a =c2 已知向量a 与b 的夹角为23π, 且||3a =, ||4b =, 则2()a b +为 ( B )A 14B 13C 12D 11 3 点(1,2,3)M -和平面:5340x y z π-++=间的离差为 ( C )A1δ=- B 1δ= C 0δ= D 12δ=-4 直线320:0x y z l x y z +--=⎧⎨-+=⎩与平面:230x y z π+--=的交点和夹角分别为 ( D )A (1,0,1)--,3π B (1,0,1)--, 6π C (1,0,1), 3π D (1,0,1)-, 6π 5 方程2350x my z ++-=与6620lx y z --+=表示二平行平面,则,l m 为 ( A ) A 4,3l m =-= B 3,3l m ==- C 4,3l m ==- D 3,4l m =-= 6 二次曲线223426250x xy y x y ++--+=属于（ B ） A 抛物型 B 椭圆型 C 双曲型 D 不能确定.二填空题(每空3分,共18分)1 中心在点(3,1,1)-且通过点(2,3,5)-的球面方程为222(3)(1)(1)21x y z -+++-=.2 通过点(1,5,3)--且与平面63520x y z --+=垂直的直线方程为153635x y z -++==--. 3 与平面2340x y z -+-=平行, 且在y 轴上截距等于3-的平面方程为2360x y z -+-=.4 曲线⎩⎨⎧=++=+222222:az y x ax y x L 在xOz 面上的投影曲线方程为220:0z ax a L y ⎧+-=⎨=⎩.5 二次曲线222430x xy y x y -++--=上过点()2,1的切线方程是5460x y --=.6 设一条二次曲线通过两条二次曲线222610x xy y x +-+-=与2220x y x y ---=的交点，并且还通过点(2,2)-，这条二次曲线的方程为2224527340x xy y x y -+--+=.三试用两种方法求过点)2,0,0(0-M ，与平面1:32180x y z ∏-+-=平行，且与直线12341:1zy x l =--=-相交的直线l 的方程. (10分)解法一先求l 的一个方向向量),,(Z Y X υ。

空间解析几何复习资料含答案

空间解析几何练习题1. 求点),,(c b a M 分别关于（1）xz 坐标面（2）x 轴（3）原点对称点的坐标． 2. 设 )2,,3(x A -与)4,2,1(-B 两点间的距离为29，试求x ． 3. 证明 )3,2,1(A )5,1,3(B )3,4,2(C 是一个直角三角形的三个顶点．4. 设ABC ∆的三边=，=，=，三边的中点依次为D ，E ，F ，试用向量表示，，，并证明：=++ ．5. 已知：k j i a 2+-=，k j i b -+=3求b a 32+，b a 32-．6. 已知：向量与x 轴，y 轴间的夹角分别为060=α，0120=β求该向量与z 轴间的夹角γ．7. 设向量的模是5，它与x 轴的夹角为4π，求向量在x 轴上的投影． 8. 已知：空间中的三点)2,1,0(-A ，)5,3,1(-B ，)2,1,3(--C 计算：32-，4+．9. 设{}1,0,2-=a ，{}2,2,1--=b 试求b a -，b a 52+，b a +3． 10. 设：{}1,2,2-=，试求与a 同方向的单位向量．11. 设：253++=，742--=，45-+=，-+=34试求（1）在y 轴上的投影；（2）在x 轴和z 轴上的分向量；（3 ．12. 证明：22)()(-=-⋅+．13. 设：{}1,0,3-=a ，{}3,1,2--=b 求⋅，∧⋅)(． 14. 设→→→→-+=k j x i a 2，→→→→+-=k j i b 23且→→⊥b a 求x15. 设{}2,1,0-=，{}1,1,2-=求与和都垂直的单位向量．16. 已知：空间中的三点)0,1,1(A ，)3,1,2(-B ，)2,1,2(-C 求ABC ∆的面积．17. （1）设∥求⋅ （21==求⋅18. 3=5=，试确定常数k 使k +，k -相互垂直．19. 设向量与互相垂直，∧⋅)(c a 3π=，∧⋅)(c b 6π=1=2=3=+．20. 设：53+-=，32+--=求b a ⋅21. 设：k j i a --=63，k j i b 54-+=求（1）a a ⋅；（2）)3()23(-⋅+；（3）a 与b 的夹角．22. 设：∧⋅)(6π=1=3=． 23. 设：{}2,1,1-=a ，{}1,2,1--=，试求：（1）b a ⋅；（2）b a ⨯；（3）∧⋅)cos(．24. 3=26=72=，求b a ⋅．25. 