专题10 解析几何小题问题之一角度-备战2020年高考数学二轮痛点突破专项归纳与提高(解析版)

备战2020高考数学二轮痛点突破专项归纳与提高专题10 解析几何小题之一 角度问题1.直线的倾斜角：在平面直角坐标系中,当直线l 与x 轴相交时,x 轴 方向与直线l 向上方向之间所成的角α叫做直线l 的倾斜角.当直线l 与x 轴平行或重合时,规定它的倾斜角为0°,故直线的倾斜角α的取值范围为 .【答案】正，0°≤α<180°，k=tan α2.向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →＝b ，则 叫做向量a 与b 的夹角，记作 ；向量夹角b a ,的范围是 ，且a b b a ,,=；若2,π=b a ，则a 与b ，记作a ⊥b.【答案】.(1)∠AOB ＝θ，b a ,，],0[π，垂直 3.三角形的内角的性质（1）一个角为锐角：（2）一个角为直角：（3）一个角为钝角： ①.PA ⊥PB ⇔以AB 为直径的圆过点P ⇔0=⋅； ②∠APB 是钝角⇔点P 在以AB 为直径的圆内⇔0<⋅； ③∠APB 是锐角⇔点P 在以AB 为直径的圆外⇔0>⋅PB PA ； 4.两个角的关系：（1）两个角相等：cos cos αβαβ=⇔=⇔ 向量转化 （2）两个角互余：12cos tan tan 112sin k k παβαβαβ+=⇔=⇔=⇔=（3）两个角互补：12sin tan tan +0sin k k αβπαβαβ+=⇔=⇔=-⇔= 5.椭圆的焦点三角形中角：椭圆上任意一点P 与两焦点1F 、2F 构成的三角形:12PF F ∆。

性质：1.周长为定值：2()a c +；sin()sin sin e αβαβ+=+2.12,F PF θ∠=当点P 靠近短轴端点时θ增大，当点P 靠近长轴端点时θ减小；与短轴端点重合时θ最大。

类比：(注：椭圆中端点三角形(长轴两端点与椭圆上一点构成)当P 在短轴端点时顶角最大。

)3.三角形面积：212tan 22S c y c y b θ=⨯⨯=⨯=，max ,S bc =即P 与短轴端点重合时面积最大。

4.焦点直角三角形:底角为90︒，有四个(四个全等，P 点为通径端点)顶角为90︒，即以12F F 为直径的圆与椭圆交点为点P：(0),02(),22(142b c e b c e b c e ⎧>>>⎪⎪⎪⎪==⎨⎪⎪<>>⎪⎪⎩个个个 6.双曲线中渐近线的倾斜角：tan baθ=7.抛物线中过焦点弦的相关角：(1)弦长l ＝__2psin 2θ，__(θ为AB 的倾斜角)．（2）抛物线中的直角弦：①抛物线中相对于曲线中心的直角弦：直线l 交)0(22>=p px y 于A (11,y x )，B (22,y x )两点,O 为原点，若OA OB ⊥，把AB 叫做相对于O 的直角弦，得秒杀结论：I.直线l 恒过定点()2,0p ,2214p y y -=，反之亦然。

II.AOB ∆面积的最小值为:24p ;1.角的几何意义应用：充分借助三角形中的角，借助正弦定理和余弦定理进行转化；用运动的观点探求角的变化情况，根据几何图形的理解位置确定最值情况.2.角的代数表达应用：充分利用三角函数的性质将问题角的关系转化，利用坐标运算达到求解目的.利用直线与曲线等联立，借助韦达定理和关系进行探究.1．（2017新课标全国卷Ⅰ文科）设A ，B 是椭圆C ：2213x y m+=长轴的两个端点，若C 上存在点M 满足∠AMB =120°，则m 的取值范围是A ．(0,1][9,)+∞UB ．[9,)+∞UC ．(0,1][4,)+∞UD ．[4,)+∞U【答案】A【解析】当03m <<时，焦点在x 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60ab≥=o≥，得01m <≤；当3m >时，焦点在y 轴上，要使C 上存在点M 满足120AMB ∠=o ，则tan 60ab ≥=o ≥，得9m ≥，故m 的取值范围为(0,1][9,)+∞U ，选A ． 2．双曲线C :22221(0,0)x y a b a b-=>>的 一条渐近线的倾斜角为130°，则C 的离心率为A ．2sin40°B ．2cos40°C ．1sin50︒D ．1cos50︒【答案】D【解析】由已知可得tan130,tan 50b ba a-=︒∴=︒，1cos50c e a ∴======︒，故选D ． 3．