1.1.1任意角教案
人教A版必修四教案：1.1.1任意角
第一章三角函数1.1任意角和弧度制1.1.1任意角教学分析教材首先通过实际问题的展示,引发学生的认知冲突,然后通过具体例子,将初中学过的角的概念推广到任意角,在此基础上引出终边相同的角的集合的概念.这样可以使学生在已有经验(生活经验、数学学习经验)的基础上,更好地认识任意角、象限角、终边相同的角等概念.让学生体会到把角推广到任意角的必要性,引出角的概念的推广问题.本节充分结合角和平面直角坐标系的关系,建立了象限角的概念.使得任意角的讨论有一个统一的载体.教学中要特别注意这种利用几何的直观性来研究问题的方法,引导学生善于利用数形结合的思想方法来认识问题、解决问题.让学生初步学会在平面直角坐标系中讨论任意角.能熟练写出与已知角终边相同的角的集合,是本节的一个重要任务.学生的活动过程决定着课堂教学的成败,教学中应反复挖掘“探究”栏目及“探究”示图的过程功能,在这个过程上要不惜多花些时间,让学生进行操作与思考,自然地、更好地归纳出终边相同的角的一般形式.也就自然地理解了集合S={β|β=α+k·360°,k∈Z}的含义.如能借助信息技术,则可以动态表现角的终边旋转的过程,更有利于学生观察角的变化与终边位置的关系,让学生在动态的过程中体会,既要知道旋转量,又要知道旋转方向,才能准确刻画角的形成过程的道理,更好地了解任意角的深刻涵义.一、教学目标：1、知识与技能通过实例的展示,使学生理解角的概念推广的必要性,理解并掌握正角、负角、零角、象限角、终边相同角的概念及表示,树立运动变化的观点,并由此深刻理解推广之后的角的概念.2、过程与方法通过自主探究、合作学习,认识集合S中k、α的准确含义,明确终边相同的角不一定相等,终边相同的角有无限多个,它们相差360°的整数倍.这对学生的终身发展,形成科学的世界观、价值观具有重要意义.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识，即有正角、负角和零角之分.角的概念推广以后，知道角之间的关系.理解掌握终边相同角的表示方法，学会运用运动变化的观点认识事物.二、教学重、难点重点: 理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.难点: 终边相同的角的表示.三、学法与教学用具。
(完整版)1.1.1任意角教案
随意角教课设计一、教材剖析1、本节教材的地位和作用：本课是数学必修 4 第一章三角函数中第一节的第一课时。
三角函数是基本初等函数，它是描绘周期现象的重要数学模型。
这一节中包含随意角、终边同样的角的表示方法和象限角三个内容。
角的看法的推行正是这一思想的表现之一，是初中有关知识的自然持续。
为进一步研究角的和、差、倍、半关系供给了条件，也为此后学习分析几何、复数等有关知识供给有益的工具，因此学生正确的理解和掌握角的看法的推行尤其重要。
2、教课目的：知识与技术目标：（1）推行角的看法，理解并掌握正角、负角、零角的定义；（2）理解随意角以及象限角的看法；（3）掌握全部与角 a 终边同样的角（包含角 a）的表示方法；过程与方法目标：（1）提升学生的计算能力 , 归纳归纳能力和类比思想能力；（2）经过绘图和判断角的象限，培育学生数形联合的思想方法；感情态度与价值观目标：（1）创建问题情形，激发剖析研究的学习态度，加强参加意识；（2）学会运用运动变化的看法认识事物.3、教课要点、难点：要点：理解随意角中正角、负角和零角和象限角的定义。
难点 :终边同样的角的表示方法。
二、学生状况剖析学生在初中就已经学过角的定义。
从学生学过的东西出发，联合实质生活中的例子，将随意角的范围扩展到大于 360 度，能够引起学生的的认知矛盾，激发学生的求知欲念，为这节课的顺利进行供给了有益的条件。
三、教法学法教法剖析：研究与发现新知识是教课的要点。
因此在教课中主要采纳以问题驱动、层层铺垫，从特别到一般启迪学生获取新知识。
学法指导：建构主义学习理论以为，学习是学生踊跃主动的建构知识的过程，学习应当与学生熟习的知识背景相联系。
在教课中，采纳自主研究与合作沟通的学习方式，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，经过察看、操作、归纳、思虑、研究、沟通、反省参加学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。
四、教课过程环节教课内容设计设计企图从今日开始我们要学习必修四上的内容了，第一必修1和必章是什么？高中三角函数修四进行连接。
1.1.1任意角教案
1.1.1任意角
教
学
目
标
知识与技能
（1）了解正、负角与零角的相关定义；
（2）理解任意角以及象限角的概念；
（3）根据图形写出角及根据终边写出角的集合；
过程与方法
（1）培养学生数型转化的思想，训练学生思维活跃性，能够举一反三；
（2）会建立直角坐标系讨论 任意角，能判断象限角，会书写终边相同的角的集合
教
学
过
程
设
计
教
学
过
程
设
计
教师活动
学生活动
导入新课
合作探究
应用理解
应用理解
【例1】在 范围内，找出与下列角终边相同的角，并判定它是第几象限角.（ 是指 ）
（1）640°（2）
【例2】写出终边在 轴上的角的集合.
【例3】写出终边直线在 上的角的集合 ,并把 中适合不等式 的元素 写出来.
检测反馈
1.时钟经过1小时，时针转动的角的大小是_______ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ.
2.与405°角终边相同的角是（）
A.k ·360°－45°，k∈Z
B.k·180°－45°，k∈Z
C.k·360°＋45°，k∈Z
D.k·180°＋45°，k∈Z
3．若角θ的终边与168°角的终边相同，则在0°～360°内终边与 角的终边相同的角的集合为__________.
