材料力学静定拱
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4 第四章静定拱3
f
L
静定拱 第3第四章 章 静定结构的内力分析 合 肥 工 业 大 学
静定拱 第3第四章 章 静定结构的内力分析 合 肥 工 业 大 学
世界上最古老的铸铁拱桥(英国科尔布鲁克代尔桥).
静定拱 第3第四章 章 静定结构的内力分析 合 肥 工 业 大 学
灞陵桥是一座古典纯木结构伸臂曲拱型廊桥, 号称"渭水长 虹","渭水第一桥" 主跨:40米 建成时间:1368
第3章 静定结构的内力分析
合 肥 工 业 大 学
例4-2,设三铰拱承受沿水平方向均匀满跨分布的竖向荷 求其合理轴线. 载,求其合理轴线. M o (x ) 解:由式 y ( x ) = F q
H
y A l/2
C f l/2 B
先列出简支梁的弯矩方程
q x(l x ) 2 o M C ql 2 x = 拱的推力为: 拱的推力为:FH = f 8f M o ( x) =
FP FP
曲梁
三铰拱
静定拱 第3第四章 章 静定结构的内力分析 合 肥 工 业 大 学
2)常见的拱式结构有: 2)常见的拱式结构有: 常见的拱式结构有
三铰拱
带拉杆三铰拱
两铰拱
三铰拱——静定拱 拱两铰拱 无铰拱超静定结构
无铰拱
静定拱 第3第四章 章 静定结构的内力分析 合 肥 工 业 大 学
�
∑ MC = 0
FAV
FB V
c
F2
FH B
o FBV
f l1
F1
A
FAV l1 F1 d FH f = 0
F
o AV
c
x
FAV
o MC o M C FH f = 0 ∴ FH = f
9静定拱
82.5
FNC
左 0左 FQD FQD Cos D FH Sin D
左
105 0.832 82.5 0.555 41.6kN
左 0左 FND FQD Sin D FH Cos D
A
105
0
MD A 0 FVA D FQD
0左
105 0.555 82.5 0.832 127kN
13
(2) 求dy 4 f 4 4 tg D 2 ( L 2 x) 2 (12 2 3) 0.667 dx L 12
4 4 yD 2 (12 3) 3 3m 12
D 3342'
Cos D 0.832 Sin D 0.555
第六章 静定拱
§6-1 概述
§6-2
三铰拱的计算
§7-3
三铰拱的合理拱轴线
1
1.拱的特征及其应用
（1）拱的特征： a.在竖向荷载作用下会产生水平反力(推力)。 b.杆轴线通常是曲线的。
FP
FP
曲梁
三铰拱
在竖向荷载作用下， 水平反力等于零， 曲梁结构(不是拱)。
在竖向荷载作用下， 会产生水平反力， 因此它是拱结构。
2
赵州桥
3
丫髻沙大桥
4
雁滩黄河大桥
5
大跨度体育馆
6
砌体拱顶
7
农业大棚
8
三铰拱的计算
为了便于理解， 与相应的简支梁作对比。 （1）支座反力计算 a.竖向反力 FPi bi 0 得 M 0 F F B VA VA L FPi ai 0 得 M 0 F F A VB VB L b.水平反力 取左半跨为隔离体：
FNC
左 0左 FQD FQD Cos D FH Sin D
左
105 0.832 82.5 0.555 41.6kN
左 0左 FND FQD Sin D FH Cos D
A
105
0
MD A 0 FVA D FQD
0左
105 0.555 82.5 0.832 127kN
13
(2) 求dy 4 f 4 4 tg D 2 ( L 2 x) 2 (12 2 3) 0.667 dx L 12
4 4 yD 2 (12 3) 3 3m 12
D 3342'
Cos D 0.832 Sin D 0.555
第六章 静定拱
§6-1 概述
§6-2
三铰拱的计算
§7-3
三铰拱的合理拱轴线
1
1.拱的特征及其应用
（1）拱的特征： a.在竖向荷载作用下会产生水平反力(推力)。 b.杆轴线通常是曲线的。
FP
FP
曲梁
三铰拱
在竖向荷载作用下， 水平反力等于零， 曲梁结构(不是拱)。
在竖向荷载作用下， 会产生水平反力， 因此它是拱结构。
2
赵州桥
3
丫髻沙大桥
4
雁滩黄河大桥
5
大跨度体育馆
6
砌体拱顶
7
农业大棚
8
三铰拱的计算
为了便于理解， 与相应的简支梁作对比。 （1）支座反力计算 a.竖向反力 FPi bi 0 得 M 0 F F B VA VA L FPi ai 0 得 M 0 F F A VB VB L b.水平反力 取左半跨为隔离体：
第四章-静定拱
§4-1 基本概念 2.常见形式
铰 静 拱 三 拱—— 定 拱两 拱 铰 静 结 无 拱 超 定 构 铰
三铰拱
两铰拱
无铰拱
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-1 基本概念 3. 几何特性：
拱 顶 拱轴线 (拱轴 )拱高 起拱线来自拱趾 、 ) ( 跨度
内力不仅与三铰拱位置有关， 内力不仅与三铰拱位置有关，且与拱轴线形 状有关。
谢
谢 ！
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线
3.方法： 方法： 先作出压力线， ⑴ 先作出压力线，然后以压力线代 替拱轴。 替拱轴。 ° M 利用弯矩方程： ⑵ 利用弯矩方程： = M − Hy ° M∗ 令 M = M − Hy = 0 ⇒ y = H 即为合理拱轴线的纵坐标。 y即为合理拱轴线的纵坐标。
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线（Optimal centre line of arch） 三铰拱的合理拱轴线（ arch）
1.定义： 定义： 在已知荷载作用下， 在已知荷载作用下，能选择三铰拱的 轴线， 轴线，使得拱的所有横截面上的弯矩 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 理拱轴线。 理拱轴线。 条件： 2.条件： 拱轴线与压力线重合时， 拱轴线与压力线重合时，满足横截面 上的弯矩M Q=0 而仅有轴力N 上的弯矩M＝0、Q=0，而仅有轴力N。
l 9
dy 2 tgϕ = = (6 − x) dx 9
截面1 截面1：x1 = 1.56m
y1 = 1.75m tgϕ1 = 1 ϕ1 = 450
铰 静 拱 三 拱—— 定 拱两 拱 铰 静 结 无 拱 超 定 构 铰
三铰拱
两铰拱
无铰拱
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-1 基本概念 3. 几何特性：
拱 顶 拱轴线 (拱轴 )拱高 起拱线来自拱趾 、 ) ( 跨度
内力不仅与三铰拱位置有关， 内力不仅与三铰拱位置有关，且与拱轴线形 状有关。
谢
谢 ！
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线
3.方法： 方法： 先作出压力线， ⑴ 先作出压力线，然后以压力线代 替拱轴。 替拱轴。 ° M 利用弯矩方程： ⑵ 利用弯矩方程： = M − Hy ° M∗ 令 M = M − Hy = 0 ⇒ y = H 即为合理拱轴线的纵坐标。 y即为合理拱轴线的纵坐标。