设a 与b 相互垂直，3=4=，试求（1）)()(b a b a -⨯+；（2）)2()3(b a b a -⨯-．26. 设：0=++c b a 证明：a c c b b a ⨯=⨯=⨯27. 已知：-+=23，2+-=，求（1）b a ⨯；（2）)32()2(-⨯+；（3）⨯+)(（4）b i a +⨯． 28. 求与{}1,2,2=a {}6,10,8---=b 都垂直的单位向量．29. 已知：{}1,6,3--=a ，{}5,4,1-=b ，{}12,4,3-=c 求c b a b c a )()(⋅+⋅在向量上的投影．30. 设：d c b a ⨯=⨯，d b c a ⨯=⨯且c b ≠，d a ≠证明d a -与c b -必共线．31. 设：b a 3+与b a 57-垂直，b a 4-与b a 27-垂直，求非零向量a 与b 的夹角．32. 设：{}6,3,2-={}2,2,1--=向量在向量与423=，求向量的坐标．33. 4=3=，∧⋅)(b a 6π=求以2+和3-为边的平行四边形面积． 34. 求过点)1,2,7(0-P ，且以{}3,4,2-=为法向量的平面方程． 35. 过点)1,0,1(0-P 且平行于平面53=--z y x 的平面方程． 36. 过点)2,3,1(-M 且垂直于过点)1,2,2(-A 与)1,2,3(B 的平面方程． 37. 过点)2,1,3(-A ，)1,1,4(--B ，)2,0,2(C 的平面方程．38. 过点)1,1,2(0P 且平行于向量{}1,1,2=和{}3,2,3-=的平面方程．39. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程．40. 将平面方程 01832=+-+z y x 化为截距式方程，并指出在各坐标轴上的截距．41. 建立下列平面方程（1）过点（3-，1，2-）及z 轴；（2）过点A （3-，1，2-）和B （3，0，5）且平行于x 轴；（3）平行于x y 面，且过点A （3，1，5-）；（4）过点P 1（1，5-，1）和P 2（3，2，2-）且垂直于x z 面．42. 求下列各对平面间的夹角（1），62=+-z y x 32=++z y x ；（2）09543=--+z y x ，07662=-++z y x ．43. 求下列直线方程（1）过点（2，1-，3-）且平行于向量{}123，，--=；（2）过点M o (3，4，2-)且平行z 轴；（3）过点M 1（1，2，3）和M 2（1，0，4）；（4）过原点，且与平面0623=-+-z y x 垂直．44. 将下列直线方程化为标准方程（1）⎩⎨⎧=--+=-+-084230432z y x z y x ；（2）⎩⎨⎧-=+=422z y y x ；（3）⎩⎨⎧=+=-+00123z y z x 45. 将下列直线方程化成参数式方程（1）⎩⎨⎧-==-+-250125z y z y x ；（2）⎪⎩⎪⎨⎧=-+=-025126y z x ． 46. 求过点（1，1，1）且同时平行于平面012=+-+z y x 及012=+-+z y x 的直线方程．47. 求过点（3，1，2-）且通过直线12354z y x =+=-的平面方程． 48. 求通过两直线211111-=-+=-z y x 与 112111-=+=--z y x 的平面方程． 64．求下列各对直线的夹角（1）74211+=-=-z y x ，131256--=-=+z y x ；（2）⎩⎨⎧=-+-=-+-012309335z y x z y x ，⎩⎨⎧=-++=+-+0188302322z y x z y x ．49. 证明直线31141+=-=-z y x 与 ⎩⎨⎧=--+=++0207z y x z y x 相互平行． 50. 设直线 l 的方程为：nz y x 42311+=--=- 求n 为何值时,直线l 与平面052=+--z y x 平行？51. 作一平面，使它通过z 轴，且与平面0752=--+z y x 的夹角为3π． 52. 设直线l 在平面01:=+++z y x π 内，通过直线⎩⎨⎧=+=++0201:1z x z y l 与平面π的交点，且与直线l 1垂直、求直线l 的方程．53. 求过点（1，2，1）而且与直线 ⎩⎨⎧=-+-=+-+01012z y x z y x 与 ⎩⎨⎧=+-=+-002z y x z y x 平行的平面方程． 54. 一动点到坐标原点的距离等于它到平面04=-z 的距离，求它的轨迹方程．55. 直线⎩⎨⎧=-+=-+023012:z x y x l 与平面012:=--+z y x π 是否平行？若不平行，求直线l 与平面π的交点，若平行，求直线l 与平面π的距离．56. 