小学数学奥数解题方法技巧第45讲 整数的拆分
组合数学幻灯片44整数的拆分课件
定义4.7 1. 用 Pk(n) 表 示 n 拆 分 成 1,2,… , k 的 允 许 重 复的方法数。 2.用Po(n)表示n拆分成奇整数的方法数。 3.用Pd(n)表示n拆分成不同的整数的方法数。 4.用Pt(n)表示n拆分成2的不同幂(即1,2,4, 8,…)的方法数。
由上面的讨论和定理4.2即可得
,1
x2
1 1
x4 x2
1
x3
1 1
x6 x3
,1
x4
1 1
x8 x4
,
(1
x)(1
x2
)(1
x3
)(1
x4
)
1 x2 1 x
1 1
x4 x2
1 1
x6 x3
1 1
x8 x4
上式的左端正好是Pd(n)的普通母函数(由定理4.3 的推论1),而上式的右端,可将分子分母的所有偶 次幂约去就得到
1 22
1 32
1
1
1 x2 dx
2
故有log f ( x) 2x 1 x
而f ( x) p(n)xn p(n)xn n0
故有log p(n) log f ( x) n log x 2x n log x 1 x
而对于w>1时,有 log w w 1
• 于是有 log x log 1 1 1 1 x
1 (1 x )(1 x3 )(1 x5 )(1 x7 )
这正好是P0(n)的普通母函数(由推论4)。
∴Po(n)=Pd(n)
以上我们证明了把n拆分成奇整数的和的方 式数等于把n拆分成不相同的整数的和的 方式数。
• 7=5+1+1
7=6+1
7=3+3+1
【数学】二年级数学奥数讲座整数的分拆
【关键字】数学二年级整数的分拆例1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏,见下图所示。
他们每人打了两发子弹。
小兵共打中6环,小军共打中5环。
又知没有哪两发子弹打到同一环带内,并且弹无虚发。
你知道他俩打中的都是哪几环吗?解:已知小兵两发子弹打中6环,要求每次打中的环数,可将6分拆6=1+5=2+4;同理,要求小军每次打中的环数,可将5分拆5=1+4=2+3。
由题意:没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发,只可能是:小兵打中的是1环和5环,小军打中的是2环和3环。
例2 某个外星人来到地球上,随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚,如果他想买7分钱的一件商品,他应如何付款?买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢?他又将如何付款?解:这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆。
7=1+2+49=1+810=2+813=1+4+814=2+4+815=1+2+4+8外星人可按以上方式付款。
例3 有人以为8是个吉利数字,他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好。
现有200块糖要分发给一些人,请你帮助想一个吉利的分糖方案。
解:可以这样想:因为200的个位数是0,又知只有5个8相加才能使和的个位数字为0,这就是说,可以把200分成5个数,每个数的个位数字都应是8。
这样由8×5=40及200-40=160,可知再由两个8作十位数字可得80×2=160即可。
最后得到下式:88+88+8+8+8=200。
例4 试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和。
解:1=1×1=12=1(特例)4=2×2=22=1+39=3×3=32=1+3+516=4×4=42=1+3+5+725=5×5=52=1+3+5+7+936=6×6=62=1+3+5+7+9+1149=7×7=72=1+3+5+7+9+11+1364=8×8=82=1+3+5+7+9+11+13+1581=9×9=92=1+3+5+7+9+11+13+15+17100=10×10=102=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数的拆分,就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式,每一种表示方法,就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题,其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中,整数分拆的问题常常以各种形式出现,如,存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1.电视台要播放一部30集电视连续剧,若要求每天安排播出的集数互不相等,则该电视连续剧最多可以播几天?分析与解:由于希望播出的天数尽可能地多,所以,在每天播出的集数互不相等的条件下,每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道,1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1,2,3,4,5,6,7时,那么七天共可播出28集,还剩2集未播出。
由于已有过一天播出2集的情形,因此,这余下的2集不能再单独于一天播出,而只好把它们分到以前的日子,通过改动某一天或某二天播出的集数,来解决这个问题。
例如,各天播出的集数安排为1,2,3,4,5,7,8或1,2,3,4,5,6,9都可以。
所以最多可以播7天。
例2:有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚,用它们去支付2角3分。
问:有多少种不同支付方法?分析与解:要付2角3分钱,最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时,共值12分,所以最少要用3枚5分币。
当使用3枚5分币时,5×3=15,23-15=8,所以使用2分币最多4枚,最少2枚,可有23=15+(2+2+2+2),23=15+(2+2+2+1+1),23=15+(2+2+1+1+1+1),共3种支付方法。
当使用4枚5分币时,5×4=20,23-20=3,所以最多使用1枚2分币,或不使用,从而可有23=20+(2+1),23=20+(1+1+1),共2种支付方法。
总共有5种不同的支付方法。
例3:把37拆成若干个不同的质数之和,有多少种不同的拆法?将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘,得到的乘积中,哪个最小?解:37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23=2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17,共10种不同拆法,其中3×5×29=435最小。
