电磁场第一次仿真报告

2
总场强为： E x

x xa xa 2 2 2 2 2 x y a y x a y x a
2
E y
ya y y 2 2 2 2 2 x y a y x a y x a
2
用欧拉方法画电场线，在画的过程中考虑并注意了以下几点： 1、 先计算某点的场强 E，分别计算 Ex、Ey，如果 Ex>Ey，则将 x 增加一个步长，并用 x 计算 y；如果 Ex<Ey，就将 y 增加一个步长，并用 y 计算 x。在计算过程中，Ex 及 Ey 的正负决定了电场线向右或左、向上或下，可用 sign 函数实现这一判断。 2、 注意在场强为 0 的点处，电场线应终止。为实现此判断，可以设置一个变量 cut ，在 abs(ex)>1e-8&&abs(ey)>1e-8 时，cut=1，才决定继续向下画电场线。 3、 注意设置起始点的选取 画图时选择的起始点有：以(0,2)为圆心，0.1 为半径的圆上均匀取 20 个点，作为从正电 荷出发的电场线的起始点，还有关于原点对称的一组点，横纵坐标分别为
在 matlab command window 中带入 ABC 三点数值求解场强如下 A 点：Ex=intEx(3,-1,1)，Ex=1.3290143006338044741684102084923 B 点：Ex=intEx(10,-1,1)，Ex= 0.39998933475527430378461488739333 C 点：Ex=intEx(20,-1,1)，Ex= 0.1999996666694444101042957162452 从结果可以看出，解析解与数值解非常接近，可以认为二者相等。
Ex
s
x0 x dxdy e x 2 2 x0 x y 0 y
进行化简，得到如下一重积分，其中 y 0 0 ，
1 1 x0 12 y 2 Ex ln dy 2 1 x0 12 y 2
建立函数文件如下
function Ex=intEx(x0,a,b) syms y Ex=vpa(int(0.5*log(((x0+1).^2+y.^2)./((x0-1).^2+ y.^2)),y,a,b));
y +

o a
a a

x
解 ：无限长细线形成的场为平行平面场，因此取 xoy 平面的场分析即可。 在 xoy 平面任一点(x,y)处，场强为 E E1 E2 E3
+ 形成的场为： E1

x ya e 2 e 2 x 2 y x y a x y a
3 x dxdy e Ex x 2 2 s 3 x y
Ey
s
ydxdy ey 3 x 2 y 2
在 matlab command window 中输入如下命令： Ex=dblquad('(3-x)./((3-x).^2+y.^2)',-1,1,-1,1) 得到结果 Ex =1.329014306625494 Ey=dblquad('y./((3-x).^2+y.^2)',-1,1,-1,1) 得到结果 Ey =4.163336342344337e-017 从结果可以看出 Ey 有一定误差，但近似为 0，与实际符合。 同理，得到 B 点和 C 点的场强大小如下 B 点：Ex =0.399989334748447 Ey =0 C 点：Ex = 0.199999666669431 Ey =0 A、 B、 C 三点处场强方向均沿 x 正方向。 2.用 matab 符号积分函数 int 求解 Matlab 的符号积分函数 int 可以计算积分的解析解，首先对
电磁场第一次仿真报告
姓名：张曼 班级：电 84 学号： 2008010998
《电磁场基础》第 1 次仿真作业
题目 1： 截面为正方形的无限长线电荷如下图所示。设电荷面密度为 2 0; 边长 a = 2。x
轴上有 A、B、C 三点，其坐标为 1.5a, 5a, 10a。所有单位均取国际单位制。
y A o a 1.5a 5a B C x 10a
4、 注意边界点的约束 边界点有三种情况： 场强大小约为 0， 电场线终止； 进入负电荷周围 0.1 半径内的区域， 终止电场线；超出绘图边界，终止电场线。 5、 起始点和边界点的表示 在画图时，以小圆圈圈出起始点，以红色圆表示正负电荷所在位置。 6、 精度的控制 在画电场线时，考虑了精度的控制，主要体现在： 以正电荷所在位置为圆心选择起始点时， 取圆半径时不能太大， 太大不能体现线电荷线 度可以忽略，也不能太小，太小不利于表示出电荷所在位置，画图时选取了 0.1； 在控制场强为 0 这个约束条件时，认为 abs(ex)<1e-8&&abs(ey)<1e-8 时，场强为 0，这个精度是经过试验得出的，太大时，所画的电场线可能会从中间断开，取 1e-8 及以 上精度即可画出符合要求的电场线。 综合考虑以上几点后，所得到的电场线分布图如下：
2
X 负半轴上的 - 形成的场为： E3

