「高中数学概念及方法——向量」
「高中数学概念及方法——向量」
高中数学概念及方法，向量
向量是高中数学中一个重要的概念，它是解析几何和向量运算的基础。向量运算是解决实际问题和推导数学公式的重要工具。下面我将详细介绍
高中数学中关于向量的概念及方法。
一、向量的概念
向量是由方向和大小两个要素确定的几何量。用一个有向线段表示一
个向量，有向线段的方向表示向量的方向，有向线段的长度表示向量的大小。用小写字母加箭头表示向量，如向量a用符号“→a”表示。
二、向量的加法
对于同一平面内的两个向量，向量加法的几何意义是将两个向量的起
点相接，将第二个向量平移至第一个向量的终点，这样由第一个向量的起
点和第二个向量的终点得到一个新的向量。具体来说，向量加法遵循以下
运算规律：
1.交换律：对于任意向量a和向量b，有a+b=b+a；
2.结合律：对于任意向量a、b和向量c，有(a+b)+c=a+(b+c)。
三、数量积与向量积
1.数量积：向量a和向量b的数量积，记为a·b，是一个标量，由
以下公式给出：
a·b = ，a，，b，cosθ
其中，a，和，b，分别表示向量a和向量b的长度，θ表示向量a
和向量b的夹角。
2.向量积：向量a和向量b的向量积，记为a×b，是一个向量，由
以下公式给出：
a×b， = ，a，，b，sinθ n
其中，a×b，表示向量a和向量b的向量积的长度，θ表示向量a
和向量b的夹角，n表示垂直于平面的单位向量。
四、向量的线性运算
1. 数乘：若k为实数，向量a与k的数量积记作ka，表示将向量a
的长度拉伸或缩短k倍，并保持方向不变。
2.减法：向量a与向量b的差，记作a-b，表示从向量a的起点引出
向量b的有向线段，从而得到一个新的向量。
3.零向量：长度为零的向量称为零向量，记作0。对任意向量a，有
a+(-a)=0。
五、向量的应用
1.平面向量与几何关系的应用：向量的加法与减法可以表示平面上的
平移，通过向量加法与数量积可以表示平行关系、垂直关系和共线关系。
2.弹性碰撞问题：在物理学中，可以通过向量运算解决弹性碰撞问题，如两个物体碰撞后速度的计算。
3.平面图形的性质研究：向量可以用来研究平面图形的性质，如平行
四边形的性质和直角三角形的性质等。
总结起来，向量是高中数学中一个重要的概念，它的加法、数量积、向量积以及线性运算是解决实际问题和推导数学公式的重要工具。对于向量的掌握，不仅可以提高解决实际问题的能力，而且可以为后续高等数学知识的学习打下坚实的基础。因此，认真学习和掌握向量概念及方法对于高中数学学习是非常重要的。
高中数学平面向量知识点总结
高中数学平面向量知识点总结 一.向量的基本概念与基本运算 1向量的概念： ①向量：既有大小又有方向的量向量一般用c b a ,,……来表 示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB u u u r 几 何表示法 AB u u u r ，a ； 坐标表示法),(y x yj xi a 向量的大小即 向量的模（长度），记作|AB u u u r |即向量的大小，记作｜a ｜ 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小． ②零向量：长度为0 的向量，记为0 ，其方向是任意的，0 与 任意向量平行零向量a ＝0 ｜a ｜＝0 由于0r 的方向是任意 的，且规定0r 平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件．（注意与0的区别） ③单位向量：模为1个单位长度的向量 向量0a 为单位向量 ｜0a ｜＝1 ④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量任意 一组平行向量都可以移到同一直线上方向相同或相反的向 量，称为平行向量记作a ∥b 由于向量可以进行任意的平移 (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量
数学中研究的向量是自由向量，只有大小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线”、的含义，要理解好平行向量中的“平行”与几何中的“平行”是不一样的． ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量相等向量经过平移 后总可以重合，记为 b a 大小相等，方向相同 ),(),(2211y x y x 2 12 1y y x x 2向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 设,AB a BC b u u u r u u u r r r ，则a +b r =AB BC u u u r u u u r =AC u u u r （1）a a a 00；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则．向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： AB BC CD PQ QR AR u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r L ，但这时必须“首尾相连”．
高中数学平面向量知识点总结
平面向量知识点总结 第一部分：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。 一．向量的概念： 1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2． 向量的表示方法： （1）几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 （2）字母表示法：可表示为 3.模的概念：向量的大小——长度称为向量的模。 记作：|| 模是可以比较大小的 4.两个特殊的向量： 1?零向量——长度（模）为0的向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别 2?单位向量——长度（模）为1个单位长度的向量叫做单位向量。 如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB 按向量a ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（答：（3,0）） 二．向量间的关系： 1．平行向量：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 如下列命题：（1）若a b =，则a b =。（2）两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同。（3）若AB DC =，则ABCD 是平行四边形。（4）若ABCD 是平行四边形， 则AB DC =。（5）若,a bb c ==，则a c =。（6）若/,/a bb c ，则//a c 。其中正确的是_______ （答：（4）（5）） a b c
