高考数学复习典型题型与知识点专题讲解4 函数的基本性质(解析版)

高考数学复习典型题型与知识点专题讲解
4 函数的基本性质
一、典型例型解题思维（名师点拨）
知识点1 ()(0)a
f x x a x =+>的单调性
知识点2 二次函数区间求最值
知识点3 已知一半求另一半（奇偶性） 知识点4单调奇偶联袂 二、题型归类练专练
一、典型例型解题思维（名师点拨）
知识点1 ()(0)a
f x x a x
=+>的单调性
例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知4()f x x x
=+. （1）判断()f x 的奇偶性；
（2）判断函数()f x 在(2,)+∞的单调性并用定义证明. 【答案】
（1）函数()f x 为奇函数；
（2）()f x 在区间()2,+∞上是增函数；证明见详解. （1）解：由题可知，4()f x x x
=+，
则函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠ ，关于原点对称，
又4
4()()()f x x x f x x x
-=--=-+=-， 所以函数()f x 为奇函数.
（2）解：()f x 在区间()2,+∞上是增函数， 证明：12,(2,)x x ∀∈+∞且12x x <， 有121212
44()()()()f x f x x x x x -=+
-+ 121244
()(
)x x x x =-+-121212
(4)x x x x x x -=-， 122x x <<，1212124,40,0x x x x x x >->-<∴,
12
1212
(4)0x x x x x x -∴
-<，即12()()f x f x <， ∴函数()f x 在区间()2,+∞上是增函数.
名师点评：对于函数()(0)a
f x x a x =+>主要性质如下：
①定义域(,0)(0,)-∞+∞； ②奇偶性：奇函数；
③单调性：当0x >时；()(0)a
f x x a x =+>
在
上单调递减；在)+∞的单调增；
④值域与最值：当0x >时；()(0)a
f x x a x =+>
值域为)+∞
，当x =
小值
特别提醒同学们函数()(0)a
f x x a x =+>我们称为对钩函数（耐克函数），注意需要0
a >这个大前提，当0a ≤时都不再是对钩函数，此时不具有对钩函数的性质。

变式训练1．（2021·上海市建平中学高一阶段练习）若函数3
(),[1,2]f x x x x
∈=+，则函数值域为___________
【答案】4⎡⎤⎣⎦
【详解】
由对勾函数的单调性知：函数3
()f x x x
=+在上递减，在2⎤⎦上递增，
所以min ()f x f ==()()142 3.5f f ==，，
所以值域为4]．
故答案为：4]．
变式训练2．（2020·四川·宁南中学高二开学考试（理））设函数2()2f x ax ax =--，若对任意的[1,3]x ∈，()22f x x a >--恒成立，则实数a 的取值范围为_____________. 【答案】(2,)+∞
【详解】
解：由题意，()22f x x a >--可得2222ax ax x a -->--，即()2
12a x x x +>-，
当[]1,3x ∈时，[]2
11,7x x -+∈，所以221
x a x x >-+，即2
>
11a x x
+-在[]1,3x ∈上恒成立，
故需max 211a x x ⎛⎫ ⎪> ⎪⎪
⎝
⎭- +， 令1t x x =+，则1t x x =+在[]1,3上单调递增，所以当1x =时，1
t x x
=+有最小值为2，则211
x x
+-有最大值为
2
221
=-， 则3a >，实数a 的取值范围是()2,+∞， 故答案为：()2,+∞.
知识点2 二次函数区间求最值
例1．（2021·江苏省天一中学高一期中）已知()f x 是二次函数，且满足()02f =，
()()224f x f x x +-=+，
（1）求()f x 的解析式
（2）当[],1x m m ∈+，其中m R ∈，求()f x 的最小值. 【答案】
（1）()2
122
f x x x =++
（2）()2min
2
7
2,2223
,2122,12
m m m f x m m m m ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩
（1）设 ()2
f x ax bx c =++，因为()02f =，所以2c =
又()()224f x f x x +-=+，
∴22(2)(2)()24a x b x c ax bx c x ++++-++=+，即44224ax a b x ++=+，
∴42424
a a
b =⎧⎨+=⎩，解得1,12a b ==，
∴()2122
f x x x =++.
（2）∵()2
122
f x x x =++，对称轴1x =-，开口向上，
故函数在区间(],1-∞-单调递减，在区间[)1,-+∞单调递增，故()()min 3
12
f f x -== 当2m ≤-时，即11m +≤-，此时函数在区间[],1m m +上单调递减，
()()2min 17222
1f x m m f m +=
=++； 当21m -<≤-时，此时函数在区间[],1m -上单调递减，在区间(]1,1m -+上单调递增，
()()min 312
f f x -=
=； 当1m >-时，此时函数在区间[],1m m +上单调递增，()()2
min
22
m f x f m m ==++；
所以()f x 的最小值为()2min
2
7
2,2223
,2122,12
m m m f x m m m m ⎧++≤-⎪⎪⎪=-<≤-⎨⎪⎪++>-⎪⎩ 名师点评：二次函数区间求最值问题可以分为两大类：①定轴动范围；②动轴定范围；具体如下：
求2()(0)f x ax bx c a =++>在[,]x m n ∈上的最小值和最大问题：
（1）求最小值：讨论时参考口诀“左，中，右（即对称轴在区间左边2b
m a
-
<，对称轴在区间之间2b m n a ≤-
≤，对称轴在区间右边2b
n a
≤-）” （2）求最大值：由于2()(0)f x ax bx c a =++>开口向上，离对称轴越远，函数值越大，故在讨论时参考口诀：“左，右”（先求出02m n x +=
，左即02b x a -≤，右即02b
x a
<-）
对于开口向下的二次函数，求最大值最小值在分类讨论时口诀刚好和开口向上对调。