设直线l 经过两直线35811:1--==--z y x l ，⎪⎩⎪⎨⎧--=+=+=t z t y t x l 101152143:2 的交点，而且与直线l 1与l 2都垂直，求直线l 的方程．57. 已知直线：⎩⎨⎧=-+-=+-+04201:1z y x z y x l 及点 )213(，，-p 过点p 作直线l 与直线l 1垂直相交，求直线l 的方程．58. 方程：019224222=-+--++z y x z y x 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．59. 判断方程：11462222=-+-++z y x z y x 是否为球面方程，若是球面方程，求其球心坐标及半径．60. 将曲线：⎩⎨⎧==052y x z 绕x 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．61. 将曲线：⎩⎨⎧==+0369422z y x 绕y 轴旋转一周，求所成的旋转曲面方程．62. 说明下列旋转曲面是怎样形成的（1）10343222=++z y x ；（2）24222=+-z y x ；（3）1222=--z y x ；（4）222)(y x a z +=-． 63. 指出下列方程在空间中表示什么样的几何图形（1）14322=+y x ；（2）13222=-y x ；（3）x z 42=；（4）13422=+z y ．自测题 (A)(一) 选择题1．点M )5,1,4(-到 x y 坐标面的距离为（）A ．5B ．4C ．1D ．422．点A )3,1,2(-关于y z 坐标面的对称点坐标（）A ．)3,1,2(--B ．)3,1,2(--C ．)3,1,2(-D ．)3,1,2(--3．已知向量{}{}{}3,1,4,2,2,2,1,5,3--==-=c b a ，则=+-c b a 432（）A ．{}16,0,20B ．{}20,4,5-C ．{}20,0,16-D ．{}16,0,20-4．设向量424--=，236+-=，则)3)(23(+-=（）A ．20B ．16-C ．32D ．32-5．已知：→→-AB prjD C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （） A ．4 B ．1 C ．21 D ．2 6．设=-⨯+-+=+-=)()(22，则（）A ．k j i 53++-B ．k j i 1062++-C ．1062--D ．k j i 543++7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（）A ．平行于x 轴B ．平行于y 轴C ．平行于z 轴D ．过z 轴．8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（）A ．平行B ．垂直C ．相交D ．重合9．直线37423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内10．设点)0,1,0(-A 到直线⎩⎨⎧=-+=+-07201z x y 的距离为（） A ．5 B ．61 C ．51 D ．81 (二) 填空题1．设=--x B x A ，则，两点间的距离为，，与29)421()2,,3(_________．2．设23-+-=，+-=2，则=-32_______________．3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直．4．设++=2，22+-=，243+-=，则)(b a p r j c += ．4．设+-=2，32-+=，则)2()2(-⨯+=_________．5．与)0,3,4()1,2,3(--B A 和等距离的点的轨迹方程为_______________．6．过点），，（715，），，（204-且平行于z 轴的平面方程_______________．7．设平面：03222,01=--+=+-+z y x z y x 与平行，则它们之间的距离_________．8．过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________．10．曲面方程为：44222=++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的．(三) 解答题1．求平行于{}的单位向量2,3,6-=a ．2．已知作用于一点的三个力{}{}{}5,4,3,3,2,1,4,3,2321-==--=F F F 求合力的大小与方向．3．如果{}1,1,2-=，{}1,2,1-=求在上的投影．