第三讲 平面、线线、线面和面面的位置关系
线线、线面、面面的位置关系
线线、线面、面面的位置关系1.命题方向预测：1.点、线、面的位置关系是本节的重点，也是高考的热点．以考查点、线、面的位置关系为主.2.线面平行、面面平行的判定及性质是命题的热点．着重考查线线、线面、面面平行的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．3.线线、线面、面面垂直的问题是命题的热点．着重考查垂直关系的转化及应用，同时考查逻辑推理能力与空间想象能力．4.线线、线面、面面的位置关系问题，往往是平行、垂直关系综合考查，题型有选择题、填空题及解答题．难度中、低档题兼有.2.课本结论总结：1.平面的基本性质公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内. 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面.公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线. 2.直线与直线的位置关系(1)位置关系的分类共面直线平行相交异面直线：不同在任何一个平面内(2)异面直线所成的角①定义：设a ，b 是两条异面直线，经过空间任一点O 作直线a ′∥a ，b ′∥b ，把a ′与b ′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a ，b 所成的角(或夹角). ②范围：02π?? ??，.3.直线与平面的位置关系有平行、相交、在平面内三种情况.4.平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况.5.公理4平行于同一条直线的两条直线互相平行. 6.定理空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补.7.直线与平面平行的判定与性质8.面面平行的判定与性质9.直线与平面垂直(1)判定直线和平面垂直的方法①定义法.②利用判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直.③推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.(2)直线和平面垂直的性质①直线垂直于平面，则垂直于平面内任意直线.②垂直于同一个平面的两条直线平行.③垂直于同一条直线的两平面平行.10.斜线和平面所成的角斜线和它在平面内的射影所成的锐角，叫斜线和平面所成的角.11.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的判定方法①定义法.②利用判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直.(2)平面与平面垂直的性质两平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.12.二面角的有关概念(1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角.(2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角.3.名师二级结论：（1）异面直线的判定方法：判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点的直线是异面直线．反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面．(2)公理1的作用：①检验平面；②判断直线在平面内；③由直线在平面内判断直线上的点在平面内．(3)公理2的作用：公理2及其推论给出了确定一个平面或判断“直线共面”的方法．(4)公理3的作用：①判定两平面相交；②作两平面相交的交线；③证明多点共线．(5)平行问题的转化关系：(6)垂直问题的转化关系线线垂直判定性质线面垂直判定性质面面垂直(7)证明直线相交，通常用平面的基本性质，平面图形的性质等；(8)利用公理4或平行四边形的性质证明两条直线平行.4.考点交汇展示：【2017课标1，理16】如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形ABC的中心为O.D、E、F为圆O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪性质开后，分别以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D、E、F重合，得到三棱锥.当△ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_______.【答案】【解析】如图，在三棱锥P ABC -中，90PAB PAC ACB ∠=∠=∠=．（1）求证：平面PBC ⊥平面PAC ；（2）若1PA =，=2AB ，当三棱锥P ABC -的体积最大时，求BC 的长．【答案】（1）证明见解析；（2）当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．（2）方法1：由已知及（1）所证可知，PA ⊥平面ABC ，BC CA ⊥，所以PA 是三棱锥P ABC -的高．……………………………7分因为1PA =，=2AB ，设BC x =()02x<<，……………8分所以AC ===…………9分PA B因为13P ABC ABC V S PA -=△16=分= ()224162x x +-≤? (11)分 13=．…………………………………………………………………………………………12分当且仅当224x x =-，即x =………………………………………………………13分所以当三棱锥P ABC -的体积最大时，2=BC ．…………………………………………………14分如图，已知ABC ?，D 是AB 的中点，沿直线CD 将ACD ?折成A CD '?，所成二面角A CD B '--的平面角为α，则（）A. A DB α'∠≤B. A DB α'∠≥C. A CB α'∠≤D. A CB α'∠≤【答案】B.【解析】设ADC θ∠=，设2AB =，则由题意1AD BD ==，在空间图形中，设A B t '=，在A CB '?中，2222222112cos 22112A D DB AB t t A DB A D DB '+-+--'∠==='，在空间图形中，过A '作AN DC ⊥，过B 作BM DC ⊥，垂足分别为N ，M ，过N 作//NP MB ，连结A P '，∴NP DC ⊥，则A NP '∠就是二面角A CD B '--的平面角，∴A NP α'∠=，在Rt A ND '?中，cos cos DN A D A DC θ''=∠=，sin sin A N A D A DC θ'''=∠=，同理，sin BM PN θ==，cos DM θ=，故2cos BP MN θ==，显然BP ⊥面A NP '，故BP A P '⊥，【考点分类】考向一线线、线面、面面平行与垂直关系的判定1.【2017课标3，文10】在正方体1111ABCD A B C D -中，E 为棱CD 的中点，则（） A ．11A E DC ⊥B ．1A E BD ⊥C ．11A E BC ⊥D ．1AE AC ⊥【答案】C【解析】根据三垂线逆定理，平面内的线垂直平面的斜线，那也垂直于斜线在平面内的射影，A.若11A E DC ⊥，那么11D E DC ⊥，很显然不成立；B.若1A E BD ⊥，那么BD AE ⊥，显然不成立；C.若11A E BC ⊥，那么11BC B C ⊥，成立，反过来11BC B C ⊥时，也能推出11BC A E ⊥,所以C 成立，D.若1A E AC ⊥，则AE AC ⊥，显然不成立，故选C.2.【2018届安徽省六安市第一中学适应性考试】已知直线、，平面、，给出下列命题：①若，，且，则②若，，且，则③若，，且，则④若，，且，则其中正确的命题是（）A．②③B．①③C．①④D．