圆中最值问题10种求法

圆中最值的十种求法

在圆中求最值是中考的常见题型，也是中考中的热点、难点问题，有的学生对求最值问题感到束手无策,主要原因就是对求最值的方法了解不多,思路不够灵活.现对在圆中求最值的方法，归纳如下：

一、利用对称求最值

1．如图:⊙O的半径为2,点A、B、C在⊙O上,OA⊥OB，∠AOC=60°,P是OB上一动点，求PA+PC的最小值.

[分析]:延长AO交⊙O于D,连接CD交⊙O于P,即此时PA+PC最小,且PA+PC的最小值就等于弦CD的长.

解：延长AO交⊙O于D,连接CD交OB于P

连接PA,过O作OE⊥CD，垂足为E

在△OCD中，因为∠AOC=60°所以∠D=∠C=30°

在Rt△ODE中 cos30°=

即DE=2×cos30°= 所以CD=2DE=2

即PA+PC的最小值为2.

二、利用垂线段最短求最值

2．如图:在直角坐标系中，点A的坐标为（－3，－2）,⊙A的半径为1,P为x轴上一动点，PQ切⊙A

于点Q,则PQ长度的最小值为 .

[分析]：连接AQ、PA，可知AQ⊥PQ. 在Rt△PQA中，PQ=,求PQ的最小值转化为求PA的最小值，根据垂线段最短易求PA的最小值为2。

解:连接PA、QA

因为PQ切⊙A于点Q 所以PQ⊥AQ

在Rt△APQ中，PQ2=PA2－AQ2

即PQ=

又因为A(－3,－2） ,根据垂线段最短。

所以PA的最小值为2

所以PQ的最小值=

三、利用两点之间线段最短求最值

3．如图：圆锥的底面半径为2，母线PB的长为6,D为PB的中点,一只蚂蚁从点A出发，沿着圆锥的侧面爬行到点D，则蚂蚁爬行的最短路程为( )

A．B．2 C．3 D．3

［分析］：因为圆锥的侧面是曲面蚂蚁从A爬行到点D，不好求爬行的最小值,要把立体图形展开为平面图形，再利用两点之间线段最短来解决问题.

解：圆锥的侧面展开图如图2,连接AB

根据题意得:弧AC的长为2πr=2π·2=4π,PA=6

因为4π= 所以n=120°即∠APB=60°又因为PA=PB

所以△PAB是等边三角形因为D为PB中点所以AD⊥PB PD=DB=3

在Rt△PAD中，AD=，故选C。

四、利用直径是圆中最长的弦求最值

4．如图:半径为2。5的⊙O中，直径AB的两侧有定点C和动点P，已知BC：CA=4：3，点P在劣弧AB 上运动，过点C作CP的垂线，与PB的延长线交于点Q,

(1）求∠P的正切值；

(2）当CP⊥AB时，求CD和CQ的长；

当点P运动到什么位置时,CQ取得最大值，并求出此时CQ的长.

[分析］：易证明△ACB∽△PCQ,所以，即CQ=PC。当PC最大时,CQ最大，而PC是⊙O的动弦，当PC是⊙O的直径时最大。

五、利用弧的中点到弦的距离最大求最值

5．如图:已知⊙O的半径为2，弦BC的长为2，点A为弦BC所对优弧上任意一点，（B、C两点除外),求△ABC面积的最大值。

［分析］：设BC边上的高为h

因为S△ABC=BC h=×2h=h

当h最大时S△ABC最大,当点A在优弧的中点时h最大。

解：当点A为优弧的中点时,作AD⊥BC于D

连接BO 即BD=CD=

在Rt△BDO中，OD2=OB2－BD2=22－（)2=1

所以OD=1 所以AD=2+1=3

所以S△ABC=×BC·AD=×2×3=3

即△ABC面积的最大值为3

六、利用周长一定时，圆的面积最大求最值

6．用48米长的篱笆材料,在空地上围成一个绿化场地，现有两种方案:一种是围成正方形的场地，另一种是围成圆形场地，试问选用哪一种方案，围成的场地面积较大？并说明理由.

[分析］:周长一定的几何图形，圆的面积最大.

解：围成圆形场地的面积较大

设S1、S2分别表示围成的正方形场地、圆形场地的面积

则S1=(）2=144 S2=π·（）2=

因为π＜4 所以＞

所以＞=144 所以S2＞S1 所以应选用围成圆形场地的方案面积较大

七、利用判别式求最值

7．如图：在半径为1的⊙O中，AB是弦，OM⊥AB，垂足为M，求OM+AB的最大值。

［分析]:可设AM=x,把OM用x的代数式表示出来，构造关于x的一元二次方程,然后利用判别式来求最值。

解：设AM=x,在Rt△OAM中

OM=

所以OM+AB=+2x=a

整理得:5x2－4ax+（a2－1）=0

因为△=（－4a）2－4×5×（a2－1）≥0

即a2≤5 所以a≤

所以OM+AB的最大值为

八、利用一条弧所对的圆周角大于圆外角求最值

8．如图：海边立有两座灯塔A、B，暗礁分布在经过A、B两点的弓形（弓形的弧是⊙O的一部分）区域

内，∠AOB=80°，为避免触礁,轮船P与A、B的张角∠APB的最大值为。

［分析]：连接AC，易知∠ACB=∠AOB=40°，又因为∠ACB≥∠P，所以∠P的最大值为40°。

解:如图：连接AC,根据圆周角定理可知

∠ACB=∠AOB=×80°=40°

又因为∠ACB≥∠P 即∠APB≤40°

所以∠APB的最大值为40°

九、利用经过⊙O内一定点P的所有弦中，与OP垂直的弦最短来求最值

9．如图:⊙O的半径为5cm，点P为⊙O内一点，且OP=3cm，则过点P的弦AB长度的最小值为 cm。

［分析]：过P作AB⊥OP，交⊙O于A、B，则AB的长最小。

解：在Rt△OAP中，AP=

所以AB=2AP=2×4=8

所以AB的最小值为8

十、利用经过圆外一点与圆心的直线与⊙O的两个交点与点P的距离最大或最小求最值

10．如图:点P为⊙O外一点，PQ切⊙O于点Q,⊙O的半径为3cm,切线PQ的长为4cm，则点P与⊙O上各点的连线长度的最大值为，最小值为 .

［分析］：过P、O两点作直线交⊙O于A、B，则PA的长度最大，PB的长度最小.

解：连接OQ 因为PQ切⊙O于Q

所以OQ⊥PQ

在Rt△PQO中 PQ2+OQ2=OP2

即42+32=OP2 所以OP=5

所以PB=5－3=2 PA=6+2=8

所以点P与⊙O上各点连线长度的最大为8cm，最小值为2cm。