六年级下册数学试题-统筹与规划(ABC级)(解析版)全国通用

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六年级下册数学试题-工程问题(ABC级)(解析版)全国通用

知识框架一、基本概念（1）工作总量完成某一项工程所需的所有工作的数量和，常用“1”来表示.（2）工作时间（3）工作效率单位时间内所完成的工作量二、基本关系工作量 = 工作效率×工作时间【提示】三者之间的关系，可以类比路程、速度和时间的关系.三、常用工具和方法（1）基本关系（2）整体化归思想（3）对比分析的方法重难点（1）重点：利用整体化归思想和对比分析方法解决较为复杂的工程问题（2）难点：复杂问题中整体化归思想、比例思想、方程思想与对比分析方法的综合运用工程问题例题精讲一、根据基本关系解题2821【例 1】一项工程，甲单独做需要天时间，乙单独做需要天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？【巩固】一项工程，甲单独做需要天时间，甲、乙合作需要天时间，如果乙单独做需要多少时间？2112【例 2】一项工程，甲队单独完成需40天。

若乙队先做10天，余下的工程由甲、乙两队合作，又需20天可完成. 如果乙队单独完成此工程，则需______天.【巩固】一项工程，甲队单独做天可以完成，甲队做了天后，由于另有任务，剩下的工作由乙队单208独做天完成．问：乙队单独完成这项工作需多少天？15二、运用整体化归思想解题【例 3】有两个同样的仓库，搬运完一个仓库的货物，甲需6小时，乙需7小时，丙需14小时。

甲、乙同时开始各搬运一个仓库的货物。

开始时，丙先帮甲搬运，后来又去帮乙搬运，最后两个仓库的货物同时搬完。

则丙帮甲小时，帮乙小时。

【巩固】一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？【例 4】一批工人到甲、乙两个工地进行清理工作，甲工地的工作量是乙工地的工作量的倍．上午112去甲工地的人数是去乙工地人数的倍，下午这批工人中有的人去甲工地．其他工人到乙工3712地．到傍晚时，甲工地的工作已做完，乙工地的工作还需名工人再做天，那么这批工人有41多少人？【巩固】甲、乙、丙三队要完成，两项工程，工程的工作量是工程工作量再增加，如果让甲、A B B A 14乙、丙三队单独做，完成工程所需要的时间分别是天，天，天．现在让甲队做工A 202430A 程，乙队做工程，为了同时完成这两项工程，丙队先与乙队合做工程若干天，然后再与甲B B 队合做工程若干天．问丙队与乙队合做了多少天？A【例 5】一项工程，甲单独做要12小时完成，乙单独做要18小时完成．若甲先做1小时，然后乙接替甲做1小时，再由甲接替乙做1小时，……，两人如此交替工作，请问：完成任务时，共用了多少小时？【巩固】蓄水池有甲、丙两条进水管和乙、丁两条排水管，要灌满一池水，单开甲管需小时，单开丙3管需要小时，要排光一池水，单开乙管需要小时，单开丁管需要小时，现在池内有的54616水，若按甲、乙、丙、丁、甲、乙、丙、丁……的顺序轮流打开小时，问多少时间后水开始溢1出水池？三、运用对比分析方法解题【例 6】一项工程，甲、乙合作需要天完成，乙、丙合作需要天完成，由乙单独做需要天完成，201530那么如果甲、乙、丙合作，完成这项工程需要多少天？【巩固】一项工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要天，由丙单独做需要天完成，那1236么如果甲、丙合作，完成这项工程需要多少天？【例 7】一项工程，如果甲先做5天，那么乙接着做20天可以完成；如果甲先做20天，那么乙接着做8天可以完成．如果甲、乙合作，那么多少天可以完成？61286【巩固】一件工作甲先做小时，乙接着做小时可以完成；甲先做小时，乙接着做小时也可以完成．如果甲做小时后由乙接着做，还需要多少小时完成？3【例 8】一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天. 问这项工程由甲独做需要多少天？【巩固】抄一份书稿，甲每天的工作效率等于乙、丙二人每天的工作效率的和；丙的工作效率相当甲、乙每天工作效率和的．如果3人合抄只需8天就完成了，那么乙一人单独抄需要多少天才能15完成？【例 9】放满一个水池，如果同时打开1，2，3号阀门，则20分钟可以完成；如果同时打开2，3，4阀门，则21分钟可以完成；如果同时打开1，3，4号阀门，则28分钟可以完成；如果同时打开1，2，4号阀门，则30分钟可以完成．问：如果同时打开1，2，3，4号阀门，那么多少分钟可以完成？【例 10】某工程如果由第一、二、三小队合干需要12天才能完成；如果由第一、三、五小队合干需要7天才能完成；如果由第二、四、五小队合干需要8天才能完成；如果由第一、三、四小队合干需要42天才能完成．那么这五个小队一起合干需要多少天才能完成这项工程？【例 11】规定两人轮流做一个工程，要求第一个人先做1个小时，第二个人接着做一个小时，然后再由第一个人做1个小时，然后又由第二个人做1个小时，如此反复，做完为止．如果甲、乙轮流做一个工程需要小时，而乙、甲轮流做同样的工程只需要小时，那乙单独做这个工程需9.89.6要多少小时？【巩固】公园水池每周需换一次水．水池有甲、乙、丙三根进水管．第一周小李按甲、乙、丙、甲、乙、丙、……的顺序轮流打开1小时，恰好在打开水管整数小时后灌满空水池．第二周他按乙、丙、甲、乙、丙、甲……的顺序轮流打开1小时，灌满一池水比第一周少用了15分钟；第三周他按丙、乙、甲、丙、乙、甲……的顺序轮流打开1小时，比第一周多用了15分钟．第四周他三个管同时打开，灌满一池水用了2小时20分，第五周他只打开甲管，那么灌满一池水需用________小时．【例 12】一项工程，甲、乙合作小时可以完成，若第小时甲做，第小时乙做，这样交替轮流做，312512恰好整数小时做完；若第小时乙做，第小时甲做，这样交替轮流做，比上次轮流做要多12小时，那么这项工作由甲单独做，要用多少小时才能完成？13【巩固】甲、乙、丙三人完成一件工作，原计划按甲、乙、丙顺序每人轮流工作一天，正好整数天完成，若按乙、丙、甲的顺序每人轮流工作一天，则比原计划多用天；若按丙、甲、乙的顺序每人12轮流工作一天，则比原计划多用天．已知甲单独完成这件工作需天．问：甲、乙、丙一1310.75起做这件工作，完成工作要用多少天？四、综合运用多种思想解题【例 13】一批零件平均分给甲、乙两人同时加工，两人工作小时，共完成这批零件的。

2018六年级奥数.杂题.统筹与规划(ABC级).学生版

700
西安 1000 600
MSDC 模块化分级讲义体系
六年级奥数.杂题.统筹与规划（ABC 级）.学生版
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【巩固】北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本地外，北京可以支援外地 10 台，上海可以支持外地 4 台．现决定给重庆 8 台，汉口 6 台，若每台计算机的运费如右表，上海和北京制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是多少？
【巩固】有一家五口人要在夜晚过一座独木桥．他们家里的老爷爷行动非常不便，过桥需要 12 分钟；孩子们的父亲贪吃且不爱运动，体重严重超标，过河需要时间也较长，8 分钟；母亲则一直坚持劳作，动作还算敏捷，过桥要 6 分钟；两个孩子中姐姐需要 3 分钟，弟弟只要 1 分钟．当时正是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥．但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持 30 分钟了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？
运费/元到站汉口发站
北京
4
重庆 8
上海
3
5
【例 11】北仓库有货物 35 吨，南仓库有货物 25 吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中去．其中甲工厂需要 28 吨，乙工厂需要 12 吨，丙工厂需要 20 吨．两个仓库与各工厂之间的距离如图所示(单位：公里)．已知运输每吨货物 1 公里的费用是 1 元，那么将货物按要求运入各工厂的最小费用是多少元？
【巩固】一个工厂有 7 个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品．每个车间装卸货物所需工人数为 25、18、27、10、20、15、30．若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安排多少名装卸工，所用总人数最合理？

