矩阵特征值及特征多项式问题探讨 学位论文

本科毕业论文

（ 2010 届）

题目矩阵特征值及特征多项式问题探讨

学院数学与信息工程学院

专业数学与应用数学

摘要

矩阵的特征值和逆特征值问题一直是基础数学的一个研究方向.在高等代数的学习当中, 对学生来说熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论是非常必要的. 本文记录了高等代数学习中学生提出的一些有趣问题, 概括了有关矩阵特征值的重要结论, 并对矩阵特征值问题进行探讨, 得到和总结了一些重要结果. 这些结果可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认识, 从而提高高等代数和相关课程教与学的质量.

关键词

特征多项式; 特征根; 特征值; 正交矩阵

Abstract

The problem of matrix eigenvalue and matrix inverse eigenvalue is a prospect to study in pure mathematics. In the study of higher algebra, it is necessary for students to master some important conclusions of matrix eigenvalue skillfully. The paper shows some interesting problems proposed by students in the study of higher algebra. Furthermore, t he problem of matrix eigenvalue is studied and some important conclusions of matrix eigenvalue are summarized in this paper. Those results can rectify the misleading understanding of matrix eigenvalue and improve the teaching and studying quality of the higher algebra and some related courses.

Keywords

characteristic polynomial; characteristic root; eigenvalue; Orthogonal Matrices

目录

1.引言 (5)

1.1 有关于矩阵特征值的重要结果 (5)

1.2 关于矩阵特征多项式的几个重要命题 (6)

1.3 矩阵特征值的理论及应用 (7)

2.一种改进的求矩阵特征值的方法 (8)

3.同时求出特征值和特征向量的一种方法 (13)

4.针对特殊矩阵的特征多项式的求法 (14)

4.1 秩为1的矩阵的特征多项式 (14)

4.2 正交矩阵的特征多项式 (16)

4.3 求三对角矩阵特征多项式的一种简便方法 (19)

参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。谢辞 .................................................. 错误！未定义书签。

矩阵特征值及特征多项式问题探讨

Issues on Eigenvalue and The Characteristic Polynomial of

Matrix

数学与信息工程学院数学与应用数学专业

李文学

指导老师: 范丽红

1.引言

高等代数是数学系大学生必修的一门重要基础课, 与其他一些课程的学习密切相关, 是报考数学系研究生的必考课程, 而矩阵特征值是必考的内容之一. 矩阵特征值是高等代数教学中的重点, 也是硕士研究生招生考试中高等代数课程的考试重点, 更是复杂网络以及混沌同步等研究的基础.对自然科学与工程科学的研究能力都会有所帮助.而且, 矩阵的特征值和逆特征值问题一直是基础数学的一个研究方向. 由此可见, 在高等代数的学习当中, 使学生熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论是非常必要的. 本文记录了高等代数教学中学生提出一些有趣问题, 概括了有关矩阵特征值的重要结论, 并对矩阵特征值问题进行探讨, 得到和总结了一些重要结果. 这些结果可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认识, 从而提高高等代数和相关课程的教与学质量. 然后, 对几种不同类型的矩阵, 比如正交矩阵、三角矩阵等的特征多项式做了简单的探讨.也给出了特征多项式以及特征值的求法.

1.1 有关于矩阵特征值的重要结果

A表示A 的转置矩阵, 1 A表示A 的逆.

本文中, E 表示单位矩阵, T

定理1 n 阶实对称矩阵的特征值都是实数.

C.

定理2 n 阶实矩阵A 对称正定的充分必要条件是存在n 阶实可逆矩阵C, 使得A=C T

定理3 相似的矩阵有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值.

定理4 如果n 阶对称矩阵A 与B 合同, 即存在n 阶可逆矩阵C, 使得B ＝T

C AC, 则A 与B 的正特征值、零特征值和负特征值的个数分别相等.

1.2 关于矩阵特征多项式的几个重要命题

命题1.1 相似的矩阵具有相同的特征多项式. 证明: 假定A ～ B, 则 B=1

P AP -

()11111E B E P AP

P P P AP P E A P P E A P E A

λλλλλλ------=-=-=-=-=-

注1: 命题1 的逆是不成立的.

命题1.2 若 A 与 B 为同阶方阵, 且其中至少有 一个可逆, 则 (i).A B ～ B A (ii).BA E AB E -=

-λλ

证明 不妨设0≠A , 则

A BA A AA A

B AB )()(==, 所以 A B ～ B A ,

由命题1知, BA E AB E -=

-λλ

此处命题2的(ii )是命题 1 的结论. 事实上我们可 以将命题2中的条件“其中至少有一个可逆”去掉, 命题2的(ii )仍成立.

命题1.3 若A 与B 为同阶方阵, 则)BA E AB E -=-λλ

证明 设A 的特征根为,

1λ2λ, …, n λ, 记其中绝对值不为零的最小者为i λ

易知对任意的∈ε{0, n λ}0≠+E A ε 由命题2 的( ii) 知:

()()E A B E B E A E ελελ+-=+-