三．向量的加法： 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量（简称和向量） 2．三角形法则： 强调： 1?“向量平移”（自由向量）：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2?可以推广到n 个向量连加 3?=+=+ 4?不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则 3.加法的交换律和平行四边形法则 1?向量加法的平行四边形法则（三角形法则）： 2?向量加法的交换律：a +b =b +a 3?向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。 四．向量的减法： 1.用“相反向量”定义向量的减法 1?“相反向量”的定义：与a 长度相同、方向相反的向量。记作 -a 2?规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a ) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a ) = 0 如果a 、b 互为相反向量，则a = -b , b = -a , a + b = 0 3?向量减法的定义：向量a 加上的b 相反向量，叫做a 与b 的差。 即：a - b = a + (-b ) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 若b + x = a ，则x 叫做a 与b 的差，记作a - b 3.向量减法做图：AB 表示a - b 。强调：差向量“箭头”指向被减数 总结：1?向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、 相等向量、共线向量 2?向量的加法与减法：定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律 如（1）化简：① AB BC CD ++=___；②AB AD DC --=____； ③()()AB CD AC BD ---=_____（答：①AD ；②CB ；③0）； A A B B B C C a +b a +b a a b b b a a
高中数学知识点精讲精析 向量的概念
2.1.2 向量的概念 1．向量的概念：我们把既有大小又有方向的量叫向量 注意：数量与向量的区别：数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；向量有方向，大小，双重性，不能比较大小。 2.向量的表示方法： ①用有向线段表示； ②用字母ａ、ｂ等表示； ③用有向线段的起点与终点字母：； ④向量的大小――长度称为向量的模，记作||. 3.零向量、单位向量概念： ①长度为0的向量叫零向量，记作。的方向是任意的。 注意与0的区别。 ②长度为1个单位长度的向量，叫单位向量. 说明：零向量、单位向量的定义都是只限制大小，不确定方向. 4.平行向量定义： ①方向相同或相反的非零向量叫平行向量； ②我们规定0与任一向量平行. 说明：（1）综合①、②才是平行向量的完整定义； （2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，记作ａ∥ｂ∥ｃ. 5.相等向量定义： 长度相等且方向相同的向量叫相等向量. 说明：（1）向量ａ与ｂ相等，记作ａ＝ｂ； （2）零向量与零向量相等； （3）任意两个相等的非零向量，都可用同一条有向线段来表示，并且与有向线段的起点无 ．．．．．．．．．关．. 6.共线向量与平行向量关系： 平行向量就是共线向量，这是因为任一组平行向量都可移到同一直线上.
2．向量与有向线段的区别： （1）向量是自由向量，只有大小和方向两个要素；与起点无关：只要大小和方向相同，则这两个向量就是相同的向量； （2）有向线段有起点、大小和方向三个要素，起点不同，尽管大小和方向相同，也是不同的有向线段 例1设、、是任意的非零平面向量，且相互不共线，则在下列命题中： ①)()(=?-?； <-； ③b a c a c b )()(?-?不与垂直； ④)23()23(-=-?+ 是真命题的有（ ）． （A ）①② （B ）②③ （C ）③④ （D ）②④ 解：??)(是实数b a ?与向量c 的积，是一个与c 共线的向量；而??)(是一个与b 共线的向量，一般情况下它们是不相等的，故①假；向量、非零不共线，故②真；对于③， [)()(?-?]?＝0，故应垂直；由数量积对加法的分配律可知④真．所以选（D ）． 例2 已知→→→+=j i F 21，→→→+-=j i F 322，→→→-=j i F 433，其中→i 、→j 分别是x 轴、y 轴正方向上的单位向量．若→1F 、→2F 、→3F 共同作用于一物体，使物体从点M （1，－2）移到点N （3，1），则合力所作的功是（ ）． （A ）7 （B ）－7 （C ）8 （D ）－8 解：由→→→→++=321F F F F ＝（2，1），MN ＝（2，3）和向量数量积的物理意义得合力所作的功为734=+=?MN F ．选（A ）． 例3 判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由. ①向量与是共线向量，则A 、B 、C 、D
高中数学平面向量知识点总结及常见题型
高中数学平面向量知识点总结及常见题型 平面向量 一、向量的基本概念与基本运算 1.向量的概念： 向量是既有大小又有方向的量。向量一般用a、b、c等字母来表示，或用有向线段的起点与终点的大写字母表示，如：AB（几何表示法）或a（坐标表示法）。向量的大小即向量的模（长度），记作|AB|或｜a｜。向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。 ②零向量：长度为0的向量，记为0，其方向是任意的，与任意向量平行。 ③单位向量：模为1个单位长度的向量。向量a为单位向量｜a｜＝1.