小学奥数数论讲义 3-整数分拆之分类与计数强化篇
整数分拆之分类与计数整数的加法拆分加法拆分定义:把一个自然数拆分成两个或几个连续自然数的和(如3=1+2),或拆分成几个不相同的数的和,这类题目统称为整数的拆分。
加法拆分目的:拆分不是目的,目的是通过分类枚举进行拆分然后进行统计计数。
要求同学不但能够通过拆分解决相关的最大最小问题,同时也能通过拆分解决一些应用问题。
【例1】小兵和小军用玩具枪做打靶游戏,见下图所示。
他们每人打了两发子弹。
小兵共打中6环,小军共打中5环。
又知没有哪两发子弹打到同一环带内,并且弹无虚发。
你知道他俩打中的都是哪几环吗?例1图【巩固】强强和明明两人到游乐园玩射击游戏,如下图他们每人打了两发子弹,均击中了靶子(即无脱靶现象)。
强强两发共打了12环,明明两发共打了8环。
又已知没有哪两发子弹打在同一环中,请你推算一下他俩打中的是哪几环?巩固图【例2】有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和?【巩固】将12拆分成三个不同的自然数相加之和,共有多少种不同的拆分方式,请把它们一一列出。
【例3】有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和?【巩固】按下面的要求,把自然数6进行拆分。
⑴把6拆成几个自然数相加的形式(0除外),共有多少种不同的拆分方法?⑵把6拆成几个不完全相同的自然数相加的形式(0除外),共有多少种不同的拆分方法?⑶把6拆成几个完全不相同的自然数相加的形式(0除外),共有多少种不同的拆分方法?【例4】按下面的要求,把15进行拆分。
⑴将15拆分成不大于9的三个不同的自然数之和,有多少种不同拆分方式,请一一列出。
⑵将15拆分成三个不同的自然数相加之和,共有多少种不同的拆分方式,请一一列出。
【巩固】将15拆分成四个不同的自然数相加之和,共有多少种不同的拆分方式,请把它们一一列出。
【例5】有七个盘子,每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9个梨。
要从这些盘子中取出15个梨,但要求每个盘子中的梨要么都拿,要么都不拿。
数学中的整数分拆
数学中的整数分拆在数学中,整数分拆是一个有趣且重要的概念。
它涉及到将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
整数分拆在代数、组合数学以及数论等领域都有广泛的应用和研究。
本文将介绍整数分拆的基本概念、应用以及一些有趣的性质。
一、基本概念整数分拆即是将一个正整数拆分成若干个正整数之和的过程。
例如,对于整数4,可以将其分拆为1+1+1+1、2+2、1+1+2等不同的方式。
整数分拆的方式可以具有不同的顺序,但只要拆分的数目相同,就属于同一种拆分方式。
通常,我们用P(n)表示一个正整数n的拆分数,P(n)的值表示n的所有拆分方式的总数。
二、应用整数分拆在实际问题中有着广泛的应用。
下面以组合数学为例,介绍一些具体的应用场景。
1. 钱币组合问题假设有不同面额的硬币,例如1元、2元、5元等,我们需要凑出一个特定金额的零钱。
这个问题可以转化为整数分拆的问题。
例如,我们要凑齐10元,可以分解为1+1+1+1+1+1+1+1+1+1、1+1+1+1+1+1+1+1+2、1+1+1+1+1+1+1+2+2等多种方式。
2. 整数拆分问题整数拆分问题是指将一个正整数拆分成若干个正整数之和,并且这些正整数之间没有顺序要求的问题。
例如,将整数4拆分成1+1+1+1、1+1+2、1+3、2+2等都属于整数拆分的方式。
整数拆分问题在计算机科学中有着广泛的应用,例如动态规划算法中的背包问题、分割问题等。
三、性质整数分拆具有很多有趣的性质,下面介绍其中的一些。
1. 奇偶性对于正整数n,其拆分数P(n)具有一定的奇偶性规律。
当n为奇数时,P(n)为奇数;当n为偶数时,P(n)为偶数。
这个结论可以通过归纳法证明。
2. 递推关系正整数n的拆分数P(n)可以通过递推关系计算得到。
具体地,对于正整数m,其拆分数可以通过计算m-1的拆分数、m-2的拆分数等递推得到。
例如,P(5)可以通过计算P(4)、P(3)、P(2)、P(1)的值得到。
3. 生成函数生成函数是一种用于研究组合数学问题的工具。
小学五年级奥数题经典题:整数分拆
小学五年级奥数题经典题:整数分拆整数分拆整数分拆问题是一个古老而又十分有趣的问题。
所谓整数的分拆,就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式,每一种表示方法,便是这个自然数的一个分拆。
整数分拆的要求通常是将一个自然数拆成两个(或两个以上)自然数的和,并使这些自然数的积(或最小);或拆成若干个连续自然数的和等等。
下面举例作出剖析。
例1 将14分拆成两个自然数的和,并使这两个自然数的积,应该如何分拆?分析与解不考虑加数顺序,将14分拆成两个自然数的和,有1+13,2+12,3+11,4+10,5+9,6+8,7+7共七种方法。
经计算,容易得知,将14分拆成7+ 7时,有积7×7=49。
例2 将15分拆成两个自然数的和,并使这两个自然数的积,如何分拆?分析与解不考虑加数顺序,可将15分拆成下列形式的两个自然数的和:1+14,2+13,3+12,4+11,5+10,6+9,7+8。
显见,将15分拆成7+8时,有积7×8=56。
注:从上述两例可见,将一个自然数分拆成两个自然数的和时,如果这个自然数是偶数2m,当分拆成m+m时,有积m×m=m2;如果这个自然数是奇数2m+1,当分拆成m+(m+1)时,有积m×(m+1)。
例3 将14分拆成3个自然数的和,并使这三个自然数的积,如何分拆?分析与解显然,只有使分拆成的数之间的差尽可能地小(比如是0或1),这样得到的积才。
这样不难想到将14分拆成4+5+5时,有积4×5×5=100。
例4 将14分拆成若干个自然数的和,并使这些自然数的积,如何分拆?分析与解首先应该考虑分成哪些数时乘积才能尽可能地大。
首先分拆成的数中不能有1,这是显而易见的。
其次分成的数中不能有大于4的数,不然的话,将这个数再拆成2与另一个自然数的和,这两个数的积一定比原数大。
比如5=2+3,但5比2×3=6小。
又因为4=2×2,所以,能够考虑将14分拆成若干个2或3了。
组合数学课件整数的拆分PPT学习教案
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2.8:整数的拆分
4、用母函数讨论拆分数
例1 求4的拆分数。 解:分析下面的多项式x4项的系数 与4的拆分数的关系.
