材料力学静定拱

例
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第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
例
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第四章 静定拱（Arch）
作业： 4-1
4-4
30
本节课到此结束再见!
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0 V A l1 p1 (l1 a1 ) M C H f f
0 MC -相应简支梁在C处的弯矩。
三铰拱的约束反力只与荷载及三个铰的位置有关， 9 与拱轴线无关。
0 V A V A 0 V V B B 0 M C H f
第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
结构力学 Structural mechanics 第四章 静定拱
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 §4-2 §4-3 §4-4 基本概念 三铰拱的计算 三铰拱的合理拱轴线 三铰刚架
2
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
1、拱的定义 拱-杆轴线为曲线，并在竖向荷载作用下 将产生水平推力的结构。
2 ql qx M x 2 2
又
H
MC
f
2 ql
8f
M 4f y 2 x(l x) 抛物线 l H
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第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
4f y 2 x(l x) l
讨论： 当q、l一定，f可变，合理拱轴线有无 限多个。 当q、l和f一定（且f 0），合理拱轴 线只有一个。
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第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例2
°
°
°
°
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第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
求各段的合理拱轴线。
H
MC
120 30 KN f 4
° ° ° °
（1）AD段：
y( AD ) M (AD ) （直线） H 30 x1 x1 30
截面1：
x1 1.5m
y1 1.75m tg1 1 1 45
0
sin 1 cos 1 0.707
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第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
求内力：
M 1 M Hy1 9.6 KN m
Q1 Q cos 1 H sin 1 3KN
0 C
f
50.25 KN
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第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（2）求内力 将跨度等分，求轴线上各等分点处的内 力值，然后绘内力图。 以截面1为例： 4f x 拱轴方程： y 2 (l x) x (12 x)
l 9
dy 2 tg (6 x) dx 9
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第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
H
MC
120 30 KN f 4
M
( DC )
° ° ° °
（ 2 ） DC 段 ：
y( DC ) H 30 x2 P ( x2 3) 30 x2 2 （直线） 3
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第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
0 K
θK
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第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
例：（教材） 拱轴线方程：
4f y 2 (l x ) x l
绘M、N、Q图。
×
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第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（1）求反力：
V A V 75.5KN
0 A
VB V 58.5KN
0 B
×
H
M
H
MC
120 30 KN f 4
（3）BC段：
y( BC ) M (BC )
° ° ° °
H 50 x3 5 x32 30 x3 (10 x3 ) （抛物线） 6
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第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
求各段的合理拱轴线。 （1）AD段： y( AD ) （2）DC段：
pb l
pa l
i i
i i
p1b1 p 2 b2 l
p1 a1 p 2 a 2 l
0
A
VA VA
VB VB

F
X
0
HA HB H
°
°
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第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
M
取左半拱为隔离体，考虑其平衡：
C
0 V A l1 p1 (l1 a1 ) Hf 0
无水平推力，为曲梁
3
第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
悬吊结构（H-水平拉力）
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第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
拱（H-水平推力）
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第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
2、常见形式
三铰拱 静定拱 拱两铰拱 无铰拱超静定结构
三铰拱
两铰拱
无铰拱
K
k
M K V A X K P1 X K a1 Hy K
0 MK MK Hy K
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第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（4）轴力计算： N K V A sin k P1 sin k H cos k (V A P1 ) sin k H cos k
y( DC )
M (AD ) H
30 x1 x （直线） 1 30
M (DC ) H x2 3
30 x2 P( x2 3) 30

（直线） 2
（3）BC段： y( BC )
M (BC ) H
50 x3 5 x32 x3 (10 x3（抛物线） ) 30 6
1
1
N1 Q sin 1 H cos 1 74 KN
1
同理可以求出其他各截面上的内力值（列 表计算）。（参考教材P61）
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第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线 （ Optimal centre line of arch ）
1、定义： 在已知荷载作用下，能选择三铰拱的轴 线，使得拱的所有横截面上的弯矩为零。 该拱的轴线就称为三铰拱的合理拱轴线。 2、条件： 满足横截面上的弯矩M＝0、Q=0，而仅有 轴力N。
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第四章 静定拱（Arch）
§4-1 基本概念
3、几何特性： 拱顶
拱高 起拱线 拱趾( 、 ) 跨度 拱轴线(拱轴)
平 拱-两拱趾连线为水平。 高跨比-f/l
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第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
1、求反力：（Reaction） HA、HB、VA、VB
M
M
B
0
0
0
VA
VB
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第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
例
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第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
求支反力： 取整体：
M 0 M 0 X 0 H
B
VA 0
A
VB 0
HB H
A
取半边：
Hale Waihona Puke Baidu
M
C
0

H M
l
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第四章 静定拱（Arch）
§4-4 三铰刚架
2、内力计算： （1）任一截面K(位置)：
K截面形心坐标X K 、YK K截面形心处拱轴切线的倾角 K
轴力N 以压为正 （2）内力： 剪力Q 绕隔离体顺时针转为正 弯矩M 以拱内侧受拉为正
K
k
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第四章 静定拱（Arch）
§4-2 三铰拱的计算
（3）弯矩计算：
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第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
3、方法： 利用弯矩方程：
M M Hy
令： M M Hy 0
0

yM
0
H
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y即为合理拱轴线的纵坐标。
第四章 静定拱（Arch）
§4-3 三铰拱的合理拱轴线
例1、（教材）求对称三铰拱在均布竖向荷 载作用下拱的合理拱轴线。
0 N K QK sin k H cos k （5）剪力计算：
k
Q
0 K
VA P 1
K
QK (V A P1 ) cos k H sin k
K
Q K Q cos k H sin k k -左半拱正、右半拱负 三铰拱的内力与拱的轴线形状有关。