④平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。任意一组平行向量都可以移到同一直线上。方向相同或相反的向量，称为平行向量，记作a∥b。由于向量可以进行任意的 平移（即自由向量），平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量。 ⑤相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量经 过平移后总可以重合，记为a b。大小相等，方向相同 (x1,y1)(x2,y2)x1x2，y1y2. 2.向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法。设AB a，BC b，则a+b=AB BC=AC。 1）0＋a＝a；（2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则”：
1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量。 2）三角形法则的特点是“首尾相接”，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法则。向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加：AB BC CD…+PQ QR AR，但这时必须“首尾相连”。 3.向量的减法 ①相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量，记作a。零向量的相反向量仍是零向量。 关于相反向量有：（i）(a)=a；(ii) a+(a)=(a)+a=0. iii) 若向量a、b互为相反向量，则a=-b，b=-a，a+b=0. 向量减法：向量a加上b的相反向量叫做a与b的差，记作a-b=a+(-b)，求两个向量差的运算，叫做向量的减法。
高中数学向量知识点总结
高中数学向量知识点总结 （实用版） 编制人：__________________ 审核人：__________________ 审批人：__________________ 编制单位：__________________ 编制时间：____年____月____日 序言 下载提示：该文档是本店铺精心编制而成的，希望大家下载后，能够帮助大家解决实际问题。文档下载后可定制修改，请根据实际需要进行调整和使用，谢谢! 并且，本店铺为大家提供各种类型的实用范文，如演讲致辞、合同协议、条据文书、策划方案、总结报告、简历模板、心得体会、工作材料、教学资料、其他范文等等，想了解不同范文格式和写法，敬请关注! Download tips: This document is carefully compiled by this editor. I hope that after you download it, it can help you solve practical problems. The document can be customized and modified after downloading, please adjust and use it according to actual needs, thank you! In addition, this store provides various types of practical sample essays, such as speeches, contracts, agreements, documents, planning plans, summary reports, resume templates, experience, work materials, teaching materials, other sample essays, etc. Please pay attention to the different formats and writing methods of the model essay!
高中数学平面向量知识点与典型例题总结
平面向量 【基本概念与公式】 【任何时候写向量时都要带箭头】 1.向量：既有大小又有方向的量。记作：AB 或a 。 2.向量的模：向量的大小（或长度），记作：||AB 或||a 。 3.单位向量：长度为1的向量。若e 是单位向量，则||1e =。 4.零向量：长度为0的向量。记作：0。【0方向是任意的，且与任意向量平行】 5.平行向量（共线向量）：方向相同或相反的向量。 6.相等向量：长度和方向都相同的向量。 7.相反向量：长度相等，方向相反的向量。AB BA =-。 8.三角形法则： AB BC AC +=；AB BC CD DE AE +++=；AB AC CB -=（指向被减数） 9.平行四边形法则： 以,a b 为临边的平行四边形的两条对角线分别为a b +，a b -。 10.共线定理：//a b a b λ=⇔。当0λ>时，a b 与同向；当0λ<时，a b 与反向。 11.基底：任意不共线的两个向量称为一组基底。 12.向量的模：若(,)a x y =，则2||a x y =+，22||a a =，2||()a b a b +=+ 13.数量积与夹角公式：||||cos a b a b θ⋅=⋅； cos |||| a b a b θ⋅=⋅ 14.平行与垂直：1221//a b a b x y x y λ⇔=⇔=；121200a b a b x x y y ⊥⇔⋅=⇔+= 题型1.基本概念判断正误： （1）共线向量就是在同一条直线上的向量。 （2）若两个向量不相等，则它们的终点不可能是同一点。 （3）与已知向量共线的单位向量是唯一的。 （4）四边形ABCD 是平行四边形的条件是AB CD =。 （5）若AB CD =，则A 、B 、C 、D 四点构成平行四边形。 （6）因为向量就是有向线段，所以数轴是向量。 （7）若a 与b 共线， b 与c 共线，则a 与c 共线。 （8）若ma mb =，则a b =。
