导数小结1PPT课件
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基本初等函数的导数公式及导数的运算法则 课件 (1)
原函数 f(x)＝c(c为常数) f(x)＝xα(α∈Q*)
f(x)＝sin x f(x)＝cos x
f(x)＝ax
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_α_x_α_－_1_ f′(x)＝_c_o_s_x__ f′(x)＝__－__s_in__x_ f′(x)＝ axln a (a>0)
f(x)＝ex f(x)＝logax f(x)＝ln x
∴所求的最短距离
d＝1本初等函数的导数公式
知识点一 几个常用函数的导数
原函数 f(x)＝c f(x)＝x f(x)＝x2 f(x)＝ 1
x f(x)＝ x
导函数 f′(x)＝_0__ f′(x)＝_1__ f′(x)＝__2_x_ f′(x)＝_－__x1_2 _
1 f′(x)＝_2__x__
知识点二 基本初等函数的导数公式
命题角度2 求切点坐标问题 例3 求抛物线y＝x2上的点到直线x－y－2＝0的最短距离.
解 设切点坐标为(x0，x20)，依题意知与直线 x－y－2＝0 平行的抛物线 y ＝x2 的切线的切点到直线 x－y－2＝0 的距离最短.
∵y′＝(x2)′＝2x，∴2x0＝1，∴x0＝12，
∴切点坐标为12，41，
f′(x)＝_e_x_
1 f′(x)＝ xln a (a>0且a≠1)
1 f′(x)＝__x_
类型一 利用导数公式求函数的导数
例1 求下列函数的导数. (1)y＝sin π6； 解 y′＝0. (2)y＝12x； 解 y′＝12xln12＝－12xln 2.
(3)y＝lg x；
解 y′＝xln110.
(4)y＝ x2x；
解
∵y＝
x2x＝x
3 2
《导数与微分小结》课件
小增量。
微分的计算
1 基本微分公式
2 高阶微分
根据函数类型，可以使用基本微分公式计 算微分，如常数函数、幂函数、指数函数、 对数函数等。
微分的高阶形式，表示对函数进行多次微 分，例如二阶微分、三阶微分，反映了函 数变化的更多细节。
微分的应用
近似计算
通过微分，可以近似计算函数在某一点的函数 值，从而方便求解实际问题，如误差分析。
《导数与微分小结》PPT 课件
导数与微分小结PPT课件。包括导数的定义、导数的计算、导数的应用、微 分的定义、微分的计算、微分的应用，最后对导数和微分进行总结和应用场 景介绍。
导数的定义
• 几何意义：导数表示函数在某点的切线斜率，刻画了函数曲线在该点 附近的变化趋势。
• 物理意义：导数表示物理量对时间的变化率，例如速度表示位移对时 间的导数。
• 导数和微分可以用于优化问题、近似计算、曲线研究、泛函分析等各 个领域。
函数的局部变化分析
通过微分的正负性和变化趋势，可以研究函数 的极值、拐点、增减性等局部特征。
总结
• 导数和微分都是研究函数变化的重要工具，但具有不同的定义和运用方式。 • 导数更加注重变化率和曲线特征，微分更加注重局部近似和函数值的微小变化。
导数和微分的应用场景
• 数学分析、物理学、工程学等领域的多个问题和实际应用中，都离不 开导数和微ຫໍສະໝຸດ 的运用。导数的应用1
切线与曲率
导数可以求得函数在某点的切线斜率，进而研究曲线在该点的弯曲程度，即曲率。
2
极值与最值
利用导数可以求得函数的极值点，帮助确定最大值和最小值，解决优化问题。
3
函数图像的研究
通过分析导数的增减性、凹凸性等特征，可以揭示函数图像的特点，如拐点和趋 势。
微分的计算
1 基本微分公式
2 高阶微分
根据函数类型，可以使用基本微分公式计 算微分，如常数函数、幂函数、指数函数、 对数函数等。
微分的高阶形式，表示对函数进行多次微 分，例如二阶微分、三阶微分，反映了函 数变化的更多细节。
微分的应用
近似计算
通过微分，可以近似计算函数在某一点的函数 值，从而方便求解实际问题，如误差分析。
《导数与微分小结》PPT 课件
导数与微分小结PPT课件。包括导数的定义、导数的计算、导数的应用、微 分的定义、微分的计算、微分的应用，最后对导数和微分进行总结和应用场 景介绍。
导数的定义
• 几何意义：导数表示函数在某点的切线斜率，刻画了函数曲线在该点 附近的变化趋势。
• 物理意义：导数表示物理量对时间的变化率，例如速度表示位移对时 间的导数。
• 导数和微分可以用于优化问题、近似计算、曲线研究、泛函分析等各 个领域。
函数的局部变化分析
通过微分的正负性和变化趋势，可以研究函数 的极值、拐点、增减性等局部特征。
总结
• 导数和微分都是研究函数变化的重要工具，但具有不同的定义和运用方式。 • 导数更加注重变化率和曲线特征，微分更加注重局部近似和函数值的微小变化。