在本例中：()2
122
f x x x =++对称轴1x =-，开口向上，属于第①类定轴都范围求()f x 在
[],1x m m ∈+上最小值问题.分类讨论时分（ⅰ）1m -<（ⅱ）11m m ≤-≤+（ⅲ）11
m +<-（即左中右的讨论思想）
例2．（2021·浙江台州·高一期中）已知二次函数()f x 满足()()2
1124f x f x x x ++-=-
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若()()()2g x f x m x =--，[]1,2x ∈，求()g x 的最小值()h m ， 【答案】
（1）()2
21f x x x =--
（2）()2
,21,24432,4
m m m h m m m m ≤-⎧⎪⎪=---<<⎨⎪-≥⎪⎩；
（1）解：设()()2
0f x ax bx c a =++≠
因为：()()11f x f x x +-=+所以22222224ax bx a c x x +++=-
2224220a b a c =⎧⎪∴=-⎨⎪+=⎩得121a b c =⎧⎪
=-⎨⎪=-⎩
：
所以()2
21f x x x =--
（2）解：①()()[]2
))21,1,2g x f x m x x mx x =--=--∈-，对称轴2
m x =
当
12
m
≤-，即2m ≤-时，()g x 在[]1,2-是单调递增的， ()()1min g x g m =-=
当122
m
-<
<，即24m -<<时 ()2
124min
m m g x g ⎛⎫
==-- ⎪⎝⎭
当
22
m
≥，即4m ≥时，()g x 在[]1
2-，是单调递减的， ()()232min g x g m ==-
综上所述()()2
,21,24432,4
min
m m m g x h m m m m ≤-⎧⎪⎪==---<<⎨⎪-≥⎪⎩
名师点评：二次函数区间求最值问题可以分为两大类：①定轴动范围；②动轴定范围；
本例属于第②。

对于函数()[]2
1,1,2g x x mx x =--∈-对称轴为2
m
x =
，分类讨论时分（ⅰ）12m <-（ⅱ）122m -≤≤（ⅲ）22m
<（即左中右的讨论思想）。