第四章 静定拱式结构（Arch） 静定拱式结构（Arch）
§4-4 三铰拱的合理拱轴线（Optimal centre line of arch） 三铰拱的合理拱轴线（ arch）
1.定义： 定义： 在已知荷载作用下， 在已知荷载作用下，能选择三铰拱的 轴线， 轴线，使得拱的所有横截面上的弯矩 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 为零。该拱的轴线就称为三铰拱的合 理拱轴线。 理拱轴线。 条件： 2.条件： 拱轴线与压力线重合时， 拱轴线与压力线重合时，满足横截面 上的弯矩M Q=0 而仅有轴力N 上的弯矩M＝0、Q=0，而仅有轴力N。
l 9
dy 2 tgϕ = = (6 − x) dx 9
截面1 截面1：x1 = 1.56m
y1 = 1.75m tgϕ1 = 1 ϕ1 = 450
第4章 静定拱
第四章 静定拱
§4—1概述 拱——曲线杆件， 竖向荷载作用下有水平反力。 常用形式： 三铰拱、两铰拱、无铰拱
重要特点： 竖向荷载产生水平推力（与梁相比）
优点： M减小，N为主 ——便于使用抗压材料：砖、石、混凝土
缺点： 水平反力要求 ——地基、支承结构、（墙、柱、墩等）
更坚固。 ——可称拱式结构或推力结构
y(x) x1=1.5,y1=1.75 tanφ=y’ sinφ,cosφ
3.M1=M10-FHy1 S1=S10*c-FH*s N1=S10*s+FH*c
4.表4－1，作图。
3．特点： （1）竖向荷载作用下，
有水平推力H （2）推力使拱M减小，
M = M0 － Hy （3）拱截面内轴力较大，
（梁N=0） 4．斜拱与一般荷载作用 ①斜拱
【例4—2】 均布荷载满跨 【解】
M 0 ql x qx2 qx (l x) 2 22
H
M
0 c
1
ql 2
f f8
y M 0 qx (l x) 8 f 4 f x(l x)
H2
ql 2 l 2
具有不同髙跨比的一组抛物线——合理拱轴线
[例4—3]q = qc+ γy 解：坐标系如图，
M=M0－H（f－y）=0
f y M0 H
求导二次：
y"
1 H
d2M 0 dx2
1 H
(q)
y q H
q=qc+γy
y " x y qc HH
微分方程解 边界条件
——二阶常系数线性非齐次方程 ——确定合理拱轴线方程
[例4-4] 静水压力 解：非竖向荷载，设M＝0状态，
用微元平衡求合理拱轴线 微段：N 平衡：
§4—1概述 拱——曲线杆件， 竖向荷载作用下有水平反力。 常用形式： 三铰拱、两铰拱、无铰拱
重要特点： 竖向荷载产生水平推力（与梁相比）
优点： M减小，N为主 ——便于使用抗压材料：砖、石、混凝土
缺点： 水平反力要求 ——地基、支承结构、（墙、柱、墩等）
更坚固。 ——可称拱式结构或推力结构
y(x) x1=1.5,y1=1.75 tanφ=y’ sinφ,cosφ
3.M1=M10-FHy1 S1=S10*c-FH*s N1=S10*s+FH*c
4.表4－1，作图。
3．特点： （1）竖向荷载作用下，
有水平推力H （2）推力使拱M减小，
M = M0 － Hy （3）拱截面内轴力较大，
（梁N=0） 4．斜拱与一般荷载作用 ①斜拱
【例4—2】 均布荷载满跨 【解】
M 0 ql x qx2 qx (l x) 2 22
H
M
0 c
1
ql 2
f f8
y M 0 qx (l x) 8 f 4 f x(l x)
H2
ql 2 l 2
具有不同髙跨比的一组抛物线——合理拱轴线
[例4—3]q = qc+ γy 解：坐标系如图，
M=M0－H（f－y）=0
f y M0 H
求导二次：
y"
1 H
d2M 0 dx2
1 H
(q)
y q H
q=qc+γy
y " x y qc HH
微分方程解 边界条件
——二阶常系数线性非齐次方程 ——确定合理拱轴线方程
[例4-4] 静水压力 解：非竖向荷载，设M＝0状态，
用微元平衡求合理拱轴线 微段：N 平衡：
03结构力学 第三章 静定结构的内力计算3.5 静定拱的内力计算(邓军)
实际桥梁工程中，虽然两铰拱为一次超静定拱，支座沉降或温 度改变容易引起附加内力，但由于两铰拱取消了拱顶铰，构造 较三铰拱简单，结构整体刚度较三铰拱为好，维护也较三铰拱 容易，而支座沉降等产生的附加内力较无铰拱为小。 因此在地基条件较差和不宜修建无铰拱的地方，可采用两铰拱 桥。 无铰拱属三次超静定结构，虽然支座沉降等引起的附加内力较 大，但在荷载作用下拱的内力分布比较均匀，且结构的刚度大、 构造简单、施工方便。 因此无铰拱是拱桥中，尤其是圬工拱桥和钢筋混凝土拱桥中普 遍采用的形式，特别适用于修建大跨度的拱桥结构。
M [ FAV xK FP1 ( xK a1 )] FH yK
0 FAV FAV
0 MK FAV xK FP1 ( xK a1 )
0 M MK FH yKຫໍສະໝຸດ §3.5 静定拱的内力计算
3）剪力的计算 剪力的符号通常规定，以使截面两侧的分离体有顺时针方向 转动趋势为正，反之为负。 由平衡条件
FAV FAV 0 MC FH f F F 0 BV BV
§3.5 静定拱的内力计算
2）弯矩的计算 由于拱轴为曲线的特点，计算拱的内力时要求截面应与 拱轴线正交，即与拱轴线的切线垂直 拱的内力计算依然用截面法 下面计算中任一截面K的内力
MK 0 FAV xK FP1 ( xK a1 ) FH yK M K 0
高跨比的变化范围很大，是拱的重要几何特征，也是决定拱主 要性能的重要因素。
§3.5 静定拱的内力计算
三铰拱的解法
三铰拱为静定结构，其全部约束反力和内力求解与静定梁或 三铰刚架的求解方法完全相同，都是利用平衡条件即可确定。 现以拱趾在同一水平线上的三铰拱为例。 为了与梁比较， 下图给出了同跨度、同荷载的相应简支梁计 算简图。
结构力学-静定拱
H=M’C/f 2 内力计算：
截面Ｋ的弯矩： M=[Vax－P1(x－a1)]－Hy
即 M=M’－Hy
A
P1
P2
B
ＫC
剪力：
Ｑ=VA cos --P1 cos--H sin V’A
V’B
＝Ｑ’ cos --H sin
轴力：
HA
P1 Ｋ
A
P2
B
HB
N=(VA--P1) sin+
Hcos
第四章 静定拱
§4--1 概述
拱：杆轴线为曲线并且有竖向荷载作用下会产生 水平反力的结构。
拱的常用形式有三种：
1、三铰拱
HA
A
P
HB B
VA
VB
2 两铰拱
3 无铰拱
拱的各部分名称如右图：拱 趾
起拱线
A
拱轴线
拱
拱高f
趾
B
跨度l
§4--2 三铰拱的数解法
1 支座反力计算
如右图： 由MB=0
a1
b1
VA
VB
=Q’sin +Hsin
综上所述，三铰平拱的内力计算公
式可写为：
M=M’--Hy
Q=Q’ cos --H sin
N=Q’ sin --H cos
§4--3 三铰拱的合理拱轴线
当拱上所有截面的弯矩都为零而只有轴力时，这
时的拱轴线为合理拱轴线。其方程为： y=M’/H
q
例４－２
y
a2
b2
P1
P2
MA=0
HA
A
HB B
HA=HB=H
l1
MC=0
VA
l2 VB
VAl1－P1(l1－a1)－Hf=0 l
