数形结合思想.ppt
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数学思想方法—数形结合PPT优秀课件
［点评］在确定超越方程的根的个数或含参 数的方程的根的情况时，应由数思形，观 察该方程对应的在同一坐标系中两个函数 图象的交点个数或交点的情况即可；如果 已知含参数的方程的根的情况，应由数思 形，画出该方程对应的函数的示意图，再 由形思数，挖掘出不等式或不等式组，从 而求出参数的取值范围.
题型五：数形结合在解析几何中的应用
恒不成立。
［点评］对于此类不等式问题，用代数方法 难以处理，可将问题等价地转化为函数与 方程的综合问题，构造函数，通过函数思 想方法，结合函数图象来处理．
题型四 ：数形结合在方程中的应用
2 例 4 . 若方程 lg( x 3 x m ) lg( 3 x ) 在 x ( 0 , 3 ) 内
sin x 例 5 . 函数 y 的最大值为 _______, 最小值 ____ 2 cos x
[ 解析 ] sin x y 表示 P (cos x , sin x )与点 A ( 2 ,0 ) 连线的斜率的取值范围 2 cos x 而点 P 在单位圆上，如图。 过点 A 作单位圆的切线 AB 、 AC 。 3 3 易知 k AB , k AC 3 3 为斜率的最大值和最小 值。 。
题型三 ：数形结合在不等式中的应用 2
例 3 . 若 x (1,2) 时，不等式（ x -1) log ax 恒成立，则 a 的取值范围为 __________ _
[ 解析 ] 令 y 1 ( x 1 ) 2 , y 2 log
a
x
(1 ) 若 a 1 , 两函数图象如图所示，
四、 数形结合常见题型：
题型一：数形结合在集合中的应用 例1.设命题甲：0＜x＜3，命题乙：|x－1|＜4， 则甲是乙成立的＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿
数学中考复习：数形结合思想PPT课件
距水平面的高度是4米，离柱子OP的距离为1米。 （1）求这条抛物线的解析式； y
（2）若不计其它因素，水池
A
的半径至少要多少米，才能
使喷出的水流不至于落在池 外？
P 3
4
O 1B 水平面 x
5． 已知一次函数y＝3x/2＋m和 y＝－x/2＋n的图象都经过点A（﹣2，0），且与 y轴分别交于B、C两点，试求△ABC的面积。
∴S△ABC＝1/2×BC×AO＝4
6.某机动车出发前油箱内有42升油，行驶若干小时
后，途中在加油站加油若干升。油箱中余油量Q（升）
与行驶时间t（小时）之间的函数关系如图所示，根
据下图回答问题：
(1)机动车行驶几小时后加油？答：＿5＿小时
(2)加油前余油量Q与行驶时间t的函数关系式
是：＿Q＝＿＿42＿－＿6＿t Q（升）
中考复习
数形结合思想
2024/9/19
1
谈到“数形结合”，大多与函数问 题有关。
函数的解析式和函数的图象分别从
“数”和“形”两方面反应了函数的性 质，
函数的解析式是从数量关系上反应 量与量之间的联系；
函数图象则直观地反应了函数的各
种性质，使抽象的函数关系得到了形象 的显示。
“数形结合思想”就是通过数量与
B、M = 0
C、M < 0
D、不能确定
运用数形结合的方法，将 -1 0 1
x
函数的解析式、图象和性
质三者有机地结合起来
1.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所
示.下列关于a,b,c的条件中，
不正确的是 ( D ) y
(A)a＜0,b＞0,c＜0
(B)b2－4ac＜0
(C)a＋b＋c＜0
数形结合 PPT课件
4、用三角解决几何问题
11
例、如图在 ABC 中，已知 AB AC, CF、BE 分别是AB、AC边上的高， 求证：AB CF AC BE
分析：要证AB CF AC BE
只需证AB ACsin A AC ABsin A 即证AB AC (AB AC)sin A
一、数形结合方法：就是在研究数学问题时，由数思形、 见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。
1、解析几何就是数形结合的光辉典范。 2、三大几何问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角
二、数形结合方法的应用 1、构造几何图形解决代数问题
例1、已知 x, y, z, r 都是正数，并且x2 y2 z2 , z x2 r 2 x2 求证：rz xy