(1+x+x2+x3+x4…)(1+x2+x4…) (1+x3…)(1+x4…)
4=1+1+1+1,4=2+1+1, 4=2+2,4=3+1, 4=4,
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2.8:整数的拆分
(1)Q(n,n)=1+Q(n,n1Q)(n,m)有以下递归关系 (2)Q(n,m)=Q(n,m-1)+Q(nm,m)
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停止条件:
(1)Q(n,1)= 1
(2)Q(1,m)= 1
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2.8:整数的拆分
int divinteger(int n,int m)
{if (n<1||m<1)
printf(“error”);
推论:如下拆分数相同 (1)正整数n拆分成最多不超过m个数的和的 拆分数, (2)正整数n拆分成最大数不超过m的数的拆 分数。
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2.9 费勒斯(Ferrers)图像
定理2.9.1 如下两种拆分方式的数的是相等的。 (1) 把正整数n拆分成m个数的和的拆分数。
(2)把正整数n拆分成最大数为m的拆分数之和。
组合数学课件整数的拆分
会计学
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2.8:整数的拆分 1、拆分的概念 2、拆分的模型 3、拆分算法:递归实现 4、用母函数讨论拆分数
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2.8:整数的拆分
1、拆分的概念 所谓整数的拆分,是指把一个正整数 拆分成若干正整数的和。不同的拆分法 的数目称为拆分数
三年级数学奥数讲义-整数的分拆(PDF,通用版,无答案)
【例1】(★★) 将12分拆成三个不同的正整数相加之和,共有多少种不同的分拆 方式,请把它们一一列出。
【例2】(★★ ★) 将15分拆成不大于9的三个不同的自然数【0除外】之和有多少种 不同分拆方式,请一一列出。
【例3】(★★★) 古代有孔融让梨的佳话,现在乐乐老师准备在七个装有梨的盘子 中取梨,每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9 个梨.她要从这些盘子中取出15个梨,但要求每个盘子中的梨要么 都拿,要么都不拿。共有多少种不同的拿法?
【本讲总结】 一、概念 整数的拆分: 把一个自然数(0 除外)拆分成几个自然数相加的形式 核心思想: 有序、全面 二、基本型
三、告知最大数
四、求加数的最多个数
五、拆成两个数
1.和一定,差小积大
2.积一定,差小和小
六、拆成多个数,乘积最大
1.相同:3,少2,无1
2.不相同:
2
1
【例4】(★★★) 100这个数最多能写成多少个不同的正整数之和?
【例5】(★★★★) ⑴两个非零自然数的和是14,这两个数分别是多少时,它们的积 最大?最大是多少? ⑵两个自然数的积为40,这两个数分别为多少时,它 们的和最小? 最小为多少?这两个数分别为多时, 它们的和最大,最大是多 少?
【拓展】(★★★) 电视台要播放一部30集电视连续剧,若要求每天安排播出的集数互 不相等,则该电视连续剧最多可以播几天?
【例6】(★★★★★) ⑴将10分成若干个自然数的和(允许有相同的),使得 这些自然数 的乘积达到最大,这个乘积是什么? ⑵将10分成若干个自然数的和(不允许有相同的),使得这些自然 数的乘积达到最大,这个乘积是什么? ⑶将13分成若干个自然数的和(不允许有相同的),使得这些自然 数的乘积达到最大,这个乘积是什么?