(完整)六年级奥数之统筹规划问题

例5有157吨货物要从甲地运往乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车与小卡车每运一次的耗油量分别是10升和5升。请问:如何选派车辆才能使耗油量最少？
【分析】本题应考虑大小卡车每吨的耗油量。依题意，大卡车每吨耗油量是10÷5=2升，小卡车是所以为了节省耗油量最优先调动大卡车。
【练习】甲地有182吨货物要运到乙地，大卡车的载重量是5吨，小卡车的载重量是2吨，大卡车运一趟耗油8升，小卡车运一趟耗油4升。请问：应如何安排车辆才能使耗油量最少？耗油量最少是多少升？
【练习】新港码头同时来了五艘装满货物的货船，但码头工人只能一艘一艘的卸货。这五艘货船卸货的时间分别需要6小时，1小时，7小时，4小时和2小时。若要是这五艘货船等候时间的总和最少应按怎样的顺序安排卸货？最少的时间是多少小时？
例3在一条公路上，每隔50千米有一座货栈，每个货栈存放的货物重量如图所示。现在要将所有的货物存放在一个货栈里，已知每吨货物运输1千米的运费是2元，那么最少需要运费多少元？
练习：1.小玲要在一个早晨完成以下几项工作，每项工作需要的时间分别是：起床，穿衣4分钟；刷牙洗脸整理书包9分钟；在煤气灶上煮汤粉10分钟；吃早餐5分钟。如果安排合理，最少用多少时间可以吃完早餐上学？
2.3个工人共同加工7个零件所需要的时间分别是9,13,15,17,18,20,23分钟。请问：他们最少需要用多少时间才能全部加工好？
【练习】妈妈让小华给客人烧水沏茶。洗水壶要用1分钟，烧开水要15分钟，洗茶壶要2分钟，洗茶杯要2分钟，取茶叶要1分钟。按最合理的安排，要花多少分钟就能给客人沏上茶？
例2.甲乙丙三人各拿一只水桶到水龙头前打水，水龙头注满这三人的水桶所需的时间分别是3分钟，4分钟和2分钟。现在只有一个水龙头可用，应如何安排这三人打水的次序，才能使他们花费时间的总和最少？这个时间等于多少？

四年级下册数学竞赛试题-统筹规划(ABC级).学生版-全国通用(无答案)

统筹学是一门数学学科，但它在许多的领域都在使用，在生活中有很多事情要去做时，科学的安排好先后顺序，能够提高我们的工作效率．我国著名数学家华罗庚教授生前十分重视数学的应用，并亲自带领小分队推广优选法、统筹法，使数学直接为国民经济发展服务，他在中学语文课本中，曾有一篇名为《统筹原理》的文章详，细介绍了统筹方法和指导意义．运筹学是利用数学来研究人力、物力的运用和筹划，使它们能发挥最大效率的科学。

它包含的内容非常广泛，例如物资调运、场地设置、工作分配、排队、对策、实验最优等等，每类问题都有特定的解法。

运筹学作为一门科学，要运用各种初等的和高等的数学知识及方法，但是其中分析问题的某些朴素的思想方法，如高效率优先的原则、调整比较的思想、尝试探索的方法等，都是我们小学生能够掌握的。

这些来源于生活实际的问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。

本讲主要讲统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题等。

这些都是人们日常生活、工作中经常碰到的问题，怎样才能把它们安排得更合理，多快好省地办事，就是这讲涉及的问题。

“节省跑空车的距离”是物资调运问题的一个原则。

“发生对流的调运方案”不可能是最优方案。

“小往大靠，支往干靠”。

一、合理安排时间【例 1】星期天妈妈要做好多事情。

擦玻璃要20分钟，收拾厨房要15分钟，洗脏衣服的领子、袖口要10分钟，打开全自动洗衣机洗衣服要40分钟，晾衣服要10分钟。

妈妈干完所有这些事情最少用多长时间？【巩固】妈妈让小明给客人烧水沏茶。

洗开水壶要用1分钟，烧开水要用15分钟，洗茶壶要用1分钟，例题精讲知识框架统筹规划洗茶杯要用1分钟，拿茶叶要用2分钟。

小明估算了一下，完成这些工作要花20分钟。

为了使客人早点喝上茶，按你认为最合理的安排，多少分钟就能沏茶了?【例2】6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？【巩固】有甲、乙两个水龙头，6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟．怎么安排这6个人打水，才能使他们等候的总时间最短，最短的时间是多少？【例3】小明骑在牛背上赶牛过河．共有甲、乙、丙、丁4头牛．甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟．每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？【巩固】有四个人在晚上准备通过一座摇摇欲坠的小桥．此桥每次只能让2个人同时通过，否则桥会倒塌．过桥的人必须要用到手电筒，不然会一脚踏空．只有一个手电筒．4个人的行走速度不同：小强用1分种就可以过桥，中强要2分中，大强要5分中，最慢的太强需要10分中．17分钟后桥就要倒塌了．请问：4个人要用什么方法才能全部安全过桥？二、合理安排地点【例 4】如图，在街道上有A 、B 、C 、D 、E 、F 六栋居民楼，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，车站应该设在何处？【巩固】如图，在街道上有A 、B 、C 、D 、E 五栋居民楼，每栋楼里每天都有20个人要坐车，现在设立一个公交站，要想使居民到达车站的距离之和最短，应该设在何处？【例 5】在一条公路上每隔100千米，有一个仓库(如图)共有5个仓库，一号仓库存有10吨货物，二号仓库有20吨货物，五号仓库存有40吨货物，其余两个仓库是空的．现在想把所以的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1公里需要0.5元运输费，那么最少要多少运费才行？40吨20吨10吨五四三二一【巩固】在一条公路上，每隔10千米有一座仓库(如图)，共有五座，图中数字表示各仓库库存货物的重量．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要运费0.9元，那么集中到哪个仓库运费最少？6010吨20吨30吨10吨【例 6】某个班的20个学生的家庭住址在城市中的分布如图（圆点是各个学生的家庭住址，线段是街道），如果这个班的学生举行一个聚会，为了尽量减少每个学生行走路程总和，那么他们应该选择十字路口附近的地点。