特别提醒同学们等号可以都跟在中间区间上，也可象参考答案跟在左右，但不能左中右都取等，避免重复。

例3．（2019·广东·汕头市潮师高级中学高一期中）已知函数2()22,[5,5],f x x ax x =++∈- （1）若()y f x = 在区间[5,5]- 上是单调函数，求实数a 的取值范围. （2）求函数在[5,5]-上的最大值；
【答案】（1）(,5][5,)-∞-+∞； （2）见解析.
【详解】（1）由题意，函数2()22f x x ax =++表示开口向上的抛物线，且对称轴为x a =-，
若使得函数()y f x = 在区间[5,5]- 上是单调函数， 则满足5a -≤-或5a -≥，解得5a ≥或5a ≤-， 即实数a 的取值范围(,5][5,)-∞-+∞. （2）由（1）可知，
①当0a -≤时，即0a ≥时，函数的最大值为(5)1027f a =+； 当0a ->时，即0a <时，函数的最大值为(5)1027f a -=-+；
名师点评：二次函数区间求最值问题可以分为两大类：①定轴动范围；②动轴定范围；本例属于第②。

对于函数2()22,[5,5],f x x ax x =++∈-对称轴为x a =-，由于函数()f x 开口向上，且求函数()f x 最大值，故分类讨论时，先求出分[5,5]-这个区间的中点00x =分类讨论时可分为（ⅰ）0a -≤（ⅱ）0a ->（即左右的讨论思想）。

知识点3 已知一半求另一半（奇偶性）
例1．（2021·天津市实验中学滨海学校高一期中）()y f x =为定义在R 的奇函数，当0
x >时()2
1f x x =-，则()f x 的解析式为_____.
【答案】()221,00,01,0.x x f x x x x ⎧-+<⎪
==⎨⎪->⎩
，，
【详解】
解：当0x =时，(0)=0f .
当0x <时，2220,()1,()1,()1x f x x f x x f x x ->∴-=-∴-=-∴=-+.
所以()f x 的解析式为()221,00,01,0.x x f x x x x ⎧-+<⎪
==⎨⎪->⎩，，.
故答案为：()221,00,01,0.x x f x x x x ⎧-+<⎪
==⎨⎪->⎩
，，
名师点评：知道了函数的奇偶性，就是知道了它的对称性，根据对称性，已知一半求另一半(如：已知0x >时的解析式，求0x <时函数的解析式），关键在于如何设“x ”。

以本题为例具体步骤：①求什么设什么（要求0x <时的解析式，则直接设出0x <）； ②转化为已知范围：0x ->； ③代入已知条件：2()()1f x x -=--； ④找到目标与已知的关系：()()f x f x -=- ⑤奇函数在0x =处有意义，则(0)0f =。

特别提醒同学们，本题求解的是()f x 的解析式（x R ∈），故最后的答案要写成分段函数。

变式训练．（2021·上海市通河中学高一阶段练习）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x <时，2()1f x x x =-+，则函数()f x 的解析式为________．
【答案】()221,0
0,01,0x x x f x x x x x ⎧-+<⎪
==⎨⎪--->⎩
【详解】
当0x >时，0x -<，所以()2
2()11f x x x x x -=-++=++，因为()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，且()()f x f x -=-，所以2()1f x x x -=++，所以2()1f x x x =---，综上：函数()f x 的
解析式为：()221,00,01,0x x x f x x x x x ⎧-+<⎪
==⎨⎪--->⎩
故答案为：()221,00,01,0x x x f x x x x x ⎧-+<⎪
==⎨⎪--->⎩
例2．（2021·黑龙江·大庆市东风中学高一期中）定义在R 上的偶函数f x （），当],(0x ∈-∞时，2()41f x x x =-+-，则函数f x （）在,()0x ∈+∞上的解析式为__________________.
【答案】2()41f x x x -=--
【详解】
因为,()0x ∈+∞，所以(,0)x -∈-∞， 所以22()()4()141f x x x x x -=--+--=---， 因为()f x 是定义在R 上的偶函数， 所以2()()41f x f x x x =
-=---．
故答案为：2()41f x x x -=--．
名师点评：以本例为例具体步骤：①求什么设什么（要求0x >时的解析式，则直接设出
0x >）；
②转化为已知范围：0x -<；
③代入已知条件：22()()4()141f x x x x x -=--+--=---； ④找到目标与已知的关系：()()f x f x -=
特别提醒同学们，本题求解的是0x >时()f x 的解析式，故最后的答案只要写出0x >时，对应的解析式，而不必写出(),f x x R ∈的解析式，同学们解题时注意细节。