已知圆()()22:341C x y -+-=和两点(),0A m -，()(),00B m m >，若圆C 上存在点P ，使得90APB ∠=︒，则m 的最大值为（ ）A ．7B ．6C ．5D ．4【答案】B【解析】由题意知，点P 在以原点（0，0）为圆心，以m 为半径的圆上，又因为点P 在已知圆上，所以只要两圆有交点即可，所以15m -=，故选B.4．已知1F ，2F 是椭圆22221(0)x y C a b a b +=>>：的左，右焦点，A 是C 的左顶点，点P 在过A 且斜率为6的直线上，12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，则C 的离心率为A ．23B ．12C ．13D ．14【答案】D【解析】因为12PF F △为等腰三角形，12120F F P ∠=︒，所以PF 2=F 1F 2=2c,由AP斜率为6得，222tan sin cos PAF PAF PAF ∠=∴∠=∠=， 由正弦定理得2222sin sin PF PAF AF APF ∠=∠,所以22214,54sin()3c a c e a c PAF =∴==+-∠，故选D. 5．设1F 、2F 是椭圆E ：22221(0)x y a b a b+=>>的左、右焦点，P 为直线32a x =上一点，21F PF ∆是底角为30o 的等腰三角形，则E 的离心率为（ ） A ．12B ．23C ．34D ．45【答案】C【解析】如下图所示，21F PF ∆是底角为30o 的等腰三角形，则有1221221,30F F PF PF F F PF =∠=∠=o所以2260,30PF A F PA ∠=∠=o o，所以22322322PF AF a c a c ⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭又因为122F F c =，所以，232c a c =-，所以34c e a == 所以答案选C.6．若直线1x ya b+=通过点(cos sin )M αα，，则（ ） A ．221a b +≤ B ．221a b +≥ C ．22111a b+≤D ．22111a b +≥【答案】D【解析】依题意可得，M 点在单位圆上，所以直线1x ya b+=与单位圆有交点，则圆心即原点到直线的距离1d =≤，即22111a b+≥，故选D 7．设点()0,1M x ，若在圆22:+1O x y =上存在点N ，使得45OMN ∠=︒，则0x 的取值范围是（ ） A ．[]1,1- B ．11,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C．⎡⎣D．22⎡-⎢⎣⎦【答案】A【解析】依题意，直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，过O 作OA⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为OMA ∠045=，故0sin 45OA OM ==1≤，所以OM ≤≤011x -≤≤．8．已知12,F F 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是他们的一个公共点，且123F PF π∠=,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（ ） ABC ．3D ．2【答案】A【解析】设1122122PF r PF r F F c ===，，，，椭圆和双曲线的离心率分别为12e e ， 12,3F PF π∠=∴Q 由余弦定理可得2221212423c r r r r cosπ=+-（）（），①在椭圆中，①化简为即2212443c a r r =-，即122213114r r c e -＝，② 在双曲线中，①化简为即221244c a r r =+，即12222114r r c e -+＝，③ 联立②③得，2212431e e +=，由柯西不等式得22212121111331e e e e ⎛⎛⎫⎛⎫++≥⨯+ ⎪ ⎪ ⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即（21211443e e ⎛⎫+≤⨯ ⎪⎝⎭，即12113e e +≤=，当且仅当123e e A 9．