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆
小学奥数知识点趣味学习——整数的分拆整数分拆内容概述:1.一般的有,把一个整数表示成两个数相加,当两个数相近或相等的时候,乘积最大。
也就是把整数分拆成两个相等或者相差1的两个整数。
2.一般的有,把自然数m分成n个自然数的和,使其乘积最大,则先把m进行对n的带余除法,表示成m=np+r,则分成r个(p+1),(n-r)个P。
3.把自然数S (S>1)分拆为若干个自然数的和(没有给定是几个),则分开的数当中最多有两个2,其他的都是3,这样它们的乘积最大。
4.把自然数分成若干个互不相等的整数,则先把它表示成2+3+4+5+…+n形式,当和等于原数则可以,若不然,比原数大多少除去等于它们差的那个自然数。
如果仅大于1,则除去2,再把最大的那个数加1。
5.若自然数N有k个大于1的奇约数,则N共有k种表示为两个或两个以上连续自然数之和的方法。
即当有m个奇约数表示的乘积,则有奇约数个奇约数。
6.共轭分拆.我们通过下面一个例子来说明共轭分拆:如:10=4+2+2+1+1,我们画出示意图,我们将其翻转(将图左上到右下的对角线翻转即得到):,可以对应的写成5+3+l+1,也是等于10,即是10的另一种分拆方式。
我们把这两种有关联的分拆方式称为互为共轭分拆。
典型例题:1.写出13=1+3+4+5的共轭分拆。
【分析与解】画出示意图,翻转得到,对应写为4+3+3+2+1=13,即为13=1+3+4+5的共轭分拆。
2.电视台要播出一部30集电视连续剧,若要每天安排播出的集数互不相等。
则该电视连续剧最多可以播出几天?【分析与解】由于希望播出的天数尽可能地多,若要满足每天播出的集数互不相等的条件下,每天播出的集数应尽可能地少。
选择从1开始若干连续整数的和与30最接近(小于30)的情况为1+2+3+4+5+6+7=28,现在就可以播出7天,还剩下2集,由于已经有2集这种情况,就是把2集分配到7天当中又没有引起与其他的几天里播出的集数相同.于是只能选择从后加.即把30表示成:30=1+2+3+4+5+6+9或30=1+2+3+4+5+7+8即最多可以播出7天。
小学奥数解题技巧:整数拆分
小学奥数解题技巧:整数拆分
小学奥数解题技巧:整数拆分
导语:整数拆分是小学奥数数论模块的重要知识点,小学奥数题所谓整数拆分就是把把一个自然数(0除外)拆成几个大于0的自然数相加的`形式。
下面小编为您收集整理了关于整数拆分的奥数解题技巧,希望对您有帮助!
一、概念:
把一个自然数(0除外)拆成几个大于0的自然数相加的形式。
二、类型----方法
1、基本型
2、造数型
3、求加数最多
方法:1+2+3+……接近结果但是不超过已知数为止,再补差
4、两数型
(1)和不变:差小积大,差大积小
(2)积不变:差大和大,差小和小
5、拆数型
积最大(1)允许相同:多3少2没有1
(2)不允许相同:从2连续拆分2+3+4+……刚好超过目标数为止
1)超几就去几
2)多1去2,差1补尾
三年级小学奥数题及解析:裂项与拆分
有40枚棋子分别放入8个盒子里,要使每个盒子里都有棋子,那么其中的一个盒子里,最多能有多少棋子?
考点:整数的裂项与拆分.
分析:要使每个盒子里都有棋子,那么每个盒子里面至少有1个球,即40=1+1+1+1+1+1+1+33,所以最多的盒子里面有33个球.
解答:解:因为要使每个盒子里都有棋子,那么每个盒子里面至少有1个球,而要使其中的一个盒子的球最多,则另外的7个盒子里
面的球分别为1,
即40=1+1+1+1+1+1+1+33,所以最多的盒子里面有33个球.
答:其中的一个盒子里,最多能有33枚棋子.