结构力学第4章静定拱(f)
FH
FH
由边界条件
x 0, y 0 : x 0, y 0 :
A qc
B0
合理拱轴线的方程为
y qc (cosh x 1)
FH
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例4-3 试求三铰拱在垂直于拱轴线的均布荷载作用下的合理 拱轴线。
解：由图a，荷载为非竖向荷载。
思路：假定拱处于无弯矩状态，根据平衡 条件推求合理拱轴线方程。
Fi ai l
Fx 0 FAH FBH FH
相应简支梁
取左半拱为隔离体
MC 0
FH
FAV l1 F1(l1 a1) f
可 得
FAV FBV
FA0V FB0V
FH
M
0 C
f
三铰拱的反力只与 荷载及三个铰的位置有 关，与拱轴线形状无关；
推力FH 与拱高 f 成反比。
§4-2 三铰拱的计算
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
压力为正
任一截面的轴力等于该截面一 侧所有外力在该截面法线方向 上的投影代数和。
FN FAV sin FH cos F1 sin (FAV F1) sin FH cos FS0 sin FH cos
相应简支梁
§4-2 三铰拱的计算
2、内力的计算
区别拱与梁的主要标志：推力的存在与否。
§4-1 概述
拉杆拱： 拱两支座间的拉杆代替支座承受水平推力
拉杆做成折线形可获得较大空间
高跨比：f/l
平拱： 两拱趾在同一水平线上 斜拱： 两拱趾不在同一水平线上
§4-2 三铰拱的计算
1、支座反力的计算
由拱的整体平衡
M B 0 FAV
Fibi l
M A 0 FBV
第四章结构力学静定拱
15kN
A
K左
A
K右
12.5kN
12.5kN
FºSK左＝12.5kN
FºSK右＝－2.5kN
( F H 1 0 k N ,F S 0 K 左 1 2 . 5 k N ,F S 0 K 右 2 . 5 k N )
( s i n 0 .4 4 7 ,c o s 0 .8 9 4 )
FSK左FS0K左cosFHsin12.50.894100.447
r FP1 90。 D D
C
FQD A
FP2 B
FRA
FRB
M D FRD rD
FQD FRD sin D FND FRD cos D
r D ——截面D形心到FRD作用线之距离。
D ——FRD作用线与截面D轴线切线的夹角。
由此看出，确定截面内力的问题归结为确定 截面一边所有外力的合力之大小、方向及作用线 的问题。
tgy'4l2f
(l2x)a b
F
V
0 A
FP1
D
F
0 SD
代梁
a2+b2 a
b
2) FºSD是代梁截面D的剪力，设为正方向。 故FºSD可能大于零、等于零或小于零。
下面用上述公式求FSK、FNK。
xK＝4m y'41 624(1624)1 2 FºSK左＝12.5kN
5
1 2
FºSK右＝－2.5kN
FP2 E FP1
D
FRA A
o
C FP1 FP2
FRA
FRB
FP3
FP3 F
B
FRB
在上图所示力多边形中，射线1－2代表FRA与 FP1合力的大小和方向；射线2－3代表FRA与FP1、 FP2合力的大小和方向。
结构力学第5章静定拱的内力计算
e 1 1` 1 F Q1 F N1
A
FA
图5-3-2(a)
同理，截取隔离体如图5-3-2(b)
FP G FN2 e2 2` D2 FQ2 A
F2
FA
图5-3-2(b)
容易看出:
图5-3-2两隔离体上截面1、2上 合力F1、F2与各自的三个内力分量 的等效关系。
AG和GB（注意GB过C铰）直线分别 是拱AD和DB段上合内力的作用线，又 叫压力线。
例5-3-1试设计一个三铰拱的轴线。
其拱上作用荷载与拱的三个铰相对位 置已定，如图(a)示
(a)
2 m 2 m 4 m
2m
2m
解
1)求支座反力
因拱的两个底铰不在一条直线上，须 先建立关于同一个铰的两个约束力的 平衡方程，联立求解，即：
先考虑支座B的约束力。以A点为 矩心，建立拱整体的力矩平衡方 程：
(a)
解 1)求支座反力
竖向反力
0 1 R FBy [q R FP ( R R cos )] 11.33kN () 2R 2
A
M
M
FAy
B
0
1 R [q R FP ( R R cos )] 1.33kN () 2R 2
结构力学
结构力学教研室
青岛理工大学工管系
第五章 静定拱的内力分析
§5.1
概 述
什么叫拱？
一般指杆的轴线为曲线形状，并且 在竖向荷载作用下会产生水平支座 反力的结构。
静定拱分类：
三铰拱 带拉杆三铰拱
静定拱的各部名称见图5-1-1。
拱 轴
( 底 铰 )
f（拱 高)
(a)三铰拱
(b)带拉杆三铰拱
A
FA
图5-3-2(a)
同理，截取隔离体如图5-3-2(b)
FP G FN2 e2 2` D2 FQ2 A
F2
FA
图5-3-2(b)
容易看出:
图5-3-2两隔离体上截面1、2上 合力F1、F2与各自的三个内力分量 的等效关系。
AG和GB（注意GB过C铰）直线分别 是拱AD和DB段上合内力的作用线，又 叫压力线。
例5-3-1试设计一个三铰拱的轴线。
其拱上作用荷载与拱的三个铰相对位 置已定，如图(a)示
(a)
2 m 2 m 4 m
2m
2m
解
1)求支座反力
因拱的两个底铰不在一条直线上，须 先建立关于同一个铰的两个约束力的 平衡方程，联立求解，即：
先考虑支座B的约束力。以A点为 矩心，建立拱整体的力矩平衡方 程：
(a)
解 1)求支座反力
竖向反力
0 1 R FBy [q R FP ( R R cos )] 11.33kN () 2R 2
A
M
M
FAy
B
0
1 R [q R FP ( R R cos )] 1.33kN () 2R 2
结构力学
结构力学教研室
青岛理工大学工管系
第五章 静定拱的内力分析
§5.1
概 述
什么叫拱？
一般指杆的轴线为曲线形状，并且 在竖向荷载作用下会产生水平支座 反力的结构。
静定拱分类：
三铰拱 带拉杆三铰拱
静定拱的各部名称见图5-1-1。
拱 轴
( 底 铰 )
f（拱 高)
(a)三铰拱
(b)带拉杆三铰拱
4静定拱
FF
CC
BB
F
V0BF
0 VB
FH FfH f
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
三铰拱的合理拱轴线
三铰拱在竖向荷载作用下任一截面的弯矩为：
MK
M
0 K
FH y
拱合理拱轴线：若拱的所有截面上的弯矩都为零，
这样的拱轴线为合理拱轴线。
由 M M 0 FH y 0 得合理拱轴线方程
C
A B
B
A
B
有拉杆的三铰拱
两铰拱
(c)
梁式结构在竖向荷载作用下是不会产生推力的。
C
B
A
B
曲梁
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§4-1 概 述
结构力学
三铰拱各部分名称
拱顶
拱轴线
f 矢高
拱趾
拱趾
l 跨度
拱顶：拱的最高点。 拱趾： 支座处。 跨度：两支座之间的水平距离， 用l表示。 矢高：拱顶到两拱趾间联线的竖向距离，用f表示。