已知双曲线()2222100x y a b a b-=>>，的左、右焦点分别为12F F ，，过1F 作圆222x y a +=的切线，与双曲线右支交于点M ，若1230F MF ∠=°，则双曲线的渐近线斜率为（ ） A．(3± B．(3±+C．13⎛±+ ⎝⎭ D．13⎛±- ⎝⎭【答案】A【解析】取切点为B ，连接BO ，作21AF MF ⊥，垂足于A 因为2BO AF P ，且O 为12F F ，的中点，所以222AF BO a == 在直角三角形2AF M 中，1230F MF ∠=°，所以2224MF AF a == 由双曲线的定义得： 1226F M a MF a =+=由余弦定理可知：()()()222264264cos30c a a a a =+-⨯⨯︒化简得：(2213c a =-，又222c a b =+所以(2212b a =-，即(222123b a=-=所以(3b a =±故双曲线的渐近线斜率为(3ba±=± 故选：A10．已知点F 为双曲线2222:1(x y E a a b-=，0b >的右焦点，直线(0)y kx k =>与E 交于M ，N 两点，若MF NF ⊥，设MNF β∠=，且[,]126ππβ∈，则该双曲线的离心率的取值范围是( )A． B ．[21]C ．[2D．1]【答案】D【解析】由MF NF ⊥可得||||||OM ON OF c ===，取双曲线的左焦点F '，连接MF '，NF '，可得四边形MFNF '为矩形，即有||||2cos NF MF c β'==，||2sin MF c β=， 由双曲线的定义可得2||||2cos 2sin a MF MF c c ββ'=-=-，可得11cos sin )4c e a πβββ===-+， 由[,]126ππβ∈，可得[43ππβ+∈，5]12π，即有cos()4πβ+∈，1]2，即有e的范围是1+， 故选：D ．11．椭圆22221(0)x y a b a b+=>>上有一点P ，1F ，2F 分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点Q 在线段2PF 的延长线上，且1,QF QP ⊥15sin 13F PQ ∠=，则该椭圆离心率的取值范围是（ ）A ．26⎛⎫⎪⎪⎝⎭B ．1,53⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．1,52⎛ ⎝⎭D ．262⎛⎫⎪⎪⎝⎭【答案】D【解析】∵QF 1⊥QP ，∴点Q 在以F 1F 2为直径，原点为圆心的圆上， ∵点Q 在椭圆的内部，∴以F 1F 2为直径的圆在椭圆内，∴c ＜b ；∴c 2＜a 2﹣c 2，∴212e ＜，故0＜e 2∵sin ∠F 1PQ 513=，∴cos ∠F 1PQ 1213=；设|PF 1|＝m ，则|PF 2|＝n ，而|F 1F 2|＝2c ，|PF 1|+|PF 2|＝m +n ＝2a ，在△PF 1F 2中，由余弦定理得4c 22212213m n mn =+-⋅．∴4c 2＝（m +n ）2﹣2mn ﹣2mn •1213； 即4c 2＝4a 25013-mn ；∴mn ()222625a c =-；由基本不等式得：mn 2()2m n +≤=a 2， 当且仅当m ＝n 时取等号；由题意知：QF 1⊥QP ，∴m ≠n ，∴mn 2()2m n +=＜a 2，∴()222625a c -＜a 2∴a 2＜26c 2；故2126e ＞，∴ee 2．故选：D ．12．已知抛物线C ：22(0)y px p =>的焦点F ，点00(2p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，以M 为圆心的圆与直线2p x =交于A 、B 两点（A 在B 的上方），若5sin 7MFA ∠=，则抛物线C 的方程为（ ） A ．24y x = B ．28y x =C ．212y x =D ．216y x =【答案】C【解析】抛物线C ：22(0)y px p =>，其焦点,02p F ⎛⎫⎪⎝⎭，准线方程2p x =-，因为点(002p M x x ⎛⎫>⎪⎝⎭是抛物线上一点，所以02pMF x =+ AB 所在直线2p x =，设MD AB ⊥于D ，则02p MD x =-， 因为5sin 7MFA ∠=，所以57MD MF =，即005272p x p x -=+ 整理得03x p =所以(3M p 将M点代入到抛物线方程，得(223p p =⨯，0p >解得6p =，所以抛物线方程为212y x =故选：C.13．