证明：考虑单位正方形ABCD，对角线AC BD 2
AO a 2 b 2 BO (1 b)2 a 2
Aa
D
CO (1 a)2 (1 b)2 DO (1 a)2 b 2 由于AO CO AC BO DO BD
b O
所以原不等式成立，当且仅当AC BD O 时
我国著名数学家华罗庚曾写过一首描写数形结合的诗
数形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
几何代数统一体，永远联系莫分离。
13
2019/9/13
14
由相交弦定理可得(b z)a b(x a)EF AB Q (b y)a b(z a)EF CD R
ax by(1) 即az bx(2)
ay z) b (x y z) 由x y z 0 得a b代入(1)(2)(3)得x y z 即PQR为等边三角形
11
例、如图在 ABC 中，已知 AB AC, CF、BE 分别是AB、AC边上的高， 求证：AB CF AC BE
分析：要证AB CF AC BE
只需证AB ACsin A AC ABsin A 即证AB AC (AB AC)sin A
一、数形结合方法：就是在研究数学问题时，由数思形、 见形思数、数形结合考虑问题的一种思想方法。
1、解析几何就是数形结合的光辉典范。 2、三大几何问题：化圆为方、倍立方体、三等分任意角
二、数形结合方法的应用 1、构造几何图形解决代数问题
例1、已知 x, y, z, r 都是正数，并且x2 y2 z2 , z x2 r 2 x2 求证：rz xy
证明：考虑单位正方形ABCD，对角线AC BD 2
AO a 2 b 2 BO (1 b)2 a 2
Aa
D
CO (1 a)2 (1 b)2 DO (1 a)2 b 2 由于AO CO AC BO DO BD
b O
所以原不等式成立，当且仅当AC BD O 时
我国著名数学家华罗庚曾写过一首描写数形结合的诗
数形本是两依倚，焉能分作两边飞。
数缺形时少直观，形少数时难入微。
数形结合百般好，隔离分家万事休。
几何代数统一体，永远联系莫分离。
13
2019/9/13
14
由相交弦定理可得(b z)a b(x a)EF AB Q (b y)a b(z a)EF CD R
ax by(1) 即az bx(2)
ay z) b (x y z) 由x y z 0 得a b代入(1)(2)(3)得x y z 即PQR为等边三角形
数学数形结合PPT
方法的提升（走心！！！）.
三角形
运算
解三角形 线段、角、 面积… 点的运动轨迹
四边形
坐标系
掌握、运用一些基本图形解决问题
要有意识地强化对基本图形的运用，不断地运用这 些基本图形去发现、描述问题、理解、记忆结果。
双垂图
一线三等角
后语！
反复练习，不一定能保证基础知识与基本
技能的落实；（要做但不用多！） 不断反思，才能真正促进基本能力和思想
中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；
（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何
问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角
函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等．
基本图形
直线形
平面 几何 图形
圆
三角形
关系
三角形 相似变换
运 动
四边形
全等变换
平移
旋转
轴对称
基本图形
直线26
19.16
14.22 1.82 12.55 13.74
0.62
0.79 0.45 0.55 0.53
0.91
0.82 0.70 0.89 0.89
0.48
0.34 0.61 0.45 0.60
关于数形结合思想的考查，对全体考生的区分都比较显著，这部分试题 得满分的人数较少，通过对数形结合的考查，能够有效地区分各个水平考生 的数学素养的高低。
反复练习，不一定能保证基础知识与基本
技能的落实（要做但不用多！）
不断反思，才能真正促进基本能力和思想 方法的提升（走心！！！）
学生面对利用“数形结合”问题时的困惑：
数学语言、数量关系
数 形
几何图形、位置关系
一、以形助数
数形结合思想PPT优秀课件2
∴A1F⊥B1F
(三)利用几何图形的性质解题
例 3 从 过 抛 物 线 x 2 = 2 p y ( p > 0 ) 的 焦 点 F 的 弦 A B 的 端 点 向 准 线 引 垂 线
A A 1 , B B 1 ( A 1 , B 1 是 垂 足 ) .
