小学奥数专题--排列组合

✧排列问题题型分类：

1.信号问题

2.数字问题

3.坐法问题

4.照相问题

5.排队问题

✧组合问题题型分类：

1.几何计数问题

2.加乘算式问题

3.比赛问题

4.选法问题

✧常用解题方法和技巧

1.优先排列法

2.总体淘汰法

3.合理分类和准确分步

4.相邻问题用捆绑法

5.不相邻问题用插空法

6.顺序问题用“除法”

7.分排问题用直接法

8.试验法

9.探索法

10.消序法

11.住店法

12.对应法

13.去头去尾法

14.树形图法

15.类推法

16.几何计数法

17.标数法

18.对称法

分类相加，分步组合，有序排列，无序组合

✧基础知识（数学概率方面的基本原理）

一.加法原理：做一件事情，完成它有N类办法，

在第一类办法中有M1中不同的方法，

在第二类办法中有M2中不同的方法，……，

在第N类办法中有Mn种不同的方法，

那么完成这件事情共有M1+M2+……+Mn种不同的方法。

二.乘法原理：如果完成某项任务，可分为k个步骤，

完成第一步有n1种不同的方法，

完成第二步有n2种不同的方法，……

完成第ｋ步有ｎｋ种不同的方法，

那么完成此项任务共有ｎ１×ｎ２×……×ｎｋ种不同的方法。

三.两个原理的区别

⏹做一件事，完成它若有n类办法，是分类问题，每一类中的方法都是独立的，故用加法原理。

每一类中的每一种方法都可以独立完成此任务；两类不同办法中的具体方法，互不相同(即分类不重)；完成此任务的任何一种方法，都属于某一类(即分类不漏)

⏹做一件事，需要分n个步骤，步与步之间是连续的，只有将分成的若干个互相联系的步骤，依次相继完成，

这件事才算完成，因此用乘法原理．

任何一步的一种方法都不能完成此任务，必须且只须连续完成这n步才能完成此任务；各步计数相互独立；

只要有一步中所采取的方法不同，则对应的完成此事的方法也不同

⏹这样完成一件事的分“类”和“步”是有本质区别的，因此也将两个原理区分开来．

四.排列及组合基本公式

1.排列及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元

素的一个排列；从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出

m个元素的排列数，用符号 Pmn表示.

Pmn =n(n-1)(n-2)……(n-m+1)

=n!

(n-m)!

(规定0!=1).

2.组合及计算公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.用符号Cmn表示.

Cmn = Pmn /m!= n!

(n-m)!×m!

一般当遇到m比较大时（常常是m>0.5n时），可用Cmn = Cn-mn 来简化计算。

规定：Cnn =1, C0n=1.

3.n的阶乘(n!)——n个不同元素的全排列

Pnn=n!=n×(n-1)×(n-2)…3×2×1

五.两个基本计数原理及应用

1.首先明确任务的意义

【例1】从1、2、3、……、20这二十个数中任取三个不同的数组成等差数列，

这样的不同等差数列有________个。

分析：首先要把复杂的生活背景或其它数学背景转化为一个明确的排列组合问题。

设a,b,c成等差，∴ 2b=a+c, 可知b由a,c决定，

又∵ 2b是偶数，∴ a,c同奇或同偶，

即：从1，3，5，……，19或2，4，6，8，……，20这十个数中

选出两个数进行排列，由此就可确定等差数列，

如：a=1，ｃ=7，则b=4（即每一组a,c必对应唯一的b，另外1、4、7和7、4、1按同一种等差数

列处理）

∴C210＝10×9＝90，同类（同奇或同偶）相加，即本题所求=2×90＝180。

【例2】某城市有4条东西街道和6条南北的街道，街道之间的间距相同，如图。

若规定只能向东或向北两个方向沿图中路线前进，

则从M到N有多少种不同的走法?

分析：对实际背景的分析可以逐层深入

（一）从M到N必须向上走三步，向右走五步，共走八步。

（二）每一步是向上还是向右，决定了不同的走法。

（三）事实上，当把向上的步骤决定后，剩下的步骤只能向右。

从而，任务可叙述为：从八个步骤中选出哪三步是向上走，就可以确定走法数，

∴本题答案为：C38=56。

2.注意加法原理与乘法原理的特点，分析是分类还是分步，是排列还是组合。

采用加法原理首先要做到分类不重不漏，如何做到这一点？分类的标准必须前后统一。

注意排列组合的区别与联系：所有的排列都可以看作是先取组合，再做全排列；

同样，组合如补充一个阶段(排序)可转化为排列问题。

【例3】在一块并排的10垄田地中，选择二垄分别种植A，B两种作物，每种种植一垄，

为有利于作物生长，要求A，B两种作物的间隔不少于6垄，不同的选法共有______种。

分析：条件中“要求A、B两种作物的间隔不少于6垄”这个条件不容易用一个包含排列数，组合数

的式子表示，因而采取分类的方法。

第一类：A在第一垄，B有3种选择；

第二类：A在第二垄，B有2种选择；

第三类：A在第三垄，B有1种选择，

同理A、B位置互换，共12种。