已知点P 为椭圆221916x y +=上的任意一点，点12,F F 分别为该椭圆的上下焦点，设1221,PF F PF F αβ=∠=∠，则sin sin αβ+的最大值为（ ）ABC ．98D ．32【答案】D【解析】设|1PF |＝m ，|2 PF |＝n ，|12F F |＝2c ，A ，B 为短轴两个端点，由正弦定理可得()2m n csin sin sin βααβ==+， 即有()2m n c sin sin sin αβαβ+=++，由椭圆定义可得e ()22sin c a sin sin αβαβ+===+,∴()sin sin sin αβαβ+=+．在三角形21F PF 中，由m+n=2a,cos 222222221242444122224m n c m n mn c b b F PF m n mn mn mn+-+--∠===-≥+⨯（）（）-1=22412b a-，当且仅当m=n 时，即P 为短轴端点时，cos 21F PF ∠最小，21F PF ∠最大， ∴()21sin sin F AF αβ+≤∠,∴3sin sin 2αβ+≤=，故选：D ．14．已知椭圆22221x y a b+=(a>b>0)的左、右焦点分别是F 1,F 2,焦距为2c,若直线与椭圆交于M 点,且满足∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1,则椭圆的离心率是 ( ) A．2B1C．12D．2【答案】B 【解析】∵椭圆的方程为22221(0)x y a b a b+＝＞＞，作图如右图：∵椭圆的焦距为2c ，∴直线经过椭圆的左焦点F 1（-c ，0），又直线(x+c)与椭圆交于M 点，∴倾斜角∠MF 1F 2=60°，又∠MF 1F 2=2∠MF 2F 1， ∴∠MF 2F 1=30°，∴∠F 1MF 2=90°．设|MF 1|=x，则2MF = ，|F 1F 2|=2c=2x ，故x=c ．∴1211MF MF x c +==）） ，又|MF 1|+|MF 2|=2a ，∴2a=（+1）c ，∴该椭圆的离心率1c e a ===． 故选：B ．15．已知点P 是直线:4370l x y --=上动点,过点P 引圆222:(1)(0)C x y r r +-=>两条切线,PM PN ,,M N 为切点,当MPN ∠的最大值为2π时,则r 的值为( )A B C ．D ．1【答案】A【解析】Q 点P 在直线:4370l x y --=上,连接PC 当PC l ⊥时, MPN ∠最大,由题意知,此时MPN ∠最大值为2π时,∴ 4CPM π∠=,||PC =Q 圆222:(1)(0)C x y r r +-=>,可得其圆心为:()0,1根据点到直线距离公式可得圆心()0,1到l 距离为:1025d -== ∴ 2=,故r =故选:A.16．已知双曲线2222:1x y E a b-=（0,0a b ＞＞）的左、右焦点分别为12,F F ，若E 上点A 满足122AF AF =，且12F AF ∠的取值范围为2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦，则E 的离心率的取值范围是（ ）A ．B ．⎤⎦C ．[]3,5D ．[]7,9【答案】B【解析】由双曲线的定义有122AF AF a -=,又122AF AF =,故14AF a =,22AF a =.故()()()()()222221224+225cos 2424a a c a c F AF a a a--∠==⨯⨯.又12F AF ∠的取值范围为2π,π3⎡⎤⎢⎥⎣⎦, 故121cos 1,2F AF ⎡⎤∠∈--⎢⎥⎣⎦.即22222515111794242a c e e a ---≤≤-⇒-≤≤-⇒≤≤.故e ⎤∈⎦.故选：B17．已知点12,F F 分别是双曲线C ：2221(0)y x b b-=>的左、右焦点，O 为坐标原点，点P 在双曲线C 的右支上，且满足122F F OP =，21tan 3PF F ∠≥，则双曲线C 的离心率的取值范围为（ ）A ．(1B ．)+∞C ．(1D ．2] 【答案】A【解析】由122F F OP =得，OP c =，根据三角形的性质可知，12PF F △为直角三角形，且12PF PF ⊥，222212124PF PF F F c +==．由双曲线的定义可得，122PF PF a -=，又123PF PF …，可得2PF a „．