专题10 解析几何小题问题之一角度-备战2020年高考数学二轮痛点突破专项归纳与提高(解析版)

备战2020高考数学二轮痛点突破专项归纳与提高

专题10 解析几何小题之一 角度问题

1.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中,当直线l 与x 轴相交时,x 轴 方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°,故直线的倾斜角α的取值范围为 .

【答案】正，0°≤α<180°，k=tan α

2.向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →

＝b ，则 叫做向量a 与b 的夹角，记作 ；向量夹角b a ,的范围是 ，且a b b a ,,=；若2

,π

=b a ，则a 与b ，记作a ⊥b.

【答案】.(1)∠AOB ＝θ，b a ,，],0[π，垂直 3.三角形的内角的性质

（1）一个角为锐角：（2）一个角为直角：（3）一个角为钝角： ①.PA ⊥PB ⇔以AB 为直径的圆过点P ⇔0=⋅； ②∠APB 是钝角⇔点P 在以AB 为直径的圆内⇔0<⋅； ③∠APB 是锐角⇔点P 在以AB 为直径的圆外⇔0>⋅PB PA ； 4.两个角的关系：

（1）两个角相等：cos cos αβαβ=⇔=⇔ 向量转化 （2）两个角互余：12cos tan tan 112

sin k k π

αβαβαβ+=

⇔=⇔=⇔=

（3）两个角互补：12sin tan tan +0sin k k αβπαβαβ+=⇔=⇔=-⇔= 5.椭圆的焦点三角形中角：椭圆上任意一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:12PF F ∆。

性质：1.周长为定值：2()a c +；sin()

sin sin e αβαβ

+=

+

2.12,F PF θ∠=当点P 靠近短轴端点时θ增大，当点P 靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。 类比：(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P 在短轴端点时顶角最大。)

3.三角形面积：212tan 22

S c y c y b θ

=

⨯⨯=⨯=，max ,S bc =即P 与短轴端点重合时面积最大。 4.焦点直角三角形:底角为90︒，有四个(四个全等，P 点为通径端点)

顶角为90︒，即以12F F 为直径的圆与椭圆交点为点P

：(0),02(),22(142b c e b c e b c e ⎧>>>⎪⎪

⎪⎪

==⎨⎪

⎪<>>⎪⎪⎩

个个个 6.双曲线中渐近线的倾斜角：tan b

a

θ=

7.抛物线中过焦点弦的相关角：

(1)弦长l ＝__2p

sin 2θ，__(θ为AB 的倾斜角)．

（2）抛物线中的直角弦：

①抛物线中相对于曲线中心的直角弦：直线l 交)0(22

>=p px y 于A (11,y x )，B (22,y x )两点,O 为原点，若OA OB ⊥，把AB 叫做相对于O 的直角弦，得秒杀结论：

I.直线l 恒过定点()2,0p ,2

214p y y -=，反之亦然。II.AOB ∆面积的最小值为:2

4p ;

1.角的几何意义应用：充分借助三角形中的角，借助正弦定理和余弦定理进行转化；用运动的观点探求角的变化情况，根据几何图形的理解位置确定最值情况.

2.角的代数表达应用：充分利用三角函数的性质将问题角的关系转化，利用坐标运算达到求解目的.利用直线与曲线等联立，借助韦达定理和关系进行探究.

1．（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m

+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠

AMB =120°，则m 的取值范围是

A ．(0,1][9,)+∞U

B ．[9,)+∞U

C ．(0,1][4,)+∞U

D ．[4,)+∞U

【答案】A

【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则

tan 60a

b

≥=o

≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则

tan 60a

b ≥=o ≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U ，选A ． 2．双曲线C :22

221(0,0)x y a b a b

-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为

A ．2sin40°

B ．2cos40°

C ．

1

sin50︒

D ．

1

cos50︒

【答案】D

【解析】由已知可得tan130,tan 50b b

a a

-

=︒∴=︒，

1cos50c e a ∴======︒，故选D ． 3．已知圆()()2

2

:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得

90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）

A ．7

B ．6

C ．5

D ．4

【答案】B

【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.

4．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为

6

的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为

A ．

2

3

B ．

12

C ．

13

D ．

14

【答案】D