矩阵特征值及特征多项式问题探讨 学位论文

本科毕业论文
（ 2010 届）
题目矩阵特征值及特征多项式问题探讨
学院数学与信息工程学院
专业数学与应用数学
摘要
矩阵的特征值和逆特征值问题一直是基础数学的一个研究方向.在高等代数的学习当中, 对学生来说熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论是非常必要的. 本文记录了高等代数学习中学生提出的一些有趣问题, 概括了有关矩阵特征值的重要结论, 并对矩阵特征值问题进行探讨, 得到和总结了一些重要结果. 这些结果可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认识, 从而提高高等代数和相关课程教与学的质量.
关键词
特征多项式; 特征根; 特征值; 正交矩阵
Abstract
The problem of matrix eigenvalue and matrix inverse eigenvalue is a prospect to study in pure mathematics. In the study of higher algebra, it is necessary for students to master some important conclusions of matrix eigenvalue skillfully. The paper shows some interesting problems proposed by students in the study of higher algebra. Furthermore, t he problem of matrix eigenvalue is studied and some important conclusions of matrix eigenvalue are summarized in this paper. Those results can rectify the misleading understanding of matrix eigenvalue and improve the teaching and studying quality of the higher algebra and some related courses.
Keywords
characteristic polynomial; characteristic root; eigenvalue; Orthogonal Matrices
目录
1.引言 (5)
1.1 有关于矩阵特征值的重要结果 (5)
1.2 关于矩阵特征多项式的几个重要命题 (6)
1.3 矩阵特征值的理论及应用 (7)
2.一种改进的求矩阵特征值的方法 (8)
3.同时求出特征值和特征向量的一种方法 (13)
4.针对特殊矩阵的特征多项式的求法 (14)
4.1 秩为1的矩阵的特征多项式 (14)
4.2 正交矩阵的特征多项式 (16)
4.3 求三对角矩阵特征多项式的一种简便方法 (19)
参考文献 .............................................. 错误！未定义书签。

谢辞 .................................................. 错误！未定义书签。

矩阵特征值及特征多项式问题探讨
Issues on Eigenvalue and The Characteristic Polynomial of
Matrix
数学与信息工程学院数学与应用数学专业
李文学
指导老师: 范丽红
1.引言
高等代数是数学系大学生必修的一门重要基础课, 与其他一些课程的学习密切相关, 是报考数学系研究生的必考课程, 而矩阵特征值是必考的内容之一. 矩阵特征值是高等代数教学中的重点, 也是硕士研究生招生考试中高等代数课程的考试重点, 更是复杂网络以及混沌同步等研究的基础.对自然科学与工程科学的研究能力都会有所帮助.而且, 矩阵的特征值和逆特征值问题一直是基础数学的一个研究方向. 由此可见, 在高等代数的学习当中, 使学生熟练掌握矩阵特征值的一些重要结论是非常必要的. 本文记录了高等代数教学中学生提出一些有趣问题, 概括了有关矩阵特征值的重要结论, 并对矩阵特征值问题进行探讨, 得到和总结了一些重要结果. 这些结果可以纠正学生关于矩阵特征值问题的一些错误认识, 从而提高高等代数和相关课程的教与学质量. 然后, 对几种不同类型的矩阵, 比如正交矩阵、三角矩阵等的特征多项式做了简单的探讨.也给出了特征多项式以及特征值的求法.
1.1 有关于矩阵特征值的重要结果
A表示A 的转置矩阵, 1 A表示A 的逆.
本文中, E 表示单位矩阵, T
定理1 n 阶实对称矩阵的特征值都是实数.
C.
定理2 n 阶实矩阵A 对称正定的充分必要条件是存在n 阶实可逆矩阵C, 使得A=C T
定理3 相似的矩阵有相同的特征多项式, 从而有相同的特征值.