求 证 ： ⑴ A 1 F ⊥ B 1 F ； ⑵ |F1A| + |F1B|为 定 值 .
一.利用函数图象性质解题
例 1 : 0 . 3 2 ， l o g 2 0 . 3 和 2 0 . 3 三 个 数 之 间 的 大 小 顺 序 是 ( C ) ( A ) 0 . 3 2 < 2 0 . 3 < l o g 2 0 . 3 ( B ) 0 . 3 2 < l o g 2 0 . 3 < 2 0 . 3
(2)解：设A(2ph1,2ph12),B (2ph2,2ph22),(h1<0,h2>0)
则|FA|＝2ph12+
P 2
,
|FB|＝2ph22+
P 2
,
∵AB过焦点F（0，P2 ）
∴kAB=
2ph22-2ph12 2ph2-2ph2
=h2+h1
x2=2py
直线AB方程为：
y-2ph12=(h1+h2)(x-2ph1)
于直线y=kx(y=0)之间时，两线只 y=(x+1)2
有一个交点。
y=kx (y=0)
(x>-1) .
x
O
当直线处于切线位置时，k=4
1
（由上述方程组可得）
所以，的取值范围为k≥4或k<0
(二)利用曲线方程图象的性质解题
数形结合之 精美课件PPT
青 春 风 采
高考总分：
692分(含20分加分) 语文131分 数学145分 英语141分 文综255分
毕业学校：北京二中 报考高校： 北京大学光华管理学院 北京市文科状元 阳光女孩--何旋
来自北京二中，高考成绩672分，还有20 分加分。“何旋给人最深的印象就是她 的笑声，远远的就能听见她的笑声。” 班主任吴京梅说，何旋是个阳光女孩。 “她是学校的摄影记者，非常外向，如 果加上20分的加分，她的成绩应该是 692。”吴老师说，何旋考出好成绩的秘 诀是心态好。“她很自信，也很有爱心。 考试结束后，她还问我怎么给边远地区 的学校捐书”。
上海 2006 高考 理科 状元-武亦 文
武亦文 格致中学理科班学生 班级职务：学习委员 高考志愿：复旦经济 高考成绩：语文127分 数学142分 英语144分 物理145分 综合27分 总分585分
“一分也不能少”
“我坚持做好每天的预习、复习，每 天放学回家看半小时报纸，晚上10： 30休息，感觉很轻松地度过了三年 高中学习。”当得知自己的高考成 绩后，格致中学的武亦文遗憾地说 道，“平时模拟考试时，自己总有 一门满分，这次高考却没有出现， 有些遗憾。”
2
我发现，算式左边的加数是大正方形右上角的小正方形 和其他“L”形图形所包含的小正方形个数之和正好是 每行或每列小正方形个数的平方。
二、探究新知
观察一下，上面的图和下面的算式有 什么关系？把算式补充完整。
1＝ （ 1）
2
（ 2） 1＋3＝
2
（3） 1 ＋3 ＋5 ＝
2
我发现，从1开始的连续奇数的和正好 是这串数个数的平方。
孙老师说，杨蕙心学习效率很高，认真执行老师 的复习要求，往往一个小时能完成别人两三个小 时的作业量，而且计划性强，善于自我调节。此 外，学校还有一群与她实力相当的同学，他们经 常在一起切磋、交流，形成一种良性的竞争氛围。 谈起自己的高考心得，杨蕙心说出了“听话” 两个字。她认为在高三冲刺阶段一定要跟随老师 的脚步。“老师介绍的都是多年积累的学习方法， 肯定是最有益的。”高三紧张的学习中，她常做 的事情就是告诫自己要坚持，不能因为一次考试 成绩就否定自己。高三的几次模拟考试中，她的 成绩一直稳定在年级前5名左右。
数形结合思想在小学数学中的运用PPT幻灯片
几何图形、线段图、数轴、 图 方格纸、 坐标、方向标、 形
示意图、 列表、动画等一系列
16
三、数形结合思想在小学数学教材中的体现 （ 1 ）数的表示 用直线上的点表示数，可以明确地表示出数
的性质（有始无终，有序性等等）；
17
三、数形结合思想在小学数学教材中的体现 （ 1 ）数的表示 用直线上的点表示数，可以明确地表示出数
6
一、修订稿与实验稿的区别——基本理念的修订
基本活动经验：
数学活动经验，不仅仅是解题经 验，更多的是数学思维活动的经 验，数学思考习惯的经验。—— 不断积累！
7
一、修订稿与实验稿的区别——基本理念的修订