4．已知下列各角(1)787° ,(2)-957°,(3)-289°,(4)1711°,其中在第一象限的角是（）
A.(1)、(2)
B.(2)、(3)
C.(1)、(3)
D.(2)、(4)
5．在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并指出它们是第几象限角:
1.1.1任意角 教案
1.1.1任意角教案1. 1.1任意角一、教材分析“任意角的三角函数”是本章教学内容的基本概念，它又是学好本章教学内容的关键。
它是学生在学习了锐角三角函数后，对三角函数有一定的了解的基础上，进行的推广。
它又是下面学习平面向量、解析几何等内容的必要准备。
并且，通过这部分内容的学习，可以帮助学生更加深入理解函数这一基本概念。
二、教学目标1.理解任意角的概念；2.学会建立直角坐标系讨论任意角，判断象限角，掌握终边相同角的集合的书写。
三、教学重点难点1．判断已知角所在象限；2．终边相同的角的书写。
四、学情分析五、教学方法1.本节教学方法采用教师引导下的讨论法，通过多媒体课件在教师的带领下，学生发现就概念、就方法的不足之处，进而探索新的方法，形成新的概念，突出数形结合思想与方法在概念形成与形式化、数量化过程中的作用，是一节体现在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
例如：30,390,330-都是第一象限角；300,60-是第四象限角。
（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
例如：90,180,270等等。
说明：角的始边“与x 轴的非负半轴重合”不能说成是“与x 轴的正半轴重合”。
因为 x 轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。
4．终边相同的角的集合：由特殊角30看出：所有与30角终边相同的角，连同30角自身在内，都可以写成30360k +⋅()k Z ∈的形式；反之，所有形如30360k +⋅()k Z ∈的角都与30角的终边相同。
从而得出一般规律：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360,S k k Z ββα==+⋅∈，即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
1.1.1任意角(优秀经典公开课比赛教案)
1.1.1任意角
一、教学目标：
(1)要求学生掌握用“旋转”定义角的概念，理解任意角的概念;
(2)学会在平面内建立适当的坐标系来讨论角；
(3)并进而理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义．
二、教学重难点
教学重点:理解“正角”“负角”“象限角”“终边相同的角”的含义．教学难点：“旋转”定义角; 终边相同的角的表示．
三、教学过程
四、课堂小结及课后作业：
五、教学反思：
这堂课从实际问题引入，引起学生的认知冲突。
说明角的概念扩展的必要性，然后通过学生的自主探索，得出了定义，为后面的探究打下了基础，体现了新课程理念，教学效果好，是一堂好课。
由于学生的计算机技术不高，导致教学时间过紧。
1.1.1任意角教学设计
人教A版高中数学必修四第一章三角函数
第一课时
2.问题探究1．角的有关概念：
①角的定义：一条射线绕着它的端点0，从起始位
置OA旋转到终止位置OB,形成一个角α，点O是
角的顶点，射线OA、OB是角α的始边、终边
②角的名称：
③角的分类：
正角：按逆时针方向旋转形成的角
零角：射线没有任何旋转形成的角
负角：按顺时针方向旋转形成的角
④注意：
⑴在不引起混淆的情况下，“角α”或“∠α”
可以简化成“α”；
⑵零角的终边与始边重合，如果α是零角α =0°；
⑶角的概念经过推广后，已包括正角、负角和零角．
⑤练习：请说出角α、β、γ各是多少度?
2．象限角的概念：
①定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x
轴的非负半轴重合，那么角的终边(端点除外)在第
几象限，我们就说这个角是第几象限角．
②课堂练习：
在直角坐标系中，作出下列各角，并指出它们是第
几象限的角．
⑴ 30°；⑵ -120°；⑶ 180°；
注意：如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不
属于任何一个象限
利用新概念重
新认识问题，
并在解决问题
的过程中加深
了解任意角的
概念。
师生互动，教
师强调学生关
注旋转方向和
旋转量这两个
要点。
给出象限角的
概念，然后通
过具体的例子
使学生熟悉概
念。
始边
终边
顶点
A
O
B。
人教版高一数学必修四《1-1-1任意角》教案
1.1.1任意角一、整体建构、引入课题前面，我们在必修一已经学习了指数函数、对数函数、幂函数等，知道这些函数可以用来刻画现实问题中某些类型的变化规律。
下面我们将再学习一种类型函数------三角函数。
在初中，我们已经学习过锐角三角函数，现在我们要把锐角的三角函数推广到任意角的三角函数，任意角的三角函数到底是一种怎样的函数？具有哪些特有的性质？刻画客观世界中哪些类型问题的变化规律？为了揭开他们神秘的面纱，今天我们学习任意角。