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§4-3 三铰拱的合理拱轴线
结构力学
例4-2 设三铰拱上作用沿水平向均布的竖向荷载q
试求拱的合理轴线。
q
M0
解:由式（4-5） y FH
Y
C
在均布荷载q作用下， 代梁的弯矩方程为
f
A l 2
X B l
2
M 0 ql x qx2 q x(l x)
q
2 22
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3静定结构(拱)
0
相应简支 梁的剪力
§3-8
三铰拱
MK FP1 FNK
τ
（3）轴力计算 求拱轴线上任意点k的剪力， 同样取Ak为隔离体：
FH
k
FQ
K
Hale Waihona Puke ηAFYA FP1
0
F N k FYA Sin k H C os k F P 1 Sin k
FYA F P 1 S in k H C o s k
k
FH
FQ
K
M
M
k
k
0
η
FYA x k F P 1 x k a 1 H y k
A
FYA FP1
（3）剪力计算 求拱轴线上任意点k的剪力， 同样以Ak为隔离体：
k M K
F0YA F0QK
0 FQ k FYA C os k H Sin k F P 1C os k FYA F P 1 C os k H Sin k FQ k FQ k C os k H Sin k
成反比，f越小,FH越大，f越大， FH越小。也就是
说：f越小，拱的特性就越突出。
FN — 受压为正 FS — 拱隔离体顺时针转为正 M — 以拱内侧受拉为正
内 力
§3-8
三铰拱
相应简支 梁的弯矩
MK FP1 FNK
τ
（2）弯矩计算 求拱轴线上任意点k的弯矩， 为此取Ak为隔离体：
2
0
q L L q L2 f 2 2 4 2
f A L
B
qL
8f
§3-8
yk M
1 2
k
相应简支 梁的剪力
§3-8
三铰拱
MK FP1 FNK
τ
（3）轴力计算 求拱轴线上任意点k的剪力， 同样取Ak为隔离体：
FH
k
FQ
K
Hale Waihona Puke ηAFYA FP1
0
F N k FYA Sin k H C os k F P 1 Sin k
FYA F P 1 S in k H C o s k
k
FH
FQ
K
M
M
k
k
0
η
FYA x k F P 1 x k a 1 H y k
A
FYA FP1
（3）剪力计算 求拱轴线上任意点k的剪力， 同样以Ak为隔离体：
k M K
F0YA F0QK
0 FQ k FYA C os k H Sin k F P 1C os k FYA F P 1 C os k H Sin k FQ k FQ k C os k H Sin k
成反比，f越小,FH越大，f越大， FH越小。也就是
说：f越小，拱的特性就越突出。
FN — 受压为正 FS — 拱隔离体顺时针转为正 M — 以拱内侧受拉为正
内 力
§3-8
三铰拱
相应简支 梁的弯矩
MK FP1 FNK
τ
（2）弯矩计算 求拱轴线上任意点k的弯矩， 为此取Ak为隔离体：
2
0
q L L q L2 f 2 2 4 2
f A L
B
qL
8f
§3-8
yk M
1 2
k
0304静定拱结构(力学)资料
VB VB0 ,
…………式（2-1）
HA
HB
H
M
0 C
f
.
H 与 f (f / l)之间是 什么关系？
分析：
VA VA0 ,
VB VB0 ,
HA
HB
H
M
0 C
f
.
1. 荷载与跨度一定时， 水平推力与拱高成反比。
2.三铰拱的竖向反力与其 相应简支梁的反力相等; 水平反力与拱轴线形状无 关。
2） 内力计算
M
0 K
VA0 xK
P1(xK
a1)
MK
M
0 K
Hy K
拱的弯矩与相应简 支梁的弯矩相比，
大小如何？
K 截面剪力和轴力
P1
QK
MK NK
QK VA cosK P1 cosK H sinK
VA P1cosK H sinK
HA
QK0 cosK H sin K
VA
P1
M
0 K
NK VA P1sinK H cosK
卢浦大桥（2003年06月28日通车）
卢浦大桥创造10项世界纪录
1. 世界上跨径（550米）最大的拱形桥； 2. 目前世界上首座采用箱型拱结构的特大型拱桥； 3. 目前世界上首座除合龙接口采用栓接外，完全采用焊 接工艺连接的大型拱桥； 4. 在拱桥造桥过程中单体构件吊装重量世界最大（860 吨），河中跨拱肋吊装最大重量（480吨）也居世界首 位； 5. 主桥建造中融合了斜拉桥、拱桥、悬索桥三种不同类 型桥梁施工工艺于一身，是目前世界上在单座桥梁建造 中所采用的施工工艺最多也最为复杂的一座桥；
卢浦大桥创造10项世界纪录
6.主桥用钢量达35000多吨，是目前世界上单座拱桥用钢 量最大的；
结构力学6静定拱平面桁架
§3-5 静定平面桁架
12. 例4：求EF、ED、CD与DG杆内力
§3-5 静定平面桁架
§3-5 静定平面桁架
§3-5 静定平面桁架
13. 截面法和结点法联合应用 例1：求平面桁架a、b杆的内力
§3-5 静定平面桁架
§3-5 静定平面桁架
§3-5 静定平面桁架
例2：求平面桁架HC杆的内力
§3-4 静定拱
三铰拱的内力计算
三铰拱的内力值不仅与荷载及三个铰的位置有关，而 且与各铰间拱轴线的形状有关。
§3-4 静定拱
7. 例题1：试作下面三铰拱的内力图，拱轴线为抛
物线，其方程为
。
§3-4 静定拱
§3-4 静定拱
§3-4 静定拱
§3-4 静定拱
8. 斜拱的计算原理。
§3-4 静定拱
§3-4 静定拱
6. 三铰拱的数解法
三铰拱的反力只 与荷载及三个铰的位 置有关，而与各拱间 的拱轴线性状无关。 当荷载及拱跨l不变时
，H将与f成反比，f越
大即拱越陡时H越小； f越小即拱越平坦时H 越大。
§3-4 静定拱
三铰拱的内力计算
§3-4 静定拱
三铰拱的内力计算
拱内任一截面的 弯矩M等于相应 简支梁对应截面 的弯矩M0减去推 力引起的弯矩 Hy。由于推力 的存在，拱的弯 矩比梁要小。
3. 桁架的优点 各杆只承受轴力，截面上的应力是均匀分布的
，可同时达到容许值，材料能够得到充分利用。 因而与梁相比，用料更省，能跨越更大的跨度。
§3-5 静定平面桁架
4. 平面桁架内杆件的分类：弦杆和腹杆
§3-5 静定平面桁架
5. 平面桁架的分类 外形：平行弦桁架（a）、折弦桁架（b）与三角形桁架（c） 水平推力：无推力桁架或梁式桁架（a、b、c）和推力桁架或拱
结构力学第4章 静定拱结构
一、工程中的拱结构轴线为曲线、仅在竖向荷载下能产生水平反力(推力)的结构称为拱。
图4-1所示为拱结构的工程实例。
图4-1工程中的拱结构二、拱式结构的特征及其应用1、定义：通常杆轴线为曲线，在竖向荷载作用下，支座产生水平反力的结构。
2、特点：（1）弯矩比相应简支梁小，水平推力存在的原因。
（2）用料省、自重轻、跨度大。
（3）可用抗压性能强的砖石材料。
（4）构造复杂，施工费用高。
3、拱的种类：图4-2拱的种类4、拱各部分的名称：一、支座反力的计算C拱顶铰BA拱肋跨度拱趾铰(a) 等高三铰拱C高差hAB(b) 不等高三铰拱严格的来说，实体三铰拱支座反力的计算与一般三铰刚架结构反力计算相同。
