数形结合方法的合理利用

数形结合方法的合理利用

1号

海口第二中学 容志彪

数形结合是中学数学中强调的重要数学思想之一，尤其借助图形解题，以其直观、形象、简捷深受师生们的青睐。但利用数形结合解决具体问题时，若对图形的准确性、合理性等方面缺乏深刻的认识，则会导致解题出现这样或那样的错误。下面结合自己的教学实践，谈谈运用数形结合解题时，应注意的有关问题。 一、图形选择的合理性。

借助图形解题，往往可以通过条件转化，选择不同的图形来解题，但只有选择最优的图形，才能使问题变得更直观、简捷。

例1、已知A={（x ，y ）| y=k|x| }，B={（x ，y ）| y=x+k }，M=A ∩B ，求M 中含有两个元素时实数k 取值范围。

[分析一]、直接画图象：y=k|x|，y=x+k ，其中图1、图2、图3分别对应k=0，k ＜0，k ＞0三种情况，而且图2、图3还须k 与-1和1的关系进行分类讨论，显得比较复杂。

图1 图2 图3

[分析二]、由已知，显然m ≠0，则原题可转化为方程k|x|= x+k |x|-1= x 有两个不同的解，令y=|x|-1，y= x ，转化为此两函数图象有两个交点，为此，作这两个函数的图象，如图4，则若有两个交点，从图中能清楚地得到0＜ ＜1或-1＜ ＜0，即m 的取值范围为m ＜-1或m ＞1。

从上述两种分析过程比较，分析二比分析一合理， 因为分析一中两个函数都含有参数变量k ，都是“动态” 图象，稍不留意会漏解，而分析二只有一个函数图象是 “动态”的。

图4

二、图形的准确性。

借形解题，不仅要画出函数图象或曲线的大致形状，而且还有尽量准确地描绘图形，特别要注意同一坐标系中，不同函数图象的相对位置关系。 例2、求方程2x =x 2的解的个数。

错解；在同一坐标系中，分别作出函数y=x 2和y=2x 的图象，如图5

，由图可知，它们有两个

x

x

x

1 k

1 k 1 m

1

m y= x

k

交点。

分析：数形结合是解决此题独特的妙法，但作图时，

没有注意到函数y=x 2和y=2x （x ＞0）的递增“速度”

的快慢的变化，只考虑大致的图形或部分的图形，从 而导致错误。事实上，当x ＜0时，显然有一个交点，

而当

x ＞0时，有两个交点（2，4）和（4，16

），所 以方程的解的个数为三个。

图5 三、图形的变化性。

运用数形解题时，应注意函数中未知系数对图象的影响，抓住系数的变化，就能确定函数的特征，从而准确地解决问题。

例3、若方程2a=|a x -1|（a ＞0）有两个不同的解，求a 的取值范围。

分析：在同一坐标系中做y=2a 和y=|a x -1|的图象，数形结合迅速求得，但对于y=|a x -1|去

绝对值符号后，得y=a x

-1（a ＞1）和y=1-a x

（0＜a ＜1）的讨论并不正确，因为对于y=|a x -1|的图象结论应是如下情形：

⑴当0＜a ＜1时，y=|a x -1|的图象如下：

∴ 0＜2a ＜1 则0＜a ＜

⑵当a ＞1时，y=|a x -1|的图象如下：

∴ 0＜2a ＜1

则0＜a ＜ （无解）

综合上述可知，0＜a ＜ 四、图形的存在性。

利用数形结合方法解题有独到的效果，但若忽视图形的存在性，知识凭主观想象，无中生有，则会造成错解。

例4、若抛物线y 2=4x 与圆（x-a ）2+y 2=1没有公共点，求实数a 的取值范围。

x

x

x

1

2 1 2

1 2

x

错解：由于圆的半径为1，圆心为（a，0），作出下图，可得圆与抛物线y2=4x的两个相切位置，显然，当a=-1时，圆与抛物线相外切。

若圆与抛物线内切时，由 y2=4x

x-a）22+（-2a+4）x+a2-1=0 ①

（x-a）2+y2=1

由△=

（-2a+4）2-4（a2-1）=0 a=

根据图形可知，a＜-1或a＞时，圆与抛物线没有公共点。

分析；当a= 代入①式，得x2+ x+ =0

得x=- ，圆与抛物线内切时，切点横坐标为负，所以圆与抛物线相切的情况不能存在。原因是没有注意到x是抛物线y2=4x的横坐标，所以x≥0。

正确的解答：

将原题转化为抛物线上的点到（a，0）的距离是最小值大于1时，求a的取值范围。

考察距离d，有d2=（x-a）2+4x=x2-2（a-2）x+（a-2）2+a2-（a-2）2

=[x-（a-2）]2+4a-4

∵x≥0

①当a≥2时，取x=a-2，d

min

=2√a-1

欲使d

min

＞1，则4a-4＞1，∴a＞，则取a≥2。

②当a＜2时，取x=0，d

min

=|a|，

欲使d

min

＞1，则|a|＞1，∴a＞1或a＜-1，则取1＜a＜2，a＜-1。

综合①②得，当抛物线y2=4x与圆（x-a）2+y2=1没有公共点时，a≤-1或a＞1。

5

4

5

4

5

4

3

2

9

16

3

4

3

4