所以222212124PF PF F F c +==可化为()2222224PFa PF c ++=，即()22222PF a c a +=-，而2PF a „，22224c a a ∴-„，解得2c a „，又1c e a =>，12e ∴<„． 故选：A ．18．已知椭圆()222210x y a b a b +=>>上有一点A ，它关于原点的对称点为B ，点F 为椭圆的右焦点，且AF BF ⊥，设ABF α∠=，且,126ππα⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，则该椭圆的离心率e 的取值范围为（ ）A ．⎦B ．1,t ⎤⎦C ．⎣⎦D ．⎛ ⎝⎦【答案】A【解析】如图所示：设椭圆的左焦点为F '，连接AF '，BF '则四边形AFBF '为矩形，因此2AB FF c '==，2AF BF a +=，2AF csin α=，2BF ccos α=，∴222csin ccos a αα+=，∴114e sin cos πααα⎛⎫ ⎪⎝=++⎭=， ,126ππα⎡⎤⎢⎥⎣∈⎦Q ，5,4312πππα∴+⎛⎫⎡⎤ ⎪∈⎢⎥⎝⎭⎣⎦，,424sin πα∴+∈⎛⎫ ⎪⎝⎭⎣⎦，4πα⎛⎫ ⎪∈⎝⎭⎣⎦+,e ∴∈⎦.故选：A.19．已知双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b-=>>的两个顶点分别为1(,0)A a -，2(,0)A a ，,P Q 的坐标分别为(0,)b ，(0,)b -，且四边形12A PA Q的面积为四边形12A PA Q，则C 的方程为（ ） A ．2212x y -=B ．2212y x -=或2212x y -=C ．22142x y -=D ．2212y x -=或22142x y -=【答案】B【解析】因为1(,0)A a -，2(,0)A a ，,P Q 的坐标分别为(0,)b ，(0,)b -，122A A a ∴=，2PQ b =，1212A P A Q AQ A P c ∴===== 又因为四边形12A PA Q的面积为142a b ⨯⨯⨯=ab =，记四边形12A PA Q 内切圆半径为r，则2r π=，得r =，所以2cr =，所以c =2223c a b =+=，得1a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩1a b =⎧⎪⎨=⎪⎩所以C 的方程为2212x y -=或2212y x -=.故选：B20．已知椭圆222210)x y a b a b+=>>（的两个焦点分别为12F F 、，若椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，则椭圆离心率的取值范围是( )A．0,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭B．2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭C ．10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】当动点P 从椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P 对两个焦点的张角12F PF ∠渐渐增大，当且仅当P 点位于短轴端点0P 处时，张角12F PF ∠达到最大值．∵椭圆上存在点P 使得12F PF ∠是钝角，∴102F P F V 中，10290F P F ∠>︒，∴Rt V 02OP F 中，0245OP F ∠>︒，∴b c <， ∴222a c c -<，∴222a c <，∴2e >， ∵01e <<，∴12e <<．椭圆离心率的取值范围是2⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭，故选B ． 二、填空题21．设点M （0x ,1），若在圆O:221x y +=上存在点N ，使得∠OMN=45°，则0x 的取值范围是________.【答案】[1,1]- 【解析】由题意知：直线MN 与圆O 有公共点即可，即圆心O 到直线MN 的距离小于等于1即可，如图，过OA ⊥MN ，垂足为A ，在Rt OMA ∆中，因为∠OMN=45，所以sin 45OA OM =o1≤，解得OM ≤，因为点M （0x ,1），所以OM =≤011x -≤≤，故0x 的取值范围是[1,1]-.22．