六年级下册数学试题-竞赛专题练习：统筹与最优化(含答案)全国通用

理发室里有甲、乙两位理发师，同时来了五位顾客，根据他们所要理的发型，分别需要10、12、15、20 和 24 分钟，怎样安排他们理发的顺序，才能使这五人理发和等候所用时间的总和最少？最少时间为多少？母亲则一直坚持劳作，动作还算敏捷，过桥要 6 分钟；两个孩子中姐姐需要 3 分钟，弟统筹与最优化练习题一．夯实基础：1. 一只平底锅上最多只能煎两张饼，用它煎 1 张饼需要 2 分钟(正面、反面各 1 分钟)．问：煎 2009 张饼需几分钟？2. 小强、小明、小红和小蓉 4 个小朋友效游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们 4 个人只有一个手电筒，由于桥的承重量小，每次只能过 2 人，因此必须先由 2 个人拿着手电筒过桥，并由 1 个人再将手电筒送回，再由 2 个人拿着手电筒过桥……直到 4 人都通过小木桥．已知，小强单独过桥要 1 分钟；小明单独过桥要1.5 分钟；小红单独过桥要 2 分钟；小蓉单独过桥要2.5 分钟．那么，4 个人都通过小木桥，最少要多少分钟？3. 6 个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满 6 个人的水桶所需时间分别是 5 分钟、4分钟、3 分钟、10 分钟、7 分钟、6 分钟．现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这 6 人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？4.弟只要 1 分钟．当时正是初一夜晚又是阴天，不要说月亮，连一点星光都没有，真所谓伸手不见五指．所幸的是他们有一盏油灯，同时可以有两个人借助灯光过桥．但要命的灯油将尽，这盏灯只能再维持 30 分钟了！他们焦急万分，该怎样过桥呢？6. 5 所学校 A,B,C,D,E 之间有公路相通，图中标出了各段公路的千米数，现在想在某所学校召开一次学生代表会议，应出席会议的 A,B,C,D,E 校分别有 6 人，4 人，8 人，7 人，10 人，为使参加会议的代表所走的路程总和最小，会议应选在哪个学校召开？A23B C22D E4二．拓展提高：7. 在一条公路上，每隔 100 千米有一座仓库，共有 8 座，图中数字表示各仓库库存货物的重量(单位：吨)，其中C、G 为空仓库．现在要把所有的货物集中存入一个仓库里，如果每吨货物运输 1 千米需要0.5 元，那么集中到那个仓库中运费最少，需要多少元运费？A D G HB C E F30 20 10 608. 一支勘探队在五个山头 A、B、C、D、E 设立了基地，人数如下图所示.为调整使各基地人数相同，如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）A17E9B416 C 14 D9. 下图是一张道路示意图，每段路上的数字表示小明走这段路所需要的时间（单位：分）．小明从 A 到 B 最快要几分钟？E 5 7 B G4 0 4 6 6 D5 4 C 16 A 3 F3 H10. 新建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供应自来水(如下图，距离单位为千米)，要安装水管有粗细两种选择，粗管足够供应所有村庄使用，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用 8000 元，细管每千米要 2000 元，如果粗细管适当搭配，互相连接，可以降低费用，怎样安排才能使这项工程费用最低？费用是多少元？自来水厂 AB C G H D E F IJ2 11. 某工地 A 有 20 辆卡车，要把 60 车渣土从 A 运到 B ，把 40 车砖从 C 运到 D （工地道路图如下所示）.问如何调运最省汽油？三. 超常挑战12. 北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本地外，北京可以支援外地 10 台，上海可以支持外地 4 台．现决定给重庆 8 台，汉口 6 台，若每台计算机的运费如右表，上海和北京制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是多少？13. 设有十个人各拿着一只提桶同时到水龙头前打水，设水龙头注满第一个人的桶需要 1 分钟，注满第二个人的桶需要 2 分钟，……．如此下去，当只有两个水龙头时，如何巧妙安排这十个人打水，使他们总的费时时间最少？最少的时间是多少？14. 有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水．可以用粗、细两种水管，粗管每千米 7000 元，细管每千米 2000 元．粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如下图所示(图中单位是千米)，现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？3052 42 3 2 2 25A 1A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7 A 8 A 9 县城A10运费/元到站发站汉口重庆北京 4 8 上海35四．杯赛演练：15. (三帆中学分班考试题)有七个村庄 A 1 ， A 2 ，， A 7 分布在公路两侧(见右图)，由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？A 6A 1A 5 DC F B 公路E A 2A 7A 4A 3答案：1. 在不浪费时间的情况下：两张饼可同时煎完，三张饼也可以：首先 A,B 的正面，然后拿走A，煎B 的反面和C 的正面，然后拿走 B，煎 A,C 的反面.2009 =2⨯1003 +3，完全可以不浪费时间煎完，从而所需时间为：2009⨯2 ÷2 = 2009 分钟.2. 方法一：要想用最少的时间，4 人都通过小木桥，可采用让过桥最快的小强往返走，将手电筒送回，这样就能保证时间最短了．第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：1.5 +1 = 2.5 (分钟)；第二步：返回原地的小强与小红过桥后再返回，共用了2 +1 = 3 (分钟)；第三步：最后小强与小蓉一起过桥用了2.5 分钟；所以，4 个人都通过小木桥，最少用2.5 + 3 + 2.5 = 8 (分钟)．方法二：要想用最少的时间，4 人都能过桥，保证时间最短还可以：第一步：小强与小明一起过桥，并由小强带手电筒返回，共用：1.5 +1 =2.5 (分钟)；第二步：返回原地的小红与小蓉过桥后再由小明带手电返回，共用了2.5 +1.5 =4 (分钟)；第三步：最后小强与小小明一起过桥用了1.5 分钟；3. 第一个人接水时，包括他本人在内，共有 6 个人等候，第二个人接水时，有 5 个人等候；第 6 个人接水时，只有他 1 个人等候．可见，等候的人越多(一开始时)，接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少，因此，应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水，这个最短时间是3⨯ 6 + 4⨯5 + 5⨯ 4 + 6⨯3 + 7⨯ 2 +10 =100 (分)．4. 一人理发时，其他人需等待，为使总的等待时间尽量短，应让理发所需时间少的人先理．甲先给需 10 分钟的人理发，然后 15 分钟的，最后 24 分钟的；乙先给需 12 分钟的人理发，然后 20 分钟的，甲给需 10 分钟的人理发时，有 2 人等待，占用三人的时间和为(10⨯ 3 )分；然后，甲给需 15 分钟的人理发，有 1 人等待，占用两人的时间和为(15⨯ 2 ) 分；最后，甲给需 24 分钟的人理发，无人等待．甲理发的三个人，共用(10⨯3 +15⨯ 2 + 24 ) 分，乙理发的两个人，共用 ( 12⨯ 2 + 20 ) 分．总的占用时间为（10⨯3+15⨯2+24）+（12⨯2+20）=128(分)．5. 首先姐姐跟弟弟一起过，用时 3 分钟，姐姐再回去送油灯，用时 3 分钟，老爷爷跟爸爸一起过河，用时 12 分钟，弟弟将灯送回去，用时 1 分钟，弟弟和母亲一起过，用时 6 分钟，弟弟送灯过河，用时 1 分钟，最后与姐姐一起过河，用时 3 分钟．一共用时：3 + 3 +12 +1+ 6 +1+ 3 = 29 (分钟)．最后能够安全全部过河．6. 根据小往大靠的原则，A 处的人数相对 BCDE 的总人数要小很多，因此首先排除 A 地，而B,C,D,E 不能简单比较出.枚举结果如下：B 地集合：共行走6⨯ 2 + 8⨯3 + 7⨯ 2 +10⨯ (3 + 2) =100 千米.C 地集合：共行走6⨯ (2 + 3) + 4⨯3 + 7⨯ (2 + 3) +10⨯ 2 = 97 千米.D 地集合：共行走6⨯ (2 + 2) + 4⨯ 2 + 8⨯ (3 + 2) +10⨯ 4 =112 千米.E 地集合：共行走6⨯(2 +3 + 2) + 4⨯ (3 + 2) +8⨯2 +7⨯4 =106 千米.其中 C 地集合的路程总和最小，所以集合地应选在 C 地.7. 根据这道题可以用“小往大处靠”的原则来解决．H 点 60 吨，存的货物最多，那么先处理小势力，A 往 H 那个方向集中，集中到 B ，B 变成 40 吨，判断仍是 H 的势力最大，所以继续向 H 方向集中，B 点集中到 D 点，D 点变成 60 吨．此时 D 点和 H 点都是 60 吨，那么 D 、H 谁看成大势力都可以．例如把 H 点集中到 F 点，F 点是 70 吨．把 D 点集中到E 点，E 点是 65 吨所以 E 点也要集中到 F 点．确定了集中地点为 F 点，运输费用也就容易求了．运费最少为：（10⨯500 + 30⨯ 400 + 20⨯ 200 + 5⨯100 + 60⨯ 200）⨯ 0.5 =16750 (元)．五个基地人员总数为17 + 4 +16 +14 + 9 = 60 (人). 依题意，调整后每个基地应各有60 ÷ 5 =12 （人）.因此，需要从多于 12 人的基地 A ,C , D 向不足 12 人的基地 B , E 调人.为了避免对流，经试验容易得到调整方案如下：先从 D 调 2 人到 E ，这样 E 尚缺 1 人；再由 A 调 1 人给 E ，则 E 达到要求.此时， A 尚多余 4 人， C 也多余 4 人，总共 8 人全部调到 B ，则 B 亦符合要求.调动示意图如下所示，这样的图形叫做物资流向图.用流向图代替调运方案，能直观地看出调运状况及有无对流现象，又可避免列表和计算的麻烦.图中箭头表示流向，箭杆上的数字表示流量.A8. 1174 E9B 42416 C14D说明：发生对流的调运方案不可能是最优方案，这个原则可以证明：如上图，设 A 1B 2=a 千米，B 2B 1=b 千米，B 1A 2=c 千米.如果从 A 1 运 1 吨货物到 B 1，同时又从 A 2 运 1 吨货物到 B 2，那么在 B 1B 2 之间 A 1 的物资从西向东运输，A 2 的货物从东向西运输，两者发生对流，于是这样调动的总吨千米数为： (a + b ) + (b + c ) = a + c + 2b .而如果从 A 1 运 1 吨货物到 B 2，同时从 A 2 运 1 吨货物到 B 1，则运输总吨千米数为a + c ，显然 a + c < a + c + 2b .9. 我们采用分析排除法，将道路图逐步简化．从 A 到 O 有两条路，A →C →O 用 6 分钟，A →F →O 用 7 分钟，排除后者，可将 FO 抹去，但 AF 不能抹去，因为从 A 到 B 还有其它路线经过 AF ，简化为图⑴．从 A 到 E 还剩两条路，A →C →G →E 用 12 分钟，A →C →O →E 用 10 分钟，排除前者，可将 CG ，GE 抹去，简化为图⑵．从 A 到 D 还剩两条路，A →C →O →D 用 12 分钟，A →H →D 用 13 分钟，排除后者，可将 AH ，HD 抹去，简化为图⑶．从 A 到 B 还剩两条路，A →C →O →E →B 用 17 分钟， A →C →O →D →B 用 16 分钟，排除前者，可将 OE ，EB 抹去，简化为图⑷．小明按 A →C →O →D →B 走最快，用 16 分钟．E E E 5 7 7 7 B B GB B 4 O4 4 O 4 4O4 4 6 6D 6D 6D6D5 5O5 C 1 C 1 C 1 C A6 6 AA1A7 F7 FHH⑴ ⑵ ⑶ ⑷10. 由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管．那么从自来水厂到 J村要铺设 10 根细管，自来水厂到 I 村要铺设 9 根细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况．因为粗管是细管价格的 4 倍，如果用细管代替粗管重叠数超过 4 条费用更大，仅在 3 条或 3 条以下才会节约，而细管只能供应一村用水，所以粗管从水厂一直接到 G 村为止，再用三条细管连接 H 、I 、J 三个村，这样费用最低，总费用：8000⨯（30 + 5 + 2 + 4 + 2 + 3 + 2）+ 2000⨯（2⨯3 + 2⨯ 2 + 5）= 414000 (元)． 11. 如果各派 10 辆车分别运渣土和砖，那么每运一车渣土要空车跑回 300 米，每运一车砖则要空车跑回 360 米，这样到完成任务总共空车跑了：300⨯ 60 + 360⨯ 40 = 32400（米）. 如果一辆从从 A→B→C→D→A 跑一圈，那么每运一车渣土，运一车砖要空车跑： 240 + 90 = 330 （米）；因此，先派 20 辆车都从 A 开始运渣土到 B ，再空车开往 C 运砖到 D 后空车返回 A ，这样每辆车跑两圈就完成了运砖任务.然后再派这 20 辆车都从 A 运渣土到 B 再空车返回 A ，则运渣土任务也完成了 . 这时总共空车跑了： 330⨯ 40 + 300⨯ 20 =19200 （米）后一种调运方案比前一种减少跑空车13200 米，这是最佳节油的调运方案. 12. 方法一：本题中虽然上海到汉口的运费最少，只有 3 百元，但是上海到汉口比北京到汉口只节省( 4 - 3 = )1 百元，相比之下，上海到重庆比北京到重庆要节省( 8 - 5 = )3 百元．所以重庆所需台数应由上海尽量满足，即上海的 4 台全部调运重庆，北京再补给重庆 4 台，汉口的 6 台从北京调运．总运费为： 5⨯ 4 + 8⨯ 4 + 4⨯ 6 = 76 (百元)．方法二：本题也可以采用下面的代数方法解决，设北京调运汉口 x 台，调运重庆(10 - x ) 台，则上海应调运汉口( 6 - x )台，调运重庆4 -（6 - x ）= x - 2 (台)，总运费 W = 4x + 8（10 - x ） +3（6 - x ）+ 5（x - 2）= 4x + 80 - 8x +18 - 3x + 5x -10 = 88 - 2x ，因为要使总运费88 - 2x 最小，需要 2x 最大．由于 x 是北京调运汉口的台数，且 x ≤ 6 ，所以当x = 6 时，总运费W = 88 - 2⨯ 6 = 76 (百元)最小．由 x = 6 可知，北京调运汉口 6 台，调运重庆 4 台，上海调运汉口 0 台，调运重庆 4 台． 13.3 次，7、8 计算了 2 次，9、10 计算了 1 次．所以有最短时间为：（1+ 2）⨯5 +（3 + 4）⨯ 4 +（5 + 6）⨯3 +（7 + 8）⨯ 2 +（9 +10）⨯1=125 分钟．14. 由于细管相对于粗管来讲，价钱要少一些，因此先假设都用细管．那么从县城到 A 1 村要铺设 10 根细管，A 1 村到 A 2 村要铺设 9 根细管，依次下去，我们用图表示铺细管的情况．因为粗管每千米 7000 元，细管每千米 2000 元，所以 4 根细管的价钱将大于 1 根粗管的价钱．这样一来，凡是超过 3 根细管的路段，都应改铺粗管．因此，从县城到 A 7 村铺 1 根粗管，A 7 村到 A 8 村铺 3 根细管，A 8 村到 A 9 村铺 2 根细管， A 9 村到 A 10 村铺 1 根细管．总费用为： 7000⨯（30 + 5 + 2 + 4 + 2 + 3 + 2）+ 2000⨯（2⨯3 + 2⨯ 2 + 5⨯1）= 36600 (元)． 15. B ，C ，F 都是 1 个村的出口，而 D,E 是 2 个村的出口，如下图示：1 12 令 F 处的 1 左移到 E ，则 E 处1+ 2 <1+1+ 2 ，则还需继续左移到 D ，此时1+ 2 + 2 >1+1，因此车站应设在 D 处.。