xa y e 2 e 2 x 2 y y x a y x a
2
X 正半轴上的 - 形成的场为： E3

wk.baidu.com
xa y e 2 e 2 x 2 y y x a y x a
s
其中 s 即是正方形区域。 a) 画出电力线分布示意图 用欧拉方法画电力线分布，由于场强为二重积分，需要使用 dblquad函数计算。经分 析知，此线电荷的场在xoy平面内是对称的，因此，对称的选取8个起始点，如下 x=[-1.01 0.0 1.01 -1.01 1.01 -1.01 0.0 1.01]; y=[1.01 1.01 1.01 0.0 0.0 -1.01 -1.01 -1.01]; 并且设置边界条件为abs(x)<6&&abs(y)<6，最后得到电场线分布如下
x2=[0,0,5.99,5.99,5.99,5.99,5.99,5.99,5.99,5.99,1.5,2.5,1.5,2.5,3.5,3 .5,4.5,4.5,5.99,5.99,5.99];y2=[6,-6,1.5,2.5,-1.5,-2.5,3.5,-3.5,4.5,-4 .5,5.99,5.99,-5.99,-5.99,5.99,-5.99,5.99,-5.99,0,5.99,-5.99];x3=(-1)* x2;y3=(-1)*y2;这组点的选取主要是为了画出从无限远处出发的电场线。
dxdy dxdy dE er er 2 0r r
x0 x dxdy e x0 x dxdy e dEx dE cos x x 2 2 2 r x0 x y 0 y y 0 y dxdy e y 0 y dxdy e dEy dE sin y y 2 2 2 r x 0 x y 0 y
荷密度为 dxdy ， 由于无限长线电荷形成的场的平行平面场， 因此只需求解 xoy 平面内的电 场分布即可。对于一个无限长线电荷，其电场如下：
E
e r ，其中 为线电荷密度 2 0r
从而，对于截面积为 dxdy 的无限长线电荷，在 xoy 平面任一点 px0, y 0 处，其电场为