4、关于“两能”到“四能”： 实验稿：
重点是分析问题和解决问题的能力
修改稿： 明确提出： 发现和提出问题能力 分析和解决问题能力
利用基本图形、表格、数轴、方格纸等。在教 学中要有意识的强化对基本图形的运用，不断地 运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记 忆结果，这应该成为教学中关注的目标。
32
五、数形结合思想在解题问题中的运用举例
33
数形结合运用（一）质数合数 用两个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个 长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不 同的拼法吗？
（ 3 ）解决问题中的形 ※画线段图表示数量关系。
甲比乙多 1/4 （鼓励学生画）
“1”
乙：
甲：
1 4
23
三、数形结合思想在小学数学教材中的体现 （ 3 ）解决问题中的形 ※解决问题的直观策略
24
三、数形结合思想在小学数学教材中的体现
（ 3 ）统计中的图形 条形统计图直观地反映出数量的多少。 折线统计图形象地表示数量发展的趋势。 扇形统计图鲜明地说明部分数量与整体数量之间的关系。
示意图、 列表、动画等一系列
16
三、数形结合思想在小学数学教材中的体现 （ 1 ）数的表示 用直线上的点表示数，可以明确地表示出数
的性质（有始无终，有序性等等）；
17
三、数形结合思想在小学数学教材中的体现 （ 1 ）数的表示 用直线上的点表示数，可以明确地表示出数
6
一、修订稿与实验稿的区别——基本理念的修订
基本活动经验：
数学活动经验，不仅仅是解题经 验，更多的是数学思维活动的经 验，数学思考习惯的经验。—— 不断积累！
7
一、修订稿与实验稿的区别——基本理念的修订
4、关于“两能”到“四能”： 实验稿：
重点是分析问题和解决问题的能力
修改稿： 明确提出： 发现和提出问题能力 分析和解决问题能力
利用基本图形、表格、数轴、方格纸等。在教 学中要有意识的强化对基本图形的运用，不断地 运用这些基本图形去发现、描述问题，理解、记 忆结果，这应该成为教学中关注的目标。
32
五、数形结合思想在解题问题中的运用举例
33
数形结合运用（一）质数合数 用两个边长为1的正方形，你能用它们拼出一个 长方形吗？你拼的长方形是什么样的？还有不 同的拼法吗？
（ 3 ）解决问题中的形 ※画线段图表示数量关系。
甲比乙多 1/4 （鼓励学生画）
“1”
乙：
甲：
1 4
23
三、数形结合思想在小学数学教材中的体现 （ 3 ）解决问题中的形 ※解决问题的直观策略
24
三、数形结合思想在小学数学教材中的体现
（ 3 ）统计中的图形 条形统计图直观地反映出数量的多少。 折线统计图形象地表示数量发展的趋势。 扇形统计图鲜明地说明部分数量与整体数量之间的关系。
数学思想方法—数形结合优秀课件
总之：
数形结合法
由数到形，由形到数； 由形思数，以数辅形；
数与形的结合；
是代数与几何完美统一的体现；
是平面解析几何的精髓所在。
19、一个人的理想越崇高，生活越纯洁。 20、非淡泊无以明志，非宁静无以致远。 21、理想是反映美的心灵的眼睛。 22、人生最高之理想，在求达于真理。 便有了文明。 24、生当做人杰，死亦为鬼雄。 25、有理想的、充满社会利益的、具有明确目的生活是世界上最美好的和最有意义的生活。 26、人需要理想，但是需要人的符合自然的理想，而不是超自然的理想。 27、生活中没有理想的人，是可怜的。 28、在理想的最美好的世界中，一切都是为美好的目的而设的。 29、理想的人物不仅要在物质需要的满足上，还要在精神旨趣的满足上得到表现。 30、生活不能没有理想。应当有健康的理想，发自内心的理想，来自本国人民的理想。 31、理想是美好的，但没有意志，理想不过是瞬间即逝的彩虹。 32、骐骥一跃，不能十步；驽马十驾，功在不舍；锲而舍之，朽木不折；锲而不舍，金石可镂。——荀况 33、伟大的理想只有经过忘我的斗争和牺牲才能胜利实现。 