定理4 如果n 阶对称矩阵A 与B 合同, 即存在n 阶可逆矩阵C, 使得B ＝T
C AC, 则A 与B 的正特征值、零特征值和负特征值的个数分别相等.
1.2 关于矩阵特征多项式的几个重要命题
命题1.1 相似的矩阵具有相同的特征多项式. 证明: 假定A ～ B, 则 B=1
P AP -
()11111E B E P AP
P P P AP P E A P P E A P E A
λλλλλλ------=-=-=-=-=-
注1: 命题1 的逆是不成立的.
命题1.2 若 A 与 B 为同阶方阵, 且其中至少有 一个可逆, 则 (i).A B ～ B A (ii).BA E AB E -=
-λλ
证明 不妨设0≠A , 则
A BA A AA A
B AB )()(==, 所以 A B ～ B A ,
由命题1知, BA E AB E -=
-λλ
此处命题2的(ii )是命题 1 的结论. 事实上我们可 以将命题2中的条件“其中至少有一个可逆”去掉, 命题2的(ii )仍成立.
命题1.3 若A 与B 为同阶方阵, 则)BA E AB E -=-λλ
证明 设A 的特征根为,
1λ2λ, …, n λ, 记其中绝对值不为零的最小者为i λ
易知对任意的∈ε{0, n λ}0≠+E A ε 由命题2 的( ii) 知:
()()E A B E B E A E ελελ+-=+-
又由于多项式函数连续, 所以
Lim ()B E A E ελ+-=Lim ()E A B E ελ+- 即BA E AB E -=
-λλ
若将命题3 的条件“A 与B 为同阶方阵”再行减弱为A 与B 为可乘的长方阵, 则可得以下结果.
命题1.4 若A 为n ×m 阶矩阵, B 为m × n 阶矩阵, λ≠ 0 且n > m 时, 则
BA E AB E m m n n -=--λλλ
证明 当n > m 时, 用0 元素把A , B 分别补成
n 阶方阵1A , 1B , 即BA E m m n --λλ, 由命题3 知
BA E AB E m m n n -=--λλλ
从相似矩阵具有相同的特征多项式出发, 逐步改变和减弱命题中相关条件, 得到了几个关于矩阵特征多项式的结论.
1.3 矩阵特征值的理论及应用
引入矩阵特征值及特征向量的概念对于研究线性变换, 乃至于整个线性空间、欧氏空间都是极为重要的.
定理1.1 设n 阶方阵A 的特征值为i λ, i a 是A 的属于特征值i λ 的特征向量(i=1, 2, …, n),
则1)kA(k 是常数)的特征值是k i λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n). 2)2A 的特征值是2λ , 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n). 3)k A 的特征值是k λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n). 4)T A 的特征值是i λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n).
5)A 可逆时, 1-A 的特征值是1-i λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n). 6)A 可逆时, A 的伴随矩阵*A 的特征值是｜A ｜1-i λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n).
7)设m m x a x a x a x f +++= 10)(, 则()A f 的特征值是()i f λ, 且i a 是属于其的特征向量(i=1, 2, …, n).
证明 1)因为i i i A αλα=, 故(kA)i a =k(A i a )=(k i λ)i a
2）因为i i i A αλα=, 2A i a =A ()i A α=A(i λi a )=i λ(A i a )=i λ(i λi a )=2i λi a 3）同理可得.
4）()A E A E A E T T
-=-=-λλλ从而A 与T A 具有相同的特征值.
5) 因为1-A i a =i λi a , 且A 可逆, 故1-A A i a =1-A (i λi a )⇒i a =i λ (1-A i a ) 又｜A ｜=λ1λ2…λn ≠0 (A 可逆), 故λi ≠0(i=1, 2, …, n), 从而由(1)知1-A i a =i λi a .