导数和微分的应用场景
• 数学分析、物理学、工程学等领域的多个问题和实际应用中，都离不 开导数和微ຫໍສະໝຸດ 的运用。导数的应用1
切线与曲率
导数可以求得函数在某点的切线斜率，进而研究曲线在该点的弯曲程度，即曲率。
2
极值与最值
利用导数可以求得函数的极值点，帮助确定最大值和最小值，解决优化问题。
3
函数图像的研究
通过分析导数的增减性、凹凸性等特征，可以揭示函数图像的特点，如拐点和趋 势。
导数及其应用PPT课件
解：(1)
4.已知a>0,n为正整数。 (1)设y=(x-a)n, 证明y’=n(x-a)n-1; (2)设fn(x)=xn-(x-a)n , 对任意n≥a,证明：
小
求函数单调区间的步骤：
求函数极值的步骤：
结
(1)求导函数f ’(xቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ; (2)求方程f ’(x)=0的根；(3)检查f ’(x)在 方程根左右的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处 取得最大值，如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得最 小值。 求闭区间上函数的最值的方法：
y
极大值
极大值
x0
极小值
0
x
极小值
显然在极值处函数的导数为０．
【知识在线】:
１．函数ｙ＝２ｘ３＋４ｘ２＋１的导数是_____________. ２.函数y=f(x)的导数y/>0是函数f(x)单调递增的 （B ）
A.充要条件
C.必要不充分条件
B.充分不必要条件
D.既不充分也不必要条件
(0,2) 单调递增区 ３.函数y=x2 (x-3),则f(x)的单调递减区间是_____, (-∞,0) , (2,+∞) 。 间为______________
x
f(x)
极大值 极小值
由此可得，函数在ｘ＝－ ，处取得极大值２＋ ２
在ｘ＝ ，处取得极小值２- ２ ．草图如图
y
∵ａ＞０，显然极大值必为正，
故只要看极小值的正负即可。
－
０
x
y
方程x3-3ax+2=0有惟一的实根；
－
０ y
x
方程x3-3ax+2=0有二个不同的实根 （其中有一个为二重根）；
导数及其应用 章末归纳总结 课件
2．求函数f(x)在闭区间[a，b]上的最大值、最小值的方法 与步骤：
(1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将(1)中求得的极值与f(a)、f(b)相比较，其中最大的一个 值为最大值，最小的一个值为最小值． 特别地，①当f(x)在[a，b]上单调时，其最小值、最大值在 区间端点取得；②当f(x)在(a，b)内只有一个极值点时，若在这 一点处f(x)有极大(或极小)值，则可以断定f(x)在该点处取得最 大(或最小)值，这里(a，b)也可以是(－∞，＋∞)．
当a<0时，函数f(x)在(－1，－1－a)上单调递减；在[－1－ a，＋∞)上单调递增．
(3)①当a≥0时，由(2)可知，函数f(x)在(－1，＋∞)上单调 递增．此时，(a，a＋1)⊆(－1，＋∞)，故f(x)在(a，a＋1)上为 增函数．
②当a<0时，由(2)可知，函数f(x)在[－1－a，＋∞)上单调 递增．
5．讨论含参数的函数的单调性时，必须注意分类讨论． 6．极值与最值的区别和联系 (1)函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函 数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性. (2)如果连续函数在区间(a，b)内只有一个极值，那么极大 值就是最大值，极小值就是最小值. (3)可导函数的极值点导数为零，但是导．数．为．零．的．点．不．一． 定．是．极．值．点．．． (4)极值是一个局．部．概念，极大值不．一．定．比极小值大．
y0－y1＝f ′(x1)(x0－x1)① 又y1＝f(x1)② 由①②求出x1，y1的值． 即求出了过点P(x0，y0)的切线方程．
已知曲线y＝13x3＋43. (1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程； (2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； (3)求斜率为4的曲线的切线方程． [解析] (1)∵P(2,4)在曲线y＝13x3＋43上，且y′＝x2， ∴在点P(2,4)处的切线的斜率k＝y′|x＝2＝4， ∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y －4＝0.