奥数题点评:关键是理解题意得出7个盒子里面的球分别为1,求出最多的盒子里面球的个数.。
整数分拆
整数分拆(严格地讲是自然数分拆)形式多样,解法也很多。
下面谈谈如何利用确定“中间数”法解将一个整数分拆成若干个连续数的问题。
那么什么是“中间数”呢?其实这里的“中间数”也就是平均数。
有的“中间数”是答数中的一个,如:1、2、3、4、5中的“3”便是;也有的“中间数”是为了解题方便虚拟的,并不是答数中的一个,如:4、5、6、7这四个数的“中间数”即为“5.5”。
由此我们可知,奇数个连续自然数的“中间数”是一个整数,而偶数个连续自然数的“中间数”则为小数,并且是某个数的一半。
下面利用这种方法解几道题:一、把一个自然数分拆成指定个数的连续数的和的问题。
例1、把2000分成25个连续偶数的和,这25个数分别什么?分析与解:这道题如果一个一个地试,岂不是很麻烦,我们先求中间数:2000÷25=80,那么80的左边有12个数,右边也有12个数,再加上80本身,正好是25个数,我们又知相邻两个偶数相差2,那么这25个偶数中最小的便为:80—12×2=56,最大的为:80+12×2=104,故所求的这25个数为:56、58、………、80、………、102、104。
例2、把105分成10个连续自然数的和,这10个自然数分别是多少?分析与解:我们仿照例1的办法先求中间数:105÷10=10.5,“10.5”这个数是小数,并不是自然数,很明显“10.5”不是所求的数中的一个,但我们可以把10.5“虚拟”为所求的数中的一个,这样也就是10.5左边有5个数,右边也有5个数,距离10.5最近的分别是10、11,这10个数分别是:6、7、8、9、10、(10.5)、11、12、13、14、15。
二、把一个自然数分拆成若干个自然数的和的形式。
例3、84分拆成2个或2个以上连续自然数的和,有几种?分别是多少?分析与解:此题看上去无从下手解答。
我们先把84分解质因数,84=2×2×3×7由分解式可以看出,84的不同质因数有2、3、7,这就说明能把84分拆成2、3、7的倍数个不同连续自然数的和,但是我们必须明确,有的个数是不符合要求的,例如把84分拆成2个连续自然数的和,无论如何是办不到的,那么我们不妨把其分拆为3、7、8(2×2×2)个连续自然数的和。
整数拆分题目
整数拆分题目(最新版)目录1.整数拆分题目的概念与意义2.整数拆分题目的解题思路与方法3.整数拆分题目的实际应用案例4.整数拆分题目的拓展与提高正文一、整数拆分题目的概念与意义整数拆分题目是数学领域中的一类问题,主要涉及到如何将一个整数拆分成若干个整数的和。
这类题目在各种数学竞赛、考试中都有出现,对于培养学生的逻辑思维能力、分析问题和解决问题的能力具有重要意义。
二、整数拆分题目的解题思路与方法1.穷举法:对于一些简单的整数拆分题目,可以通过穷举法找到答案。
即尝试将整数拆分成若干个整数的和,直到找到符合条件的拆分方法为止。
2.递推法:对于一些较复杂的整数拆分题目,可以通过递推法求解。
即先找到一个初始的拆分方法,然后根据题目的条件,递推找到更优的拆分方法。
3.构造法:对于一些特殊的整数拆分题目,可以通过构造法求解。
即通过创造一些新的数或者式子,使得问题得以简化,从而找到拆分方法。
4.利用数学定理和性质:在解决整数拆分题目时,还可以运用一些数学定理和性质,如抽屉原理、裴蜀定理等,以提高解题效率。
三、整数拆分题目的实际应用案例例如,有一个整数 100,需要拆分成若干个整数的和,使得这些整数都是 1 到 10 之间的数,问如何拆分?通过穷举法、递推法或构造法,可以找到一个符合条件的拆分方法,即 100 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 +7 + 8 + 9 + 10。
四、整数拆分题目的拓展与提高1.拓展到有理数拆分问题:在整数拆分题目的基础上,可以将问题拓展到有理数领域,即如何将一个有理数拆分成若干个有理数的和。
2.限制条件:在整数拆分题目中,可以增加一些限制条件,如拆分后的整数必须满足一定的顺序、不能重复使用等,以提高题目的难度。
2019-2020年二年级数学 奥数讲座 整数的分拆
2019-2020年二年级数学奥数讲座整数的分拆例1 小兵和小军用玩具枪做打靶游戏,见下图所示。
他们每人打了两发子弹。
小兵共打中6环,小军共打中5环。
又知没有哪两发子弹打到同一环带内,并且弹无虚发。
你知道他俩打中的都是哪几环吗?解:已知小兵两发子弹打中6环,要求每次打中的环数,可将6分拆6=1+5=2+4;同理,要求小军每次打中的环数,可将5分拆5=1+4=2+3。
由题意:没有哪两发子弹打到同一环带内并且弹无虚发,只可能是:小兵打中的是1环和5环,小军打中的是2环和3环。
例2 某个外星人来到地球上,随身带有本星球上的硬币1分、2分、4分、8分各一枚,如果他想买7分钱的一件商品,他应如何付款?买9分、10分、13分、14分和15分的商品呢?他又将如何付款?解:这道题目的实质是要求把7、9、10、13、14、15各数按1、2、4、8进行分拆。
7=1+2+49=1+810=2+813=1+4+814=2+4+815=1+2+4+8外星人可按以上方式付款。