6) 因为*A =｜A ｜1-A , 再由1) 即可得结论. 7) 因为()m m A a A a E a A f +++= 10, 故有 （()m m A a A a E a A f +++= 10）i a =i m m i A a E a αα +0
=i m i m i i i a a a αλαλα ++10 =()
i m i m i a a a αλλ+++ 10 =f(i λ) i a
例 设3 阶方阵A 的行列式｜A ｜=6, 且A 有特征值-2, 则*A 必有特征值___, *A -21-A 有特征值___, E A A A 88423+++有特征值___, E A A A 88423+++=___. 解: *A 的特征值为6×(-2)=-3, 而*A -21-A =｜A ｜1-A -21-A =4A-1
又｜1-A ｜=1/6, 故*A -21-A 的特征值为 4×(-2)=-2. 故
f(A)= E A A A 88423+++的特征值是
f(-2)=()()()082824223=+-+-+-因为f(A)有特征值0, 所以
()A f = E A A A 88423+++=0.
2.一种改进的求矩阵特征值的方法
在高等代数的学习过程中, 我们已经知道了初等矩阵以及初等变换, 那么, 能不能利用
矩阵的初等变换来求其特征值呢？
我们首先要做的一个工作就是初等变换的选择, 即如何选取一个合适的初等变换将所求矩阵变成一个上三角（或下三角）矩阵, 从而以利于我们对特征值的求解.
当⎪⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A
2
122221
11211时, 如何选取初等矩阵()s i P i ,,2,1 =把A 化为三角形式, 即⎪⎪⎪
⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=nn n n c c c c c c B 222
11211, 其实关键看能否把A 的主对角线元素下(或上)方的元素化为零.在换
法变换和倍法变换中初等矩阵的选择比较容易, 主要讨论消法变换中初等矩阵Pi （i=1, 2, ⋯, s ）的选择.为得到初等矩阵中所用非零常数k , 只需任选矩阵A 的第i 行和第j 行（1≤i ≤j ≤n ）, 讨论jj ji ij ii a a a a ,,,这四个元素, 便可求出k 的值.
对矩阵A 作成对同类型的初等行列变换, 分两种情况来看: 1)将元素ji a 化成零 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝
⎛
=
jj ji ij
ii a a a a A ))((k i j +→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+--+-→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛++ij
jj ij jj ii ji ij
ij
ii ij jj ii ji ij
ii
ka a k a k a a a a ka a ka a ka a a a
2
)( 令
)(2=--+k a k a a a ij jj ii ji ,
①当ij a ≠0 时, 解得()ij
ji
ij jj ii jj ii a a a a a a a k 242+-±
-=
②当ij a =0 时, 分两种情况讨论.
若jj ii a a -≠0, 则ii
jj ji a a a k -=
.
若jj ii a a -=0则jj ii a a =, 此时可将A 先进行一次成对的同类型初等变换化成如①的情形, 即⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛--+→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
+→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛ji
ii ji
ji
ji ii ii
ji ii
ji ii ii ji ii a a a a a a a a a a a a a a
然后对1A 用上法求出k 的值. 2)将元素ij a 化成零 ⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛=
jj ji ij
ii a a a a A ()
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛---++→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛++→
ji
jj ji ji ii jj ij ji
ii jj ji jj
ij ji ii ka a a k a k a a a ka a a a ka a ka a 2 令()
2k a k a a a ji ii jj ij --+ =0 ①当ji a ≠0 时, 解得
()ji
ij
ji jj ii ii jj a a a a a a a k 242+-±
-=
②当ji a =0 时, 分两种情况讨论. 若jj ii a a -≠0, 则ii
jj ij a a a k -=
若jj ii a a -=0, 则jj ii a a =.此时可将A 先进行一次成对的同类型初等变换化成如①的情形, 即
⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫ ⎝
⎛+--→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛
++→⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛=
ij
ii ij ij
ij ii ij
ii ii ij
ji
ii ii ij
ii a a a a a a a a a a a a a a a A 0 现在, 介绍这种方法的应用.