导数的课件ppt
导数的课件
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
目录
Contents
• 导数的定义与几何意义 • 导数的计算 • 导数在几何中的应用 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 导数的定义与几何意义
导数的定义
总结词
导数描述了函数在某一点处的切线斜率，是函数值随自变量变化的瞬时速度。
详细描述
导数是微积分中的一个基本概念，它表示函数在某一点处的切线斜率。具体来说 ，对于可导函数$f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$定义为函数在$x_0$附近 的小范围内变化时，函数值$f(x)$随自变量$x$变化的瞬时速度。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。
详细描述
导数的几何意义是函数图像在某一点处的切线斜率。也就是说，对于可导函数 $f(x)$，其在点$x_0$处的导数$f'(x_0)$等于函数图像在点$(x_0, f(x_0))$处的 切线的斜率。
导数与切线斜率
总结词
导数与切线斜率是等价的，导数即为 函数在某一点处的切线斜率。
通过导数的符号变化，可以判断函数的凹凸性。
详细描述
在凹区间内，二阶导数大于0；在凸区间内，二阶导数小于0。
04 导数在实际问题中的应用
导数在物理中的应用
速度与加速度
导数可以用来描述物体的速度和 加速度，例如在分析物体的运动 轨迹时，可以运用导数来计算瞬
时速度和加速度。
弹性分析
在物理中，弹性分析是一个重要的 概念，导数可以用来描述弹性体的 应变和应力之间的关系，帮助我们 理解物体的弹性行为。
对于两个函数的和或差， 其导数等于两个函数导数 的和或差。
乘法运算规则
对于两个函数的乘积，其 导数为两个函数导数的乘 积加上被乘函数自身的导 数。
高二导数ppt课件
幂函数的导数
总结词
掌握幂函数的导数是理解函数单调性和极值的基础。
详细描述
幂函数是一种常见的函数形式，其导数的计算方法可以通过指数法则进行计算。通过对幂函数进行求导，可以分 析函数的单调性和极值，对于解决实际问题非常重要。
03 导数的性质
单调性
总结词
单调性是指函数在某区间内的导数符 号，决定了函数在该区间内的单调趋 势。
高二导数ppt课件
目录
CONTENTS
• 导数的概念 • 导数的计算 • 导数的性质 • 导数在实际问题中的应用 • 导数的历史与发展
01 的变化率， 反映了函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点处的切 线斜率，表示函数在该点的变化 率。对于可导函数，其在某一点 的导数值等于该点切线的斜率。
导数的几何意义
总结词
导数的几何意义是切线斜率，即函数图像上某一点处的切线 与x轴正方向的夹角正切值。
详细描述
导数的几何意义是将导数与切线斜率联系起来。对于可导函 数，其在某一点的导数值等于该点切线的斜率，即切线与x轴 正方向的夹角正切值。
导数在生活中的应用
总结词
导数在生活中的应用广泛，如速度、加速度、温度变化率等。
曲线的凹凸性
总结词
曲线的凹凸性是指函数图像在某区间内 的弯曲形状，可以通过二阶导数来判断 。
VS
详细描述
如果函数的二阶导数大于0，则函数图像 在对应区间内是凹的；如果二阶导数小于 0，则图像是凸的。
04 导数在实际问题中的应用
最大利润问题
总结词
利用导数求最大利润
详细描述
在最大利润问题中，导数的应用可以帮助我 们找到使利润最大的最优解。通过构建利润 函数，并对其求导，我们可以找到使利润最 大的点，从而实现最大利润。
《高等数学导数》课件
答案
2. 求下列函数的极值：
$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，极值点为 $x=1 pm sqrt{2}$，极大值为 $f(1+sqrt{2}) = 1 + 2sqrt{2}$，极小值为 $f(1-sqrt{2}) = 1 - 2sqrt{2}$。
$f'(x) = ln x + 1$，极值点为 $x=1$，极大值为 $f(1) = 0$。
《高等数学导数》ppt 课件
contents
目录
• 导数的基本概念 • 导数的计算 • 导数的应用 • 导数的扩展 • 习题与答案