（板书1.1.1任意角）二、复习回顾、奠基新知出示问题1. 在初中，我们已经学习过角，当时研究的角都是在那个范围内取值？角的定义是什么？生1答0º<α≤360º.生2、生3分别回答角的两种定义，师生共同完善生2和生3定义中的不足之处，投影出示角的图形以及角的定义，并说明在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”，可简记成“α”.三、观察联想、形成任意角的概念出示问题2. 观察以下图片，在日常生活中，这些角是怎样形成的？（1）.钟表的秒针旋转转过的角度.（2）. 在体操、跳水等运动中，“转体720º”、“转体1080º”等动作名称中的角度.（1）（2）师：这些角已超出0º<α≤360º的范围，并且在形成的过程中还有旋转方向的区别.显然0º<α≤360º的角已远远不能满足生活的需要，需要把角的范围进行推广.大家继续来看钟表的分针旋转问题.问题3. 你的钟表慢了5分钟，你是怎样将它校准的？假如你的钟表快了1小时，你应当如何将它校准？当时间校准后，分针各旋转了多少度？实物展示如何校准钟表，学生回答提出的问题，感受要准确刻画以上现象的角，需要知道旋转方向和旋转量.问题4. 要准确地描述以上现象中的角，要知道哪些量？学生通过刚才的观察和体会，回答需要知道两个量：旋转方向和旋转量.问题5. 为了满足生活中研究问题的需要，我们需要把角的概念进行推广，你如何把角的概念进行推广？学生思考回答.“按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转形成的角叫做负角；不作任何旋转所形成的角叫零角.”回答不完整的地方，师生一起补充完善，师指出，这里的正负仅仅代表旋转方向，和实数的正负是同样的道理.师板书：⎧⎪⎨⎪⎩正角任意角负角零角；同时投影出示以上内容和图形.四、自主建构，形成象限角和轴线角的概念师在黑板上画出几个正角和负角，始边画的位置不一，从而提出问题6.问题6. 要比较和讨论角，现在不好解决，这就需要一个统一的标准，如何统一标准呢？ 学生思考回答，把角放在平面直角坐标系中.师追问为什么放到平面直角坐标系中，师生一起思考研究函数时，都是先画图象，再研究性质，因此想到把角放到平面直角坐标系中.问题7. 为了研究问题的方便，我们常在平面直角坐标系中内讨论角，如何放置这个角讨论问题更方便？生答“角的顶点与坐标原点重合，角的始边和x 轴的非负半轴重合”.师根据学生的回答，动画演示角的终边落的位置，分别落在四个象限或坐标轴上，让学生分别给这些角起名字，引出角的第二种分类：⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩象限角：角的终边在的位置轴线角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限.角：. 师：你能正确认识象限角吗？然后出示练习：1、锐角是第几象限角？第一象限角一定是锐角吗？再分别就直角、钝角来回答这两个问题.2. 第二象限角一定比第一象限角大吗？学生代表回答，要求说出为什么，总结规律，“象限角只能反映角的终边所在象限，不能反映角的大小.”为下一步引出终边相同的角做铺垫.五、特殊到一般，揭示终边相同的角的规律刚才，同学回答练习中的问题时，指出390o 是第一象限角，与30o 角的终边相同，也就是以30o 角的终边OB 为终边的角不止一个，现在给你一个30o-角，你能画出这个角吗？学生画图，很快画出30o -角，师出示问题8.问题8. 在直角坐标系中，给定30o-角，它的终边唯一确定；反过来，给一条射线OB （30o -角的终边），以射线OB 为终边的角不唯一；以射线OB 为终边的角有哪些呢？请你写出，并观察他们之间有什么关系？学生写出与30o -角终边相同的角，并观察规律.投影展示学生解答，得出规律：与30o -角终边相同的角都可以写成30360,o o k k Z β=-+⋅∈.问题9.能否把得到的与30o-角终边相同的角的这一规律推广到任意角α？学生思考回答.问题10. 在直角坐标系中，给定一个角，就有唯一的一条终边与之对应.反之，对于直角坐标系内任意一条射线OB ，以它为终边的角不唯一，那么终边相同的角有什么关系？学生回答：与角α终边相同的角都可以写成360,o k k Z βα=+⋅∈.问题11. 与角α终边相同的角能否组成集合？这个集合怎样表示？学生回答，S ={β|β=α+k ·360º,k ∈Z }.问题12. 这个集合中的元素表示的是什么角？与角α终边相同的角都是集合中的元素吗？学生思考回答.师生共同得出结论，师板书：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S ={β|β=α+k ·360º,k ∈Z }.师多媒体出示三种语言：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以构成一个集合S ={β|β=α+k ·360º,k ∈Z }.也就是说，任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和.师举几个简单的角，让学生说出与他们终边相同的角. 六.巩固练习，深化提高例1. 在0º~360º范围内，找出与下列各角终边相同的角，并判断它是哪个象限的角.(1) 640º； (2) －940º32′.注： 0º~360º是指 . 学生自主思考并作答，师巡视并予以个别指导.师投影展示学生出现的的不同解法以及暴露出的各种问题，并投影展示规范的解题过程.解：（1）640º =280º +360º ，所以在0º~360º范围内,与640º角终边相同的角是280º，它是第三象限角．（2） －940º32′ =139º28′ － 3×360º ，所以在0º~360º范围内,与－940º32′角终边相同的角是139º28′ ，它是第二象限角．0360o o α≤<最后总结提升：在0º~360º范围内找与已知角α终边相同的角β的方法：方法1： α= β+k ·360º(k ∈Z ).方法2： β=α+n ·360º (n ∈Z ).只要取适当的k 、n 值即可（引导学生思考如何找k 、n 值）.其中方法1方便以后的三角运算.师：我们已经学会在0º~360º范围内找与已知角α终边相同的角，如果告诉你角的终边落在一条射线或直线上，你能写出这些角的集合吗？例2 （1）写出终边在x 轴非负半轴上的角的集合；（2）写出终边在x 轴上的角的集合.学生自主思考并作答，师巡视并予以个别指导.师投影展示学生的解法，解决暴露出的各种问题. 并投影展示规范的解题过程.（1） 解：在0º~360º范围内，终边在x 轴非负半轴上角是0º.因此，所有与0º角终边相同的角构成集合 （2）在0º~360º范围内，终边在x 轴上角有两个，即0º和180º.由（1）知，所有与 0º角终边相同的角构成集合 又所有与180º角终边相同的角构成集合 于是，终边在x 轴上的角的集合在讲解（2）题的过程中，在求12S S 时，引导学生适时观察思考，奇数集和偶数集的并集是整数集，此处学生不易想到，是本题的难点，应引导学生对原式进行适当变形；并强调指出：最后结果采用简约的形式.