高中数学平面向量知识点总结
平面向量知识点总结 第一局部：向量的概念与加减运算，向量与实数的积的运算。 一．向量的概念： 1． 向量：向量是既有大小又有方向的量叫向量。 2． 向量的表示方法： 〔1〕几何表示法：点—射线 有向线段——具有一定方向的线段 有向线段的三要素：起点、方向、长度 记作〔注意起讫〕 〔2〕字母表示法： 可表示为 3.模的概念：向量 的大小——长度称为向量的模。 记作：|| 模是可以比拟大小的 4.两个特殊的向量： 1︒零向量——长度〔模〕为0的向量，记作。的方向是任意的。注意与0的区别 2︒单位向量——长度〔模〕为1个单位长度的向量叫做单位向量。 二．向量间的关系： 1． 平行向量：方向一样或相反的非零向量叫做平行向量。 记作：∥∥ 规定：与任一向量平行 2． 相等向量：长度相等且方向一样的向量叫做相等向量。 记作：= 规定：= 任两相等的非零向量都可用一有向线段表示，与起点无关。 3． 共线向量：任一组平行向量都可移到同一条直线上 ， 所以平行向量也叫共线向量。 三．向量的加法： 1．定义：求两个向量的和的运算，叫做向量的加法。 注意：；两个向量的和仍旧是向量〔简称和向量〕 2．三角形法那么： a b c a + b A A A B B B C C a +b a +b a a b b b a a
强调： 1︒“向量平移〞〔自由向量〕：使前一个向量的终点为后一个向量的起点 2︒可以推广到n个向量连加 3︒ 4︒不共线向量都可以采用这种法那么——三角形法那么 3.加法的交换律和平行四边形法那么 1︒向量加法的平行四边形法那么〔三角形法那么〕： 2︒向量加法的交换律：+=+ 3︒向量加法的结合律：(+) +=+ (+) 4.向量加法作图：两个向量相加的和向量，箭头是由始向量始端指向终向量末端。 四．向量的减法： 1.用“相反向量〞定义向量的减法 1︒“相反向量〞的定义：与a长度一样、方向相反的向量。记作-a 2︒规定：零向量的相反向量仍是零向量。-(-a) = a 任一向量与它的相反向量的和是零向量。a + (-a) = 0 如果a、b互为相反向量，那么a = -b, b = -a, a + b = 0 3︒向量减法的定义：向量a加上的b相反向量，叫做a与b的差。 即：a-b = a + (-b) 求两个向量差的运算叫做向量的减法。 2.用加法的逆运算定义向量的减法： 向量的减法是向量加法的逆运算： 假设b + x = a，那么x叫做a与b的差，记作a-b 3.向量减法做图：表示a-b。强调：差向量“箭头〞指向被减数 总结：1︒向量的概念：定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量 2︒向量的加法与减法：定义、三角形法那么、平行四边形法那么、运算定律 五：实数与向量的积〔强调：“模〞与“方向〞两点) 1.实数与向量的积 实数λ与向量的积，记作：λ 定义：实数λ与向量的积是一个向量，记作：λ 1︒|λ|=|λ||| 2︒λ>0时λ与方向一样；λ<0时λ与方向相反；λ=0时λ= 2．运算定律：结合律：λ(μ)=(λμ)① 第一分配律：(λ+μ)=λ+μ② 第二分配律：λ(+)=λ+λ③
高中数学向量的知识点
高中数学向量的知识点 高中数学向量的知识点 1.向量运算的几何形式和坐标形式，请注意：向量运算中向量起点、终点及其坐标 的特征. 2.几个概念：零向量、单位向量(与共线的单位向量是，平行(共线)向量(无传递性，是因为有)、相等向量(有传递性)、相反向量、向量垂直、以及一个向量在另一向量方向上的投影(在上的投影是). 3.两非零向量平行(共线)的充要条件 4.平面向量的基本定理：如果e1和e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对该 平面内的任一向量a，有且只有一对实数，使a= e1+ e2. 5.三点共线; 6.向量的数量积： 高中数学解题方法 1、熟悉基本的解题步骤和解题方法。 解题的过程，是一个思维的过程。对一些基本的、常见的问题，前人已经总结出了 一些基本的解题思路和常用的解题程序，我们一般只要顺着这些解题的思路，遵循这 些解题的步骤，往往很容易找到习题的答案。 2、审题要认真仔细。 对于一道具体的习题，解题时最重要的环节是审题。审题的第一步是读题，这是获 取信息量和思考的过程。读题要慢，一边读，一边想，应特别注意每一句话的内在涵义，并从中找出隐含条件。 有些学生没有养成读题、思考的习惯，心里着急，匆匆一看，就开始解题，结果常 常是漏掉了一些信息，花了很长时间解不出来，还找不到原因，想快却慢了。所以， 在实际解题时，应特别注意，审题要认真、仔细。 3、认真做好归纳总结。 在解过一定数量的习题之后，对所涉及到的知识、解题方法进行归纳总结，以便使 解题思路更为清晰，就能达到举一反三的效果，对于类似的习题一目了然，可以节约 大量的解题时间。 高中数学学习方法
