2020版七年级探究应用新思维10二元一次方程组学生

赵爽是我国三国时期吴国著名的数学家，他曾为《周髀算经》作注，其中有一篇《勾股圆方图注》，总结了我国东汉以来勾股算术的重要成果，在世界上最早给出并证明了有关直角三角形勾、股、弦三边及其和、差关系的二十多个命题．赵爽在《勾股圆方图注》中推导出了二次方程的求根公式．

10．二元一次方程组

二元一次方程组是在一元一次方程的基础上发展的．“消元”是解方程组的基本思想，即通过消去一个未知数，把二元一次方程组转化为一元一次方程来解，代入法和加减法是常见的消元方法．

解未知数系数较大、方程个数较多等复杂的方程组时，常用到整体叠加、整体叠乘、换元转化、辅助引参等技巧方法，这些技巧方法的运用是建立在对方程组系数特点的观察和对方程组整体特征的把握基础上的．

方程组的解是方程组理论中的一个重要概念，代解法、求解法是处理方程组的解的基本方法，对于含有字母系数的二元一次方程组，可进一步探究解的个数、解的特征，基本思路是在消元的基础上，把方程组的解的讨论转化为一元一次方程解的讨论．

问题解决

例1 已知方程组1620224ax by cx y +=-⎧⎨+=-⎩的解应为810x y =⎧⎨=-⎩

，小明解题时把c 抄错了，因此得到的解是12

13x y =⎧⎨=-⎩，则

222a b c ++的值为________．

（“华罗庚金杯”香港中学邀请赛试题）

例2 关于x ，y 的方程组10210x ay bx y ++=⎧⎨-+=⎩

有无数组解，则a 、b 的值为（ ）

A ．0a =，0b =

B ．2a =-，1b =

C ．2a =，1b =-

D ．2a =，1b =

（第19届“希望杯”邀请赛试题）

例3 解下列方程组：

（1）231763172357x y x y +=⎧⎨

+=⎩ （2）1

211631102221x y x y ⎧+=⎪--⎪

⎨⎪-=⎪--⎩

（3）⎩⎨

⎧=++++=+=+==+=+=+1999

...1

...1999199821199919981997433221x x x x x x x x x x x x x x 1998

（第7届“华罗庚金杯”少年数学邀请赛试题）

例4 已知m 是整数，方程组436

626

x y x my -=⎧⎨+=⎩有整数解，求m 的值．

例5 阅读材料：善于思考的小军在解方程组

时，采用了一种“整体代换”的解法：

解：将方程②变形：4x+10y+y=5 即2（2x+5y ）+y=5③ 把方程①带入③得：2×3+y=5，∴y=-1 把y=-1代入①得x=4，∴方程组的解为．

请你解决以下问题：

（1）模仿小军的“整体代换”法解方程组

（2）已知x ，y 满足方程组．

（i ）求x 2+4y 2的值；（ii ）求+的值．

（广东珠海中考题）

叠加、叠乘

叠加、叠乘是指解系数有特点的方程组时，不拘泥于一般意义上的代入或加减，而是从整体上把方程组中的几个方程相加（或相减）或相乘，从而达到简化方程组的目的．

例6 将若干个自然数按某种规律排列，若前8个数依次是1，3，6，10，15，21，28，36，则第50个数是多少？

（世界数学团体锦标赛试题）

数学冲浪

知识技能广场

1．已知24

328a b a b +=⎧⎨+=⎩

，则a b +=_______．

（山东德州中考题）

2．已知关于x,y 的二元一次方程组的解互为相反数，则k 的值为________．

（四川南充中考题）

3．如果()2

230x x y -+-+=，那么()2

x y +的值为________．

（湖北荆州中考题）

4．已知方程组23133530.9a b a b -=⎧⎨+=⎩的解为8.31.2a b =⎧⎨=⎩，则方程组()()()()223113

325130.9x y x y ⎧+--=⎪⎨++-=⎪⎩

的解是______．

（山东枣庄中考题）

5．解方程组274ax y cx dy +=⎧⎨-=⎩时，一学生把a 看错后得到51x y =⎧⎨=⎩

，而正确的解是3

1x y =⎧⎨=-⎩，则a 、c 、d 的值为（ ）

A ．不能确定

B ．3a =，1c =，1d =

C ．c 、d 不能确定，3a =

D ．3a =，2c =，2d =-

（福建福州中考题）

6．已知a ，b 满足方程组⎩

⎨⎧=-=+4312

5b a b a ，则a+b 的值为（ ）

A ．－4

B ．4

C ．－2

D ．2

（广东广州中考题）

7．若关于x 、y 的方程组39

21

ax y x y +=⎧⎨-=⎩无解，则a 的值为（ ）

A ．6-

B ．6

C ．9

D ．30

8．若关于x ，y 的二元一次方程组59x y k

x y k +=⎧⎨-=⎩

的解也是二元一次方程236x y +=的解，则k 的值为（ ）

A ．34-

B ．34

C ．43

D ．4

3

-

（山东中考题）

9．根据要求，解答下列问题

（1）解下列方程组（直接写出方程组的解即可） ①

的解为______ ②

的解为______ ③

的解为______

（2）以上每个方程组的解中，x 值与y 值的大小关系为______． （3）请你构造一个具有以上外形特征的方程组，并直接写出它的解.

（山东滨州中考题）

10．三个学生对问题“若方程组的解是，求方程组的解.”