本书介绍的是等代梁解法。
图4-4实体三铰拱第二节实体三铰拱的数解法图4-5等代粱ll 1l 2a 3b 3b 2b 1a 2a 1F P1F P2F P3F P1F P2F P3F A yF B yF A yF B yF B xF A x 00A CBAB C(b)(a )f0CH M F =HB A F F F ==x x 0Ay Ay F F =0ByBy FF =二、拱内截面内力的计算图4-6拱内截面内力1、拱的内力计算原理仍然是截面法。
2、拱通常受压力，所以计算拱时，规定轴力以受压为正。
对于竖向荷载作用三铰拱，其内力计算有简捷公式。
(c)CB A00F B yF A yF P3F P2F P1B F B xAF A x F A yF B y(a )C F P3F P2F P1a 1a 2b 1b 2b 3a 3lϕK F A y F A xF P1KM K F NKF QKx KK ϕy KxyK K(b)yF MM H 0-=ϕϕsin cos H 0Q Q F F F -=ϕϕcos sin H 0Q N F F F --=A0AyFQ F 0M (b) 代梁受力F Ax =F H F Ayx A y k F y FxyϕM(a) 截面k 坐标方向力图4-7拱内截面内力需要指出的是，非竖向荷载作用不等高三铰拱等情形，上述公式是不适用的。
4第四章静定拱
结 构 力 学 （ 08-09
21
12:14
合理拱轴线小结： 1）不同荷载作用下三铰拱的合理拱轴 线不同。 2）实际工程中，尽可能使受力状态接 近无弯矩状态。通常是以主要荷载作用 下的合理拱轴线作为拱的轴线。
学 年 ）
学 年 ）
M y FH
M M FH y 0
0
0
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线的纵 坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。
§4-3三铰拱的合理拱轴线
12:14
结 试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线 构 力 q MC0=ql2/8 学 （ C 2/8f y F = ql f H A B 学 x l M0=qlx/2-qx2 /2 年 =qx(l-x)/2 ） q 08-09
0 FP2=50kN FH= MC / f =50.25 KN
8.5 163.5 201
58.5 175.5
FQ(kN)
M(kN.m)
0 MK MK FH y 0 FQK FQK cos FHsin
FNK FQK 0sin FHcos
§4-2三铰拱的计算
17
y=4fx(l-x)/l2
x
抛物线
§4-3三铰拱的合理拱轴线
结 构 力 学 （ 08-09
18
12:14
试求，在填土重量作用下，三铰拱的合理 轴线。土的容重为γ，拱所受的竖向荷载 为q(x)=qc+ γy
学 年 ）
§4-3三铰拱的合理拱轴线
结 构 力 学 （ 08-09
19
12:14
M f y FH
第四章 静定拱
21
12:14
合理拱轴线小结： 1）不同荷载作用下三铰拱的合理拱轴 线不同。 2）实际工程中，尽可能使受力状态接 近无弯矩状态。通常是以主要荷载作用 下的合理拱轴线作为拱的轴线。
学 年 ）
学 年 ）
M y FH
M M FH y 0
0
0
只限于三铰平拱受 竖向荷载作用
在竖向荷载作用下，三 铰拱的合理拱轴线的纵 坐标与相应简支梁弯矩 图的竖标成正比。
§4-3三铰拱的合理拱轴线
12:14
结 试求图示对称三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴线 构 力 q MC0=ql2/8 学 （ C 2/8f y F = ql f H A B 学 x l M0=qlx/2-qx2 /2 年 =qx(l-x)/2 ） q 08-09
0 FP2=50kN FH= MC / f =50.25 KN
8.5 163.5 201
58.5 175.5
FQ(kN)
M(kN.m)
0 MK MK FH y 0 FQK FQK cos FHsin
FNK FQK 0sin FHcos
§4-2三铰拱的计算
17
y=4fx(l-x)/l2
x
抛物线
§4-3三铰拱的合理拱轴线
结 构 力 学 （ 08-09
18
12:14
试求，在填土重量作用下，三铰拱的合理 轴线。土的容重为γ，拱所受的竖向荷载 为q(x)=qc+ γy
学 年 ）
§4-3三铰拱的合理拱轴线
结 构 力 学 （ 08-09
19
12:14
M f y FH
第四章 静定拱
静定拱结构(力学)
全性。
03
静定拱结构的分析方法
解析法
解析法是通过数学公式和定理来求解静定拱结构 的内力和变形的方法。
这种方法基于力学的基本原理和数学工具，能够 得到精确的解答。
解析法适用于简单形状和边界条件的静定拱结构， 但不适用于复杂结构和非线性问题。
有限元法
有限元法是一种数值计算方法， 通过将连续的结构离散化为有 限个小的单元，来求解结构的
02
静定拱结构的力学原理
力的平衡原理
总结词
静定拱结构在力的平衡原理下保持稳定，各部分受力相互抵消，不产生额外的 力矩或力。
详细描述
静定拱结构通过合理的设计，使得作用在结构上的外力（如重力、风载、雪载 等）在内部各部分之间相互抵消，没有产生额外的力矩或力，从而保持结构的 稳定。
力的分布原理
总结词
THANKS
感谢观看
静定拱结构(力学)
目录
• 静定拱结构概述 • 静定拱结构的力学原理 • 静定拱结构的分析方法 • 静定拱结构的优化设计 • 静定拱结构的稳定性分析 • 静定拱结构的案例分析
01
静定拱结构概述
定特定受力 特性的拱形结构，其受力状态仅 由其自身刚度和所受外力决定， 不依赖于其他结构部分。
静定拱结构能够将外力均匀地传递到结构的各个部分，以减小局部应力集中。
详细描述
静定拱结构的设计能够确保外力在结构中均匀分布，避免应力集中现象，从而减 小结构损坏的风险。这种力的分布原理有助于提高结构的承载能力和稳定性。
弹性力学基础
总结词
静定拱结构在弹性力学基础上进行分析和设计，考虑结构的 变形和应力分布。
优化变量
设计过程中需要优化的参数，如拱的形状、尺寸、材料等。
优化设计的数学模型
03
静定拱结构的分析方法
解析法
解析法是通过数学公式和定理来求解静定拱结构 的内力和变形的方法。
这种方法基于力学的基本原理和数学工具，能够 得到精确的解答。
解析法适用于简单形状和边界条件的静定拱结构， 但不适用于复杂结构和非线性问题。
有限元法
有限元法是一种数值计算方法， 通过将连续的结构离散化为有 限个小的单元，来求解结构的
02
静定拱结构的力学原理
力的平衡原理
总结词
静定拱结构在力的平衡原理下保持稳定，各部分受力相互抵消，不产生额外的 力矩或力。
详细描述
静定拱结构通过合理的设计，使得作用在结构上的外力（如重力、风载、雪载 等）在内部各部分之间相互抵消，没有产生额外的力矩或力，从而保持结构的 稳定。
力的分布原理
总结词
THANKS
感谢观看
静定拱结构(力学)
目录