最后总结提升：写出终边在x 轴上的角的集合的方法：方法1：分别写出终边在x 轴的非负半轴和非正半轴上的角的集合，然后再取并集. 方法2：在其中一条终边上找出一个角，然后再加上180o 的整数倍.师：我们已经会熟练写出终边在x 轴上的角的集合，你能熟练写出终边落在其它直线上的角的集合吗？例3.写出终边在直线 上的角的集合S ，并把S 中适合不等式 的元素β写出来.学生自主思考并作答，师巡视并予以个别指导.师投影展示学生的解法，解决暴露出的各种问题. 并投影展示规范的解题过程. 解：终边在直线 的角的集合 S 中适合 的元素是{}10360,.o o S k k Z ββ==+⋅∈{}10360,,o o S k k Z ββ==+⋅∈{}2180360,,o o S k k Z ββ==+⋅∈{}{}{}{}122(02180,1802180,02180,08,110)o o o o o o o o S S S k k Z k k Z k Z k Z k k ββββββββ===+⋅∈=+⋅∈==+⋅∈=⋅++∈{}180,o n n Z ββ==⋅∈y x =-360720o o β-≤<y x =-{}135180,o o S n n Zββ==+⋅∈360720o o β-≤<1352180225,o o o -⨯=-135118045,o o o -⨯=-强调指出：终边在一条直线上的角，在一周内有两个；而终边落在一条射线上的角，在一周内只有一个，不要多写和漏写.七、反思小结，提炼观点1、这节课你掌握了哪些知识？学到了哪些思想方法？2、你还有什么其它收获？学生思考回答，师生不断补充完善，最后师生投影出示知识结构.八、作业巩固、深化提高1、课本P 9 1、3；2、搜集三角函数发展史资料并进行交流.1350180135,o o o +⨯=1351180315,o o o +⨯=1352180495,o o o +⨯=1353180675.o o o +⨯=。
1.1.1任意角
高一数学《任意角》教案学习目标：1、了解任意角的概念，能判定正角、负角和零角。
2、能判断象限角，并能表示终边相同的角。
教学过程：一、板书课题，出示目标师：同学们，这节课我们要在初中所学角的基础上，把角作更大范围的推广。
（板书课题）师：这节课的学习目标是什么呢？请看——（投影）二、自学指导师：学习目标怎样才能达到呢？主要靠大家自学。
今天自学的内容和要求是（投影）：自学指导：认真看课本(P2 -5)的内容注意以下问题：①什么是正角、负角、零角？②象限角怎样定义，思考终边落在坐标轴上的角是不是象限角。
③和角a终边相同的角怎样表示？8分钟后，比谁能运用本节知识做对检测题。
三、先学1．学生看书、思考。
教师巡视：确保每个学生认真专注；5分钟后提醒学生：如有不理解的问题可以同桌讨论，也可以举手问老师。
四、检测（10分钟）。
师：(1)对这节课自学的内容看完并看懂的请举手。
（若都举手，则师表扬：好，自学的很好。
）（若有人不举手，则提问：某某同学，你还有哪一点不明白？谁能帮他解决一下？能讲的举手？）(2)同学们是不是真的学会了？能不能运用，还要通过练习来检测。
下面，首先口答课本P6练习1，然后请3位同学来黑板上板演，其他同学做到练习本上。
注意书写工整，过程规范，板演的同学字要写得大一些。
3．板演练习。
教师巡视，收集学生做题中的错误，用红笔板书在黑板上。
五、后教1．更正。
师：同学们仔细看黑板上的题，发现错误的请举手。
学生找错误、更正。
2．讨论。
师：同学们，下面我们共同来看练习的结果。
①首先看第1题“锐角是第一象限角”。
（若没人更正，说：看这个答案对不对？为什么？）（若有人更正，说：大家看两种答案哪一个正确？为什么？）学生回答，教师投影：象限角：顶点与原点重合，始边在x轴非负半轴上，终边在第几象限，就是第几象限角。
同时，投影显示锐角在坐标系中的直观图形。
反过来看：“第一象限角是锐角吗？”学生答“不一定”。
教师投影第一象限角。
《1.1.1任意角》教学案
《1.1.1任意角》教学案●三维目标1．知识与技能(1)推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；(2)理解象限角、坐标轴上的角的概念；(3)理解任意角的概念，掌握所有与α角终边相同的角(包括α角)的表示方法；(4)能表示特殊位置(或给定区域内)的角的集合；(5)能进行简单的角的集合之间的运算．2．过程与方法以前所学角的概念是从静止的观点阐述，现在是从运动的观点阐述，类比初中所学的角的概念，进行角的概念推广，引入正角、负角和零角的概念；由于角本身是一个平面图形，因此，在角的概念得到推广以后，将角放入平面直角坐标系；引出象限角、非象限角的概念，以及象限角的判定方法；通过几个特殊的角，画出终边所在的位置，归纳总结出它们的关系，探索具有相同终边的角的表示；讲解例题，总结方法，巩固练习．3．情感、态度与价值观通过本节的学习，使同学们对角的概念有了一个新的认识；树立运动变化观点，学会运用运动变化的观点认识事物；揭示知识背景，引发学生学习兴趣；创设问题情景，激发学生分析、探求的学习态度；让学生感受图形的对称美、运动美，培养学生对美的追求．●重点难点1．重点：理解正角、负角和零角及象限角的定义，掌握终边相同角的表示法及判断．2．难点：把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来．●教学建议1．任意角的概念：建议教师在教学过程中通过拨手表指针问题引导学生感受推广角的概念的必要性．教学时，可以先让学生自己描述“校准”手表的过程，然后引导学生体会仅用0°～360°之间的角已经无法解决当前的问题．2．象限角的概念：建议教师在教学过程中强调角与平面直角坐标系的关系，引导学生发现象限角所在的范围可以用不等式表示，并注意讲解“终边落在坐标轴上的角，它不属于任何一个象限”．3．终边相同的角的表示：建议教师在教学中应当让学生先通过自己的活动形成对“终边相同的角相差360°的整数倍”的直观感知，通过具体角寻找终边相同角的规律，归纳其一般表示形式．