③④【答案】C【解析】分析：①可由面面垂直的判定定理进行判断；②可由面面平行的条件进行判断；③可由面面垂直的条件进行判断；④可由面面垂直的判定定理进行判断.故选：C.【方法规律】1.证明线线平行的方法：（1）平行公理；（2）线面平行的性质定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量平行.要注意线面、面面平行的性质定理的成立条件.2.线面平行的证明方法：（1）线面平行的定义；（2）线面平行的判断定理；（3）面面平行的性质定理；（4）向量法：证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量互相平行；证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直.线面平行的证明思考途径：线线平行?线面平行?面面平行.3.面面平行的证明方法：①反证法:假设两个平面不平行，则它们必相交，在导出矛盾；②面面平行的判断定理；③利用性质:垂直于同一直线的两个平面平行；平行于同一平面的两个平面平行；④向量法：证明两个平面的法向量平行.4.证明线线垂直的方法：（1）异面直线所成的角为直角；（2）线面垂直的性质定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）三垂线定理和逆定理；（5）勾股定理；（6）向量垂直.要注意线面、面面垂直的性质定理的成立条件.解题过程中要特别体会平行关系性质的传递性，垂直关系的多样性.5.线面垂直的证明方法：（1）线面垂直的定义；（2）线面垂直的判断定理；（3）面面垂直的性质定理；（4）向量法：证明这个直线的方向向量和这个平面的法向量相互平行.线面垂直的证明思考途径：线线垂直?线面垂直?面面垂直.6.面面垂直的证明方法：①定义法；②面面垂直的判断定理；③向量法：证明两个平面的法向量垂直.解题时要由已知相性质，由求证想判定，即分析法和综合法相结合寻找证明思路，关键在于对题目中的条件的思考和分析，掌握做此类题的一般技巧和方法，以及如何巧妙进行垂直之间的转化.【解题技巧】1.利用线面平行的性质，可以实现与线线平行的转化，尤其在截面图的画法中，常用来确定交线的位置，对于最值问题，常用函数思想来解决.2.立体几何中的探索性问题主要是对平行、垂直关系的探究，对条件和结论不完备的开放性问题的探究，解决这类问题一般根据探索性问题的设问，假设其存在并探索出结论，然后在这个假设下进行推理论证，若得到合乎情理的结论就肯定假设，若得到矛盾就否定假设.3.证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质.因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想.4.线面垂直的性质，常用来证明线线垂直.5.在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化.6.垂直关系综合题的类型及解法(1)三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化.(2)垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用.(3)垂直与体积结合问题，在求体积时，可根据线面垂直得到表示高的线段，进而求得体积.7.线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；8.线线关系是线面关系、面面关系的基础.证题中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；【易错点睛】1.在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误.2.在解决线面、面面平行的判定时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”；而在应用性质定理时，其顺序恰好相反，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”.3.解题中注意符号语言的规范应用.4.在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化.5.面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据.我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可.6.证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范.例.已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是αβ，且m?αB．m∥n，且n⊥βA．⊥αβ，且m∥αD．m⊥n，且n∥βC．⊥【答案】B【解析】∵m∥n, m⊥β∴n⊥β故选B.【易错点】没有掌握线面垂直的条件考向二空间线线、线面及面面关系中的角度问题1.【2018年理数全国卷II】在长方体中，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.【答案】C2.【2017课标3，理16】a，b为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC的直角边AC所在直线与a，b都垂直，斜边AB 以直线AC为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线AB与a成60°角时，AB与b成30°角；②当直线AB与a成60°角时，AB与b成60°角；③直线AB与a所成角的最小值为45°；④直线AB与a所成角的最小值为60°.其中正确的是________.（填写所有正确结论的编号）【答案】②③【解析】【方法规律】求异面直线所成的角常用方法是平移法，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移.判定空间两条直线是异面直线的方法(1)判定定理：平面外一点A与平面内一点B的连线和平面内不经过该点B的直线是异面直线.(2)反证法：证明两线不可能平行、相交或证明两线不可能共面，从而可得两线异面.3.求两条异面直线所成角的大小，一般方法是通过平行移动直线，把异面问题转化为共面问题来解决.根据空间等角定理及推论可知，异面直线所成角的大小与顶点位置无关，往往可以选在其中一条直线上(线面的端点或中点)利用三角形求解.【解题技巧】求异面直线所成的角的三步曲：即“一作、二证、三求”.其中空间选点任意，但要灵活，经常选择“端点、中点、等分点”，通过作三角形的中位线，平行四边形等进行平移，作出异面直线所成的角，转化为解三角形问题，进而求解.【易错点睛】1.正确理解异面直线“不同在任何一个平面内”的含义，不要理解成“不在同一个平面内”.2.不共线的三点确定一个平面，一定不能丢掉“不共线”条件.3.两条异面直线所成角的范围是(0°，90°].例.过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A作直线l，使l与棱AB，AD，AA1所成的角都相等，这样的直线l 可以作()A.1条B.2条C.3条D.4条【答案】 D【易错点】忽视异面直线所成的角，只找两条相交直线所成角，没有充分认识正方体中的平行关系.考向三线线、线面、面面的位置关系的综合问题1.【2018年江苏卷】在平行六面体中，．求证：（1）；（2）．【答案】答案见解析【解析】证明：（1）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB∥A1B1．因为AB平面A1B1C，A1B1平面A1B1C，所以AB∥平面A1B1C．（2）在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，四边形ABB1A1为平行四边形．又因为AA1=AB，所以四边形ABB1A1为菱形，因此AB1⊥A1B．又因为AB1⊥B1C1，BC∥B1C1，所以AB1⊥BC．又因为A1B∩BC=B，A1B平面A1BC，BC平面A1BC，所以AB1⊥平面A1BC．