34、为了将来的美好而牺牲了的人都是尊石质的雕像。 35、理想对我来说，具有一种非凡的魅力。 36、扼杀了理想的人才是最恶的凶手。 37、理想的书籍是智慧的钥匙。 人生的旅途，前途很远，也很暗。然而不要怕，不怕的人的面前才有路。—— 鲁 迅 2 人生像攀登一座山，而找寻出路，却是一种学习的过程，我们应当在这过程中，学习稳定、冷静，学习如何从慌乱中找到生机。 —— 席慕蓉 3 做人也要像蜡烛一样，在有限的一生中有一分热发一分光，给人以光明，给人以温暖。—— 萧楚女 4 所谓天才，只不过是把别人喝咖啡的功夫都用在工作上了。—— 鲁 迅 5 人类的希望像是一颗永恒的星，乌云掩不住它的光芒。特别是在今天，和平不是一个理想，
中考数学专题复习——数形结合思想PPT课件
2 无论 m 为何实数，直线 y ＝ x ＋ 2m 与 y ＝－x＋4的交点不可能在 （ C） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
y
O
x
y＝－x＋4
3 已 知 二 次 函 数 y1 ＝ ax2 ＋ bx ＋ c （a≠0)与一次函数 y2＝kx ＋m(k≠0) 的 图 象 相 交 于 点 A( － 2,4) ， B(8,2) （如图所示），则能使 y1 ＞ y2成立的 x＜－2或x＞8 x的取值范围是＿＿＿＿＿
24 24 18 (3)中途加油＿＿升 (4)如果加油站离 12 目的地还有230公里， 6 车速为40公里/小时， 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 （小时） t
要到达目的地，油箱中的油是否够用？请说明理由 .
7、思考题：
已知：如图，直线y＝－√3 x/3＋1和x 轴、 y 轴分别相交于 A、 B 两点，以线段 AB 为 边在第一象限内作一个等边三角形ABC，点P 在第一象限内，且使△ABP与△ABC的面积相 y 等。（1）求C点坐标； （2）求直线PC的解析式； D （3）若点Q的坐标为 C (√3 m,m2－3),问点Q在 P B x 不在直线PC上？ A E O
2 例3：已知二次函数 y ax bx c 的图象如图所示
1、试判断a , b , c 的符号 2、点（b , 2a-b）在第
二
象限
3、若M= a b c a b c 则 （ A ） A、M > 0 B、 M = 0 C、M < 0 D、不能确定
2a b 2a b y
运用数形结合的方法，将 函数的解析式、图象和性 质三者有机地结合起来
-1
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一、数可以用形来刻画
例1、数轴上的点并不都表示有理数，如图中 数轴上的点P所表示的数是”，这种说明问 题的方式体现的数学思想方法叫做 ( C ) A．代人法 B．换元法 C．数形结合 D．分类讨论
第1题
例2、在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小 正方形（a>b）（如图1），把余下的部分拼成一 个矩形（如图2），根据两个图形中阴影部分的面 积相等，可以验证（ C ） 2 2 2 2 2 2 ( a b ) a 2 ab b ( a b ) a 2 ab b • A. B.
y
O
x
y＝－x＋4
练练手
1．伟伟从学校匀速回家，刚到家发现当晚要完成的 试卷忘记在学校，于是马上以更快的速度匀速沿 原路返回学校．在这一情景中，速度v和时间t的 函数图象(不考虑图象端点情况)大致是( A )
A
B
C
D
2．已知函数y＝x和y＝ x 2 的图象如图所示， 则不等式 x 2 >x的解集为( A ) A．－2≤x<2 B．－2≤x≤2 C．x<2 D．x>2
数形结合的数学思想
永切 远莫 联忘 系几 莫何 分代 离数 统 一 体 , ,
隔 裂 分 家 万 事 非
形 数 结 合 百 般 好
形 少 数 时 难 入 微
数 缺 形 时 少பைடு நூலகம்直 觉
焉 能 分 作 两 边 飞
数 与 形 本 是 相 倚 依
.