六年级下册数学讲义-奥数讲与练：行程.发车间隔、接送和扶梯问题(ABC级)-全国通用

发车间隔、接送和扶梯问题知识框架一、发车间隔间隔发车问题，只靠空间理想象解稍显困难，证明过程对快速解题没有帮助，但是一旦掌握了3个基本方法，一般问题都可以迎刃而解。

在班车里——即柳卡问题不用基本公式解决，快速的解法是直接画时间——距离图，再画上密密麻麻的交叉线，按要求数交点个数即可完成。

如果不画图，单凭想象似乎对于像我这样的一般人儿来说不容易。

在班车外——联立3个基本公式好使（1）汽车间距=（汽车速度+行人速度）×相遇事件时间间隔（2）汽车间距=（汽车速度-行人速度）×追及事件时间间隔（3）汽车间距=汽车速度×汽车发车时间间隔综上总结发车问题可以总结为如下技巧（1）、一般间隔发车问题。

用3个公式迅速作答；（2）、求到达目的地后相遇和追及的公共汽车的辆数。

标准方法是：画图——尽可能多的列3个好使公式——结合s全程＝v×t-结合植树问题数数。

（3）当出现多次相遇和追及问题——柳卡二、接送问题校车问题——行走过程描述队伍多，校车少，校车来回接送，队伍不断步行和坐车，最终同时到达目的地，即到达目的地的最短时间，不要求证明。

常见接送问题类型根据校车速度（来回不同）、班级速度（不同班不同速）、班数是否变化分类为四种常见题型：（1）车速不变-班速不变-班数2个（最常见）（2）车速不变-班速不变-班数多个（3）车速不变-班速变-班数2个（4）车速变-班速不变-班数2个标准解法：画图＋列3个式子1、总时间=一个队伍坐车的时间+这个队伍步行的时间；2、班车走的总路程；3、一个队伍步行的时间=班车同时出发后回来接它的时间。

三、扶梯问题1、当人顺着扶梯的运动方向走台阶时，相当与流水行船中的“顺水行驶”，这里的水速就是扶梯自身的台阶运行速度。

有：人的速度+扶梯速度=人在扶梯上的实际速度扶梯静止可见台阶总数=时间×人速+时间×扶梯速=人走的台阶数+扶梯自动运行的台阶数2、当人沿着扶梯逆行时，有：人的速度-扶梯速度=人在扶梯上的实际速度扶梯静止可见台阶总数=时间×人速-时间×扶梯速=人走的台阶数-扶梯自动运行的台阶数。

六年级数学统筹与优化

六年级数学（统筹与优化）班级姓名座号成绩[例1]芳芳在一个早晨，要完成这样几件事情所需的时间分别是：起床、穿衣需4 分钟；刷牙、洗脸、整理房间需9分钟；在煤气灶上煮鸡蛋、馏馍10分钟；吃早点需6分钟。

经过合理安排，最少用多少分钟就可以吃完早点去上学？[分析]在煤气灶上煮鸡蛋馏馍时间最长且不需要芳芳去操作，因此在这时间里芳芳可以做别的事情。

[解]：芳芳可以这样安排，先起床、穿衣（需4分钟），然后在煤气灶上煮鸡蛋、馏馍（需10分钟），在煮鸡蛋、馏馍的时候，芳芳可以去刷牙、洗脸、整理房间（需9分钟），等煮好鸡蛋、馏好馍，然后吃早点，这样需时间最短。

这样安排的过程如下图：4分钟10分钟6分钟9分钟所以，最少需要时间4＋10＋6=20（分钟）[例2]在一条笔直的公路上，每隔10千米建有一个粮站，1号粮站存有10吨粮食，2号粮站存有20吨粮食，5号粮站存有40吨粮食，其余两个粮站是空的（如下图），现在想把所有的粮食集中放在一个粮站里，如果每吨粮食运输1千米需运费0.5元，那么集中到几号粮站，所需的运费是最少的？————————————10 20 40[解]1号粮站中10吨粮食往2号粮站存放需运费：10×10×0.5=50（元）2号粮站中20吨粮食往1号粮站存放需运费：20×10×0.5=100（元）二者比较就知道1号粮站的粮食应往2号粮站集中，这是因为2号粮站中粮食更多。

现在认为2号粮站有30吨粮食，而5号粮站有40吨粮食，因此，同样道理，2号粮站的粮食应往5号粮站集中存放，这样所需的运费最省，所需运费是：（10×40＋20×30）×0.5=500（元）练习：1、A、B、C、D、E五人各提一只水桶到同一个自来水龙头前排队打水。

半夜满各自水桶所需的时间依次为4、2、9、5、8分。

A说：“我们都打好水时，所花的总时为28分钟。

”B说：“我们都打好水所用的时间为73分钟。

六年级下册数学试题-相遇和追及(ABC级).(解析版)全国通用

一、相遇甲从A 地到B 地，乙从B 地到A 地，然后两人在途中相遇，实质上是甲和乙一起走了A,B 之间这段路程，如果两人同时出发，那么相遇路程＝甲走的路程+乙走的路程＝甲的速度×相遇时间+乙的速度×相遇时间＝（甲的速度+乙的速度）×相遇时间＝速度和×相遇时间. 一般地，相遇问题的关系式为：速度和×相遇时间=路程和，即=tS V 和和二、追及有两个人同时行走，一个走得快，一个走得慢，当走得慢的在前，走得快的过了一些时间就能追上他.这就产生了“追及问题”.实质上，要算走得快的人在某一段时间内，比走得慢的人多走的路程，也就是要计算两人走的路程之差（追及路程）.如果设甲走得快，乙走得慢，在相同的时间（追及时间）内：追及路程＝甲走的路程-乙走的路程＝甲的速度×追及时间-乙的速度×追及时间＝（甲的速度-乙的速度）×追及时间＝速度差×追及时间.一般地，追击问题有这样的数量关系：追及路程=速度差×追及时间，即=tS V 差差三、在研究追及和相遇问题时，一般都隐含以下两种条件：(1)在整个被研究的运动过程中，2个物体所运行的时间相同 (2)在整个运行过程中，2个物体所走的是同一路径。