因为AB1平面ABB1A1，所以平面ABB1A1⊥平面A1BC．2. 【2018年浙江卷】如图，已知多面体ABCA1B1C1，A1A，B1B，C1C均垂直于平面ABC，∠ABC=120°，A1A=4，C1C=1，AB=BC=B1B=2．（Ⅰ）证明：AB1⊥平面A1B1C1；（Ⅱ）求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值．【答案】（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【解析】分析:方法一：（Ⅰ）通过计算，根据勾股定理得,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）找出直线AC1与平面ABB1所成的角，再在直角三角形中求解.方法二：（Ⅰ）根据条件建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，根据向量之积为0得出,再根据线面垂直的判定定理得结论，（Ⅱ）根据方程组解出平面的一个法向量，然后利用与平面法向量的夹角的余弦公式及线面角与向量夹角的互余关系求解.详解：方法一：（Ⅱ）如图，过点作，交直线于点，连结.方法二：（Ⅰ）如图，以AC的中点O为原点，分别以射线OB，OC为x，y轴的正半轴，建立空间直角坐标系O-xyz.由题意知各点坐标如下：因此由得.由得.所以平面.【解题技巧】1．利用线线、线面和面面的平行、垂直关系相互转化．2．求线面所成角时注意垂直关系的应用．3. 结合向量法进行证明和求解【易错点睛】(1)在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则，会出现错误．(2)把线面平行转化为线线平行时，必须说清经过已知直线的平面与已知平面相交，则直线与交线平行．（1）证明过程要规范（2）注意角度的取值范围（线线、线面和面面）例1.【2017山东，文18】（本小题满分12分）由四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1- B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD , （Ⅰ）证明：1A O ∥平面B 1CD 1;（Ⅱ）设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.【答案】①证明见解析.②证明见解析. 【解析】试题分析：（Ⅰ）取11B D 中点F ,证明1//A O CF ,（Ⅱ）证明11B D ⊥面1A EM .(II)因为AC BD ⊥,E ，M 分别为AD 和OD 的中点, 所以EM BD ⊥,因为ABCD 为正方形,所以AO BD ⊥, 又1A E ⊥平面ABCD ,BD ?平面ABCD 所以1,A E B D ⊥ 因为11//,B D BD所以11111,,EM B D A E B D ⊥⊥又1,A E EM ?平面1A EM ，1A EEM E =.所以11B D ⊥平面1,A EM 又11B D ?平面11B CD ,所以平面1A EM ⊥平面11B CD .【易错点】不会灵活应用线线、线面和面面平行的判定定理和性质定理进行转换，答题过程不规范。
第三章 平面与直线 平面与平面面的位置关系
n
b b m
n
a
c n b ● m(n) c
32
a
四、两平面的相对位置
⒈ 两平面平行
⑴ 若一平面上的两相交 直线分别平行于另一 平面上的两相交直线， 则这两平面相互平行。
⑵ 若两投影面垂直面相 互平行，则它们具有 积聚性的那组投影必 相互平行。
a
c a d f e f b c d e f
用线上 取点法
● ●
② 判别可见性 n 由水平投影可知， KN段在平面前，故正 还可通过重影点判别可见性。 面投影上kn为可见。12
k 1 b
⑵ 直线为特殊位置
b k a b k● 2 m(n ) ●
● ●
m
空间及投影分析
c
●
直线MN为铅垂线，其水 平投影积聚成一个点，故交点 K的水平投影也积聚在该点上。
b 如何判别？
可通过正面投影 直观地进行判别。
例：求两平面的交线 MN并判别可见性。
⑴ a
d
a d
●
b m(n)
●
e
f
c d
a
b m(n) e ●
f c
●
n
e c d
f
a
●
e n c f
m
●
m
b
b
同面的异侧，异面的同侧可见性相反。
16
⑵
d′ a′
b′
n′
●
e′
a
b
b
e e
f
c
a d b d′ b′ e′ a
c
f a′ h′
c′
f′
h(f) b d(e) c 34
3.一般位置直线与一般位置平面相交
空间中的线相对三个基本投影面的位置关系
一、概述空间中的线与三个基本投影面的位置关系，在几何学中是一个重要的研究课题。
通过对线与基本投影面的位置关系进行分析，可以帮助我们更好地理解和应用几何学知识。
本文将从理论和实例两个方面对此问题进行探讨，旨在为读者提供更清晰、全面的认识。
二、线与基本投影面的概念我们需要了解线与基本投影面的基本概念。
在空间几何学中，基本投影面通常指平行于投影平面的三个相互垂直的面，即水平投影面、左斜投影面和右斜投影面。
而线是空间中一维的几何图形，由无数个点组成，是空间中的一种基本要素。
三、线与不同基本投影面的位置关系1. 线与水平投影面的位置关系首先来看线与水平投影面的位置关系。
当一条线与水平投影面平行时，它在该投影面上的投影长度为0；当线与水平投影面相交时，其投影长度大于0；当线与水平投影面垂直时，它在该投影面上的投影长度最大。
2. 线与左斜投影面和右斜投影面的位置关系接下来，我们来分析线与左斜投影面和右斜投影面的位置关系。
当一条线与左斜投影面或右斜投影面平行时，其在该投影面上的投影长度也为0；当线与左斜投影面或右斜投影面相交时，其投影长度大于0；当线与左斜投影面或右斜投影面垂直时，其在该投影面上的投影长度最大。
四、线与基本投影面位置关系的应用实例1. 实例一：平行线与水平投影面的位置关系假设有两条平行线AB和CD，它们与水平投影面的位置关系如何呢？根据前面的分析可知，当AB和CD与水平投影面平行时，它们在该投影面上的投影长度为0；当AB和CD与水平投影面相交时，其投影长度大于0。
通过实例分析可以进一步加深对线与基本投影面位置关系的理解。
2. 实例二：交叉线与左斜投影面和右斜投影面的位置关系假设有两条交叉线EF和GH，它们与左斜投影面和右斜投影面的位置关系如何呢？根据前面的分析可知，当EF和GH与左斜投影面或右斜投影面平行时，它们在该投影面上的投影长度为0；当EF和GH与左斜投影面或右斜投影面相交时，其投影长度大于0。
2.1.2空间中线线、线面、面面的位置关系
求直线BA 所成角的度数。 例2:(1)求直线 1和CC1所成角的度数。 求直线
D 1 A 1 B1
C1
45
C
o
D
A
B
哪些棱所在直线与直线AA 垂直？ 例2:(2)哪些棱所在直线与直线 1垂直？ 哪些棱所在直线与直线
D 1
C1
A 1
B1
D
A
C
B
四、异面直线所成角的求法： 异面直线所成角的求法： 一作(找 、二证、 一作 找)、二证、三求 (1)通过直线平移，作出异面直线 通过直线平移， 通过直线平移 所成的角，把空间问题转化为 所成的角， 平面问题。 平面问题。 (2)利用平面几何知识， 利用平面几何知识， 利用平面几何知识 求出异面直线所成角的大小。 求出异面直线所成角的大小。
空间中线线、线面、面面的位置关系 空间中线线、线面、
复习
公理1: 公理1:如果一条直线上两点在一个平面内，那么 1: 这条直线上的所有的点都在这个平面内(即直线 在平面内). 公理2: 2:过不在同一直线上的三点，有且只有一个 公理2: 平面. 公理3: 3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那 公理3: 么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线. 推论1: 推论1:一条直线和直线外一点唯一确定一个平面. 1: 推论2 推论2:两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 推论3:两条平行直线唯一确定一个平面.