1、不少同学都会有个相同的错误，就是在老师讲课的时候，拼命的做笔记，做计算。这都是徒劳或者是低效的。最有效的是抛开一切，认真理解老师的解题思路，千万不 要纠结某个计算结果或者是某个环节，你所要理解的是，一道题如何一环环的解开和 每一个环节的原理。 2、要学好高中数学，最主要的是自己做题，千万不可依赖老师或者同学，不提倡题海战术，因为做一道新题要比你做一百道同样的题强很多。每做完一道题，要总结出 解题的思路方法。 3、整个高中最难的一块就是函数，而函数又恰巧学在前面，导致很多学生受挫。函数一块的话，可以先了解一下函数图象的一块，借助图象来解函数问题，非常方便。 4、看书能明白，听老师讲题觉得很简单，但一到自己做，就不会了。这是一个通病。主要原因不是因为高中的数学有多难，而是思维没有转变过来。初中的题一般比较简单，所以死记解题方法都可以，但是高中数学就不行了。 高考数学冲刺复习技巧 1.精准备考、对考试卷中的每一个常考点，准备相类似的试题进行专题集中突破训练。强化训练学生对试题文字信息的提取能力、图像信息的提取能力、强化基本技能，增强数学计算能力，并能熟练应用以前建立的模型解决实际问题。 2.对于需要记忆的二级结论，应熟练掌握其来龙去脉，要让学生使用“连推带记” 的方法，提炼出使用二级结论的严格条件，并找出一些易混题加强练习。 3.加强套卷训练、训练学生的答题节奏，让学生合理分配时间，强化稳定得分点， 同时利用严格的阅卷标准，来规范学生答题，让学生养成良好的答题习惯。做到逢考 必改，逢改必评。
高一数学向量知识点
高一数学向量知识点 在高中数学学习中，向量是一个非常重要的概念。它不仅在数学中 有广泛的应用，还在物理学等其他科学领域发挥着重要作用。本文将 重点介绍高一数学中的向量知识点，包括向量的定义、向量的表示方法、向量的运算以及向量的线性相关性等。 一、向量的定义 向量是具有大小和方向的量，它可以用箭头来表示。在直角坐标系中，一个向量可以用坐标表示为 (x, y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的投影，y 表示向量在 y 轴上的投影。如果将向量 P 的起点和终点分别记为点 A 和点 B，那么向量 P 可以表示为向量 AB。向量的长度用 |P| 表示，也可以称为向量的模。 二、向量的表示方法 除了使用坐标表示向量外，还可以使用方向向量来表示。方向向量 表示了一个向量的方向，但是没有具体的大小。例如，向量 AB 可以 表示为方向向量 u，u = (x, y)。 向量还可以用单个字母加上一个箭头来表示，例如向量 a 可以表示 为 ̅a。这种表示方法常用于平面几何中，可用于表示线段或固定向量。 三、向量的运算
1. 向量的加法：向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。设向量 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，则 a + b = (x1 + x2, y1 + y2)。向量的 加法满足交换律和结合律。 2. 向量的数量积：数量积也叫点积或内积，是将两个向量相乘得到 一个数。设向量 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，则 a · b = x1x2 + y1y2。数量积满足交换律和分配律。 3. 向量的向量积：向量积也叫叉积或外积，是将两个向量相乘得到 一个新的向量。设向量 a = (x1, y1)，b = (x2, y2)，则 a × b = (0, 0, x1y2 - x2y1)。向量积的结果是一个垂直于原来两个向量的向量。 四、向量的线性相关性 向量 a 和向量 b 的线性相关性是指存在一个非零实数 k，使得 a = kb。如果两个向量线性相关，则它们可以表示为同一个方向的伸缩变换，即平行或共线。 如果向量 a 和向量 b 的线性相关性为零，那么它们是线性无关的。 线性无关的向量具有很多特殊性质，例如如果向量 a 和向量 b 是线性 无关的，且它们的长度相等，那么它们的夹角为 90 度。 结语 向量是高中数学中重要的一部分，掌握好向量的基本概念、表示方法、运算法则和线性相关性是高中数学学习的基础。通过合理的练习 和实践，我们能够熟练地应用向量知识解决各种数学和物理问题。希
高中数学向量知识点总结知识点总结
高中数学向量知识点总结知识点总结 考点一：向量的概念、向量的基本定理 【内容解读】了解向量的实际背景，掌握向量、零向量、平行向量、共线向量、单位向量、相等向量等概念，理解向量的几何表示，掌握平面向量的基本定理。注意对向量概念的理解，向量是可以自由移动的，平移后所得向量与原向量相同；两个向量无法比较大小，它们的模可比较大小。 考点二：向量的运算 【内容解读】向量的运算要求掌握向量的加减法运算，会用平行四边形法则、三角形法则进行向量的加减运算；掌握实数与向量的积运算，理解两个向量共线的含义，会判断两个向量的平行关系；掌握向量的数量积的运算，体会平面向量的数量积与向量投影的关系，并理解其几何意义，掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用向量积判断两个平面向量的垂直关系。 【命题规律】命题形式主要以选择、填空题型出现，难度不大，考查重点为模和向量夹角的定义、夹角公式、向量的坐标运算，有时也会与其它内容相结合。考点三：定比分点 【内容解读】掌握线段的定比分点和中点坐标公式，并能熟练应用，求点分有向线段所成比时，可借助图形来帮助理解。 【命题规律】重点考查定义和公式，主要以选择题或填空题型出现，难度一般。由于向量应用的广泛性，经常也会与三角函数，解析几何一并考查，若出现在解答题中，难度以中档题为主，偶尔也以难度略高的题目。 考点四：向量与三角函数的综合问题 【内容解读】向量与三角函数的综合问题是高考经常出现的问题，考查了向量的知识，三角函数的知识，达到了高考中试题的覆盖面的要求。 【命题规律】命题以三角函数作为坐标，以向量的坐标运算或向量与解三角形的内容相结合，也有向量与三角函数图象平移结合的问题，属中档偏易题。 考点五：平面向量与函数问题的交汇 【内容解读】平面向量与函数交汇的问题，主要是向量与二次函数结合的问题
高一数学向量知识点总结