• 静定拱结构概述 • 静定拱结构的力学原理 • 静定拱结构的分析方法 • 静定拱结构的优化设计 • 静定拱结构的稳定性分析 • 静定拱结构的案例分析
01
静定拱结构概述
定特定受力 特性的拱形结构，其受力状态仅 由其自身刚度和所受外力决定， 不依赖于其他结构部分。
静定拱结构能够将外力均匀地传递到结构的各个部分，以减小局部应力集中。
详细描述
静定拱结构的设计能够确保外力在结构中均匀分布，避免应力集中现象，从而减 小结构损坏的风险。这种力的分布原理有助于提高结构的承载能力和稳定性。
弹性力学基础
总结词
静定拱结构在弹性力学基础上进行分析和设计，考虑结构的 变形和应力分布。
优化变量
设计过程中需要优化的参数，如拱的形状、尺寸、材料等。
优化设计的数学模型
6-4a：静定拱
0
可见合理拱轴为抛物线方程。
注：
1．拱的合理轴线是与荷载一一对应的，即：不同 的荷载对应有不同的合理拱轴。 2．在矢高不确定的情况下，一个荷载对应的合理 拱轴不是一条，而是一组。 3．若用压力线作为三铰拱轴线，则任一截面弯矩 都为零，故压力线为合理拱轴。 4．在工程实际中，同一结构往往受到各种荷载作 用，因此根据某一固定荷载确定的合理拱轴并不 能保证在各种荷载作用下均处于无弯矩状态。在 设计中，通常是以主要荷载作用下的合理拱轴作 为拱的轴线。
例3-2 求三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴。 q C FH A FVA l /2 q A f B FH l /2 FVB
M0 = qx(l − x)/ 2
x 代梁
ql / 2
解：
M0 y= FH 1 M = qx (l − x ) 2 0 M C 1 1 2 ql 2 FH = = × ql = f f 8 8f 8f 1 4f y = 2 × qx (l − x ) = 2 x (l − x ) ql 2 l
§ 4-3 三铰拱的合理拱轴
1、三铰拱的合理轴线 在固定荷载作用下使拱处于无弯距状态的轴线。 在固定荷载作用下使拱处于无弯距状态的轴线。 求解公式：在竖向荷载作用下， 求解公式：在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线使拱 的各截面处于无弯距状态，即由（ 第一式， 的各截面处于无弯距状态，即由（4-2）第一式，得：
斜拱的反力计算
A
P1
C
P2
B
F
f h
/ R
F
/ AV
/ R
F
= F
0 BV
0 AV
F
/ R
/ BV
= F
0 C
F = M
/h
可见合理拱轴为抛物线方程。
注：
1．拱的合理轴线是与荷载一一对应的，即：不同 的荷载对应有不同的合理拱轴。 2．在矢高不确定的情况下，一个荷载对应的合理 拱轴不是一条，而是一组。 3．若用压力线作为三铰拱轴线，则任一截面弯矩 都为零，故压力线为合理拱轴。 4．在工程实际中，同一结构往往受到各种荷载作 用，因此根据某一固定荷载确定的合理拱轴并不 能保证在各种荷载作用下均处于无弯矩状态。在 设计中，通常是以主要荷载作用下的合理拱轴作 为拱的轴线。
例3-2 求三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴。 q C FH A FVA l /2 q A f B FH l /2 FVB
M0 = qx(l − x)/ 2
x 代梁
ql / 2
解：
M0 y= FH 1 M = qx (l − x ) 2 0 M C 1 1 2 ql 2 FH = = × ql = f f 8 8f 8f 1 4f y = 2 × qx (l − x ) = 2 x (l − x ) ql 2 l
§ 4-3 三铰拱的合理拱轴
1、三铰拱的合理轴线 在固定荷载作用下使拱处于无弯距状态的轴线。 在固定荷载作用下使拱处于无弯距状态的轴线。 求解公式：在竖向荷载作用下， 求解公式：在竖向荷载作用下，三铰拱的合理轴线使拱 的各截面处于无弯距状态，即由（ 第一式， 的各截面处于无弯距状态，即由（4-2）第一式，得：
斜拱的反力计算
A
P1
C
P2
B
F
f h
/ R
F
/ AV
/ R
F
= F
0 BV
0 AV
F
/ R
/ BV
= F
0 C
F = M
/h
第四章 静定拱
结构力学
第四章 静定拱
海南大学土木工程系
韩建刚
1
三 角 拱 三角拱的内力计算 三角拱的合理拱轴线
2
§4.1 三角拱
拱是在竖向荷载作用下能 产生水平反力的结构，如图。 水平反力 产生负弯矩， 可以抵消一 部分正弯矩
1、拱的特点
C ↓↓↓↓↓
矢高f
A
B
l跨度
与简支梁相比拱的弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）, 应力沿截面高度分布较均匀。 节省材料，减轻自重，能跨越大 跨度 , 宜采用耐压不耐拉的材料 ， 如砖石混凝土等。有较大 的可利用空间。 其缺点是：拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下部结构的 拱具有曲线形状，施工不方便. 材料用量；
11
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。 8
0.5 1.5 12 0.71 M° 0.4 2 1.5 M图 (kN.m) 0 20 24 -0.49 24 -1 -6 -1.79 -5.81 -7.6 0.49 1.79 20 2
0.5
Hy -0.40
Q图 (kN) -9.19
其中 ∑MBP 是所 有荷载对B点的矩 VB=YB； H=MC0/f
二、内力计算
M P H VA x P M° YA d Q°Y A
x
P N ϕ H
C
f
↓↓↓↓↓
A
a l/2
B H
l/2
P VB
y
Q VA
c
d
↓↓↓↓↓
l
a
YB
注：1、该组公式仅用于两底铰在
VA ×x 0 MM＝ A×M－P×d ＝VM°－H×y x－P×d－H×y Q＝Q°× cos ϕ－ H×sinϕ Q＝（VA－P）×cosϕ－H×sin ϕ N＝－Q°sin ϕ －Hcos ϕ N＝－（VA－P）sinϕ－Hcosϕ
第四章 静定拱
海南大学土木工程系
韩建刚
1
三 角 拱 三角拱的内力计算 三角拱的合理拱轴线
2
§4.1 三角拱
拱是在竖向荷载作用下能 产生水平反力的结构，如图。 水平反力 产生负弯矩， 可以抵消一 部分正弯矩
1、拱的特点
C ↓↓↓↓↓
矢高f
A
B
l跨度
与简支梁相比拱的弯矩、剪力较小，轴力较大（压力）, 应力沿截面高度分布较均匀。 节省材料，减轻自重，能跨越大 跨度 , 宜采用耐压不耐拉的材料 ， 如砖石混凝土等。有较大 的可利用空间。 其缺点是：拱对基础或下部结构施加水平推力，增加了下部结构的 拱具有曲线形状，施工不方便. 材料用量；
11
重复上述步骤，可求出各等分截面的内力，作出内力图。 8
0.5 1.5 12 0.71 M° 0.4 2 1.5 M图 (kN.m) 0 20 24 -0.49 24 -1 -6 -1.79 -5.81 -7.6 0.49 1.79 20 2
0.5
Hy -0.40
Q图 (kN) -9.19
其中 ∑MBP 是所 有荷载对B点的矩 VB=YB； H=MC0/f
