导数与微分习题课(附部分参考答案)

（二）显函数的求导法
1． 初等函数 例10 求下列函数的导数 (1) y ln (2)
y
3
x2 1 x2
注意化简
x x x
aa xa
识别函数
ax
b
(3) y x a
x
a
a
搞清复合关系 适时使用对数求导法
a b x (4) y b x a
第五讲 导数与微分习题课
导数与微分习题课
一、内容小结
二、题型练习
导数与微分习题课
一、内容小结
二、题型练习
导 数
微 分 概 念
概 念
求 法
求 法
定 导 数
义
f ( x0 ) lim
x x0
f ( x ) f ( x0 ) x x0
实 质 概 念 几何意义
求 法
变化率
切线斜率 可导 连续
f (0) 1, g(0) 0, f (0) 0, g(0) 1,
证明 x R,
f ( x ) g( x ).
二、题型练习
（一）导数定义的应用 （二）显函数的求导法 （三）隐函数的求导法 （四）参数方程确定函数的求导法 （五）混合形式的函数的求导法
二、题型练习
（一）导数定义的应用 （二）显函数的求导法 （三）隐函数的求导法 （四）参数方程确定函数的求导法 （五）混合形式的函数的求导法
与连续的关系
导 数
求导公式 求导法则
22个 四则求导法则 反函数求导法则 复合函数求导法则 对数求导法
概 念
求 法
隐函数求导法 参数方程确定的 函数的求导法
高阶导数
相关变化率
dy f ( x )dx
以直代曲 以不变代变
定 思
义 微 分 想 概 念
切线的纵坐标增量 几何意义
求 法 可微
可导 与可导的关系
微 分 概 22个 四则微分法则 复合函数微分法则 微分形式不变性 微分法则 微分公式 念
求 法
导 数
微 分 概 念
概 念
求 法
求 法
导数与微分习题课
一、内容小结
二、题型练习
导数与微分习题课
一、内容小结
二、题型练习
二、题型练习
（一）导数定义的应用 （二）显函数的求导法 （三）隐函数的求导法 （四）参数方程确定函数的求导法 （五）混合形式的函数的求导法
dy
y 1 (2) arct an ln(x 2 y 2 ), 两边同时对x求导，得 x 2 1 y' x y 1 1 x y ( 2 x 2 yy ' ), 整理得 y ' y2 x2 2 x2 y2 x y 1 2 x
2 d y 例16 设 ye e , y 1 dx 2 例17 设 y 2e x x sin y 0, 求 dy .
例14：两边同时对 x求导，得 y ' cos[ f ( x 2 )] f ' ( x 2 ) 2 x y ' ' sin[ f ( x 2 )] f ' ( x 2 ) 2 x f ' ( x 2 ) 2 x cos[ f ( x 2 )] f ' ' ( x 2 ) 2 x 2 x cos[ f ( x 2 )] f ' ( x 2 ) 2 4 x 2 sin[ f ( x 2 )] [ f ' ( x 2 )]2 4 x 2 cos[ f ( x 2 )] f ' ' ( x 2 ) 2 cos[ f ( x 2 )] f ' ( x 2 )
y
x 1
dy 求 , dx
y 1
例16：两边同时对x求导，得 y ' e ye y ' e
y y x 1
e x 1 , y' y e (1 y ) e 1 e(1 1) 2
y y
又，当y 1时，x 0, 所以y '
2 x 1 y x 1
1 1 e 01 e1 (1 1) e 01 (e1 (1 1) e1 ) d y dy' e e (1 y ) e (e y ' (1 y ) e y ' ) 2 2 2 2y 2 2 2 dx dx e (1 y ) e (1 1) 1 8
dy dy dx 3e3t e3t 例19： / 2 2 dx dt dt 9t 3t dy' 3e3t 3t 2 e3t 6t e3t (3t 2) 4 3 dt 9t 3t d 2 y dy' dy' dx e3t (3t 2) 3t 2 3t 2 2 / 3t 3 2 3 dx dx dt dt 3t e t t
arctan(1 x ) π 4 例4 求 lim x 0 x
补2 求 lim x 0
sin( π 4 x) x
1 2
（一）导数定义的应用
1．求极限 2．求导数
（一）导数定义的应用
1．求极限 2．求导数
2．求导数
(1) 用导数定义更方便 例5 设 f ( x ) x( x 1)( x n), 求 f (0).
x arctan t
2 y t y 2 et 5
dy . 求 dx dy 求 dx
leftlimit =1 rightlimit =0 alllimit =NaN clc,clear x=(-4):0.03:4; for i=1:1:267 y(i)=x(i)/(1exp(1/x(i))); end plot(x,y)
2．求导数
(3) 证明题 例9 设 f ( x y ) f ( x ) g( y ) f ( y ) g( x ),
2x 1 补3 设 f ( x ) x ( x 1) arctan 3 2 , 求 f (1). x x 1 (2) 分段函数在分段点处必须用导数定义
2
x 例6 设 f ( x ) x ( x 1) arcsin , 求 f (1). x 1
x
例7 设 f ( x )
1 e 0
1 x
x0 x0
1 x
求 f (0).