α
l a b
练习
下列命题正确的选项是（ 下列命题正确的选项是（ 4 ）
（1）若直线l上有无数个点不在平面α内，则l / /α . （2）若直线l与平面α 平行，则l与平面α内的任意 一条直线都平行. （3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， 那么另一条也与这个平面平行. （4）若直线l与平面α 平行，则l与平面α内的任意 一条直线都没有公共点.
立体几何常考定理总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行文字语言：如果平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直线与平面平行. 符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点．．．：．在．平面内．．．找一条与．．．．平面外．．．的．直线平行的线．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过．．这条直线的平面和这个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要．．．．．．借助一个．．．．经过已知直线．．．．．．的．平面．．，接着找交线。
．．．．．．． 三、面面平行的判定定理：线面平行⇒面面平行文字语言：如果一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：．．．．在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理:面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行 文字语言：如果两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点．．．：找．．第三个平面．．．．．与已知平面都相交，．．．．．．．．．则交线平行．．．．．文字语言：如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只要是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直nmAαaBA l βαaβα文字语言：如果一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于这个平面.符号语言：,a m a na m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用这个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：如果一个平面经过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. （如果一条直线垂直于一个平面，并且有另一个平面经过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
直线与平面、平面与平面之间的位置关系
2．直线 a 在平面 γ 外，则( A．a∥γ B．a 与 γ 至少有一个公共点 C．a∩γ＝A D．a 与 γ 至多有一个公共点
【答案】 D
)
(
3．直线 a∥直线 b，b⊂平面 α，则 a 与 α 的位置关系是 ) A．a∥α B．a⊂α C．a∥α 或 a⊂α D．a∥α 或 a⊂α 或 a 与 α 相交
思考讨论 分别指出下列各图中直线与平面的关系，并总结它们的 特点，用符号表示出来．
提示：(1)直线在平面内——有无数个公共点，符号表示 为：a⊂α； (2)直线与平面相交——有且只有一个公共点，符号表示 为：a∩α＝A； (3)直线与平面平行——没有公共点，符号表示为：a∥α.
课前预习 1.直线与平面平行是指( ) A．直线与平面内的无数条直线都无公共点 B．直线上两点到平面的距离相等 C．直线与平面无公共点 D．直线不在平面内
【分析】 由题目可获取以下主要信息：本题主要考查 直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系．解答本 题要考虑线线、线面、面面位置关系的特征与定义，结合空 间想象能力作出判断．
【解析】 由公理 4 知①正确；由直线与平面平行的位 置关系知⑤正确．从而选 A.其中②是错误的，因为平行于 同一平面的两条直线可能平行、可能相交，也可能异 面．③是错误的，因为当 a∥c，c∥α 时，可能 a∥α，也可能 a⊂α.对于④，α，β 可能平行，也可能相交． 【答案】 A
公共点情况 符号语言 ②有无数个 ③a⊂α 公共点 ⑤有且只有 ⑥a∩α＝ 一个公共点 A ⑧没有公共 ⑨a∥α 点
2.直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外． 3．平面与平面的位置关系 位置 图形语言 公共点情况 符号语言 关系 两平 ②无数个， 面相 ① 构成一条直 ③α∩β＝a 交 线 两平 面平 ⑤无公共点 ⑥α∥β 行 ④
复习线面面面位置关系及线面面面平行的判定与性质(共36张PPT)
两个平面平行，
平面α平行于平面β ，记作α∥β
（1）平面β内有一条直线与平面α平行， α，β平行吗？
（2）平面β内有两条直线与平面α平行， α，β平行吗？
E D1 A1
D F A
C1 B1
C B
2.平面与平面平行的判定定理
一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行， 则这两个平面平行。
(22）) A2两1 B个、1平与面A如C相；交果——有一一条条公共直直线；线和平面内的一条直线平行，那么直线和
3）A1B与D1B1。
平面平行. × 已知：如图，AB∥CD， A∈α ，D∈α， B∈β ,C∈β，
(2) 两个平面相交——有一条公共直线；
a ∩ α= A
3、如果直线和平面平行，那么直线和平面内的无数条 2、棱长为a的正方体AC1中,设M、N、E、F分别为棱A1B1、A1D1、 C1D1、 B1C1的中点.
α α 如果两个相交平面分别经过两条平行直线中的一条,那么它们的交线和这两条直线平行。
平面α平行于平面β ，记作α∥β
（2）直线和平面相交 —— 有且只有一个公共点
两个平面平行，
（1）直线在平面内 —— 有无数个公共点
直线在平面α 直线与平面α相交 2、如果一条直线和平面内的一条直线平行，那么直线和平面平行.