二、内力计算
M P H VA x P M° YA d Q°Y A
x
P N ϕ H
C
f
↓↓↓↓↓
A
a l/2
B H
l/2
P VB
y
Q VA
c
d
↓↓↓↓↓
l
a
YB
注：1、该组公式仅用于两底铰在
VA ×x 0 MM＝ A×M－P×d ＝VM°－H×y x－P×d－H×y Q＝Q°× cos ϕ－ H×sinϕ Q＝（VA－P）×cosϕ－H×sin ϕ N＝－Q°sin ϕ －Hcos ϕ N＝－（VA－P）sinϕ－Hcosϕ
《结构力学》第四章静定拱
实例演示
通过实例演示内力图的 绘制过程，帮助读者掌
握绘制技巧。
04 静定拱的位移计算
位移计算基本概念
位移的定义
位移是指在外力作用下，结构物 某一点或某一截面位置的变化。
静定拱的位移
静定拱在荷载作用下的位移包括 拱顶竖向位移、拱脚水平位移和
转角位移等。
位移计算的意义
位移计算是结构力学中的重要内 容，对于评估结构的安全性、稳 定性和使用功能具有重要意义。
虚功原理在位移计算中的应用
虚功原理的基本概念
01
虚功原理是结构力学中的一个基本原理，它建立了外
力功与结构内部应变能之间的关系。
虚功原理在静定拱位移计算中的应用
02 通过构建静力可能位移和虚力状态，利用虚功原理可
以求解静定拱在各种荷载作用下的位移。
虚功原理的适用条件
03
虚功原理适用于线弹性结构，即结构在受力过程中满
解题思路
同样需要构建静力可能位移和虚力 状态，利用虚功原理求解位移。
解题步骤
详细列出解题步骤，并解释每一步 的意义和计算方法。
05 静定拱的稳定性分析
稳定性分析基本概念
稳定性
结构在受到外部扰动后，能够恢复原有平衡状态的能力。
临界荷载
使结构失去稳定或发生破坏的最小荷载。
稳定性分析
研究结构在荷载作用下是否会发生失稳或破坏，以及如何提高结 构的稳定性。
通过截取拱的任意截面，利用静 力平衡条件求解截面上的内力。
叠加法
将复杂的拱结构分解为若干简单结 构，分别计算内力后再进行叠加。
力法
通过引入多余未知力，建立力法方 程求解拱的内力。
典型例题解析
圆弧拱内力计算
01
结构力学第4章静定拱
y M0 H
三铰拱合理拱轴线的纵坐标y与相应简支梁弯矩图的竖标成 正比。当荷载已知时，只需求出相应简支梁的弯矩方程式，除 以常数H便得到合理拱轴线方程。
11
例 4－2 求图示对称三铰拱在均布荷载q作用下的合理拱轴线。
解：
相应简支梁的弯矩方程为
y
M 0 qL x qx2 1 qx(L x) 2 22
x
所以
H
M
0 C
qL2
f 8f
y
M0 H
4f L2
x(L x)
x
合理拱轴线为抛物线
12
本章小结
三铰拱是按三刚片规则组成的静定结构； 在竖向荷载作用下，产生竖向反力与水平推力； 拱的主要内力是轴力； 利用合理拱轴可以使拱的弯矩达到最小。
13
y
23
1
50.25kN
→H o
↑VA
75.5kN
4
x
50.25kN
←H ↑ VB
58.5kN
以1截面为例： L=12m、f=4m代入拱轴方程
y
44 122
x(12
x)
x 9
(12
x)
tg dy 2 (6 x) dx 9
9
1截面： x1=1.5m 1=450
y1=1.75m tg1=1 sin 1=0.707 cos 1=0.707
503
755
→H
↑ VA
kN 75.5kN
←H
↑VB
58.5kN
VB VB0 14 6 3 50 9 58 5 kN 12
↑VA0
↑VB0
H
M
0 C
75 5 6 14 6 3
50 25kN
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H
MC
120 30 KN f 4
（3）BC段：
y( BC ) M (BC )
° ° ° °
H 50 x3 5 x32 30 x3 (10 x3 ) （抛物线） 6
24
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
求各段的合理拱轴线。 （1）AD段： y( AD ) （2）DC段：
2、内力计算： （1）任一截面K(位置)：
K截面形心坐标X K 、YK K截面形心处拱轴切线的倾角 K
轴力N 以压为正 （2）内力： 剪力Q 绕隔离体顺时针转为正 弯矩M 以拱内侧受拉为正
K
k
10
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（3）弯矩计算：
结构力学 Structural mechanics 第四章 静定拱
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 基本概念 三铰拱的计算 三铰拱的合理拱轴线 三铰刚架
2
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
1、拱的定义 拱-杆轴线为曲线，并在竖向荷载作用下 将产生水平推力的结构。
0 N K Biblioteka QK sin k H cos k （5）剪力计算：
k
Q
0 K
VA P 1
K
QK (V A P1 ) cos k H sin k
K
Q K Q cos k H sin k k -左半拱正、右半拱负 三铰拱的内力与拱的轴线形状有关。
0 V A l1 p1 (l1 a1 ) M C H f f
0 MC -相应简支梁在C处的弯矩。
三铰拱的约束反力只与荷载及三个铰的位置有关， 9 与拱轴线无关。
0 V A V A 0 V V B B 0 M C H f
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
截面1：
x1 1.5m
y1 1.75m tg1 1 1 45
0
sin 1 cos 1 0.707
15
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
求内力：
M 1 M Hy1 9.6 KN m
Q1 Q cos 1 H sin 1 3KN
pb l
pa l
i i
i i
p1b1 p 2 b2 l
p1 a1 p 2 a 2 l
0
A
VA VA
VB VB
F
X
0
HA HB H
°
°
8
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
M
取左半拱为隔离体，考虑其平衡：
C
0 V A l1 p1 (l1 a1 ) Hf 0
22
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
H
MC
120 30 KN f 4
M
( DC )
° ° ° °
（ 2 ） DC 段 ：
y( DC ) H 30 x2 P ( x2 3) 30 x2 2 （直线） 3
23
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例
28
第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
例
29
第四章 静定拱（Arch）
作业： 4-1
4-4
30
本节课到此结束再见!