变式训练．（2021·宁夏·银川一中高一期中）已知()f x 是定义域为R 的偶函数，当0x ≥时，2()2f x x x =-，则函数()f x 在0x <时，()f x =___________. 【答案】22x x + 【详解】
当0x <时，0x ->，所以()2
2()22f x x x x x -=-+=+，因为()f x 是定义域为R 的偶函数，所以()()f x f x -=，故2()2f x x x =+ 故答案为：2()2f x x x =+
知识点5单调奇偶联袂
例1．（2021·宁夏·平罗中学高一期中）已知奇函数()f x 是定义在()2,2-上的减函数，
若(1)(12)0f m f m -+->，则实数m 取值范围为（ ） A ．0m >B ．302
m <<
C ．13m -<<
D ．132
2m -<< 【答案】B 【详解】
解：由题可知，奇函数()f x 是定义在()2,2-上的减函数， 则()()f x f x -=-，
(1)(12)0f m f m -+->，则()(1)(12)21f m f m f m ->--=-，
2122212121m m m m -<-<⎧⎪∴-<-<⎨⎪-<-⎩，即13
132
20
m m m -<<⎧⎪⎪
-<<⎨⎪>⎪⎩，解得：302m <<，
所以实数m 取值范围为3
02
m <<. 故选：B.
名师点评：本例利用奇函数的单调性容易解决，但是这里要特别提醒同学们，本题()f x 定义在()2,2-上，解()(1)(12)21f m f m f m ->--=-不等式时要考虑212
2212m m -<-<⎧⎨-<-<⎩
，也就是
不能忽略了定义域。

例2．（2021·广东珠海·高一阶段练习）已知定义在[1,1]-上的偶函数()f x 在[0,1]上为减函数，且(1)(32)f x f x ->-，则实数x 的取值范围是（ ）
A ．4
,(2,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝
⎭
B ．4
,23⎛⎫
⎪⎝
⎭
C ．4
1,3
⎡⎫⎪⎢⎣⎭
D ．[1,2]
【答案】C
【详解】
因()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，则(1)(32)(|1|)(|32|)f x f x f x f x ->-⇔->-， 又()f x 在[0,1]上为减函数，则有|1||23|1x x -<-≤，即22(1)(23)1x x -<-≤， 解22(1)(23)x x -<-，即(34)(2)0x x -->，于是得43
x <或2x >， 解2(23)1x -≤，即(24)(22)0x x --≤，于是得12x ≤≤， 综合得413
x ≤<，
所以实数x 的取值范围是4[1,)3
. 故选：C
名师点评：本题由于()f x 是定义在[1,1]-上的偶函数，解(1)(32)f x f x ->-时，对于“1x -”“32x -”的正负关系有四种可能性，解决的方法有：①分类讨论，但解题过程过于复杂；②根据偶函数的性质进行转化，即()()(||)f x f x f x -==，则可大大化简解题过程；同时解不等式时不可忽略了定义域。