教学时，有条件的可以利用信息技术，利用动态的观点，旋转角的终边，观察角的变化规律，从而将数、形联系起来，使角的几何表示和集合表示相结合，从而达到对终边相同角的认知的统一．●教学流程创设问题情境，复习初中角的定义，引出任意角的概念.⇒引导学生结合任意角的定义，理解正角与负角的概念并加以区分，理解角的分类.⇒通过引导学生探究在直角坐标系中，按角的终边的位置不同定义不同的象限角，并理解终边相同的角的表示方法.⇒通过例1及其变式训练，使学生掌握角的概念及其应用.⇒通过例2及其变式训练，使学生掌握终边相同的角的表示方法及其注意事项.⇒通过例3及其互动探究使学生掌握象限角的表示及其应用.⇒归纳整理，进行课堂小结，整体认识本节课所学知识.⇒完成当堂双基达标，巩固所学知识，并进行反馈矫正.1．在初中时我们是如何定义角的？【提示】有公共端点的两条射线组成的图形叫做角．2．如果你的手表慢了10分钟，你是怎样校准的？【提示】校准方法很多，由于分针转一圈为360°，故10分钟分针需要转过60°，且要调快分针可顺时针转，故可让分针顺时针旋转60°.(1)一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置称为角的始边和终边．(2)按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角．如果射线没有作任何旋转，那么也把它看成一个角，叫做零角．1．如果把一个角的顶点放在直角坐标系的原点，角的始边为x轴正半轴，那么角终边的位置在坐标系中有几种情况？【提示】在第一、二、三、四象限或与坐标轴重合．2．0°角与360°角的终边相同吗？【提示】相同．(1)象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴，建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．(2)终边相同的角：一般地，与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}.例1①终边相同的角一定相等；②第一象限角都是锐角；③锐角都是第一象限角；④小于90°的角都是锐角．(2)下列说法正确的是________．(填序号)①一条射线绕端点旋转，旋转的圈数越多，则这个角越大．②在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点顺时针旋转到x轴的正半轴形成的角为90°.③将钟表调快一个小时，则分针转了360°.④顺时针方向旋转形成的角一定小于逆时针方向旋转形成的角．【思路探究】根据各种角的含义进行判断．【自主解答】(1)对于①，－60°角和300°角是终边相同的角，但它们并不相等，∴应排除①.对于②，390°角是第一象限角，但它不是锐角，∴应排除②.对于④，－60°角是小于90°的角，但它不是锐角，∴应排除④.∵锐角的集合是{α|0°＜α＜90°}，第一象限角的集合是{α|k·360°＜α＜k·360°＋90°，k∈Z}，∴锐角是第一象限角．∴③正确．(2)如果一条射线绕端点顺时针方向旋转，则它形成负角，旋转的圈数越多，则这个角越小，故①不正确．在坐标系中，将y轴的正半轴绕坐标原点旋转到x轴的正半轴时，是按顺时针方向旋转，故它形成的角为－90°，故②不正确．将钟表调快一个小时，也是按顺时针转动，故分针转了－360°，③不正确．顺时针方向旋转形成的角为负角，它一定小于逆时针方向旋转形成的正角，故④正确．【答案】(1)③(2)④解答概念辨析题，一是利用定义直接判断；二是利用反例排除错误答案，要说明一个命题不正确，只需举出一个反例即可．下列说法正确的是________．(填序号)①三角形的内角必是第一、二象限角；②第一象限角一定是正角；③第二象限角一定比第一象限角大；④与30°终边相同的角有无穷多个．【解析】90°可以是三角形的内角，但它既不是第一象限角，又不是第二象限角，故①错；－330°是第一象限角，但不是正角，故②错；120°是第二象限角，390°是第一象限角，但390°>120°，故③错；④正确．【答案】④终边相同的角例2在0°～360°范围内，请指出与下列角的终边相同的角，并说出此角是第几象限角．(1)430°(2)909°(3)－60°(4)－1 550°【思路探究】将所给角α写成α＝k·360°＋β(0°≤β＜360°)的形式，则β即为所求．【自主解答】(1)430°＝1×360°＋70°，所以在0°～360°范围内与430°终边相同的角为70°，此角为第一象限角．(2)909°＝2×360°＋189°，所以在0°～360°范围内与909°终边相同的角为189°，此角为第三象限角．(3)－60°＝－1×360°＋300°，所以在0°～360°范围内与－60°终边相同的角为300°，此角为第四象限角．(4)－1 550°＝－5×360°＋250°，所以在0°～360°范围内与－1 550°终边相同的角为250°，此角为第三象限角．将任意角写成α＋k·360°(k∈Z，且0°≤α＜360°)的形式的关键是确定k.可用观察法(α绝对值较小时)，也可用除以360°的方法．要注意：正角除以360°，按通常的除法进行，负角除以360°，商是负数，余数是正数．如图1－1－1，分别写出终边落在所示直线上的角的集合．图1－1－1【解】 由于终边落在直线上的角都是180°的整数倍加上相应的角(0°到180°范围内)，因此相对应的角的集合为：(1)S ＝{α|α＝90°＋k ·180°，k ∈Z }； (2)S ＝{α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z }； (3)S ＝{α|α＝135°＋k ·180°，k ∈Z }；(4)S ＝{α|α＝45°＋k ·180°，k ∈Z }∪{α|α＝135°＋k ·180°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋2k ·90°，k ∈Z }∪{α|α＝45°＋(2k ＋1)·90°，k ∈Z }＝{α|α＝45°＋k ·90°，k ∈Z }．