例3 有人以为8是个吉利数字,他们得到的东西的数量都能要够用“8”表示才好。
现有200块糖要分发给一些人,请你帮助想一个吉利的分糖方案。
解:可以这样想:因为200的个位数是0,又知只有5个8相加才能使和的个位数字为0,这就是说,可以把200分成5个数,每个数的个位数字都应是8。
这样由8×5=40及200-40=160,可知再由两个8作十位数字可得80×2=160即可。
最后得到下式:88+88+8+8+8=200。
例4 试将100以内的完全平方数分拆成从1开始的一串奇数之和。
解:1=1×1=12=1(特例)4=2×2=22=1+39=3×3=32=1+3+516=4×4=42=1+3+5+725=5×5=52=1+3+5+7+936=6×6=62=1+3+5+7+9+1149=7×7=72=1+3+5+7+9+11+1364=8×8=82=1+3+5+7+9+11+13+1581=9×9=92=1+3+5+7+9+11+13+15+17100=10×10=102=1+3+5+7+9+11+13+15+17+19。
小学奥数 整数分拆与不定方程
整数分拆与不定方程【内容概述】整数分拆:就是把一个自然数表示为若干个自然数的和的形式,每一种表示方法,及时自然数的一个分拆。
不定方程:含有未知数的等式叫做方程,对一个方程而言,若未知数的个数超过一个,统称为不定方程。
整数的分拆:例1 电视台要播出一部30集的电视连续剧,若要每天安排的集数互不相等,则该电视连续剧最多可以播出几天?例2 把12分拆成两个自然数的和,再求出这两个自然数的积,要使这个积最大,应该如何分拆?例3 试把1999分拆成8个自然数之和,使其乘积最大。
例4 把14分拆成若干个自然数之和,再求出这些数的积,要使得到的积最大,应该把14如何分拆?这个最大的乘积应该是多少?例5 将35拆成若干个互不相等的自然数之和,且使这些自然数的乘积最大,该乘积是多少?例6 396拆成若干个连续自然数和的形式,试问有多少种不同的方法?例7 用6米长的篱笆材料在围墙角修建如下图的鸡圈,问鸡圈的长和宽分别是多少时(包括正方形),鸡圈的面积最大?例8 用6米长的篱笆材料靠墙修建如下图的鸡圈,问鸡圈的长和宽分别是多少时(包括正方形),鸡圈的面积最大?不定方程:例1 已知61375=+y x ,请你写出一组整数解。
例2 已知21346=+y x ,请你写出一组整数解。
例3 已知5494563=+y x ,请你写出一组整数解。
例4 求解不定方程5494563=+y x 的解(至少5组)。
运用:例5 中华牌2B 铅笔7角钱一支,2H 铅笔3角钱一支。
高莎莎用5元钱恰好可以买两种铅笔共多少支?例6 庙里有若干个大和尚和若干个小和尚,已知7个大和尚每天共吃41个馒头,29个小和尚每天共吃11个馒头,一天里共吃了722个馒头。
问:庙里至少有多少个和尚?练习:1.将2006分拆成8个自然数和的形式,使其乘积最大。
2.将1976分拆成若干个正整数之和,再将其相乘,试求所有这种乘积中的最大值。
3.将16分拆成若干个整数和的形式,再将其相乘,试求所有这种乘积中的最大值。
整数拆分算法
整数拆分算法
1.贪心算法:每次将当前的数尽可能地拆成小的数,直到不能再继续拆分为止。
2. 动态规划算法:将正整数拆分为多个数时,可以将其拆分为两部分,一部分为最小值,另一部分为剩余部分的最大值。
然后对于剩余部分进行拆分,直到不能再拆分为止。
3. 回溯算法:以深度优先搜索的方式枚举所有可能的拆分方案,找到满足条件的拆分方案。
以上算法各有优缺点,在不同的应用场景中选择不同的算法可以得到更好的效果。
同时,对于大规模的整数拆分问题,还需要使用一些高效的数学算法来优化算法的时间和空间复杂度,以提高算法的效率。
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小学奥数数论讲义 4-整数分拆之最值与应用强化篇
整数分拆之最值与应用一、拆分的基础知识整数的拆分问题常常以计数问题、最值问题等形式出现,因此除了掌握有关的等差数列、数的整除、平均数等基本知识外,还要求掌握加法原理、乘法原理、枚举法、筛选法等基本的记数原理和方法。
二、拆分基本方法1.题目要求拆质数且乘积最大——若可以拆相同的数字就按照“多拆3,少拆2,不拆1——拆分后乘积最大”原则。
2.若题目要求拆成若干个互不相同的自然数之和——要求这些自然数的乘积尽量大应将数列拆分成:a=2+3+4+…的形式,但是实际计算的时候会发现一般不能拆成恰好相同,则:⑴当多0时,将a拆成a=2+3+4+…+ (n-1)+n;⑵当多1时,将a拆成a=3+4+5+…+ (n-1)+( n-1);⑶当多2,3,…,n-1中的数时,就将该数从2,3,…,n-1,n中删除,其余数即为所拆之数。
例如:将30拆成若干个互不相同的自然数之和,要求这些自然数的乘积尽量大,应怎样拆?2+3+4+5+6+7+8=35比30大5,故将5去掉30被拆成2+3+4+6+7+8【例1】将15拆分成2个数的和,并且使这2个数的乘积最大,应该怎样拆分?最大值是多少?【巩固1】把11拆分成两个自然数的和,再求出这两个自然数的积,要使这个积最大,应该如何拆分?【巩固2】试把14拆分为两个自然数之和,使它们的乘积最大。