二、题型归类练专练
1．（2021·全国·高一单元测试）对于定义在R 上的函数()f x ，下述结论不正确的是（ ） A ．若()f x 是奇函数，则(0)0f =
B ．若函数(1)f x -的图象关于直线1x =对称，则()f x 为偶函数
C ．若对任意()1212,x x R x x ∈≠，有
()()
1212
0f x f x x x -<-，则()f x 是R 上的减函数
D ．若函数()f x 满足(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f -<-<<<，则()f x 是R 上的增函数 【答案】D 【详解】
对于A 选项，由于函数()f x 是定义在R 上的奇函数，故()00f =，所以A 选项正确.
对于B 选项，()1f x -图像向左平移一个单位得到()f x 的图像，而()1f x -关于直线1x =对称，
故()f x 关于0x =对称，也即()f x 为偶函数，故B 选项正确. 对于C 选项，根据减函数的定义可知，C 选项正确.
对于D 选项，(2)(1)(0)(1)(2)f f f f f -<-<<<只是函数的部分函数值， 无法确定函数是递增函数递减，故D 选项错误. 故选：D .
2．（2021·宁夏·吴忠中学高一期中）若函数(21)3()3a x f x -+=在R 上是减函数，则实数a 的取值范围（ ）
A ．1
(,)2+∞B ．1(,)2-∞C ．1(,1)(1,+)2∞D ．1(,1)2
【答案】B 【详解】
令()213u a x =-+，由于函数()()2133a x f x -+=在R 上是减函数，
函数3u y =为R 上的增函数，则函数()213u a x =-+为R 上的减函数， 所以，210a -<，解得1
2
a <. 故选：B.
3．（2021·四川·威远中学校高一阶段练习（文））已知函数()33x x
f x -=-，则对()f x 性
质描述正确的是( )
A ．是奇函数，且在R 上是增函数
B ．是偶函数，且在R 上是增函数
C ．是奇函数，且在R 上是减函数
D ．是偶函数，且在R 上是减函数 【答案】A
f (x )定义域为R ，f (－x )＝－f (x )，故f (x )为奇函数；
3x 为增函数，3x --也为增函数，∴f (x )为增函数﹒
故选：A ﹒
4．（2021·山东潍坊·高一阶段练习）已知函数()f x 的定义域为R ，其图象关于y 轴对称，且()f x 在(],0-∞上单调递增，若()()322f a f a ->，则实数a 的取值范围是（ ） A ．12a <或52a >B ．25a <或2a >C ．1522a <<D ．225
a << 【答案】D 【详解】
()f x 的图象关于y 轴对称，故()f x 是偶函数， ()f x 在(,0]-∞上递增，则在[0,)+∞上递减，
()()322f a f a ->转化为(32)(2)f a f a ->，322a a -<，
22(32)4a a -<，
2
25
a <<， 故选：D ．
5．（2021·辽宁·渤海大学附属高级中学高一阶段练习）设0.42a =，0.4b e =，0.4log 0.5c =，则,,a b c 的大小关系是（ ）
A ．b a c >>
B ．a c b >>
C ．c a b >>
D ．b c a >> 【答案】A 【详解】
∵0.40.421b e a =>=>，0.40.40log 0.5log 0.41c <=<=， ∴b a c >>．
6．（2021·甘肃·兰化一中）已知0.20.2a =，0.20.3b =，0.30.2c =，则（ ） A ．a b c <<B ．a c b <<C ．c b a <<D ．c a b << 【答案】D 【详解】
0.2x y =是减函数，所以0.20.30.20.2>， 0.2y x =是增函数，所以0.20.200.2.3>，
所以b a c >>， 故选：D ．
7．（2021·湖北·孝昌县第一高级中学高一期中）函数()=f x 是（ ）
A ．(,1]-∞
B ．[1,)+∞
C ．[1,4]
D ．[2,1]- 【答案】D 【详解】
由2820x x +-≥，得2280x x --≤，解得24x -≤≤，
令282t x x =+-，则y =
因为282t x x =+-在[2,1]-上递增，在[1,4]上递减，而y =[0,)+∞上递增， 所以()f x 在[2,1]-上递增，在[1,4]上递减， 所以()f x 的单调递增区间是[2,1]-， 故选：D
8．（2021·四川·射洪中学高一阶段练习）已知函数()f x 在R 上为偶函数，若任意
[)12,0,x x ∈+∞且12x x ≠都有
()()1212
0f x f x x x ->-，且()2=0f ，则()()10x f x -<的解集为（ ）
A ．()(),22,∞∞--+
B ．()()2,00,1-
C ．()(),21,2-∞-
D ．()()2,02,-+∞ 【答案】C 【详解】