例3 已知α为第一象限角，求2α，α2，α3所在的象限．【思路探究】 用不等式表示α→求2α，α2，α3的范围→分类讨论→得出结论 【自主解答】 ∵α为第一象限角， ∴360°·k ＜α＜360°·k ＋90°，k ∈Z ， ∴360°·2k ＜2α＜360°·2k ＋180°，k ∈Z ，∴2α是第一或者第二象限角，或是终边在y 轴正半轴上的角． ∵180°·k ＜α2＜180°·k ＋45°，k ∈Z ， 当k 为奇数时，α2是第三象限角； 当k 为偶数时，α2是第一象限角． ∴α2为第一或第三象限角．又∵120°·k ＜α3＜120°·k ＋30°，k ∈Z ，当k ＝3n (k ∈Z )时，360°·n ＜α3＜360°·n ＋30°，n ∈Z ， ∴α3是第一象限角；当k ＝3n ＋1(k ∈Z )时，360°·n ＋120°＜α3＜360°·n ＋150°，n ∈Z ，∴α3是第二象限角； 当k ＝3n ＋2(k ∈Z )时，360°·n ＋240°＜α3＜360°·n ＋270°，n ∈Z ，∴α3是第三象限角． ∴α3为第一、第二或第三象限角．1．用不等式表示象限角的集合是解决这类问题的基本方法． 2．α，α2，2α终边位置关系： α 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 错误第一、三 象限 第一、三 象限 第二、四 象限 第二、四 象限 2α第一、二象限或y 轴 的正半轴第三、四象 限或y 轴 的负半轴第一、二象 限或y 轴 的正半轴第三、四象 限或y 轴 的负半轴把本例中条件改为“若α是第三象限角”，求角2α，α2所在的象限．【解】 由角α是第三象限角可知，k ·360°＋180°＜α＜k ·360°＋270°，k ∈Z ， 于是，2k ·360°＋360°＜2α＜2k ·360°＋540°，k ∈Z ， 即(2k ＋1)·360°＜2α＜(2k ＋1)·360°＋180°，k ∈Z . 所以2α为第一、二象限角或终边在y 轴的正半轴上的角． 因为k ·180°＋90°＜α2＜k ·180°＋135°，k ∈Z ，当k 为奇数时，设k ＝2n ＋1，n ∈Z ，则n ·360°＋270°＜α2＜n ·360°＋315°，n ∈Z ，此时α2为第四象限角；当k 为偶数时，设k ＝2n ，n ∈Z ，则n ·360°＋90°＜α2＜n ·360°＋135°，n ∈Z ，此时α2为第二象限角．因此α2为第二象限角或第四象限角．区间角表示错误图1－1－2典例 用角度表示顶点在原点上，始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在图1－1－2所示的阴影区域内的角的集合(含边界)．【错解】因为区域起始、终边边界分别对应的角为300°和45°，所以它表示的角的集合为{α|k·360°＋300°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．【错因分析】因为45°≤300°，所以上式是错误的，由于没有弄清角的大小而造成了错误，出现了矛盾不等式．【防范措施】表示区间角时，应先按逆时针方向，确定在(0°，360°)范围内区间的起始边界与终止边界所对应的角α，β(α＜β)，再在所得到的范围{x|α＜x＜β}两边加上k·360°，即得区域角的集合{x|k·360°＋α＜x＜k·360°＋β，k∈Z}．【正解】由题意可知300°角与－60°角的终边相同，所以它表示的角的集合为{α|k·360°－60°≤α≤k·360°＋45°，k∈Z}．1．对角的概念的理解关键是抓住“旋转”二字：(1)要明确旋转的方向；(2)要明确旋转的大小；(3)要明确射线未作任何旋转时的位置．2．在运用终边相同的角时，需注意以下几点：(1)k是整数，这个条件不能漏掉；(2)α是任意角；(3)k·360°与α之间用“＋”连结，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)(k∈Z)；(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角的终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．1．把一条射线绕着端点按顺时针方向旋转240°所形成的角是________．【解析】一条射线绕着端点按顺时针方向旋转所形成的角是负角，且旋转了240°，故填－240°.【答案】－240°2．在148°，475°，－960°，－1 601°，－185°这五个角中，属于第二象限角的个数是________．【解析】148°显然是第二象限角．而475°＝360°＋115°，－960°＝－3×360°＋120°，－185°＝－360°＋175°，都是第二象限角，而－1 601°＝－5×360°＋199°，不是第二象限角．【答案】 43．若角α＝2 008°，则与角α具有相同终边的最小正角为________，最大负角为________．【解析】∵2 008°＝5×360°＋208°，∴与2 008°角终边相同的角的集合为{α|α＝208°＋k·360°，k∈Z}，∴最小正角是208°，最大负角是－152°.【答案】208°－152°4．求0°～360°范围内与－30°终边相同的角．【解】与－30°角终边相同的角为k·360°－30°，k∈Z，取k＝1，得1×360°－30°＝330°，0°≤330°＜360°，因此所求角为330°.一、填空题1．(2013·泰安高一检测)钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________．【解析】分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过13周．【答案】－120°－1 440°2．543°是第________象限角．【解析】543°＝183°＋360°，又183°是第三象限角，故543°也是第三象限角．【答案】三3．与405°终边相同的角的集合为________．