与三角函数有关的数列求和问题

第1期

与三角函数有关的数列求和．．

问题 把三角函数融入到数列当中，使得数列变得复杂和陌生，但由于三角函数的周期性，也使得数列的项随之有了规律，因此在解决此类问题时，要充分利用三角函数周期性的特点，只有这样才能将所遇困难有效化解.

1.（2012·福建文，11,5分）数列{}n a 的通项公式cos

2

n n a n π=，其前n 项和为n S ，则2012S 等于（ ） A.1006 B.2012 C.503 D.0 分析：易知cos

2n π的最小正周期是4，考察43(43)(43)cos 02

n n a n π--=-=，42(42)(42)cos (42)2n n a n n π--=-=--， 41(41)(41)cos 02n n a n π--=-=，444cos 42

n n a n n π==，我们可以发现：43424142n n n n a a a a ---+++=（N n *∈），所以，20122012210064

S =⨯=.本题中2012正好是4的倍数，若求2013S ，2014S 呢？

2.（2012·上海文，18，5分）若2sin sin sin (N )777n n S n πππ*=+++∈ ，则在1S ，2S ，…，100S 中，正数的个数是（ ）A.16 B.72 C.86 D.100

分析：易知sin 7n π的最小正周期是14，且有7sin 07π=，8sin sin 77ππ=-，…，136sin sin 77ππ=-，14sin

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π=，因此，0(12)n S n >≤，13140S S ==；结合周期性可知，1S ，2S ，…，100S 中为零的个数是7214⨯=，所以正数的个数是86.

3.（2009·江西理，8，,4分）数列{}n a 的通项公式222(cos sin )33

n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则30S 为（ ）A.470 B.490 C.495 D.510

分析：22222(c o s s i n )c o s 333

n n n n a n n πππ=-=，易知最小正周期是3，考察222322(32)41(32)cos (32)cos(2)(32)332

n n a n n n n πππ--=-=--=--， 222312(31)21(31)cos (31)cos(2)(31)332

n n a n n n n πππ--=-=--=--， 222322(3)(3)cos (3)cos(2)(3)3n n a n n n n ππ-===，得3231359(N )2

n n n a a a n n *--++=-∈，则每三项的和构成了一个等差数列，记为{}n b ，则 59(N )2n b n n *=-∈所以110305510(9910)10()109422470222

b b S -+⨯-+⨯====.本题中的30恰好是3的倍数，若求3132,S S 呢？求3n S 呢？n S 呢？（参见2009·江西文，21）（2013年11月19日星期二）

（2009·江西文，21，12分）数列{}n a 的通项公式222(cos sin )33

n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S . （Ⅰ）求n S ；（Ⅱ）令34

n

n n S b n =⋅，求数列{}n b 的前n 项和n T .

第2期

数列求和中的裂项相消法

裂项相消法就是把数列的通项公式分裂成两项的形式，使得求和过程中前后的项与项之间能够互相抵消，只剩有限项，进而求出该数列的前n 项和。如1n n n a b b +=-，求{}n a 的前n 项和n S ，则

122132111

()()()n n n n n S a a a b b b b b b b b ++=+++=-+-++-=- ，这类问题的解决思路来源归根结底是课本上推导等差数列通项公式的叠加法，因此深受高考命题专家的青睐。常见的裂项公式有：

（1）111(1)1

n n n n =-++； （2）

1111()(21)(21)22121n n n n =--+-+； （3）一般地，若{}n a 是等差数列，求1

1{}n n a a +的前n 项和，则可用裂项相消法，11

1111()n n n n a a d a a ++=-（其中d 是{}n a 是等差数列的公差）； （4）1111()(2)22

n n n n =-++； （5

= 使用裂项相消法进行正负项相消时，有的是依次相消，有的是间隔相消。在解题过程中要注意保留哪些项，消去哪些项。

（1）（2010·山东，18，12分）已知等差数列{}n a