第一章线性空间

§1.2 线性空间的基、维数与向量的坐标
在线性代数中讨论 n 维向量时，我们曾引进了线性组 合、线性相关(无关)、等价向量组、极大无关组等许多重 要概念, 而这些概念仅与n维向量的加法及数乘有关，所以 不难将它们推广到一般的数域P上的线性空间V。 定义3 设 α1 , α 2 ,
, α r 是向量空间V的r个向量，
性质，在代数中经常是将有共同性质的对象统一 进行讨论。关于数的加、减、乘、除等运算的性 质通常称为数的代数性质。代数所研究的问题主 要涉及数的代数性质，这方面的大部分性质是有 理数、实数、复数的全体所共有的。有时我们还 会碰到一些其它的数的范围，为了方便起见，当 我们把这些数当作一个整体来考虑时，常称它为 一个数的集合，简称数集。有些数集也具有与有 理数、实数、复数的全体所共有的代数性质。为 了讨论中能够把它们统一起来，我们引入一个一 般的概念。
线性空间的基底，维数与坐标 定义6 设V是数域P上一个向量空间.V 中满足下列两个条件 的向量组(α1 , α 2 , , α n ) 叫做V的一个基: （1）α1 , α 2 ,
零向量显然可以由任意一组向量 α1 , α 2 , 表示，因为 0 = 0α1 + 0α 2 +
, α r 线性
+ 0α r .
定义4 设 {α1 , α 2 , , α r }和 {β1 , β 2 ,..., β s } 是向量 空间V的两个向量组,如果每一个 α i都可以由 {β1 , β 2 ,..., β 线 s} α1 , α 2 , ,线性表示 αr 性表示,而每一 β 也可以由 , 那么就 i 说这两个向量组等价. 例 向量组 α1=(1,2,3), α2=(1,0,2) 与向量组β1=(3,4,8), β2=(2,2,5), β3=(0,2,1) 等价.
也是一个数域，但全体整数组成的集合整数集（用 Z来表示）就不是数域,因为不是任意两个整数的 商都是整数。
二 线性空间的基本概念及其性质
我们知道n维向量空间 R n 就是全体n维向量组成的 集合，在其中定义了加法运算和实数与向量的数乘运算， 并且这二种运算满足八条规律。另外，在全体阶实矩阵组 成的集合 R m×n 中，也定义了矩阵的加法运算和实数与矩 阵的数乘运算，且这二种运算满足八条规律。还有很多这 样的例子，从这些例子中可见，所考虑的对象虽然完全不 同，但它们有一个共同点，即它们都具有两种运算：一种 是两个元素之间的加法运算；另一种运算是数与元素之间 的数乘运算，且满足八条规律。我们撇开这些对象的具体 含义，加以抽象化，得到线性空间的概念。 定义2 设 V 是一个非空的集合， P 是一个数域， 在集合 V 中定义两种代数运算, 一种是加法运算, 用 +来 表示; 另一种是数乘运算, 并且这两种运算满足下列八条运 算律：
（1） 零向量0是唯一的. （2） 一个向量的负向量是唯一的. （3） 0α = 0, k 0 = 0, ( −1)α = −α （4）若
kα = 0
，则 k = 0 或 α = 0 。
证明 这里仅证明（1）（3），其余的证明留作练 习。 (1) 设 01 和 0 都是零元素，则由定义中的规律 （3）有： 0 +0 = 0 , 0+0 = 0 ,
( −1)α = −α .
∵ α + (−1)α = (1 + (−1))α = 0α = 0 ∴( −1)α 是 α 的负元素，根据负元素的唯一性得
最后证 k 0 = 0.
k 0 = k (α + ( −α )) = kα + k ( −α ) = kα + k ( −1)α = kα + ( − k )α = ( k + (− k ))α = 0α = 0.
λ1 , λ2 , ⋅⋅⋅, λn为一组互不相
仿照以前的证明，可得以下常用的一些结论 : 1. 单个向量 α 是线性相关的充要条件是 α ＝0; 两个以上的向量 α1 , α 2 , , α r 线性相关的充要条件是 其中一个向量可用其余向量线性表示。 2. 设向量组 {α1 , α 2 ,
{α1 , α 2 ,
, α r }线性无关,而
,α r , β }
线性相关.那么β一定可以由 α1 , α 2 ,
, α r 线性表示.