【例2】试把14拆分为3个自然数之和,使它们的乘积最大。
【巩固】试把19拆分为3个自然数之和,使它们的乘积最大。
【例3】试把1999拆分为8个自然数的和,使其乘积最大。
【巩固】试把1553拆分为6个自然数的和,使其乘积最大。
【例4】将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形,共有种不同的做法,其中面积最大的是哪一种长方形?【巩固】有长方形和正方形三块地。
它们的周长是100米,它们的一条边长分别是30米,28米和25米。
这三块中哪一块地最大?面积是多少?【例5】把14拆分成若干个自然数的和,再求出这些数的积,要使得到的积最大,应该把14如何拆分?这个最大的乘积是多少?【巩固】分别拆分2001、1994、1993三个数,使拆分后的积最大。
4年级整数的分拆
4年级整数的分拆《4 年级整数的分拆》在 4 年级的数学学习中,整数的分拆是一个很有趣也很重要的知识点。
它就像是一个神奇的魔法,能把一个整数变成不同的组合,帮助我们更好地理解数字之间的关系。
整数分拆,简单来说,就是把一个整数写成几个整数相加的形式。
比如说,把 5 这个整数进行分拆,可以写成 1 + 4、2 + 3、1 + 1 + 3、1 + 2 + 2 等等。
为什么要学习整数分拆呢?这可有着不少用处呢!首先,它能帮助我们锻炼思维能力,让我们学会从不同的角度去看待一个数字。
其次,在解决一些实际问题的时候,比如计算组合的可能性,整数分拆就派上大用场啦。
那我们来看看整数分拆有哪些方法和技巧。
一种常见的方法是从最小的数开始逐步增加。
就拿 6 来举例吧,如果从 1 开始,我们可以得到 1 + 5、2 + 4、3 + 3。
然后再考虑包含两个以上数字相加的情况,比如 1 + 1 + 4、1 + 2 + 3、2 + 2 + 2 等等。
还有一种方法是按照一定的顺序来分拆。
比如说,我们可以先把整数平均分成两份,如果能整除,那就得到一种分拆。
如果不能整除,就把余数依次加到其中一份上,这样也能得到不同的分拆方式。
在进行整数分拆的时候,我们要注意一些问题。
首先,要确保分拆的结果都是整数,不能有小数或者分数。
其次,每个分拆的数字都不能重复。
下面我们通过一些具体的例子来加深对整数分拆的理解。
假设我们要把 8 进行分拆。
按照从小到大的顺序,我们可以得到 1+ 7、2 + 6、3 + 5、4 + 4。
然后再考虑三个数字相加的情况,有 1+ 1 + 6、1 + 2 + 5、1 + 3 + 4、2 + 2 + 4、2 + 3 + 3 。
再比如把 10 进行分拆,我们能得到 1 + 9、2 + 8、3 + 7、4 + 6、5 + 5 。
三个数字相加的有 1 + 1 + 8、1 + 2 + 7、1 + 3 + 6、1 +4 + 5、2 + 2 + 6、2 + 3 + 5、2 + 4 + 4、3 + 3 + 4 。
(完整版)小学奥数09数的拆分
1。
7数的拆分1.7.1整数的拆分整数的拆分,就是把一个自然数表示成为若干个自然数的和的形式,每一种表示方法,就是自然数的一个分拆。
整数的分拆是古老而又有趣的问题,其中最著名的是哥德巴赫猜想。
在国内外数学竞赛中,整数分拆的问题常常以各种形式出现,如,存在性问题、计数问题、最优化问题等。
例1 电视台要播放一部30集电视连续剧,若要求每天安排播出的集数互不相等,则该电视连续剧最多可以播几天?分析与解:由于希望播出的天数尽可能地多,所以,在每天播出的集数互不相等的条件下,每天播放的集数应尽可能地少。
我们知道,1+2+3+4+5+6+7=28。
如果各天播出的集数分别为1,2,3,4,5,6,7时,那么七天共可播出28集,还剩2集未播出.由于已有过一天播出2集的情形,因此,这余下的2集不能再单独于一天播出,而只好把它们分到以前的日子,通过改动某一天或某二天播出的集数,来解决这个问题。
例如,各天播出的集数安排为1,2,3,4,5,7,8或1,2,3,4,5,6,9都可以.所以最多可以播7天。
例2 有面值为1分、2分、5分的硬币各4枚,用它们去支付2角3分。
问:有多少种不同支付方法?分析与解:要付2角3分钱,最多只能使用4枚5分币。
因为全部1分和2分币都用上时,共值12分,所以最少要用3枚5分币.当使用3枚5分币时,5×3=15,23—15=8,所以使用2分币最多4枚,最少2枚,可有23=15+(2+2+2+2),23=15+(2+2+2+1+1),23=15+(2+2+1+1+1+1),共3种支付方法。
当使用4枚5分币时,5×4=20,23—20=3,所以最多使用1枚2分币,或不使用,从而可有23=20+(2+1),23=20+(1+1+1),共2种支付方法。
总共有5种不同的支付方法。
例3 把37拆成若干个不同的质数之和,有多少种不同的拆法?将每一种拆法中所拆出的那些质数相乘,得到的乘积中,哪个最小?解:37=3+5+29=2+5+7+23=3+11+23 =2+3+13+19=5+13+19=7+11+19=2+5+11+19=7+13+17=2+5+13+17=2+7+11+17,共10种不同拆法,其中3×5×29=435最小。
小学奥数数论讲义 3-整数分拆之分类与计数强化篇