CHAPTER 01
导数的基本概念
导数的定义
总结词
导数是函数在某一点的变化率，表示 函数在该点的切线斜率。
详细描述
导数定义为函数在某一点附近取得的 最小变化率，即函数在这一点处的切 线斜率。导数的计算公式为lim(x→0) [f(x+h) - f(x)] / h，其中h趋于0。
2. 求下列函数的极值：
01
03 02
习题
$f(x) = frac{1}{x}$
$f(x) = e^x$
答案
01
1. 求下列函数的导数：
02
$y' = 2x + 2$
03
$y' = -frac{1}{x^2}$
答案
• $y' = \sin x + x \cdot \cos x$
答案
• $y' = e^x$
总结词
导数的四则运算在解决实际问题中具 有广泛的应用，例如在经济学、物理
学和工程学等领域。
详细描述
导数的四则运算法则是基于极限理论 推导出来的，通过这些法则，可以方 便地求出复杂函数的导数。
1.导数复习课件
欢迎各位专家莅临指导！
导数复习第一讲
高二数学组
导数知识点回顾 1导数的物理意义
s t vt vt at
k f x0
2某点处导数的几何意义 这一点处的导数即为这一点 处切线的斜率
3：某点处导数的定义 当 Dx 0 时
4：常见函数的导数：
c 0
3 a 2
课堂练习:
3.若函数 y ax 1在 R 内 是减函数,则 a的范围(a 0 )
3
y 变式：若将函数改为
则结果为（a 0 ）
ax x
3
4.函数f x 2 x sin x在 , 上( A ) A.是增函数 B.是减函数 C.有最大值 D.有最小值 分析: y 2 cos x 1,3
A. f( x )g( x ) > f( b )g( b )
B. f( x )g( a ) > f( a )g( x ) C. f( x )g( b ) > f( b )g( x )
D. f( x )g( x ) > f( a )g( a )
1 2 例3.若函数f x x x bx c 2
7.
以上几题是考查导数的运算及几何意 义。 下面来借助导数研究函数的单调性问 题……..
导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性: f x 增函数 f x 0 f x 减函数 f x 0 注：若函数f(x)在区间a, b内单调 增函数,则 f x 0 若函数f(x)在区间 a, b内单调 减函数,则 f x 0
(6)(sinx )
'
x
cos x
(7) cosx sin x
导数复习第一讲
高二数学组
导数知识点回顾 1导数的物理意义
s t vt vt at
k f x0
2某点处导数的几何意义 这一点处的导数即为这一点 处切线的斜率
3：某点处导数的定义 当 Dx 0 时
4：常见函数的导数：
c 0
3 a 2
课堂练习:
3.若函数 y ax 1在 R 内 是减函数,则 a的范围(a 0 )
3
y 变式：若将函数改为
则结果为（a 0 ）
ax x
3
4.函数f x 2 x sin x在 , 上( A ) A.是增函数 B.是减函数 C.有最大值 D.有最小值 分析: y 2 cos x 1,3
A. f( x )g( x ) > f( b )g( b )
B. f( x )g( a ) > f( a )g( x ) C. f( x )g( b ) > f( b )g( x )
D. f( x )g( x ) > f( a )g( a )
1 2 例3.若函数f x x x bx c 2
7.
以上几题是考查导数的运算及几何意 义。 下面来借助导数研究函数的单调性问 题……..
导数在研究函数中的应用
1.函数的单调性: f x 增函数 f x 0 f x 减函数 f x 0 注：若函数f(x)在区间a, b内单调 增函数,则 f x 0 若函数f(x)在区间 a, b内单调 减函数,则 f x 0
(6)(sinx )
'
x
cos x
(7) cosx sin x
导数PPT课件
7.(2009· 福建)若曲线 f(x)＝ax5＋ln x 存在垂直于 y 轴的切 线，则实数 a 的取值范围是(－∞，0).
1 解析 ∵f′(x)＝5ax ＋ ，x∈(0，＋∞)， x 1 4 ∴由题知 5ax ＋ ＝0 在(0，＋∞)上有解. x 1 即 a＝－ 5在(0，＋∞)上有解. 5x 1 ∵x∈(0，＋∞)，∴－ 5∈(－∞，0). 5x ∴a∈(－∞，0).
