第二类曲面积分的计算方法

第二类曲面积分的计算方法

赵海林 张纬纬

摘要 利用定义法，参数法，单一坐标平面投影法，分项投影法，高斯公式，Stokes 公式，积

分区间对称性，向量计算形式以及利用两类曲面积分之间的联系等方法进行求解. 关键词 第二类曲面积分 定义法 参数法 投影法 高斯公式 Stokes 公式 向量计算形 式

1 引言

曲面积分是多元函数积分学的重要组成部分，在曲面积分的计算中，综合运用着一元积分与重积分计算思路、方法与技巧，在第二型曲面积分的学习过程中，必须在理解概念和性质的同时，掌握求第二型曲面积分的方法和技巧.由于第二型曲面积分的概念抽象费解，计算方法灵活多变，而且涉及的数学知识面广，掌握起来有一定的难度，而且是数学分析学习中的难点,许多学生在求解这一类题型时感到相当困难，因此本文给出了第二型曲面积分计算的几种方法，并举例说明了这几种方法的应用，力图使学生能计算第二型曲面积分，并能进一步了解第一型曲面积分与第二型曲面积分，曲面积分、曲线积分与重积分之间的密切联系，让各种计算方法更加直观的呈现在读者面前，体现了第二型曲面积分计算方法的应用.

2 预备知识

2．1第二型曲面积分的概念 2.1.1 流量问题(物理背景)

设稳定流动的不可压缩流体（假定密度为1）的速度为

(,,)(,,)(,,)(,,)v x y z P x y z i Q x y z j R x y z k =++,

∑是一光滑的有向曲面，求单位时间内从曲面∑一侧流向另一侧的流量Φ. 若∑为平面上面积为S 的区域，而流速v 是常向量，∑指定侧的单位法向量

cos cos cos n i j k αβ=++

则

cos .S v S v n θΦ==⋅⋅

若∑为曲面，流速v 不是常向量，则用下面的方法计算流量Φ.

(1) 分割

将∑任意分成小块(1,2i i S i n S ∆=∆…,),同时代表其面积.

(2) 近似

(,,)i i i i i M S ξηζ∀∈∆，以点i M 处的流速()i i v v M =和单位法向量i n 分别代替

i S ∆上其他各点处的流速和单位法向量，得到流过i S ∆指定侧的流量的近似值：

∆Φ(1,2,i i i S v n i n ≈∆⋅⋅=…,).

(3) 求和

Φ≈

1

n

i

i

i

i v n S

=⋅⋅∆∑

(4) 取极限

10

1

max

{},=.

lim

n

i

i

i n

i

i

T i T S v n S ≤≤→==∆Φ⋅⋅∆∑设的直径则

这种与曲面的侧有关的和式极限就是所要讨论的第二型曲面积分.

2.1.2 定义

,P Q R S S T 设为定义在双侧曲面上的函数,在所指定的一侧作分割它

，，max 1,21T S ,S ,{}n i n i n S S T S ≤≤=∆把分为个小曲面分割的细度，

…，的径max

1}{i n i T S ≤≤=∆的直径，

,, S yz zx xy i i i i S S S ∆∆∆分别表示在三个坐标面上的投影区域,

.S S i i 的面积，他们的符号由的方向来确定若的法线正向与轴正向成锐角时,

z .S xy i i i S xoy S z ∆在平面的投影区域的面积为正反之,若法线正向与轴正向成钝角时,

.S xy i i xoy S ∆他在平面的投影区域的面积为负在各个小曲面上任取一点,(,)

i i i ξηζ.

若

lim

1

T n

i P →=∑,(,)i i

i

ξηζyz

i

S ∆0

lim

1

T n

i Q →=+

∑,(,)i i

i

ξηζzx

i S

∆0

lim

1

T n

i R →=+

∑,(,)i i

i

ξηζxy

i

S ∆存在，

,.S T (,)S P Q R i i i i ξηζ且与曲面的分割和在上的取法无关，则称此极限为函数，，S 在曲面所指定的一侧上的第二型曲面积分，记作

(,,)(,,)(,,)S

P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy

++⎰⎰

或者

(,,)(,,)(,,)S

S

S

P x y z dydz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++⎰⎰⎰⎰⎰⎰.

S 据此定义，某流体以速度在单位时间内从曲面的负侧流向正侧的总流量为

S (,,)v P Q R =在单位时间内从曲面的负侧流向正侧的总流量为

(,,)(,,)(,,)S

P x y z dxdz Q x y z dzdx R x y z dxdy

Φ=++⎰⎰

(,(,,),(,,),(,,))S P x y z Q x y z R x y z 又若，空间的磁场强度为则通过曲面的磁通量

(,,)(,,)(,,)S

H P x y z dxdz Q x y z dzdx R x y z dxdy

=++⎰⎰

S S -若以表示曲面的另一侧，由定义易得

(,,)(,,)(,,)S

P x y z dxdz Q x y z dzdx R x y z dxdy

-++⎰⎰

(,,)(,,)(,,)S

P x y z dxdz Q x y z dzdx R x y z dxdy

=-++⎰⎰

2．2 第二型曲面积分的性质

性质 1 (方向性) 设向量值函数v 在定向的光滑曲面S 上的第二型曲面积分存在.记S -为与S 取相反侧的曲面，则v 在S -上的第二型曲面积分也存在，且成立

S

S

v ndS v ndS -⋅=-⋅⎰⎰⎰⎰.注意这个等式两边的n 是方向相反的.

性质2 （线性性） 若i

i

i

S

Pdydz Q dzdx R dxdy ++⎰⎰ (1,2,k i =…，)存在，则

有

1

1

1

()()()k k k i i

i i

i i

i i i S

c P dydz c Q dzdx c R dxdy ===++∑∑∑⎰⎰=1

k

i

i

i

i

i S

c Pdydz Q dzdx R dxdy =++∑⎰⎰，

其中i c i 12k =⋯（，

，，）是常数. 性质3 (曲面可加性) 若曲面S 是由两两无公共内点的曲面块12,,S k S S …，所组成，且

(,,)(,,)(,,)i

S P x y z dxdz Q x y z dzdx R x y z dxdy ++⎰⎰

i 1,2k =⋯（，）

存在，则有