对三类不同特点的矩阵分别用上文中的方法求其特征值, 来说明改进后方法对此类问题的 求解将更为简便. 类型1: 一般数字矩阵. 例2.1 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛-----=0167121700
140013
A , 求矩阵A 的特征值. 解 对A 施行成对的行初等变换和列初等变换: ⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-----=0167121700140013
A ⎪
⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪
⎭
⎫ ⎝
⎛-----→⎪⎪⎪⎪⎪
⎪⎭⎫ ⎝
⎛-----→0125711
500014000101671217
00
140001016712170014002
11 ⎪
⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛--
---→11257015000
140001
, 所以A 的特征值为1(四重).
类型2: 行元素接近矩阵.
例2.2 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=8156635660267155A , 求A 的特征值.
解 由于A 中第1列和第4列元素在取值上比较接近, 将A 的第4列乘以(-1)加到第1列, 同 时将A 的第1行乘以(+1)加到第4 行, 即 ⎪⎪⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛------=8156635660267155A
⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎭
⎫
⎝⎛+----+→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛+----→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛---→
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----→1000663550602
0715210006632506020715
210006350602071521001635660
267155k k
k
k k 令k=- 1, 则有⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛--→1000030060
2071
42A , 故A 的特征值为2, - 2, 3, 1. 类型3: 对称的行(列)元素接近矩阵.
例2.3 ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛------=111111*********
1A , 求矩阵A 的特征值.
解 一般可直接利用A 的特征多项式进行求解, 但比较麻烦.先用初等变换化简.
⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛------=1111111111111111A ⎪⎪⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛---→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----→2200111200201110111211120020111011111111002
2111
1
B =⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝
⎛-→10
00101200201210, 由于矩阵A 与B 相似, 由此可求得 ()()()2222
21
000112002012132+-=---=-------=-λλλλλλλλλ
λB E
故B 的特征值为-2和2(三重), 从而A 的特征值也为-2和2(三重).
总的来说, 第一, 在利用矩阵的初等变换求方阵的特征值时, 要善于观察判断该矩阵.此法对行或列比较接近的矩阵, 以及一些特殊的矩阵求特征值时会比较有效, 且计算简单便于实现.第二, 以上计算中所施行的初等变换必须是行与列同类型的初等变换, 对方阵的行与列必须配对施行, 所做变换必须是相似变换, 以保证方阵的特征值在初等变换过程中不会发生改变. 第三, 对更一般的高阶矩阵求特征值时, 如何选择有效的初等矩阵, 其方法仍是一个有待研究解决的问题.
3.同时求出特征值和特征向量的一种方法
如下方法, 可以同时求出特征值和特征向量. （1）. 由n 阶矩阵A , 做出一个2 n ×n 的矩阵E A E
λ-⎛⎫
⎪⎝⎭
, 经初等变换化成(())()
i diag d λθλ⎛⎫
⎪⎝⎭
. （2）. 求出()λi d =0 的根(0≤i ≤n), 设为k λλλ ,,21, 则k λλλ ,,21就是A 的所有不同的特征值.
(3) .把j λ , 1 ≤j ≤k 代入(())()
i diag d λθλ⎛⎫
⎪⎝⎭
, 设()()()λλλn d d d ,,,21 中代入j λ后为零的有()j i d λ1=0 , ()j i d λ2= 0 , ⋯, ()
j i m d λ = 0 , 则Q(j λ)中第m i i i ,,,21 列构成A 的对应于特征值j λ的m 个特征向量, 且构成V λ的一组基.
现在给出相关例题来说明这个方法.
例: 设线性变换A 在基1,23,εεε下的矩阵是A =211211211⎛⎫ ⎪
⎪ ⎪⎝⎭
, 求A 的特征值与特征向量
解: A =211211211⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪
⎝⎭
, 取矩阵E A E λ-⎛⎫
⎪⎝⎭, 经过一系列的初等变换, 最后可以求出特征值
1231,1,4λλλ===, 其中γ=1对应的特征向量为1P →
=110-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 2P →
=211-⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭, 3P →=111⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝⎭
.