②求单调区间时，首先要确定定义域，然后再根据 f′(x)>0(或 f′(x)<0)解出在定义域内相应的 x 的范围； ③在证明不等式时，首先要构造函数和确定定义域，其 次运用求导的方法来证明. (3)求可导函数的极值与最值 ①求可导函数极值的步骤 求导数 f′(x)→求方程 f′(x)＝0 的根→检验 f′(x)在方 程根左右值的符号，求出极值(若左正右负，则 f(x)在这 个根处取极大值；若左负右正，则 f(x)在这个根处取极 小值). ②求可导函数在［a，b］上的最值的步骤 求 f (x)在(a，b)内的极值→求 f(a)、f(b)的值→比较 f(a)、 f(b)的值和极值的大小.
第7讲
导
数
高考要点回扣
1.导数的概念及运算 (1)定义 f(x＋Δx)－f(x) Δy f ′(x)＝ lim ＝ lim . Δx Δx→0 Δx Δx→0 (2)几何意义 曲线 y＝f(x)在 P(x0，f(x0))处的切线的斜率为 k＝ f′(x0)(其中 f′(x0)为 y＝f(x)在 x0 处的导数).
解析 由条件知 g′(1)＝2， 又∵f′(x)＝［g(x)＋x2］′＝g′(x)＋2x， ∴f′(1)＝g′(1)＋2＝2＋2＝4.
3.已知函数 f(x)的导数 f′(x)＝(x＋1)2(x－1)(x－2)， 则函 数 f(x)的极值点的个数为 A.1 个 C.3 个 B.2 个 D.4 个 ( B )
导数ppt教学课件(1)
( u v
)
uv v2
uv
(v
0)
例5. y x2 的导数 sin x
解： sin 2 x
(sin
x)'
2x sin x x2 sin 2 x
cos
x
例6. 求
y
x x2
3 3
在点x
3处的导数
解：y '
1 ( x2
3) (x (x2 3)2
3) 2x
x2 6x (x2 3)2
3
y'
|x3
9 18 (9 3)2
3
24 144
1 6
Unit Five My Home
Living room
bedroom
bathroom
kitchen
study
home
shelf
bed
fridge
phone
sofa
TV
table
(u v) u v
1.和(或差)的导数 (u v) u v
证明：y f (x) u(x) v(x)
y u(x x) v(x x) u(x) v(x) u(x x) u(x) v(x x) v(x)
u v
y u v x x x
lim y lim u v lim u lim v x0 x x0 x x x0 x x0 x
desk
table
x x0
x0
x
x0
x
u'(x)v(x) u(x)v'(x)
即 y' (uv)' u'v uv'
推论 : (Cu) Cu
例3.求 y 2x2 3x2 5x 4的导数
《高等数学》导数PPT课件
察物体在 t 0 时刻的瞬时速度。
当时间t0由 变到 t0t时，物体经过的路
ss(t0 t)s(t0)
两端同t除 ，以 得物t体 这在 段时间内的 为
ss(0tt)s(t0)
t
t
当t0时平 ，均速 的 度极限叫作t0物 时体 刻在 的
速度，即
limlim lim t0
t0
t0
s t t0
s
(t0t) s t
(t0)
导数的概念
1、 函数 yf(x)在点 x0处导数的
设函数 yf(x)在点 x0的某邻域内有
当自变 x在量 点 x0处有改x变 (x量 0,x0x 仍在该邻域内 应） 的时 函， 数x0相 值 处在 的
变量yf (x0 x)f(x0)，比值
y f (x0 x)f(x0)
x
x
称为f函 (x)从 数x点 0变化 x0到 x的平均
导数f(x)可分为以下三个步骤：
（1）求函数的增量 yf(x x)f(x)；
（2）算比值
yf(xx)f(x)；
x
x
lim （3）取极限
y
y
x0 x
例题1 求函数y = C(Constant常数)的导数
解：（1）求函数的增量
yc，不x取 论什么 y的 值 值 ， 总 c，
y0；
（2）算比值
y 0； x
即
lim lim f(x ) y f(x x ) f(x )
x 0 x x 0
x
显然y， f(x)函 在x0 数 点 处的 f(x 导 0)就 数
导函 f(x)在 数 xx0处的函数值
在不发生混淆的情况下，导函数也称为导数。
利用导数定义求导数 由导数的定义可 函知 数y， f求 (x)的
当时间t0由 变到 t0t时，物体经过的路
ss(t0 t)s(t0)
两端同t除 ，以 得物t体 这在 段时间内的 为
ss(0tt)s(t0)
t
t
当t0时平 ，均速 的 度极限叫作t0物 时体 刻在 的
速度，即
limlim lim t0
t0
t0