⨯⎧⎪÷⎨⎪÷⎩÷⎧⎪⨯⎨⎪÷⎩路程=速度和相遇相遇速度和=路程相遇相遇=路程速度和追及=追及路程速度差追及追及路程=速度差追及速度差=追及路程追及知识框架相遇和追及问题重难点能够解决行程中复杂的相遇与追及问题能够画出多人相遇和追及的示意图并将问题转化多个简单相遇和追及环节进行解题能够利用柳卡图、比例解决多次相遇和追及问题例题精讲一、相遇和追及【例 1】在一条笔直的高速公路上，前面一辆汽车以90千米/小时的速度行驶，后面一辆汽车以108千米/小时的速度行驶．后面的汽车刹车突然失控，向前冲去(车速不变)．在它鸣笛示警后5秒钟撞上了前面的汽车．在这辆车鸣笛时两车相距多少米？【巩固】乙二人同时从A地去B地，甲每分钟行60米，乙每分钟行90米，乙到达B地后立即返回，并与甲相遇，相遇时，甲还需行3分钟才能到达B地，A、B两地相距多少米？【例 2】甲、乙二人分别从山顶和山脚同时出发，沿同一山道行进。

六年级数学优化与统筹(二)

第24讲优化与统筹(二)例1 刘叔叔在星期一、三、五乘公共汽车上下班，星期二、四乘公共汽车上班，搭朋友的小轿车下班回家。

如果刘叔叔乘公共汽车，单程票价是1元，周票是9元，你认为刘叔叔买周票合算还是不买周票合算?为什么?例2某车队的大卡车载重量8吨，耗油量是l5升；小卡车的载重量是2吨，耗油量是4升。

现要装运100吨的货物，用几辆大卡车和几辆小卡车运输耗油量最少?例 3 甲、乙两厂生产某一规格的上衣和长裤，甲厂每月用16天生产上衣，l4天生产长裤，正好配为448套；乙厂每月用12天生产上衣，l8天生产长裤，正好配成720套。

现在两厂合并，每月最多可生产多少套?例4 甲、乙两位探险者要到沙漠深处探险，他们每天可走30千米，已知每人最多可带一个人24天的食物和水，如果允许将部分食物存放在途中，那么其中一个人最多可走入沙漠多少千米? 例5仓库内有一批l4米长的钢材，把它们割成3米长和5米长的各50根。

如果不计损耗，最少要从仓库内取出多少根钢材?1．烧一道菜要七道工序，每道工序所需要的时间是：敲蛋l分钟，洗葱切葱2分钟，打蛋3分钟，洗锅2分钟．烧热锅2分钟，烧热油4分钟，炒蛋4分钟。

你认为做好这道菜最短的时问是多少?2．有l57吨货物要运到A地，大卡车每次载重5吨．耗油l0升；小卡车每次载重2吨，耗油5升。

用大、小卡车各多少辆运输耗油量最少?3．双休日48名学生去公园划船，每只小船坐3人,租金20元；每只大船坐5人，租金30元。

最少要付租金多少元?4．时新服装厂的工人每人每天可生产8件上衣或14条裤子，一件上衣和一条裤子为一套。

现在有154名工人参加生产，每天最多能生产多少套服装?5．李厂长要把一个紧急通知传达给全厂的975名员工，如果用电话联系，每通知1人需1分钟，而见面一次可通知60人，但需要7分钟。

李厂长要在最短的时间里通知完，最少需要多少分钟?6．一个棱长为3厘米的正方体，一只小虫从一个顶点出发沿棱爬行，如果要求不走重复路线，小虫回到起点的最长路线是多少?7．把一块面积为108平方厘米的正方形铁皮做成一个无盖的正方体盒子，这个盒子的表面积最大是多少? 8．一个盒子里装有标号l～100的100张卡片，某人从盒子里随意抽卡片，如果要求取出的卡片中至少有两张卡片的标号之差为5，那么此人至少要抽多少张卡片?9．一只猴子每天吃桃子，如果每天吃的桃子数量互不相同，那么l00个桃子最多够这只猴子吃多少天?10．某种机床，重庆需要8台，武汉需要6台，正好北京有l0台，上海有4台，每台机床的运费如下表：请问应该怎样调度，才能使总运费最节省?。

【小升初】北京版2022-2023学年六年级下册期末数学模拟测试卷ABC三卷(含解析)

【小升初】北京版2022-2023学年六年级下册期末数学模拟测试卷（A 卷）一、选一选1．如果y= 8x ，x 和y （）比例．A ．成正B ．成反C ．没有成2．一个成年人的身高与脚长之比大约为7∶1。

某人脚长26厘米，他的身高大约是（）。

A ．172厘米B ．178厘米C ．182厘米3．电扇厂计划生产电扇100万台，现在生产了120万台，增产百分之几？列式是（）。

A ．1200÷100－1B ．（120－100）÷120C ．（120－100）÷1004．图示为一幅图形的密铺，则此阴影部分的面积和整个图形的面积比为（）。

A ．4∶8B ．4∶1C ．4∶5D ．4∶115．王大伯挖一个底面直径是3m ，深是1.2m 的圆柱体水池。

求这个水池占地多少平方米？实际是求这个水池的（）。

A ．底面积B ．容积C ．表面积D ．体积6．在一幅比例尺是1∶200000的地图上，量得甲、乙两地之间的距离是14.4cm ，如果将甲、乙两地之间的距离画在另一幅比例尺是1∶500000的地图上，应画（）cm 。

A ．5.76B ．7.2C ．11.527．妈妈用24元买了6千克苹果，总价与数量的比的比值是（）．A ．24:6B ．C ．4:1D ．414二、填空题8．甲有图书130本，乙有图书70本，乙给甲________本后，甲与乙的本数比是3：1。

9．圆柱体有上下两个底面，它们是完全相同的两个________。

两底面之间的距离叫做圆柱的________。

10．一个圆柱的底面直径是2分米，表面积是12.56平方分米，高是( )厘米。

11．一根长100cm 的圆柱形木料，沿着木料横截成长短没有同的3个圆柱形，表面积增加，这根圆柱形木料原来一共的体积是( )。

250cm 3cm 12．甲乙两地相距80千米，用1∶400000的比例尺画在图上，图上距离是________厘米．13．一个长方形长是10厘米，宽是8厘米，以宽为轴旋转，得到的圆柱的体积是( )立方分米。

六年级下册数学试题-浓度问题(ABC通用)(解析版)全国通用

知识框架一、基本概念与关系（1）溶质“干货”、“纯货”——被溶解的物质（2）溶剂“溶质之外的物质”——用来溶解溶质的物质（3）溶液溶液=溶质+溶剂——溶质与溶质的混合体（4）浓度——溶质的量占溶液的量的百分比二、基本方法（1）寻找不变量，按基本关系或比例求解（2）浓度三角（如右图所示）（3）列方程或方程组求解重难点（1）重点：浓度问题中的基本关系，不变量的寻找，浓度三角（2）难点：复杂问题中列表法、浓度三角以及方程与方程组的综合运用浓度问题=100%=100%+⨯⨯度度度度度度度度度度度度::乙乙乙乙乙乙乙乙乙乙z-y x-z乙乙乙y %乙乙乙乙乙x 乙乙乙乙z%例题精讲一、抓住不变量和浓度基本关系解决问题【例 1】某种溶液由40克食盐浓度15%的溶液和60克食盐浓度10%的溶液混合后再蒸发50克水得到，那么这种溶液的食盐浓度为多少？【巩固】一容器内有浓度为25％的糖水，若再加入20千克水，则糖水的浓度变为15％，问这个容器内原来含有糖多少千克？【例 2】浓度为20％的糖水40克，要把它变成浓度为40％的糖水，需加多少克糖？【巩固】浓度为10％，重量为80克的糖水中，加入多少克水就能得到浓度为8％的糖水？【例 3】买来蘑菇10千克，含水量为99％，晾晒一会儿后，含水量为98％，问蒸发掉多少水份？【巩固】1000千克葡萄含水率为96.5%，一周后含水率降为96%，这些葡萄的质量减少了千克.【例 4】将含农药的药液，加入一定量的水以后，药液含药，如果再加入同样多的水，药液30%24%含药的百分比是________．【巩固】一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为15%；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为12%，第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为_______%.二、通过浓度三角解决浓度和实际生活中的配比问题【例 5】有浓度为20％的盐水300克，要配制成40％的盐水，需加入浓度为70％的盐水多少克？【巩固】将75％的酒精溶液32克稀释成浓度为40％的稀酒精，需加入水多少克？【例 6】瓶中装有浓度为的酒精溶液克，现在又分别倒入克和克的、两种酒精溶15%1000100400A B 液，瓶中的浓度变成了．已知种酒精溶液浓度是种酒精溶液浓度的倍，那么种酒14%A B2A 精溶液的浓度是百分之几？【巩固】有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为，盐浓度为，乙溶液中的酒精浓度为，盐浓度15%10%45%为．现在有甲溶液千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒5%1精浓度是盐浓度的3倍？【例 7】甲瓶中酒精的浓度为，乙瓶中酒精的浓度为，两瓶酒精混合后的浓度是．如果70%60%66%两瓶酒精各用去升后再混合，则混合后的浓度是．问原来甲、乙两瓶酒精分别有多少566.25%升？【巩固】纯酒精含量分别为、的甲、乙两种酒精混合后的纯酒精含量为．如果每种酒精60%35%40%都多取克，混合后纯酒精的含量变为．求甲、乙两种酒精原有多少克？2045%【例 8】甲种酒精纯酒精含量为，乙种酒精纯酒精含量为，混合后纯酒精含量为．如果72%58%62%每种酒精取的数量比原来都多取升，混合后纯酒精含量为．第一次混合时，甲、乙1563.25%两种酒精均取了多少升？【巩固】甲、乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为的硫酸溶液600千克，乙容器中装8%有浓度为的硫酸溶液400千克．均取多少千克分别放入对方容器中，才能使这两个容器中40%的硫酸溶液的浓度一样？【例 9】某班有学生48人，女生占全班的37.5％，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40％，问转来几名女生？【巩固】小明到商店买红、黑两种笔共66支．红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元．由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价付钱，黑笔按定价付钱，如果他付的钱比按定价少85%80%付了，那么他买了红笔多少支？18%【例 10】有两包糖，第一包糖由奶糖和水果糖组成，其中为奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖组成，其14中为酥糖．将两包糖混合后，水果糖占，那么奶糖与酥糖的比例是________.1578%【巩固】某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件．如果买一件按原定价，买两件降价，买三件降价，最后结算，平均每件恰好按原定价的出售．那么买三件的顾客有10%20%85%多少人？三、综合运用各种方法解决多溶液、多次配比问题【例 11】甲容器中有纯酒精11升，乙容器中有水15升，第一次将甲容器中的一部分纯酒精倒入乙容器，使酒精与水混合。