求解完毕.
其实, 这种方法与课本上给出的方法有点不一样, 事实上, 在用这种方法的时候, 还需要如下3个定理.
定理3.1 对任意方阵A , 矩阵λ E - A 经过一系列的初等变换可变成形1()
()n d d λλ⎛⎫
⎪
⎪ ⎪⎝
⎭
的对角矩阵, 其中()λi d 是λ的非零多项式.
定理3.2 对上述的()λi d 使()λi d =0的λ就是A 的特征值, 且总存在一个()n j j ≤<0, 使 ()λi d =0.
定理3.3 若
P(λ)(λE-A)Q(λ)=()()12,,
,()n diag d d d λλλ⎡⎤⎣⎦成立, 且有
()()()123*0*0
(*)0*0
i i i in d d d d λλλλ===
=, 其中12,,m i i i 是1 到n 中的m 个数,
则Q(λ3) 的第12
,,m i i i 列为A 的m 个线性无关的特征向量(对应于*λ) , 且Q （*λ）的第
12,,m i i i 列构成A 的对应于*λ特征子空间*V λ的一组基.
关于这三个定理的证明, 限于篇幅, 而且对于求解特征向量与特征值的过程也是不需要用
到的, 这里就不再给出它们的证明.
4.针对特殊矩阵的特征多项式的求法
4.1 秩为1的矩阵的特征多项式
首先, 给出如下结论:
定理4.1 设K 为n 阶方阵A 的特征值, x 为对应于K 的特征向量, 如果方阵A 满足方程
m m A a A a A a E a +++2210=0, 那么方阵A 的特征值λ满足方20120m m a a a a λλλ+++=
证明 因λ为A 的特征值, x 为对应于λ的特征向量, 所以A x = λx , 若A = E , 则显然有E x = x , 即x a Ex a 00=; 再由式(1) , 可依次得到11,
,m m m m a Ax a x a A x a x λλ==, 且有
x A a x A a Ax a Ex a m m ++++ 2210=2012m m a a a a λλλ+++
, 即
(m m A a A a A a E a +++2210 ) x =（2012m m a a a a λλλ+++
）x, 由于x ≠0. 于是, 若 m m A a A a A a E a +++2210 = 0, 则2012m m a a a a λλλ+++
=0即原结论成立.另一方面, 若
一个n 阶方阵A = (ij a ) 的秩R (A ) = 1, 则A 中至少有一个非零元, 不妨设ki a ≠0, 且A 的各行(列) 都成比例(否则, 由行列式的性质知A 中至少有一个2 阶非零子式, 这与R (A ) = 1 矛盾) , 故A 总可以表示成如下形式
A =111ki k ki ki k ki n ki a a a a a λλλλ-+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
()1
11
,1,,i i n μμμμ-+, 令α=111ki k ki ki k ki n ki a a a a a λλλλ-+⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
, T
β=()1
11,1,,i i n μμμμ-+, 由此可
知方阵A 总可以表示为一个非零列矩阵与一个非零行矩阵的乘积的形式.并且按照矩阵乘积的定义, 可得1111,
,ki n n ki nn a a a a λμλμ==.则T βα=nn a a a ++2211
根据以上论述, 来推导秩为1 的方阵的特征值的求法: 不失一般性, 设A = (ij a ) 为n 阶方阵, R (A ) = 1, 则A =αT β其中α表示一个非零列
矩阵, T
β表示一个非零行矩阵, 从而2
A =α
T βαT β=α(T βα) T β, 其中
T βα=nn a a a ++2211 再依上述定理, 可知方阵A 的特征值满足方程20k λλ-=, 解得
λ=0或λ=k.这也就是说, 秩为1的方阵A 只有零特征值和非零特征值k . 进一步提出问题: 这里
的k 到底有多少个? 有多少个零特征值? 如何求k ? 根据方阵的特征值的性质
111n nn a a λλ++=++故秩为1的方阵A 只有一个非零特征值k = nn a a a ++2211, 其余的
n - 1个特征值都是零特征值, 即1λ=11nn a a ++, 230n λλλ====.