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(t0t) s t
(t0)
导数的概念
1、 函数 yf(x)在点 x0处导数的
设函数 yf(x)在点 x0的某邻域内有
当自变 x在量 点 x0处有改x变 (x量 0,x0x 仍在该邻域内 应） 的时 函， 数x0相 值 处在 的
变量yf (x0 x)f(x0)，比值
y f (x0 x)f(x0)
x
x
称为f函 (x)从 数x点 0变化 x0到 x的平均
导数f(x)可分为以下三个步骤：
（1）求函数的增量 yf(x x)f(x)；
（2）算比值
yf(xx)f(x)；
x
x
lim （3）取极限
y
y
x0 x
例题1 求函数y = C(Constant常数)的导数
解：（1）求函数的增量
yc，不x取 论什么 y的 值 值 ， 总 c，
y0；
（2）算比值
y 0； x
即
lim lim f(x ) y f(x x ) f(x )
x 0 x x 0
x
显然y， f(x)函 在x0 数 点 处的 f(x 导 0)就 数
导函 f(x)在 数 xx0处的函数值
在不发生混淆的情况下，导函数也称为导数。
利用导数定义求导数 由导数的定义可 函知 数y， f求 (x)的
导数概念ppt
Δx→0
f(xo
+Δx)Δx
f(xo )=
Δx→0
Δf , Δx
lim lim f (xo)
注：
Δx→0
f(xo
+Δx)Δx
f(xo )=
Δx→0
Δf , Δx
1)函数x=x0在处有定义；
2)△x→0， △x可正、可负、但不为0； △y 可能为0。
3)△y 是函数自变量x在△x范围内的 △x
平均变化率;
x
四、求导举例：
例1、求函数f(x)=x2+x,求y’|x=2.
练习：求y=x2在x=1处的导数。
例2、设函数f(x)在xo处可导，
则 lim f(xo -△x)- f(xo ) 的值是 -f(xo ).
△x→0
△x
(A)练习：1）设函数f(x)在x=1处可导，
则 lim f(1+△x)- f(1) 的值是
即：物体运动的瞬时速度是路程增量与时 间增量之比当时间增量趋于零时的极限。
二、导数的概念
函数f(x)在 x=xo 处的瞬时变化率是
lim lim f(xo +Δx)- f(xo )= Δf ,
Δx→0
Δx
Δx→0 Δx
这就是函数y=f(x)在x=xo 处的导数
记作
lim 即
f
(xo )
4）在x=xo处的导数反映的是函数在 x=xo处变化的快慢程度。
三、根据导数的定义，求函数y=f(x)的导数的
三个步骤：
1.求增量： y f (x x) f (x)
2.算比值： y f (x x) f (x)
x
x
3.取极限： y lim y lim f (x x) f (x)
《高等数学导数》课件
凸函数与凹函数
通过导函数的符号变化及导数的 递增、递减趋势判断函数的凸凹 性质。
高阶导数
1
高阶导数的概念及计算
通过迭代导数公式及高阶导数定义，计算出函数的高阶导数。
2
函数的泰勒公式
通过多次求导得到函数的各阶导数，并结合泰勒公式，用多项式逼近函数的过程。
补充知识点
反函数与隐函数求导
通过反函数的定义以及隐函数求导公式，可以求 得反函数与隐函数的导数。
同一函数的导函数之间 的关系
同一函数的导函数，是在不 同点的导数值所组成的函数。 一般情况下，它是原函数的 一阶导数、二阶导数、三阶 导数……
导数的计算
1
基本初等函数的导数
可以通过求导数的定义式来计算，得到$x^n$,$\sin{x}$,$\cos{x}$,$e^x$,通过链式法则，即先对内函数求导，再外函数求导，可以得到复合函数的导数。
3
导数的四则运算
对两个函数进行加、减、乘、除的运算，可以通过导数加减法、乘法、除法公式 求得。
导数的应用
极值与最值
通过导函数的零点及导数符号的 变化，判断函数的极值及最值。
函数的单调性
通过导数的符号变化来判断函数 的单调性。
高等数学导数PPT课件
本课件以教材内容为基础，通过丰富的图表及实例，讲解导数的基本概念、 计算方法、应用及高阶导数等内容，帮助您掌握导数的知识。
基本概念
导数的定义
导数是用来描述函数在某一 点的变化速率的数值。它是 函数曲线上一点处的斜率， 或者说是切线的斜率。
函数的切线与导数
切线是函数曲线在某一点处 的切线，导数就是该点处切 线的斜率。
微分的概念
微分是函数在某一点上的变化量，在数学中被广 泛应用于近似计算、误差分析等方面。
导数及其应用复习小结PPT课件
yx yu ux ; 或 f [ ( x )] f (u ) ( x ). x
注:y对x的导数等于y对u的导
数与u对x的导数的乘积.