设抛物线24y x =的焦点为F ，准线为l .已知点C 在l 上，以C 为圆心的圆与y 轴的正半轴相切于点A .若120FAC ∠=︒，则圆的方程为____________ .【答案】22(1)(1x y ++=【解析】设圆心坐标为(1,)C m -，则(0,)A m ，焦点(1,0)F ，(1,0),(1,)AC AF m =-=-u u u v u u u v，1cos 2AC AF CAF AC AF ⋅∠===-⋅u u u v u u u v u u u v u u u v，m = 由于圆C 与y 轴得正半轴相切，则取m，所求圆得圆心为(-，半径为1，所求圆的方程为22(1)(1x y ++-=.23．已知点()11M ，-和抛物线24C y x =：，过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ，B 两点．若90AMB ∠=︒，则k =________．【答案】2【解析】详解：设()()1122A ,,B ,x y x y 则2112224{4y x y x ==所以22121244y y x x -=-所以1212124k y y x x y y -==-+取AB 中点()00M'x y ，,分别过点A,B 作准线x 1=-的垂线，垂足分别为A ,B'' 因为AMB 90∠︒=,()()'111MM '222AB AF BF AA BB ∴==+=+'， 因为M’为AB 中点，所以MM’平行于x 轴因为M(-1,1)所以01y =，则122y y +=即k 2=故答案为2.24．已知双曲线C ：22221(0,0)x y a b a b-=>>的右顶点为A ，以A 为圆心，b 为半径作圆A ，圆A 与双曲线C 的一条渐近线于交M 、N 两点，若60MAN ∠=o ，则C 的离心率为__________．【答案】3【解析】如图所示，由题意可得|OA|=a ，|AN|=|AM|=b ，∵∠MAN=60°，∴， ∴=C 的一条渐近线y=b a x 的倾斜角为θ，则tanθ=||||AP OP = 又tan θ=b ab a =，解得a 2=3b 2，∴==．25．已知直线交抛物线于,A B 两点.若该抛物线上存在点，使得ACB ∠为直角，则a 的取值范围为___________. 【答案】[1,)+∞【解析】可知()),A a Ba ，设C ()2,m m，()()22,AC m m a BC m m a =-=-u u u r u u u r ．∵该抛物线上存在点C ，使得∠ACB 为直角，(()220AC BC m m m a ∴⋅=++-=u u u r u u u r ，化为()2220m a m a -+-=．2101m m a a ≠=-≥∴≥Q ，∴a 的取值范围为[)1,+∞．26．已知双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的左、右焦点分别为12(,0),(,0)F c F c -，若双曲线上存在一点P 使1221sin sin PF F aPF F c∠=∠，则该双曲线的离心率的取值范围是__________.【答案】(11)【解析】因为在12PF F ∆中，由正弦定理得211221sin sin PF PF PF F PF F =∠∠，则由已知，得21a c PF PF =，即12aPF cPF =，12c PF PF a=,由双曲线的定义知 212222222c a PF PF a PF PF a PF a c a-=-=⇒=-,，由双曲线的几何性质知22222,20,a PF c a c a c ac a c a>->-⇒--<-所以2210,e e --<解得11e <<，又1()e ∈+∞,，故双曲线的离心率1)e ∈27．过双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线交于,A B 两点，D 为虚轴的一个端点，且ABD ∆为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为__________．