下面通过具体的实例来说明秩为1 的方阵特征值的简便求法.
例4.1 设n 阶方阵A =)0(≠⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛a a a a a a a a a a , 求A 的特征值.
解 显然R (A ) = 1, 则可设A =()T a a a αβ=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111 , 其中⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=a a a α, ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛=111 β, 则
T T T T A βαβααβαβ)(2==, 而T βα=na a a a =++ , 从而naA na A T ==αβ2, A 的
特征值λ满足λλna =2
, 故na =λ或0=λ.
以上针对秩为1 的方阵给出的一种求特征值的简便方法, 说明在求某一方阵的特征值, 包括解决其他任何实际问题时, 不要硬背理论, 死套公式, 而应根据问题的具体特点, 采取不同的解决方法.
4.2 正交矩阵的特征多项式
正交矩阵作为一种特殊形式的矩阵, 在整个矩阵理论体系中具有举足轻重的作用, 它具有很好的性质, 因此其特征多项式和特征根有某些独特的规律. 首先看下面的定义:
定义4.1 如果一个n 阶实矩阵A 有E A A AA T
T
==, 即1
-=A A T
, 则称A 为正交矩阵. 定义4.2 设A 为n 阶矩阵, 任取1i ⋯ k i 行和1i ⋯k i 列, 位于这些行和列的交点上的2
k 个元素组成一个k 阶行列式, 称为矩阵A 的k 阶主子式.
引理4.1 设n 阶方阵A=（ij a ）（i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., n ）的特征多项式为
n n n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( , 则其中k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以
k )1(-, 即
b k =k
)
1(-∑
≤<<≤n
i i ikik
iki iki ik i i i i i ik
i i i i i k a a a a a a a a a 112
1
222121211
1
引理4.2 矩阵A 的k 阶主子式和等于A 的一切可能k 个特征根乘积之和. 引理4.3 正交矩阵的行列式的值为±1
引理4.4 若A 是正交矩阵, 则A ′, *
A , 1
-A 都是正交矩阵. 引理4.5 正交矩阵的特征根模为1.
引理4.6 若0λ是正交矩阵A 的特征根, 则1
0-λ也是A 的特征根 引理4.7 设U 是一个三阶正交矩阵, 且| U| = 1, 则 (i) U 有一个特征根等于1
(ii) U 的特征多项式有形式1)(25
-+-=λλλλt t f ( - 1 ≤t ≤3) .
引理4.8 设A 为正交矩阵,
(i) 若| A| = 1 , 则A 的任意k 阶子式与其代数余子式相等; (ii) 若| A| = - 1 , 则A 的任意k 阶子式与其代数余子式仅差一符号. 推论4.1 设A 为n 阶正交矩阵,
（i ）若| A| = 1 , 则A 的任意k 阶主子式等于其余子式, 且k 阶主子式的余子式为A 的n -
k 阶主子式;
(ii) 若| A| = - 1 , 则A 的任意k 阶主子式与其余子式仅差一符号, 且k 阶主子式的余子式为A 的n - k 阶主子式.
下面, 将给出正交矩阵的特征多项式 定理4.2 设A 为n 阶正交矩阵, A E f A -=
λλ)( 为A 的特征多项式, 则
(1) 当| A| = 1时,
(i) n 为偶数时n n n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( , 其中11+--=k n k b b （k = 2 , ⋯,
2
n
）, 1=n b . （ii ）n 为奇数时n n n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( , 其中k n k b b --=（ k = 1 ,
2 , ⋯,
2
1
-n ）, n b =-1. (2) 当| A| = - 1时,
(i) n 为偶数时n n n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( , 其中11+---=k n k b b （k = 2 , ⋯,
2
n
）, n b =-1. （ii ）n 为奇数时n n n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( , 其中k n k b b -=（ k = 1 , 2 ,
⋯,
2
1
-n ）, n b =1. 证 据引理1知正交矩阵A 的特征多项式为n
n n n A b b b A E f ++++=-=--λλλλλ111)( 其中k b 为A 的一切k 阶主子式的和乘以k )1(-, 令⎪
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=k k k i i i i M 1
1为A 的k 阶主子式, k A 为k 阶主子式k M 的代数余子式, k
n N -= ⎪
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛--k n k n i i i i 1
1为k M 的余子式.