4．用向量方法，求顶点在)4,4,3(),5,3,1(),1,1,2(-----的三角形的三个内角．5．设2+-=，-+=2，22++=，试将下列各式用,,表示．（1） c b a ⨯⨯)(；（2）)()(c a b a ⨯⨯⨯．6．求经过点（1,2,0）且通过z 轴的平面方程．7．在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离相等．8．求过 )1,0,0(),0,1,0(),0,0,1( 的圆的方程，并求该圆在坐标平面xoy 上的投影曲线方程．9．求过点（1,2,1）且同时平行0132=-++z y x 和053=+-+z y x 两平面的直线方程．10．方程：12222=++z y x 表示什么图形？自测题（B ）(一) 选择题1．设{}{}{}0,2,1,3,1,1,1,3,2-=-=-=，则=⨯⨯)(（）A ．8B ．10C ．{}1,1,0--D ．{}21,1,22．设{}{}2,2,2,2,1,1-=-=，则同时垂直于a 和b 的单位向量（）A ．}0,21,21{± B ．}0,21,21{± C ．}0,2,2{± D ．}0,2,2{±3．若==-+=b a b k j i a ，则，14//236（）A ．)4612(k j i -+±B ．)612(j i +±C ．)412(k i -±D ．)46(k j -±4．若ϕ，则3121321)2,1,2(),1,2,2(),1,1,1(M M M M M M M （）A ．6πB ．2πC ．3πD ．4π 5．过)320()231(),412(321，，和，，，，M M M ---，的平面方程（）A ．015914=--+z y xB ．06872=--+z y xC ．015914=-+-z y xD ．015914=-++z y x6．求平面062=-+-z y x 与平面052=-++z y x 的夹角（）A ．2πB ．6πC ．3πD ．4π 7．直线⎩⎨⎧=+++=+++0022221111D z C y B x A D z C y B x A 各系数满足（）条件，使它与y 轴相交． A ．021==A A B ．2121D D B B = C ．021==C C D ．021==D D 8．设点⎩⎨⎧=-+-=+-+-04201)2,1,3(z y x z y x l M o ，直线，则M O 到l 的距离为（）A ．223 B ．553 C ．453 D ．229．直线夹角为与平面62241312=++-=-=-z y x z y x （） A ．30o B ．60o C ．90o D ．65arcsin 10．过点)5,2,1(---且和三个坐标平面都相切的球面方程（）A ．22225)1()1()1(=+++++z y xB ．22225)5()5()5(=+++++z y xC ．22225)2()2()2(=+++++z y xD ．22225)5()5()5(=-+-+-z y x(二) 填空题1．设32+-=，+=2，++-=，则与+是否平行__________．2．设}8,5,3{=，}7,4,2{--=，}4,1,5{-=，则-+34在x 轴上的投影_________________．3．化简：=⨯--⨯+++⨯++)()()(__________________．4．直线 ⎩⎨⎧=---=-+-01205235:z y x z y x l 和平面 07734:=-+-z y x π的___________位置关系． 5．过直线⎩⎨⎧=+-+=-+-025014z y x z y x 且与x 轴平行的平面方程___________________． 6．原点==+-k kz y x ，则，的距离为到平面262)0,0,0(_________________．7．与平面0522=+++z y x ，且与三个坐标面所构成的四面体体积为1的平面方程_____________________．8．动点到点（0,0,5）的距离等于它到x 轴的距离的曲面方程为________________．9．曲面方程：259916222=--z y x 则曲面名称为________________．10．曲线⎪⎩⎪⎨⎧-+-=--=2222)1()1(2y x z y x z 在y z 面上的投影方程______________． (三) 解答题1．设}0,1,1{},1,1,0{},1,1,1{===并令z y x ++=（x ,y ,z 为数量）求（1）；（2）当z y x ,,}3,2,1{时，=．2．求平行于}2,3,6{-=a 的单位向量．3．确定k 值，使三个平面：328,1423,23=--=++=+-z y x z y x z y kx 通过同一条直线．