六年级下册数学试题-小升初专题训练-数论专题(原卷+解析卷)全国通用

整除问题：1. 能同时被2、5、7整除的最大五位数是_____.2. 1至100以内所有不能被3整除的数的和是_____.3. 所有能被3整除的两位数的和是______.4. 已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是_____.5. 形如345612345634563456n 个，且能被11整除的最小自然数中的n 等于_____.合数与质数：6. 在下面算式的方框内，各填入一个互不相同的数字，使得□□□×□=1995成立。

7. 自然数a 乘以2376，正好是自然数b 的平方。

求a 的最小值_____。

9.有一个自然数，它有3个不同的质因数，而有16个约数。

其中一个质因数是两位数，它的数字之和是11，并要求这个质数尽可能大，问这个自然数最小是_____.10.在1～300之间，求出：约数个数正好是15个的自然数_____。

11.在乘积1000×999×998×…×3×2×1 中，末尾连续有_____个零.12.在101与300之间，只有3个约数的自然数有_____个.13.有五个连续的奇数，它们的积为135135，求这五个奇数_____._____._____._____._____.14.把33拆成若干个不同质数之和，如果要使这些质数的积最大，问这几个质数分别是_____.最大公约数与最小公倍数：15.现有4个自然数，它们的和是1111，如果要求这4个数的公约数尽可能地大，那么这4个数的最大公约数是_____.16.设,A B两个数都只含有质因数3和5，它们的最大公约数是75，已知A有12个约数，B有10个约数，那么A、B两数的和等于_____.17.已知两个自然数的差为3，它们的最大公约数与最小公倍数之积为180，求这两个自然数_____.18.所有形如abcabc的六位数，它们的最大公约数是_____.19.三条圆形跑道，圆心都在操场的旗杆处，甲、乙、丙3人分别在里圈、中圈、外圈沿同样的方向跑步. 开始时，3人都在旗杆的正东方向，里圈跑道长15千米，中圈跑道长14千米，外圈跑道长38千米. 甲每小时跑72千米，乙每小时跑4千米，丙每小时跑5千米，问他们同时出发，_____小时后3人第一次同时回到出发点余数问题：20.一班同学买了310个本子，如果分给每个同学相同数量的本子后还余下37本。

小学六年级奥数第十四章统筹问题

第十四章统筹问题知识要点在日常生活和生产中，我们会经常遇到一些事情需要进行合理、科学地安排，既要在指定时间内完成任务，又要考虑到精打细算，用最少的时间、人力、物力，发挥出最大的效率。

这就涉及这一章的知识“统筹问题”。

它包含的内容非常广泛，例如统筹安排问题、排队问题、最短路线问题、场地设置问题、物资调运问题、最省运费问题等等，每类问题都有特定的解法。

这些来源于生活的实际问题，正是启发同学们学数学、用数学最好的思维锻炼题目。

例1 赵乡长下村召集甲、乙、丙、丁四个村的干部开会，这四个村子，每两个村子都是相距5千米(如下图)，参加会议的人数甲村8人，乙村5人，丙村3人，丁村7人。

试求赵乡长应在( )村子召集会议最为合理。

甲村乙村丙村丁村8人 5人 3人 7人点拔要使所有参加会议的人所走路程的总和最小，首先，某村人数是总人数的一半以上，该村就是设置会场的最好地点，这称为“小往大靠”。

其次，某村人数不超过总人数的一半，可以把本村人移到邻近村庄，这称“支往干靠”。

解四村总人数的一半是(8＋5＋3＋7)÷2＝11.5(人)，没有一个村庄的人数多于11.5人，属于“支往干靠”。

甲村人数＋乙村人数＝8＋5＝13(人)丙村人数＋丁村人数＝3＋7＝10(人)因为10＜13，所以“小往大靠”。

显然会议地点应选在乙村最为合理。

例2 天津和广州同时制成大型电子计算机若干台，天津可调往外地12台，广州可调往外地6台。

现决定给成都调去10台，给合肥调去8台，若每台运费如下表所示，问怎样调运运费最省？点拨一依题意，设广州调往合肥x台(x≤6)。

根据题中的相应数量关系列关于总费用的关系式，再通过对最值问题的讨论，则问题易解。

解法一设广州调往合肥x台(1≤6)，则广州调往成都应为(6－x)台，天津调往合肥(8－x)台，天津调往成都12－(8－x)＝(4＋x)台，则总费用为：400x＋600×(6－x)＋500×(8－x)＋900×(4＋x)＝400x－600x－500x＋900x＋3600＋4000＋3600＝200x＋11200要使运费最省，只有当x＝0时，这时总运费为11200元。