整数的加法拆分加法拆分定义:把一个自然数拆分成两个或几个连续自然数的和(如3=1+2),或拆分成几个不相同的数的和,这类题目统称为整数的拆分。
加法拆分目的:拆分不是目的,目的是通过分类枚举进行拆分然后进行统计计数。
要求同学不但能够通过拆分解决相关的最大最小问题,同时也能通过拆分解决一些应用问题。
【例1】小兵和小军用玩具枪做打靶游戏,见下图所示。
他们每人打了两发子弹。
小兵共打中6环,小军共打中5环。
又知没有哪两发子弹打到同一环带内,并且弹无虚发。
你知道他俩打中的都是哪几环吗?【巩固】强强和明明两人到游乐园玩射击游戏,如下图他们每人打了两发子弹,均击中了靶子(即无脱靶现象)。
强强两发共打了12环,明明两发共打了8环。
又已知没有哪两发子弹打在同一环中,请你推算一下他俩打中的是哪几环?整数分拆之分类与计数例1图巩固图【例2】有多少种方法可以把1994表示为两个自然数之和?【巩固】将12拆分成三个不同的自然数相加之和,共有多少种不同的拆分方式,请把它们一一列出。
【例3】有多少种方法可以把6表示为若干个自然数之和?【巩固】按下面的要求,把自然数6进行拆分。
⑴把6拆成几个自然数相加的形式(0除外),共有多少种不同的拆分方法?⑵把6拆成几个不完全相同的自然数相加的形式(0除外),共有多少种不同的拆分方法?⑶把6拆成几个完全不相同的自然数相加的形式(0除外),共有多少种不同的拆分方法?【例4】按下面的要求,把15进行拆分。
⑴将15拆分成不大于9的三个不同的自然数之和,有多少种不同拆分方式,请一一列出。
⑵将15拆分成三个不同的自然数相加之和,共有多少种不同的拆分方式,请一一列出。
【巩固】将15拆分成四个不同的自然数相加之和,共有多少种不同的拆分方式,请把它们一一列出。
【例5】有七个盘子,每个盘子中分别装有1个、2个、3个、5个、6个、7个和9个梨。
要从这些盘子中取出15个梨,但要求每个盘子中的梨要么都拿,要么都不拿。
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【例】 几个连续自然数相加,和能等于1991吗?如果能,有几种不 同的答案?写出这些答案;如果不能,说明理由。
讲析:
1991=11×181,它共有(1+1)×(1+1)=4(个)奇约数。 所以,1991可以分成几个连续自然数相加,并且有3种答案。 由1991=1×1991得: 1991=995+996。 由1991=11×181得:
小升初数学 总复习
小学数学奥数解题技巧
第四十五讲 整数的拆分
1
小升初数学解题技巧 第45讲 整数的拆分
【不连续加数拆分】
【例】 将一根长144厘米的铁丝,做成长和宽都是整数的长方形, 共有______种不同的做法?其中面积最大的是哪一种长方形?
讲析:做成的长方形,长与宽的和是
144÷2=72(厘米)。 因为72=1+71=2+70=3+69=……=35+37=36+36, 所以,一共有36种不同的做法。 比较以上每种长方形长与宽的积,可发现:当长与宽都是36厘米时, 面积最大。
所以,要使加数之积最大,加数只能是2和3。 但是,若加数中含有3个2,则不如将它分成2个3。因为2×2×2=8,而 3×3=9。 所以,拆分出的自然数中,至多含有两个2,而其余都是3。 而1992÷3=664。故,这些自然数是664个3。
3
小升初数学解题技巧 第45讲 整数的拆分
【不连续加数拆分】
4
小升初数学解题技巧 第45讲 整数的拆分
【连续加数拆分】
【例】 把945写成连续自然数相加的形式,有多少种? 讲析:
因为945=35×5×7,它共有(5+1)×(1+1)×(1+1)=16(个)奇约数。 所以,945共能分拆成16-1=15(种)不同形式的连续自然数之和。
5
小升初数学解题技巧 第45讲 整数的拆分
…+(80+101) =80+81+……+100+101。
6
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【不连续加数拆分】
【例】 将1992表示成若干个自然数的和,如果要使这些数的乘积最 大,这些自然数是______。
讲析:若把一个整数拆分成几个自然数时,有大于4的数,则把大于4的这
个数再分成一个2与另一个大于2的自然数之和,则这个2与大于2的这个数 的乘积肯定比它大。又如果拆分的数中含有1,则与“乘积最大”不符。
【例】 把50分成4个自然数,使得第一个数乘以2等于第二个数除以 2;第三个数加上2等于第四个数减去2,最多有______种分法。
讲析:设50分成的4个自然数分别是a、b、c、d。
因为a×2=b÷2,则b=4a。所以a、b之和必是5的倍数。 那么,a与b的和是5、10、15、20、25、30、35、40、45。 又因为c+2=d-2,即d=c+4。所以c、d之和加上4之后,必是2的倍数。 则c、d可取的数组有: (40、10),(30、20),(20、30),(10、40)。 由于40÷5=8,40-8=32;(10-4)÷2=3,10-3=7, 得出符合条件的a、b、c、d一组为(8、32、3、7)。 同理得出另外三组为:(6、24、8、12),(4、16、13、17),(2、 8、18、22)。 所以,最多有4种分法。