4．已知两个不平行的向量与，2=⋅1=4=，设)(3)(2Xa b b a c -⨯=，求（1）)(+⋅；（2；（3）的夹角余与弦．5．求以向量i k k j j i +++,,为棱的平行六面体的体积．6．垂直平分连接)3,5,2(),1,3,4(B A -的线段的平面方程．7．求与平面4362=+-z y x 平行平面，使点)8,2,3(为这两个平面公垂线中点．8．在平面02=--z y x 上找一点p 使它与点)3,1,2()1,3,4(),5,1,2(---及之间的距离相等．9．方程：0448422=-+-+y x y x 表示什么曲面？9．方程组⎩⎨⎧=-++=--++0122046222z y x y x z y x 图形是什么？若是一个圆，求出它的中心与半径．参考答案参考答案练习题1．（1）),,(c b a -；（2）),,(c b a --；（3）),,(c b a ---．2．51-==x x 或． 3．算出距离后，证明满足勾股定理 4．略5．++=+32； i 75732+--=- ．6． 13545或=γ． 7．225． 8．}13,4,11{4},18,8,11{32-=+-=-． 9．}5,2,7{3},12,10,9{52},1,2,1{--=+--=+=-． 10．单位向量为}31,32,32{-． 11．（1）7；（2）在x 轴的分向量i 13，在z 轴的分向量9-；（3）299=u ． 12．利用数量积运算法则． 13．9-=⋅； 70359arccos )(-=∧π． 14．x =4． 15．单位向量：)24(211k j i ++±． 16．1723=∆ABC S ． 17．(1)若a 与b 同向，则b a b a ⋅=⋅，若a 与b 反向，则b a b a ⋅-=⋅；（2）)cos(b a ∧．18．53±=k ． 19．3617+=++c b a ． 20．16=⋅b a ． 21．（1）46；（2）2-；（3）4838arccos )(-=∧πb a ． 22．23． 23．（1）3；（2）k j i 333--；（3）21．24．30±。

空间解析几何习题答案解析(可编辑修改word版)

(- 2 y - 5z )2+ (z + 2x )2+ (5x - y )2x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 12 + 52 + (- 2)2 x 2 + y 2 + z 2 ⋅ 3010 5 ⎪一、计算题与证明题1．已知| a |= 1, | b |= 4 ,| c |= 5 , 并且 a + b + c = 0 ．计算 a ⨯ b + b ⨯ c + c ⨯ a ．解：因为| a |= 1, | b |= 4 , | c |= 5 , 并且 a + b + c = 0 所以 a 与b 同向，且 a + b 与c反向因此 a ⨯ b = 0 ， b ⨯ c = 0 ， c ⨯ a = 0 所以 a ⨯ b + b ⨯ c + c ⨯ a = 02．已知| a ⋅ b |= 3 , | a ⨯ b |= 4 , 求| a | ⋅ | b |．解： | a ⋅ b |= a ⋅ b cos= 3（1）| a ⨯ b |= a ⋅ b sin = 4(1)2 + (2)2 得(a ⋅ b )2= 25（2）所以a ⋅b = 54．已知向量 x 与 a (,1,5,-2) 共线, 且满足a ⋅ x= 3 , 求向量 x 的坐标．解：设 x 的坐标为(x , y , z )，又 a = (1,5,-2) 则 a ⋅ x = x + 5 y - 2z = 3 又 x 与 a 共线，则 x ⨯ a = 0即（1）i j kx yz = y 1 5 - 2 5 z i - x - 2 1 y j + x y k- 2 1 5= (- 2 y - 5z )i + (z + 2x ) j + (5x - y )k = 0所以 = 0即29x 2 + 5 y 2 + 26z 2 + 20 yz + 4xz - 10xy = 0 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为0 或（2）cos 0 = 1 =x ⋅ a=3整理得x 2 + y 2 + z 2 = 310（3）联立(1)、(2)、(3) 解出向量 x 的坐标为⎛ 1 ⎝ , 1, 2 - 1 ⎫ ⎭a ⋅b a ⋅ b x 2 + y 2 + z 2 12 + 12 + 02 ⎩- ⎪ ⎪⎪6．已知点 A (3,8,7) , B (-1,2,-3) 求线段 AB 的中垂面的方程．解：因为 A (3,8,7) , B (-1,2,-3)AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M (x , y , z ) ，则由 MA ==MB 得化简得2x + 3y + 5z - 27 = 0这就是线段 AB 的中垂面的方程。