3. 设向量组 {α1 , α 2 , , α r }线性无关,而且可以被 β 1 , β 2 , , β s 线性表示，则 r ≤ s .由此推出，两个 等价的线性无关向量组必定含有相同个数的向量。
对于通常的向量加法及数与向量的乘法构成一复线性空 间，也可构成一实线性空间。 m× n m × n R 例2 全体 阶实矩阵构成的集合 ，对于矩 阵的加法及数与矩阵的乘法，构成一实线性空间。 例3 所有实系数一元多项式构成的集合 R[ x] ，对于 通常的多项式的加法及实数与多项式的乘法构成一实线性 空间；同样，次数小于n的所有实系数一元多项式添上零 多项式对于 R[ x]n 中的加法与数乘也构成实线性空间, 记为
2
2
∴1 + cos 2 x + (−2) cos 2 x = 0
∴ 根据定义5，向量组 1,cos2 x,cos 2 x 是线性相关 的，但向量组 1,cos2 x,cos 2 x 中任意两个都是线
性无关的。
例 6 在多项式空间 R[x] 中，讨论向量组的线性 关性:
1, x, x ,
解
,x . 2 k + k x + k x + 若 0 1 2
定义5 设α1 , α 2 , , α r 是向量空间V的r个向量。如果存在P中 不全为零的数 k1 , k2 , , kr使得
（3） k1α1 + k2α 2 + + krα r = 0 那么就说 α1 , α 2 , , α r 线性相关.
如果不存在P中不全为零的数 k1 , k2 , , kr 使得等式 （3）成立，换句话说，等式（3）仅当 k1 = k2 = = kr = 0 时才成立，那么就说，向量 α1 , α 2 , , α r 线性无关.
+
a ⊕ b := ab, ∀a, b ∈ R a := a , ∀a, k ∈ R
k
k
Ex 合,即
+
R
∞
表示实数域
R 上的全体无限序列组成的的集 ⎧ ai ∈R, ⎫ ⎪ ∞ ⎪ R = ⎨[a1,a2,a3,⋅⋅⋅] ⎬ i =1,2,3,⋅⋅⋅⎭ ⎪ ⎪ ⎩
在 R ∞ 中定义加法与数乘：
[a1, a2 , a3 , ⋅⋅⋅] + [b1, b2 , b3 , ⋅⋅⋅] = [a1 + b1, a2 + b2 , a3 + b3 , ⋅⋅⋅] k[a1, a2 , a3 , ⋅⋅⋅] = [ka1, ka2 , ka3 , ⋅⋅⋅]
则 R 为实数域 R 上的一个线性空间。 线性空间是从向量空间推广而抽象出来的，因此线性 空间的元素也称为向量，线性空间也称向量空间。从以上 例题可看出，构成线性空间的向量可以是数组、矩阵，也 可以是多项式、函数等，它的含义比原来n维向量要广泛 得多。 从线性空间的定义，可推导出它的一些简单性质。
∞
1 1 1
又
∴
01 = 0
01 + 0 = 0 + 01 ,
象）；
∴ 零元素是唯一
的。 “0”代表不同的对 (注意等号两边的 0 α = 0 （3）先证
对任意 α ∈ V ,
α + 0α = 1α + 0α = (1 + 0)α = 1α = α .
再证 ( −1)α = −α
∴ 0α 是V中的零元素，根据零元素的唯一性得 0α = 0.
a1 , a2 ,
, ar 是数域P中任意r个数. 我们把和
a1α1 + a2α 2 +
+ ar α r
叫做向量 α1 , α 2 ,
, α r的一个向量组合或线性表示. 如果V 中某一向量α可以表示成向量 α1 , α 2 , , α r 的线 性组合，我们也说α可以由 α1 , α 2 , , α r 线性表示.
例 1 全体n维实向量构成的向量空间
源自文库
R n = {(a1 , a 2 ,
n
, a n ) a1 , a 2 ,
, a n ∈ R}
对于通常的向量的加法及数与向量的乘法满足定义2中的 n R 八条规律，因此 是一实线性空间；同样
C = {(c1 , c2 ,
, cn ) c1 , c 2 ,
, c n ∈ C}
例 令P是任意一个数域。P 3中向量 α1=（1,2,3），α2=（2,4,6），α3=（3,6,8）线性相关;而 α1=（1,0,0），α2=（0,1,0），α3=（0,0,1）线性无关。 例 5 在连续函数空间C（R）中，讨论向量组的 线性相关性: 解
1, cos x, cos 2 x.