因为任意[)12,0,x x ∈+∞且12x x ≠都有
()()1212
0f x f x x x ->-，
所以函数()f x 在[)0,∞+上单调递增， 又函数()f x 在R 上为偶函数，且()20f =， 所以函数()f x 在(),0∞-上单调递减，且()20f -=， 当()12x ,∈时，()0f x <，10x ->， 所以当()12x ,∈时，()()10x f x -<； 当(),2x ∈-∞-时，()0f x >，10x -<， 所以当(),2x ∈-∞-时，()()10x f x -<；
综上，不等式()()10x f x -<的解集为()(),21,2-∞-. 故选：C.
9．（2021·河南商丘·高二阶段练习（文））若不等式210x ax -+≥在2(]0,x ∈时恒成立，则实数a 的最大值为（ ） A ．0B ．2C ．52
D ．3 【答案】B 【详解】
由不等式2
10x ax -+在2(]0,x ∈时恒成立，即不等式21
x a
x
+在2(]0,x ∈时恒成立
∵
2111
22x x x x x x
+=+⋅=，当且仅当1x x =，即x =1时，等号成立， 所以a ≤2，所以实数a 的最大值为2. 故选：B.
10．（2021·福建·厦门双十中学高一阶段练习）已知函数2()6,()4f x x ax g x x =-+-=+，若对任意1(0,)x ∈+∞，存在2(,1]x ∈-∞-，使()()12f x g x ≤，则实数a 的最大值为（ ） A ．6B ．4C ．3D ．2 【答案】A 【详解】
当max (,1],()143x g x ∈-∞-=-+=
由题意可知，263x ax -+-≤在(0,)x ∈+∞上恒成立 即9a x x
≤+在(0,)x ∈+∞上恒成立
因为99
26x x x x
+
⋅=（当且仅当3x =时，取等号），所以6a ≤ 故实数a 的最大值为6 故选：A
11．（2021·宁夏·六盘山高级中学高二期中（理））设函数2()(2)22f x ax a x a =+-+-，若不等式()2f x ≥-对于实数[]1,1a ∈-时恒成立，则实数x 的取值范围是（ ）
A ．[]1,2
B ．[)2+∞，
C ．1A EF
D ．R 【答案】A 【详解】
由题意，函数2()(2)22f x ax a x a =+-+-，
不等式()2f x ≥-可化为2(2)20ax a x a +-+≥对于实数[]1,1a ∈-时恒成立，
即22)(20x a x x -++≥对于实数[]1,1a ∈-时恒成立，
设()[]2
2)1,1(2,g a x a x x a -+∈-=+，
因为220x x -+>，所以函数()g a 为单调递增函数，
要使得()0g a ≥，只需()2
1320g x x -=-+-≥，即2320x x -+≤，
解得12x ≤≤，即实数x 的取值范围是[]1,2. 故选：A.
12．（2021·全国·高一课时练习）己知函数()2
21f x x tx =-+在(],1-∞上单调递减，且对
任意的1x ，[]20,1x t ∈+，()()122f x f x -≤恒成立，则实数t 的取值范围为（ ）
A ．⎡⎣
B ．⎡⎣
C ．(
D ．(
【答案】A 【详解】
∵函数()f x 在(],1-∞上单调递减，且()f x 图象的对称轴为直线x t =，∴1t ≥，
∴当[]0,1x t ∈+时，()()max 01f x f ==，()()222
min 211f x f t t t t ==-+=-．
又对任意的1x ，[]20,1x t ∈+，()()122f x f x -≤恒成立，∴()()max min 2-≤f x f x ，
即()()02f f t -≤，∴()2
112t --≤，∴
22t ≤．又1t ≥，∴1t ≤
∴实数t 的取值范围为⎡⎣．
故选：A ．
13．（2021·江苏常州·高一期中）已知()f x 是R 上的偶函数，在](,0∞-上单调递增，且()20f =，则不等式()0f x <的解集为（ ） A ．()
(),22,∞∞--+B ．()(),20,2-∞-
C ．()2,2-
D ．()()2,02,-+∞
【详解】
因为()f x 是R 上的偶函数，在](,0∞-上单调递增，且()20f = 所以()f x 在[)0,∞+上单调递减
所以由()0f x <可得()()2f x f <，所以2x >，解得2x <-或2x > 所以不等式()0f x <的解集为()(),22,∞∞--⋃+ 故选：A
14．（2021·陕西·西安铁一中滨河高级中学高一期中）若函数()2
1f x ax =+是定义在
[]1,2a a --上的偶函数，则该函数的最大值为（ ）
A ．5
B ．4
C ．3
D ．2 【答案】A 【详解】
因为函数()2
1f x ax =+是定义在[]1,2a a --上的偶函数，
所以120a a --+=，得1a =， 所以2()1,[2,2]f x x x =+∈-，