数学竞赛《解析几何》专题训练

数学竞赛《解析几何》专题训练一、选择题1、在平面直角坐标系中,方程1(,22x yx ya b a b +-+=为相异正数),所表示的曲线是（）A.三角形B.正方形C.非正方形的长方形D.非正方形的菱形2、若椭圆2213620x y +=上一点P 到左焦点的距离等于它到右焦点距离的2倍,则P 点坐为 ( )A. B.(- C.(3, D.(3,-3、设双曲线22221x y a b -= 的离心率,23e ⎡⎤⎢⎥⎣⎦∈，则双曲线的两条渐近线夹角α的取值范围是 ( )A. ,63ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ B ．,62ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C ．,32ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦ D ．2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦4、已知两点A (1,2), B (3,1) 到直线L 的距离分别是25,2-，则满足条件的直线L 共有条。

（）A ．1 B.2 C.3 D.45、双曲线12222=-by a x 的一个焦点为F 1，顶点为A 1、A 2，P 是双曲线上任意一点．则分别以线段PF 1、A 1A 2为直径的两圆一定 ( )A.相交B.相切C.相离D.以上情况均有可能6、设方程1)19cos()19sin(2007220072=+ y x 所表示的曲线是 ( )A.双曲线B.焦点在x 轴上的椭圆C.焦点在y 轴上的椭圆D.以上答案都不正确7、过椭圆22221x y a b+=(0)a b >>中心的弦AB,(,0)F c 是右焦点,则AFB ∆的最大面积为( ) A,bc B,ab C,ac D,2b二、填空题 8、已知030330y x y x y ≥⎧⎪-≥⎨⎪+-≤⎩，则22x y +的最大值是．9、若直线x cos θ＋y sin θ＝cos 2θ－sin 2θ（0＜θ＜π）与圆x 2＋y 2＝41有公共点，则θ 的取值范围是． 10、过椭圆12322=+y x 上任意一点P ，作椭圆的右准线的垂线PH （H 为垂足），并延长PH 到Q ，使得HQ =λPH （λ≥1）．当点P 在椭圆上运动时，点Q 的轨迹的离心率的取值范围是．11、抛物线顶点为O ，焦点为F ，M 是抛物线上的动点，则MO MF的最大值为 . 12、过直线l ：9y x =+上的一点P 作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为()()123,0,3,0F F -，则椭圆的方程为 .三、解答题13、已知抛物线2128y x x =-+-和点111(,)48A 。

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试题1：如果平面:0Ax By D π++=与曲面261z xy +=的交线是圆，求实数,A B 的比值。

解：不妨设0B ≠以平面π为新的''X Y 平面，以(0,/,0)D B -为原点，以
'223(,,0)/e A B A B =+,'22'''1231(,,0)/,(0,0,1)e B A A B e e e =-+=⨯=为基本向量
建立一个新的坐标系''''O X Y Z ，则坐标变换公式为
''
2222
''2222'/B A x x z A B A B A B
y D B x z A B A B z y ⎧=+⎪++⎪
⎪=--
+⎨++⎪
⎪=⎪⎩
在新的坐标系中，平面的方程为：'0z =, 而曲线的方程为： '2''''
22
22
2
2
2
2
6(
)(/)1
B A A
B
y x z D B x z A B A B A B A B ++
--
+
=+++
+
所以交线的方程为：
'2'
'''22
22
22
22
'6()(/)1
B A A B y x z D B x z A B A B A B A B z ⎧++--+
=⎪++++⎨
⎪=⎩
化简得：
'2'
'22
22
'6()(/)1
0B A y x D B x A B A B z ⎧+--=⎪++⎨
⎪=⎩
因为交线是圆，所以 226AB A B -=+ 解得
322A
B
=-.