31
y( DC )
M (AD ) H
30 x1 x （直线） 1 30
M (DC ) H x2 3
30 x2 P( x2 3) 30
（直线） 2
（3）BC段： y( BC )
M (BC ) H
50 x3 5 x32 x3 (10 x3（抛物线） ) 30 6
K
k
M K V A X K P1 X K a1 Hy K
0 MK MK Hy K
11
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（4）轴力计算： N K V A sin k P1 sin k H cos k (V A P1 ) sin k H cos k
0 C
f
50.25 KN
14
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（2）求内力 将跨度等分，求轴线上各等分点处的内 力值，然后绘内力图。 以截面1为例： 4f x 拱轴方程： y 2 (l x) x (12 x)
l 9
dy 2 tg (6 x) dx 9
20
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例2
°
°
°
°
21
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
求各段的合理拱轴线。
H
MC
120 30 KN f 4
° ° ° °
（1）AD段：
y( AD ) M (AD ) （直线） H 30 x1 x1 30
6
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
3、几何特性： 拱顶
拱高 起拱线 拱趾( 、 ) 跨度 拱轴线(拱轴)
平 拱-两拱趾连线为水平。 高跨比-f/l
7
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
1、求反力：（Reaction） HA、HB、VA、VB
M
M
B
0
0
0
VA
VB
无水平推力，为曲梁
3
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
悬吊结构（H-水平拉力）
4
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
拱（H-水平推力）
5
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
2、常见形式
三铰拱 静定拱 拱两铰拱 无铰拱超静定结构
三铰拱
两铰拱
无铰拱
2 ql qx M x 2 2
又
H
MC
f
2 ql
8f
M 4f y 2 x(l x) 抛物线 l H
19
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
4f y 2 x(l x) l
讨论： 当q、l一定，f可变，合理拱轴线有无 限多个。 当q、l和f一定（且f 0），合理拱轴 线只有一个。
0 K
θK
12
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
例：（教材） 拱轴线方程：
4f y 2 (l x ) x l
绘M、N、Q图。
×
13
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（1）求反力：
V A V 75.5KN
0 A
VB V 58.5KN
0 B
×
H
M
25
第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
例
26
第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
求支反力： 取整体：
M 0 M 0 X 0 H
B
VA 0
A
VB 0
HB H
A
取半边：
M
C
0
H M
l
27
第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
1
1
N1 Q sin 1 H cos 1 74 KN
1
同理可以求出其他各截面上的内力值（列 表计算）。（参考教材P61）
16
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线 （ Optimal centre line of arch ）
1、定义： 在已知荷载作用下，能选择三铰拱的轴 线，使得拱的所有横截面上的弯矩为零。 该拱的轴线就称为三铰拱的合理拱轴线。 2、条件： 满足横截面上的弯矩M＝0、Q=0，而仅有 轴力N。
17
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
3、方法： 利用弯矩方程：
M M Hy
令： M M Hy 0
0
yM
0
H
18
y即为合理拱轴线的纵坐标。
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例1、（教材）求对称三铰拱在均布竖向荷 载作用下拱的合理拱轴线。
MC
120 30 KN f 4
（3）BC段：
y( BC ) M (BC )
° ° ° °
H 50 x3 5 x32 30 x3 (10 x3 ) （抛物线） 6
24
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
求各段的合理拱轴线。 （1）AD段： y( AD ) （2）DC段：
2、内力计算： （1）任一截面K(位置)：
K截面形心坐标X K 、YK K截面形心处拱轴切线的倾角 K
轴力N 以压为正 （2）内力： 剪力Q 绕隔离体顺时针转为正 弯矩M 以拱内侧受拉为正
K
k
10
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（3）弯矩计算：
结构力学 Structural mechanics 第四章 静定拱
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 基本概念 三铰拱的计算 三铰拱的合理拱轴线 三铰刚架
2
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
1、拱的定义 拱-杆轴线为曲线，并在竖向荷载作用下 将产生水平推力的结构。
0 N K Biblioteka QK sin k H cos k （5）剪力计算：
k
Q
0 K
VA P 1
K
QK (V A P1 ) cos k H sin k
K
Q K Q cos k H sin k k -左半拱正、右半拱负 三铰拱的内力与拱的轴线形状有关。
0 V A l1 p1 (l1 a1 ) M C H f f
0 MC -相应简支梁在C处的弯矩。
三铰拱的约束反力只与荷载及三个铰的位置有关， 9 与拱轴线无关。
0 V A V A 0 V V B B 0 M C H f
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
截面1：
x1 1.5m
y1 1.75m tg1 1 1 45
0
sin 1 cos 1 0.707
15
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
求内力：
M 1 M Hy1 9.6 KN m
Q1 Q cos 1 H sin 1 3KN
pb l
pa l
i i
i i
p1b1 p 2 b2 l
p1 a1 p 2 a 2 l
0
A
VA VA
VB VB
F
X
0
HA HB H
°
°
8
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
M
取左半拱为隔离体，考虑其平衡：
C
0 V A l1 p1 (l1 a1 ) Hf 0
22
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
H
MC
120 30 KN f 4
M
( DC )
° ° ° °
（ 2 ） DC 段 ：
y( DC ) H 30 x2 P ( x2 3) 30 x2 2 （直线） 3
23
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例
28
第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
例
29
第四章 静定拱（Arch）
作业： 4-1
4-4
30
本节课到此结束再见!
31
y( DC )
M (AD ) H
30 x1 x （直线） 1 30
M (DC ) H x2 3
30 x2 P( x2 3) 30
（直线） 2
（3）BC段： y( BC )
M (BC ) H
50 x3 5 x32 x3 (10 x3（抛物线） ) 30 6
K
k
M K V A X K P1 X K a1 Hy K
0 MK MK Hy K
11
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（4）轴力计算： N K V A sin k P1 sin k H cos k (V A P1 ) sin k H cos k
0 C
f
50.25 KN
14
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（2）求内力 将跨度等分，求轴线上各等分点处的内 力值，然后绘内力图。 以截面1为例： 4f x 拱轴方程： y 2 (l x) x (12 x)
l 9
dy 2 tg (6 x) dx 9
20
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例2
°
°
°
°
21
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
求各段的合理拱轴线。
H
MC
120 30 KN f 4
° ° ° °
（1）AD段：
y( AD ) M (AD ) （直线） H 30 x1 x1 30
6
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
3、几何特性： 拱顶
拱高 起拱线 拱趾( 、 ) 跨度 拱轴线(拱轴)
平 拱-两拱趾连线为水平。 高跨比-f/l
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第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
1、求反力：（Reaction） HA、HB、VA、VB
M
M
B
0
0
0
VA
VB
无水平推力，为曲梁
3
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
悬吊结构（H-水平拉力）
4
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
拱（H-水平推力）
5
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
2、常见形式
三铰拱 静定拱 拱两铰拱 无铰拱超静定结构
三铰拱
两铰拱
无铰拱
2 ql qx M x 2 2
又
H
MC
f
2 ql
8f
M 4f y 2 x(l x) 抛物线 l H
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第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
4f y 2 x(l x) l
讨论： 当q、l一定，f可变，合理拱轴线有无 限多个。 当q、l和f一定（且f 0），合理拱轴 线只有一个。
0 K
θK
12
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
例：（教材） 拱轴线方程：
4f y 2 (l x ) x l
绘M、N、Q图。
×
13
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（1）求反力：
V A V 75.5KN
0 A
VB V 58.5KN
0 B
×
H
M
25
第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
例
26
第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
求支反力： 取整体：
M 0 M 0 X 0 H
B
VA 0
A
VB 0
HB H
A
取半边：
M
C
0
H M
l
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第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
1
1
N1 Q sin 1 H cos 1 74 KN
1
同理可以求出其他各截面上的内力值（列 表计算）。（参考教材P61）
16
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线 （ Optimal centre line of arch ）
1、定义： 在已知荷载作用下，能选择三铰拱的轴 线，使得拱的所有横截面上的弯矩为零。 该拱的轴线就称为三铰拱的合理拱轴线。 2、条件： 满足横截面上的弯矩M＝0、Q=0，而仅有 轴力N。
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第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
3、方法： 利用弯矩方程：
M M Hy
令： M M Hy 0
0
yM
0
H
18
y即为合理拱轴线的纵坐标。
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例1、（教材）求对称三铰拱在均布竖向荷 载作用下拱的合理拱轴线。