∵ cos 2 x = 2 cos x − 1
定义1 设P是由一些复数组成的集合，其中包 括0与1。如果P中任意两个数（这两个数可以相 同）的和、差、积、商（除数不为零）仍是P中的 数，那么P就称为一个数域。 例：全体有理数组成的集合、全体实数组成 的集合、全体复数组成的集合都是数域。这三个数 域分别用字母Q、R、C来代表。另外，数集
Q( 3 ) = {a + b 3 a, b ∈ Q}
（1） 加法交换律 （2） 加法结合律
α + β = β +α (α + β ) + γ = α + ( β + γ )
k (α + β ) = k α + k β （8）右分配律 称这样的 V 为数域 P 上的线性空间。在本书中，我们主 要讨论实数域或复数域上的线性空间，分别简称为实线性 空间或复线性空间。
R[ x]n
例4 实数区间 [ a, b]上的所有实值连续函数构成的集 ] 合 C[ a, b，对于通常函数的加法及实数与函数的乘法构成 实线性空间，称之为连续函数空间。记 C ( R ) 为由所有定 义在实数R上的连续函数组成的空间。 Ex 全体正的实数 R 在下面的加法与数乘的定义下 也构成线性空间： +
线性代数与矩阵论
刘彬
南京工业大学理学院
矩阵论是高等学校和研究院、所面向研 究生开设的一门数学基础课。作为数学的一 个重要分支，矩阵理论具有极为丰富的内 容；作为一种基本工具，矩阵理论在数学学 科以及其他科学技术领域都有非常广泛的应 用。特别是计算机的广泛应用为矩阵论的应 用开辟了广阔的前景。例如，系统工程、优 化方法以及稳定性理论等，都与矩阵论有着 密切的联系。从而，使矩阵理论近年来在内 容上有相当大的更新。因此，学习和掌握矩 阵的基本理论与方法，对于研究生来说是必 不可少的。
（3） 零元素 在 V 中存在一个元素 0，使得对 α +0 =α 于任意的 α ∈ V 都有 （4） 负元素 对于 V 中的任意元素 α 都存 在一个元素 β 使得 α+β =0 （5） 1α = α （6）数乘结合律 k (lα ) = ( kl )α （7）左分配律 ( k + l )α = kα + lα
第一章
线性空间
线性空间是我们以前学习过的n维向量空间 的推广和抽象，它不仅在线性代数和矩阵的有关 理论中占有重要的地位，而且它的理论和方法已 经渗透到自然科学和工程技术的许多领域。
§1.1 线性空间的定义和性质
一 数域的概念。 数是数学的一个最基本的概念。我们的讨论 就从这里开始，在历史上，数的概念经历了一个长 期发展的过程，大体上看，是自然数到整数、有理 数、然后是实数、再到复数。这个过程反映了人们 对客观世界认识的不断深入。
k 0 = k1 = k 2 =
2
n −1
+ k n −1 x n −1 = 0
则必有
= k n −1 = 0
∴ 1, x, x 2 ,
Ex
是线性无关的。 ,x R 实数域 R 上的线性空间 R 中，函数组
n −1
e , e , ⋅⋅⋅, e
是一组线性无关的函数，其中 同的实数。
λ1 x
λ2 x
λn x
按照所研究的问题，我们常常需要明确规定 所考虑的数的范围。譬如说，在解决一个实际问 题中列出了一个二次方程，这个方程有没有解就 与未知量所代表的对象有关，也就是与未知量所 允许的取值范围有关。 又如，任意两个整数的商不一定是整数，这 就是说，限制在整数的范围内，除法不是普遍可 以做的，而在有理数范围内，除法总是可以做 的。因此，在数的不同的范围内同一个问题的回 答可能是不同的。我们经常会遇到的数的范围有 全体有理数、全体实数以及全体复数，它们显然 具有一些不同的性质，当然，它们也有很多共同