第三讲 平面、线线、线面和面面的位置关系

文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
图形语言：

P
a
符号语言：
P 且P l且P l .
公理3是判定两个平面是否相交的依据.
例2. 把下列图形中的点、线、面关系用
集合符号表示出来.
重要推论
3. 平面的画法：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：
3. 平面的画法： (1)水平放置的平面：

3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：

3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：

3. 平面的画法： (1)水平放置的平面： (2)垂直放置的平面：
图形语言：

P
a
文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
图形语言：

P
a
符号语言：
文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
图形语言：

P
a
符号语言：
P 且P l且P l .
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a.
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上：
A
平 面
平 面
ห้องสมุดไป่ตู้
4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B


A
平 面ABCD
平 面
平 面
4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B

A
B
l
公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内，那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

A
B
l
文字语言： 公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内，那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).
图形语言：

符号语言：
A
B
l
文字语言： 公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内，那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).

通常把表示平面的平行四边形的锐角 画成45o,横边长画成邻边长的2倍。
3. 平面的画法：
3. 平面的画法：
(3)在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.
3. 平面的画法：
(3)在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.
文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
图形语言：
文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
图形语言： A B C
文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
图形语言： A 符号语言： B C
文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
推论1 一条直线和直线外一点唯一确定一 个平面. l A C B 推论2 两条相交直线唯一确定一个平面. 推论3 两条平行直线唯一确定一个平面.
例3. 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. ( ) (3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a. ( ) (4) 平面与平面相交，它们只有有限个 ( ) 公共点.
2.1.1 平面
一、平面及其表示法
1. 平面的概念：
1. 平面的概念：
1. 平面的概念：
1. 平面的概念：
光滑的桌面、平静的湖面等都是我们 熟悉的平面形象，数学中的平面概念是现 实平面加以抽象的结果.
2. 平面的特征：
2. 平面的特征： 平面没有大小、厚薄和宽窄， 平面
在空间是无限延伸的.
例4：根据下列条件作图：
(1) A∈，a，A∈a； (2) a ，b，c，且a∩b＝A， b∩c＝B，c∩a=C.
2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系
讲授新课
问题1：在平面几何中，两直线的位置 关系如何？
讲授新课
问题1：在平面几何中，两直线的位置 关系如何？ c a d b
点A在平面上：

A
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上： 记为Ba. (2)点与平面的位置关系：
点A在平面上： 记为A∈.

A
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上： 记为Ba. (2)点与平面的位置关系：
文字语言：
文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
图形语言：
文字语言： 公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.


A
4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B


A
平 面
4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B



3. 平面的画法：
(3)在画图时，如果图形的一部分被另一 部分遮住，可以把遮住部分画成虚线， 也可以不画.


4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示.
4. 平面的表示方法： 平面可以用希腊字母表示，也可以用 代表表示平面的平行四边形的四个顶点或 相对的两个顶点字母表示. 如 D C B
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上： 记为Ba. (2)点与平面的位置关系：

A
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上： 记为Ba. (2)点与平面的位置关系：
例3. 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. ( ) (3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a. ( ) (4) 平面与平面相交，它们只有有限个 ( ) 公共点.
例3. 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. (×) (3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a. ( ) (4) 平面与平面相交，它们只有有限个 ( ) 公共点.
点A在平面上： 记为A∈. 点B不在平面上： 记为B. A
B
例1.画出直观图，能的话把下列语句用集 合符号表示。 (1) 点A在平面内，点B不在平面内， 点A，B都在直线a上； (2) 平面与平面相交于直线m，直线a 在平面内且平行于直线m.
例1.画出直观图，能的话把下列语句用集 合符号表示。 (1) 点A在平面内，点B不在平面内， 点A，B都在直线a上； (2) 平面与平面相交于直线m，直线a 在平面内且平行于直线m. B
图形语言：

符号语言：
A
B
l
公理1是判断直线是否在平面内的依据.
观察下图，你能得到什么结论？
B A C
观察下图，你能得到什么结论？
B A C A
B C
观察下图，你能得到什么结论？
B A C A
B C
公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
文字语言：
文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
桌面 A B

A
B
l
观察下图，你能得到什么结论？
桌面 A 公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内，那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内). B A l B

公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内，那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).
公理1 如果一条直线上两点在一个平 面内，那么这条直线上的所有的点都在 这个平面内(即直线在平面内).
讲授新课
问题1：在平面几何中，两直线的位置 关系如何？ c a d b 问题2：没有公共点的直线一定平行吗？
公理2是确定一个平面的依据.
观察下图，你能得到什么结论？
天花板 墙面 墙面
观察下图，你能得到什么结论？
天花板 墙面 P 墙面
观察下图，你能得到什么结论？
天花板 墙面 P 墙面

P
a
观察下图，你能得到什么结论？
天花板 墙面 P 墙面

P
a
公理3 如果两个不重合的平面有一个 公共点，那么这两个平面有且只有一条 过该点的公共直线.
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上： 记为Ba.
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上： 记为Ba. (2)点与平面的位置关系：


A
平 面
平 面
平 面ABCD 平 面AC 平 面BD
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系：
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系：
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上：
点A在平面上： 记为A∈.

B
A
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上： 记为Ba. (2)点与平面的位置关系：
点A在平面上： 记为A∈. 点B不在平面上：

B
A
5. 用数学符号来表示点、线、面之间的 位置关系： (1)点与直线的位置关系： a A 点A在直线a上： 记为A∈a. B 点B不在直线a上： 记为Ba. (2)点与平面的位置关系：
图形语言： A 符号语言： B C
A, B, C三 点 不 共 线 有 且 只 有 一 个 平 面 使A , B , C
文字语言： 公理2 过不在同一直线上的三点，有 且只有一个平面.
图形语言： A 符号语言： B C
A, B, C三 点 不 共 线 有 且 只 有 一 个 平 面 使A , B , C
A
a
例1.画出直观图，能的话把下列语句用集 合符号表示。 (1) 点A在平面内，点B不在平面内， 点A，B都在直线a上； (2) 平面与平面相交于直线m，直线a 在平面内且平行于直线m. B

a
A
a m

二、平面的基本性质
观察下图，你能得到什么结论？
桌面 A B
观察下图，你能得到什么结论？
例3. 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. (×) (3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a. (×) (4) 平面与平面相交，它们只有有限个 ( ) 公共点.
例3. 判断下列命题是否正确:
(1) 经过三点确定一个平面. ( ×) (2) 经过同一点的三条直线确定一个平面. (×) (3) 若点A∈直线a，点A∈平面，则a. (×) (4) 平面与平面相交，它们只有有限个 (× ) 公共点.