【解析】405°－360°＝45°，故与405°角终边相同的角可表示为k·360°＋45°，k∈Z.【答案】{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}4．(2013·南京高一检测)已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．【解析】与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝－3 000°＋k·360°，k∈Z}，与θ终边相同的最小正角是当k＝9时，θ＝－3 000°＋9×360°＝240°.所以与α终边相同的最小正角为240°.【答案】240°5．若α是第二象限角，则180°－α是第________象限角．【解析】因为α是第二象限角，所以k·360°＋90°＜α＜k·360°＋180°，k∈Z，所以k·360°＜180°－α＜k·360°＋90°，k∈Z，所以180°－α是第一象限角．【答案】一6．(2013·曲阜师大附中检测)在－720°～720°内与－1 050°角终边相同的角是________．【解析】与－1 050°终边相同的角可表示为k·360°－1 050°(k∈Z)，k＝1时，1×360°－1 050°＝－690°，k＝2时，2×360°－1 050°＝－330°，k＝3时，3×360°－1 050°＝30°，k＝4时，4×360°－1 050°＝390°.【答案】－690°或－330°或30°或390°7．在－360°～0°内与160°角终边相同的角是________．【解析】与160°角终边相同的角α＝k·360°＋160°，k∈Z.∵－360°≤α＜0°，∴取k＝－1，得α＝－360°＋160°＝－200°.故在－360°～0°内与160°角终边相同的角是－200°.【答案】－200°8．若角α和角β的终边关于x 轴对称，则角α可以用角β表示为________．【解析】 ∵角α和角β的终边关于x 轴对称，∴α＋β＝k ·360°(k ∈Z )．∴α＝k ·360°－β(k ∈Z )．【答案】 k ·360°－β(k ∈Z ) 二、解答题9．写出终边在如图1－1－3所示阴影部分(包括边界)的角的集合．图1－1－3【解】 先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则 (1){α|30°＋k ·360°≤α≤150°＋k ·360°，k ∈Z }； (2){α|－210°＋k ·360°≤α≤30°＋k ·360°，k ∈Z }．10．写出与15°角终边相同的角的集合，并求该集合中满足不等式－1 080°≤β＜720°的元素β.【解】 与15°角终边相同的角的集合为S ＝{β|β＝15°＋k ·360°，k ∈Z }，其中，满足－1 080°≤β＜720°的元素有：k ＝－3时，β＝－1 065°；k ＝－2时，β＝－705°；k ＝－1时，β＝－345°；k ＝0时，β＝15°；k ＝1时，β＝375°，∴集合中满足条件的元素β有－1 065°，－705°，－345°，15°，375°. 11．在角的集合{α|α＝k ·90°＋45°(k ∈Z )}中： (1)有几种终边不相同的角？(2)有几个大于－360°且小于360°的角？ (3)写出其中是第二象限的角的一般表示法．【解】 (1)当k ＝4n ，4n ＋1，4n ＋2，4n ＋3，n ∈Z 时，在给定的角的集合中终边不相同的角共有四种．(2)由－360°＜k ·90°＋45°＜360°，得－92＜k ＜72. 又k ∈Z ，故k ＝－4，－3，－2，－1，0，1，2，3. ∴在给定的角集合中大于－360°且小于360°的角共有8个． (3)其中是第二象限的角可表示成k ·360°＋135°，k ∈Z .(教师用书独具)已知角α的终边在如图所示的阴影部分所表示的范围内，求角α的取值范围．【思路探究】先在－180°～180°范围内找出终边落在阴影内的角，然后写出角的集合(注意边界)．【自主解答】当角α的终边落在阴影的上半部分时，α∈{α|k·360°＋30°＜α≤k·360°＋150°，k∈Z}，当角α的终边落在阴影的下半部分时，α∈{α|k·360°－150°＜α≤k·360°－30°，k∈Z}．由此可知满足题意的角α为{α|k·180°＋30°＜α≤k·180°＋150°，k∈Z}．1．角的终边为虚线，则不等式中应不带“＝”号．2．本题实质上是求两个范围内角的并集，应注意化简为最简结果．如图所示，写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合为________．【解析】与－30°角终边在一条直线上的角的集合为S1＝{α|α＝－30°＋k·180°，k∈Z}＝{α|α＝150°＋k·180°，k∈Z}．与45°＋90°＝135°角终边在同一直线上的角的集合为S2＝{β|β＝135°＋k·180°，k∈Z}，从而图中阴影部分的角的取值集合为{α|135°＋k·180°≤α≤150°＋k·180°，k∈Z}．【答案】{α|135°＋k·180°≤α≤150°＋k·180°，k∈Z}。
高中数学 1.1.1任意角教案 新人教A版必修4 教案
是第几象限角．如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限．按照上述方法，在平面直角坐标系中，角的终边绕原点旋转360°后回到原来的位置．终边相同的角相差360°的整数倍．因此，所有与角α终边相同的角(连同角α在内)的集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}．
根据终边相同的角的概念，回答下列问题：
问题1已知集合S＝{θ|θ＝k·360°＋60°，k∈Z}，则－240°
S,300°S，－1 020°S.(用符号：∈或∉填空)．
问题2集合S＝{α|α＝k·360°－30°，k∈Z}表示与角终边
相同的角，其中最小的正角是.
问题3已知集合S＝{α|α＝45°＋k·180°，k∈Z}，则角α的终
边落在上．
探究点三象限角与终边落在坐标轴上的角
问题1写出终边落在x轴上的角的集合S.