试题2：求过点)0,1,0(P 并且和两条直线 ⎩
⎨
⎧=+=+++⎩⎨
⎧=+=++020
13:,0201:21y x z y x l y x y x l 均相交的直线的方程。

解：把直线的方程化为点向式方程为： ,1
11
2
:,1
20
1:21-+==-=+=-z y x l z y x l
设所求的直线为,l 记l 和i l 所确定的平面为,1,2i i π=,那么12l ππ=，
试题3：在二次曲面2222360x y z xy xz z +-++-=上，求过点(1,4,1)-的所有直线的方程.
解：设所求的直线的方程为:141x lt
y mt z nt =+⎧⎪=-+⎨⎪=+⎩
,又因为所求的直线在二次曲
面上,所以对任意的,t 有
2222(1
)(4)(1)
3(1)(
4)(1)(1
)6(1)
l t m t n t
l t m t l t n t n t ++--+++-+++-+=,
化简得;
2222(23)(757)0t l m n ml nl l m n t +-++-++= 由于上式对任意的,t 都成了，所以
222230
(1)7570l m n ml nl l m n ⎧+-++=⎨
++=⎩
由于n m l ,,可相差一个公共的非零常数倍，所以可分两种情况讨论 (1):,0=l 代入方程组(1)得
220
(1)570
m n m n ⎧-=⎨
+=⎩
上述方程只有零解. (2): ,1=l 代入方程组(1)得
22230
(1)7570m n m n m n ⎧+-++=⎨++=⎩
解之得07/4
11/4
m m n n ==-⎧⎧⎨
⎨
=-=⎩⎩或者所以所求的直线为
11447/411/4x t x t y y t z t z t =+=+⎧⎧⎪⎪
=-=--⎨⎨⎪⎪=-=+⎩⎩
或者
试题4：求过点)1,0,1(P 平行于y 轴并与曲面182=+xz y 的交线都是圆的所有平面的方程.
解：答案：0)1)(154(1=-++z x
试题5：求和下面三条直线都是相交的直线所构成的曲面。

52
4132:,1:,1:321+=
+=--⎩
⎨⎧-=-=⎩⎨
⎧==z y x L y z x L y z x L 答案：1222=-+z y x
试题6：确定实数m 的值，使平面0=-+mz y x 和单叶双曲面
1222=-+z y x 相交，交线分别是椭圆和双曲线.
解:令'3e 为所给的平面的单位法向量，即),1,1(212
'3m m
e -+=
,取
)2,.()
2(21),0,1,1(212'1'3'2'1---+=⨯=-=
m m m e e e e . 由于原点在所给的平面上，以'3'2'1,,e e e 为新的基本向量建立新的直角坐标系],,,['
3'2
'1e e e O ,那么新就坐标系之间的坐标变换公式为:
'''22'''22''2211
22(2)2
1,22(2)222(2)2m x x y z m m m m y x y z m m m z y z m m ⎧=-+⎪⎪++⎪
⎪
=--
+⎨++⎪
⎪⎪=--⎪++⎩
那么在新的坐标系中，所给的平面方程为:0'=z , 所给的单叶双曲面的和平面的交线的方程为：
1
222=-+z y x ''2''2'2
222
'112()()()1222(2)2(2)2(2)0m m x y x y y m m m z ⎧-+----=⎪+++⎨
⎪=⎩
化简得到：
2'2'2
2'21
20m x y m z ⎧-+=⎪+⎨
⎪=⎩
所以，当2m >时，交线是椭圆，当2m <时是双曲线，当2m =时是一对平行直线。