高一数学向量知识点总结 在高中数学课程中，向量是一个重要的概念，广泛应用于几何和代数等领域。学好向量的概念和相关知识，对于进一步学习数学和解决实际问题至关重要。本文将总结高一数学中的向量知识点，帮助同学们更好地掌握这一内容。 一、向量的定义与表示方法 1. 向量是具有大小和方向的量，用有向线段表示，常用大写字母加箭头表示，如AB→，表示从点A指向点B的向量。 2. 相等向量：具有相同大小和方向的向量，记作AB→ = CD→。 二、向量的运算 1. 向量加法：向量相加的结果是一个新的向量，它的大小等于两个向量的大小之和，方向与第一个向量相同。向量相加的结果可用平行四边形法则和三角形法则进行计算。 2. 向量减法：向量相减的结果是一个新的向量，它的大小等于两个向量的大小之差，方向与第一个向量相反。向量相减的结果可利用平行四边形法则和三角形法则进行计算。 3. 数与向量的乘法：数与向量相乘，结果是一个新的向量，它的大小等于数与向量大小的乘积，方向与向量相同或相反，取决于数的正负。 三、向量的基本性质
1. 零向量：大小为0，方向任意的向量，用0→表示，任何向量与零向量相加都不改变该向量。 2. 相反向量：大小相等，方向相反的向量，用负号表示，即若有向量a→，则它的相反向量为-a→。 3. 平行向量：具有相同或相反方向的向量，它们的夹角为0度或180度。 4. 共线向量：在同一直线上的向量，具有相同或相反的方向。 5. 零向量和任意向量共线，任意两个相反向量共线。 6. 向量相等的充要条件是它们大小相等且方向相同。 四、向量的数量积 1. 向量数量积的定义：对于给定的两个向量a→和b→，它们的数量积定义为|a→| × |b→| × cosθ，其中θ为a→和b→的夹角。 2. 数量积的性质： a) 两个向量的数量积是一个数。 b) 数量积的结果是一个标量，而不是一个向量。 c) 若向量a→⊥向量b→，则它们的数量积为0；反之，若向量a→和向量b→的数量积为0，则a→⊥向量b→。 d) 两个向量的数量积等于其中一个向量的大小与它在另一个向量上的投影的乘积。
高中数学关于向量的知识点详解
高中数学关于向量的知识点详解 高中数学学习的知识点比较的多，学生要学会将知识点归纳掌握，下面店铺的小编将为大家带来关于向量的知识点的介绍，希望能够帮助到大家。， 高中数学关于向量的知识点 1.向量的基本概念 (1)向量 既有大小又有方向的量叫做向量.物理学中又叫做矢量.如力、速度、加速度、位移就是向量. 向量可以用一条有向线段(带有方向的线段)来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.向量也可以用一个小写字母a，b，c表示，或用两个大写字母加表示(其中前面的字母为起点，后面的字母为终点) (5)平行向量 方向相同或相反的非零向量，叫做平行向量.平行向量也叫做共线向量. 若向量a、b平行，记作a∥b. 规定：0与任一向量平行. (6)相等向量 长度相等且方向相同的向量叫做相等向量. ①向量相等有两个要素：一是长度相等，二是方向相同，二者缺一不可. ②向量a，b相等记作a=b. ③零向量都相等. ④任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段的起点无关. 2.对于向量概念需注意 (1)向量是区别于数量的一种量，既有大小，又有方向，任意两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但向量的模可以比较
大小. (2)向量共线与表示它们的有向线段共线不同.向量共线时，表示向量的有向线段可以是平行的，不一定在同一条直线上;而有向线段共线则是指线段必须在同一条直线上. (3)由向量相等的定义可知，对于一个向量，只要不改变它的大小和方向，它是可以任意平行移动的，因此用有向线段表示向量时，可以任意选取有向线段的起点，由此也可得到：任意一组平行向量都可以平移到同一条直线上. 3.向量的运算律 (1)交换律：α+β=β+α (2)结合律：(α+β)+γ=α+(β+γ) (3)数量加法的分配律：(λ+μ)α=λα+μα (4)向量加法的分配律：γ(α+β)=γα+γβ 高中数学学习的窍门 1不乱买辅导书。 关于数学，我一本辅导书都没买(高三)，从高三发的第一张卷子起到最后一张我高考结束后全部留着，厚厚的三打。这些卷子留好后你从第一张看的时候和辅导书是一样一样的因为高三复习的时候都是按章节来的，所以条目很清晰。 1每一张卷子不留题。 不留错题和不明白的题，把每一个题目都弄明白，不会的就去问别人问老师。我一开始也不好意思去问老师，因为我基础太差了，可能我不会的题其实只是一个公式题，所以我都是问周围的同学，所幸我周围一圈学霸，每一个都被我问烦了要在这里要感谢一下他们～1整理错题。 这个其实真的挺重要，但我前面也说过，我是一个超懒的人，所以我没有做但是我在后期快三模的时候意识到了这个的重要性，所以把所有卷子集中起来把错题回顾了一遍，不一定动笔(太懒)去做，在脑子里想一遍，一般只用不到一分钟一道，这个时间什么时候都抽得出来的。
高中数学向量知识点总结
高中数学向量知识点总结 向量是高中数学中的重要概念之一，它在几何、代数、物理等学科中都有广泛的应用。本文将对高中数学中与向量相关的知识点进行总结，包括向量的定义、向量的表示方法、向量的运算法则、向量的数量积与向量的叉积等。希望通过本文的阅读，能够加深对高中数学向量知识的理解与应用。 一、向量的定义 在数学中，向量是具有大小和方向的量，用箭头来表示。向量通常用字母加箭头上方的线来表示，比如向量a表示为：a。向量的大小称为向量的模，用两条竖线表示，比如向量a的模表示为：|a|。 二、向量的表示方法 1. 坐标表示法：向量可以用有序数对表示，比如二维空间下的向量a，可以表示为：a=(a,a)。三维空间下的向量a，可以表示为： a=(a,a,a)。 2. 分量表示法：向量可以用分量表示，比如二维空间下的向量a，可以表示为：a=aa+aa。三维空间下的向量a，可以表示为： a=aa+aa+aa。其中，a，a，a分别表示x轴、y轴、z轴的单位向量。 三、向量的运算法则