A
B
3）A1B与D1B1所成的角 = 6 0°
练习：1、求直线AD1与B1C所成的夹角； 2、与直线BB1垂直的棱有多少条？
1）直线AD1与B1C所成的夹角
D1
9 0°A1
C1 B1
D
2）与棱BB1垂直的棱有：
相交： A1B1、 AB、B1C1、BC、
高三立体几何复习讲义线线、线面、面面关系.docx
线线、线面、面面关系知识要点：一、平面：平面及其表示方法；平面的基本性质。
1、平面用平行四边形表示，常用表示方法：①一个大写字母，②一个小写希腊字母，③三个或者三个以上的字母；2、三个公理；三个推论：二、线线关系1、两条直线的关系：①从面的角度，分为共面和不共面；②从交点的角度，分为相交，平行和异面。
公理4：平行于同一直线的两条直线相互平行。
推论：如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。
2、异面直线（1）异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直线。
（2）异面直线画法：（3）异面直线证法：反证法，即证明两直线既不平行也不相交。
（4）求异面直线所成的角异面直线所成的角是指过空间任意一点。
分别作两条异面直线的平行线，所得的两条相交直线所成的锐角(或直角)。
它的取值范围为〔0,号。
辨析：异面直线所成的角的取值范围是；向量所成的角的取值范围是［0,&］。
所以，用向量方法求异面直线所成的角时，如果得出的是钝角，还要修正为锐角。
异面直线所成的角求法：①几何法：通过直线搬动，具体搬动一条直线还是两条都搬动，要看实际情况。
②代数法：采用向量运算。
三、线面关系直线与平面的位置关系是：直线在平面内、平行和相交。
1＞直线在平面内：山公理1判断；2、直线与平面平行：判断一条直线与平面平行的方法：①定义：直线与平面没有公共点；②在平面上找到一条直线与该直线平行定理：一条直线与平面平行，经过这条直线作一个平面与已知平面相交，那么交线与这条直线平行。
3、直线与平面相交(1)直线与平面的垂直：①定义：直线与平面内所有直线都垂直。
②定理：直线与平面内两条相交直线垂直，那么直线垂直于平面。
(2)直线与平面的交角，分以下两种情况：①直线和平面所成的角：直线与它在平面内的射影所成的锐角。
②直线与平面平行或在平面内，记为0°；直线与平面垂直，记为90°。
四、面面关系：平行和相交1、两个面平行判断方法：①定义：两个平面没有交点；②定理：一个面上有两条相交直线与另一个面平行，则这两个平面互相平行。
线线、线面、面面关系
线、面关系一、知识回顾1、平面的基本性质----3个公理、3个推论2、熟练掌握基本概念、基本定理，熟练进行符号、文字、图形语言之间的转化。
3、掌握①⇔⇔线线平行线面平行面面平行②⇔⇔线线垂直线面垂直面面垂直二、基本题型（04北京文）3．设m 、n 是两条不同的直线，α ，β，γ 是三个不同的平面．给出下列四个命题： ①若m ⊥α ，n ∥α ，则m ⊥n ；②若α ∥β，β∥γ ，m ⊥α ，则m ⊥γ ； ③若m ∥α ，n ∥α ，则m ∥n ； ④若α ⊥γ ，β⊥γ ，则α ∥β． 其中正确命题的序号是（ ）A ．①和②B ．②和③C ．③和④D ．①和④ （03北京文）（4）已知α、β是平面，m 、n 是直线．下列命题中不正确的是（A ）若m ∥α，α∩β=n ，则m ∥n （B ）若m ∥n ，m ⊥α，则n ⊥α （C ）若m ⊥α，m ⊥β，则α∥β （D ）若m ⊥α，m ⊂β，则α⊥β（07北京文）7．平面α∥平面β的一个充分条件是（ ） Ａ．存在一条直线a a ααβ，∥，∥Ｂ．存在一条直线a a a αβ⊂，，∥Ｃ．存在两条平行直线a b a b a b αββα⊂⊂，，，，∥，∥ Ｄ．存在两条异面直线a b a a b αβα⊂，，，∥，∥3、有如下三个命题：①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线； ③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直。
其中正确命题的个数为（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3（06北京文）(7)设A 、B 、C 、D 是空间四个不同的点，在下列命题中，不正确．．．的是 （A ）若AC 与BD 共面，则AD 与BC 共面（B ）若AC 与BD 是异面直线，则AD 与BC 是异面直线(C) 若AB =AC ，DB =DC ，则AD =BC(D) 若AB =AC ，DB =DC ，则AD ⊥BC（05北京文）（7）在正四面体P －ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，CA 的中点，下面四个结论中不成立．．．的是 （A ）BC //平面PDF （B ）DF ⊥平面P A E（C ）平面PDF ⊥平面ABC （D ）平面P AE ⊥平面 ABC（02北京文）（4）在下列四个正方体中，能得出AB ⊥CD 的是（ ）ABC D （06重庆）对于任意的直线l 与平面α，在平面内必有直线m,使m 与l( )A 、平行B 、相交C ．垂直D ．异面28．如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，当底面四边形ABCD 满足条件AC ⊥BD ，或任何能推出这个条件的其他条件，例如________时，有A 1C ⊥B 1D 1．(注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情形．)（01北京春理11）右图是正方体的平面展开图．在这个正方体．．．中，①ED BM 与平行②CN 与BE 是异面直线 ③CN 与BM 成︒60角 ④DM 与BN 垂直以上四个命题中，正确命题的序号是 （A ）①②③ （B ）②④（C ）③④（D ）②③④（04天津8）．如图，定点A 和B 都在平面α内，定点,,P PB αα∉⊥ C 是α内异于A 和B 的动点，且.PC AC ⊥那么，动点C 在平面α内的轨迹是（ ） A ．一条线段，但要去掉两个点 B ．一个圆，但要去掉两个点C ．一个椭圆，但要去掉两个点D ．半圆，但要去掉两个点（06北京理4）平面α的斜线AB 交α于点B ，过定点A的动直线l 与AB 垂直，且交α于点C ，则动点C 的轨迹是（A ）一条直线（B ）一个圆（C ）一个椭圆（D ）双曲线的一支（04北京6）．如图，在正方体ABCD A B C D -1111中，P 是侧面BB C C 11内一动点，若P 到直线BC 与 直线C D 11的距离相等，则动点P 的轨迹所在的曲线是（ ）D C 1A 1 CA. 直线B. 圆C. 双曲线D. 抛物线（04）．已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线 ②两条互相垂直的直线 ③同一条直线④一条直线及其外一点在一面结论中，正确结论的编号是 （写出所有正确结论的编号）（05湖南15．）已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α⊂m ；④βα⊥；⑤βα//. （i ）当满足条件 ③⑤ 时，有β//m ；（ii ）当满足条件 ②⑤ 时，有β⊥m .（填所选条件的序号）（2000）20．如图，E 、F 分别为正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是________．(要求：把可能的图的序号都填上)BACBα。