所以()f x 的最大值为2(2)(2)215f f -==+=， 故选：A
15．（2021·江苏·常州市第二中学高一期中）设()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，3(2)x f x =-，则(1)f -=（ ） A ．1B ．1-C ．14
D ．114
- 【答案】A
因为0x >时，()23x
f x =-，由题意函数()f x 为奇函数，
所以()()1
11(23)1f f -=-=--=.
故选：A.
16．（2021·重庆市涪陵第二中学校高一阶段练习）函数1
()(0,1)x f x a a a a
=->≠的图象可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【答案】C 【详解】
当01a <<时，()f x 是减函数，()101f a
=-，1111,1,10a
a
a
>-<--<，D 选项错误，C 选项符合.
当1a >时，()f x 是增函数， ()101f a
=-，11101,10,011a
a
a
<<-<-<<-<，AB 选项错误.
故选：C
17．（2021·陕西·西安市第七十五中学高一期中）函数2()x
x f x x x
⋅=-的图象大致为（ ） A ．B ．
C ．
D ．
【答案】A 【详解】
()()2,02()2,0x x x x x x f x x x x x ⎧->⋅⎪=-=⎨--<⎪⎩
, 当01x <<时，20x x ->，排除D 选项；
当0x <时，2x y x =--在(),0∞-上单调递减，且1(1)102
f -=-+>， 排除BC ， 故选：A
18．（2021·陕西·长安一中高一期中）设定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上单调递减，且(2021)0f =，则
()2()
0f x f x x
--<的解集为（ ） A ．(,0)(2021,)∞∞-+B ．(,2021)(0,2021)∞--
C ．(2021,0)(0,2021)-
D ．(,2021)(2021,)∞∞--+ 【答案】D 【详解】
()f x 是奇函数，
()()
()()
()22000f x f x f x f x f x x
x
x
--+<⇒
<⇒
<，
∵()20210f =，∴()20210f -=，
∵()f x 在(0,)+∞上单调递减，∴()f x 在(,0)-∞上单调递减， 作出函数()f x 的大致图像如图：
则不等式
()0f x x
<等价为()00x f x >⎧⎨<⎩或()0
x f x <⎧⎨>⎩，
2021x ∴>或2021x <-，
∴不等式的解集为()()20212021∞∞--⋃+，，，
故选：D ﹒
19．（2021·江苏省海头高级中学高一阶段练习）已知函数2()1
x b
f x ax +=+是定义在(11)
-，上的奇函数，且1
3
()310f =． （1）求函数()f x 的解析式；
（2）求证：()f x 在(11)
-，上为增函数. 【答案】 （1）2()1
x
f x x =
+； （2）证明见解析． 【解析】
（1）因为()f x 是(1,1)-上的奇函数，所以(0)0f b ==，又1
13
3
()1310
19
f a ==⨯+，1a =， 所以2()1
x
f x x =
+； （2）设12,x x 是(1,1)-上的任意两个实数，且12x x <，
则121212
1222221212
()(1)
()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x ---=-=++++，
因为1211x x -<<<，所以12120,10x x x x -<->，而22
1210,10x x +>+>，
所以12())0(f x f x -<，即12()()f x f x <， 所以()f x 在(1,1)-上是增函数．
20．（2021·陕西安康·高一期中）已知()f x 是定义在R 上的奇函数，当(],0x ∈-∞时，
()22f x x x =--．
（1）求()f x 的解析式；
（2）若函数()y f x m =-有三个零点，求实数m 的取值范围． 【答案】
（1）()222,0
2,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩
；
（2）()1,1-.
（1）解：令0x >，则0x -<，则()()()()2
222f x f x x x x x ⎡⎤=--=----⨯-=-⎣⎦
. 因此，()222,0
2,0x x x f x x x x ⎧--≤=⎨->⎩
.
（2）解：由()0f x m -=得()m f x =，所以，直线y m =与函数()f x 的图象有三个交点， 如下图所示：
由图可知，当11m -<<时，直线y m =与函数()f x 的图象有三个交点. 因此，实数m 的取值范围是()1,1-.。