1. 向量的加法：向量的加法满足交换律和结合律，即向量 a+a=a+a，(a+a)+a=a+(a+a)。 2. 向量的数乘：向量与数的乘积称为数乘，即k a，其中k为实数。数乘满足分配律，即k(a+a)=k a+k a。 3. 向量的减法：向量的减法可以转化为加法与数乘，即a-a=a+(- a)。 四、向量的数量积 向量的数量积是两个向量相乘得到的一个标量。向量a与向量a的 数量积可以表示为：a·a=|a||a|cosθ。其中，θ为向量a与向量a之间的夹角。 五、向量的叉积 向量的叉积是两个向量相乘得到的一个向量。向量a与向量a的叉 积可以表示为：a×a=|a||a|sinθa。其中，θ为向量a与向量a之间的夹角，a为垂直于向量a和向量a所在平面的单位向量。 六、应用举例 向量的知识点在几何、代数和物理等学科中有广泛的应用。以下是 一些应用的举例： 1. 几何中，向量可以用来表示线段、直线和平面的方向和长度。 2. 代数中，向量可以用来表达方程组的解和线性相关性等概念。
数学向量题型和解题方法
数学向量题型和解题方法 数学向量是高中数学中的重要内容之一，它不仅是解析几何的基础，还是物理学、计算机图形学等领域中的基本概念。在考试中，向量题型也是比较多的，掌握一定的解题方法可以帮助我们更快地解决问题。 一、向量的基本概念 向量是表示有大小和方向的量的数学工具。它可以用一个带箭头的线段来表示，箭头的方向表示向量的方向，线段的长度表示向量的大小。向量有加法、减法、数乘等运算，也可以表示为坐标形式。 二、向量的基本运算 1. 向量的加法 向量的加法满足平行四边形法则，即将两个向量的起点相接，然后从两个起点的另一侧连接相应的终点，得到一个平行四边形的对角线，这条对角线就是两个向量的和。 2. 向量的减法
向量的减法可以看作是加上一个相反向量，即将减去的向量取反，再进行加法运算。 3. 向量的数乘 向量的数乘即将向量乘以一个实数k，得到一个新的向量，其大小为原向量大小的k倍，方向不变（若k>0，则与原向量方向相同；若k<0，则与原向量方向相反）。 三、向量的解题方法 1. 平行向量的性质 两个向量平行，当且仅当它们的坐标成比例，即 $vec{a}=lambdavec{b}$，其中$lambda$为实数。 2. 向量的模长 向量的模长等于其终点到起点的距离，即$left|vec{a} ight|=sqrt{a_x^2+a_y^2}$。 3. 向量的点乘和叉乘
向量的点乘：$vec{a}cdotvec{b}=a_xb_x+a_yb_y$，它表示两个向量的夹角余弦值的乘积，有时也用来判断两个向量是否垂直。 向量的叉乘：$vec{a}timesvec{b}=a_xb_y-a_yb_x$，它得到的向量与原向量构成一个右手系，其大小等于原向量构成的平行四边形的面积，方向垂直于原向量所在的平面。 4. 向量的投影 向量$vec{a}$在向量$vec{b}$上的投影为 $p_{vec{b}}vec{a}=frac{vec{a}cdotvec{b}}{left|vec{b} ight|^2}vec{b}$，它表示向量$vec{a}$在向量$vec{b}$上的长度。 5. 向量的夹角 两个向量的夹角为 $costheta=frac{vec{a}cdotvec{b}}{left|vec{a} ight|left|vec{b} ight|}$。
高中数学向量知识点总结大全
一、向量的基本概念 向量：既有大小又有方向的量叫做向量。物理学中又叫做矢量，如力、速度、加速度、位移就是向量。向量可以用一条有向线段（带有方向的线段）来表示，用有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向。向量也可以用一个小写字母a,b,c表示，或用两个大写字母加表示（其中前面的字母为起点，后面的字母为终点）。 向量的表示方法：几何表示法、字母表示法。 模的概念：向量的大小（长度）称为向量的模。记作：｜ab｜。 零向量：长度（模）为0的向量叫做零向量，记作0。 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量叫做平行向量或共线向量。若向量a，b平行，记作a∥b。规定0与任一向量平行。 相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。向量a，b相等记作a=b。零向量都相等。任何两个相等的非零向量，都可用同一有向线段表示，但特别要注意向量相等与有向线段起点、终点位置无关。 二、向量的运算 向量的加法：两个向量相加的结果是以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线（注意起点和方向）。也可以先作出其中一个向量，然后将另一个向量的起点平移到第一个向量的终点上，最后以第一个向量的起点为起点，以平移后得到的向量的终点为终点作出结果向量。这种加法称为三角形法则。 向量的减法：两个向量相减的结果是将第一个向量的起点平移到第二个向量的终点上，然后以第二个向量的起点为起点，以平移后得到的向量的终点为终点作出结果向量。这种减法称为三角形法则的逆运算。 向量的数乘：实数与向量的乘积是一个新的向量，其模等于原向量的模乘以实数的绝对值，其方向与原向量的方向相同或相反（取决于实数的正负）。 向量的点乘：两个向量的点乘结果是一个实数，等于这两个向量的模的乘积再乘以它们之间的夹角的余弦值。如果两个向量的夹角为90度，则它们的点乘结果为0；如果两个向量的夹角为0度或180度，则它们的点乘结果分别为它们模的乘积的正值和负值。 向量的叉乘：两个三维向量的叉乘结果是一个新的三维向量，其模等于这两个向量的模的乘积再乘以它们之间的夹角的正弦值，其方向垂直于这两个向量所构成的平面，符合右手定则。 三、空间向量的基本定理和坐标表示 空间向量基本定理：如果三个不共面的向量a、b、c可以作为空间的一组基底，那么对于空间中的任意一个向量p，都存在唯一的实数x、y、z，使得p=xa+yb+zc。 空间向量的坐标表示：在直角坐标系中，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的三个单位向量i、j、k作为一组基底。若为该坐标系中的任意一个向量，则存在唯一的有序实数组（x,y,z），使得=xi+yj+zk。我们把有序数组（x,y,z）叫做的坐标，记作=（x,y,z）。