（1） 当| A| = 1时, k n i i k k N A M k -+-==)(21)1( =k n N -
因k M 为A 的k 阶主子式, 所以k n N -为A 的n - k 阶主子式, 故A 的一切k 阶主子式之和等于A 的一切n - k 阶主子式之和.
(i) n 为偶数时, )(λf 有奇数项, 由1-k M =1+-k n N , 且1-k b 为所有1-k M 之和乘以1)1(--k , 1+-k n b 为所有1+-k n N 之和乘以1)1(+--k n , 其中1)1(--k = 1)1(+--k n ( n 为偶数) . 故
11+--=k n k b b （k = 2 , ⋯, 2
n
）, 1)1(=-=A b n n
(ii) n 为奇数, )(λf 有偶数项, 由1-k M =1+-k n N 和k n k N M -= , 且k b 为所有k 阶主子式之和乘以k )1(- , k n b -为所有n - k 阶主子式之和乘以k n --)1(, 其中k )1(-与k n --)1(相差一符号, 故
k n k b b --=（ k = 1 , 2 , ⋯,
2
1
-n ）, 1)1(-=-=A b n n 所以, 若| A| = 1 , 当n 为偶数时, A 的特征多项式有奇数项, 它以n b 为中间项, 左右对称项的系数相同, 其中包括首项系数与常数项n b ; 当n 为奇数, A 的特征多项式有偶数项. 处在对称位置的左右两项系数仅差一符号, 因首项系数为1 , n b 为- 1 , 故也包括在内. （2）若| A | = 1, k M =k A -=k n k n i i N N k --+-=--)(21)1(
故A 的一切k 阶主子式之和与A 的一切n-k 阶主子式之和仅差一符号.
(i) n 为偶数时, )(λf 有奇数项, 1-k M =-1+-k n N , 且1-k b 为所有1-k M 之和乘以1)1(--k , 1+-k n b 为所有1+-k n N 之和乘以1)1(+--k n , 其中1)1(--k = 1)1(+--k n ( n 为偶数) . 故 1+--=k n k b b （k = 2 , ⋯,
2
n
）, 1)1(-=-=A b n n . (ii) n 为奇数, )(λf 有偶数项, 1-k M =-1+-k n N , k n k N M --=, 且k b 为所有k 阶主子式之和乘以k )1(- , k n b -为所有n - k 阶主子式之和乘以k n --)1(, 其中k )1(-与k n --)1(相差一符号, 故k n k b b -=（k = 2 , ⋯,
2
n
）, 1)1(=-=A b n n 所以, 若| A| = - 1 , 当n 为偶数时, A 的特征多项式有奇数项, 以2
n b 为中间项, 左右两边对称项的系数相差一符号, 因首项系数为1, n b 为-1, 故也包括在内; 当n 为奇数时, A 的特征多项式有偶数项, 处在对称位置的左右两项系数相同, 因首项系数为1, n b 为1, 所以也包括在内.