过p(x0,y0)的切线
返回
求由连续曲线y=f(x)对应的曲边梯形面积的方
法(1)分割:在区间[0,1]上等间隔地插入n-1个点,将它等分成 n个小区间: a, x1 , x1, x2 , xi1, xi , , xn1, b,
'
a
(5)( a ) a ln a
x ' x x ' x b a
b
a
1 x b a dx a |a ln a
x
(6)(e ) e e x dx e x |b a
b 1 1 (7)(log a x) dx log a x |b a a x ln a x ln a b 1 1 ' (8)(ln x) dx ln x |b a a x x '
f(x1) y
f(x3)
f(b)
g
a x1
g
f(a)
x2
0
x4 x3 b x
f(x2)
函数的最值 在闭区间[a,b]上的函数y=f(x)的图象是 一条连续不断的曲线,则它必有最大值和 最小值.
f(x1) y
f(x3)
f(b)
g
a x1
g
f(a)
x2
0
x4 x3 b x
f(x2)
复合函数的导数
复合函数y=f(g(x))的导数和函数 y=f(u),u=g(x)的导数间关系为:
5.若f ( x) a x , 则f ' ( x) a x ln a 6.若f ( x) e x , 则f ' ( x) e x
导数知识归纳(课件)
一、导数有关概念1．导数的概念函数y=f(x),如果自变量x 在x 0处有增量x ∆，那么函数y 相应地有增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0），比值x y ∆∆叫做函数y=f （x ）在x 0到x 0+x ∆之间的平均变化率，即x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00。
如果当0→∆x 时，xy ∆∆有极限，我们就说函数y=f(x)在点x 0处可导，并把这个极限叫做f （x ）在点x 0处的导数，记作f ′（x 0）或y ′|0x x =。
即f ′（x 0）=0lim →∆x x y ∆∆=0lim →∆x xx f x x f ∆-∆+)()(00。
说明：（1）函数f （x ）在点x 0处可导，是指0→∆x 时，x y ∆∆有极限。
如果x y ∆∆不存在极限，就说函数在点x 0处不可导，或说无导数。
（2）x ∆是自变量x 在x 0处的改变量，0≠∆x 时，而y ∆是函数值的改变量，可以是零。
2、导函数（1）定义：如果函数f(x)在开区间（a ，b ）内每一点都可导，就说f(x)在区间（a ，b ）内可导，这时对于区间（a ，b ）内每一个确定的值x 0，都对应着一个导数f ′（x 0）。
这样在开区间（a ，b ）构成一个新函数，称为f(x)在（a ，b ）内导函数（简称导数）。
记f ′（x ）f ′（x 0）=0lim →∆x xy ∆∆=0lim →∆x ()()f x x f x x +∆-∆ （2）在点x 0处导数、导函数关系函数在点x 0处导数就是在该点的函数改变量y ∆与自变量改变量x ∆的比的极限，是一个数值。
是导函数f ′（x ）在x ＝x 0处的函数值3、求函数y=f （x ）在点x 0处的导数的步骤： 方法一、定义法：（1）求函数的增量y ∆=f （x 0+x ∆）－f （x 0）； （2）求平均变化率x y ∆∆=xx f x x f ∆-∆+)()(00； （3）取极限，得导数f’(x 0)=xy x ∆∆→∆0lim 。
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y
函数f(x)在x=x0处的导数
就是其图像上过点P(x0, f(x0))的切线的斜率, P
切线的斜率为:k f '( x0 )
物 理 意 义 是 运 动 物 体 在 某 一 时 刻 的 瞬 时 速 度.
x O
三. 基本初等函数的导数公式:
1. c ' 0
2. x ' x 1
3. (sin x)' cos x
有两个极值点x1, x2,且x1 x2 (1)求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性.
(2)证明：f
(x2
)
1
2ln2 4
.