高一数学向量知识点总结
高一数学向量知识点总结 高一数学中的向量是一个重要的数学概念，它在几何和代数中都有广泛的应用。接下来，我将详细总结高一数学向量的知识点。 一、定义和表示方法： 1. 向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。 2. 向量的表示方法有位移向量、自由向量和定位向量。 3. 位移向量的表示方法为AB，A为起点，B为终点，长度为 向量的大小，方向为从A指向B。 4. 自由向量的表示方法为→AB，与位移向量相等但方向可变。 5. 定位向量的表示方法为向量→a。 6. 向量的模为其大小，表示为|→a|，也称为向量的长度。 7. 向量的方向可用角度或其所在直线的斜率表示。 二、向量运算： 1. 向量加法：→AB + →BC = →AC，将一个向量的起点放在 另一个向量的终点，连接则为两向量的和。 2. 向量减法：→AB - →AC = →CB，将一个向量的终点放在 另一个向量的起点，连接则为两向量的差。 3. 数乘：k→AB = →CD，k为实数，改变向量大小而不改变 方向。 4. 零向量：长度为0的向量，任何向量与零向量的和等于其本身。 5. 负向量：→AB的负向量为→BA，有相同大小但方向相反。 三、向量的性质：
1. 向量的相等：两向量大小相等且方向相同。 2. 平行向量：方向相同或相反的向量，记作→a ∥ →b。 3. 相反向量：大小相等但方向相反的向量。 4. 共线向量：在同一直线上的向量。 5. 零向量是任何向量的相反向量。 6. 向量的平移不改变其大小和方向。 7. 四边形的对角线重合的充要条件是对角线相等，即两对对角向量相等。 四、向量的数量积（内积）： 1. 定义：设向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则数量积定义为→a·→b = x1x2 + y1y2。 2. 性质： a. 交换律：→a·→b = →b·→a。 b. 结合律：(k→a)·→b = k(→a·→b) = →a·(k→b)。 c. 分配律：(→a + →b)·→c = →a·→c + →b·→c。 d. 长度与夹角的关系：→a·→b = |→a||→b|cosθ，其中θ为两向量的夹角。 e. 垂直条件：→a·→b = 0，此时向量a与向量b垂直。 五、向量的叉积（外积）： 1. 定义：设向量→a=(x1, y1)和→b=(x2, y2)，则叉积定义为 →a×→b = x1y2 - x2y1。 2. 性质： a. 反交换律：→a×→b = -→b×→a。 b. 结合律：→a×(k→b) = k(→a×→b) = (k→a)×→b。 c. 分配律：(→a + →b)×→c = →a×→c + →b×→c。
高一数学 向量的概念及表示
向量的概念及表示 基础知识 一 向量的概念及表示： 1、向量的定义： 自由向量： 2、向量的表示： 3、向量的模： 二 向量间的关系： 1、相等向量： 2、 (1)零向量： (2)单位向量： 3、基线： 4、共线向量（或平行向量）： 读作 记作 规定： 注意：：（1 ）共线向量未必在一条直线上，平行向量也未必不共线只平行。 （2）向量既有大小又有方向，不能用实数 来表示，并且不能比较大小。 5 向量可用来表示点：点A 相对于点O 的位置被向量a 所惟一确定，向量OA 叫做点A 相对于点O 的位置向量。 典型例题 例1：已知O 为正六边形ABCDEF 的中心，在图中所标出的向量中： FE （1）试找出与共线的向量； FE （2）确定与相等的向量； OA BC （3）与相等吗？若不相等， 则之间有什么关系？ 例2：给出下列命题：（1）若,,==a b b c 则=a c （2）若//a b ，//c b ，则a//c （3）若=a b ，则//a b （4）若//a b ，则=a b ，（5）若|≠|a |b |，则a >b 或a
例4：（1）在四边形ABCD中，如果AB CD =，判断四边形ABCD的形状（2）如果ABCD是平行四边形，判断, AB CD是否相等。 =，则ABCD为平行四边形对吗？ （3）如果AB CD 练习 1、下列说法中正确的是( ) (A)平行向量就是向量所在直线都平行的向量 (B)长度相等的向量叫做相等向量 (C)零向量的长度为0 (D)共线向量就是在同一直线上的向量 2、下列说法中错误的是( ) (A)零向量是没有方向的 (B)零向量的长度为0 (C)零向量与任一向量平行 (D)零向量的方向是任意的 AO BO CO是（） 3、设O为△ABC的外心，则,, A、相等向量 B、平行向量 C、模相等的向量 D、起点相同的向量4：下列命题正确的是（） A a与b共线，b与c共线，则a与c也共线 B.任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 C.向量a与b不共线，则a与b都是非零向量 D.有相同起点的两个非零向量不平行 5、（1）平行向量是否一定方向相同？ （2）不相等的向量是否一定不平行？ （3）与零向量相等的向量必定是什么向量？ （4）与任意向量都平行的向量是什么向量？