4.3 求三对角矩阵特征多项式的一种简便方法
这里用递推的方法给出一种求三对角矩阵特征多项式的算法.首先, 给出一个定理:
定理4.3 若A 的特征多项式
0111a a a A E n n n ++++=---λλλλ
A E -λ的伴随矩阵adj (A E -λ) = 1-n λ 1-n
B + 2-n λ 2-n B + ⋯+ λ1B +0B , 则adj (A E -λ) 与A E -λ的系数j B , j a ( j =n -1, n -2, ⋯, 1, 0) 有如下关系:
1
102
211121AB E a B AB E a B AB E a B E B n n n n n n n
n +=+=+==----
)
(1
)
(11)
(2
1
)
(00112211AB tr n
a AB tr n a AB tr a AB tr a n n n n -=--=-=-=---- 其中)(1-n AB tr 为矩阵1-n AB 的迹, 余类推
但当矩阵A 是实三对角矩阵时, 上述结果计算量偏大. 那么, 在这里, 给出一种针对三对角矩阵特征多项式给为简便的方法. 首先, 看下面的引理:
引理4.9 记⎪
⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎭
⎫
⎝
⎛=--n n n b a c c b a c b A 11221
11 , i a , i b , i c 为实数. k A 表示A 的k 阶顺序主子式, 其中11b A =, A n = A, 设k A 的特征多项式为)(λϕk , 有递推关
系: ()()()()()
()()()()
λϕλϕλλϕλϕλϕλλϕλλϕλϕ21110111221
101
)(------=--=-==n n n n n n c a b c a b b
由于该递推公式没有直接给出A E -λ中λ的各次幂的系数, 使用不太方便. 下面给出一种求三对角矩阵特征多项式系数的简便方法, 通过递推, 直接确定i a (i=n-1, ⋯, 1, 0).
定理4.4 设A 的特征多项式0111a a a A E n n n ++++=---λλλλ ,
k A 的特征多项式()()()()k k k k k k k a a a 0111++++=--λλ
λλϕ , 其中()()()n n n n a a a 011,,, -为011,,,a a a n -, 则
()
()()()()()()()()()()()()()()()()()⎪⎪⎪
⎪
⎪⎪
⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫
⎝⎛⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---=⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪
⎪⎭
⎫
⎝⎛-⎪⎪⎪
⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=------------2021231110111201211022202133
3303132111022
20211101011111011011011n n n n n n n n n n n n
n
n n n n n n
a a a c a a a a
b b b a a a a a
c a a a b b b a a a c a a b b a a b a
这就是实三对角矩阵特征多项式的求法公式, 下面将结合一道例题对本定理进行一定说明.
例4.2 若A=⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛-1134521213, 求A E -λ.
解 由上述方法, 可得()310-=a ()()()⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=-=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛54102311112021a a ()()()⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛---=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛414014303132a a a ⎪⎪⎪⎭
⎫
⎝⎛-=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-1011831010541 ()()()()⎪⎪
⎪⎪⎪⎭⎫
⎝
⎛----=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛111111*********a a a a ⎪⎪⎪⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛--=⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-251116954103101181 所以 A E -λ=2511169234-++-λλλλ.
本篇论文是在掌握对高等代数课本知识了解的基础上, 着重对以上几种特殊的矩阵进行研究, 参考借鉴了前辈学者对这一方面的研究, 不再是单一的求出某一类矩阵的特征多项式, 而
是综合性地给出以上几种矩阵的求法.不过, 依然还存在着许多问题, 希望能在以后的学习和研究中得到更深的解决.
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谢辞
随着本篇论文的最后敲定, 大学时光也即将在四年的蹉跎中走完.
本篇论文的完成, 得益于台州学院特别是数信学院老师传授的知识, 使本人有了完成论文所要求的知识积累.更加特别感谢我的论文指导老师范丽红老师, 从选题的确定、论文资料的收集、论文框架的确定、开题报告准备及论文初稿与定稿中对字句的斟酌倾注的大量心血, 在此对导师范丽红老师表示感谢！
在论文写作过程中, 我还参考了有关的书籍和论文, 在这里一并向有关的作者表示谢意.
对指导老师和给予指导或协助完成毕业论文工作的组织和个人表示感谢。

文字要
简捷、实事求是，切忌浮夸和庸俗之词。