,
.
,
.
华罗庚
.
,
数形结合思想
数形结合思想是使抽象的数学语言与直观 的图形结合起来，使抽象思维与形象思维结合 起来。数形结合思想是一种重要的解题思想， 用这种思想指导，一些几何问题可以用代数方 法来处理，一些代数问题又可以用几何图形帮 助解决，最明显地表现是利用直角坐标系将几 何问题与代数问题结合联系起来，“以形助数， 用数解形”。这种思想是近年来中考的热点之 一，也是中考的高档题。
x2
3．如图所示，直线 l1 l2 ，⊙O与直线 l1和直线 l2分别相切于 点A和点B.点M和点N分别是直线 l1 和直线 l2上的动点，MN 沿 l1 和l2 平移．⊙O的半径为1，∠1＝60°.下列结论错误 的是( C )
4 3 A．MN＝ 3 3 B．若MN与⊙O相切，则AM＝ 2 C．若∠MON＝90°， 则MN与⊙O相切 D．直线 l1 和直线 l2的距离为2
M
C
l1 l2
N
课堂小结：
1 你还可以用图形来直观描述初中数学中的某些
概念、法则或公式吗？ 2 你还能举一些从数的角度来说明一些图形特征 的例子吗？ 3 数可以使形更具有说服力，形可以使数更直观 ，把形（数）转化为数（形），数形互补，互换获
得解决相关问题的思路。
思考题
用图形直观表示配方法求一元二次方程 2 x 2 x 24 的正根的过程。(提示：用图形 表示出得到 ( x 1) 2 25 的过程)
x 1 1
x
x
x
• C.a2 b2 (a b)(a b) D. (a 2b)(a b) a2 ab 2b2
a a
b
图1
b
图2
例3 已知二次函数y1＝ax2＋bx＋c（a≠0)与一 次函数 y2 ＝ kx ＋m(k≠0) 的图象相交于点 A( － 2,4)，B(8,2)，则能使y1＞y2成立的x的取值范 围是＿＿＿＿＿ x＜－2或x＞8 y
笛卡儿（Descartes，Rene），1596年3月 31日生于拉埃那，今称拉埃耶一笛卡儿（图 尔附近）1650年2月11日卒于瑞典斯德哥尔 摩。法国哲学家，数学家，物理学家，解析 几何学奠基人之一。他认为数学是其他一切 科学的理论和模型，提出了数学为基础，以 演绎为核心的方法论，对后世的哲学。数学 和自然科学发展起到了巨大的作用。 • 我们现在所用的直角坐标系，通常叫做笛卡 儿直角坐标系。是从笛卡儿引进了直角坐标 系以后，人们才得以用代数的方法研究几何 问题，才建立并完善了解析几何学，才建立 了微积分。
•
例 2.二次函数 y＝ ax2＋bx＋ c的图象如图所示 . 下列关于a,b,c的条件中， 不正确的是 ( D ) y (A)a＜0,b＞0,c＜0 (B)b2－4ac＜0 (C)a＋b＋c＜0 (D)a－b＋c＞0 O x
例3 无论m为何实数，直线y＝x＋2m与 y＝－x＋4的交点不可能在 （ C ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
y2
A
y1
B －2
O
8
x
二、形可以用数来解释
• 例1、假如用一根钢缆沿地球赤道绕1圈， 再把这根钢缆放长10米，这时钢缆和赤道 之间的缝隙可以通过一头牛还是一只老鼠？
解：地球赤道处周长为 3.14×6400000×2=40192000千米 40192000+10=40192010米 40192010÷3.14÷2=6400001.59米 6400001.59-6400000=1.59米 所以钢缆和赤道之间的缝隙可以通过一头牛