线线、线面、面面位置关系
1、直线与直线的位置关系：⑴相交直线——两直线在同一平面内，两直线有且仅有一个公共点。
⑵平面直线——两直线在同一平面内，两直线没有公共点。
⑶异面直线——不存在一个平面同时经过这两条直线。
过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内不经过该点的直线异面。
2、直线与平面的位置关系：⑴直线在平面内：直线上两点在一个平面内，那么此直线上所有点都在平面内。
⑵直线在平面外：①直线和平面平行。
②直线和平面相交。
两条平行线中一条与已知平面相交，则另一条也与该平面相交。
3、平面和平面的位置关系：⑴平行——没在公共点。
⑵相交——至少有一公共点（或一公共直线）。
如果两个平面内分别有一条直线，这两条直线互相平行，那么这两个平面一定是平行或相交。
4、直线和平面平行的判定定理：如果平面外一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。
5、直线和平面平行的性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面和此平面的交线与该直线平行。
6、平面与平面平行的判定定理：⑴如果一个平面内的两条相交直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行。
⑵如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行。
7、平面与平面平行的性质定理：⑴如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意直线均平行于另一个平面。
⑵如果两个平行平面同进和第三个平面相交，那么它们的交线平行。
8、直线与平面垂直的判定定理：⑴如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直。
⑵如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条直线也垂直于这个平面。
9、直线与平面垂直的性质定理：⑴直线与平面内所有直线都垂直。
⑵垂直于同一平面的两条直线平行。
10、平面与平面垂直的判定定理：⑴如果两个相交平面所成二面角为直三面角，那么这两个平面互相垂直。
⑵如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。
11、平面与平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。
立体几何常考定理总结(八大定理)
lmβααba立体几何的八大定理一、线面平行的判定定理：线线平行⇒线面平行线与平面平行.文字语言：若是平面外．的一条直线与平面内．的一条直线平行，则这条直符号语言：//a b a b αα⊄⎫⎪⊂⎬⎪⎭⇒//a α关键点．．．：．在．平面内．．．找一条与．．．．平面外．．．的．直线平行的线．．．．．． 二、线面平行的性质定理：线面平行⇒线线平行文字语言：若是一条直线和一个平面平行，通过．．这条直线的平面和那个平面相交．．，那么这条直线就和交线．．平行. 符号语言：//l l m αβαβ⎫⎪⊂⎬⎪⋂=⎭⇒//l m关键点：需要．．．．．．借助一个．．．．通过已知直线．．．．．．的．平面．．，接．．着找交线。
．．．．．三、面面平行的判定定理：线面平行⇒ 面面平行文字语言：若是一个平面内．有两．条相交．．直线都平行．．于另一个平面．．，那么这两个平面平行． 符号语言：//a b a b A a b αααβββ⊂⎫⎪⊂⎪⎪=⇒⎬⎪⎪⎪⎭∥∥ 关键点：．．．．在要证明面面平行的其中一个面内找两条相交直线和另一面线面平行。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 四、面面平行的性质定理: 面面平行⇒线线平行、面面平行⇒线面平行文字语言：若是两个平行平面同时．．和第三．．个．平面相交．．,那么所得的两条交线．．平行. 符号语言:////a a b b αβαγβγ⎫⎪⋂=⇒⎬⎪⋂=⎭关键点．．．：找．．第三个平面．．．．．与已知平面都相交，．．．．．．．．．则交线平行．．．．．文字语言：若是两个平面平行，那么其中一个平面内的任意．．一条直线平行于另一个平面.符号语言://,//a a αβαβ⊂⇒ 关键：只若是其中一个平面内的直线就行．．．．．．．．．．．．．．．．．．五、线面垂直的判定定理：线线垂直⇒线面垂直文字语言：若是一条直线和一个平面内．的两．条相交．．直线垂直．．，那么这条直线垂直于那个平nmAαaBA l βαaβα面.符号语言：,a m a n a m n A m n ααα⊥⎫⎪⊥⎪⇒⊥⎬⋂=⎪⎪⊂⊂⎭关键点：在平面内找两条相交直线与所要证的直线垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 六、线面垂直的性质定理：线面垂直⇒线线垂直文字语言：若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直平面内的任意．．一条直线. 符号语言：l l a a αα⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：往往线面垂直中的线线垂直需要用那个定理推出．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．． 七、平面与平面垂直的判定定理：线面垂直⇒面面垂直文字语言：若是一个平面通过．．另一个平面的一条垂线，则这两个平面相互垂直. （若是一条直线垂直于一个平面，而且有另一个平面通过这条直线，那么这两个平面垂直）符号表示：a a ααββ⊥⎫⇒⊥⎬⊂⎭关键点：在需要证明的两个平面中找线面垂直．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．八、平面与平面垂直的性质定理：面面垂直⇒线面垂直文字语言：若是两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直．．于它们的交线．．的直线垂直于另一个平面.符号语言：l AB AB AB lαβαββα⊥⎫⎪=⎪⇒⊥⎬⊂⎪⎪⊥⎭关键点：先找交线，再在其中一个面内找与交线垂直的线。