六年级下册数学培优讲义- 数论.余数问题(ABC级)(解析版)全国通用

一、带余除法的定义及性质1、定义：一般地,如果a 是整数,b 是整数（b ≠0）,若有a ÷b =q ……r ,也就是a ＝b ×q ＋r ,0≤r ＜b ；我们称上面的除法算式为一个带余除法算式.这里：(1)当0r =时：我们称a 可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或完全商(2)当0r ≠时：我们称a 不可以被b 整除,q 称为a 除以b 的商或不完全商一个完美的带余除法讲解模型:如图这是一堆书,共有a 本,这个a 就可以理解为被除数,现在要求按照b 本一捆打包,那么b 就是除数的角色,经过打包后共打包了c 捆,那么这个c 就是商,最后还剩余d 本,这个d 就是余数.这个图能够让学生清晰的明白带余除法算式中4个量的关系.并且可以看出余数一定要比除数小. 2、余数的性质⑴ 被除数=除数⨯商+余数；除数=（被除数-余数）÷商；商=（被除数-余数）÷除数； ⑵ 余数小于除数．二、三大余数定理：1. 余数的加法定理a 与b 的和除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之和,或这个和除以c 的余数.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23+16＝39除以5的余数等于4,即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之和再除以c 的余数.例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23+19＝42除以5的余数等于3+4=7除以5的余数为2 2. 余数的加法定理a 与b 的差除以c 的余数,等于a ,b 分别除以c 的余数之差.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23－16＝7除以5的余数等于2,两个余数差3 －1知识框架余数问题＝2.当余数的差不够减时时,补上除数再减.例如：23,14除以5的余数分别是3和4,23－14＝9除以5的余数等于4,两个余数差为3＋5－4＝43.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数,等于a,b分别除以c的余数的积,或者这个积除以c所得的余数.例如：23,16除以5的余数分别是3和1,所以23×16除以5的余数等于3×1＝3.当余数的和比除数大时,所求的余数等于余数之积再除以c的余数.例如：23,19除以5的余数分别是3和4,所以23×19除以5的余数等于3×4除以5的余数,即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同,那么n a与n b除以m的余数也相同．三、弃九法原理在公元前9世纪,有个印度数学家名叫花拉子米,写有一本《花拉子米算术》,他们在计算时通常是在一个铺有沙子的土板上进行,由于害怕以前的计算结果丢失而经常检验加法运算是否正确,他们的检验方式是这样进行的：例如：检验算式1234189818922678967178902889923++++=1234除以9的余数为11898除以9的余数为818922除以9的余数为4678967除以9的余数为7178902除以9的余数为0这些余数的和除以9的余数为2而等式右边和除以9的余数为3,那么上面这个算式一定是错的.上述检验方法恰好用到的就是我们前面所讲的余数的加法定理,即如果这个等式是正确的,那么左边几个加数除以9的余数的和再除以9的余数一定与等式右边和除以9的余数相同.而我们在求一个自然数除以9所得的余数时,常常不用去列除法竖式进行计算,只要计算这个自然数的各个位数字之和除以9的余数就可以了,在算的时候往往就是一个9一个9的找并且划去,所以这种方法被称作“弃九法”.所以我们总结出弃九法原理：任何一个整数模9同余于它的各数位上数字之和.以后我们求一个整数被9除的余数,只要先计算这个整数各数位上数字之和,再求这个和被9除的余数即可.利用十进制的这个特性,不仅可以检验几个数相加,对于检验相乘、相除和乘方的结果对不对同样适用注意：弃九法只能知道原题一定是错的或有可能正确,但不能保证一定正确.例如：检验算式9+9=9时,等式两边的除以9的余数都是0,但是显然算式是错误的.但是反过来,如果一个算式一定是正确的,那么它的等式2两端一定满足弃九法的规律.这个思想往往可以帮助我们解决一些较复杂的算式谜问题.四、同余定理1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余数,那么称a、b对于模m同余,用式子表示为：a≡b ( mod m ),左边的式子叫做同余式.同余式读作：a同余于b,模m.2、重要性质及推论：（1）若两个数a,b除以同一个数m得到的余数相同,则a,b的差一定能被m整除例如：17与11除以3的余数都是2,所以1711（）能被3整除．（2）用式子表示为：如果有a≡b ( mod m ),那么一定有a－b＝mk,k是整数,即m|(a－b)3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时,虽然可以用长除法去求得余数,但当被除位数较多时,计算是很麻烦的．建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”,我们希望找到一个较简单的数R,使得：N与R对于除数m同余．由于R是一个较简单的数,所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数．1)整数N被2或5除的余数等于N的个位数被2或5除的余数；2)整数N被4或25除的余数等于N的末两位数被4或25除的余数；3)整数N被8或125除的余数等于N的末三位数被8或125除的余数；4)整数N被3或9除的余数等于其各位数字之和被3或9除的余数；5)整数N被11除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11除的余数；（不够减的话先适当加11的倍数再减）；6)整数N被7,11或13除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节,奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7,11或13除的余数就是原数被7,11或13除的余数．重难点理解余数性质时,要与整除性联系起来,从被除数中减掉余数,那么所得到的差就能够被除数整除了．在一些题目中因为余数的存在,不便于我们计算,去掉余数,回到我们比较熟悉的整除性问题,那么问题就会变得简单了例题精讲【例 1】1013除以一个两位数,余数是12．求出符合条件的所有的两位数．【巩固】一个两位数除310,余数是37,求这样的两位数.【例 2】有一个三位数,其中个位上的数是百位上的数的3倍.且这个三位数除以5余4,除以11余3.这个三位数是_【巩固】一个自然数,除以11时所得到的商和余数是相等的,除以9时所得到的商是余数的3倍,这个自然数是_________.【例 3】甲、乙两数的和是1088,甲数除以乙数商11余32,求甲、乙两数．【巩固】当1991和1769除以某个自然数n,余数分别为2和1．那么,n最小是多少？【例 1】 2000"2"2222个除以13所得余数是_____.【巩固】1996777777 个除以41的余数是多少？【例 4】著名的斐波那契数列是这样的：1、1、2、3、5、8、13、21……这串数列当中第2008个数除以3所得的余数为多少？【巩固】有一列数：1,3,9,25,69,189,517,…其中第一个数是1,第二个数是3,从第三个数起,每个数恰好是前面两个数之和的2倍再加上1,那么这列数中的第2008个数除以6,得到的余数是．【例 5】将从1开始的到103的连续奇数依次写成一个多位数：A ＝13579111315171921……9799101103.则数a 共有_____位,数a 除以9的余数是___.【巩固】将12345678910111213......依次写到第1997个数字,组成一个1997位数,那么此数除以9的余数是________．【例 6】有一个整数,用它去除70,110,160所得到的3个余数之和是50,那么这个整数是______．【巩固】用自然数n去除63,91,129得到的三个余数之和为25,那么n=________．【例 7】在图表的第二行中,恰好填上8998～这十个数,使得每一竖列上下两个因数的乘积除以11所得的余数都是3．【巩固】求478296351⨯⨯除以17的余数．【例 8】求1~2008的所有自然数中,有多少个整数a使2a与2a被7除余数相同？【巩固】今天是星期四,100010天之后将是星期几？【例 9】 2008222008+除以7的余数是多少？【巩固】 ()30313130+被13除所得的余数是多少？【例 10】 3个三位数乘积的算式234235286abc bca cab ⨯⨯= (其中a b c >>), 在校对时,发现右边的积的数字顺序出现错误,但是知道最后一位6是正确的,问原式中的abc 是多少？【巩固】有2个三位数相乘的积是一个五位数,积的后四位是1031,第一个数各个位的数字之和是10,第二个数的各个位数字之和是8,求两个三位数的和.【例 11】某个两位数加上3后被3除余1,加上4后被4除余1,加上5后被5除余1,这个两位数是______.【巩固】有一个自然数,除345和543所得的余数相同,且商相差33．求这个数是多少？【例 12】有一个大于1的整数,除45,59,101所得的余数相同,求这个数.【巩固】有一个整数,除300、262、205得到相同的余数.问这个整数是几?【例 13】一个自然数除429、791、500所得的余数分别是5a 、2a、a,求这个自然数和a的值.【巩固】有3个吉利数888,518,666,用它们分别除以同一个自然数,所得的余数依次为a,a+7,a+10,则这个自然数是_____.【例 14】一个大于10的自然数,除以5余3,除以7余1,除以9余8,那么满足条件的自然数最小为多少？【巩固】一个大于10的数,除以3余1,除以5余2,除以11余7,问满足条件的最小自然数是多少？【随练1】 3782除以某个整数后所得的商恰好是余数的21倍,那么除数最小可能是 .【随练2】199566666667 个的余数是多少？课堂检测【随练3】有一列数排成一行,其中第一个数是3,第二个数是10,从第三个数开始,每个数恰好是前两个数的和,那么第1997个数被3除所得的余数是多少？【随练4】商店里有六箱货物,分别重15,16,18,19,20,31千克,两个顾客买走了其中的五箱．已知一个顾客买的货物重量是另一个顾客的2倍,那么商店剩下的一箱货物重量是________千克．【随练5】求19973的最后两位数．家庭作业【作业1】在大于2009的自然数中,被57除后,商与余数相等的数共有______个.【作业2】有三个自然数a ,b ,c ,已知b 除以a ,得商3余3；c 除以a ,得商9余11.则c 除以b ,得到的余数是 .【作业3】有两个自然数相除,商是17,余数是13,已知被除数、除数、商与余数之和为2113,则被除数是多少？【作业4】已知20082008200820082008a 个,问：a 除以13所得的余数是多少？【作业5】有48本书分给两组小朋友,已知第二组比第一组多5人．如果把书全部分给第一组,那么每人4本,有剩余；每人5本,书不够．如果把书全分给第二组,那么每人3本,有剩余；每人4本,书不够．问：第二组有多少人?【作业6】六张卡片上分别标上1193、1258、1842、1866、1912、2494六个数,甲取3张,乙取2张,丙取1张,结果发现甲、乙各自手中卡片上的数之和一个人是另—个人的2倍,则丙手中卡片上的数是________．(第五届小数报数学竞赛初赛)【作业7】求2461135604711⨯⨯÷的余数．【作业8】12342005+++++除以10所得的余数为多少？12342005【作业9】设20092009的各位数字之和为A,A的各位数字之和为B,B的各位数字之和为C,C的各位数字之和为D,那么D【作业10】在除13511,13903及14589时能剩下相同余数的最大整数是_________．。

六年级下册数学试题-奥数专练：统筹与规划拓展(含答案)全国通用

统筹与规划拓展宇宙之大，粒子之微，火箭之速，化工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，无处不用数学。

人类的一切社会实践活动，既要讲求效率，又要经济，即要在尽可能地节约时间、精力和经费支出的同时，取得在可能范围内的最好效果。

最优化概念反映了人类实践活动中的普遍现象。

最优化问题成为现代应用数学的一个重要课题，它在实际生产、科学研究以及日常生活中均有广泛的应用。

作为热爱数学的少年，接触一些简单的实际问题，了解一些优化的思想是十分有益的。

统筹和规划可以归属于一门称为“运筹学”的范畴，都是用于解决最优化问题，即在一组约束条件下求最大或最小值的问题。

规划论研究的问题主要有两类：一类是确定了一项任务，研究怎样精打细算使用最少的人力、物力、时间去完成它；另一类是在已有一定数量的人力、物力条件下，研究怎样合理安排，使它们发挥最大限度的作用，从而完成最多的任务。

