微专题-立体几何中的共面问题 解析版

微专题-立体几何中的共面问题

【考情分析】立体几何中的共面问题是近两年高考中的常考题型，在近期的模拟考试的填空选择和解答题中也多有出现，属于中等难度。

【核心素养】转化化归思想

匈牙利著名数学家路沙·彼得曾提出这样一个问题：“假设在你面前有煤气灶、水龙头、水壶和火柴，你想烧开水，应当怎样去做？”对此，某人回答说：“在壶中灌上水，点燃煤气，再把壶放到煤气灶上。”提问者肯定了这一回答；但是，他又追问道：“如果其它的条件都没有变化，只是水壶中已经有了足够多的水，那你又应当怎样去做？”这时被提问者往往会很有信心地说：“点燃煤气，再把水壶放到煤气灶上。”但是，提问者指出，这一回答并不能使他感到满意。因为，数学家的回答应是这样的：“只有物理学家才会这样做，而数学家们则会倒掉壶中的水，并声称我已把后一问题化归成原先的问题了。

”

【前测训练】

1.如图，已知正方体1111ABCD A BC

D -1AM AN ==的棱长为3，,M N 分别是棱1AA 、AB 上的点，且1AM AN ==.

（1）证明：1,,,M N C D 四点共面；（2）求几何体1AMN DD C -的体积.

【思路引导】（Ⅰ）欲证M ，N ，C ，D 1四点共面，转证MN ∥A 1B 即可；（Ⅱ）先证明几何体1AMN DD C -是一个三棱台，再求几何体1AMN DD C -的体积．

试题解析：（1）证明：∵11//A D AD ，11A D AD =，又//BC AD ，BC AD =，∴11//A D BC ，

且11A D BC =，连接1A B ，则四边形11A BCD 是平行四边形，所以11//A B D C 在1ABA ∆中，1AM AN ==，13AA AB ==，所以

1AM AN AA AB

=，所以1//MN A B 所以1//MN D C ，所以1,,,M N C D 四点共面.

（2）因为平面11//ABB A 平面11DCC D ，又1,,,M N C D 四点共面，所以平面//AMN 平面1DD C 延长CN 与DA 相交于点P ，因为//AN DC 所以AN PA DC PD =，即13

3PA PA =+，解得32PA =，同理可得32

QA =，所以点P 与点Q 重合所以1,,D M DA CN 三线相交于一点，所以几何体1AMN DD C -是一个三棱台111199133322222AMN DD C V -⎛⎫∴=⨯+⨯+⨯= ⎪ ⎪⎝⎭

. 2.如图,四棱锥P ABCD -中,底面ABCD 为矩形,PA ⊥底面

ABCD ,1AB PA ==,3AD =, ,

F F 分别为棱,PD PA 的中点.（1）求证:B 、C 、E 、F 四点共面；

（2）求异面直线PB 与AE 所成的角余弦值.

【思路引导】（1）因为在PAD ∆中,由E 、F 为PD 、PA 中点得:EF 为中位线,可得EF ∥AD ,结合底面为矩形,即可求得答案;

（2）以A 为原点建立坐标系,其中AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴,求得PB 和AE ,||cos ||||

PB AE PB AE θ⋅=⋅,即可求得答案. 【详解】（1）

在PAD ∆中,由E 、F 为PD 、PA 中点得:EF 为中位线,∴EF ∥AD 又底面为矩形,AD ∥BC ,∴EF ∥BC ∴由平行线确定唯一平面得E 、F 、B 、C 在同一平面上.

（2）以A 为原点建立坐标系,其中AB 、AD 、AP 分别为x 、y 、z 轴,

如图:可得(0,0,0)A ，(1,0,0)B ，(0,0,1)P ，312E ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭

∴(1,0,1)=-PB ,312AE ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,||2cos ||||2121PB AE PB AE θ⋅∴===⋅⋅

【考题再现】

1.(2020·全国Ⅲ卷)如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，点E ，F 分别在棱DD 1，BB 1上，且2DE ＝ED 1，BF ＝2FB 1.(1)证明：点C 1在平面AEF 内；(2)若AB ＝2，AD ＝1，AA 1＝3，求二面角A －EF －A 1的正弦值.

【详解】设AB ＝a ，AD ＝b ，AA 1＝c .如图，以C 1为坐标原点，C 1D 1→的方向为x 轴正方向， 建

立空间直角坐标系C 1－xyz .

(1)证明：连接C 1F ，C 1(0，0，0)，A (a ，b ，c )，2(,0,)3E a c ，1(0,,)3F b c ，EA →＝1(0,,)3

b c ，C 1F →＝1(0,,)3b c ，得EA →＝C 1F →，2(,0,)3

E a c 因此EA ∥C 1

F ，即A ，E ，F ，C 1四点共面，所以点C 1在平面AEF 内.

【方法联想】点在面内转化划归为四点共面转化化归为线线平行

本题也可以采用证明EC 1∥AF 来证明，无需建系，岂不快哉！

(2)由已知得A (2，1，3)，E (2，0，2)，F (0，1，1)，A 1(2，1，0)，AE →＝(0，－1，－1)，AF →＝

(－2，0，－2)，A 1E →＝(0，－1，2)，A 1F →＝(－2，0，1).

设n 1＝(x ，y ，z )为平面AEF 的法向量，则

⎩⎪⎨⎪⎧n 1·AE →＝0，n 1·

AF →＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧－y －z ＝0，－2x －2z ＝0，可取n 1＝(－1，－1，1). 设n 2为平面A 1EF 的法向量，则⎩⎪⎨⎪⎧n 2·A 1E →＝0，n 2·A 1F →＝0，

同理可取n 2＝⎝⎛⎭⎫12，2，1. 设二面角A －EF －A 1的平面角为α，所以cos α＝cos 〈n 1，n 2〉＝n 1·n 2|n 1|·|n 2|＝－77

， 则sin α＝1－cos 2α＝427，所以二面角A －EF －A 1的正弦值为427

. 【方法总结】参考周国yi 的分析