空间点线面位置关系、线面平行、面面平行
空间点线面位置关系、线面平行、面面平行1.位置关系：线与线：相交、平行、异面；线与面：线在面内、相交、平行；面与面：相交、平行。
2.异面直线夹角：范围(0,]2π；计算：一做、二证、三计算。
3.线面平行证明： ；4.面面平行证明： ；5.常考知识点：（1）平行于同一直线的两直线 ；（2）平行于同一直线的两平面 ；（3）平行于同一平面的两直线 ； （4）平行于同一平面的两平面 ；（5）垂直于同一直线的两直线 ；（6）垂直于同一直线的两平面 ； （7）垂直于同一平面的两直线 ；（8）垂直于同一平面的两平面 ； 知识点1.位置关系判断例1. 已知m 、n 表示两条直线，γβα,,表示三个平面，下列命题中正确的个数是 ； ①若,,m n αγβγ⋂=⋂=//m n ，则//αβ；②若m,n 相交且都在βαβαβαβα//,//,//,//,//则外n n m ，m 、③若n m n n m m l //,//,//,//,//,则βαβαβα=⋂；④若m//α，n//n m //,则α 例2. ,m n 是不重合的直线，,αβ是不重合的平面：①m α⊂，n ∥α，则m ∥n ；②m α⊂，m ∥β，则α∥β；③n αβ=，m ∥n ，则m ∥α且m ∥β，上面结论正确的有 ； 例3. a 、b 、c 表示直线，M 表示平面，可以确定a ∥b 的条件是（ ）.A.a ∥M ,b M ⊂B.a ∥c ,c ∥bC.a ∥M ,b ∥MD.a 、b 和c 的夹角相等 例4. 下列条件中,能判断两个平面平行的是( )A ．一个平面内的一条直线平行于另一个平面;B ．一个平面内的两条直线平行于另一个平面C ．一个平面内有无数条直线平行于另一个平面D ．一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面 例5. 直线,a b c ，及平面αβ，，使//a b 成立的条件是（ ）A ．//,a b αα⊂B ．//,//a b ααC ．//,//a c b cD ．//,a b ααβ=例6. 若直线m 不平行于平面α，且m ⊄α，则下列结论成立的是（ ）A ．α内的所有直线与m 异面B ．α内不存在与m 平行的直线C ．α内存在唯一的直线与m 平行D ．α内的直线与m 都相交 例7. 下列命题中，假命题的个数是 ；① 一条直线平行于一个平面，这条直线就和这个平面内的任何直线不相交；② 过平面外一点有且只有一条直线和这个平面平行；③ 过直线外一点有且只有一个平面和这条直线平行；④ 平行于同一条直线的两条直线和同一平面平行；⑤ a 和b 异面，则经过b 存在唯一一个平面与α平行 线面平行例8. 正方形ABCD 交正方形ABEF 于AB ，M 、N 在对角线AC 、FB 上，且FN AM =， 求证：//MN 平面BCE例9. 如图，四边形ABCD 是矩形，,E F 是AB 、PD 的中点，求证：AF ∥面PCE .面面平行例10. 如图，正方体中，,,,M N E F 分别是棱A B ''，A D ''，B C ''，C D ''的中点，求证：平面AMN ∥平面EFDB .ABDCEFMNFM NB 'C 'A ' DCBAD ' EA BC DDC 1B 1A 1 例11. 如图，设,P Q 是单位正方体1AC 的面11AA D D 、面1111ABCD 的中心，证明： ⑴PQ ∥平面11AA B B ；⑵面1D PQ ∥面1C DB .线面、面面平行综合应用.例12. 如图，空间四边形ABCD 的对棱AD 、BC 成o60的角，且2B C AD ==，平行于AD 与BC 的截面分别交AB 、AC 、CD 、BD 于,,,E F G H ．（１）求证：四边形EGFH 为平行四边形；（２）E 在AB 的何处时截面EGFH 的面积最大？最大面积是多少？借助面面平行 线面平行例13. 如图，在四棱锥O ABCD -中，底面ABCD 是菱形，M 为OA 的中点，N 为BC 的中点， 证明：直线MN OCD 平面‖例14. 如图,S 是平行四边形ABCD 平面外一点，,M N 分别是,SA BD 上的点，且SMAM =NDBN, 求证：//MN 平面SBC点的存在性问题例15. 直棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 是直角梯形，90o BAD ADC ∠=∠=，222AB AD CD ===． （1）在11A B 上是否存一点P ，使得DP 与平面1BCB 与平面1ACB 都平行？证明你的结论． （2）试在棱AB 上确定一点E ，使1A E ∥平面1ACD ，并说明理由．例16. 如图所示，在底面是平行四边形的四棱锥P －ABCD 中，点E 在PD 上，且PE ∶ED ＝2∶1，在棱PC 上是否存在一点F ，使BF ∥平面AEC ？并证明你的结论．N M SCBA D AEBHFDG CM A D CO。
空间中线线线面面面的位置关系
直线所成的角，转化为两条相交直
线所成的角.
例2:(1)求直线BA1和CC1所成角的度数。
D1 A1
C1
B1
45o
D
C
A
B
例2:(2)哪些棱所在直线与直线AA1垂直？
D1 A1
C1 B1
D
C
A
B
四、异面直线所成角的求法：
一作(找)、二证、三求
(1)通过直线平移，作出异面直线 所成的角，把空间问题转化为 平面问题。 (2)利用平面几何知识， 求出异面直线所成角的大小。
空间中线线、线面、面面的位置关系
复习
公理1:如果一条直线上两点在一个平面内，那么 这条直线上的所有的点都在这个平面内(即直线 在平面内). 公理2:过不在同一直线上的三点，有且只有一个 平面. 公理3:如果两个不重合的平面有一个公共点，那 么这两个平面有且只有一条过该点的公共直线.
推论1:一条直线和直线外一点唯一确定一个平面.
α
β
等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应 平行，那么这两个角相等或互补.
推论：如果两条相交直线和另两条 相交直线分别平行，那么这两组直 线所成的锐角(或直角)相等.
三、异面直线所成角的定义：
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O, 分别引直线a1∥a,b1∥b,把直线a1和b1所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。
2、反过来,如果一个平面内的所有直 线都和另一个平面平行,那么这两个 平面平行.