答S＝{α|α＝k·360°，k∈Z}∪{α|α＝k·360°＋180°，k∈Z}
＝{α|α＝2k·180°，k∈Z}∪{α|α＝(2k＋1)·180°，k∈Z}
＝{α|α＝n·180°，n∈Z}．。
教学设计1：1.1.1 任意角
必修四第一章三角函数1.1.1任意角一、教学目标：1.理解任意角的概念；二、教学重、难点：1．任意角的概念及运用；三、教学过程：（一）复习引入：1．初中所学角的概念。
2．实际生活中出现一系列关于角的问题。
（二）新课讲解：1．角的定义：一条射线绕着它的端点O，从起始位置OA旋转到终止位置OB，形成一个角α，点O是角的顶点，射线OA.OB分别是角α的终边、始边。
∠”可以简记为α说明：在不引起混淆的前提下，“角α”或“α2．角的分类：正角：按逆时针方向旋转形成的角叫做正角；负角：按顺时针方向旋转形成的角叫做负角；零角：如果一条射线没有做任何旋转，我们称它为零角。
说明：零角的始边和终边重合。
3．象限角：在直角坐标系中，使角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x轴的非负轴重合，则（1）象限角：若角的终边（端点除外）在第几象限，我们就说这个角是第几象限角。
例如：30°，390°，-330°都是第一象限角；300°，-60°是第四象限角。
（2）非象限角（也称象限间角、轴线角）：如角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
例如：90°，180°，270°等等。
说明：角的始边“与x轴的非负半轴重合”不能说成是“与x轴的正半轴重合”。
因为x轴的正半轴不包括原点，就不完全包括角的始边，角的始边是以角的顶点为其端点的射线。
4．终边相同的角的集合：由特殊角30°看出：所有与30°角终边相同的角，连同30°角自身在内，都可以写成30360()k k z +⋅∈的形式；反之，所有形如30360()k k z +⋅∈的角都与30°角的终边相同，从而得出一般规律：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合{}|360()s k k z ββα==+⋅∈，即：任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和。
1.1.1 任意角 精品教案
1.1.1 任意角
【课题】：任意角
【教学三维目标】：
一、知识与技能
1、推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义；
2、象限角的概念；
3、终边相同的角的表示方法；
二、过程与方法
1、理解并掌握正角、负角、零角的定义；
2、掌握所有与α角终边相同的角（包括α角）的表示方法；
三、情感态度与价值观
树立运动变化观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。
【教学重点】：理解正角、负角和零角的定义，掌握终边相同角的表示法.
【教学难点】：终边相同的角的表示.
【课前准备】：几何画板课件。
教师讲解：一条射线由原来的位置OA，绕着它的端点
321360︒-+⨯
{}
00290360,S k k Z ββ==+⋅∈}0
0270360,k k Z =+⋅∈={}0090180,k k Z ββ=+⋅∈
让学生理解终边在坐标轴上的角的表示。
教学中引导学生体会用集{ββ=
01203
k α
⋅+第三或第四象限；所以0
1801352
k ⋅+三或第四象限，也可在y 轴的负半轴上。
是第二象限的角，则0
180β-
B 等于（}
0036,54- B 00126,36,54-036090k β
--+0k =时，036α=-；当k。
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1.1.1任意角教案
一、教材分析
1、本节教材的地位和作用：
本课是数学必修4第一章三角函数中第一节的第一课时。
三角函数是基本初等函数，它是描述周期现象的重要数学模型。
这一节中包括任意角、终边相同的角的表示方法和象限角三个内容。
角的概念的推广正是这一思想的体现之一，是初中相关知识的自然延续。
为进一步研究角的和、差、倍、半关系提供了条件，也为今后学习解析几何、复数等相关知识提供有利的工具，所以学生正确的理解和掌握角的概念的推广尤为重要。
2、教学目标：
知识与技能目标：
（1）推广角的概念，理解并掌握正角、负角、零角的定义；
（2）理解任意角以及象限角的概念；
（3）掌握所有与角a终边相同的角（包括角a）的表示方法；
过程与方法目标：
（1）提高学生的计算能力,归纳概括能力和类比思维能力；
（2）通过画图和判断角的象限，培养学生数形结合的思想方法；
情感态度与价值观目标：
（1）创设问题情景，激发分析探求的学习态度，强化参与意识；
（2）学会运用运动变化的观点认识事物.
3、教学重点、难点：
重点：理解任意角中正角、负角和零角和象限角的定义。
难点: 终边相同的角的表示方法。
二、学生情况分析
学生在初中就已经学过角的定义。
从学生学过的东西出发，结合实际生活中的例子，将任意角的范围扩展到大于360度，可以引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，为这节课的顺利进行提供了有利的条件。
三、教法学法
教法分析：
探索与发现新知识是教学的重点。
所以在教学中主要采用以问题驱动、层层铺垫，从特殊到一般启发学生获得新知识。
学法指导：
建构主义学习理论认为，学习是学生积极主动的建构知识的过程，学习应该与学生熟悉的知识背景相联系。
在教学中，采用自主探索与合作交流的学习方式，让学生在问题情境中，经历知识的形成和发展，通过观察、操作、归纳、思考、探索、交流、反思参与学习，认识和理解数学知识，学会学习，发展能力。
四、教学过程
五、教学反思
1.学生在初中已经接触到角的定义，角的范围仅限于 0--360 。
结合实际生活中的例子，由教材的“思考”出发，引发学生的的认知冲突，激发学生的求知欲望，让学生体会角的推广的必要性。
(让学生利用类比和数形结合的思想，在动态的过程中（借助几何画板）体会“既要知道旋转量，又要知道旋转方向”才能准确的刻画角的形成过程的道理。
)
2．“终边相同的角之间的关系”的学习，可以从特例出发，通过填空的方式，使学生经历由具体数值到一般的k值的抽象过程，学生易于接受。
(建立适当的直角坐标系，画出任意角，并测出角的大小，同时旋转角的终边，让学生观察角的变化规律，从而将数与形联系起来，使角的几何表示和集合表示相结合。
)。