如何求最大值或最小值呢？从有限个数中间，总可以找出一个最大的和一个最小的。

如果一组数个数不多，以至于我们可以一一地写出来，那么凭着观察和比较，便可以找出其中的最大值和最小值，这就是所谓的“穷举法”。

但是如果数的个数太多，或者不容易甚至于不可能一下子写清楚，这时就需要灵活地运用数学基础知识，把实际问题数学化，通过正确的推理，化未知为已知。

例1烤烧饼时，第一面需要烤3分钟，第二面需要烤2分钟，而烤烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼。

要烤3个烧饼至少需要_____分钟。

例2(2003年第十二届日本小学数学奥林匹克大赛高小组预赛第3题)小强、小明、小红和小蓉4个小朋友郊游回家时天色已晚，他们来到一条河的东岸，要通过一座小木桥到西岸，但是他们4个人只有一个手电筒。

由于桥的承重量小，每次只能过2人，因此必须先由2个人拿手电筒过桥，并由1个人将手电筒送回，再由2个人拿手电筒过桥…直到4人都通过小桥。

已知：小强单独过桥要1分钟；小明单独过桥要1.5分钟；小红单独过桥要2分钟；小蓉单独过桥要2.5分钟。

小学奥数系列8-4-1统筹规划(二)及参考答案

小学奥数系列8-4-1统筹规划（二）一、小学奥数系列8-4-1统筹规划（二）1. 在一条公路上，每隔100千米有一座仓库，共有8座，图中数字表示各仓库库存货物的重量（单位：吨），其中C、G为空仓库．现在要把所有的货物集中存入一个仓库里，如果每吨货物运输1千米需要元，那么集中到那个仓库中运费最少，需要多少元运费？2. 一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是50米．第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班……，第5号楼有5名职工在A厂上班．A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？3. 如图是A，B，C，D，E五个村之间的道路示意图，○中数字是各村要上学的学生人数，道路上的数表示两村之间的距离（单位：千米）．现在要在五村之中选一个村建立一所小学．为使所有学生到学校的总距离最短，试确定最合理的方案．4. 有七个村庄，，，分布在公路两侧（见下图），由一些小路与公路相连，要在公路上设一个汽车站，要使汽车站到各村庄的距离和最小，车站应设在哪里？5. 某乡共有六块麦地，每块麦地的产量如右图．试问麦场设在何处最好？（运输总量的千克千米数越小越好．）6. 新建的自来水厂要给沿公路的十个村庄供应自来水（如下图，距离单位为千米），要安装水管有粗细两种选择，粗管足够供应所有村庄使用，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8000元，细管每千米要2000元，如果粗细管适当搭配，互相连接，可以降低费用，怎样安排才能使这项工程费用最低？费用是多少元？7. 有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水．可以用粗、细两种水管，粗管每千米7000元，细管每千米2000元．粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如右图所示（图中单位是千米），现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？8. 北京、洛阳分别有11台和5台完全相同的机器，准备给杭州7台、西安9台，每台机器的运费如右表，如何调运能使总运费最省？9. 北京、上海分别有10台和6台完全相同的机器，准备给武汉11台，西安5台，每台机器的运费如右表，如何调运能使总运费最省？10. 北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本地外，北京可以支援外地10台，上海可以支持外地4台．现决定给重庆8台，汉口6台，若每台计算机的运费如右表，上海和北京制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是多少？11. 北仓库有货物35吨，南仓库有货物25吨，需要运到甲、乙、丙三个工厂中去．其中甲工厂需要28吨，乙工厂需要1 2吨，丙工厂需要20吨．两个仓库与各工厂之间的距离如图所示（单位：公里）．已知运输每吨货物1公里的费用是1元，那么将货物按要求运入各工厂的最小费用是多少元？12. A、B两个粮店分别有70吨和60吨大米，甲、乙、丙三个居民点分别需要30吨、40吨和50吨大米．从A，B两粮店每运1吨大米到三个居民点的运费如右图所示：如何调运才能使运费最少？13. 一支勘探队在五个山头A、B、C、D、E设立了基地，人数如右图所示.为调整使各基地人数相同，如何调动最方便？（调动时不考虑路程远近）14. 下图是一个交通示意图，、、是产地（用●表示，旁边的数字表示产量，单位：吨），、、是销地（用○表示，旁边的数字表示销量，单位：吨），线段旁边有括号的数字表示两地每吨货物的运价，单位：百元（例如与两地，由到或由由到每吨货物运价元）．将产品由产地全部运往销地，怎样调运使运价最小？最小运价是多少？15. 用10尺长的竹竿做原材料，来截取3尺、4尺长的甲、乙两种短竹竿各100根，至少要用去原材料几根？怎么截法最合算？16. 山区有一个工厂．它的十个车间分散在一条环行的铁道上．四列货车在铁道上转圈运送货物。

六年级下册数学试题-统筹与规划(ABC级)(解析版)全国通用

使这项工程费用最低？费用是多少元？
一一一一 30
A
B C DE F G H I巩固】有十个村庄，座落在从县城出发的一条公路上，现要安装水管，从县城供各村自来水．可以用粗、细两种水管，粗管每千米 7000 元，细管每千米 2000 元．粗管足够供应所有各村用水，细管只能供应一个村用水，各村与县城间距离如右图所示(图中单位是千米)，现要求按最节约的方法铺设，总费用是多少？
【巩固】一个工厂有 7 个车间，分散在一条环形铁路上，三列火车循环运输产品．每个车间装卸货物所需工人数为 25、18、27、10、20、15、30．若改为部分工人跟车，部分工人固定在车间，那么安排多少名装卸工，所用总人数最合理？
【例 16】国王准备了 1000 桶酒作庆祝他的生日，可惜在距离生日前十日，国王得知其中有一桶酒被人下毒，若毒服后则正好第 10 日发作．有人提议用死刑犯试毒，问至少需要多少个死刑犯才能保证检验出一桶有毒的酒桶？如何试毒？
800
一一
700
一一 1000 600
【巩固】北京和上海同时制成了电子计算机若干台，除了供应本地外，北京可以支援外地 10 台，上海可以支持外地 4 台．现决定给重庆 8 台，汉口 6 台，若每台计算机的运费如右表，上海和北京制造的机器完全相同，应该怎样调运，才能使总的运费最省？最省的运费是多少？
【巩固】一家人 6 口人，夜间要过一架独木桥，他们仅有一盏油灯照明，借助这盏灯，每次最多两人可以走过独木桥．而这 6 人过桥所需要的时间分别是 1 ， 3 ， 6 ， 8 ， 12 ， 20 分钟，要命的是这盏灯只能点燃 47 分钟了，而没有灯照明，任何人企图过河那是必然跌落到深谷中．
【例 4】有甲、乙两个水龙头，6 个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满 6 个人的水桶所需时间分别是 5 分钟、4 分钟、3 分钟、10 分钟、7 分钟、6 分钟．怎么安排这 6 个人打水，才能使他们等候的总时间最短，最短的时间是多少？

六年级下册数学试题-小升初专题训练：第10讲-图表统筹(无答案)人教版

第十讲材料图表统筹例1一个锐角三角形的三条边的长度都是两位数，而且是三个连续偶数，它们个位数字的和是7的倍数，这个三角形的周长最长应是多少厘米？例2把25拆成若干个正整数的和，使它们的积最大。

例3两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线行驶，每车最多只能带30桶汽油，途中不能用别的油，每桶油可使一辆车前进60公里，两车都必须返回出发地点，但是可以不同时返回，两车相互可借用对方的油．为了使其中一辆车尽可能地远离出发地点，另一辆车应当在离出发地点多少公里的地方返回？离出发地点最远的那辆车一共行驶了多少公里？例4街道旁有ABCDE五栋居民楼(见下图B点为中点)，现在要建立一个邮筒，为使五栋楼的居民到邮筒的距离之和最短，邮筒应建立在何处？例5左图中最上面的小长方体体积是总面积的四分之一，右图是往左图中均匀的注水，注水高度与时间的关系式。

问：1、注满最下面的长方体要多长时间？注满第二个还要多长时间？2、最下面长方体的高是多少？注水速度是多少？3、图形的总高度是多少？注水总时间是多少？例6.甲乙两个伐木工人，一同在森林中工作。

甲带了4个肉饼，乙带了7个肉饼。

当他们坐下来准备吃午饭的时候，一个猎人走过来说：“真糟糕，弟兄们，我在森林中迷路了，这里离村子还很远，请分点食物给我吃吧。

”请坐，呶，没有什么好吃的，不要见怪。

”甲和乙说。

11个肉饼，三个人平均分着吃了。

吃过饭后，猎人在口袋里摸了一阵，摸出一张11元钞票，说·“请不要见怪，弟兄们，我没有再多的钱了，请你们自己分吧。

”猎人走了，两个伐木工却争执起来。

甲说：“我认为，这钱应该平分。

”乙反对，说：“11个肉饼得11元，一个肉饼应得1元。

你是4个肉饼，应该给你4元，我是7个肉饼，应该得七元。

”他们两人谁的算法正确呢？11元应该怎样分才合理？例7 某车间30名工人，计划分工A 、B 两种零件，这些工人按技术平分成甲乙丙三类人员，其中甲类人员有6名，乙类16名，丙类有8名，各类人员每人每天加工两种零件的个数如下表所示。

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