1 4 o x2 x0 0
从而得到近似积分结果为
Ex
1 4 4 dy 2 x0 1 x0
1
利用此结果也可以得到 C 点的场强为 0.2，因此验证了简化计算的合理性。
题目 2： 真空中无限长细线如下图所示， = 2 0，a = 2，在 x 6,6 ， y 6,6 的
范围内画出不少于 10 条起点和终点分别在＋τ 和－τ 附近的电场线。 可以任意选择起点和终 点。用 Matlab 自行编写画电场线的程序，必须说明起点和终点的定义。内容包括： （1）程 序实现原理； （2）绘制出的电场线图（画出导线的示意位置，指出起点和终点） ； （3）需要 说明的内容（如程序精度控制，编程体会等） 。
a2 a2 a 0.2 ，与 b）中计算结果一致。 r 10a 10
对于在 x 轴上远离正方形无限长电荷的观察点，讨论起简化计算的理论分析如下
1 1 x0 12 y 2 Ex ln dy 2 1 x0 12 y 2
当 x0>>y 时，用泰勒展开如下
ln
积分得到，正方形截面线电荷的电场分布如下
E Ex Ey
Ex
s
x0 x dxdy e x 2 2 x0 x y 0 y y 0 y dxdy e y 2 2 x0 x y 0 y
Ey
a） 、画出电力线分布示意图；b） 、采用数值方法计算 A、B、C 三点处的电场强度。以 A 点 为例，说明计算步骤； c） 、对于远离正方形无限长电荷的观察点，是否有简化的计算方法， 以 C 点为例予以说明，给出简化方法的计算结果；讨论能够采用简化计算方法的条件和简 化方法的精度。
解：将该截面为正方形的无限长线电荷划分为很多个截面积为 dxdy 的无限长线电荷，线电
综上， A、B、 C 三点处场强分别近似为 1.329，0.4， 0.2。 c) 无限远点处场强的简化计算 对于远离正方形无限远的观察点，截面为正方形的无限长线电荷可以直接看作线密度为
a 2 a 2 a 的线电荷，其场强为 E r r 2 0 r r
2
对于 C 点， r 10a a ， E
三线电荷的场 6
4
2
0
-2
-4
-6 -6
-4
-2
0
2
4
6
实现程序如下：
function [xx,yy]=electricline(x0,y0) x=x0;y=y0; xx=[];yy=[]; h=0.01;a=2; cut=0; while (abs(x)<6&&abs(y)<6&&(x-a)^2+y^2>0.01&&(x+a)^2+y^2>0.01&&cut==0) dex=x./(x.^2+(y-a).^2)-(x+a)./(y.^2+(x+a).^2)-(x-a)./(y.^2+(x-a).^2); dey=(y-a)./(x.^2+(y-a).^2)-y./(y.^2+(x+a).^2)-y./(y.^2+(x-a).^2); if (abs(ex)>1e-8&&abs(ey)>1e-8) cut=0; if abs(dey)>abs(dex) y=y+sign(dey)*h; dx=sign(dey)*h*dex/dey; x=x+dx; else abs(dey)<abs(dex) x=x+sign(dex)*h; dy=sign(dex)*h*dey/dex; y=y+dy; end else cut=1; end xx=[xx;x]; yy=[yy;y]; end clc; beta=0:pi/20:2*pi; x1=0.1*sin(beta);y1=0.1*cos(beta)+2; x2=[0,0,5.99,5.99,5.99,5.99,5.99,5.99,5.99,5.99,1.5,2.5,1.5,2.5,3.5,3 .5,4.5,4.5,5.99,5.99,5.99]; y2=[6,-6,1.5,2.5,-1.5,-2.5,3.5,-3.5,4.5,-4.5,5.99,5.99,-5.99,-5.99,5. 99,-5.99,5.99,-5.99,0,5.99,-5.99]; x3=(-1)*x2;y3=(-1)*y2; x=[x1,x2,x3];y=[y1,y2,y3]; n=length(x); x4=0.1*sin(beta)+2;y4=0.1*cos(beta); x5=0.1*sin(beta)-2;y5=0.1*cos(beta); plot(x1,y1,'r*',x4,y4,'r*',x5,y5,'r*') hold on plot(x2,y2,'go',x3,y3,'go') hold on for i=1:n
截面为正方形的无限长线电荷的场强 8 6 4 2 0 -2 -4 -6 -8 -8
-6
-4
-2
0
2
4
6
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b) 计算 A、 B、 C 三点处场强 1．数值积分求解 利用数值积分函数 dblquad，求解二重积分，该函数采用自适应辛普森公式计算，可根 据函数变化快慢自动调节步长，计算误差较小。以 A 点为例，计算场强过程如下。 A 坐标为 A3,0 ，故
2 ln
x0 1 y2 y2 ln 1 ln 1 x 12 x 12 x0 1 0 0
2 y2 y2 2 ln 1 ln 1 x 12 ln 1 x 12 x 1 0 0 0
x0 12 y 2 x0 12 y 2
ln
x0 12 y 2 ln y2 1 x 12 x0 12 0
x0 1 y2 y2 ln 1 2 ln ln 1 x 12 x 12 x0 1 0 0