【答案】()⋃+∞【解析】设双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点F 1（﹣c ，0），令x=﹣c ，可得=±2b a ， 可得A （﹣c ，2b a ），B （﹣c ，﹣2b a ），又设D （0，b ），可得AD u u u r =（c ，b ﹣2b a），AB u u u r =（0，﹣22b a ），DBuuu r =（﹣c ，﹣b ﹣2b a），由△ABD 为钝角三角形，可能∠DAB 为钝角，可得AD AB ⋅u u u v u u u v＜0，即为0﹣22b a •（b ﹣2b a）＜0，化为a ＞b ，即有a 2＞b 2=c 2﹣a 2，可得c 2＜2a 2，即e=c a ，又e ＞1，可得1＜e ，可能△ADB 中，∠ADB 为钝角，可得AD AB ⋅u u u v u u u v＜0，即为c 2﹣（2b a +b ）（2b a﹣b ）＜0，化为c 4﹣4a 2c 2+2a 4＞0，由e=c a ，可得e 4﹣4e 2+2＞0，又e ＞1，可得e e 的范围为（1．+∞）．故答案为()⋃+∞28．已知抛物线()220y px p =>，F 为其焦点，l 为其准线，过F 任作一条直线交抛物线于,A B 两点，1A 、1B 分别为A 、B 在l 上的射影，M 为11A B 的中点，给出下列命题：（1）11A F B F ⊥；（2）AM BM ⊥；（3）1//A F BM ； （4）1A F 与AM 的交点的y 轴上；（5）1AB 与1A B 交于原点. 其中真命题的序号为_________. 【答案】（1）（2）（3）（4）（5）【解析】（1）由于A 、B 在抛物线上，且1A 、1B 分别为A 、B 在准线l 上的射影， 根据抛物线的定义可知1AA AF =，1BB BF =，则11AA F AFA ∠=∠，11BB F BFB ∠=∠，11//AA BB Q ，11180FAA FBB ∠+∠=o ，则1111180AA F AFA BB F BFB ∠+∠+∠+∠=o ，即()112180AFA BFB ∠+∠=o，1190AFA BFB ∴∠+∠=o ，则1190A FB ∠=o ，即11A F B F ⊥，（1）正确；（2）取AB 的中点C ，则()1122CM AF BF AB =+=，90AMB ∴∠=o ，即AM BM ⊥， （2）正确；（3）由（2）知，1//CM AA ，1A AM AMC ∠=∠，12CM AB AC ==Q ，AMC CAM ∴∠=∠，1A AM CAM ∴∠=∠， AM ∴平分1A AF ∠，1AM A F ∴⊥，由于BM AM ⊥，11//A F B M ∴，（3）正确； （4）取1AA 与y 轴的交点D ，则12pA D OF ==，1//AA x Q 轴，可知1A DE FOE ∆≅∆， 1A E EF ∴=，即点E 为1A F 的中点，由（3）知，AM 平分1A AF ∠，1A M ∴过点E ，所以，1A F 与AM 的交点的y 轴上，（4）正确； （5）设直线AB 的方程为2p x my =+，设点()11,A x y 、()22,B x y ，则点11,2p A y ⎛⎫- ⎪⎝⎭、12,2p B y ⎛⎫- ⎪⎝⎭，将直线AB 的方程与抛物线的方程联立，消去x 得，2220y mpy p --=，由韦达定理得212y y p =-，122y y mp +=，直线1OA 的斜率为1221122222OAp y y y p k p p p y ⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭==-=-=-， 直线OB 的斜率为22222222OB y y p k y x y p===，1OA OB k k ∴=，则1A 、O 、B 三点共线，同理得出A 、O 、1B 三点共线， 所以，1AB 与1A B 交于原点，（5）正确.综上所述，真命题的序号为：（1）（2）（3）（4）（5）. 故答案为：（1）（2）（3）（4）（5）.29．如图，已知椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的左顶点为A ，左焦点为F ，上顶点为B ，若，则该椭圆的离心率是 .【答案】【解析】依题意可得，,,OA a OF c OB b ===因为90BAO BFO BAO ABO ∠+∠==∠+∠o ，所以BFO ABO ∠=∠ 所以Rt AOB Rt BOF ∆~∆ 所以OB OF OAOB=，即b ca b=，故222b ac a c ==-解得，12c a -±=因为0c a <<，所以c =，则c e a ==。