A B
练习：如图：正方体的棱所在的直线中， 与直线A1B异面的有哪些？
D1 A1
D A
C1 答案：
B1 C
D1C1、C1C、CD、 D1D、AD、B1C1
2.1.3线、面和面、面的位置关系重点
③如果两条平行直线中的一条与一个平面平行， 那么另一条也与这个平面平行。 D1 C1 ④若直线 l与平面平行， 直线都没有公共点。
A B A1 D C
则 l与平面 内的任意一条
B2
练习：
2. 若直线 a不平行于平面 ，且a ，则下列 结论成立的是（ B ） （A） 内的所有直线与 a异面 （B） 内不存在与 a平行的直线 （C） 内存在唯一的直线与 a 平行 （D） 内的直线与a 都相交 a
则这条直线和这个平面平行。
练习9：平面α与β平行，且a 1 命题的个数（ ）
α，下列四个命题中真
（1） a与β内的所有直线平行；
（2） a与β内的无数条直线平行； （3） a与β内的任何一条直线都不垂直； （1） a与β无公共点。 练习10：a,b是异面直线， b，c是异面直线，
则a,c的位置关系 相交、平行和异面
cd内存在唯一的直线与平行内的直线与都相交aaaa214平面与平面之间的位置关系一两个平面的位置关系没有公共点1两平面平行有一条公共直线2两平面相交??????ll??????aa已知平面则直线位置关系
2.1.3空间中直线 与平面的位置关系
直线与平面的位置关系
1 直线与平面有无数多个公共点
——直线在平面内
∩
a
记作：a α
α
a A
直 2 直线与平面只有一个公共点 线 ——直线与平面相交 不 α 在 记作: a∩α =A 平 面 3 直线与平面没有公共点 内
a
——直线与平面平行
记作：a∥ α
∩
记作：a α
α
1.下列命题中正确的个数是（
）
①若直线l上有无数个点不在平面 内，则 l //
2.1.2空间中线面和面面之间的位置关系
例1、判断下列命题的正确
X X X
（1）若直线l上有无数个点不在平面 内， 则l// 与平面 内的
任意一条直线都平行。（
）
（3）如果两条平行直线中的一条与一个平面平 行，那么另一条也与这个平面平行。（ ）
（4）若直线l与平面 平行，则l与平面 内的
任意一条直线都没有公共点。（ ∨ ）
例2、若直线a不平行平面 ，且a
则下列结论成立的是（ B ）
（A） 内所有直线与a异面 （B） 内不存在与a平行的直线 （C） 内存在唯一的直线与a平行 （D） 内的直线与a都相交
两个平面之间的位置关系 有且只有以下两种
//
•l
l
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5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上： 记为Ba. (2)点与平面的位置关系：
A
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上： 记为Ba. (2)点与平面的位置关系：
例4：根据下列条件作图：
(1) A∈，a，A∈a； (2) a ，b，c，且a∩b＝A， b∩c＝B，c∩a=C.
2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系
讲授新课
问题1：在平面几何中，两直线的位置 关系如何？
讲授新课
问题1：在平面几何中，两直线的位置 关系如何？ c a d b
3. 平面的画法：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
图形语言：
符号语言：
A
B
l
公理1是判断直线是否在平面内的依据.
观察下图，你能得到什么结论？
B A C
观察下图，你能得到什么结论？
B A C A
B C
观察下图，你能得到什么结论？
B A C A
B C
公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
文字语言：
文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
图形语言：
P
a
文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
图形语言：
P
a
符号语言：
文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
图形语言：
P
a
符号语言：
P 且P l且P l .
例3. 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. (×) (3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a. (×) (4) 平面与平面相交，它们只有有限个 ( ) 公共点.
例3. 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. (×) (3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a. (×) (4) 平面与平面相交，它们只有有限个 (× ) 公共点.
图形语言： A 符号语言： B C
A, B, C三 点 不 共 线 有 且 只 有 一 个 平 面 使A , B , C
文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
图形语言： A 符号语言： B C
A, B, C三 点 不 共 线 有 且 只 有 一 个 平 面 使A , B , C
点A在平面上： 记为A∈. 点B不在平面上： 记为B. A
B
例1.画出直观图，能的话把下列语句用集 合符号表示。 (1) 点A在平面内，点B不在平面内， 点A，B都在直线a上； (2) 平面与平面相交于直线m，直线a 在平面内且平行于直线m.
例1.画出直观图，能的话把下列语句用集 合符号表示。 (1) 点A在平面内，点B不在平面内， 点A，B都在直线a上； (2) 平面与平面相交于直线m，直线a 在平面内且平行于直线m. B
文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
图形语言：
文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
图形语言： A B C
文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
图形语言： A 符号语言： B C
文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
文字语言：
文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
图形语言：
文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
讲授新课
问题1：在平面几何中，两直线的位置 关系如何？ c a d b 问题2：没有公共点的直线一定平行吗？
2.1.1 平面
一、平面及其表示法
1. 平面的概念：
1. 平面的概念：
1. 平面的概念：
1. 平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
2. 平面的特征：
2. 平面的特征： 平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面
在空间是无限延伸的.
点A在平面上：
A
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上： 记为Ba. (2)点与平面的位置关系：
点A在平面上： 记为A∈.
A
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上： 记为Ba. (2)点与平面的位置关系：
3. 平面的画法：
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
(3)在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.
4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示.
4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B
通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成45o,横边长画成邻边长的2倍。
3. 平面的画法：
3. 平面的画法：
(3)在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.
3. 平面的画法：
(3)在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.
文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
图形语言：
P
a
符号语言：
P 且P l且P l .
公理3是判定两个平面是否相交的依据.
例2. 把下列图形中的点、线、面关系用
集合符号表示出来.
重要推论
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面. l A C B 推论2 两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.
例3. 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. ( ) (3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a. ( ) (4) 平面与平面相交，它们只有有限个 ( ) 公共点.
A
平 面
平 面
平 面ABCD 平 面AC 平 面BD
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系：
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上：
A
a
例1.画出直观图，能的话把下列语句用集 合符号表示。 (1) 点A在平面内，点B不在平面内， 点A，B都在直线a上； (2) 平面与平面相交于直线m，直线a 在平面内且平行于直线m. B
a
A
a m
二、平面的基本性质
观察下图，你能得到什么结论？
桌面 A B
观察下图，你能得到什么结论？
公理2是确定一个平面的依据.
观察下图，你能得到什么结论？
天花板 墙面 墙面
观察下图，你能得到什么结论？
天花板 墙面 P 墙面
观察下图，你能得到什么结论？
天花板 墙面 P 墙面
P
a
观察下图，你能得到什么结论？
天花板 墙面 P 墙面
P
a
公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
A
平 面
平 面
4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B
A
平 面ABCD
平 面
平 面
4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a.
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上：
桌面 A B