例8 设 f ( x )
g( x ) cos
x0 x0
0
g(0) g(0) 0, 求 f (0).
例7 clc,clear syms x; leftlimit=limit(1/(1-exp(1/x)),x,0,'left') rightlimit=limit(1/(1-exp(1/x)),x,0,'right') alllimit=limit(1/(1-exp(1/x)),x,0)
二、题型练习
（一）导数定义的应用 （二）显函数的求导法 （三）隐函数的求导法 （四）参数方程确定函数的求导法 （五）混合形式的函数的求导法
二、题型练习
（一）导数定义的应用 （二）显函数的求导法 （三）隐函数的求导法 （四）参数方程确定函数的求导法 （五）混合形式的函数的求导法
例15 求下列方程确定的隐函数的导数 . dx (1) x y y x (2) arctan
二、题型练习
（一）导数定义的应用 （二）显函数的求导法 （三）隐函数的求导法 （四）参数方程确定函数的求导法 （五）混合形式的函数的求导法
二、题型练习
（一）导数定义的应用 （二）显函数的求导法 （三）隐函数的求导法 （四）参数方程确定函数的求导法 （五）混合形式的函数的求导法
例18 已知
dx 1 , dy y
二、题型练习
（一）导数定义的应用 （二）显函数的求导法 （三）隐函数的求导法 （四）参数方程确定函数的求导法 （五）混合形式的函数的求导法
二、题型练习
（一）导数定义的应用 （二）显函数的求导法 （三）隐函数的求导法 （四）参数方程确定函数的求导法 （五）混合形式的函数的求导法
例20 设 补5 设
d ( y ' ' ) d (( y ' )3 ) 3 ( y ' ) ( y ' ' ) 3 2 d x d d x d y' ' dy dy (2) 3 ( 2 ) ( ) 3 dy dy dy dy ( y ' ) ( y' )6 d ( y ' ' ) dx d (( y ' )3 ) dx 3 ( y ' ) ( y ' ' ) dx dy dx dy ( y' )6 1 3 2 dy' 1 y ' ' ' ( y ' ) ( y ' ' ) 3( y ' ) y' dx y ' ( y' )6 y ' ' '( y ' ) 2 ( y ' ' ) 3 y ' y ' ' y ' ' ' y '( y ' ' ) 3 y ' ' y ' ' ' y '3( y ' ' ) 2 6 5 ( y' ) ( y' ) ( y' )5
y ln x 2 y 2 x
ln y 解： (1)两边同时取对数，得 y ln x x ln y y y x xy ln y y 2 x 两边同时对x求导，得y ' ln x ln y y ' , 即y ' 2 x x y xy ln x x ln x y
二、题型练习
（一）导数定义的应用 （二）显函数的求导法 （三）隐函数的求导法 （四）参数方程确定函数的求导法 （五）混合形式的函数的求导法
（一）导数定义的应用
1．求极限 2．求导数
（一）导数定义的应用
1．求极限 2．求导数
1．求极限
(1) 抽象函数，必须用导数定义
f ( x 0 x ( x ) 2 ) f ( x 0 ) lim . 例1 设 f ( x0 )存在, 求 x 0 x f (sin 2 x cos x ) 例2 设 f (1) 0, f (1) 2, 求 lim x 0 x tan x
补4 设 y x
xa
x
ax
来自百度文库a
xx
, 求 y
（二）显函数的求导法
2． 分段函数
1 x sin x 例11 设 f ( x )

x0 x0 x 1
x 1
求 f ( x )
f (1)存在,求 a , b
0
例12 设 f ( x ) 3． 抽象函数
e
x2
ax b
例13 设 f ( x ) 存在, y f (e )e
例17：两边同时对x求导，得 2 yy'e x y 2 e x sin y x cos y y ' 0 y 2 e x sin y y' 2 ye x x cos y y 2 e x sin y 所以，dy dx x 2 ye x cos y
补1 设 f ( x0 )存在, f (0) 0, 求lim
x 0
f (1 cos x ) tan x 2
n
f (a ) 例3 设 f (a ) 存在, f (a ) 0, 求lim 1 n f ( a ) n (2) 具体函数，用导数定义更方便
x
f ( x)
, 求
dy . dx
d2 y 例14 设 f ( x )存在, y sin[ f ( x )], 求 2 . dx
2
例13：两边同时对x求导，得 dy f ' (e x ) e x e f ( x ) f (e x ) e f ( x ) f ' ( x) e f ( x ) [ f ' (e x ) e x f (e x ) f ' ( x)] dx
证明: (1)
d2 x y 2 dy y 3
2
d 3 x 3 y yy (2) 3 dy y 5 x 3t 3 2 d2 y 求 2. 例19 设 3t dx ye 2
dy' dy' dx 1 y ' ' d 2 x d dx d 1 y' ' dy dx dy y' 例18证明： (1) 2 ( ) ( ) dy dy dy dy y ' ( y' )2 ( y' ) 2 ( y' )2 ( y' )3