(1)0 a 1 . 2
f(x)增 区 间 为 （ -1,-1- 1-2a） ， （-1 1-2a， +）
2
2
减 区 间 为 （-1- 1-2a,-1 1-2a）
2
2
例4.已知f (x) x2 aln(x1)，aR,
x2 x1
在时间段[x1, x2]上的平均速度.
O x1
x2
x
二.导数
1.定义:
把 lim f ( x0 x)
x0
x
即 f ( x0 ) y ' x=x0
f ( x0 )叫做函数f(x)在x＝x0处导数,
lim y lim f ( x0
x x 0
x0
x) f (x0) x
2.几何、物理意义:
y=f(x)
The foundation of success lies in good habits
18
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
讲师：XXXXXX XX年XX月XX日
导数小结
本 章 知 识 结 构
平均速度 瞬时速度
平均变化率 瞬时变化率
割线斜率 切线斜率
导数
基本初等函数导数公式 导数运算法则
导 数 与 函 数 单 调 性 的 关系
导 数 与 极 最 值 的 关 系
知识梳理
一.函数的平均变化率:
1.定义: y f ( x2 ) f ( x1 )
x
x2 x1
有两个极值点x1, x2,且x1 x2 (1)求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性.
(2)证明：f
(x2
)
1
2ln2 4
.
1 (2).-2a0,a2x2(1x2) f(x2)x22 2x2(1x2)ln(1x2)
例2.已知函数f(x)=lnx+1x2 2
(1)求函数f(x)在[1,e]上的最值.
（1）f(x) 最大值
=f(e) =
1 2
e2
1
f(x) 最小值
=f(1) =
1 2
(2)求 证 ： 在 区 间 （ 1， + ） 上 函 数 f(x) 的
图 像 在 g(x)2x3 的 下 方 . 3
例.讨论函数的单调性 f(x)x1alnx (a∈R).
x
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
f (x0 x) f (x0) f (x x) f (x) =
函数值的差
x
x
y 相应自变量的差
2.几何、物理意义是:
f(x2)
B y=f(x)
(1).几何意义: 表示函数y=f(x)
图像上割线AB的斜率.
f(x1) A
f x2 f x1 C
(2).物理意义: 表示位移S=f(x)
4. (cos x)' sin x
5. (a x )' a x ln a ;
7.
(log a
x)'
1; x ln a
6. (ex )' e x ;
8. (ln x)' 1 . x
四. 导数的运算法则:
1.fxgx'f'xg'x; 2.fxgx'f'xgx fxg'x;
推论: [c f (x)]'c f 'x
3
3
导数的应用:
(一).单调性与导数:
1.函数单调性与导数符号的关系是: 在某个区间(a,b)内,
如果f (x)>0
函数y=f (x)在这个区间内单调递增;
如果f (x)<0
函数y=f (x)在这个区间内单调递减;
2.判定函数单调性的步骤: ①求出函数的定义域; ②求出函数的导数f (x); ③判定导数f (x)的符号;
3
.
[
f g
( (
x x
) )
]'
f'xg x g xf 2xg'xgx0.
二、切线问题
例2.已知曲线f(x)2x3x24x及曲线上一点P(0,0). 3
(1)求在点P与曲线相切的直线方程.
(2)求过点P且与曲线相切的直线的方程.
(3)若函数g(x)x3g’ (2)x2x,求g(x)在x2处的切线方程.
f(x)在x0的左右两侧的导数异号
(三). 最值与导数:
求函数y=f(x)在[a,b]上的最值的步骤如下: (1)求函数y=f(x)在(a,b)内的极值; (2)将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较, 其中最大的一个是最大值, 最小的一个是最小值.
例4.已知f (x) x2 aln(x1)，aR,
④确定函数f(x)的单调(区间)性.
反之 在某个区间(a,b)内, 函数y=f (x)在这个区间（a,b)内单调递增
f (x)>0对任意x （a, b) 恒成立,但不存在连续
使得 f (x)=0 的点 函数y=f (x)在这个区间（a,b)a内单调递减
f (x)<0对任意x （a, b要检验.
(二). 极值与导数:
1.解方程f ’(x)=0得解x=x0;(定义域内)
2.如在x0附近的左侧有f ’(x)>0 右侧有f ’(x)<0
f(x0)是极大值.
3.如在x0附近的左侧有f ’(x)<0 右侧有f ’(x)>0
f(x0)是极小值.
x0是函数y=f(x)的极值点 列表的注意事项